Στατιστική Ι. Ενότητα 7: Κανονική Κατανομή. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι Ενότητα 7: Κανονική Κατανομή Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Σκοποί ενότητας 7 Να κατανοήσουν οι φοιτητές έννοιες όπως Κανονική Κατανομή και τα Γενικά Χαρακτηριστικά αυτής. Τέλος να κατανοήσουν οι φοιτητές τους λόγους χρήσεις της κανονικής κατανομής καθώς και τους Πίνακες της Κανονικής Κατανομής. 4

Περιεχόμενα ενότητας Kανονική κατανομή. Γενικά χαρακτηριστικά Κανονικής Κατανομής. Tυπικές αποκλίσεις από το μέσο. Λόγοι για χρήση κανονικής κατανομής. Πίνακες της κανονικής κατανομής. Ασκήσεις. 5

Κανoνική Κατανομή Η πιο σημαντική κατανομή στη στατιστική είναι η κανονική κατανομή. Η Κανονική Κατανομή έχει τεράστια σημασία: Στη Στατιστική. Στην Οικονομετρία. Στη Δειγματοληψία, κλπ. 6

Γενικά χαρακτηριστικά Κανονικής Κατανομής (1/16) Συνάρτηση πιθανότητας της Κανονικής Κατανομής είναι η ακόλουθη: f(x)= 1 (χ μ) 2 2πσ e 2σ 2. μ = μέσος. σ = τυπική απόκλιση. π = 3,14. e = 2,71. 7

Γενικά χαρακτηριστικά Κανονικής Κατανομής (2/16) Μια μεταβλητή Χ που ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με παραμέτρους μ και σ2 συμβολίζεται διεθνώς: Χ~Ν(μ, σ2). Όλες οι κανονικές κατανομές, ανεξάρτητα από την τιμή που έχουν ο μέσος και η διακύμανση, έχουν τις ίδιες ιδιότητες και σχηματίζουν την ίδια βασική μορφή καμπάνας. Η μορφή της Κανονικής Καμπύλης έχει τη μορφή της καμπάνας, είναι μονοκόρυφη και συμμετρική. 8

Γενικά χαρακτηριστικά Κανονικής Κατανομής (3/16) Διάγραμμα 1. Γενικά χαρακτηριστικά Κανονικής Κατανομής (3/16) (Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: 978-960-93-3977-3 Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 9

Γενικά χαρακτηριστικά Κανονικής Κατανομής (4/16) Σχήμα 1. (Προηγούμενη Διαφάνεια). Καμπύλη κανονικής κατανομής. 10

Γενικά χαρακτηριστικά Κανονικής Κατανομής (6/16) Σχήμα 2 (Προηγούμενη Διαφάνεια). Διάφορες κανονικές κατανομές με διαφορετικό μέσο και τυπική απόκλιση. Υπάρχει ολόκληρη οικογένεια κανονικών κατανομών και η κάθε μια διαφέρει από τις άλλες στο μέσο και την τυπική απόκλιση. 12

Γενικά χαρακτηριστικά Κανονικής Κατανομής (7/16) Το εμβαδά κάτω από την Κανονική Καμπύλη από το - έως το + ισούται με τη μονάδα. Η Κανονική Καμπύλη είναι συμμετρική, δηλαδή G = 0. Ο Μέσος Αριθμητικός, η Διάμεσος και η επικρατούσα τιμή συμπίπτουν. Αποδεικνύεται ότι η Κανονική Καμπύλη έχει συντελεστή κύρτωσης Κ = 3 (μεσόκυρτη). Οι συντελεστές ασυμμετρίας και κύρτωσης αποτελούν τα κριτήρια κανονικότητας μιας εμπειρικής κατανομής συχνοτήτων. 13

Γενικά χαρακτηριστικά Κανονικής Κατανομής (9/16) Σχήμα 3 (Προηγούμενη Διαφάνεια). Κανονική κατανομή και διαστήματα ± σ, ± 2σ, ± 3σ. Για να διαπιστώσουμε αν μια εμπειρική κατανομή συχνοτήτων ακολουθεί την Κανονική Κατανομή: Υπολογίζουμε τα G και K. Αν βρούμε G 0 και K 3. τότε λέμε ότι η εμπειρική κατανομή συχνοτήτων ακολουθεί την Κανονική Κατανομή. 15

Γενικά χαρακτηριστικά Κανονικής.16.14.12.10.08.06.04.02 Κατανομής (10/16).00-6 -4-2 0 2 4 6 8 10 Διάγραμμα 4. Γενικά χαρακτηριστικά Κανονικής Κατανομής (10/16) (Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: 978-960-93-3977-3 Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 16

Γενικά χαρακτηριστικά Κανονικής Κατανομής (11/16) Σχήμα 4 (Προηγούμενη Διαφάνεια). Κανονική κατανομή. Στο υψηλότερο σημείο της κανονικής κατανομής αντιστοιχεί ο μέσος ο οποίος είναι και διάμεσος και επικρατούσα τιμή. Η κανονική κατανομή είναι συμμετρική κατανομή. Οι ουρές από αριστερά και δεξιά θεωρητικά είναι ασύμπτωτες με τον οριζόντιο άξονα. 17

Γενικά χαρακτηριστικά Κανονικής Κατανομής (12/16) Σχήμα 4 (Προηγούμενη Διαφάνεια) (συνέχεια). Ο οριζόντιος άξονας είναι η ευθεία των πραγματικών αριθμών. Το συνολικό εμβαδόν ανάμεσα στην κανονική καμπύλη και τον οριζόντιο άξονα είναι 1. Οι τιμές που μπορεί να πάρει η τυχαία μεταβλητή είναι άπειρες και επομένως η πιθανότητα να πάρουμε μία συγκεκριμένη τιμή: 1 =0. 18

Γενικά χαρακτηριστικά Κανονικής Κατανομής (13/16) Σχήμα 4 (Προηγούμενη Διαφάνεια) (συνέχεια). Αυτό που αναζητούμε λοιπόν είναι η πιθανότητα να είμαστε πάνω ή κάτω από μία συγκεκριμένη τιμή [P(X < α) P(X < α)] ή η πιθανότητα να είμαστε ανάμεσα σε δύο συγκεκριμένες τιμές [P(α < x < β)]. 19

Γενικά χαρακτηριστικά Κανονικής Κατανομής (15/16) Σχήμα 3. Κανονική κατανομή και διαστήματα ± σ, ± 2σ, ± 3σ. Στην κανονική κατανομή αποδεικνύεται ότι στο διάστημα ± σ η καμπύλη περιλαμβάνει το 68% περίπου των περιπτώσεων. Στο διάστημα μεταξύ ± 2σ η καμπύλη περιλαμβάνει το 95,9% των περιπτώσεων και στο διάστημα + 3σ το 99,7% των περιπτώσεων. 21

Γενικά χαρακτηριστικά Κανονικής Κατανομής (16/16) Σχήμα 3. Κανονική κατανομή και διαστήματα ± σ, ± 2σ, ± 3σ. Η Κανονική Καμπύλη, για τιμές της χ = ±3σ γύρω από το μέσο (μ) συγκλίνει ταχύτατα προς τον άξονα των Χ, αλλά είναι ασύμπτωτη με τον οριζόντιο άξονα. Θεωρητικώς, η καμπύλη τέμνει τον άξονα των Χ αντίστοιχα στο - και +. 22

Από το μέσο μία τυπική απόκλιση (1/2) Διάγραμμα 6. Από το μέσο μία τυπική απόκλιση (1/2) (Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: 978-960-93-3977-3 Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 23

Από το μέσο μία τυπική απόκλιση (2/2) Σχήμα 5 (Προηγούμενη Διαφάνεια). Κανονική κατανομή-μια τυπική απόκλιση. 24

Aπό το μέσο δύο τυπικές αποκλίσεις (1/2) Διάγραμμα 7. Από το μέσο δύο τυπικές αποκλίσεις (1/2) (Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: 978-960-93-3977-3 Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 25

Aπό το μέσο δύο τυπικές αποκλίσεις (2/2) Σχήμα 6 (Προηγούμενη Διαφάνεια). Κανονική κατανομή-δύο τυπικές αποκλίσεις. 26

Aπό το μέσο τρείς τυπικές αποκλίσεις (1/2) Διάγραμμα 8. Από το μέσο τρείς τυπικές αποκλίσεις (1/2) (Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: 978-960-93-3977-3 Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 27

Aπό το μέσο τρείς τυπικές αποκλίσεις (2/2) Σχήμα 7 (Προηγούμενη Διαφάνεια). Κανονική κατανομή-τρείς τυπικές αποκλίσεις. 28

Λόγοι για χρήση κανονικής κατανομής Η ευκολία στην εφαρμογή της, δεδομένου και της εκτεταμένης βιβλιογραφίας. Οι κατανομές πολλών μεταβλητών στην φύση ακολουθούν την κανονική (τουλάχιστον προσεγγιστικά), βάρος, ύψος, κλπ. Η επαγωγική με βάση το κεντρικό οριακό θεώρημα έχει καταστήσει την κανονική κατανομή ως την πιο σημαντική, καθώς ανεξαρτήτως της κατανομής του γεννήτορα πληθυσμού όταν το δείγμα είναι μεγάλο δύναται η χρήση της κανονικής για την εξαγωγή των σχετικών συμπερασμάτων. 29

Πίνακες της κανονικής κατανομής (1/2) Επειδή η κανονική καμπύλη εξαρτάται από τις δύο παραμέτρους μ και σ, υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός διαφορετικών κανονικών καμπύλων. Όλοι οι τυποποιημένοι πίνακες της κανονικής κατανομής αφορούν την κατανομή με μ = 0 και σ = 1. Εάν μία μεταβλητή Χ κατανέμεται κανονικά δηλ. Χ~Ν (μ, σ2), τότε για να χρησιμοποιήσουμε τους πίνακες της τυπικής κανονικής κατανομής, Ζ~Ν (0, 1). 30

Πίνακες της κανονικής κατανομής (2/2) Πρέπει να αλλάξουμε την κλίμακα της Χ ώστε ο μέσος να ισούται με 0 και η διακύμανση 1. Η νέα μεταβλητή δίνεται από την σχέση: Z = (X μ)/σ. 31

Πίνακας αθροιστικής κατανομής (1/15) Διάγραμμα 9. Πίνακας αθροιστικής κατανομής (1/15)(Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: 978-960-93-3977-3 Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 32

Πίνακας αθροιστικής κατανομής (2/15) Σχήμα 8 (Προηγούμενη Διαφάνεια). Κανονική κατανομή και διαστήματα ± σ, ± 2σ, ± 3σ. O πίνακας δίνει, για οποιαδήποτε τιμή της Ζ, το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη μέχρι την τιμή Ζ. Tο εμβαδόν κάτω από την καμπύλη αντιπροσωπεύει την συνολική ή αθροιστική συχνότητα όλων των τάξεων μέχρι την τιμή Ζ. 33

Πίνακας αθροιστικής κατανομής (4/15) Σχήμα 8 (Προηγούμενη Διαφάνεια). Κανονική κατανομή και διαστήματα ± σ, ± 2σ, ± 3σ. Η αθροιστική συχνότητα διαιρούμενη με το συνολικό δειγματικό μέγεθος παρέχει μια αθροιστική σχετική συχνότητα. Όσο αυξάνει το μέγεθος του δείγματος, οριακά. Η αθροιστική σχετική συχνότητα καθίσταται η πιθανότητα με την οποία μία τυχαία επιλογή θα παίρνει τιμή μέχρι την τιμή Ζ. 35

Πίνακας αθροιστικής κατανομής (6/15) Σχήμα 8 (Προηγούμενη Διαφάνεια). Κανονική κατανομή και διαστήματα ± σ, ± 2σ, ± 3σ. Για την τιμή Ζ = 0, το εμβαδόν είναι 0,5. Για την τιμή Ζ = 3,9, ή οποιαδήποτε μεγαλύτερη τιμή, το εμβαδόν είναι 1. 37

Πίνακας αθροιστικής κατανομής (8/15) Σχήμα 8 (Προηγούμενη Διαφάνεια). Κανονική κατανομή και διαστήματα ± σ, ± 2σ, ± 3σ. Ζ~Ν (0, 1), δηλαδή μ = 0 και σ2 = 1. Σύμφωνα με τον κανόνα: (μ-σ, μ+σ)=(0-1,0+1)=(-1,1). (μ-2σ, μ+2σ)=(0-2,0+2)=(-2,2). (μ-3σ, μ+3σ)=(0-3,0+3)=(-3,3). 39

Πίνακας αθροιστικής κατανομής (9/15) Διάγραμμα 13. Πίνακας αθροιστικής κατανομής (9/15) (Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: 978-960-93-3977-3 Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 40

Πίνακας αθροιστικής κατανομής (10/15) Πίνακας 1(α) (Προηγούμενη Διαφάνεια). Πίνακας αθροιστικής κατανομής. H πιθανότητα με την οποία μία τιμή της Ζ βρίσκεται μεταξύ 3,9 και +3,9 είναι 1,00, διότι η καμπύλη ξεκινά κατ ουσία από το -3,9 και τελειώνει στο 3,9. Περιλαμβάνει όλο το δειγματικό χώρο. Για την τιμή Ζ = 1,22, το εμβαδόν είναι 0,8888 δηλαδή P(Z 1,22) = 0,8888. Εάν όμως το ζητούμενο είναι P(Z > 1,22), τότε: P(Z > 1,22) = 1 P(Z 1,22) = 1 0,8888. 41

Πίνακας αθροιστικής κατανομής (11/15) Διάγραμμα 14. Πίνακας αθροιστικής κατανομής (11/15) (Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: 978-960-93-3977-3 Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 42

Πίνακας αθροιστικής κατανομής (12/15) Πίνακας 1(α) (Προηγούμενη Διαφάνεια). Εάν το ζητούμενο είναι P(Z > 1,22), τότε : P(Z > 1,22) = 1 P(Z 1,22) = 1 (1 P(Z 1,22)) = P(Z 1,22) = 0,8888. Εάν το ζητούμενο είναι P( 1,22 Ζ 1,22), τότε μπορούμε : P(Z 1,22) P(Z 1,22) =. = 0,8888 (1 P(Z 1,21)) = 0,8888 1 + 0,8888. 43

Πίνακας αθροιστικής κατανομής (14/15) Πίνακας 1(β) (Προηγούμενη Διαφάνεια). Πίνακας αθροιστικής κατανομής. Το ύψος των ανθρώπων ακολουθεί την κατανομή Χ~Ν(170, 36). Ποια είναι η πιθανότητα ένας άνθρωπος να είναι πάνω από 178. 45

Πίνακας αθροιστικής κατανομής (15/15) Πίνακας 1(β) (Προηγούμενη Διαφάνεια) (συνέχεια). Λύση: Θα υπολογίσουμε την πιθανότητα P(X > 178). Τυποποιούμε τη σχέση και έχουμε: P(z > 178 170 ) = P(z > 8 ) = P z > 1,33. 6 6 P z 1,33 = 1 P z < 1,33 = 1 0,9082 = 0,0918. 46

Παράδειγμα 1 (1/4) Σε έναν αυτοκινητόδρομο το όριο ταχύτητας είναι 120 km/h και κάμερες καταγράφουν την ταχύτητα των διερχομένων οχημάτων. Εάν οι ταχύτητες των οχημάτων που καταγράφει μία κάμερα κατανέμονται με Χ~Ν(108, 100), να βρεθεί η πιθανότητα το επόμενο αυτοκίνητο να παραβιάσει το όριο ταχύτητας. Λύση.: Θα υπολογίσουμε την πιθανότητα P(X > 120). 47

Παράδειγμα 1 (2/4) Διάγραμμα 16. Παράδειγμα 1 (2/4)(Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: 978-960-93-3977-3 Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 48

Παράδειγμα 1 (3/4) Πίνακας 1(γ) (Προηγούμενη Διαφάνεια). Πίνακας αθροιστικής κατανομής. Τυποποιούμε τη σχέση και έχουμε: P(z > 120 108 10 P z > 1,2 = 0,8849. ) = P(z > 12 ) = P z > 1,2. P z 1,2 = 1 0,8849 = 0,1151 ή 11,51%. 10 49

Παράδειγμα 1 (4/4) Έστω Χ~Ν(12, 9), να βρεθεί η πιθανότητα P(10 < X < 15). Λύση: P(10 < X < 15) = P( 10 μ σ < Χ μ σ < 15 μ σ ). P 10 μ σ F 0,67. < Χ μ σ < 15 μ σ = P 0,67 < Z < 1 = F 1 P Z < 1 P Z < 0,67 = P Z < 1 [1 50

Παράδειγμα 2 (1/3) Σε έναν αυτοκινητόδρομο το όριο ταχύτητας είναι 120 km/h και κάμερες καταγράφουν την ταχύτητα των διερχομένων οχημάτων. Εάν οι ταχύτητες των οχημάτων που καταγράφει μία κάμερα κατανέμονται με Χ~Ν(108, 100), να βρεθεί η πιθανότητα το επόμενο αυτοκίνητο να κινείται με ταχύτητα ανάμεσα σε 103 και 120 km/h. Λύση: Θα υπολογίσουμε την πιθανότητα: P(103 < X < 120). 51

Παράδειγμα 2 (2/3) Διάγραμμα 17. Παράδειγμα 2 (2/3)(Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: 978-960- 93-3977-3 Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 52

Παράδειγμα 2 (3/3) Πίνακας 1(δ) (Προηγούμενη Διαφάνεια). Πίνακας αθροιστικής κατανομής. Τυποποιούμε τη σχέση και έχουμε: P 103 X 120 =. = P 103 108 10 < z < 120 108 10 = P( 0,5 z 1,2) = P z 1,2 P z 0,5 =. = P z 1,2 1 P z 0,5 = 0,8849 (1 0,6915) = 0,5764. =. 53

Τέλος Ενότητας