ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ ΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΛΥΦΩΝ Καθ. Βλάσης Κουµούσης
Κυλινδρικά Κελύφη Καµπτική Θεωρία Οι µεµβρανικές δυνάµεις που προσδιορίζει η µεµβρανική θεωρία αποτελούν πολύ καλή προσέγγιση των ίδιων που καθορίζει η καµπτική θεωρία. Έτσι, κύρια κατεύθυνση της καµπτικής θεωρίας είναι να συµπληρώσει την µεµβρανική θεωρία εκεί που αυτή παρουσιάζει ενγενή προβλήµατα. Ανεξάρτητα, όµως, υπάρχουν περιπτώσεις που είναι επιθυµητή η εξεύρεση λύσης των εξισώσεων του κυλινδρικού κελύφους για δεδοµένη επιφανειακή φόρτιση. Αν το φορτίο µπορεί να εκφραστεί από τις σχέσεις: P = Pmncos( mφ ) cos ( φ ) φ = φmn sin sin P P m Pr = Prmncos( mφ ) sin (7.) (7.) (7.3) nπ όπου λ = L εκφραστεί ως:.τότε η λύση των διαφορικών εξισώσεων ισορροπίας µπορεί να u = umn cos( mφ )cos ( m ) = mn sin sin υ υ φ w= wmn cos( mφ ) sin (7.4) (7.5) (7.6)
3 Αντικαθιστώντας τις εξισώσεις ισορροπίας και συλλέγοντας τους συντελεστές των γραµµικά ανεξάρτητων τριγωνοµετρικών όρων, προκύπτει το παρακάτω σύστηµα. Ένα σύστηµα τριών γραµµικών αλγεβρικών εξισώσεων ως προς τους άγνωστους συντελεστές u mn, υ mn και w mn. v + v λ + m ( + κ) umn + λm υmn + 3 v + vλ κ λ λm wmn = p D + v v λm umn + m + λ ( + 3κ) υmn + 3 v + m+ κλ m wmn = p D 3 v 3v vλ κ λ λm umn + m+ κλ m υmn + 4 4 ( λ ) mn φ mn + + κ λ + m + m m + w mn = p D rmn (7.7) (7.8) (7.9) Από την επίλυση του συστήµατος προκύπτουν οι αριθµητικές τιµές των u mn, υ mn και w mn. Με βάση τις παραπάνω τιµές τα εντατικά µεγέθη προκύπτουν ως εξής: ( ) ( ) D φ = mυmn + + κ κm wmn vλumn cos mφ sin (7.0) ( ) cos( ) D = λumn + vmυmn + v+ κλ wmn mφ sin (7.)
( ) 4 D v λ ( ) mumn mn mwmn sin( m ) cos φ = + κ + λυ κλ φ ( ) D v λ mumn ( ) mn mwmn sin( m ) cos φ = κ λυ κλ φ + + + (7.) (7.3) ( λ ) mn ( φ) κ φ = m + v w cos m sin (7.4) ( λ ) λ υ ( φ) κ = + vm w cos sin mn umn + vm mn m (7.5) κ φ = λmw sin mn mumn λυmn ( mφ) cos + + ( v) [ λ λυ ] sin ( φ ) κ φ = mw cos mn + mn m (7.6) (7.7) ( λ ) mn ( ) λ υ mn ( φ) κ Qφ =+ m m + w + v sin m sin 3 (7.8) ( ) cos( ) κ v + v λ Q m w cos = 3 λ λ + mn + m λ υmn + λmυmn mφ (7.9) Η παραπάνω λύση αποτελεί ένα ειδικό ολοκλήρωµα και άρα δεν αποτελεί τη γενική λύση, καθόσον δεν περιλαµβάνει σταθερές προς προσδιορισµό από τις συνοριακές συνθήκες. Ικανοποιεί, όµως, κάποιες συγκεκριµένες συνοριακές συνθήκες, και πιο συγκεκριµένα οι µετακινήσεις και εντάσεις που εκφράζονται µε τον όρο sin µηδενίζονται στο = 0 και = L.
Από αυτές είναι και οι υ, w, και 5 που πρέπει να είναι µηδέν στα σύνορα που στηρίζονται σε επίπεδα διαφράγµατα, δηλαδή πρόκειται για επίπεδες κατασκευές απαραµόρφωτες στο επίπεδό τους, χωρίς να προβάλλουν αντίσταση σε µετακινήσεις εκτός του επιπέδου τους. Από αυτές η υ και η µεµβρανική θεωρία. χρησιµοποιήθηκαν στην Εφαρµόζουµε τις παραπάνω σχέσεις στο κυλινδρικό κέλυφος του σχήµατος: α φ L = πα Για τη φόρτιση: nπ nπ P = 0, Pφ = Pnsin( φ) sin, Pr =Pncos( φ) sin L L (7.0) Θεωρούµε αρχικά παχύ κέλυφος µε t/ = 0.0. Για n = και m = προκύπτει: u =.987 P, υ = 5.968 P, w = 6.957P (7.) D D D Αντίστοιχα, η µεµβρανική θεωρία έδωσε: u = P, υ = 6 P, w = 7P (7.) D D D τιµές που είναι πολύ κοντά. Αντίστοιχα για τα εντατικά µεγέθη προκύπτουν τα ακόλουθα:
6 0.989P φ = (7.3) =.993P (7.4).993P φ = (7.5).990P φ = (7.6) για την ακριβή θεωρία, καθώς για την µεµβρανική θεωρία έχουµε: P φ = (7.7) = P (7.8) = P= (7.9) φ φ Η δικαµπτική ένταση προκύπτει πολύ µικρή: φ = 0 (7.30) 3 P = 7.44 0 (7.3) φ 3 P =.480 0 (7.3) φ 3 P = 0.83 0 (7.33) Q φ 3 = 0.83 0 P (7.34) Q 3 = 9.93 0 P (7.35)
7 Για ένα κυκλικό κυλινδρικό κέλυφος της ίδιας γεωµετρίας, αλλά µικρού πάχους, επιλέγοντας ακόλουθα: 4 κ = 0 το οποίο αντιστοιχεί σε t/ = 3.46 0, προκύπτουν τα Για n = οι ορθές και διατµητικές µεµβρανικές δυνάµεις είναι ίσες µε αυτές της µεµβρανικής θεωρίας, οι δε ροπές προκύπτουν µικρότερες από αυτές του παχέως τοιχώµατος Για n αρκετά µεγαλύτερο του προκύπτουν οι παρακάτω µετακινήσεις: 3 0 0.980 0 0 u = P D (7.36) υ 3 0 0 = 9.85 0 P D (7.37) 3 0 50 0 0 w = P D (7.38) για την καµπτική θεωρία. 3 0 0 0 u = P D (7.39) υ 3 0 0 = 40. 0 P D (7.40) 3 0 040 0 0 w = P D (7.4) για την µεµβρανική θεωρία. Από την σύσγκριση των οποίων διαπιστώνεται η δραστική µείωση των µετακινήσεων λόγω της καµπτικής δυσκαµψίας του κελύφους. Οι ορθές και διατµητικές µεµβρανικές δυνάµεις προκύπτουν: φ = 0.480P (7.4) 0 0 0 = 0.00470P (7.43) 0
0 8 φ = + 0.490P (7.44) 0 φ = + 0.458P (7.45) 0 0 για την καµπτική θεωρία. φ = P (7.46) 0 0 0 = 0.0P (7.47) 0 = 0.0P = (7.48) φ 0 φ 0 0 για την µεµβρανική θεωρία. Η παραµόρφωση για n = 0 έχει 9 εναλλαγές στην περιφέρεια του κελύφους, οπότε το κάθετο φορτίο δεν αντιλαµβάνεται µόνο από την φ, αλλά και από την τέµνουσα ( 50% ) Q > για την παραπάνω περίπτωση.
9 Οι ροπές αν και το πάχος είναι πολύ µικρότερο από την προηγούµενη περίπτωση, είναι µικρότερες, αλλά της ίδιας τάξης µεγέθους. φ = 0 (7.49) 0 0 3 P = 5.0 0 (7.50) φ 0 3 P 0 = 0.495 0 (7.5) φ 0 3 P = 0.480 0 (7.5) Η εκκεντρότητα κατά την διαµήκη διεύθυνση προκύπτει : = 3.4t (7.53) που σηµαίνει ότι για n = και µεγάλο m, ισχυρή κάµψη κατά την περιφερειακή διεύθυνση κυριαρχεί, ενώ για µεγάλο m και n και η κάµψη αλλά και η στρέψη θα είναι σηµαντικές. Η παραπάνω διαπίστωση είναι αυτή που κατά βάση περιορίζει την εφαρµοστικότητα της παραπάνω λύσης, καθόσον σπάνια η φόρτιση εκφράζεται µε βάση ένα ζεύγος m και n. Συνήθως η φόρτιση µπορεί να εκφραστεί ως διπλή σειρά Fourier ως εξής: P = P m mncos( φ ) cos (7.54) m= 0n= 0 Pφ = P m φmn sin( φ ) sin (7.55) m= φ n= φ
0 Pr = P m rmncos( φ ) sin (7.56) m= 0n= Στην περίπτωση αυτή η λύση µπορεί να βρεθεί µε τη µορφή διπλής σειράς Fourier ως εξής: u = u m mn cos( φ ) cos (7.57) m= 0n= 0 υ = υ φ mn sin( m ) sin (7.58) m= n= w= w m mn cos( φ ) sin (7.59) m= 0n= για µεγάλους λόγους t/ το απαιτούµενο πλήθος όρων είναι σχετικά µικρό. Τούτο όµως δεν συµβαίνει για µικρά πάχη όπου οι µεµβρανικές δυνάµεις συγκλίνουν σχετικά γρήγορα, ενώ οι καµπτικές ροπές και τέµνουσες δυνάµεις απαιτούν πολύ µεγάλο πλήθος όρων. Μία πιο αποδοτική πορεία είναι να συνδυάσει κανείς τη µεµβρανική λύση µε οµογενείς λύσεις µε δράσεις στα άκρα. Κυκλικό Κυλινδρικό Κέλυφος Με Φορτία Επιβαλλόµενα Στα Άκρα Το κλειστό κυκλικό κυλινδρικό κέλυφος πρέπει να έχει περιοδικές λύσεις ως προς φ µε περίοδο π. Με βάση τις εξισώσεις ισορροπίας οι κυκλικοί όροι συνδυάζονται ως εξής:
( ) cos ( φ ), υ υ ( ) sin ( φ), ( ) cos( φ) u = u m = m w= w m m m m m= 0 m= m= 0 (7.60) Καθόσον το φορτίο ασκείται στα άκρα η ενδιάµεση φόρτιση είναι µηδενική. Αντικαθιστώντας τα u, υ, w στις εξισώσεις, προκύπτουν οµογενείς εξισώσεις συλλέγοντας κοινούς όρους των τριγωνοµετρικών παραγόντων, οι οποίοι λόγω γραµµικής ανεξαρτησίας θα πρέπει να είναι µηδέν. Έτσι, Καθορίζεται για κάθε m, ένα σύστηµα τριών συζευγµένων κανονικών διαφορικών εξισώσεων: v + v um m um + mυ m + vwm v v κ mum + wm + mwm = 0 (7.6) + v v mum m υm + υm mwm + 3 3 v + κ ( v) υm + mwm = 0 v 3v vum + mυm + wm + κ m um um mυm + IV 4 ( wm m wm m wm m wm wm) + κ + + = 0 (7.6) (7.63) Οι διαφορικές εξισώσεις έχουν σταθερούς συντελεστές και επιδέχονται εκθετικές λύσεις της µορφής: λ λ λ m m m u = Ae, υ = Be, w = Ce (7.64) Αντικαθιστώντας στις διαφορικές εξισώσεις και βγάζοντας κοινό παράγοντα το e λ προκύπτει από το µηδενισµό των συντελεστών των οµογενών εξισώσεων το παρακάτω οµογενές σύστηµα αλγεβρικών εξισώσεων:
v + v 3 v λ m ( + κ) λm vλ κ λ + λm A + v v 3 3v λm λ + m ( v) κλ m κλ m B 0 = C 3 v 3v 4 4 vλ κ λ + λm m κλ m + κ ( λ λ m + m m + ) (7.65) Οι µη µηδενικές λύσεις του οµογενούς συστήµατος προκύπτουν για τιµές του λ που µηδενίζουν την ορίζουσα των συντελεστών του παρακάτω συστήµατος, δηλαδή: v ( m v) m ( m ) 8 6 4 λ λ + + 6 λ ( ) ( ) λ ( ) 4 4 m m 4 v m + v + m m = 0 (7.66) που είναι τετάρτου βαθµού ως προς τέσσερα ζεύγη συζυγών µιγαδικών αριθµών ως εξής: λ. Οι οκτώ ρίζες της παραπάνω εξίσωσης είναι λ = κ + iµ λ =+ κ + iµ 5 λ =κ iµ λ =+ κ iµ 6 λ = κ + iµ λ =+ κ + iµ 3 7 λ =κ iµ λ =+ κ iµ 4 8 (7.67) Η οµογενής λύση περιλαµβάνει και τις οκτώ µερικές λύσεις και είναι: m ( ) ( 3 4 ) ( 5 6 ) ( 7 8 ) κ iµ iµ u = e Ae + A e + κ iµ iµ + e Ae + A e + κ iµ iµ + e A e + A e + κ iµ iµ + e A e + Ae (7.68)
m 3 ( ) ( 3 4 ) ( 5 6 ) ( 7 8 ) κ iµ iµ υ = e Be + B e + m κ iµ iµ + e B e + B e + κ iµ iµ + e B e + B e + κ iµ iµ + e B e + B e ( ) ( 3 4 ) ( 5 6 ) ( 7 8 ) κ iµ iµ w = e Ce + C e + κ iµ iµ + e C e + C e + κ iµ iµ + e C e + C e + κ iµ iµ + e C e + C e (7.69) (7.70) Οι συντελεστές A j, B j, C j για j =,..,8 αποτελούν ιδιοδιανύσµατα του οµογενούς συστήµατος για κάθε λ j, κατά συνέπεια από τις 4 σταθερές µόνο οι οκτώ (8) είναι ανεξάρτητες και προσδιοριστέες από τις συνοριακές συνθήκες.