ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-15: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 015-16 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Τρίτη Σειρά Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 15/3/016 Ηµεροµηνία Παράδοσης : 4/3/016 Οι ασκήσεις µε [ ] (7 το πλήθος, άριστα το 70 είναι υποχρεωτικές. Οι υπόλοιπες είναι bonus, +10 µονάδες η καθεµία στο ϐαθµό αυτής της σειράς ασκήσεων (δηλ. µπορείτε να πάρετε µέχρι 100/70 σε αυτή τη σειρά. [ ] Ασκηση 1 - Συστήµατα Ελέγξτε αναλυτικά αν τα παρακάτω συστήµατα είναι γραµµικά, χρονικά αµετάβλητα, ευσταθή, αιτιατά, και δυναµικά. (αʹ y(t = t x(t (ϐʹ y(t = x(t 1 sin(x(t (γʹ y(t = x(t 3x(t + Απ: Γρ. Χ.Α. Ευστ. Αιτ. υν. (α (ϐ (γ [ ] Ασκηση - Σήµατα Σχεδιάστε και ελέγξτε ποιά από τα παρακάτω σήµατα είναι ενέργειας, ισχύος, ή τίποτε από τα δύο. Αρχικά αποφασίστε µε ϐάση τα κριτήρια που αναπτύξαµε στη ιάλεξη 9 (αφορούν το πλάτος, τη διάρκεια, και τη συµπεριφορά του σήµατος όταν t αν τα σήµατα είναι ενέργειας, ισχύος, ή τίποτε από τα δυο, και στη συνέχεια ϐρείτε την ενέργεια ή την ισχύ καθενός από αυτά. (αʹ x(t = e at ɛ(t, a > 0 (ϐʹ x(t = e at ɛ(t, a < 0 (γʹ x(t = sin(πt, αν γνωρίζετε ότι (δʹ x(t = ɛ(t 1 (εʹ x(t = e t, t [0, 1] sin(πx lim = 0. x + πx Απ: Ενέργεια Ισχύς (α (ϐ E x = 1/a, a > 0 (γ P x = (δ P x = 1 (ε E x = (1/4(e 4 1
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 015-16/Τρίτη Σειρά Ασκήσεων [ ] Ασκηση 3 - Συνέλιξη Υπολογίστε τη συνέλιξη των παρακάτω Ϲευγών σηµάτων (µε γραφικό ή αλγεβρικό τρόπο - δική σας επιλογή. (αʹ x(t = rect, y(t = e t ɛ(t 0, t 3 Απ: c xy (t = e e t+1, 3 < t 5 e 3 t e 1 t, t > 5 (ϐʹ x(t = 3ɛ(t 1, y(t = ɛ(t + 1 Απ: c xy (t = { 0, t 0 3t, t > 0 (γʹ x(t = 1 rect, y(t = cos(tɛ(t 1 0, ( t 3 Απ: c xy (t = sin t 3 3, < t 5 ( ( sin t 3 sin t 5, t > 5 [ ] Ασκηση 4 - Απόκριση ΓΧΑ Συστήµατος Ι Εστω το σήµα x(t = rect 4 (1 το οποίο παρουσιάζεται στην είσοδο ενός γραµµικού χρονικά αµετάβλητου (ΓΧΑ συστήµατος µε κρουστική απόκριση h(t = δ(t + δ(t + ( (αʹ Σχεδιάστε το x(t και το h(t. (ϐʹ Βρείτε την έξοδο του συστήµατος, y(t. Απ: y(t = rect 8 (γʹ Σχεδιάστε την έξοδο y(t. [ ] Ασκηση 5 - Συνάρτηση έλτα Ι Εστω το σήµα x(t = 1, t = 4 1, t = 0 1, t = 4 0, αλλού (3 (αʹ Σχεδιάστε το σήµα στο χρόνο. (ϐʹ Γράψτε το σήµα ως άθροισµα Συναρτήσεων έλτα δ(t. (γʹ Πολλαπλασιάζουµε το x(t µε το σήµα y(t = rect. Ποιό το αποτέλεσµα ; Σχεδιάστε το. 6
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 015-16/Τρίτη Σειρά Ασκήσεων 3 Απ: x(ty(t = {, t = 0 0, αλλού (δʹ Κάνουµε συνέλιξη το x(t µε το σήµα y(t = rect. Σχεδιάστε πρώτα τα σήµατα που 6 προκύπτουν και µετά γράψτε µια ϐολική µαθηµατική σχέση που περιγράφει το αποτέλεσµα. + 5 5 Απ: x(t y(t = rect + rect rect 4 4 (εʹ Ποιός ο γενικός κανόνας που προκύπτει από τα δυο παραπάνω ερωτήµατα ; ηλ. τι συµβαίνει σε ένα σήµα όταν πολλαπλασιάζεται µε µια συνάρτηση έλτα, και τι συµβαίνει όταν γίνεται συνέλιξη µε µια συνάρτηση έλτα ; [ ] Ασκηση 6 - Σειρές Fourier - Ξανά! :- Στην 8η διάλεξη, ϐρήκαµε τη σειρά Fourier του περιοδικού σήµατος του Σχήµατος 1. Βρήκαµε ότι A x(t...... -T0 -T0/ 0 -A T0/ T0 t Σχήµα 1: Περιοδικό σήµα Άσκησης 6. οι συντελεστές της εκθετικής σειράς Fourier είναι οι X k = A jπk (1 ( 1k (4 (αʹ Παραγωγίστε και σχεδιάστε το σήµα στο χρόνο, και γράψτε τη µαθηµατική του µορφή σε µια περίοδο. Προσέξτε τα σηµεία ασυνέχειας! Απ: dx(t dt ( = Aδ(t Aδ t T 0, 0 t < T 0 (ϐʹ Χρησιµοποιήστε την ιδιότητα της παραγώγισης για να ϐρείτε τους συντελεστές Fourier της πα- ϱαγώγου του σήµατος. Απ: Y k = A T 0 (1 ( 1 k (γʹ Γράψτε την εκθετική σειρά Fourier και κατόπιν, την τριγωνοµετρική σειρά Fourier της παραγώγου του σήµατος. Απ: dx(t dt = 8A T 0 + k=1 cos(π(k 1f 0 t
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 015-16/Τρίτη Σειρά Ασκήσεων 4 (δʹ Με χρήση του κώδικα MATLAB της ης σειράς ασκήσεων, επιβεβαιώστε - ϕαντάζοµαι µε έκπληξη! :- - ότι η τριγωνοµετρική σειρά Fourier που ϐρήκατε πράγµατι προσεγγίζει το περιοδικό σήµα που σχεδιάσατε στο (α ερώτηµα - πλην του πλάτους του σήµατος που είναι αρκετές τάξεις µεγέθους µεγαλύτερο στο MATLAB. Παραδώστε τον κώδικά MATLAB και ένα plot (γραφική παράσταση της προσέγγισης του σήµατος µε ένα ικανό πλήθος - της επιλογής σας - ηµιτόνων. Ασκηση 7 - Συνέλιξη και Ιδιότητες Αποδείξτε µε χρήση του ορισµού τις παρακάτω ιδιότητες της συνέλιξης. (αʹ Αν z(t = x(t y(t, τότε δείξτε ότι x y = a z a a a (5 (ϐʹ Αν z(t = x(t y(t, τότε δείξτε ότι x(t t 1 y(t t = z(t (t 1 + t (6 Ασκηση 8 - Συνάρτηση έλτα ΙΙ είξτε ότι : (α (t 3 + 3δ(t = 3δ(t (ϐ e t δ(t 3 = e 6 δ(t 3 (γ sin π t + 1 δ(t = δ(t (δ t + 9 δ(t 1 = 1 δ(t 1 5 + (ε δ(te jπft dt = 1 + (στ e (x t δ( tdt = e (x (Ϲ + δ(t cos ( πt 4 + dt = 0 (η δ(t + 1 δ(t 1dt = 1 Ασκηση 9 - Απόκριση ΓΧΑ Συστήµατος ΙΙ Εστω το Γραµµικά Χρονικά Αµετάβλητο (ΓΧΑ σύστηµα που περιγράφεται ως h(t = ɛ(t (7 το οποίο δέχεται ως είσοδο το σήµα Βρείτε την έξοδο y(t του συστήµατος. x(t = ɛ(t t + 1 (8 Απ.: y(t = ln(t + 1ɛ(t [ ] Ασκηση 10 - Σύνθεση Μουσικής στο MATLAB Αν ϑελήσουµε να δηµιουργήσουµε στο MATLAB ένα ηµιτονοειδές σήµα συχνότητας f = 440 Hz (νότα ΛΑ, διάρκειας 0.5 sec (δηλ. 500 ms, µε µηδενική ϕάση µετατόπισης φ και µοναδιαίου πλάτους A, µε συχνότητα δειγµατοληψίας f s = 16000 Hz (που αντιστοιχεί σε καλής ποιότητας ηχογράφηση ϑα γράψουµε τις ακόλουθες εντολές :
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 015-16/Τρίτη Σειρά Ασκήσεων 5 fs = 16000; f = 440; dur = 500; t = 0:1/fs:dur/1000; signal = sin(*pi*f*t; Για να ακούσουµε αυτό που ϕτιάξαµε, πληκτρολογούµε soundsc(signal, fs; Στην άσκηση αυτή ϑα συνθέσουµε τµήµα από το πολύ γνωστό κοµµάτι του Beethoven, Fur Elise 1, από νότες πλήκτρων πιάνου. (αʹ Με χρήση της εντολής load( FurEliseData ; ϕορτώνετε το αρχείο FurEliseData.mat που σας δίνεται στο MATLAB. Παρατηρήστε ότι δηµιουργούνται 4 πίνακες - διανύσµατα, lefthand, lhdur, righthand, rhdur οι οποίοι ανταποκρίνονται σε αριθµούς πλήκτρων πιάνου που παίζονται από το αριστερό χέρι (lefthand, µε τις αντίστοιχες διάρκειές τους σε ms (lhdur, και σε αριθµούς πλήκτρων πιάνου που παίζονται µε το δεξί χέρι (righthand, µε τις αντίστοιχες επίσης διάρκειές τους σε ms (rhdur. (ϐʹ Μετατρέψτε σε κάθε χέρι, κάθε αριθµό πλήκτρου πιάνου n στην αντίστοιχη συχνότητα µε τη σχέση f(n = f LA n 49 1 = 440 n 49 1 (9 Στο MATLAB αυτό γίνεται εύκολα ως freq = 440*.ˆ((lefthand - 49/1 µε αποτέλεσµα έναν πίνακα - διάνυσµα freq µε τις αντίστοιχες συχνότητες. Οι παύσεις αναπαρίστανται στους πίνακες µε τα πλήκτρα ως (0. Θα µετατραπούν κι αυτές - ενώ δεν πρέπει - όµως αυτό δε ϑα µας επηρεάσει. (γʹ Οι πίνακες lhdur, rhdur περιέχουν τη διάρκεια κάθε νότας σε ms για το αριστερό και το δεξί χέρι, αντίστοιχα. Ακολουθώντας τον παρακάτω κώδικα, δηµιουργήστε τα αντίστοιχα ηµίτονα µε τη σωστή διάρκεια. Για τις παύσεις, ϑα δηµιουργήσουµε ένα µηδενικό διάνυσµα µε την ανάλογη διάρκεια. % Poses notes exoume sto aristero xeri? N = length(lefthand; % Syxnothta deigmatolhpsias fs = 16000; % As ftia3oume ta hmitona for i = 1:N % o a3onas tou xronou t = 0:1/fs:lhdur(i/1000; if lefthand(i == 0 % exoume paush, dhmiourgoume ena dianysma me 1 https://www.youtube.com/watch?v=_mvw8tggy_w
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 015-16/Τρίτη Σειρά Ασκήσεων 6 end % mhdenika stoixeia, diarkeias lhdur(i ms s{i} = zeros(1, length(t; else % ftia3te to antistoixo hmitono me xrhsh tou pinaka % freq pou dhmiourghsate nwritera s{i} =????????????? ; end (δʹ Η δοµή s{} ονοµάζεται cell structure, και σε κάθε ϑέση της i µπορεί να αποθηκευτεί οποιαδήποτε µεταβλητή, οποιουδήποτε µεγέθους. Αυτό είναι ϐολικό γιατί οι νότες δεν έχουν όλες την ίδια διάρκεια, και ένας πίνακας N L ϑα ήταν δύσχρηστος. (εʹ Οµως εδώ κάθε ηµίτονο που ϕτιάξαµε ϐρίσκεται σε µια διαφορετική ϑέση στα cells. Πρέπει να τα ϐάλουµε διαδοχικά για να µπορέσουµε να ακούσουµε τη µελωδία. Άρα ϑα χρειαστούµε ένα αρκετά µεγάλο πίνακα - διάνυσµα που ϑα περιέχει το ένα µετά το άλλο τα σήµατα που ϕτιάξαµε (ηµίτονα και παύσεις. Ευτυχώς στο MATLAB αυτό γίνεται εύκολα, χωρίς να χρειάζεται να διαχειριστούµε ϱητά τη µνήµη (εν αντιθέσει µε τη C και τις αντίστοιχες malloc. % Keno dianysma gia to aristero xeri - arxikopoihsh signal_left = [ ]; % For loop gia na gemisoume to dianysma me ta diadoxika hmitona for i = 1:N % Se ka8e loop, bazoume ena s{i} sto telos tou % prohgoumenou signal_left pou exoume ftia3ei signal_left = [ signal_left s{i} ]; end (ϛʹ Επαναλάβατε τη διαδικασία για το δεξι χέρι, δηλ. τις µεταβλητές righthand, rhdur και αποθηκεύστε τα αποτελέσµατά σας σε ξεχωριστές µεταβλητές. Παρατηρήστε ότι το δεξί χέρι παίζει λιγότερες νότες από το αριστερό. (Ϲʹ ηµιουργήστε το συνολικό σήµα, αθροίζοντας τα δυο σήµατα ως sig = signal_left + signal_right; Αν τα έχετε κάνει όλα σωστά, το MATLAB ϑα σας επιστρέψει σφάλµα, γιατί λόγω αριθµητικών στρογγυλοποιήσεων, το ένα σήµα ϐγήκε λίγο µικρότερο από το άλλο, οπότε δε γίνεται να προστε- ϑούν. Χρησιµοποιήστε την εντολή length και µετρήστε το µήκος του κάθε σήµατος. Πόση είναι η διαφορά τους σε πλήθος τιµών ; (ηʹ Για µια γρήγορη διόρθωση στο παραπάνω πρόβληµα, χρησιµοποιήστε τις εντολές D = length(signal_right-length(signal_left; signal_left = [signal_left zeros(1, D]; sig = signal_left + signal_right; (ϑʹ Μπορείτε τώρα να ακούσετε το σήµα σας! soundsc(sig, fs; Να ϑυµάστε ότι τα πάντα στο MATLAB είναι πίνακες, και όλες οι πράξεις πρέπει να τηρούν τους κανόνες διάστασης των πινάκων.
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 015-16/Τρίτη Σειρά Ασκήσεων 7 Σχολιάστε το αποτέλεσµα. Να σηµειωθεί ότι ένα πραγµατικό πλήκτρο πιάνου δεν παράγει ένα ηµίτονο, όπως κάναµε εµείς, αλλά ένα άθροισµα από ηµίτονα, µε συχνότητες σχεδόν ακέραιες πολλαπλάσιες της ϑεµελιώδους συχνότητας και διαφορετικά µεταξύ τους πλάτη. Με άλλα λόγια, παράγει - προσεγγιστικά - µια σειρά Fourier, µε πεπερασµένο πλήθος όρων. Επίσης, σε ένα πραγµατικό πιάνο, υπάρχουν πάρα πολλές λεπτοµέρειες που µας χαρίζουν τον πλούσιο ήχο του, οι οποίες δεν είναι απλό να µοντελοποιηθούν 3. Παραδώστε πλήρη κώδικα MATLAB, σκελετό του οποίου ϑα ϐρείτε στο αρχείο fe.m, που παράγει τα σήµατα του δεξιού και του αριστερού χεριού, δηµιουργεί το συνολικό σήµα, και το παίζει ως ήχο. 3 είτε το - διαθέσιµο στο διαδίκτυο - άρθρο µε τίτλο Perceptual significance of inharmonicity and spectral envelope in the piano bass range, των Galembo et al., σελ. 6., εξίσωση (7, για να καταλάβετε πόσο πολύπολοκο είναι να συνθέσει κανείς έναν ήχο πλήκτρου πιάνου που να µοιάζει µε τον πραγµατικό. Η απλή όψη της εξίσωσης είναι αρκετή για να σας πείσει! ;-