HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 27/4/2017 Συνδυαστική Το υλικό των Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 1 2 Πείραμα Πείραμα:Οποιαδήποτε διαδικασίαπου μπορεί να οδηγήσει σε ένα αριθμό παρατηρήσιμων αποτελεσμάτων. Ένα σύνθετοπείραμα που μπορεί να θεωρηθεί ως η σύνθεση επιμέρους απλούστερων πειραμάτων Συνδυαστική: Η μελέτη στρατηγικών προκειμένου να μπορούμε να εκτιμήσουμε το πλήθος των ενδεχόμενων αποτελεσμάτων ενός πειράματος (απλού ή σύνθετου). Που το πάμε Θα προσπαθούμε να «διασπάμε» ένα σύνθετο πείραμα σε απλούστερα. Στόχος είναι,για τα απλούστερα πειράματα, να μπορούμε πολύ εύκολα να προσδιορίσουμε το πλήθος των ενδεχόμενων αποτελεσμάτων τους Επίσης, θα διατυπώσουμε κανόνεςγια το πώς εξαρτάται το πλήθος των αποτελεσμάτων των σύνθετων πειραμάτων από το πλήθος των απλούστερων. Διαίρει και βασίλευε (divide and conquer) 3 4 1
Κανόνες αθροίσματος και γινομένου Μεταθέσεις Έστω πείραμα 1 με σύνολο αποτελεσμάτων Α και πείραμα 2 με σύνολο αποτελεσμάτων Β Κανόνας του αθροίσματος: Το σύνθετο πείραμα πείραμα 1 Ήπείραμα 2 έχει A B = A + B - Α B ενδεχόμενα αποτελέσματα Κανόνας του γινομένου: Το σύνθετο πείραμα πείραμα 1 ΚΑΙπείραμα 2 έχει AxB = A B ενδεχόμενα αποτελέσματα. 1 η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: n διαθέσιμα αντικείμενα Τα n αντικείμενα είναι διαφορετικά μεταξύ τους. Επιλέγουμε k=n(δηλαδή όλα) τα αντικείμενα Κάθε φορά που επιλέγουμε ένα αντικείμενο, ΔΕΝ το ξαναρίχνουμε μέσα στο σακούλι (χωρίς επανάθεση) Μας ενδιαφέρει η σειρά με την οποία επιλέγουμε τα αντικείμενα. Μπορούμε εκτελέσουμε αυτό το πείραμα με n!= 1 2 3 (n-1) n διαφορετικούς τρόπους. 5 6 Διατάξεις ΜεταθέσειςκαιΔιατάξεις 2 η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: n διαθέσιμα αντικείμενα Τα n αντικείμενα είναι διαφορετικά μεταξύ τους. Επιλέγουμε k<=n τα αντικείμενα Κάθε φορά που επιλέγουμε ένα αντικείμενο, ΔΕΝ το ξαναρίχνουμε μέσα στο σακούλι (χωρίς επανάθεση) Μας ενδιαφέρει η σειρά με την οποία επιλέγουμε τα αντικείμενα. Μπορούμε εκτελέσουμε αυτό το πείραμα με n! P( n, k) = ( n k)! διαφορετικούς τρόπους. Μία μετάθεση nαντικειμένων δεν είναι τίποτε άλλο από μία διάταξη nαπό nαντικείμενων: Πλήθος διατάξεωνn απόn αντικειμένων= P(n, n)= n!/(n-n)! = n!/0!= n!/1= n! = πλήθος μεταθέσεων n αντικειμένων 7 8 2
: Πόσες συμβολοσειρές μήκους 4 μπορούμε να σχηματίσουμε από το Ελληνικό αλφάβητο αν απαιτήσουμε οι χαρακτήρες της συμβολοσειράς να είναι διαφορετικοί μεταξύ τους; Δυνατές διαφορετικές τετράδες (θέσεις στη συμβολοσειρά) από ένα σύνολο 24 αντικειμένων (γράμματα). Άρα ο συνολικός αριθμός των διαφορετικών συμβολοσειρών με τέσσερα διαφορετικά γράμματα είναι P(24,4)=24 23 22 21=255,024. Πρόβλημα:Ένας διευθυντής πρέπει να στείλει τρεις από τους δέκα διαθέσιμους υπαλλήλους του σε τρία διαφορετικά τμήματα, A, B και C. Πόσες επιλογές έχει; Δυνατές διαφορετικές τριάδες (τοποθετήσεις σε τμήματα) 10 διαφορετικών αντικειμένων (υπάλληλοι). Άρα οι επιλογές του διεθυντή είναι P(10,3) = 10 9 8 = 720. 9 10 διατάξεων (α) Πόσοι τετραψήφιοι αριθμοί είναι δυνατόν να σχηματιστούναπόταψηφία1, 2, 3, 5, 7, 8με την προϋπόθεση ότι τα ψηφία των αριθμών αυτών είναι διαφορετικά μεταξύ τους; Επιλογή k=4 διαφορετικών ψηφίων από n=6 ψηφία. Επομένως: P(n,k)=P(6,4)=6 5 4 3=360 διατάξεων (β) Πόσοι από τους παραπάνω αριθμούς είναι < 4000; Έναςτετραψήφιοςαριθμόςείναι< 4000 όταντο1οψηφίοτου είναι< 4. Άραθαπρέπειπρώτανατοποθετήσουμεστηθέσητου πρώτουψηφίουέναναπότους1, 2, και3 καιμετάνα τοποθετήσουμετουςυπόλοιπουςαριθμούςστιςυπόλοιπες θέσεις. Θα λύσουμε το πρόβλημα θεωρώντας 2 πειράματα. 1οπείραμα:"Μεπόσουςτρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε έναν από τους αριθμούς 1, 2, 3 στη 1ηθέση;" P(3,1)=3. 2οπείραμα:"Μεπόσουςτρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε τους υπόλοιπους αριθμούς στις τρεις υπόλοιπες θέσεις;" P(5,3)=5 4 3=60. Από το κανόνα του γινομένου υπάρχουν 3x60=180 αριθμοί <4000 11 12 3
διατάξεων διατάξεων (γ) Πόσοιαπότουςαριθμούςτου(α) είναιάρτιοι; Ένας αριθμός είναι άρτιος όταν το τελευταίο ψηφίο του διαιρείται με το2. Άραθαπρέπειπρώτανατοποθετήσουμεστηθέσητου τελευταίουψηφίουένααπότουςαριθμούς2, και8 καιστησυνέχεια να τοποθετήσουμε τους υπόλοιπους αριθμούς στις θέσεις των υπόλοιπων ψηφίων. Θα λύσουμε το πρόβλημα σε δύο πειράματα: 1οπείραμα:"Μεπόσουςτρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε έναν από τους αριθμούς 2 και 8 στη μία θέση;" P(2,1)=2. 2 ο πείραμα:"μεπόσουςτρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε τους υπόλοιπους αριθμούς στις τρεις υπόλοιπες θέσεις;" Η απάντηση είναι P(5,3)=5 4 3=60. Σύμφωνα με το κανόνα του γινομένου υπάρχουν 2 60=120 άρτιοι αριθμοί(πάντα με βάση τις προϋποθέσεις του προβλήματος). (δ) Πόσοιαπότουςαριθμούςτου(α) διαιρούνταιμετο5; Ένας αριθμός διαιρείται με το 5 όταν το τελευταίο ψηφίο τουείναι0 ή 5. Άρα θα πρέπει υποχρεωτικά να τοποθετήσουμε στη θέση τουτελευταίουψηφίουτοναριθμό 5 καιστησυνέχειανα τοποθετήσουμε τους υπόλοιπους αριθμούς στις θέσεις των υπόλοιπωνψηφίων. Συνεπώς το πρόβλημα ανάγεται στο παρακάτω: "Με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε τους υπόλοιπουςαριθμούςστιςτρειςυπόλοιπεςθέσεις;" Η απάντηση είναι P(5,3)=5 4 3=60. 13 14 διατάξεων Διατάξεις με επανάληψη Ένας τρομοκράτης έχει τοποθετήσει μία πυρηνική βόμβα και εσείς πρέπει να την απενεργοποιήσετε κόβoνταςτρία συγκεκριμένα από τα 10 καλώδιά της, και μάλιστα με τη σωστή σειρά! Αλλιώς... Πόσα διαφορετικά κοψίματα υπάρχουν; Επιλογή διαφορετικών τριάδων (καλώδια) από 10 διαφορετικά αντικείμενα (καλώδια): P(10,3) = 10 9 8 = 720 3 η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: nδιαθέσιμα αντικείμενα Τα n αντικείμενα είναι διαφορετικά μεταξύ τους. Επιλέγουμε k αντικείμενα Κάθε φορά που επιλέγουμε ένα αντικείμενο, το ξαναρίχνουμε μέσα στο σακούλι (ΜΕ επανάθεση) Μας ενδιαφέρει η σειρά με την οποία επιλέγουμε τα αντικείμενα. Μεπόσουςτρόπουςμπορούμενα εκτελέσουμε αυτό το πείραμα; (ότι είναι με κόκκινο είναι η διαφοροποίηση από την ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) 15 16 4
Διατάξεις με επανάληψη kπειράματα i-πείραμα :«επέλεξε τo i αντικείμενο» Με βάση τον κανόνα του γινομένου έχουμε: Γιατην1ηεπιλογή αντικειμένουέχουμεn ενδεχόμενα, Γιατην2ηεπιλογή αντικειμένουέχουμεnενδεχόμενα,(λόγω της επανάθεσης) Γιατην3ηεπιλογή αντικειμένουέχουμεnενδεχόμενα,(λόγω της επανάθεσης), καιγιατηνk-οστή επιλογή αντικειμένου έχουμε nενδεχόμενα. Έστω ένας δυαδικός αριθμός με kbits. Πόσους διαφορετικούς αριθμούς μπορώ να αναπαραστήσω με αυτόν; Κάθε ψηφίο του δυαδικού αριθμού μπορεί να πάρει n=2 τιμές (0 ή 1). Έχω στο «σακούλι» τα 0 και 1. Για το 1ο ψηφίο του αριθμού έχω n=2 επιλογές. Για το 2ο ψηφίο του αριθμού έχω n=2 επιλογές. Για το kψηφίο του αριθμού έχω n=2 επιλογές. Συνεπώςυπάρχουνn n n= n k διαφορετικά ενδεχόμενα. 17 Άρα,μπορώ να αναπαραστήσω 2 2 2 2 =2 k αριθμούς 18 Έστω ένα σύνολο Α με kστοιχεία. Πόσες διαφορετικές σχέσεις μπορώ να ορίσω επί του Α; Η αναπαράσταση της σχέσης ως πίνακας έχειk kστοιχεία. Καθένα από αυτά μπορεί να πάρει μία από 2 τιμές (0 ή 1). Έχω στο «σακούλι» τα 0 και 1. Για το (1,1) στοιχείο του πίνακα της σχέσης έχω 2 επιλογές. Για το (1,2) στοιχείο του πίνακα της σχέσης έχω 2 επιλογές. Για το (k,k) στοιχείο του πίνακα της σχέσης έχω 2 επιλογές. Άρα ο συνολικός αριθμός των διαφορετικών σχέσεων είναι 2 2 2 2 = 2 k k Μεπόσουςτρόπουςείναιδυνατόνναπρογραμματιστούν 3 διαγωνίσματα σε μία περίοδο 5 ημερών, χωρίς περιορισμό στον αριθμό των διαγωνισμάτων που προγραμματίζονται για την ίδια ημέρα; Έχω στο «σακούλι» τις 5 ημέρες Επιλέγω την ημέρα του 1 ου διαγωνίσματος. Αυτό μπορεί να προγραμματιστεί σε οποιαδήποτε από τις 5 ημέρες. Επιλέγω την ημέρα του 2 ου διαγωνίσματος. Αυτό μπορεί να προγραμματιστεί σε οποιαδήποτε από τις 5 ημέρες. Επιλέγω την ημέρα του 3 ου διαγωνίσματος. Αυτό μπορεί να προγραμματιστεί σε οποιαδήποτε από τις 5 ημέρες. Άρα υπάρχουν 5 3 =125 διαφορετικοί τρόποι 19 20 5
Μεπόσουςτρόπους είναι δυνατόν να προγραμματιστούν τρία διαγωνίσματα σε μία περίοδο πέντε ημερών, έτσι ώστε να μην έχουν προγραμματιστεί περισσότερα από ένα διαγωνίσματα για την ίδια ημέρα; Δυνατές τοποθετήσεις 3 διαφορετικών διαγωνισμάτων σε 5 διαφορετικές ημέρες P(5,3)=5 4 3=60. 21 Με πόσους τρόπους μπορούμε να σχηματίσουμε συμβολοσειρές από τέσσερα γράμματα; Το «σακούλι» έχει τα 24 γράμματα. Κάθε φορά επιλέγουμε το γράμμα που θα μπει σε καθεμία από τις 4 θέσεις της συμβολοσειράς και μετά ξαναρίχνουμε το γράμμα στο «σακούλι» Άρα ο συνολικός αριθμός των διαφορετικών συμβολοσειρών με τέσσερα γράμματα είναι 24 24 24 24=331776. (Θυμηθείτε, στο ίδιο παράδειγμα, όταν δεν επιτρέπαμε την επανάληψη ενός χαρακτήρα στη συμβολοσειρά, είχαμε βρει ότι υπάρχουν P(24,4) =255024 συμβολοσειρές) 22 Συνδυασμοί Συνδυασμοί 4 η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: nδιαθέσιμα αντικείμενα Τα n αντικείμενα είναι διαφορετικά μεταξύ τους. Επιλέγουμε k n αντικείμενα Κάθε φορά που επιλέγουμε ένα αντικείμενο, δεν το ξαναρίχνουμε μέσα στο σακούλι (ΧΩΡΙΣ επανάθεση) ΔΕΝ μας ενδιαφέρει η σειρά με την οποία επιλέγουμε τα αντικείμενα. Μεπόσουςτρόπουςμπορούμενα εκτελέσουμε αυτό το πείραμα; (ότι είναι με κόκκινο είναι η διαφοροποίηση από την ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3. Ωστόσο, σε σχέση με την ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2, η μόνη διαφοροποίηση είναι η αδιαφορία για τη σειρά) Αν μας ενδιέφερε η σειρά, ξέρουμε ήδη την απάντηση (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2): Οι διαφορετικές διατάξεις k αντικειμένων από n διαφορετικά αντικείμενα είναι: n! P( n, k) = ( n k)! Ωστόσο, εφόσον δεν μας ενδιαφέρει η σειρά με την οποία επιλέγουμε τα αντικείμενα, όλες οι k! μεταθέσεις kαντικειμένων είναι ισοδύναμες Άρα οι δυνατοί συνδυασμοί είναι: P( n, k) n! n C( n, k) = = = k! k!( n k)! k 23 24 6
Συνδυασμοί Προσέξτε ότι εφόσον δεν μας ενδιαφέρει η διάταξη, ουσιαστικά δεν ζητάμε να βρούμε πόσες διαφορετικές διατεταγμένες k-άδεςμπορούμε να φτιάξουμε από αυτό αλλά πόσα υποσύνολα πληθικού αριθμού k. Συνεπώς, σε ένα σύνολο με πληθικό αριθμό n υπάρχουν C(n, k) υποσύνολα πληθικού αριθμού k. συνδυασμών Πόσα διαφορετικές 7-άδες χαρτιών μπορoύμε να τραβήξουμε από μία τυπική τράπουλα με 52 χαρτιά; υπονοώντας ότι σε ένα τυπικό παιχνίδι, δεν μας ενδιαφέρει η σειρά με την οποία μας μοιράστηκαν τα χαρτιά, αλλά το ποια χαρτιά τελικά έχουμε στα χέρια μας 25 26 συνδυασμών Πόσα διαφορετικές7-άδεςχαρτιώνμπορoύμε να τραβήξουμε από μία τυπική τράπουλα με52 χαρτιά; Εφόσον η σειρά (διάταξη) των χαρτιών σε μία 7-άδα δεν έχει σημασία, το ζητούμενο πλήθος είναι 52 52! 52! C(52, 7) = 7 = = = 7!(52 7)! 7!45! 45!46 47 48 49 50 5152 = = 133,784,560 7!45! Διαφορά μεταξύ διατάξεων και συνδυασμών Πόσα passwords τριώνδιαφορετικών χαρακτήρων μπορούν να φτιαχτούν από δέκα χαρακτήρες; P(10, 3) = 10 9 8=720. Η σειρά των χαρακτήρων έχει σημασία! Σε ένα σύνολο δέκα ανθρώπων, πόσες τριμελείς επιτροπές μπορούμε να ορίσουμεαν δεν υπάρχει διάκριση των μελών της επιτροπής; C(10, 3) = 10!/(7!3!)=120 27 28 7
συνδυασμών : Έστωότιθέλουμετιςτρειςαπότιςεπτά ημέρες της εβδομάδας να φάμε κρέας. Με πόσους τρόπους μπορούμε να προγραμματίσουμε το εβδομαδιαίο μενού; Πρέπει να προγραμματίσουμε κρέας ως το φαγητό που θα πρέπει να φάμε σε 3 από τις 7 ημέρες. Επομένως, μας ενδιαφέρει ουσιαστικά πόσα διαφορετικά υποσύνολα 3 ημερών μπορούμε να δημιουργήσουμε από τις 7 διαφορετικές ημέρες. Άρα υπάρχουνc(7,3)=7!/(3!4!)διαφορετικοί προγραμματισμοί του μενού. Σημειώστε ότι Συνδυασμοί n n! n! n C( n, k) = = = = = C( n, n k) k k!( n k)! ( n k)! k! n k...γιατί κάθε επιλογή kστοιχείων που ανήκουν σε ένα υποσύνολο των nστοιχείων υπάρχει μία αντίστοιχη επιλογή n-kστοιχείων που δεν ανήκουν σε αυτό! 29 30 Συνδυασμοί με επανάθεση Συνδυασμοί με επανάθεση 5 η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: nδιαθέσιμα αντικείμενα Τα n αντικείμενα είναι διαφορετικά μεταξύ τους. Επιλέγουμε k αντικείμενα Κάθε φορά που επιλέγουμε ένα αντικείμενο, το ξαναρίχνουμε μέσα στο σακούλι (ΜΕ επανάθεση) ΔΕΝ μας ενδιαφέρει η σειρά με την οποία επιλέγουμε τα αντικείμενα. Μεπόσουςτρόπουςμπορούμεεκτελέσουμε αυτό το πείραμα; (ό,τιείναι με κόκκινο είναι η διαφοροποίηση από την ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 4) 31 Έστω ότι έχουμε n=5 είδη παγωτού, μπανάνα, σοκολάτα, λεμόνι, φράουλακαι βανίλια και ότι μπορείτε να παραγγείλετε k=3μπάλες. Πόσες εναλλακτικές παραγγελίες υπάρχουν; Έστω ότι αναπαριστούμε τις γεύσεις με γράμματα: {μ, σ, λ, φ, β}. Παραδείγματα επιλογών θα ήταν τα ακόλουθα {σ, σ, σ}(3 μπάλες σοκολάτα) {μ, λ, β}(μπανάνα, λεμόνι, βανίλια) {μ, β, β}(μπανάνα, βανίλια, βανίλια) Η διάταξη δεν έχει σημασία, και η επανάληψη επιτρέπεται! 32 8
Συνδυασμοί με επανάθεση Μία διαφορετική αναπαράσταση: Θεωρείστε ότι οι γεύσεις είναι σε δοχεία και ότι O= «επιλέγω από το τρέχον δοχείο» Χ = «μετακινούμαι στο επόμενο δοχείο» Δεδομένου ότι ξεκινάμε από το 1 ο δοχείο, πρέπει να κάνουμε 4 μετακινήσεις και 3 επιλογές παγωτού Δεδομένων των γεύσεων/δοχείων {μ, σ, λ, φ, β}, έχουμε: {σ, σ, σ}:χοοοχχχ {μ, λ, β} :ΟΧΧΟΧΧΟ {μ, β, β} :ΟΧΧΧΧΟΟ Το πρόβλημα τώρα ανάγεται στην εύρεση των υποσυνόλων πληθικού αριθμού kενός συνόλου που έχει n+k-1αντικείμενα Συνδυασμοί με επανάθεση Επομένως, το πλήθος των επιλογών του νέου προβλήματος είναι: n+ k 1 ( n+ k 1)! C( n+ k 1, k) = = k k!( n 1)! 33 34 Η συνολική εικόνα μέχρι τώρα... Μεπόσουςτρόπουςμπορούμεναβάψουμε12 γραφεία, έτσιώστε3 απόαυτάναείναικόκκινα, 2 απόαυτάμπλε, και4 απόαυτάπράσινα; Π3 Π1, Π2 Π5 Π4 Με πόσους τρόπους μπορώ να βάψω κόκκινα 3 από τα 12 γραφεία; Με πόσους τρόπους μπορώ να βάψωμπλε 2 από τα 9 γραφεία που θα περισσέψουν; Με πόσους τρόπους μπορώ να βάψωπράσινα 4 από τα 7 γραφεία που θα περισσέψουν; 35 36 9
Μεπόσουςτρόπουςμπορούμεναβάψουμε12 γραφεία, έτσιώστε3 απόαυτάναείναικόκκινα, 2 απόαυτάμπλε, και4 απόαυτάπράσινα; Με πόσους τρόπους μπορώ να βάψω κόκκινα 3 από τα 12 γραφεία; C(12, 3) Με πόσους τρόπους μπορώ να βάψωμπλε 2 από τα 9 γραφεία που θα περισσέψουν; C(9, 2) Με πόσους τρόπους μπορώ να βάψωπράσινα 4 από τα 7 γραφεία που θα περισσέψουν; C(7, 4). Από τον κανόνα του γινομένου, προκύπτουν C(12, 3) C(9, 2) C(7, 4) τρόποι Για να δούμε πόσοι είναι αυτοί Μεπόσουςτρόπουςμπορούμεναβάψουμε12 γραφεία, έτσιώστε3 απόαυτάναείναικόκκινα, 2 απόαυτάμπλε, και4 απόαυτάπράσινα; 12 9 7 C(12,3) C(9,2) C(7,4) = 3 2 4 = 12! 9! 7! 12! P(12,9) = = = 3!9! 2!7! 4!3! 3!2!4!3! 3!2!4! 37 38 Ερμηνεία Μεπόσουςτρόπουςμπορούμεναβάψουμε12 γραφεία, έτσιώστε3 απόαυτάναείναικόκκινα, 2 απόαυτάμπλε, και4 απόαυτάπράσινα; ΥπάρχουνP(12, 9)=12!/3! τρόποι να βάψουμε με 9 διαφορετικάχρώματα,9 από τα 12 γραφεία. Επειδή3 απόαυτάθαείναικόκκινα, 2 απόαυτά μπλε, και4 απόαυτάπράσινα, θα πρέπει να διαιρέσουμε αυτό το πλήθος, με το πλήθος των μεταθέσεων των διαφορετικών ομοίων χρωμάτων 12!/(3!3!2!4!)= 479.001.600/(6x6x2x24)= 479.001.600/864=227200 τρόποι Γενικά Επιλέγουμε k από n αντικείμενα Τα nαντικείμενα δεν είναι όλα ίδια μεταξύ τους, αλλά χωρίζονται σε t ομάδες ίδιων αντικειμένων Ομάδα 1 q 1 ίδια αντικείμενα Ομάδα 2 q 2 ίδια αντικείμενα Ομάδα t q t ίδια αντικείμενα Πόσοι είναι οι διαφορετικοί τρόποι επιλογής: P( n, q) P( n, k)!!...!!!...! t 1 i i= 1 1 1 2 C n qi qt = = i= 1 q1 q2 qt q1 q2 qt C( n, q) C( n q, q )... (, ) t 39 40 10