Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΔΚΠΑΙΓΔΥΣΗ ΩΣ ΣΥΜΒΟΛΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΚΑΙ ΤΟΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟ (Οκηιία γηα ηελ ηειεηή απνλνκήο ηνπ βξαβείνπ Ξαλζόπνπινπ Πλεπκαηηθνύ 11-12-2009) Δπραξηζηώ ζεξκά ηελ επηηξνπή γηα ηελ ηδηαίηεξα κεγάιε ηηκή, πνπ κνπ έθαλε κε ην λα κε επηιέμεη γηα απηό ην βξαβείν. Αηζζάλνκαη όκσο θαη ηδηαίηεξε ζπγθίλεζε, γηαηί εδεζα από αξθεηά θνληά ηα ηξαγηθά γεγνλόηα, πνπ ζπλέβεζαλ ζην Παλεπηζηήκηό καο πξηλ 19 ρξόληα. Η νκηιία κνπ αθνξά ηε καζεκαηηθή εθπαίδεπζε δηαθόξσλ κνξθώλ: καζεκαηηθή εθπαίδεπζε ζηα πιαίζηα ηεο εγθύθιηαο παηδείαο, παλεπηζηεκηαθή εθπαίδεπζε ησλ καζεκαηηθώλ, εθπαίδεπζε άιισλ επηζηεκόλσλ ζηα Μαζεκαηηθά. ηόρνο θάζε εθπαίδεπζεο δελ πξέπεη λα είλαη ε ζπζζώξεπζε γλώζεσλ, αιιά ε θαηαλόεζε ελλνηώλ, ζρέζεσλ, θαηλνκέλσλ θαη ε απόθηεζε δεμηνηήησλ. ην πιαίζην απηό ζα αλαθεξζώ ζηνπο θύξηνπο θαηά ηε γλώκε κνπ ζηόρνπο ηεο καζεκαηηθήο εθπαίδεπζεο. Έλαο από απηνύο είλαη ε ηθαλόηεηα ρεηξηζκνύ ησλ πνζνηήησλ. Οη πνζόηεηεο εθθξάδνληαη κε αξηζκνύο. Ννκίδσ όηη δελ ρξεηάδεηαη λα επηρεηξεκαηνινγήζσ γηα ηνλ θεληξηθό ξόιν, πνπ παίδνπλ νη αξηζκνί ζηελ θαζεκεξηλή δσή, ζηελ επηζηήκε, ζηελ ηερλνινγία, αιιά θαη ζηελ ηέρλε θαη ηελ θηινζνθία. Αο ζπκεζνύκε ην ζηίρν ηνπ Αηζρύινπ από ηελ ηξαγσδία Πξνκεζεύο δεζκώηεο, εθεί πνπ ν Πξνκεζέαο θαξθσκέλνο ζην βξάρν απαξηζκεί ηα αγαζά πνπ έρεη ραξίζεη ζηνπο αλζξώπνπο. ε έλα ζεκείν αλαθέξεη: θαη κελ αξηζκόλ, έμνρνλ ζνθηζκάησλ, εμεύξνλ απηνίο γξακκάησλ ηε ζπλζέζεηο. (ε κεηάθξαζε Γξππάξε: Κη εγώ ηνλ αξηζκό, ηελ πην ηξαλή ζνθία, θαη ησλ γξακκάησλ ηα ζπλζέκαηα ηνπο βξήθα.) Η ηθαλόηεηα ρεηξηζκνύ ησλ αξηζκώλ, πνπ πξέπεη λα απνθηήζεη ν καζεηήο ή ν θνηηεηήο, έρεη δύν ζπληζηώζεο: ηελ ηθαλόηεηα ππνινγηζκώλ κε αξηζκνύο, αιιά θαη ηελ ηθαλόηεηα δηαηύπσζεο ελόο πξνβιήκαηνο ζηε γιώζζα ησλ αξηζκώλ. Απηό ην ηειεπηαίν έρεη δηάθνξα επίπεδα πνιππινθόηεηαο. Δθηείλεηαη από ηελ αληηκεηώπηζε πξνβιεκάησλ πξαθηηθήο αξηζκεηηθήο, πνπ καζαίλεη θαλείο ζην ζρνιείν, κέρξη π.ρ. ηελ πεξηγξαθή ελόο ζύλζεηνπ πξνβιήκαηνο θπζηθήο, βηνινγίαο ή νηθνλνκίαο κέζσ ελόο ζπζηήκαηνο δηαθνξηθώλ εμηζώζεσλ (δειαδή ελόο ζπζηήκαηνο ζρέζεσλ κεηαμύ ησλ δηαθόξσλ πνζνηήησλ, πνπ ππεηζέξρνληαη ζε έλα πξόβιεκα, θαη ησλ ξπζκώλ, κε ηνπο νπνίνπο απηέο κεηαβάιινληαη). Αο κνπ επηηξαπεί λα αλαθέξσ όηη θαηά ηε γλώκε κνπ ζηα Σκήκαηα Μαζεκαηηθώλ ηεο ρώξαο καο ε εθπαίδεπζε ησλ θνηηεηώλ καο ζε απηό ην ζέκα, ζηε καζεκαηηθή κνληεινπνίεζε, ζπλήζσο δελ είλαη επαξθήο. Θα πξέπεη λα εληζρπζεί ώζηε νη απόθνηηνί καο λα είλαη απνδνηηθόηεξνη ζηελ εθαξκνγή ησλ καζεκαηηθώλ ηνπο γλώζεσλ θαηά ηελ επαγγεικαηηθή ηνπο ελαζρόιεζε. Αο δνύκε όκσο ηη είλαη νη αξηζκνί. Θα πξνζπαζήζσ λα δείμσ θάπνηεο πιεπξέο ηεο ζεκαζίαο ησλ αξηζκώλ, ε νπνία δελ είλαη κόλν ρξεζηηθή, αιιά θαη αηζζεηηθή θαη θηινζνθηθή. Τπάξρνπλ δηάθνξεο θαηεγνξίεο αξηζκώλ. Καη' αξρήλ νη ιεγόκελνη θπζηθνί αξηζκνί, νη 1, 2, 3 θ.ι.π. Με απηνύο κεηξάκε ην πιήζνο ησλ ζηνηρείσλ ελόο ζπλόινπ, πνπ κπνξεί λα είλαη ην πιήζνο ησλ αηόκσλ ζε απηή ηελ αίζνπζα (έλαο ηξηςήθηνο αξηζκόο) ή ην πιήζνο ησλ άζηξσλ ηνπ γαιαμία καο (πεξίπνπ 100 δηζεθαηνκκύξηα). Τπάξρνπλ όκσο θαη άιινη αξηζκνί. (Γελ ζα κηιήζσ γηα ηνπο αξλεηηθνύο.) Τπάξρνπλ π.ρ. ηα θιάζκαηα, νπσο 1/3 ή 12/5. Τπάξρνπλ όκσο θαη αξηζκνί πνπ δελ κπνξνύλ λα γξαθνύλ σο θιάζκαηα κε αθέξαηνπο όξνπο. Απνδεηθλύεηαη π. ρ. όηη ν αξηζκόο δελ κπνξεί λα γξαθεί σο θιάζκα. Τπάξρνπλ όκσο θαη πνιππινθόηεξνη αξηζκνί. Γηα λα βξνύκε ην κήθνο ηεο πεξηθέξεηαο ελόο θύθινπ ή ην εκβαδόλ ηνπ ρξεζηκνπνηνύκε ηνλ αξηζκό π. Ο αξηζκόο απηόο δελ κπνξεί λα γξαθεί σο
θιάζκα, αιιά νύηε κε ρξήζε άιισλ πξάμεσλ επί αθεξαίσλ (όπσο π. ρ. σο ηεηξαγσληθή ξίδα αθεξαίνπ). Λέκε ζπλήζσο όηη ν αξηζκόο π είλαη ίζνο κε 3,14. Απηό όκσο είλαη κόλν κηα πξνζέγγηζε ηνπ π. Γηα λα δώζνπκε ηελ αθξηβή ηηκή ηνπ, ζα πξέπεη κεηά ηελ ππνδηαζηνιή λα γξάςνπκε άπεηξα δεθαδηθά ςεθία. Αλ ζηακαηήζνπκε θάπνπ, έρνπκε κηά πνιύ θαιή πξνζέγγηζε ηνπ π, αιιά όρη ηελ αθξηβή ηηκή ηνπ. Έρνπλ βξεζεί κε ρξήζε ππνινγηζηή έλα ηξηζεθαηνκκύξην ςεθία ηνπ π. Ο Νηθόιανο Υαηδεδαθεο, θαζεγεηεο ηνπ Παλεπηζηεκίνπ Αζελώλ ζηηο αξρέο ηνπ 20νύ αηώλα, είρε ζπληάμεη ην παξαθάησ θείκελν σο κλεκνληθό θαλόλα γηα ηα πξώηα 22 δεθαδηθά ςεθία ηνπ π: Αεί ν Θεόο ν κέγαο γεσκεηξεί ην θύθινπ κήθνο ίλα νξίζε δηακέηξσ, παξήγαγελ αξηζκόλ απέξαληνλ θαη νλ θεπ νπδέπνηε όινλ ζλεηνί ζα εύξσζη. Σν πιήζνο ησλ γξακκάησλ θάζε κηάο από ηηο ιέμεηο δίλεη δηαδνρηθά ηα ςεθία ηνπ π. Γελ έρεη ηδηαίηεξε ζεκαζία λα γλσξίδνπκε όζν ην δπλαηόλ πεξηζζόηεξα ςεθία ηνπ π. Πνιύ ελδηαθέξνλ είλαη όκσο ην γεγνλόο όηη ν αξηζκόο απηόο, ηνπ νπνίνπ δελ κπνξνύκε λα γξάςνπκε ηελ αθξηβή ηηκή, πεξηγξάθεη κηά αθξηβή ζρέζε κεηαμύ δύν γεσκεηξηθώλ κεγεζώλ, ηεο δηακέηξνπ θαη ηεο πεξηθέξεηαο ελόο θύθινπ. Πηό εληππσζηαθό είλαη όκσο ην εμήο: Ο αξηζκόο π εκθαλίδεηαη θαη ζε πνιιά άιια πξνβιήκαηα, πνπ θαηλνκεληθά δελ ζρεηίδνληαη κε ηνλ θύθιν. Π. ρ. είλαη γλσζηό ζε όζνπο αζρνινύληαη κε ηε ηαηηζηηθή όηη ην π ππεηζέξρεηαη ζηνλ ππνινγηζκό πηζαλνηήησλ, πνπ αθνξνύλ ηελ θαλνληθή θαηαλνκή. Οη θπζηθνί αξζκνί ινηπόλ είλαη πνιύ απινύζηεξνη από άιινπο αξηζκνύο. Θα κπνξνύζε θαλείο λα λνκίζεη όηη δελ ππάξρνπλ ελδηαθέξνληα πξνβιήκαηα ζρεηηθά κε ηνπο θπζηθνύο αξηζκνύο. Απηό δελ αιεζεύεη. Ο θιάδνο ησλ Μαζεκαηηθώλ, πνπ κειεηά ηνπο θπζηθνύο αξηζκνύο θαη έρεη ην όλνκα Θεσξία Αξηζκώλ, ραξαθηεξίδεηαη από ην γεγνλόο όηη έρεη πνιιά πξνβιήκαηα, πνιύ απιά ζηε δηαηύπσζή ηνπο, αιιά πνιύ δύζθνια ζηε ιύζε ηνπο. Θεσξώ όηη ε γλσξηκία κε ηέηνηα πξνβιήκαηα έρεη ηδηαίηεξε παηδεπηηθή αμία. Έλα δηάζεκν ηέηνην πξόβιεκα είλαη ην αλαθεξόκελν σο ηειεπηαίν ζεώξεκα ηνπ Fermat. Η δηαηύπσζή ηνπ κπνξεί λα γίλεη εύθνια θαηαλνεηή θαη από κε καζεκαηηθνύο. ύκθσλα κε ην Ππζαγόξεην ζεώξεκα ππάξρεη ε εμήο ζρέζε κεηαμύ ησλ πιεπξώλ ελόο νξζνγσλίνπ ηξηγώλνπ. Αλ πάξνπκε ηα κήθε ησλ δύν θαζέησλ πιεπξώλ, ηα πςώζνπκε ζην ηεηξάγσλν θαη πξνζζέζνπκε απηά ηα δύν ηεηξάγσλα, ην άζξνηζκα, πνπ βξίζθνπκε είλαη ίζν κε ην ηεηξάγσλν ηνπ κήθνπο ηεο ππνηείλνπζαο. Αλ π.ρ. ηα κήθε ησλ δύν θαζέησλ πιεπξώλ είλαη αληίζηνηρα 3 θαη 4, ην κήθνο ηεο ππνηείλνπζαο είλαη 5 ( 9+16 = 25). Γειαδε, νη θπζηθνί αξηζκνί 3, 4, 5 ηθαλνπνηνύλ ηε ζρέζε 3 2 + 4 2 = 5 2. Τπάξρνπλ άπεηξεο ηέηνηεο ηξηάδεο θπζηθώλ αξηζκώλ, νη νπνίεο νλνκάδνληαη Ππζαγόξεηεο ηξηάδεο. Σίζεηαη ην εμήο πξόβιεκα: Τπάξρνπλ ηξηάδεο θπζηθώλ αξηζκώλ, πνπ ηθαλνπνηνύλ κηά αλάινγε ζρέζε, ζηελ νπνία αληί ησλ ηεηξαγώλσλ εκθαλίδνληαη άιιεο δπλάκεηο; Π.ρ. ππάξρνπλ θπζηθνί αξηζκνί α, β, γ γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη α 3 + β 3 = γ 3 ; Ο Fermat, Γάιινο καζεκαηηθόο ηνπ 17νπ αηώλα, πίζηεςε όηη βξήθε κηα απόδεημε όηη απηό δελ γίλεηαη. εκείσζε ζην πεξηζώξην ελόο βηβιίνπ: Έρσ βξεη κηά πξαγκαηηθά ζαπκάζηα απόδεημε, αιιά απηό ην πεξηζώξην είλαη πνιύ κηθξό γηα λα ηε ρσξέζεη. Δπί 3,5 αηώλεο πνιινί καζεκαηηθνί πξνζπάζεζαλ λα απνδείμνπλ απηό, πνπ ν Fermat ηζρπξίζζεθε όηη απέδεημε, έσο ην 1994, νπόηε έλαο Βξεηαλόο καζεκαηηθόο, ν Andrew Wiles, έδσζε πξάγκαηη κηά απόδεημε. Σίζεηαη βέβαηα ην εξώηεκα: Γηαηί έρεη ζεκαζία λα μέξνπκε αλ ππάξρνπλ ηέηνηεο ηξηάδεο; Δδώ ζα κπνξνύζακε θαη' αξρελ λα δώζνπκε ηελ απάληεζε, πνπ έδσζε ν Δπθιείδεο ζε έλα καζεηή ηνπ, όπσο αλαθέξεηαη ζην Αλζνιόγηνλ ηνπ ηνβαίνπ. (Πξόθεηηαη γηα ζπγγξαθέα ηνπ 5νπ κ. Υ. αηώλα, πνπ ζπλέηαμε κηα ζπιινγή από 500 απνζπάζκαηα θηινζόθσλ θαη πνηεηώλ.) Παξαζέησ ην ζρεηηθό θείκελν ζε κεηάθξαζε: Κάπνηνο άξρηζε λα καζαίλεη γεσκεηξία κε ηνλ Δπθιείδε θαη, όηαλ έκαζε ην πξώην ζεώξεκα, ξώηεζε ηνλ Δπθιείδε: Ση θέξδηζα, πνπ ην έκαζα απηό; Καη ν Δπθιείδεο θάιεζε ην δνύιν θαη ηνπ είπε: Γώζε ηνπ έλα ηξηώβνινλ, αθνύ πξέπεη λα θεξδίδεη θάηη από απηά, πνπ καζαίλεη. Δίλαη πνιύ ζεκαληηθό ζηνηρείν θάζε εθπαίδεπζεο ε θαιιηέξγεηα ηεο εθηίκεζεο ηεο γλώζεο θαζ' εαπηήλ. Όκσο ε αμία ηεο απόδεημεο ηνπ ηειεπηαηνπ ζεσξήκαηνο ηνπ Fermat δελ έγθεηηαη κόλν ζην όηη έδσζε ηελ απάληεζε ζην εξώηεκα, πνπ είρε ηεζεί. Η έξεπλα, πνπ νδήγεζε ζηελ απόδεημε, έθεξε θαη ηελ αλάπηπμε ζεκαληηθόηαησλ ζεσξηώλ θαη εξγαιείσλ ζηε Θεσξία Αξηζκώλ.
Δίλαη εύθνιν (θαη από απηά πνπ είπακε εδώ) λα λνκίζεη θαλείο όηη ε Θεσξία Αξηζκώλ έρεη κόλν ζεσξεηηθό ελδηαθέξνλ εληόο ησλ Μαζεκαηηθώλ. Απηό δελ αιεζεύεη. Έρεη βξεη πνιιέο εθαξκνγέο, π.ρ. ζηελ Κξππηνγξαθία, ηνλ θιάδν πνπ αζρνιείηαη κε ηελ θξππηνγξάθεζε θαη ηελ απνθξππηνγξάθεζε δηαθόξσλ πιεξνθνξηώλ. Σν θίλεηξν γηα ηελ αλάπηπμε απηνύ ηνπ θιάδνπ, όπσο δπζηπρώο ζπκβαίλεη αξθεηέο θνξέο, έδσζαλ νη πόιεκνη. Αλαπηύρζεθε θπξίσο θαηά ην δεύηεξν παγθόζκην πόιεκν, πξνθεηκέλνπ νη εκπόιεκεο πιεπξέο λα απνθξππηνγξαθνύλ ηνπο κπζηηθνύο θώδηθεο ησλ αληηπάισλ ηνπο. εκαληηθή ζπκβνιή είρε ν πνιύ γλσζηόο θαη άηπρνο Alan Turing, Βξεηαλόο καζεκαηηθόο θαη κε θάπνηα έλλνηα παηέξαο ηεο Πιεξνθνξηθήο. ήκεξα ε θξππηνγξαθία είλαη απαξαίηεηε ζηελ θαζεκεξηλή καο δσή, αθνύ έρνπλ γεληθεπζεί ηόζν πνιύ νη απηνκαηνπνηεκέλεο δηαδηθαζίεο (π.ρ. ειεθηξνληθέο πιεξσκέο), νη νπνίεο απαηηνύλ αλεπηπγκέλα ζπζηήκαηα αζθαιείαο. Οη θπζηθνί αξηζκνί, όπσο είπακε, δίλνπλ ην πιήζνο ησλ ζηνηρείσλ ελόο ζπλόινπ. Αλ όκσο ξσηήζνπκε πνηό είλαη ην πιεζνο ησλ θπζηθώλ αξηζκώλ, ε απάληεζε βέβαηα είλαη: άπεηξν. Αλ ξσηήζνπκε πνηό είλαη ην πιεζνο ησλ ζεκείσλ κηάο επζείαο, ε απάληεζε βέβαηα είλαη πάιη: άπεηξν. Μπνξνύκε ινηπόλ λα πνύκε όηη, όζνη είλαη νη θπζηθνί αξηζκνί, ηόζα είλαη θαη ηα ζεκεία κηάο επζείαο; Ο Cantor, Γεξκαλόο καζεκαηηθόο ηνπ 19νπ αηώλα, αλέπηπμε κηα αξηζκεηηθή ησλ απείξσλ, δειαδή κηα ζεσξία, ζηελ νπνία ππάξρνπλ δηάθνξα άπεηξα θαη ζπγθξίλνληαη κεηαμύ ηνπο κε θπζηνινγηθό ηξόπν. (Γελ είλαη δπλαηόλ λα πνύκε εδώ πηό ζπγθεθξηκέλα πσο γίλεηαη απηό.) ύκθσλα κε ηε ζεσξία απηή ην πιήζνο ησλ θπζηθώλ αξηζκώλ εηλαη κηθξόηεξν από ην πιήζνο ησλ ζεκείσλ κηάο επζείαο, ην νπνίν όκσο είλαη ην ίδην κε ην πιήζνο ησλ ζεκείσλ ελόο επηπέδνπ. Η ζεσξία απηή είλαη ζεκαληηθή εληόο ησλ Μαζεκαηηθώλ, αιιά δελ έρεη εθαξκνγέο ζε άιινπο θιάδνπο. Θα αλαθέξσ όκσο θάηη ζρεηηθά κε απηή ηε ζεσξία, ην νπνίν ζεσξώ όηη έρεη κεγάιε θηινζνθηθή ζεκαζία. Σέζεθε ην εμήο εξώηεκα: Τπάξρεη ζύλνιν, ηνπ νπνίνπ ην πιήζνο είλαη κεγαιύηεξν από ην πιήζνο ησλ θπζηθώλ αξηζκώλ θαη κηθξόηεξν από ην πιήζνο ησλ ζεκείσλ κηάο επζείαο; Η απάληεζε δόζεθε από ηνλ Paul Cohen, Ακεξηθαλό καζεκαηηθό, ην 1963: Σν εξώηεκα απηό δελ κπνξεί λα απαληεζεί. Γελ είλαη δπλαηόλ λα απνδεηρζεί όηη ππάξρεη ηέηνην ζύλνιν, νύηε λα απνδεηρζεί όηη δελ ππάξρεη. Έλαο άιινο από ηνπο θύξηνπο ζηόρνπο ηεο καζεκαηηθήο εθπαίδεπζεο είλαη ε αληίιεςε ηνπ ρώξνπ. Ννκίδσ όηη έλα ζνβαξό κεηνλέθηεκα ηεο δηδαζθαιίαο ησλ Μαζεκαηηθώλ ζηε Μέζε Δθπαίδεπζε ζηε ρώξα καο (αιιά όρη κόλνλ) είλαη ε έιιεηςε επαξθνύο έκθαζεο ζηελ Δπθιείδεηα Γεσκεηξία. Ννκίδσ όηη δελ έρεη ηε ζέζε, πνπ ζα έπξεπε λα έρεη. Μηά ζνβαξή έιιεηςε ζε απηό ην πιαίζην είλαη όηη δηδάζθεηαη ειάρηζηα ε ζηεξενκεηξία, ε γεσκεηξία ηνπ ηξηδηάζηαηνπ ρώξνπ. Σα πξνβιήκαηα ηεο γεσκεηξίαο ηνπ επηπέδνπ είλαη επθνιόηεξν λα αληηκεησπηζζνύλ, αθνύ κπνξνύλ λα ζρεδηαζζνύλ ζην ραξηί. Γηα ηελ αληηκεηώπηζε ηξηδηάζηαησλ πξνβιεκάησλ ρξεηάδεηαη άζθεζε ηεο θαληαζίαο, ε νπνία δελ πξνζθέξεηαη επαξθώο ζηνπο λένπο καο. Έρσ δεη π.ρ. πόζε δπζθνιία έρνπλ θνηηεηέο καο λα δηαπηζηώζνπλ πνηό ζηεξεό ζρεκαηίδεηαη όηαλ έλα ηξίγσλν πεξηζηξαθεί γύξσ από κηά πιεπξά ηνπ. Γελ λνκίδσ όηη ρξεηάδεηαη λα αλαθεξζώ δηεμνδηθά ζηε ζεκαζία, πνπ έρεη ε ηθαλόηεηα αληίιεςεο ηνπ ρώξνπ ζε δηάθνξεο αλζξώπηλεο δξαζηεξηόηεηεο, όπσο ε ηερλνινγία ή νη εηθαζηηθέο ηέρλεο. Οη καζεκαηηθνί όκσο δελ πεξηνξίδνληαη ζηηο έλλνηεο, πνπ βξίζθνληαη άκεζα κέζα ζηηο εκπεηξίεο καο, αιιά επεθηείλνληαη πέξα από απηέο. Γεκηνπξγνύλ δηαλνεηηθά νηθνδνκήκαηα, γεληθόηεξα θαη πνιππινθόηεξα από απηά πνπ ζπλδένληαη άκεζα κε ηηο εκπεηξίεο καο. Απηά όκσο, ελώ θαίλνληαη εληειώο ζεσξεηηθά θαη αθεξεκέλα, έρνπλ ζπρλά ζπγθεθξηκέλεο εθαξκνγέο. Γελ πεξηνξίδνληαη ινηπόλ νη καζεκαηηθνί ζηε κειέηε ηνπ ηξηδηάζηαηνπ επθιείδεηνπ ρώξνπ. Μειεηνύλ π.ρ. γεληθόηεξνπο ρώξνπο, νη νπνίνη δελ πεξηγξάθνληαη κε επζείεο θαη επίπεδα, αιιά είλαη θαηά θάπνην ηξόπν θακππισκέλνη. Καη νη θπζηθνί βξίζθνπλ απηνύο ηνπο ρώξνπο σο ην θαηάιιειν κνληέιν γηα ηελ πεξηγξαθή ηνπ ζύκπαληνο ζηα πιαίζηα ηεο γεληθήο ζεσξίαο ηεο ζρεηηθόηεηαο.
Δπίζεο, νη καζεκαηηθνί δελ εμεηάδνπλ κόλνλ ρώξνπο 2, 3 ή 4 δηαζηάζεσλ, αιιά ρώξνπο νπνηαζδήπνηε δηάζηαζεο. Απηή ε κειέηε δελ έρεη κόλν ζεσξεηηθή ζεκαζία. Αιιά θαη πξαθηηθή. Όηαλ π.ρ. ζε έλα πξόβιεκα ππεηζέξρνληαη 10 παξάκεηξνη, ην πξόβιεκα κπνξεί λα αλαρζεί ζε έλα πξόβιεκα ζην ρώξν 10 δηαζηάζεσλ. Έλα εληππσζηαθό γεγνλόο είλαη ην όηη κεξηθέο θνξέο δηάθνξα γεσκεηξηθά πξνβιήκαηα ιύλνληαη επθνιόηεξα ζηηο κεγαιύηεξεο δηαζηάζεηο παξά ζηηο κηθξόηεξεο. 'Δλα δηάζεκν ηέηνην πξόβιεκα είλαη ε εηθαζία ηνπ Poincare (Γάιινο καζεκαηηθόο, πνπ έδεζε ζηα ηέιε ηνπ 19νπ θαη ηηο αξρέο ηνπ 20νπ αηώλα). Θα δώζσ κηά (όρη πνιύ αθξηβή) πεξηγξαθή απηνύ ηνπ πξνβιήκαηνο. Αο ζεσξήζνπκε έλα κπαιόλη, ην νπνίν λα είλαη αξθεηά ειαζηηθό, ώζηε λα κπνξνύκε λα ηνπ δίλνπκε δηάθνξα ζρήκαηα πηέδνληάο ην ή εθηείλνληάο ην ζε δηάθνξα ζεκεία. Σόηε, αλ απηό έρεη ηε κνξθή ζθαίξαο, ζα κπνξνύκε λα ηνπ δώζνπκε ηε κνξθή απγνύ ή, ιπγίδνληαο ην, λα ηνπ δώζνπκε ηε κνξθή κπαλάλαο. Αλ όκσο έρεη ηε κνξθή ζακπξέιιαο, δελ κπνξνύκε λα ην θέξνπκε ζε κνξθή κπάιαο παξά κόλνλ αλ ην θόςνπκε θάπνπ θαη ην θνιιήζνπκε εθ λένπ. Γύν κπαιόληα, ηέηνηα ώζηε λα κπνξνύκε λα θέξνπκε ην έλα ζηε κνξθή ηνπ άιινπ ρσξίο λα θόςνπκε ή λα θνιιήζνπκε, αο ηα ιέκε ηζνδύλακα. Η εηθαζία ηνπ Poincare αθνξά κηά ζπλζήθε, ε νπνία εμαζθαιίδεη όηη έλα κπαιόλη είλαη ηζνδύλακν κε κηά κπάια. Γηα ηα κπαιόληα, πνπ βιέπνπκε ζην ρώξν καο, δειαδή ηα δηδηάζηαηα κπαιόληα, ήηαλ γλσζηό από παιαηόηεξα όηη ε ζπλζήθε απηή είλαη πξάγκαηη ηθαλή γηα λα είλαη απηά ηζνδύλακα. Ο Poincare έζεζε ην 1904 ην εξώηεκα αλ ην αλάινγν ζπκπέξαζκα ηζρύεη γηα κεγαιύηεξεο δηαζηάζεηο, δειαδή γηα κπαιόληα δηάζηαζεο 3 (κέζα ζηνλ ηεηξαδηάζηαην ρώξν) ή κεγαιύηεξεο. Σν εξώηεκα απηό απαληήζεθε ζεηηθά, αιιά πξώηα γηα ηηο κεγαιύηεξεο δηαζηάζεηο θαη κεηά γηα ηηο κηθξόηεξεο. Από ην 1960 έσο ην 1985 δόζεθε απόδεημε δηαδνρηθά γηα δηαζηάζεηο 7, 5, 4. Η πεξίπησζε ησλ ηξηδηάζηαησλ κπαινληώλ αληηζηεθόηαλ κέρξη ην 2002, νπόηε δόζεθε απόδεημε από έλα Ρώζν καζεκαηηθό, ηνλ Grisha Perelman. Δίλαη ελδηαθέξνλ ην εμήο πεξηζηαηηθό ζρεηηθά κε απηό ην επίηεπγκα ηνπ Perelman. Όπσο είλαη γλσζηό, δελ ππάξρεη βξαβείν Nobel γηα ηα Μαζεκαηηθά. Μέγηζηε δηάθξηζε γηα ηελ έξεπλα ζηα Μαζεκαηηθά (ε κόλε κέρξη πξηλ κεξηθά ρξόληα, ηώξα έρεη πξνζηεζεί θαη ην βξαβείν Abel), είλαη ην κεηάιιην Fields, ην νπνίν απνλέκεηαη θάζε 4 ρξόληα ζε καζεκαηηθνύο θάησ ησλ 40 εηώλ. Σν 2006 πξνθάιεζε αίζζεζε ζηε δηεζλή καζεκαηηθή θνηλόηεηα ην εμήο γεγνλόο: Δπειέγε γηα ην βξαβείν απηό ν Perelman (γηα ηελ απόδεημε ηεο εηθαζίαο ηνπ Poincare) θαη ηξεηο άιινη καζεκαηηθνί. Ο Perelman δελ ην απεδέρζε, πξάγκα πνπ ζπλέβε γηα πξώηε θνξά ζηελ ηζηνξία ηνπ βξαβείνπ. Αλέθεξε ζε κηά δήισζή ηνπ: Σν βξαβείν δελ είρε θακκηά αμία γηα κέλα. Καζέλαο θαηαιαβαίλεη όηη, αλ ε απόδεημε πνπ έδσζα είλαη ζσζηή, δελ ρξεηάδεηαη θακκηά άιιε αλαγλώξηζε. 'Δλαο ηξίηνο ζηόρνο ηεο καζεκαηηθήο εθπαίδεπζεο είλαη ε άζθεζε ζηε ινγηθή ζπλεπαγσγή, ε θαιιηέξγεηα ηεο δεμηόηεηαο λα ζπλδπάδεη θαλείο δεδνκέλα, ηα νπνία γλσξίδεη, θαη κε ινγηθή ζθέςε λα θαηαιήγεη ζε λέα ζπκπεξάζκαηα. ηα Μαζεκαηηθά είλαη αλαγθαία απηή ε κέζνδνο γηαηί ηα καζεκαηηθά ζπκπεξάζκαηα δελ είλαη ζηαηηζηηθά ή πεηξακαηηθά δεδνκέλα, αιιά ηζρπξηζκνί γεληθνί θαη αθξηβείο. Όηαλ π.ρ. ηζρπξηδόκαζηε όηη ην άζξνηζκα ησλ γσληώλ θάζε ηξηγώλνπ είλαη 180 κνίξεο, δελ ελλννύκε όηη πήξακε έλα πνιύ κεγάιν αξηζκό ηξηγώλσλ, κεηξήζακε ηηο γσλίεο ηνπο, πξνζζέζακε ηα κέηξα ηνπο θαη βξήθακε πάληα άζξνηζκα 180. Αλ είρακε θάλεη θάηη ηέηνην, δελ ζα κπνξνύζακε λα είκαζηε βέβαηνη όηη δελ κπνξεί θάπνηνο λα ζρεδηάζεη έλα ηξίγσλν, ζην νπνίν απην λα κελ ηζρύεη. Ούηε ζα κπνξνύζακε λα είκαζηε βέβαηνη όηη ην απνηέιεζκα ησλ κεηξήζεώλ καο ήηαλ αθξηβώο 180 θαη όρη π.ρ. 179,99. Όηαλ ηζρπξηδόκαζηε ην παξαπάλσ, ελλννύκε όηη έρνπκε κηά ινγηθή απόδεημε όηη γηα θάζε ηξίγσλν ην άζξνηζκα ησλ γσληώλ είλαη αθξηβώο 180 κνίξεο. Η ηθαλόηεηα ηεο ινγηθήο ζπλεπαγσγήο θαίλεηαη ίζσο σο θάηη απηνλόεην, γηα ην νπνίν δελ ρξεηάδεηαη εθπαίδεπζε. Γελ αιεζεύεη όκσο απηό. Πξόθεηηαη βέβαηα γηα κηά έκθπηε ηθαλόηεηα ηνπ αλζξώπηλνπ κπαινύ. Υξεηάδεηαη όκσο θαιιηέξγεηα θαη εμάζθεζε. Η εκπεηξία δείρλεη όηη καζεηέο θαη θνηηεηέο έρνπλ ζπρλά κεγάιεο δπζθνιίεο ζηελ νξζή θαη απνηειεζκαηηθή ρξήζε ηεο. Δδώ είλαη άιιν έλα ζεκείν, ζην νπνίν γίλεηαη θαλεξό ην κεηνλέθηεκα ηεο έιιεηςεο έκθαζεο ζηε Δπθιείδεηα Γεσκεηξία ζηε κέζε εθπαίδεπζε. Καηά ηε γλώκε κνπ ε Δπθιείδεηα Γεσκεηξία έρεη ηε ζσζηή αλαινγία επνπηείαο θαη αθαίξεζεο πξνθεηκέλνπ έλα παηδί ηεο ειηθίαο ηνπ Λπθείνπ λα αζθεζεί
ζηελ ηέρλε ηεο ινγηθήο απόδεημεο. Φαλεξά ε δεμηόηεηα ζηε ινγηθή ζπλεπαγσγή έρεη κεγάιε ρξεζηκόηεηα ζηελ θαζεκεξηλή δσή θαη ζηηο δηάθνξεο αλζξώπηλεο δξαζηεξηόηεηεο. Αθνύ απηή θαιιηεξγείηαη κε ηελ εθπαίδεπζε ζηα Μαζεκαηηθά, λνκίδσ όηη ζα ήηαλ ρξήζηκν λα ζπκπεξηιακβάλεηαη ε δηδαζθαιία ησλ Μαζεκαηηθώλ θαη ζε άιια παλεπηζηεκηαθά πξνγξάκκαηα πέξαλ απηώλ, ζηα νπνία ήδε ππάξρεη, π.ρ. ζηα πξνγξάκκαηα Ννκηθήο, Φπρνινγίαο, Γισζζνινγίαο. Σειεηώλνληαο ζπλνςίδσ επηγξακκαηηθά ηνπο θαηά ηε γλώκε κνπ θύξηνπο ζηόρνπο ηεο καζεκαηηθήο εθπαίδεπζεο: Καηαλόεζε ησλ ελλνηώλ θαη ησλ καζεκαηηθώλ ζπκπεξαζκάησλ κε έκθαζε όρη κόλν ζηε ρξεζηηθή αμία ηνπο, αιιά θαη ζηελ αηζζεηηθή θαη θηινζνθηθή αμία ηνπο. ύλδεζε ησλ Μαζεκαηηθώλ κε ηηο άιιεο επηζηήκεο (όρη κόλνλ ζεηηθέο, επηζηήκεο ηνπ κεραληθνύ, νηθνλνκηθέο). Καιιηέξγεηα ηεο ινγηθήο ζθέςεο. Απηνί νη ζηόρνη δελ επηηπγράλνληαη κε παζεηηθή παξαθνινύζεζε δηδαζθαιίαο, αιιά κε ελεξγό ζπκκεηνρή θαη πξνζσπηθή άζθεζε. Αλέθεξα δηάθνξα ειιείκκαηα ζηε καζεκαηηθή εθπαίδεπζε ζηε ρώξα καο. Ννκίδσ όηη ρξεηάδεηαη βειηίσζε ζε όιεο ηηο βαζκίδεο ηεο εθπαίδεπζεο. Όκσο παξ' όια ηα ειιείκκαηα, κεηαμύ ησλ απνθνίησλ ησλ ειιεληθώλ παλεπηζηεκίσλ ππάξρεη έλαο αξηζκόο ιακπξώλ επηζηεκόλσλ, πνπ εμειίζζνληαη ζε ηδηαίηεξα αλεγλσξηζκέλνπο δηεζλώο εξεπλεηέο ζηα Μαζεκαηηθά. Σειεηώλσ κε ηελ επρή ε πνιηηεία λα παξέρεη ζηνπο λένπο εξεπλεηέο ηελ απαηηνύκελε ελίζρπζε, ώζηε λα παξακέλνπλ ζηε ρώξα καο, γηα ηελ νπνία απνηεινύλ ζεκαληηθόηαην θεθάιαην. νπδάλλα Παπαδνπνύινπ