. Ειςαγωγι Ζςτω ότι κζλουμε να ερευνιςουμε εμπειρικά τθ ςχζςθ που υπάρχει ανάμεςα ςτισ δαπάνεσ κατανάλωςθσ και ςτο διακζςιμο ειςόδθμα, των οικογενειϊν. Σφμφωνα με τθν Κεχνςιανι κεωρία, θ κατανάλωςθ αυξάνεται κακϊσ αυξάνεται το ειςόδθμα, όχι όμωσ τόςο πολφ όςο το ειςόδθμα. Θ απλοφςτερθ μακθματικι ςχζςθ που μπορεί να περιγράψει τον παραπάνω νόμο, είναι ζνα γραμμικό μοντζλο τθσ μορφισ 0 0 0 0 0 MPC β 0 Ο ςυντελεςτισ 0 (τετμθμζνθ τθσ ευκείασ), μασ δείχνει τθν κατανάλωςθ, όταν το διακζςιμο ειςόδθμα είναι μθδζν. Σφμφωνα με τθν οικονομικι κεωρία, ακόμθ και ςε μθδενικό επίπεδο ειςοδιματοσ, υπάρχει κατανάλωςθ και, επομζνωσ, πρζπει 0 0. Ο ςυντελεςτισ είναι θ οριακι κατανάλωςθ (Marginal Propensiy of Consume), δθλαδι dy dx, και μασ δείχνει τθν μεταβολι τθσ κατανάλωςθσ που αντιςτοιχεί ςε μοναδιαία μεταβολι του ειςοδιματοσ. Σφμφωνα με τον Keynes, θ κατανάλωςθ αυξάνεται όταν αυξάνεται το ειςόδθμα επομζνωσ πρζπει 0 όχι όμωσ τόςο πολφ όςο το ειςόδθμα, επομζνωσ πρζπει.
Απλι Γραμμικι Παλινδρόμθςθ Ζςτω, τϊρα, ότι κζλουμε να μελετιςουμε τθ ςυνάρτθςθ τθσ κατανάλωςθσ ςτα Ελλθνικά νοικοκυριά. Στόχοσ μασ είναι ο προςδιοριςμόσ των ςυντελεςτϊν 0,, βάςει ενόσ δείγματοσ παρατθριςεων,,,3,, T, που αφοροφν τθ μθνιαία κατανάλωςθ και το μθνιαίο ειςόδθμα ( χρθματικι μονάδα = 0 ) και το οποίο λαμβάνεται ςφμφωνα με τουσ κανόνεσ τθσ δειγματολθψίασ από το ςφνολο (πλθκυςμό) των Ελλθνικϊν νοικοκυριϊν. Ζςτω, λοιπόν, ότι διακζτουμε το παρακάτω δείγμα: 70 80 65 00 90 0 95 40 0 60 5 80 0 00 40 0 55 40 50 60 Εξαιτίασ τθσ γραμμικότθτασ του μοντζλου, περιμζνουμε ότι όλα τα ηεφγθ των παρατθριςεων,,,3,, T κα βρίςκονται πάνω ςε μια ευκεία, δθλαδι για κάκε,,, T να ιςχφει θ ςχζςθ 0 Πμωσ, από το διάγραμμα διαςποράσ βλζπουμε ότι κάτι τζτοιο δεν ιςχφει. Υ 80 60 40 0 00 80 Υ 60 40 0 0 0 50 00 50 00 50 300 Γιατί ςυμβαίνει αυτό; Μαρίνα Σύρπη
3 Θ ςχζςθ 0 είναι μια ςχζςθ προςδιοριςτικι (deerminisic). Αυτό ςθμαίνει ότι όλεσ οι οικογζνειεσ με το ίδιο διακζςιμο ειςόδθμα, ζχουν τθν ίδια κατανάλωςθ. Στθν πραγματικότθτα όμωσ αυτό δεν ιςχφει. Και αυτό επειδι, εκτόσ από το διακζςιμο ειςόδθμα, υπάρχουν και άλλοι παράγοντεσ που επθρεάηουν το ειςόδθμα. Για παράδειγμα, το πλικοσ των μελϊν τθσ οικογζνειασ, θ θλικία τουσ, κ.α. Ραρατθροφμε, ωςτόςο, ότι τα ςθμεία ςυςςωρεφονται γφρω από μια «νοθτι» ευκεία, επομζνωσ θ υπόκεςθ τθσ γραμμικισ ςχζςθσ μεταξφ του ειςοδιματοσ και τθσ κατανάλωςθσ δεν είναι μια υπόκεςθ που πρζπει να απορριφκεί. Ρρζπει όμωσ να βροφμε ζναν τρόπο, ϊςτε να ςυμπεριλάβουμε ςτο μοντζλο μασ τισ αποκλίςεισ των ςθμείων από τθν ευκεία. Αυτό γίνεται με τθν προςκικθ μιασ τυχαίασ μεταβλθτισ μετατρζπεται ςτθ ςτοχαςτικι ςχζςθ u 0 u, οπότε θ προςδιοριςτικι ςχζςθ () Θ ςχζςθ αυτι μασ λζει ότι θ κατανάλωςθ ςχετίηεται γραμμικά με το ειςόδθμα, όμωσ θ ςχζςθ μεταξφ αυτϊν των δφο δεν είναι ακριβισ αλλά διαταράςςεται από κάποιουσ παράγοντεσ, τουσ οποίουσ δεν μποροφμε ι δεν κζλουμε να ςυμπεριλάβουμε, ςτο μοντζλο. Πλοι αυτοί οι παράγοντεσ αναπαριςτάνονται από τθν τυχαία μεταβλθτι διαταρακτικόσ όροσ ςχζςθ 0. u, θ οποία ονομάηεται (disurbance erm), ακριβϊσ επειδι διαταράςςει τθν προςδιοριςτικι Θ ςτοχαςτικι ςχζςθ 0 u, μασ λζει ότι για ζνα δεδομζνο επίπεδο ειςοδιματοσ, περιμζνουμε θ κατανάλωςθ να είναι μια τιμι τυχαία απόςταςθ, θ οποία βρίςκεται ςε μια κοντινι, αλλά u, από τθν ευκεία 0. Μια τιμι, θ οποία μπορεί να βρίςκεται οπουδιποτε γφρω, ι και ακόμα και ακριβϊσ επάνω, ςτθν ευκεία 0. u 0 0 0 u Θ εξίςωςθ 0 u ονομάηεται μοντζλο γραμμικισ παλινδρόμθςθσ, και αυτό που κα μασ απαςχολιςει είναι το πϊσ, από τα διακζςιμα δεδομζνα το δείγμα μποροφμε να παράγουμε τισ εκτιμιςεισ (δθλαδι, τισ αρικμθτικζσ τιμζσ) των παραμζτρων του μοντζλου. Σημειώςεισ Ποςοτικών Μεθόδων
4 Απλι Γραμμικι Παλινδρόμθςθ Η ςθμαςία του διαταρακτικοφ όρου Ο διαταρακτικόσ όροσ u, είναι ζνα υποκατάςτατο ι μία προςζγγιςθ όλων εκείνων των μεταβλθτϊν που παραλείπονται από το μοντζλο, οι οποίοι όμωσ επθρεάηουν τθν. Ρροκφπτει, λοιπόν, το ερϊτθμα: Γιατί δεν ςυμπεριλαμβάνουμε όλεσ αυτζσ τισ μεταβλθτζσ αναλυτικά ςτο μοντζλο, χρθςιμοποιϊντασ, για παράδειγμα, ζνα μοντζλο πολλαπλισ παλινδρόμθςθσ; Υπάρχουν αρκετοί λόγοι που δεν το κάνουμε.. Θ κεωρία που προςδιορίηει τθν ςυμπεριφορά τθσ μπορεί να είναι, και τισ περιςςότερεσ φορζσ πράγματι είναι, ελλιπισ. Μπορεί, για παράδειγμα, να γνωρίηουμε με βεβαιότθτα ότι το ειςόδθμα επθρεάηει τθν κατανάλωςθ, αλλά μπορεί να αγνοοφμε ι να μιν είμαςτε βζβαιοι για κάποιεσ άλλεσ μεταβλθτζσ που «προςβάλουν» τθν κατανάλωςθ. Ζτςι, θ μεταβλθτι u, μπορεί να χρθςιμοποιθκεί ωσ υποκατάςτατο όλων αυτϊν των μεταβλθτϊν που εξαιροφνται ι παραλείπονται από το μοντζλο.. Ακόμθ και αν γνωρίηουμε ποιζσ είναι κάποιεσ από τισ υπόλοιπεσ μεταβλθτζσ που επθρεάηουν τθν ςυμπεριφορά τθσ, μπορεί να μθν ζχουμε ποςοτικζσ πλθροφορίεσ γιϋ αυτζσ. Στισ εμπειρικζσ ζρευνεσ, το φαινόμενο να μιν διακζτουμε τα ιδανικά δεδομζνα είναι πολφ ςυχνό. Για παράδειγμα, ςε μια ζρευνα για τθν κατανάλωςθ, κα κζλαμε, κατϋ αρχιν, να ςυμπεριλάβουμε ςαν μεταβλθτι ςτο μοντζλο μασ τον πλοφτο, τθσ οικογζνειασ. Πμωσ, γενικά, δεν διακζτουμε πλθροφορίεσ για τθν μεταβλθτι αυτι. Ζτςι, όςο και αν κεωρθτικά είναι ςθμαντικι, αναγκαηόμαςτε να τθν εξαιρζςουμε. 3. Ασ υποκζςουμε, ότι ςτο μοντζλο κατανάλωςθσ ειςοδιματοσ, κζλουμε εκτόσ από το ειςόδθμα να ςυμπεριλάβουμε το πλικοσ των μελϊν τθσ οικογζνειασ, το κριςκευμα, τθ μόρφωςθ, τθν γεωγραφικι περιοχι ςτθν οποία ηοφνε, παράγοντεσ για τουσ οποίουσ μποροφμε να κεωριςουμε ότι επθρεάηουν τθν κατανάλωςθ. Πμωσ, αρκετζσ φορζσ, θ κοινι επίδραςθ όλων αυτϊν των μεταβλθτϊν μπορεί να είναι τόςο μικρι ϊςτε να μθν χρειάηεται να τισ ςυμπεριλάβουμε αναλυτικά ςτο μοντζλο. Αυτι θ κοινι επίδραςθ μπορεί κατόπιν να κεωρθκεί ωσ μία τυχαία μεταβλθτι u. 4. Ακόμα και αν καταφζρουμε να ςυμπεριλάβουμε ςτο μοντζλο μασ όλεσ τισ μεταβλθτζσ, υπάρχουν ακόμθ κάποια περικϊρια για τθν ςυμπεριφορά τθσ να παρουςιάηει κάποια τυχαιότθτα τθν οποία δεν μποροφμε να ερμθνεφςουμε όςο και αν προςπακιςουμε. Ζτςι, κεωροφμε ότι είναι ο διαταρκτικόσ όροσ που αντικατοπτρίηει αυτι τθν κρυμμζνθ «τυχαιότθτα». 5. Ραρόλο που ςτο μοντζλο τθσ κλαςικισ παλινδρόμθςθσ υποκζτουμε ότι οι μετριςεισ των μεταβλθτϊν και είναι ακριβείσ, ςτισ πράξθ τα δεδομζνα μπορεί να υπόκεινται ςε ςφάλματα μετριςεων. Στθν περίπτωςθ αυτι, ο διαταρακτικόσ όροσ, αναπαριςτά τα ςφάλματα των μετριςεων. 6. Τζλοσ, πάντοτε επικυμοφμε, το μοντζλο που καταςκευάηουμε να είναι όςο το δυνατόν ποιό απλό. Αν μποροφμε να ερμθνεφςουμε τθν ςυμπεριφορά τθσ, βάςει δφο τριϊν μεταβλθτϊν, και αν θ κεωρία μασ δεν είναι αρκετά ιςχυρι ϊςτε να υποςτθρίξει τθν χριςθ και άλλων μεταβλθτϊν, τότε δεν υπάρχει λόγοσ να τισ ςυμπεριλάβουμε. Ο διαταρακτικόσ όροσ, τϊρα, είναι ζνα υποκατάςτατο όλων αυτϊν των μεταβλθτϊν που παραλείπουμε από το μοντζλο. Μαρίνα Σύρπη
5. Κλαςικι Γραμμικι Παλινδρόμθςθ Οι βαςικζσ υποκζςεισ Θ ςχζςθ u 0 Αποτελεί τθν οικονομετρικι μορφι τθσ γραμμικισ ςχζςθσ που υποκζτουμε ότι ςυνδζει τισ μεταβλθτζσ και. Θ ςτοχαςτικι φφςθ τθσ ςχζςθσ () ςυνεπάγεται ότι για κάκε τιμι τθσ δεν υπάρχει μία μόνο τιμι για τθν, αλλά μια ολόκλθρθ κατανομι τιμϊν, θ οποία εξαρτάται από τον διαταρακτικό όρο. 0 Μια ολοκλθρωμζνθ εξειδίκευςθ τθσ παραπάνω γραμμικισ ςχζςθσ ανάμεςα ςτθν και τθν περιγράφεται από τισ ακόλουκεσ υποκζςεισ: u ( 3 ) 0 u 0, ( 4 ) α) u είναι μία τυχαία μεταβλθτι β) Eu 0 var u Eu γ) Cov u, u Eu u 0, s ( 5 ) s s Θ μεταβλθτι δεν είναι ςτοχαςτικι. Οι τιμζσ τθσ παραμζνουν ( 6 ) ςτακερζσ και δεν είναι όλεσ ίςεσ μεταξφ τουσ. Οι υποκζςεισ ( 3 ) ( 6 ) αποτελοφν το υπόδειγμα τθσ κλαςικισ γραμμικισ παλινδρόμθςθσ (classical linear regression model), ςτο οποίο μποροφμε να εφαρμόςουμε τισ κλαςικζσ μεκόδουσ για να εκτιμιςουμε τισ άγνωςτεσ παραμζτρουσ 0,,. Σημειώςεισ Ποςοτικών Μεθόδων
6 Απλι Γραμμικι Παλινδρόμθςθ Η κατανομι τθσ και θ γραμμι παλινδρόμθςθσ Αποδεικνφεται ότι 0 E ( 7 ) Var ( 8 ) Επομζνωσ, θ μεταβλθτι, όπωσ ορίηεται ςτο υπόδειγμα που κακορίηουν οι ςχζςεισ E ( 3 ) ( 6 ), ακολουκεί μία κατανομι με μζςθ τιμι 0 Var, ίςθ με τθ διακφμανςθ του διαταρακτικοφ όρου. και διακφμανςθ Το παραπάνω ςυμπζραςμα, μασ λζει ότι θ ευκεία 0 δεν είναι τίποτα άλλο, παρά μια ευκεία πάνω ςτθν οποία βρίςκονται οι δεςμευμζνεσ μζςεσ τιμζσ μεταβλθτισ. E τθσ 0 E E Θ ςχζςθ 0, ονομάηεται γραμμι παλινδρόμθςθσ ςτον πλθκυςμό (populaion regression line) και είναι θ ςχζςθ που υπάρχει ανάμεςα ςτουσ υπό ςυνκικθ μζςουσ τθσ εξαρτθμζνθσ μεταβλθτισ, και ςτισ αντίςτοιχεσ τιμζσ τθσ ανεξάρτθτθσ μεταβλθτισ. Θ γραμμι τθσ παλινδρόμθςθσ όμωσ ςτον πλθκυςμό μασ είναι άγνωςτθ, εφόςον δεν γνωρίηουμε τισ τιμζσ των παραμζτρων 0,. Στόχοσ μασ είναι, και κα δοφμε με ποιόν τρόπο φτάνουμε ςε αυτόν, από ζνα δείγμα παρατθριςεων,,,3,, T να εκτιμιςουμε αυτζσ τισ παραμζτρουσ. Ζςτω, λοιπόν, ότι ˆ ˆ 0, είναι οι εκτιμιςεισ των 0,. Τότε 0 ˆ ˆ ( 9 ) ˆ είναι θ γραμμι παλινδρόμθςθσ ςτο δείγμα (sample regression line) και θ ˆ είναι θ τιμι τθσ που υπολογίηουμε από τθν γραμμι παλινδρόμθςθσ του δείγματοσ. Μαρίνα Σύρπη
7 Είναι φανερό ότι οι υπολογιςμζνεσ τιμζσ ˆ δεν κα είναι όλεσ ίςεσ με τισ πραγματικζσ τιμζσ, δθλαδι τισ τιμζσ του δείγματοσ. Θ διαφορά μεταξφ των πραγματικϊν τιμϊν και των υπολογιςμζνων τιμϊν ˆ, δθλαδι θ u ˆ ˆ ονομάηεται κατάλοιπο (residual) και μπορεί να κεωρθκεί ωσ εκτίμθςθ του διαταρακτικοφ όρου u. πραγμαηική ηιμή καηάλοιπο u ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 ( ζηο δείγμα) σπολογιζμένη ηιμή ˆ u E διαηαρακηικός όρος 0 E (ζηον πληθσζμό) μέζη ηιμή E,,,3,, T Δείγμα από Τ ηεφγθ παρατθριςεων 0 E Ρραγματικζσ τιμζσ Οι παρατθριςεισ του δείγματοσ Γραμμι παλινδρόμθςθσ ςτον πλθκυςμό (άγνωςτθ) 0, Συντελεςτζσ τθσ παλινδρόμθςθσ ςτον πλθκυςμό (άγνωςτοι) ˆ ˆ Γραμμι παλινδρόμθςθσ ςτο δείγμα ˆ 0 0 (εκτίμθςθ τθσ γραμμισ παλινδρόμθςθσ ςτον πλθκυςμό) ˆ, ˆ εκτιμιςεισ των 0,. Υπολογιςμζνεσ τιμζσ (εκτιμιςεισ των E ˆ u E Διαταρακτικοί όροι ( άγνωςτοι) u ˆ Κατάλοιπα (εκτιμιςεισ των διαταρακτικϊν όρων) ˆ Ανεξάρτθτθ μεταβλθτι ι παλινδρομθτισ (regressor) Σημειώςεισ Ποςοτικών Μεθόδων
8 Απλι Γραμμικι Παλινδρόμθςθ εξαρτθμζνθ μεταβλθτι ι παλινδρομοφμενθ μεταβλθτι (regressand) Συνοψίηοντασ, μποροφμε να ποφμε ότι, ο κφριοσ ςτόχοσ τθσ ανάλυςθσ τθσ παλινδρόμθςθσ είναι E να εκτιμιςουμε τθν ευκεία 0 τθσ παλινδρόμθςθσ ςτον πλθκυςμό, βάςει ενόσ μοναδικοφ δείγματοσ παρατθριςεων, το οποίο χρθςιμοποιοφμε για να υπολογίςουμε τθν ˆ ˆ που είναι θ γραμμι παλινδρόμθςθσ ςτο δείγμα. ˆ 0 Αυτό ςθμαίνει, ότι διαφορετικά δείγματα δίνουν διαφορετικζσ γραμμζσ παλινδρόμθςθσ ςτο δείγμα, και ότι εμείσ από το μοναδικό δείγμα που διακζτουμε κάκε φορά, κα υπολογίςουμε μία από αυτζσ. 40 4 50 E Θ ευκεία παλινδρόμθςθσ ςτον πλθκυςμό 0 Ευκεία παλινδρόμθςθσ που υπολογίηεται από το ο δείγμα Ευκεία παλινδρόμθςθσ που υπολογίηεται από το ο δείγμα Ευκεία παλινδρόμθςθσ που υπολογίηεται από το ν ςτο δείγμα Θ ευκεία παλινδρόμθςθσ ςτον πλθκυςμό δεν είναι τίποτα άλλο παρά θ πραγματικι αλλά άγνωςτθ ςε εμάσ ευκεία, πάνω ςτθν οποία βρίςκονται οι δεςμευμζνεσ μζςεσ τιμζσ E τθσ μεταβλθτισ. Για κάκε δείγμα που ςυλλζγουμε, ζχουμε και μία διαφορετικι ευκεία παλινδρόμθςθσ ςτο δείγμα, που είναι μία εκτίμθςθ τθσ ευκείασ τθσ παλινδρόμθςθσ ςτον πλθκυςμό. Μαρίνα Σύρπη
9 Το ερϊτθμα που τίκεται είναι αν, δεδομζνου ότι διακζτουμε ζνα μοναδικό δείγμα και ότι θ ευκεία τθσ παλινδρόμθςθσ ςτο δείγμα δεν είναι τίποτα άλλο παρά μια προςζγγιςθ τθσ παλινδρόμθςθσ ςτον πλθκυςμό, μποροφμε να ζχουμε μια μζκοδο ϊςτε αυτι θ προςζγγιςθ να είναι θ καλφτερθ. 3. Η αρχι των Ελαχίςτων Τετραγώνων Θ μζκοδοσ των Ελαχίςτων Τετραγϊνων οφείλεται ςτον Carl Friedrich Gauss. Κάτω από τισ υποκζςεισ βαςικζσ υποκζςεισ τθσ Κλαςςικισ Γραμμικισ Ραλινδρόμθςθσ ( θ Διάλεξθ), θ μζκοδοσ των Ελαχίςτων Τετραγϊνων ζχει κάποιεσ πολφ ελκυςτικζσ ςτατιςτικζσ ιδιότθτεσ που τθν κακιςτοφν μία από τισ ποιό ιςχυρζσ και δθμοφιλείσ μεκόδουσ ςτθν ανάλυςθ τθσ παλίνδρομθσ. Ζςτω το μοντζλο δφο μεταβλθτϊν τθσ παλινδρόμθςθσ ςτον πλθκυςμό 0 u 0 Αυτό εκτιμάται από το μοντζλο τθσ παλινδρόμθςθσ ςτο δείγμα ˆ ˆ uˆ 0 ˆ uˆ όπου ˆ είναι θ εκτιμϊμενθ (υπό ςυνκικθ μζςθ τιμι) τθσ. Το πρόβλθμά μασ είναι θ εκτίμθςθ τθσ. Ξαναγράφουμε τθν 3 ωσ εξισ: uˆ ˆ ˆ ˆ 0 Θ ςχζςθ αυτι μασ δείχνει ότι τα κατάλοιπα u ˆ, είναι απλϊσ οι διαφορζσ ανάμεςα ςτισ πραγματικζσ και ςτισ εκτιμϊμενεσ τιμζσ τθσ. Ζςτω τϊρα ότι διακζτουμε ζνα δείγμα,,,3,, T παρατθριςεων των και, και κζλουμε να προςδιορίςουμε το μοντζλο παλινδρόμθςθσ ςτο δείγμα, ζτςι ϊςτε αυτό να βρίςκεται όςο το δυνατόν ποιό κοντά ςτισ πραγματικζσ τιμζσ τθσ. Το κριτιριο που χρθςιμοποιοφμε είναι το εξισ: Θ παλινδρόμθςθ ςτο δείγμα επιλζγεται με τζτοιον τρόπο, ϊςτε τι άκροιςμα των τετραγϊνων των καταλοίπων να είναι όςο το δυνατόν μικρότερο. Ηθτάμε δθλαδι οι ςυντελεςτζσ ˆ ˆ 0,, να είναι τζτοιοι ϊςτε το άκροιςμα uˆ ˆ ˆ ˆ 0 3 4 Σημειώςεισ Ποςοτικών Μεθόδων
0 Απλι Γραμμικι Παλινδρόμθςθ να είναι ελάχιςτο. k uˆk ˆi ˆ ˆ ˆ 0 ˆk uˆi i k i Η αρχι των Ελαχίςτων Τετραγώνων 4. Οι Κανονικζσ Εξιςώςεισ και οι Εκτιμθτζσ των Συντελεςτών Από τθν ςχζςθ 5, φαίνεται ότι το άκροιςμα των τετραγϊνων των καταλοίπων είναι μία ςυνάρτθςθ δφο μεταβλθτϊν, δθλαδι των εκτιμθτϊν ˆ ˆ 0,. Δθλαδι uˆ f ˆ, ˆ Το πρόβλθμα ελαχιςτοποίθςθσ του παραπάνω ακροίςματοσ είναι ζνα κλαςικό πρόβλθμα του Διαφορικοφ Λογιςμοφ ςυναρτιςεων πολλϊν μεταβλθτϊν. Θ διαδικαςία ελαχιςτοποίθςθσ παράγει το παρακάτω ςφςτθμα εξιςϊςεων για τουσ εκτιμθτζσ ˆ ˆ 0,. ˆ ˆ T 0 ˆ ˆ 0 όπου T είναι το μζγεκοσ του δείγματοσ, και όλα τα ακροίςματα υπολογίηονται από i, μζχρι i T. Δθλαδι,. T i Το παραπάνω ςφςτθμα 6, είναι γνωςτό ωσ ςφςτθμα των κανονικϊν εξιςϊςεων και θ επίλυςι του παράγει τουσ εκτιμθτζσ ˆ ˆ 0,. Θ επίλυςθ του παραπάνω ςυςτιματοσ μασ δίνει τισ παρακάτω λφςεισ για τουσ εκτιμθτζσ ˆ, ˆ. 0 0 5 Μαρίνα Σύρπη
και x y ˆ x 0 ˆ ˆ 7 6 όπου,, ο μζςοσ των τιμϊν τθσ μεταβλθτισ, ςτο δείγμα T, ο μζςοσ των τιμϊν τθσ μεταβλθτισ, ςτο δείγμα. T x y x Παράδειγμα Ζςτω ότι κζλουμε να μελετιςουμε τθ ςυνάρτθςθ κατανάλωςθσ ςτα Ελλθνικά νοικοκυριά και διακζτουμε το παρακάτω δείγμα. 70 80 65 00 90 0 95 40 0 60 5 80 0 00 40 0 55 40 50 60 όπου οι δαπάνεσ κατανάλωςθσ και το διακζςιμο ειςόδθμα, των οικογενειϊν. Σημειώςεισ Ποςοτικών Μεθόδων
Απλι Γραμμικι Παλινδρόμθςθ (α) Η εκτίμθςθ των ςυντελεςτών τθσ ευκείασ τθσ παλινδρόμθςθσ ςτο δείγμα Για να διευκολυνκοφμε ςτουσ υπολογιςμοφσ μασ καταςκευάηουμε τον παρακάτω πίνακα. x y x 65 00-70 -46 4900 30 70 80-90 -4 800 3690 90 0-50 - 500 050 95 40-30 -6 900 480 0 60-0 - 00 0 5 80 0 4 00 40 0 00 30 9 900 70 40 0 50 9 500 450 50 60 90 39 800 350 55 40 70 44 4900 3080 ΣΥΝΟΛΑ 0 700 0 0 33000 6800 x y T = 0 T T = = 70 Επομζνωσ ˆ x y 6800 0,509 33000 x και ˆ ˆ 0,509 70 4,453 0 Ζτςι, θ εκτιμϊμενθ ςυνάρτθςθ κατανάλωςθσ που βαςίηεται ςτο παραπάνω δείγμα είναι θ : =β ˆ ˆ +βˆ =4.453+0.509 0 Μαρίνα Σύρπη
3 Οι παραπάνω υπολογιςμοί του πίνακα μποροφν να γίνουν εφκολα με Excel. ˆ 4.453+0.509 ˆ 0, 509 ˆ 0 4, 453 70 Η ευκεία παλινδρόμθςθσ για τα δεδομζνα του Παραδείγματοσ (β) Η ερμθνεία των αποτελεςμάτων Θ (εβδομαδιαία) ςυνάρτθςθ κατανάλωςθσ είναι: ˆ 4.453 0.509 Συμφωνεί με τθν οικονομικι κεωρία, κακϊσ ˆ ˆ 0 0, 0. Κάκε ςθμείο τθσ ευκείασ τθσ παλινδρόμθςθσ, μασ δίνει μια εκτίμθςθ τθσ αναμενόμενθσ ( ι μζςθσ) τιμισ τθσ, που αντιςτοιχεί ςτθν επιλεγμζνθ τιμι. Ζτςι, για επίπεδο διακεςίμου εβδομαδιαίου ειςοδιματοσ 00, κατανάλωςθ κα είναι ˆ 4.453 0.509 00 55.363. θ εκτιμϊμενθ μζςθ Ο ςυντελεςτισ παλινδρόμθςθσ ˆ 0 4.543 (τεταγμζνθ τθσ ευκείασ), μασ δείχνει το μζςο επίπεδο εβδομαδιαίασ κατανάλωςθσ, όταν το διακζςιμο ειςόδθμα είναι μθδενικό. Είναι δυνατόν, δθλαδι, μια οικογζνεια θ οποία δεν διακζτει ειςόδθμα να (π.χ. εξαιτίασ ανεργίασ) να παρουςιάηει ζνα ελάχιςτο επίπεδο κατανάλωςθσ, δαπανϊντασ χριματα που προζρχονται από δανειςμό ι αποταμιεφςεισ. Ο ςυντελεςτισ παλινδρόμθςθσ ˆ 0.509 (κλίςθ τθσ ευκείασ), παριςτάνει τθν μεταβολι ςτθν προςδοκϊμενθ τιμι τθσ εξαρτθμζνθσ μεταβλθτισ όταν θ ερμθνευτικι μεταβλθτι μεταβάλλεται κατά μία μονάδα. Με άλλα λόγια, είναι θ οριακι ροπι τθσ κατανάλωςθσ. Σημειώςεισ Ποςοτικών Μεθόδων
4 Απλι Γραμμικι Παλινδρόμθςθ Επειδι ˆ 0.509 γνωρίηουμε ότι, για επίπεδα διακζςιμου εβδομαδιαίου ειςοδιματοσ μεταξφ 80 και 60 ευρϊ, όταν το εβδομαδιαίο διακζςιμο ειςόδθμα αυξθκεί κατά, θ εβδομαδιαία κατανάλωςθ κα αυξθκεί, κατά μζςο όρο, κατά 0,509 λεπτά. Ι, με άλλα λόγια 50,9% τθσ αφξθςθσ του εβδομαδιαίου διακζςιμου ειςοδιματοσ κα απορροφθκεί από τισ δαπάνεσ κατανάλωςθσ. Παράδειγμα Στθν μικροοικονομία είναι γνωςτό ότι θ κατανάλωςθ ενόσ αγακοφ εξαρτάται γενικά από τθν τιμι του, τθν τιμι άλλων αγακϊν που είναι ανταγωνιςτικά προσ αυτό ι υποκατάςτατά του, και από το ειςόδθμα του καταναλωτι. Κανονικά, για να ςυμπεριλάβουμε όλουσ αυτοφσ τουσ παράγοντεσ ςε μιά ςυνάρτθςθ κατανάλωςθσ κα πρζπει να χρθςιμοποιιςουμε ζνα μοντζλο πολλαπλισ παλινδρόμθςθσ. Ρροσ το παρόν, κα αρκεςτοφμε να υποκζςουμε ότι με τουσ υπόλοιπουσ παράγοντεσ να παραμζνουν ςτακεροί, θ ποςότθτα κατανάλωςθσ ενόσ προϊόντοσ εξαρτάται μόνον από τθν τιμι του. (μζκοδοσ ceeris paribus). Τα παρακάτω αποτελζςματα αφοροφν τθ ςυνάρτθςθ κατανάλωςθσ του καφζ ςε φλιτηάνια ανά άτομο και ανά θμζρα, και τθσ τιμισ ανά κιλό. Τιμζσ και για τισ δφο μεταβλθτζσ ςε. Χρθςιμοποιικθκε ζνα δείγμα παρατθριςεων και θ μζκοδοσ των ελαχίςτων τετραγϊνων, από όπου πιραμε: ˆ.69 0.4795 Θ ερμθνεία για τθν παραπάνω εκτιμϊμενθ ςυνάρτθςθ ηιτθςθσ του καφζ ζχει ωσ εξισ: Εφόςον ˆ 0.4795, θ αφξθςθ ςτθν τιμι του καφζ κατά, αναμζνεται να επιφζρει μείωςθ ςτθ μζςθ κατανάλωςθ του καφζ περίπου κατά μιςό φλιτηάνι. Εφόςον ˆ 0.69, γνωρίηουμε ότι αν θ τιμι του καφζ μθδενιςτεί, θ μζςθ κατανάλωςθ του καφζ ανά άτομο αναμζνεται να είναι.69 φλιτηάνια τθν θμζρα. Ραρόλο που δεν είναι πάντοτε εφκολο να δϊςουμε μια φυςικι ερμθνεία ςτθ τεταγμζνθ τθσ παλινδρόμθςθσ, μποροφμε να ςκεφτοφμε ότι ακόμα και ςτθν περίπτωςθ που θ τιμι του καφζ μθδενιηόταν οι άνκρωποι δεν κα κατανάλωναν απεριόριςτεσ ποςότθτεσ εξαιτίασ των βλαβερϊν επιπτϊςεων τθσ καφεΐνθσ ςτον οργανιςμό. Μαρίνα Σύρπη
5 5. Ο Συντελεςτισ Προςδιοριςμοφ Θ γραμμι Ραλινδρόμθςθσ του δείγματοσ, αποτελεί μία εκτίμθςθ τθσ γραμμισ παλινδρόμθςθσ ςτον πλθκυςμό. Αν και από τθ μζκοδο των ελαχίςτων τετραγϊνων προκφπτουν εκτιμθτζσ που ζχουν οριςμζνεσ επικυμθτζσ ιδιότθτεσ, θ γραμμι παλινδρόμθςθσ του δείγματοσ δεν παφει να υπόκειται ςε ςφάλματα. Το ερϊτθμα που τίκεται, είναι πόςο καλοί είναι οι ςυντελεςτζσ 0 ˆ και ˆ, και τί κριτιρια μποροφμε να χρθςιμοποιιςουμε για να αξιολογιςουμε τα αποτελζςματα τθσ εκτιμιςεωσ. Στο υπόδειγμα 0 u που περιγράφει τθ ςχζςθ που ςυνδζει δφο οικονομικζσ μεταβλθτζσ και, ο όροσ 0 αποτελεί το ςυςτθματικό μζροσ, ενϊ το u, παριςτάνει το διαταρακτικό ι τυχαίο όρο. Με άλλα λόγια, μζροσ τθσ μεταβλθτότθτασ (variaion) που παρατθρείται ςτισ τιμζσ τθσ οφείλεται ςτισ μεταβολζσ τθσ μεταβλθτισ, δθλαδι ςτο ςυςτθματικό μζροσ, και μζροσ ςτισ επιδράςεισ των τυχαίων παραγόντων. Με τθ γραμμι παλινδρόμθςθσ ˆ ˆ ˆ 0 προςπακοφμε να ερμθνεφςουμε τθ μεταβλθτότθτασ τθσ που εξθγείται από τισ μεταβολζσ ςτθν τιμι τθσ, δθλαδι από τθ γραμμι τθσ παλινδρομιςεωσ. Το ερϊτθμα είναι πόςθ είναι θ μεταβλθτότθτα τθσ που εξθγείται από τθν παλινδρόμθςθ και πόςθ μζνει ανεξιγθτθ, οφείλεται δθλαδι ςτουσ τυχαίουσ παράγοντεσ. Θ μεταβλθτότθτα τθσ ορίηεται ωσ το άκροιςμα των τετραγϊνων των αποκλίςεων των παρατθριςεων τθσ, από το μζςο τουσ. Δθλαδι Μεταβλθτότθτα τθσ (Toal Sum of Squares): y SST ˆ ˆ ˆ u ˆ, όπου Κακϊσ όμωσ, y Θ απόκλιςθ τθσ τιμισ του δείγματοσ από τον μζςο ˆ yˆ Θ απόκλιςθ τθσ υπολογιςμζνθσ τιμισ από τον μζςο ˆ uˆ Θ απόκλιςθ τθσ τιμισ του δείγματοσ από τθ γραμμι τθσ παλινδρόμθςθσ προκφπτει τελικά ότι Σημειώςεισ Ποςοτικών Μεθόδων
6 Απλι Γραμμικι Παλινδρόμθςθ SST ˆ ˆ ˆ ˆ - + u ˆ των Επομζνωσ, θ ςυνολικι μεταβλθτότθτα SST τθσ, ιςοφται με το άκροιςμα τετραγϊνων των αποκλίςεων των υπολογιςμζνων τιμϊν τθσ από τον μζςο τουσ το άκροιςμα ˆ ˆ u των τετραγϊνων των καταλοίπων. ˆ yˆ Ο όροσ ˆ uˆ Ο όροσ Συνεπϊσ: είναι θ μεταβλθτότθτα τθσ που εξθγείται από τθν παλινδρόμθςθ, δθλαδι από τισ τιμζσ τθσ και ςυμβολίηεται με SSR (Regression Sum of Squares) είναι θ το μζροσ τθσ μεταβλθτότθτασ τθσ που παραμζνει ανεξιγθτο, και ςυμβολίηεται με SSE (Error Sum of Squares). ˆ - - + u ˆ Μαρίνα Σύρπη
7 Θ αναλογία τθσ μεταβλθτότθτασ τθσ εξαρτθμζνθσ μεταβλθτισ που ερμθνεφεται από τθν παλινδρόμθςθ ονομάηεται ςυντελεςτισ προςδιοριςμοφ (coefficien of deerminaion) και παριςτάνεται με R R. Δθλαδι SSR SST y ˆ yˆ 9 Για τον ςυντελεςτι προςδιοριςμοφ ιςχφει ότι: 0 R Ο ςυντελεςτισ προςδιοριςμοφ μασ δίνει το ποςοςτό τθσ μεταβλθτότθτασ τθσ που εξθγείται από τθν παλινδρόμθςθ, δθλαδι το ποςοςτό τθσ μεταβλθτότθτασ τθσ που ερμθνεφεται από τθν. Πςο μεγαλφτεροσ είναι ο R τόςο καλφτερθ είναι θ εκτιμϊμενθ γραμμι τθσ παλινδρόμθςθσ, από τθν άποψθ ότι είναι, πράγματι, θ μεταβλθτι που εξθγεί τθν ςυμπεριφορά τθσ Κατά το μεγαλφτερο μζροσ τθσ, και όχι κάποιο άλλο παράγοντεσ. Αντίκετα, αν ο ςυντελεςτισ προςδιοριςμοφ είναι μικρόσ, ςθμαίνει ότι θ ερμθνευτικι μεταβλθτι που χρθςιμοποιιςαμε ςτο μοντζλο για να προςδιορίςουμε τθν ςυμπεριφορά τθσ είναι μια επιλογι λανκαςμζνθ ι ελλιπισ. Αυτό ςυμβαίνει γιατί ςτθν περίπτωςθ αυτι, το μεγαλφτερο ποςοςτό τθσ μεταβλθτότθτασ τθσ «κρφβεται» ςτο SSE. Ππωσ όμωσ είναι γνωςτό, τα κατάλοιπα είναι μια ςυνάκροιςθ των ςφαλμάτων που οφείλονται ςτουσ τυχαίουσ απρόβλεπτουσ παράγοντεσ, και ςτισ μεταβλθτζσ που παραλείπονται ι ςκόπιμα δεν περιλαμβάνονται ςτο μοντζλο μασ. Ζτςι, το μεγαλφτερο μζροσ τθσ ςυμπεριφοράσ τθσ, όπωσ αυτι προςδιορίηεται από το μοντζλο μασ, παραμζνει ανερμινευτο. Για παράδειγμα, αν R 0,9, λζμε ότι θ μεταβλθτι ερμθνεφει το 9% τθσ μεταβλθτότθτασ τθσ, που ςθμαίνει ότι το μοντζλο που χρθςιμοποιεί τθν ωσ ανεξάρτθτθ μεταβλθτι, προςεγγίηει με πολφ μεγάλθ ακρίβεια τθν ςυμπεριφορά τθσ. Αντίκετα, αν για παράδειγμα R 0,4, λζμε ότι θ μεταβλθτι ερμθνεφει το 4% τθσ μεταβλθτότθτασ τθσ. Το υπόλοιπο 58% τθσ μεταβλθτότθτασ τθσ οφείλεται ςε άλλουσ παράγοντεσ και παραμζνει ανερμινευτο. Επομζνωσ, θ μεταβλθτι, είτε δεν μπορεί από μόνθ τθσ να προςδιορίςει τθν ςυμπεριφορά τθσ, είτε είναι μία λανκαςμζνθ επιλογι. Σημειώςεισ Ποςοτικών Μεθόδων
8 Απλι Γραμμικι Παλινδρόμθςθ 6. Ο Συντελεςτισ Συςχζτιςθσ Ωσ μζτρο τθσ γραμμικισ ςυςχζτιςθσ δφο τυχαίων μεταβλθτϊν, χρθςιμοποιείται ο ςυντελεςτισ ςυςχζτιςθσ,, που ορίηεται ωσ: όπου Θ ςυνδιακφμανςθ των και Θ τυπικι απόκλιςθ τθσ Θ τυπικι απόκλιςθ τθσ Ο ςυντελεςτισ ςυςχζτιςθσ είναι μια άγνωςτθ παράμετροσ του πλθκυςμοφ. Ωσ εκτιμθτισ του, χρθςιμοποιείται ο ςυντελεςτισ ςυςχζτιςθσ του δείγματοσ, που ορίηεται ωσ: r xy x y 0 Κάποιεσ από τισ ιδιότθτεσ του ςυντελεςτι ςυςχζτιςθσ είναι οι παρακάτω:. Μπορεί να είναι κετικόσ ι αρνθτικόσ. Το πρόςθμο εξαρτάται από το πρόςθμο του αρικμθτι, που μετρά τθ δειγματικι ςυνδιακφμανςθ των δφο μεταβλθτϊν.. r. 3. Είναι ςυμμετρικόσ, δθλαδι ο ςυντελεςτισ ςυςχζτιςθσ μεταξφ τθσ και τθσ r, είναι ίςοσ με τον ςυντελεςτι ςυςχζτιςθσ μεταξφ τθσ και τθσ r. 4. Αν οι και είναι ςτατιςτικά ανεξάρτθτεσ, τότε r 0. Δεν ιςχφει, όμωσ, το αντίςτροφο. Δθλαδι μπορεί r 0, και οι και να μιν είναι ςτοχαςτικά ανεξάρτθτεσ. 5. Είναι μζτρο μόνον τθσ γραμμικισ ςυςχζτιςθσ ι γραμμικισ εξάρτθςθσ δφο μεταβλθτϊν. Δεν ζχει νόθμα όταν θ ςχζςθ μεταξφ των δφο μεταβλθτϊν δεν είναι γραμμικι. Ζτςι, ςτθν περίπτωςθ που υπάρχει μια ακριβισ ςχζςθ τθσ μορφισ r., κα ζχουμε 0 Μαρίνα Σύρπη
9 r r r 0 r r r 0 r 0 r 0 Σημειώςεισ Ποςοτικών Μεθόδων
0 Απλι Γραμμικι Παλινδρόμθςθ Άςκθςθ Ζςτω οι ακόλουκεσ υποκετικζσ παρατθριςεισ για τθ ηιτθςθ ενόσ αγακοφ Α. ποςότθτα ςε κιλά: 00 8 86 90 60 70 τιμι κιλοφ (ςε ) 3,0 3,5 3, 3,0 4,0 3,7 ( α ) Αν θ ςυνάρτθςθ ηιτθςθσ είναι τθσ μορφισ 0 u, να εκτιμθκοφν οι παράμετροι ˆ ˆ 0, με τθ μζκοδο των ελαχίςτων τετραγϊνων. ( β ) Σχολιάςτε τα αποτελζςματα από οικονομικι άποψθ (αναφερκείτε ςτα πρόςθμα των εκτιμιςεων κακϊσ και ςτο μζγεκόσ τουσ) ( γ ) Να υπολογιςτεί και να ερμθνευτεί ο ςυντελεςτισ προςδιοριςμοφ. ( δ ) Αν θ τιμι του προϊόντοσ γίνει 5, πόςθ προβλζπεται να είναι θ ηιτθςι του; Δίνονται: 80,4 488 xy 8 x 0,8 y 09,33 yˆ 956,08 Λφςθ ( α ) T 6 488 8,33 T 6 80,4 3,4 T 6 ˆ x y 8 34,46 0,8 x 0 ˆ ˆ 8,33 34,46 3,4 538, 88 Συνεπϊσ, θ παλινδρόμθςθ ςτο δείγμα είναι: ˆ ˆ ˆ ˆ 0 538,88 34, 46 ( β ) Τα πρόςθμα των ςυντελεςτϊν είναι τα αναμενόμενα από τθν οικονομικι κεωρία. Δθλαδι, κετικό πρόςθμα για το ςτακερό όρο 0 0, και αρνθτικό για το ςυντελεςτι (Πταν θ τιμι ενόσ προϊόντοσ αυξάνεται θ ηιτθςι του μειϊνεται) Επειδι ˆ 0 538,88, γνωρίηουμε ότι, αν θ τιμι του προϊόντοσ μθδενιςτεί, θ μζςθ ηιτθςι του κα είναι περίπου 538,88 Kgr. Επειδι ˆ 34,46, γνωρίηουμε ότι, αν θ τιμι του προϊόντοσ αυξθκεί κατά, θ μζςθ ηιτθςθ του προϊόντοσ κα μειωκεί κατά 34,43 Kgr., περίπου. Μαρίνα Σύρπη
( γ ) ŷ, 956 08 R, y 09, 33 0 988 Επομζνωσ, το 9,88% τθσ μεταβλθτότθτασ τθσ ηιτθςθσ του προϊόντοσ ερμθνεφεται από τθν τιμι του. Το υπόλοιπο 7,%, οφείλεται ςε άλλουσ παράγοντεσ, που δεν ςυμπεριλιφκθκαν ςτο μοντζλο, και παραμζνει ανερμινευτο. Ο ςυντελεςτισ προςδιοριςμοφ, είναι ιδιαίτερα υψθλόσ, επομζνωσ το παραπάνω μοντζλο παλινδρόμθςθσ είναι πολφ ικανοποιθτικό. (δ ) ˆ 5 538,88 34,46 5 6, 6 9 Αν θ τιμι του προϊόντοσ γίνει 5, θ μζςθ ηιτθςι του προβλζπεται να είναι 60,85 Kgr. Άςκθςθ Ζνα τυχαίο δείγμα από 0 οικογζνειεσ ζδωςε τα ακόλουκα δεδομζνα ςχετικά με το ειςόδθμά τουσ και τισ μθνιαίεσ δαπάνεσ τουσ για τρόφιμα. Οι μεταβλθτζσ μετριοφνται ςε χιλιάδεσ δραχμζσ. 0 30 33 40 5 3 6 38 35 43 7 9 8 5 4 8 0 9 0 ( α ) Να εκτιμθκεί το υπόδειγμα 0 u, με τθ μζκοδο των ελαχίςτων τετραγϊνων. ( β ) Σχολιάςτε τα αποτελζςματα από οικονομικι άποψθ (αναφερκείτε ςτα πρόςθμα των εκτιμιςεων κακϊσ και ςτο μζγεκόσ τουσ) ( γ ) Να υπολογιςτεί και να ερμθνευτεί ο ςυντελεςτισ προςδιοριςμοφ. ( δ ) Ροιζσ προβλζπεται να είναι οι δαπάνεσ για τρόφιμα μιασ οικογζνειασ με ειςόδθμα 50.000 δρχ.; Δίνονται: 93 8 xy 00,70 x 99,0 y 44,90 yˆ 39,73 Λφςθ ( α ) T 0 8 8, T 0 Σημειώςεισ Ποςοτικών Μεθόδων
Απλι Γραμμικι Παλινδρόμθςθ 93 9,3 T 0 ˆ x y 70 0, x 99.0 ˆ ˆ 8. 0. 9.3,7 0 Συνεπϊσ, θ παλινδρόμθςθ ςτο δείγμα είναι: ˆ ˆ ˆ 0 ˆ,7 0, ( β ) Τα πρόςθμα των ςυντελεςτϊν είναι τα αναμενόμενα από τθν οικονομικι κεωρία. Δθλαδι, κετικό πρόςθμα για το ςτακερό όρο 0 0, και κετικό για το ςυντελεςτι (όταν αυξάνεται το ειςόδθμα, αυξάνεται και θ δαπάνθ) Επειδι ˆ 0,7, γνωρίηουμε ότι, αν το ειςόδθμα τθσ οικογζνειασ μθδενιςτεί, θ μζςθ μθνιαία δαπάνθ για τρόφιμα κα είναι περίπου,7.000.70 δρχ. Επειδι ˆ 0,, γνωρίηουμε ότι, αν το ειςόδθμα τθσ οικογζνειασ αυξθκεί κατά.000.000 δρχ., θ μζςθ μθνιαία δαπάνθ για τρόφιμα κα αυξθκεί κατά 0,.000 00 δρχ., περίπου. ( γ ) ŷ, 39 73 R, y 44, 90 0 88 Επομζνωσ, το 88,00% τθσ μεταβλθτότθτασ τθσ μθνιαίασ δαπάνθσ για τρόφιμα ερμθνεφεται από το ειςόδθμα τθσ οικογζνειασ. Το υπόλοιπο 8 %, οφείλεται ςε άλλουσ παράγοντεσ, που δεν ςυμπεριλιφκθκαν ςτο μοντζλο, και παραμζνει ανερμινευτο. Ο ςυντελεςτισ προςδιοριςμοφ, είναι ιδιαίτερα υψθλόσ, επομζνωσ το παραπάνω μοντζλο παλινδρόμθςθσ είναι πολφ ικανοποιθτικό. ( δ ) ˆ 50,7 0, 50.7 Αν το μθνιαίο ειςόδθμα τθσ οικογζνειασ γίνει 50.000 δρχ., θ μζςθ δαπάνθ για τρόφιμα προβλζπεται να είναι,7.000.70 δρχ. Άςκθςθ 3 Σφμφωνα με τθν οικονομικι κεωρία, οι αποταμιεφςεισ μιασ οικογζνειασ εξαρτϊνται κετικά από το ειςόδθμά τουσ κακϊσ αφξθςθ ςτο ειςόδθμα ςυμβάλει ςτθν αφξθςθ των αποταμιεφςεων. Το 003, ζνα χρόνο μετά τθν αντικατάςταςθ τθσ δραχμισ από το ευρϊ, ζνασ οικονομολόγοσ κζλθςε να μελετιςει εμπειρικά τθν αποταμίευςθ των οικογενειϊν ωσ προσ το ειςόδθμά Μαρίνα Σύρπη
3 τουσ με ςκοπό να δει αν θ αλλαγι του νομίςματοσ επζφερε ι όχι αλλαγζσ ςτθ ςχζςθ των παραπάνω μεταβλθτϊν. Για τθ μελζτθ του χρθςιμοποίθςε δεδομζνα 5 οικογενειϊν που επελζγθςαν τυχαία. Οι μονάδεσ μζτρθςθσ, για όλεσ τισ μεταβλθτζσ, ζγιναν ςε χιλιάδεσ ευρϊ ανά ζτοσ. Χρθςιμοποιϊντασ τα δεδομζνα 5 οικογενειϊν που επελζγθςαν τυχαία εκτίμθςε, το υπόδειγμα απλισ γραμμικισ παλινδρόμθςθσ 0 u ˆ ˆ ( α ) Βρείτε τουσ ςυντελεςτζσ 0, που εκτίμθςε ο οικονομολόγοσ. ( β ) Γράψτε το μοντζλο που εκτιμιςατε και ςχολιάςτε τουσ ςυντελεςτζσ του τόςο ποιοτικά όςο και ποςοτικά, δθλαδι εξετάςτε τα πρόςθμα και το μζγεκοσ των εκτιμιςεων και δϊςτε τθν οικονομικι ερμθνεία. ( γ ) Να υπολογιςτεί και να ερμθνευτεί ο ςυντελεςτισ προςδιοριςμοφ R. ( δ ) Ριςτεφετε ότι το παραπάνω υπόδειγμα ερμθνεφει ικανοποιθτικά τθ ςυμπεριφορά των αποταμιεφςεων; Αν ναι γιατί; Αν όχι, γιατί; Κα μποροφςατε να προτείνετε κάτι για τθ βελτίωςι του; Δίνονται: 40 4,8 xy 3,6 x 8 y,77 yˆ 0,7 Λφςθ ( α ) T 5 4, 8 0, 96 T 5 40 8 T 5 ˆ xy 36, 0, 8 x ˆ 0 ˆ 0, 96 0, 8 0, 96, 6 0, 64 (β) ˆ ˆ ˆ 0 0,64 0, Επειδι ˆ 0 0, 64, γνωρίηουμε ότι ςε μθδενικό επίπεδο ειςοδιματοσ, οι μζςεσ αποταμιεφςεισ είναι αρνθτικζσ, δθλαδι μειϊνονται κατά 640, περίπου. Αυτό ςθμαίνει ότι όταν το ειςόδθμα τθσ οικογζνειασ μθδενίηεται χρθςιμοποιοφνται, και ςυνεπϊσ μειϊνονται, οι αποταμιεφςεισ για να καλφψουν τισ ανάγκεσ τθσ οικογζνειασ. Επειδι ˆ 0,, γνωρίηουμε ότι αν το ειςόδθμα τθσ οικογζνειασ αυξθκεί κατά.000, οι μζςεσ αποταμιεφςεισ κα αυξθκοφν κατά 00, περίπου. Σημειώςεισ Ποςοτικών Μεθόδων
4 Απλι Γραμμικι Παλινδρόμθςθ ( γ ) ŷ, 0 7 R, y, 7 Επειδι R, 0 4063 0 4063, γνωρίηουμε ότι το ειςόδθμα ερμθνεφει το 40,63% τθσ μεταβλθτότθτασ τθσ αποταμίευςθσ. Το υπόλοιπο 59,37 % οφείλεται ςε άλλουσ παράγοντεσ και δεν ερμθνεφεται από το παραπάνω μοντζλο. (δ) Θ χαμθλι τιμι του ςυντελεςτι προςδιοριςμοφ, μασ οδθγεί ςτο ςυμπζραςμα ότι το υπόδειγμα δεν ερμθνεφει ικανοποιθτικά τθ ςυμπεριφορά των αποταμιεφςεων. Χρειάηεται θ προςκικθ και άλλων μεταβλθτϊν και ζνα μεγαλφτερο δείγμα. Άςκθςθ 4 Σφμφωνα με τθν οικονομικι κεωρία, θ παραγόμενθ ποςότθτα ενόσ προϊόντοσ, εξαρτάται κετικά από τθν εργαςία, κακϊσ αφξθςθ των ωρϊν εργαςίασ κα οδθγιςει ςε αφξθςθ τθσ παραγόμενθσ ποςότθτασ. Ζνασ ερευνθτισ, κζλθςε να μελετιςει εμπειρικά τθν παραγόμενθ ποςότθτα ενόσ ςυγκεκριμζνου προϊόντοσ βιομθχανικισ παραγωγισ, ωσ προσ τθν εργαςία Για τθ μελζτθ του χρθςιμοποίθςε δεδομζνα 8 επιχειριςεων που ρωτικθκαν μια δεδομζνθ χρονικι ςτιγμι, για το ίδιο προϊόν. Θ παραγόμενθ ποςότθτα μετρικθκε ςε μονάδεσ του παραγόμενου προϊόντοσ. Θ εργαςία μετρικθκε ςε εργατοϊρεσ. Χρθςιμοποιϊντασ τα δεδομζνα των 8 επιχειριςεων που επελζγθςαν τυχαία εκτίμθςε, το υπόδειγμα απλισ γραμμικισ παλινδρόμθςθσ 0 u ( α ) Βρείτε τουσ ςυντελεςτζσ ˆ ˆ 0, που εκτίμθςε ο οικονομολόγοσ. ( β ) Γράψτε το μοντζλο που εκτιμιςατε και ςχολιάςτε τουσ ςυντελεςτζσ του τόςο ποιοτικά όςο και ποςοτικά, δθλαδι εξετάςτε τα πρόςθμα και το μζγεκοσ των εκτιμιςεων και δϊςτε τθν οικονομικι ερμθνεία. ( γ ) Να υπολογιςτεί και να ερμθνευτεί ο ςυντελεςτισ προςδιοριςμοφ R. (δ ) Ριςτεφετε ότι το παραπάνω υπόδειγμα ερμθνεφει ικανοποιθτικά τθ μεταβλθτότθτα ςτθν ποςότθτα του παραγόμενου προϊόντοσ; Αν ναι γιατί; Αν όχι, γιατί; Κα μποροφςατε να προτείνετε κάτι για τθ βελτίωςι του; Δίνονται: 948 646 xy 585,56 x 0059, y 3409,78 yˆ 750,54 Μαρίνα Σύρπη
5 Λφςθ ( α ) T 8 646 35, 89 T 8 948 63, 78 T 8 ˆ xy 585, 56 0, 56 x 0059, ˆ 0 ˆ 35, 89 0, 5663, 78 48, 54 (β) ˆ ˆ ˆ 0 48,54 63,78 Επειδι ˆ 0 48, 54, γνωρίηουμε ότι αν οι ϊρεσ εργαςίασ μθδενιςτοφν, θ μζςθ παραγόμενθ ποςότθτα κα μειωκεί κατά 49 περίπου μονάδεσ. Επειδι ˆ 0, 56 0, το πρόςθμο ςυμφωνεί με τθν οικονομικι κεωρία, και γνωρίηουμε ότι αν θ εργαςία αυξθκεί κατά h, θ μζςθ ποςότθτα του προϊόντοσ κα αυξθκεί κατά μιςι, περίπου μονάδα. ( γ ) ŷ, 750 54 R, y 3409, 78 Επειδι R, 0 8067 0 8067, γνωρίηουμε ότι θ εργαςία ερμθνεφει το 80,67% τθσ μεταβλθτότθτασ του παραγόμενου προϊόντοσ. Το υπόλοιπο 9,33 % οφείλεται ςε άλλουσ παράγοντεσ και δεν ερμθνεφεται από το παραπάνω μοντζλο. ( δ) Θ ςχετικά υψθλι τιμι του ςυντελεςτι προςδιοριςμοφ R, 0 8067, μασ οδθγεί ςτο ςυμπζραςμα ότι το υπόδειγμα ερμθνεφει ικανοποιθτικά τθ μεταβλθτότθτα του παραγόμενου προϊόντοσ. Το μοντζλο κα μποροφςε να βελτιωκεί ακόμθ περιςςότερο με τθν προςκικθ και επιπλζον μεταβλθτϊν που θ οικονομικι κεωρία υποδεικνφει ότι ςυνδζονται με τθν ποςότθτα του παραγόμενου προϊόντοσ, όπωσ για παράδειγμα το κεφάλαιο. Σημειώςεισ Ποςοτικών Μεθόδων