Δώδεκα Αποδείξεις του Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας
Mία εκδοχή της αρχικής απόδειξης του Gauss f ( z) = T ( z) + iu ( z) T = r cos φ + Ar 1 cos(( 1) φ + α) + + L cosλ U = r si φ + Ar 1 si(( 1) φ + α) + + Lsi λ
φ = ( θ + 2k (2θ )) = (4k π + 1) 4 φ = ( θ + (2k + 1) (2θ )) π = (4k + 3) 4 P2 k +1 P 2k P 1 θ θ P P4 1 Θ = 2θ = θ = π 4 π 2 cos( φ) = ( 1) k 1 2 T ( r, φ) k cos( φ ) = ( 1) +1 1 2 T ( r, φ )
R : r > R ( 1) k T r 2 Ar 1 L > ( 1) k+ 1 T r 2 Ar 1 L > τουλάχιστον 2 ρίζες f (z) ζ = ta(φ / 2) T p 2 = ( ) 2 2 ζ (1 + ζ ( ζ ) ) p βαθμού 2
2 ρίζες Q ϑ, Q1,, Q2 1, ϑ1,, ϑ2 1 η περιφέρεια ενός κύκλου r > R θα αποτελείται από τόξα, εντός των οποίων το αρνητικές τιμές T λαμβάνει εναλλακτικώς θετικές και P2 k +1 P 2k P 1 P Q P4 1
Λήμμα 2.2: Το p(z) λαμβάνει ελάχιστη τιμή σε κάποιο z Λήμμα 2.3 : Αν p(z) μη σταθερό τότε p( z ) = 1η απόδειξη Το ελάχιστο επί ενός συμπαγούς συνόλου θα βρίσκεται στο εσωτερικό του Αρχή Ελαχίστου p(z) Το είναι σταθερό σε κάποια ανοικτή περιοχή Άτοπο 4η απόδειξη
κοινό βήμα p(z) f ( z) = δεν έχει ρίζες στο 1 p( z) αναλυτική στο 2η απόδειξη 3η απόδειξη 5η απόδειξη 12η απόδειξη Θ.Cauchy - Goursat + Λήμμα της Αύξησης Ολοκληρωτικός Τύπος Cauchy Θ.Liouville Τύπος του Ito + Iδιότητες Κίνησης Βrow φράσσουμε την f και καταλήγουμε σε άτοπο
Το Θεώρημα Liouville: (1) Εάν η f (z) είναι μια ακέραια συνάρτηση και η f ( z) z φραγμένη για όλες τις τιμές του, τότε η f (z) είναι σταθερή. ( ) (2) Γενικότερα, εάν η f ( z) είναι φραγμένη σε όλο το, τότε η f (z) είναι πολυώνυμο βαθμού + 1.
5η Απόδειξη του Θ.Θ.Α. P( z) z a, όταν z = ε a 2 > > P( z) a z 2 r : ( z : z > r) ( a < ) r 2 a < P( z)
1 f ( z) = αναλυτική στο P( z) Για z > r f ( z) = 1 P( z) < r 2 a Για z r f συνεχής στο f f (z) φραγμένη στο K φραγμένη στο K K = { z : z r} = { z : z r} = { z : z r} f (z) φραγμένη στο Θ. Liouville f σταθερή
Θεώρημα 4.1: Κάθε πραγματικό πολυώνυμο περιττού βαθμού έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. Λήμμα 4.11: Κάθε μιγαδικό πολυώνυμο δευτέρου βαθμού διαθέτει μία μιγαδική ρίζα. Λήμμα 4.12: Εάν ισχύει ότι κάθε μη σταθερό πραγματικό πολυώνυμο έχει μία μιγαδική ρίζα, τότε ισχύει και ότι κάθε μη σταθερό μιγαδικό πολυώνυμο έχει μία μιγαδική ρίζα.
Λήμμα 4.13: Κάθε μη σταθερό πραγματικό πολυώνυμο έχει μία μιγαδική ρίζα Απόδειξη : Με επαγωγή ως προς τον βαθμό του f ( x ) = a + a x + + a x [x] 1
E Ορισμός 4.59: Ένα σώμα λέγεται επέκταση ενός σώματος F E αν το είναι υπόσωμα του. F F E (Συμβολ. ) Θεώρημα(Κroecker) : Έστω ένα σώμα και f (x) ένα μη σταθερό F[x] πολυώνυμο στον. F Τότε υπάρχει μια επέκταση σώματος του και κάποιο f ( α ) = τέτοιο, ώστε. E F α E
α αλγεβρικό πάνω από το F α E αν f f ( α ) = ( x) F[ x] για κάποιο μη μηδενικό ( υπερβατικό ) F F[x]! ανάγωγο πολυώνυμο p( x) F[ x] τέτοιο ώστε p( α ) = irr( α, F ) deg( α, F) Συμβολίζουμε = deg( irr( α, F))
E απλή επέκταση του F E = F(α ) : το μικρότερο σώμα που περιέχει το F α E και το α ( αλγεβρικό ή υπερβατικό F πάνω από το ) Κάθε στοιχείο β E = F(α ) γράφεται μονοσήμαντα στη μορφή β = b + b α + + 1 b 1 α 1 : b i F όπου, = deg( α, F) [ E : F ] = ο βαθμός του E ως διανυσματικός χώρος πάνω από το F
[ E : F] = ο βαθμός του E ως διανυσματικός χώρος πάνω από το F Αν F E K ισχύει : [ K : F] = [ K : E][ E : F]
E αλγεβρική επέκταση του F αν κάθε στοιχείο του είναι αλγεβρικό πάνω από το F αλγεβρική θήκη του F στο E F E = { α E το α είναι αλγεβρικό πάνω από το F } F Ένα σώμα λέγεται αλγεβρικά κλειστό αν F[x] κάθε μη σταθερό πολυώνυμο στον έχει μία ρίζα στο. F.
Ένα σώμα E F λέγεται το σώμα ριζών του { f i ( x) i I} πάνω από τοf αν το E είναι και όλες τις ρίζες στην Σώμα Ριζών που περιέχει το F καθενός από τα f i ( x), i I το μικρότερο υπόσωμα τηςf F Για E σώμα ριζών F[x] Κάθε ανάγωγο πολυώνυμο στον που έχει μία ρίζα στο E αναλύεται σε γινόμενο πρώτων παραγόντων στο E[x]
G( E F) : ομάδα αυτομορφισμών του E που αφήνουν το F σταθερό ομάδα αυτομορφισμών του E { E : F} : τo πλήθος των ισομορφισμών του E επί ενός υποσώματος της F που αφήνουν το F σταθερό Αν F E K ισχύει : { K : F} = { K : E}{ E : F}
α, β E συζυγή πάνω από το F αν irr( α, F) = irr( β, F) Θεώρημα F (α ) ψ Ισομορφισμός που αφήνει το σταθερό F F ψ ( α ) = β, όπου β συζυγές του α πάνω από το F β συζυγές του πάνω από το α F! ψ : F (α ) ψ Ισομορφισμός που αφήνει το F σταθερό F και ψ ( α ) = β
Μία πεπερασμένη επέκταση του λέγεται διαχωρίσιμη επέκταση του αν [ E : F] = { E : F} E F F α F F F (α ) διαχωρίσιμο πάνω από το αν διαχωρίσιμη επέκταση του { F( α ) : F} = [ F( α ) : F] F F(α ) Το πλήθος των ισομορφισμών του επί ενός υποσώματος της F F F που αφήνουν το σταθερό deg( α, F) Το πλήθος των συζυγών στοιχείων του α πάνω από το F
α Άρα, το είναι διαχωρίσιμο πάνω από το F όλες οι ρίζες του irr( α, F) έχουν πολλαπλότητα 1 Θεώρημα : Κάθε πεπερασμένη διαχωρίσιμη επέκταση ενός σώματος είναι απλή επέκταση
Ένα σώμα λέγεται τέλειο αν κάθε πεπερασμένη επέκτασή του είναι διαχωρίσιμη επέκταση. Θεώρημα 5.29: Κάθε σώμα χαρακτηριστικής μηδέν είναι τέλειο. : a = a + a + + a = a F π.χ., Πόρισμα 5.33: Κάθε πεπερασμένη επέκταση ενός σώματος χαρακτηριστικής μηδέν είναι απλή επέκταση
Ορισμός 5.34: Μία πεπερασμένη επέκταση του λέγεται πεπερασμένη κανονική επέκταση του αν το είναι διαχωρίσιμο σώμα ριζών πάνω από το. F K K F F
G( K F ): ομάδα αυτομορφισμών του K που αφήνουν το F σταθερό ομάδα αυτομορφισμών του E Αν K πεπερασμένη κανονική επέκταση του F, G ( K F) : ομάδα Galois του K πάνω από το F
Το Βασικό Θεώρημα της Θεωρίας Galois K κανονική επέκταση ενός σώματος F E K F [ K : E] = G( K E) [ E : F] = ( G( K F) : G( K : E))
Τα Θεωρήματα Sylow G p-ομάδα : κάθε στοιχείο της G έχει τάξη κάποια δύναμη του πρώτου αριθμού p 1ο Θεώρημα Sylow : G G ομάδα p m =, ( p, m) = 1 1 } Η G περιέχει μια υποομάδα τάξης i p 1 i
7η Απόδειξη του Θ.Θ.Α. Το σώμα των μιγαδικών αριθμών είναι αλγεβρικά κλειστό σώμα. Έστω K m K ] 2 q [ : = ( 2, q) = 1 K ( τέλειο K διαχωρίσιμη K απλή = α)
m = irr( α,) = q K = m > Βασικό Θεώρημα της Θεωρίας Galois G(K ) = [ K : ] m = 2 q 1ο Θ.Sylow G( K E) G(K : ) τ.ω. G( K E) = 2 m Τότε για το ενδιάμεσο σώμα E έχουμε : [ K : E] = 2 [ : E ] = q m q = 1 E =
G( K )= [K : ] = 2 m [: ]=2 [K : 1 ] = 2 m 1ο Θ.Sylow G( K E) G(K : ) τ.ω. G( K E) 2 = 2 m Τότε για το ενδιάμεσο σώμα E έχουμε : [ K : E] 2 = 2 m [ E : ] = 2 E = (α ) deg irr( α, ) = 2 άτοπο K =
Aλγεβρική Τοπολογία Θεωρία Ομοτοπίας 9η απόδειξη Θεωρία Ομολογίας 1η απόδειξη 11η απόδειξη
δρόμος σε έναν τοπολογικό χώρο είναι μία συνεχής απεικόνιση X α :[,1] X Ένας βρόχος βασισμένος στο x X είναι ένας δρόμος α με α( ) = α(1) = x, δηλαδή ένας δρόμος με αρχικό και τελικό σημείο το. x f g βρόχοι βασισμένοι στο x f g( x) f (2x) = g(2x 1),, t 1/ 2 1/ 2 t 1
Θεωρία Ομοτοπίας X, Y τοπολογικοί χώροι f : X Y g X Y : συνεχείς f ομοτοπική της g f g όταν H X I Y : συνεχής τ.ω. H ( x,) = f ( x) H ( x,1) = g( x) x X σχέση ισοδυναμίας ομοτοπία [ f ] : κλάση ομοτοπίας της f
X, Y τ.χ. ομοτοπικοί f : X Y g : X Y, συνεχείς τ.ω. g f id : X X f g id : Y Y συσταλτός τ.χ. ομοτοπικός με ένα σημείο
π ( X, x ) 1 θεμελιώδης ομάδα του X που βασίζεται στο x ( Το σύνολο των κλάσεων ομοτοπίας των, με πράξη την ) βρόχων που βασίζονται στο x X [ f ][ g] = [ f g]
Θεώρημα : Φ : π ( 1 1 S ) ισομορφισμός [ ω ] ω ( s) = (cos 2π s, si 2π s) βρόχος με βάση το (1,)
9η απόδειξη του Θ.Θ.Α. f r ( s) p( re p( re 2π is 2π is ) / ) / p( r) = ομοτοπία βρόχων βασισμένων στο (1,) p( r) f ο τετριμμένος βρόχος π ( 1 ) [ ] = 1 S f r
Για z = r > max{ a 1 ++ a, 1 } 1 z a z + + a 1 1 p t ( z) = z + t( a1z + + a ) z = r t 1
f r ( s) = p( re p( re 2π is 2π is ) / ) / p( r) p( r) p p t p p t t ( re ( re 2π is 2π is ) / ) / p p t t ( r) ( r) t = t = 1 ω (s) (s) ομοτοπία [ r f r ω ] = [ f ] = =
Θεωρία Ομολογίας v, v, 1, v k E παράγουν ένα υπερεπίπεδο είναι σε γενική θέση : κάθε υποσύνολό τους παράγει ένα μικρότερο υπερεπίπεδο v 1 v v2 v,,, v v γραμμικά k ανεξάρτητα k -διάστατο μονόπλοκο : το μικρότερο κυρτό σύνολο που τα περιέχει
προσανατολισμένο k-διάστατο μονόπλοκο π.χ. προσανατολισμένο 3-διάστατο μονόπλοκο
v v 1 v q προσανατολισμένο q- μονόπλοκο i στή έδρα i =,, q είναι το προσανατολισμένο (q 1) μονόπλοκο : ( 1) i v v1 v i v q απαλοιφή του σημείου vi
σύνορο του προσανατολισμένου μονοπλόκου q q v v v 1 π.χ. = = q i q i i q v v v v v v 1 ) 1 ( ) ( 1 1 ) ( v v v v = ) ( = v 1 2 2 1 2 1 ) ( v v v v v v v v v + =
Μία πεπερασμένη συλλογή προσανατολισμένων μονοπλόκων σε κάποιον Ευκλείδιο χώρο αν ισχύει ότι : E ονομάζεται μονοπλεκτικό σύμπλεγμα όταν ένα μονόπλοκο ανήκει στη συλλογή αυτή τότε και κάθε του έδρα ανήκει σ αυτή τη συλλογή όταν δύο μονόπλοκα έχουν μή κενή τομή, τέμνονται σε μία κοινή έδρα.
Μία τριγωνοποίηση ενός τοπολογικού χώρου K αποτελείται από ένα μονοπλεκτικό σύμπλεγμα και έναν ομοιομορφισμό. X h : K X π.χ. τριγωνοποίηση του τόρου
X μονοπλεκτικό σύμπλεγμα τ.ω. : σε κάθε διάσταση υπάρχουν μόνο πεπερασμένου πλήθους q μονόπλοκα q Η ελεύθερη αβελιανή ομάδα με βάση τα μονόπλοκα στο X C (X ) διάστατη ομάδα αλυσίδων ο ομομορφισμός που προκύπτει με επέκταση του συνοριακού τελεστή επί των μονοπλόκων : C ( X ) C 1( X ) συνοριακός ομομορφισμός
: C ( X ) C 1( X ) ker Z (X ) διάστατη ομάδα κυκλημάτων Im +1 B (X ) διάστατη ομάδα συνόρων Z ( X ) / B ( X ) := H (X ) διάστατη ομάδα ομολογίας
Λήμμα : Η σύνθεση C 1 + 1 + C C 1 είναι ο μηδενικός ομομορφισμός
C 1 + 1 + C C 1 Z = ker B = Im +1 Z / B = H
Θεώρημα της ιδιότητας του αναλλοιώτου : Έστω X τ.χ. με μία τριγωνοποίηση. Οι ομάδες ομολογιών που καθορίζονται από αυτήν την συγκεκριμένη τριγωνοποίηση είναι ισόμορφες με τις αντίστοιχες ομάδες που καθορίζονται από οποιαδήποτε άλλη τριγωνοποίηση του X
Θεώρημα 7.29: Έστω X,Y τ.χ. με τριγωνοποιήσεις * h : X Y συνεχής επάγεται h : H ( X ) H ( Y ) ομομορφισμός h : X Y ομοιομορφισμός επάγεται * h : H ( X ) H ( Y ) ισομορφισμός + X, Y ομοτοπικοί οι ομολογικές τους ομάδες είναι ισόμορφες
Θεώρημα : X H ( ) = Έστω συσταλτός χώρος X H ( X ) = Απόδειξη : X συσταλτός χώρος X ομοτοπικός ενός σημείου H ( v) = Z ( v) / B ( v) Η ομολογία ενός συσταλτού χώρου ταυτίζεται Με την ομολογία ενός σημείου
Θεώρημα 7.31: X Έστω μονοπλεκτικό σύμπλεγμα με συνεκτικές συνιστώσες. H ( X ) = μία ελεύθερη αβελιανή ομάδα τάξης Απόδειξη : Σε κάθε συνιστώσα του κάθε κορυφή v, v1,, v k X v Z X ) = ker ( ) Έστω οι κορυφές μιας συνιστώσας v k = v k + ( v1 v ) + + ( vk v 1) ( X B + ( X ) = Im 1( X )
Κάθε κορυφή της συνιστώσας ανήκει στο ίδιο σύμπλοκο της Z ( ) ως προς την B ( X ) X H ( X ) = Z ( X ) / B ( X ) ελεύθερη αβελιανή ομάδα τάξης ένα, που έχει ως βάση μία και μόνον κορυφή Τα ίδια ισχύουν και για κάθε άλλη συνεκτική συνιστώσα.
Θεώρημα 7.32: X Εάν το είναι ένα δρομοσυνεκτικό μονοπλεκτικό σύμπλεγμα, τότε:. H X ) = ( X ) 1( π 1 ab
Παράδειγμα Τριγωνοποίηση της σφαίρας S 2 2 S συνεκτική H ( S 2 ) = 2 2 H1 ( S ) = π 1( S ) = H 2 ( S 2 ) = H ( ) =, 2 S
Θεώρημα 7.33: Έστω S 1 H ( S ) = H ( S ) = H q ( S ) = q
Βαθμός Brouwer f : S Σ επάγει * f : H ( ) ( S H Σ ) συνεχής < α > < β > ομομορφισμός f * ( α) = mβ m βαθμός Brouwer m = deg f
Λήμμα 7.34: Ο βαθμός μιας απεικόνισης δεν εξαρτάται από τις μονοπλεκτικές αναλύσεις των S και Σ Λήμμα 7.35: δύο ομοτοπικές απεικονίσεις έχουν τον ίδιο βαθμό f : S Σ g : S Σ αν δύο συνεχείς απεικονίσεις f : S Σ g : S Σ έχουν τον ίδιο βαθμό είναι ομοτοπικές f : S Σ deg( ) f f Θεώρημα 7.36: Αν συνεχής, με η είναι επί
Λήμμα 7.38: Η P ( z ) = a + a z + + 1 a z είναι ομοτοπική της f ( z) = z (Aπόδειξη : 1 H ( z, t) = z + (1 t)( a + a z + + a z ) ) 1 1 Λήμμα 7.39: Ο βαθμός Brouwer της f ( z) = z ισούται με Επομένως, για τα μιγαδικά πολυώνυμα, ο βαθμός Brouwer και ο πολυωνυμικός βαθμός ταυτίζονται.
1η απόδειξη του Θ.Θ.Α. Λήμμα 7.38 P(z) ομοτοπική της f ( z) = z Λήμμα 7.39 deg( P( z)) = Θεώρημα 7.36 Κάθε σημείο της S 2 ανήκει στην εικόνα του P(z) 2 z S : P( z ) = στερεογραφική προβολή z