Προσοµοιώσεις Monte Carlo Κβαντικού Βαθµωτού Πεδίου στο Πλέγµα

Προσοµοιώσεις Monte Carlo Κβαντικού Βαθµωτού Πεδίου στο Πλέγµα Χρίστος Σταθόπουλος Επιβλέπων: Κωνσταντίνος Αναγνωστόπουλος.Π.Μ.Σ. Φυσική και τεχνολογικές εφαρµογές Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο - ΕΚΕΦΕ ηµόκριτος Αθήνα, Μάρτιος 2016

1 Κίνητρο QCD Το πρόβληµα του Προσήµου 2 οκιµαστικό µοντέλο: Σχετικιστικό αέριο Bose. Στατιστική για κβαντικά συστήµατα υναµική του Πεδίου Ολοκλήρωµα διαδροµής Ευκλείδεια ράση για το Αέριο Bose ιακριτοποίηση της ράσης στο Πλέγµα 3 Αριθµητικές Προσοµοιώσεις ειγµατοληψία Re-weighting Markov Chain Monte Carlo Metropolis Παρατηρήσιµες Ποσότητες Περίοδος Θέρµανσης Αυτοσυσχετίσεις Αποτελέσµατα προσοµοίωσης Phase Quenched Model Ανακατασκευή Πλήρους Μοντέλου 4 Περίληψη & Συµπεράσµατα

QCD 1 Κίνητρο QCD Το πρόβληµα του Προσήµου 2 οκιµαστικό µοντέλο: Σχετικιστικό αέριο Bose. Στατιστική για κβαντικά συστήµατα υναµική του Πεδίου Ολοκλήρωµα διαδροµής Ευκλείδεια ράση για το Αέριο Bose ιακριτοποίηση της ράσης στο Πλέγµα 3 Αριθµητικές Προσοµοιώσεις ειγµατοληψία Re-weighting Markov Chain Monte Carlo Metropolis Παρατηρήσιµες Ποσότητες Περίοδος Θέρµανσης Αυτοσυσχετίσεις Αποτελέσµατα προσοµοίωσης Phase Quenched Model Ανακατασκευή Πλήρους Μοντέλου 4 Περίληψη & Συµπεράσµατα

QCD Χώρος τον ϕάσεων µή πλήρως καθορισµένος Τυπικές µέθοδοι Lattice Monte Carlo όχι άµεσα εφαρµόσιµες. Εφαρµόσιµες µόνο σε χαµηλή πυκνότητα ή υψηλές ϑερµοκρασίες.

Το πρόβληµα του Προσήµου 1 Κίνητρο QCD Το πρόβληµα του Προσήµου 2 οκιµαστικό µοντέλο: Σχετικιστικό αέριο Bose. Στατιστική για κβαντικά συστήµατα υναµική του Πεδίου Ολοκλήρωµα διαδροµής Ευκλείδεια ράση για το Αέριο Bose ιακριτοποίηση της ράσης στο Πλέγµα 3 Αριθµητικές Προσοµοιώσεις ειγµατοληψία Re-weighting Markov Chain Monte Carlo Metropolis Παρατηρήσιµες Ποσότητες Περίοδος Θέρµανσης Αυτοσυσχετίσεις Αποτελέσµατα προσοµοίωσης Phase Quenched Model Ανακατασκευή Πλήρους Μοντέλου 4 Περίληψη & Συµπεράσµατα

Το πρόβληµα του Προσήµου Πρόβληµα του προσήµου Τυπικές µέθοδοι Lattice Monte Carlo απαιτούν ερµηνία των παραγόντων e S ως ϐαρών πιθανότητας για καταστάσεις του κβαντικού πεδίου. Τι συµβαίνει όταν S C;

Στατιστική για κβαντικά συστήµατα 1 Κίνητρο QCD Το πρόβληµα του Προσήµου 2 οκιµαστικό µοντέλο: Σχετικιστικό αέριο Bose. Στατιστική για κβαντικά συστήµατα υναµική του Πεδίου Ολοκλήρωµα διαδροµής Ευκλείδεια ράση για το Αέριο Bose ιακριτοποίηση της ράσης στο Πλέγµα 3 Αριθµητικές Προσοµοιώσεις ειγµατοληψία Re-weighting Markov Chain Monte Carlo Metropolis Παρατηρήσιµες Ποσότητες Περίοδος Θέρµανσης Αυτοσυσχετίσεις Αποτελέσµατα προσοµοίωσης Phase Quenched Model Ανακατασκευή Πλήρους Μοντέλου 4 Περίληψη & Συµπεράσµατα

Στατιστική για κβαντικά συστήµατα Μεγαλοκανονική Κατανοµή (µvt) Μεταβαλόµενη Ενέργεια και Αριθµός Σωµατιδίων Σταθερή Θερµοκρασία T = β 1 και χηµικό δυναµικό µ Πίνακας πυκνότητας: ˆρ = e β(ĥ µ ˆN) Ĥ Χαµιλτονιανός τελεστής ˆN Τελεστής αριθµού σωµατιδίων Συνάρτηση Επιµερισµού Z = Tr ˆρ = a e β(ĥ µ ˆN) a a Παρατηρήσιµες ποσότητες Από παραγώγηση της Συνάρτησης Επιµερισµού.

υναµική του Πεδίου 1 Κίνητρο QCD Το πρόβληµα του Προσήµου 2 οκιµαστικό µοντέλο: Σχετικιστικό αέριο Bose. Στατιστική για κβαντικά συστήµατα υναµική του Πεδίου Ολοκλήρωµα διαδροµής Ευκλείδεια ράση για το Αέριο Bose ιακριτοποίηση της ράσης στο Πλέγµα 3 Αριθµητικές Προσοµοιώσεις ειγµατοληψία Re-weighting Markov Chain Monte Carlo Metropolis Παρατηρήσιµες Ποσότητες Περίοδος Θέρµανσης Αυτοσυσχετίσεις Αποτελέσµατα προσοµοίωσης Phase Quenched Model Ανακατασκευή Πλήρους Μοντέλου 4 Περίληψη & Συµπεράσµατα

υναµική του Πεδίου Μιγαδικό Βαθµωτό Πεδίο φ = (φ 1 + iφ 2 )/ 2, φ 1, φ 2 R Λαγκρανζιανή Πυκνότητα L = ν φ ν φ m 2 φ φ λ(φ φ) 2 U(1) συµµετρία Θεώρηµα Noether j ν = i(φ ν φ φ ν φ ) Αριθµός Σωµατιδίων N = d 3 xj 0 (x) = d 3 xi[φ t φ φ( t φ) ] Χαµιλτονιανή Πυκνότητα µέσω µετασχηµατισµού Legendre Χαµιλτονιανή H = d 3 xh H = t φ t φ+ φ φ+m 2 φ φ+λ(φ φ) 2

Ολοκλήρωµα διαδροµής 1 Κίνητρο QCD Το πρόβληµα του Προσήµου 2 οκιµαστικό µοντέλο: Σχετικιστικό αέριο Bose. Στατιστική για κβαντικά συστήµατα υναµική του Πεδίου Ολοκλήρωµα διαδροµής Ευκλείδεια ράση για το Αέριο Bose ιακριτοποίηση της ράσης στο Πλέγµα 3 Αριθµητικές Προσοµοιώσεις ειγµατοληψία Re-weighting Markov Chain Monte Carlo Metropolis Παρατηρήσιµες Ποσότητες Περίοδος Θέρµανσης Αυτοσυσχετίσεις Αποτελέσµατα προσοµοίωσης Phase Quenched Model Ανακατασκευή Πλήρους Μοντέλου 4 Περίληψη & Συµπεράσµατα

Ολοκλήρωµα διαδροµής Συνάρτηση Επιµερισµού Z = Tr ˆρ = a a e β(ĥ µ ˆN) a Πεδίο φ και Συζυγείς ορµές π = φ t Ολοκλήρωµα διαδροµής Πλάτη Μετάβασης φ a e iht f φ a = φ(x,tf )=φ a (x) [dπ] φ(x,0)=φ a (x) [dφ] [ ] e i t f 0 dt d 3 φ(x,t) x π(x,t) H(π,φ) t Χρησιµοποιώντας ως χαµιλτονιανή την H(π, φ) H =H(π, φ) µn (π, φ) και ορίζοντας β = it f µεταφερόµαστε στον µιγαδικό χρόνο τ = it (Ευκλείδειος Χωρόχρονος) Z = [dπ] [dφ] β 0 e dτ d 3 x periodic [ i φ(x,τ) τ ] π(x,τ) H(π,φ)+µN(π,φ)

Ευκλείδεια ράση για το Αέριο Bose 1 Κίνητρο QCD Το πρόβληµα του Προσήµου 2 οκιµαστικό µοντέλο: Σχετικιστικό αέριο Bose. Στατιστική για κβαντικά συστήµατα υναµική του Πεδίου Ολοκλήρωµα διαδροµής Ευκλείδεια ράση για το Αέριο Bose ιακριτοποίηση της ράσης στο Πλέγµα 3 Αριθµητικές Προσοµοιώσεις ειγµατοληψία Re-weighting Markov Chain Monte Carlo Metropolis Παρατηρήσιµες Ποσότητες Περίοδος Θέρµανσης Αυτοσυσχετίσεις Αποτελέσµατα προσοµοίωσης Phase Quenched Model Ανακατασκευή Πλήρους Μοντέλου 4 Περίληψη & Συµπεράσµατα

Ευκλείδεια ράση για το Αέριο Bose Ολοκληρώνοντας τις ορµές παίρνουµε την Συνάρτηση Επιµερισµού Z = Dφe S E[φ] periodic µε την Ευκλείδεια δράση β S E = 0 dτ d 3 xl E L E = ν φ ν φ+ ( m 2 µ 2) φ φ+µ(φ τ φ φ τ φ )+λ(φ φ) 2 Εκτίµητής Παρατηρήσιµης Ποσότητας periodic O = DφO[φ] e S E[φ] Dφ periodic e S E[φ] Βάρη κάθε κατάστασης ρ[φ] = e S E[φ] C

ιακριτοποίηση της ράσης στο Πλέγµα 1 Κίνητρο QCD Το πρόβληµα του Προσήµου 2 οκιµαστικό µοντέλο: Σχετικιστικό αέριο Bose. Στατιστική για κβαντικά συστήµατα υναµική του Πεδίου Ολοκλήρωµα διαδροµής Ευκλείδεια ράση για το Αέριο Bose ιακριτοποίηση της ράσης στο Πλέγµα 3 Αριθµητικές Προσοµοιώσεις ειγµατοληψία Re-weighting Markov Chain Monte Carlo Metropolis Παρατηρήσιµες Ποσότητες Περίοδος Θέρµανσης Αυτοσυσχετίσεις Αποτελέσµατα προσοµοίωσης Phase Quenched Model Ανακατασκευή Πλήρους Μοντέλου 4 Περίληψη & Συµπεράσµατα

ιακριτοποίηση της ράσης στο Πλέγµα Για να κάνουµε αριθµητικούς υπολογισµούς µε τον παράγοντα e S E[φ] S E = d 4 xl E L E = ν φ ν φ+ ( m 2 µ 2) φ φ+µ(φ τ φ φ τ φ )+λ(φ φ) 2 διακριτοποιούµε την δράση σε 4-D χωροχρονικό Πλέγµα! x ν n ν a, n ν Z φ(x) φ x d 4 x a 4 N lat x ν φ(x) 1 a [φ x+a ˆν φ x ] N lat = L 4

ιακριτοποίηση της ράσης στο Πλέγµα Μετά από ανακλιµάκωση για τα φ, m, µ, λ για να παραµείνει η ράση αδιάστατη, για a 0, η S E = d 4 xl E L E = ν φ ν φ+ ( m 2 µ 2) φ φ+µ(φ τ φ φ τ φ )+λ(φ φ) 2 γίνεται [ (8+m S E = ) 2 φ x φ x + λ(φ x φ x) 2 x 4 ν=1 ( φ x+ ˆν eµδ ν,4 φ x + φ x e µδ ν,4 φ x+ ˆν ) ]

ειγµατοληψία 1 Κίνητρο QCD Το πρόβληµα του Προσήµου 2 οκιµαστικό µοντέλο: Σχετικιστικό αέριο Bose. Στατιστική για κβαντικά συστήµατα υναµική του Πεδίου Ολοκλήρωµα διαδροµής Ευκλείδεια ράση για το Αέριο Bose ιακριτοποίηση της ράσης στο Πλέγµα 3 Αριθµητικές Προσοµοιώσεις ειγµατοληψία Re-weighting Markov Chain Monte Carlo Metropolis Παρατηρήσιµες Ποσότητες Περίοδος Θέρµανσης Αυτοσυσχετίσεις Αποτελέσµατα προσοµοίωσης Phase Quenched Model Ανακατασκευή Πλήρους Μοντέλου 4 Περίληψη & Συµπεράσµατα

ειγµατοληψία Εκτιµητής παρατηρήσιµης ποσότητας O = DφO[φ] e S E [φ] Dφ e S E [φ] {φ i}o[φ i ] e S E[φ i ] {φi} e S E[φ i ] Αθροισµα σε όλες τις πιθανές διατάξεις φ i του πεδίου µε περιοδικές οριακές συνθήκες Αν ένα σύνολο καταστάσεων πεδίου {φ 1,...,φ i,... φ M } από µία PDF e S[φ i] R τότε ( ) O M i=1o[φ i ] e S[φ 1 i] e S[φ i ] i=1( M e S[φ i ] ) 1 e S[φ i ] αν όµως e S E[φ i ] C, τι γίνεται; = 1 M M i=1 O[φ i ]

Re-weighting 1 Κίνητρο QCD Το πρόβληµα του Προσήµου 2 οκιµαστικό µοντέλο: Σχετικιστικό αέριο Bose. Στατιστική για κβαντικά συστήµατα υναµική του Πεδίου Ολοκλήρωµα διαδροµής Ευκλείδεια ράση για το Αέριο Bose ιακριτοποίηση της ράσης στο Πλέγµα 3 Αριθµητικές Προσοµοιώσεις ειγµατοληψία Re-weighting Markov Chain Monte Carlo Metropolis Παρατηρήσιµες Ποσότητες Περίοδος Θέρµανσης Αυτοσυσχετίσεις Αποτελέσµατα προσοµοίωσης Phase Quenched Model Ανακατασκευή Πλήρους Μοντέλου 4 Περίληψη & Συµπεράσµατα

Re-weighting Phase quenched model O = {φ i}o[φ i ] e S E[φ i ] {φi} e S E[φ i ] ( ) = {φ i} O[φ i ] e ii{s E[φ i ]} e R{S E[φ i ]} ( e ii{s E [φ i ]} ) e R{S E[φ i ]} {φi} Βάρη πιθανότητας ρ pq = e R{S E[φ i ]} > 0 Importance Sampling: Για σύνολο M καταστάσεων {φ 1,...,φ i,... φ M } από PDF e R{S E[φ i ]} ( ) O full M i=1o[φ i ] e R{S 1 E[φ i ]} e S E [φ i ] i=1( M e R{S E [φ i ]} ) 1 e S E [φ i ] = M i=1o[φ i ] e ii{s E[φ i ]} M i=1 e ii{s E[φ i ]} O full O eiθ i pq e iθ i pq, θ i = I{S E [φ i ]}

Markov Chain Monte Carlo 1 Κίνητρο QCD Το πρόβληµα του Προσήµου 2 οκιµαστικό µοντέλο: Σχετικιστικό αέριο Bose. Στατιστική για κβαντικά συστήµατα υναµική του Πεδίου Ολοκλήρωµα διαδροµής Ευκλείδεια ράση για το Αέριο Bose ιακριτοποίηση της ράσης στο Πλέγµα 3 Αριθµητικές Προσοµοιώσεις ειγµατοληψία Re-weighting Markov Chain Monte Carlo Metropolis Παρατηρήσιµες Ποσότητες Περίοδος Θέρµανσης Αυτοσυσχετίσεις Αποτελέσµατα προσοµοίωσης Phase Quenched Model Ανακατασκευή Πλήρους Μοντέλου 4 Περίληψη & Συµπεράσµατα

Markov Chain Monte Carlo Για να κατασκευάσουµε αποδοτικά ένα σύνολο καταστάσεων {φ 1,...,φ i,... φ M } από PDF e R{S E[φ i ]} χρησιµοποιούµε Μαρκοβιανή Αλυσίδα φ 1 φ 2... φ i... φ M Μπορεί να δειχθεί οτι αν η πιθανότητα µετάβασης από µία κατάσταση φ i σε µία φ j, P(φ i φ j ) ικανοποιεί την Συνθήκη Λεπτοµερούς Ισορροπίας e R{S E[φ i ]} P(φi φ j ) = e R{S E[φ j ]} P(φj φ i ) τότε µετά από µια περίοδο ϑέρµανσης η M.C. ακολουθεί κατανοµή e R{S E[φ i ]} Σπάµε την πιθανότητα µετάβασης σε P(φ i φ j ) = g(φ i φ j )A(φ i φ j ) g(φ i φ j ) πιθανότητα επιλογής από ένα σύνολο πιθανόν νέων καταστάσεων A(φ i φ j ) πιθανότητα αποδοχής της επιλεχθείσας κατάστασης

Metropolis 1 Κίνητρο QCD Το πρόβληµα του Προσήµου 2 οκιµαστικό µοντέλο: Σχετικιστικό αέριο Bose. Στατιστική για κβαντικά συστήµατα υναµική του Πεδίου Ολοκλήρωµα διαδροµής Ευκλείδεια ράση για το Αέριο Bose ιακριτοποίηση της ράσης στο Πλέγµα 3 Αριθµητικές Προσοµοιώσεις ειγµατοληψία Re-weighting Markov Chain Monte Carlo Metropolis Παρατηρήσιµες Ποσότητες Περίοδος Θέρµανσης Αυτοσυσχετίσεις Αποτελέσµατα προσοµοίωσης Phase Quenched Model Ανακατασκευή Πλήρους Μοντέλου 4 Περίληψη & Συµπεράσµατα

Metropolis Αλγόριθµος Metropolis Επιλέγουµε τυχαία ένα σηµείο x στο πλέγµα και αλλάζουµε το πεδίο σε φ(x) φ(x)±δφ Ισχύει g(φ i φ j ) = g(φ j φ i ) Επειτα αποφασίζουµε αν ϑα αποδεχθούµε ή όχι την φ j ως νέα κατάσταση µε πιθανότητα { e R{S E[φ j] S E[φ i]} if R{S E [φ j ] S E [φ i ]} > 0 A(φ i φ j ) = 1 if R{S E [φ j ] S E [φ i ]} 0 Αυτό ικανοποιεί την συνθήκη λεπτοµερούς ισορροπίας. Ετσι κατασκευάζουµε την Μαρκοβιανή Αλυσίδα φ 1 φ 2... φ i... φ M Προφανώς υπάρχει συσχέτιση ανάµεσα σε διαδοχικές καταστάσεις. Χρειάζεται να περάσουν κάποια ϐήµατα µεχρι να έχουµε ασυσχέτιστο δείγµα.

Παρατηρήσιµες Ποσότητες 1 Κίνητρο QCD Το πρόβληµα του Προσήµου 2 οκιµαστικό µοντέλο: Σχετικιστικό αέριο Bose. Στατιστική για κβαντικά συστήµατα υναµική του Πεδίου Ολοκλήρωµα διαδροµής Ευκλείδεια ράση για το Αέριο Bose ιακριτοποίηση της ράσης στο Πλέγµα 3 Αριθµητικές Προσοµοιώσεις ειγµατοληψία Re-weighting Markov Chain Monte Carlo Metropolis Παρατηρήσιµες Ποσότητες Περίοδος Θέρµανσης Αυτοσυσχετίσεις Αποτελέσµατα προσοµοίωσης Phase Quenched Model Ανακατασκευή Πλήρους Μοντέλου 4 Περίληψη & Συµπεράσµατα

Παρατηρήσιµες Ποσότητες Παρατηρήσιµες Ποσότητες: Μέσο πλάτος πεδίου στο τετράγωνο φ 2 = 1 Ω Μέση πυκνότητα σωµατιδίων n = 1 lnz 1 Ω µ = lnz m 2 = N lat x Phase quenched model 1 φ 2 pq = 1 n pq = N lat x 1 N lat x (φ x φ x) ( ) φx+ˆ4e µ φ x φ x e µ φ x+ˆ4 N lat x (φ x φ x) pq ( φ x+ˆ4e µ φ x φ x e µ φ x+ˆ4 ) pq

Περίοδος Θέρµανσης 1 Κίνητρο QCD Το πρόβληµα του Προσήµου 2 οκιµαστικό µοντέλο: Σχετικιστικό αέριο Bose. Στατιστική για κβαντικά συστήµατα υναµική του Πεδίου Ολοκλήρωµα διαδροµής Ευκλείδεια ράση για το Αέριο Bose ιακριτοποίηση της ράσης στο Πλέγµα 3 Αριθµητικές Προσοµοιώσεις ειγµατοληψία Re-weighting Markov Chain Monte Carlo Metropolis Παρατηρήσιµες Ποσότητες Περίοδος Θέρµανσης Αυτοσυσχετίσεις Αποτελέσµατα προσοµοίωσης Phase Quenched Model Ανακατασκευή Πλήρους Μοντέλου 4 Περίληψη & Συµπεράσµατα

Περίοδος Θέρµανσης Απαιτείται µια περίοδος ϑέρµανσης για το σύστηµα να έρθει σε ισορροπία. L = 4, m = λ = 1 L = 8, m = λ = 1 1.4 1.4 1.2 1.2 Φ 2 pq 1 0.8 0.6 Φ 2 pq 1 0.8 0.6 0.4 0.4 0.2 0 0 500 1000 1500 2000 tmc (sweeps) µ = 0.2 µ = 1.125 µ = 1.7 0.2 0 0 500 1000 1500 2000 tmc (sweeps) µ = 0.2 µ = 1.125 µ = 1.7 8 7 6 6 R{ n pq} 4 2 R{ n pq} 5 4 3 2 0-2 0 500 1000 1500 2000 tmc (sweeps) µ = 0.2 µ = 1.125 µ = 1.7 1 0 0 500 1000 1500 2000 tmc (sweeps) µ = 0.2 µ = 1.125 µ = 1.7

Αυτοσυσχετίσεις 1 Κίνητρο QCD Το πρόβληµα του Προσήµου 2 οκιµαστικό µοντέλο: Σχετικιστικό αέριο Bose. Στατιστική για κβαντικά συστήµατα υναµική του Πεδίου Ολοκλήρωµα διαδροµής Ευκλείδεια ράση για το Αέριο Bose ιακριτοποίηση της ράσης στο Πλέγµα 3 Αριθµητικές Προσοµοιώσεις ειγµατοληψία Re-weighting Markov Chain Monte Carlo Metropolis Παρατηρήσιµες Ποσότητες Περίοδος Θέρµανσης Αυτοσυσχετίσεις Αποτελέσµατα προσοµοίωσης Phase Quenched Model Ανακατασκευή Πλήρους Μοντέλου 4 Περίληψη & Συµπεράσµατα

Αυτοσυσχετίσεις Αυτοσυσχετίσεις ιαδοχικές καταστάσεις διαφέρουν µόνο σε µία πλεγµατική ϑέση. Στην καλύτερη περίπτωση ασυσχέτιστη κατάσταση µετά από N lat καταστάσεις (1 Metropolis sweep). Συνάρτηση Αυτοσυσχέτισης ρ O (t) = (O(t ) O )(O(t + t) O ) t (O O 2 ) Μειώνεται εκθετικά ρ O (t) e t/τ O Χρόνος αυτοσυσχέτισης τ O Πρακτικά έχουµε n O = t max 2τ ανεξάρτητες µετρήσεις O Σφάλµατα (δo) 2 ( 1 n O 1 O 2 O 2), t < t max t

Αυτοσυσχετίσεις Συναρτήσεις Αυτοσυσχέτισης ρ Φ 2 pq (t) L = 4, m = λ = 1 L = 8, m = λ = 1 1 1 0.8 0.8 0.6 0.6 ρ Φ 2 pq 0.4 ρ Φ 2 pq 0.4 0.2 0.2 0-0.2 0 100 200 300 400 500 tmc (sweeps) µ = 0 µ = 1.125 µ = 1.7 0-0.2 0 100 200 300 400 500 600 700 tmc (sweeps) µ = 0 µ = 1.125 µ = 1.7 1 1 0.8 0.8 0.6 0.6 ρnpq 0.4 ρnpq 0.4 0.2 0.2 0-0.2 0 100 200 300 400 500 tmc (sweeps) µ = 0 µ = 1.125 µ = 1.7 0-0.2 0 100 200 300 400 500 600 700 tmc (sweeps) µ = 0 µ = 1.125 µ = 1.7

Αποτελέσµατα προσοµοίωσης 1 Κίνητρο QCD Το πρόβληµα του Προσήµου 2 οκιµαστικό µοντέλο: Σχετικιστικό αέριο Bose. Στατιστική για κβαντικά συστήµατα υναµική του Πεδίου Ολοκλήρωµα διαδροµής Ευκλείδεια ράση για το Αέριο Bose ιακριτοποίηση της ράσης στο Πλέγµα 3 Αριθµητικές Προσοµοιώσεις ειγµατοληψία Re-weighting Markov Chain Monte Carlo Metropolis Παρατηρήσιµες Ποσότητες Περίοδος Θέρµανσης Αυτοσυσχετίσεις Αποτελέσµατα προσοµοίωσης Phase Quenched Model Ανακατασκευή Πλήρους Μοντέλου 4 Περίληψη & Συµπεράσµατα

Αποτελέσµατα προσοµοίωσης Χαρακτηριστικά προσοµοίωσης Μάζα πεδίου: m = 1 Σταθερά αλληλεπίδρασης λ = 1 L = 4 και L = 8 Χρόνος προσοµοίωσης t mc = 10K sweeps. 0 µ 1.7

Αποτελέσµατα προσοµοίωσης Αποτελέσµατα προσοµοίωσης για το Phase Quenched Model. Μέσο πλάτος πεδίου στο τετράγωνο: φ 2 pq 1.4 L = 4 pq L = 8 pq 1.2 Φ 2 pq 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.5 1 1.5 µ

Αποτελέσµατα προσοµοίωσης Μέση πυκνότητα σωµατιδίων: R{ n pq } 7 6 L = 4 pq L = 8 pq R{ n pq} 5 4 3 2 1 0 0 0.5 1 1.5 µ Πέρασµα από χαµηλή πυκνότητα σε υψηλή πυκνότητα στην περιοχή µ critical 1.15

Αποτελέσµατα προσοµοίωσης Μέσος παράγοντας ϕάσης (πραγµατικό µέρος): R { e iθ pq } 1 L = 4 pq L = 8 pq 0.8 } R { e iθ pq 0.6 0.4 0.2 0-0.2 0 0.5 1 1.5 µ Μεγαλύτερος όγκος πλέγµατος L 4 εκθετική µείωση

Αποτελέσµατα προσοµοίωσης Ανακατασκευή Πλήρους Θεωρίας Μέσο πλάτος πεδίου στο τετράγωνο: [ ] φ 2 φ 2 e iθ 1 pq = N lat x (φ x φ x) e ii{s E[φ]} pq = full e iθ pq e ii{s E [φ]} pq Μέση πυκνότητα σωµατιδίων: ne iθ [ )] 1 pq n full = N lat x (φ x+ˆ4e µ φ x φ x e µ φ x+ˆ4 e ii{s E[φ]} pq = e iθ pq e ii{s E [φ]} pq Οσο το e iθ γίνεται µικρότερο Πρόβληµα επικάλυψης. pq ΑνO και e iθ ασυσχέτιστα, τότε O full = Oe iθ pq e iθ pq O pq e iθ pq e iθ O pq pq

Αποτελέσµατα προσοµοίωσης Προσοµοίωση για χρόνο t mc = 10K Metropolis sweeps, σε 10 bins. Μέση πυκνότητα σωµατιδίων: R{ n full } 8 6 L = 4 pq L = 8 pq L = 4 full L = 8 full R{ n full} 4 2 0-2 0 0.5 1 1.5 µ Πιθανή µετάβαση ϕάσης για µ critical 1.15 στο ϑερµοδυναµικό όριο.

Αποτελέσµατα προσοµοίωσης Προσοµοίωση για χρόνο t mc = 10K Metropolis sweeps, σε 10 bins. Μέση πυκνότητα σωµατιδίων: R{ n full } R{ n full} 0.4 0.3 0.2 L = 4 pq L = 8 pq L = 4 full L = 8 full L = 4 full Aarts L = 8 full Aarts 0.1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 µ n και e iθ συσχετισµένα Silver Blaze region µε O full = O pq Μεγαλύτερος όγκος πλέγµατος L 4 Μεγαλύτερο πρόβληµα Επικάλυψης

Αποτελέσµατα προσοµοίωσης Εκτεταµένη προσοµοίωση για χρόνο t mc = 20M Metropolis sweeps, σε 10 bins. Μέση πυκνότητα σωµατιδίων: R{ n full } R{ n full} 0.4 0.3 0.2 L = 4 pq L = 8 pq L = 4 full L = 8 full L = 4 full Aarts L = 8 full Aarts 0.1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 µ Μεγαλύτερο στατιστικό δείγµα Ευρύτερη Silver Blaze περιοχή Για L = 8 Χρειαζόµαστε πολύ µεγαλύτερο στατιστικό δείγµα.

είξαµε οτι το Σχετικιστικό Αέριο Bose σε Χηµικό υναµικό είναι κατάλληλο για την µελέτη του προβλήµατος της Μιγαδικής ράσης. Χρησιµοποιήσαµε αλγόριθµους MCMC - Metropolis και την διαδικασία Reweighting για την µελέτη του PQ Model. Υπήρξε καλή συµφωνία µε άλλες µεθόδους για το PQ Model. Επιχειρήσαµε την ανακατασκευή του Πλήρους Μοντέλου. Παρατηρήσαµε το ϕαινόµενο Silver Blaze, στην περιοχή υπο-κρίσιµου χηµικού δυναµικού. Καταλήξαµε οτι το Reweighting απαιτεί πολύ µεγάλο στατιστικό δείγµα για να προσεγγίσουµε τα αποτελέσµατα για µεγάλους όγκους πλέγµατος.

Appendix Για περαιτέρω ανάγνωση Επιλεγµένες δηµοσιεύσεις I [1, 2, 3, 6, 7, 8, 4, 5] Gert Aarts. Can stochastic quantization evade the sign problem? the relativistic bose gas at finite chemical potential. Phys. Rev. Lett., 102:131601, 2009. Gert Aarts. Developments in lattice quantum chromodynamics for matter at high temperature and density. Pramana, 84(5):787--799, 2015. Gert Aarts. Introductory lectures on lattice qcd at nonzero baryon number. 2015. Anthony J. G Aitchison, Ian J. R.; Hey. Gauge Theories in Particle Physics : From Relativistic Quantum Mechanics to QED, Fourth Edition. CRC Press, 4th ed edition, 2012.

Appendix Για περαιτέρω ανάγνωση Επιλεγµένες δηµοσιεύσεις II Konstantinos N Anagnostopoulos. Computational Physics, Vol I: A Practical Introduction to Computational Physics and Scientific Computing, volume 1. Konstantinos Anagnostopoulos, 2014. Philippe de Forcrand. Simulating qcd at finite density. PoS, LAT2009:010, 2009. Christof Gattringer and Thomas Kloiber. Lattice study of the silver blaze phenomenon for a charged scalar φ 4 field. Nucl. Phys., B869:56--73, 2013. Joseph I. Kapusta and Charles Gale. Finite-Temperature Field Theory. Cambridge University Press, second edition, 2006. Cambridge Books Online.