1 Εισαγωγή - Τα βασικά σύνολα αριθμών Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 2/164

Μαθηματική Ανάλυση Ι Θεωρία και εφαρμογές Β. Δρακόπουλος vdrakop@uth.gr Τμήμα Πληροφορικής με εφαρμογές στη Βιοϊατρική Σχολή Θετικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 1 Δεκεμβρίου 2015 Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 1/164

1 Εισαγωγή - Τα βασικά σύνολα αριθμών 2 3 4 5 6 7 8 Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 2/164

Γενική περιγραφή και ωφελιμότης Σκοπός και στόχοι Μαθησιακά αποτελέσματα Συστάσεις Περιεχόμενα Βιβλιογραφία Τα βασικά σύνολα αριθμών 1 Εισαγωγή - Τα βασικά σύνολα αριθμών 2 Η συνάρτηση Η ακολουθία και το όριο Βασικές ιδιότητες 3 Η έννοια της σειράς Κριτήρια σύγκλισης Απόλυτη και σχετική σύγκλιση 4 5 6 Θεώρημα μέσης τιμής Απροσδιόριστες μορφές 7 Πολυωνυμική προσέγγιση Ανάπτυγμα Taylor 8 Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 3/164

Γενική περιγραφή και ωφελιμότης Σκοπός και στόχοι Μαθησιακά αποτελέσματα Συστάσεις Περιεχόμενα Βιβλιογραφία Τα βασικά σύνολα αριθμών Μαθηματική Ανάλυση (Mathematical Analysis) Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 4/164

Γενική περιγραφή και ωφελιμότης Σκοπός και στόχοι Μαθησιακά αποτελέσματα Συστάσεις Περιεχόμενα Βιβλιογραφία Τα βασικά σύνολα αριθμών Μαθηματική Ανάλυση (Mathematical Analysis) Μαθηματικά: Μαθηματική (ενν. τέχνη ή επιστήμη) < μάθημα (< μανθάνω): γνώση, σπουδή, μελέτη. Η ἐπιστήμη τῶν ἀριθμῶν καί τῶν δεχομένων μέτρησιν ποσοτήτων. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 4/164

Γενική περιγραφή και ωφελιμότης Σκοπός και στόχοι Μαθησιακά αποτελέσματα Συστάσεις Περιεχόμενα Βιβλιογραφία Τα βασικά σύνολα αριθμών Μαθηματική Ανάλυση (Mathematical Analysis) Μαθηματικά: Μαθηματική (ενν. τέχνη ή επιστήμη) < μάθημα (< μανθάνω): γνώση, σπουδή, μελέτη. Η ἐπιστήμη τῶν ἀριθμῶν καί τῶν δεχομένων μέτρησιν ποσοτήτων. Ο όρος «ανάλυση» χρησιμοποιείται με δύο τρόπους στα μαθηματικά. Περιγράφει τόσο το επιστημονικό πεδίο, μέρος του οποίου αποτελεί ο λογισμός, όσο και μία μορφή της αφηρημένης θεωρίας της λογικής. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 4/164

Γενική περιγραφή και ωφελιμότης Σκοπός και στόχοι Μαθησιακά αποτελέσματα Συστάσεις Περιεχόμενα Βιβλιογραφία Τα βασικά σύνολα αριθμών Μαθηματική Ανάλυση (Mathematical Analysis) Μαθηματικά: Μαθηματική (ενν. τέχνη ή επιστήμη) < μάθημα (< μανθάνω): γνώση, σπουδή, μελέτη. Η ἐπιστήμη τῶν ἀριθμῶν καί τῶν δεχομένων μέτρησιν ποσοτήτων. Ο όρος «ανάλυση» χρησιμοποιείται με δύο τρόπους στα μαθηματικά. Περιγράφει τόσο το επιστημονικό πεδίο, μέρος του οποίου αποτελεί ο λογισμός, όσο και μία μορφή της αφηρημένης θεωρίας της λογικής. Η ανάλυση είναι η συστηματική μελέτη των συνεχών συναρτήσεων πραγματικών και μιγαδικών τιμών. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 4/164

Γενική περιγραφή και ωφελιμότης Σκοπός και στόχοι Μαθησιακά αποτελέσματα Συστάσεις Περιεχόμενα Βιβλιογραφία Τα βασικά σύνολα αριθμών Μαθηματική Ανάλυση (Mathematical Analysis) Μαθηματικά: Μαθηματική (ενν. τέχνη ή επιστήμη) < μάθημα (< μανθάνω): γνώση, σπουδή, μελέτη. Η ἐπιστήμη τῶν ἀριθμῶν καί τῶν δεχομένων μέτρησιν ποσοτήτων. Ο όρος «ανάλυση» χρησιμοποιείται με δύο τρόπους στα μαθηματικά. Περιγράφει τόσο το επιστημονικό πεδίο, μέρος του οποίου αποτελεί ο λογισμός, όσο και μία μορφή της αφηρημένης θεωρίας της λογικής. Η ανάλυση είναι η συστηματική μελέτη των συνεχών συναρτήσεων πραγματικών και μιγαδικών τιμών. Σημαντικά υποπεδία της ανάλυσης περιλαμβάνουν τον (απειροστικό) λογισμό, τις διαφορικές εξισώσεις και τη συναρτησιακή ανάλυση. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 4/164

Γενική περιγραφή και ωφελιμότης Σκοπός και στόχοι Μαθησιακά αποτελέσματα Συστάσεις Περιεχόμενα Βιβλιογραφία Τα βασικά σύνολα αριθμών Η απόκτηση από πλευράς του φοιτητή της αναγκαίας ικανότητας να κατανοήσει, να ερμηνεύσει και να περιγράψει βασικές έννοιες και να επιλύσει πολλά προβλήματα της Φυσικής, της Χημείας, της Βιολογίας κ.λπ. Η μαθηματική αυτή κατάρτιση είναι απαραίτητη για δύο λόγους: α) εξοικειώνει τον φοιτητή με τα Μαθηματικά ως κοινή γλώσσα όλων των θετικών επιστημών και β) τον καθιστά ικανό, σε ένα επόμενο στάδιο, να εφαρμόσει σωστά τις μεθόδους της Πληροφορικής σε πρακτικά προβλήματα. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 5/164

Ωφέλεια Εισαγωγή - Τα βασικά σύνολα αριθμών Γενική περιγραφή και ωφελιμότης Σκοπός και στόχοι Μαθησιακά αποτελέσματα Συστάσεις Περιεχόμενα Βιβλιογραφία Τα βασικά σύνολα αριθμών Αποτελεί το υπόβαθρο αρκετών μαθημάτων του Π.Σ. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 6/164

Ωφέλεια Εισαγωγή - Τα βασικά σύνολα αριθμών Γενική περιγραφή και ωφελιμότης Σκοπός και στόχοι Μαθησιακά αποτελέσματα Συστάσεις Περιεχόμενα Βιβλιογραφία Τα βασικά σύνολα αριθμών Αποτελεί το υπόβαθρο αρκετών μαθημάτων του Π.Σ. Μαθηματική Ανάλυση ΙΙ Διακριτά Μαθηματικά Αριθμητική Ανάλυση Πιθανότητες και στοιχεία Στατιστικής Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 6/164

Ωφέλεια Εισαγωγή - Τα βασικά σύνολα αριθμών Γενική περιγραφή και ωφελιμότης Σκοπός και στόχοι Μαθησιακά αποτελέσματα Συστάσεις Περιεχόμενα Βιβλιογραφία Τα βασικά σύνολα αριθμών Αποτελεί το υπόβαθρο αρκετών μαθημάτων του Π.Σ. Μαθηματική Ανάλυση ΙΙ Διακριτά Μαθηματικά Αριθμητική Ανάλυση Πιθανότητες και στοιχεία Στατιστικής Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αποτελεί το υπόβαθρο πολλών γνωστικών αντικειμένων εκτός Π.Σ. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 6/164

Ωφέλεια Εισαγωγή - Τα βασικά σύνολα αριθμών Γενική περιγραφή και ωφελιμότης Σκοπός και στόχοι Μαθησιακά αποτελέσματα Συστάσεις Περιεχόμενα Βιβλιογραφία Τα βασικά σύνολα αριθμών Αποτελεί το υπόβαθρο αρκετών μαθημάτων του Π.Σ. Μαθηματική Ανάλυση ΙΙ Διακριτά Μαθηματικά Αριθμητική Ανάλυση Πιθανότητες και στοιχεία Στατιστικής Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αποτελεί το υπόβαθρο πολλών γνωστικών αντικειμένων εκτός Π.Σ. Αρχές Γλωσσών Προγραμματισμού Θεωρία Πληροφοριών και Κωδίκων Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 6/164

Σκοπός Εισαγωγή - Τα βασικά σύνολα αριθμών Γενική περιγραφή και ωφελιμότης Σκοπός και στόχοι Μαθησιακά αποτελέσματα Συστάσεις Περιεχόμενα Βιβλιογραφία Τα βασικά σύνολα αριθμών Η εισαγωγή των βασικότερων εννοιών του Απειροστικού Λογισμού παρέχοντας το κατάλληλο μαθηματικό υπόβαθρο για περαιτέρω επέκταση και ανάπτυξη. Η διδασκαλία και η εκμάθηση των απαραιτήτων μαθηματικών τόσο για την θεμελίωση της Πληροφορικής και της Επιστήμης Η/Υ όσο και για την σωστή θεώρησή τους ως επιστήμη. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 7/164

Στόχοι Εισαγωγή - Τα βασικά σύνολα αριθμών Γενική περιγραφή και ωφελιμότης Σκοπός και στόχοι Μαθησιακά αποτελέσματα Συστάσεις Περιεχόμενα Βιβλιογραφία Τα βασικά σύνολα αριθμών Η διαισθητική παρουσίαση των αφηρημένων εννοιών. Η μη αναπαραγωγή ενός μαθηματικού συγγράμματος γραμμένου υπό τη μορφή ορισμός-θεώρημα-απόδειξη-πόρισμα. Η παροχή των απαιτούμενων γνώσεων για την παρακολούθηση των διδασκόμενων στο τμήμα μαθημάτων, τα οποία βασίζονται στις θεμελιώδεις έννοιες των συναρτήσεων μιας μεταβλητής, όπως είναι η οριακή τιμή, η συνέχεια, η παράγωγος και το ολοκλήρωμα ή και σε διακριτές έννοιες όπως είναι οι ακολουθίες και οι σειρές. Η ανάπτυξη κρίσης, μαθηματικής αυστηρότητας και πειθαρχίας. Η γνώση της μαθηματικής γλώσσας με την οποία ο φοιτητής δομεί στέρεα και αυστηρώς τις έννοιες, τα φαινόμενα και τους νόμους της επιστήμης και της τεχνολογίας. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 8/164

Γενική περιγραφή και ωφελιμότης Σκοπός και στόχοι Μαθησιακά αποτελέσματα Συστάσεις Περιεχόμενα Βιβλιογραφία Τα βασικά σύνολα αριθμών Με την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος θα είστε σε θέση να διευρύνετε τη γνώση σας σε διάφορες περιοχές των ανωτέρων Μαθηματικών και να κατανοείτε βασικές αρχές και θεωρήματα της Ανάλυσης συναρτήσεων μίας μεταβλητής, Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 9/164

Γενική περιγραφή και ωφελιμότης Σκοπός και στόχοι Μαθησιακά αποτελέσματα Συστάσεις Περιεχόμενα Βιβλιογραφία Τα βασικά σύνολα αριθμών Με την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος θα είστε σε θέση να διευρύνετε τη γνώση σας σε διάφορες περιοχές των ανωτέρων Μαθηματικών και να κατανοείτε βασικές αρχές και θεωρήματα της Ανάλυσης συναρτήσεων μίας μεταβλητής, να αποκτήσετε τις απαραίτητες εκείνες δεξιότητες ώστε να χρησιμοποιείτε τα εργαλεία των ανωτέρων Μαθηματικών προκειμένου να αναπτύξετε κριτική και αναλυτική σκέψη στην επίλυση προβλημάτων, Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 9/164

Γενική περιγραφή και ωφελιμότης Σκοπός και στόχοι Μαθησιακά αποτελέσματα Συστάσεις Περιεχόμενα Βιβλιογραφία Τα βασικά σύνολα αριθμών Με την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος θα είστε σε θέση να διευρύνετε τη γνώση σας σε διάφορες περιοχές των ανωτέρων Μαθηματικών και να κατανοείτε βασικές αρχές και θεωρήματα της Ανάλυσης συναρτήσεων μίας μεταβλητής, να αποκτήσετε τις απαραίτητες εκείνες δεξιότητες ώστε να χρησιμοποιείτε τα εργαλεία των ανωτέρων Μαθηματικών προκειμένου να αναπτύξετε κριτική και αναλυτική σκέψη στην επίλυση προβλημάτων, να κατανοείτε και να εκτιμάτε τα λογικά βήματα των Μαθηματικών και ιδιαιτέρως τη συμβολή τους στην κατασκευή αποδείξεων και λύσεων σε διάφορα προβλήματα, Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 9/164

Γενική περιγραφή και ωφελιμότης Σκοπός και στόχοι Μαθησιακά αποτελέσματα Συστάσεις Περιεχόμενα Βιβλιογραφία Τα βασικά σύνολα αριθμών Με την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος θα είστε σε θέση να διευρύνετε τη γνώση σας σε διάφορες περιοχές των ανωτέρων Μαθηματικών και να κατανοείτε βασικές αρχές και θεωρήματα της Ανάλυσης συναρτήσεων μίας μεταβλητής, να αποκτήσετε τις απαραίτητες εκείνες δεξιότητες ώστε να χρησιμοποιείτε τα εργαλεία των ανωτέρων Μαθηματικών προκειμένου να αναπτύξετε κριτική και αναλυτική σκέψη στην επίλυση προβλημάτων, να κατανοείτε και να εκτιμάτε τα λογικά βήματα των Μαθηματικών και ιδιαιτέρως τη συμβολή τους στην κατασκευή αποδείξεων και λύσεων σε διάφορα προβλήματα, να συνθέτετε και να εφαρμόζετε τις ιδέες και τις μεθόδους που περιγράφονται στο Π.Σ. ώστε να επιλύετε διαθεματικά προβλήματα και να εμβαθύνετε τις γνώσεις σας σε εφαρμογές των Μαθηματικών σχετιζόμενες με την Πληροφορική. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 9/164

Ας γνωριστούμε... Γενική περιγραφή και ωφελιμότης Σκοπός και στόχοι Μαθησιακά αποτελέσματα Συστάσεις Περιεχόμενα Βιβλιογραφία Τα βασικά σύνολα αριθμών Πτυχιούχος μαθηματικών (Τμήμα Μαθηματικών, Ε.Κ.Π.Α.) Κάτοχος του μεταπτυχιακού Επαγγελματικού Ενδεικτικού Πληροφορικής και Επιχειρησιακής Ερευνας (Τμήμα Μαθηματικών, Ε.Κ.Π.Α.) Διδάκτωρ (Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Ε.Κ.Π.Α.) Εργάζομαι στη Δευτεροβάθμια (Σχολικός Σύμβουλος) και Τριτοβάθμια (Ε.Α.Π., Τ.Ε.Ι. Αθηνών, Π.Σ.Ε., Π.Θ., Ε.Κ.Π.Α.) Εκπαίδευση http://cgi.di.uoa.gr/ vasilios/ Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 10/164

Ερευνητικά ενδιαφέροντα Γενική περιγραφή και ωφελιμότης Σκοπός και στόχοι Μαθησιακά αποτελέσματα Συστάσεις Περιεχόμενα Βιβλιογραφία Τα βασικά σύνολα αριθμών Μορφοκλασματική και υπολογιστική γεωμετρία Γραφική υπολογιστών Δυναμικά συστήματα Επεξεργασία και συμπίεση εικόνων Υπολογιστική μιγαδική ανάλυση Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 11/164

Γενική περιγραφή και ωφελιμότης Σκοπός και στόχοι Μαθησιακά αποτελέσματα Συστάσεις Περιεχόμενα Βιβλιογραφία Τα βασικά σύνολα αριθμών Σύνολα. Η έννοια της απεικόνισης. Πραγματικοί αριθμοί. Αξιώματα του R. Ρητοί αριθμοί. Το διευρυμένο σύνολο R. Ακολουθίες πραγματικών αριθμών. Οριο ακολουθίας. Εξισώσεις διαφορών. πραγματικών συναρτήσεων. Βασικά κριτήρια σύγκλισης σειρών. Συνέχεια συνάρτησης. Βασικά θεωρήματα. Παράγωγος συνάρτησης. Βασικά θεωρήματα. Κανόνας Leibniz. Διαφορικό. Παράγωγοι και διαφορικά ανώτερης τάξης. Προσέγγιση συναρτήσεων με πολυώνυμα. Πολυώνυμο Taylor (Maclaurin). Δυναμοσειρές. Αόριστο ολοκλήρωμα. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Ολοκλήρωμα Riemann. Θεμελιώδη θεωρήματα. Θεώρημα μέσης τιμής του Ολοκληρωτικού Λογισμού. Παραγώγιση ολοκληρωμάτων. Γενικευμένο ολοκλήρωμα. Βασικές προτάσεις σύγκλισης. Εφαρμογές ορισμένου ολοκληρώματος. Fourier. Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 12/164

Ακροατήριο Εισαγωγή - Τα βασικά σύνολα αριθμών Γενική περιγραφή και ωφελιμότης Σκοπός και στόχοι Μαθησιακά αποτελέσματα Συστάσεις Περιεχόμενα Βιβλιογραφία Τα βασικά σύνολα αριθμών Απευθύνεται στους έχοντες την Μαθηματική Ανάλυση στο πρόγραμμα σπουδών φοιτητές τμημάτων Πληροφορικής ή Επιστήμης Η/Υ. Το ύφος παρουσίασης και γραφής είναι διαλεκτικό και περιγραφικό δίχως απώλεια της μαθηματικής αυστηρότητας. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 13/164

Επίπεδο του μαθήματος Γενική περιγραφή και ωφελιμότης Σκοπός και στόχοι Μαθησιακά αποτελέσματα Συστάσεις Περιεχόμενα Βιβλιογραφία Τα βασικά σύνολα αριθμών Λίγο έως πολύ αυτόνομο. Οι συμμετέχοντες δεν αναμένεται να έχουν εκ των προτέρων γνώση των θεμάτων. Προαπαιτούνται κάποιες βασικές γνώσεις. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 14/164

Επίπεδο του μαθήματος Γενική περιγραφή και ωφελιμότης Σκοπός και στόχοι Μαθησιακά αποτελέσματα Συστάσεις Περιεχόμενα Βιβλιογραφία Τα βασικά σύνολα αριθμών Λίγο έως πολύ αυτόνομο. Οι συμμετέχοντες δεν αναμένεται να έχουν εκ των προτέρων γνώση των θεμάτων. Προαπαιτούνται κάποιες βασικές γνώσεις. Προαπαιτούμενες γνώσεις Μαθηματικά (Β, Γ Γενικού Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης) Μαθηματικά και στοιχεία στατιστικής (Γ Γενικού Λυκείου Γενικής Παιδείας) Άλγεβρα (Β Γενικού Λυκείου Γενικής Παιδείας) Άλγεβρα και στοιχεία πιθανοτήτων (Α Γενικού Λυκείου Γενικής Παιδείας) Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 14/164

Επίπεδο του μαθήματος Γενική περιγραφή και ωφελιμότης Σκοπός και στόχοι Μαθησιακά αποτελέσματα Συστάσεις Περιεχόμενα Βιβλιογραφία Τα βασικά σύνολα αριθμών Λίγο έως πολύ αυτόνομο. Οι συμμετέχοντες δεν αναμένεται να έχουν εκ των προτέρων γνώση των θεμάτων. Προαπαιτούνται κάποιες βασικές γνώσεις. Προαπαιτούμενες γνώσεις Μαθηματικά (Β, Γ Γενικού Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης) Μαθηματικά και στοιχεία στατιστικής (Γ Γενικού Λυκείου Γενικής Παιδείας) Άλγεβρα (Β Γενικού Λυκείου Γενικής Παιδείας) Άλγεβρα και στοιχεία πιθανοτήτων (Α Γενικού Λυκείου Γενικής Παιδείας) Βοηθητικό υλικό Διαφάνειες Σημειώσεις Βιβλιογραφία Άρθρα Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 14/164

Γενική περιγραφή και ωφελιμότης Σκοπός και στόχοι Μαθησιακά αποτελέσματα Συστάσεις Περιεχόμενα Βιβλιογραφία Τα βασικά σύνολα αριθμών R. L. Finney, M. D. Weir and F. R. Giordano. Απειροστικός Λογισμός του THOMAS. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 2012. M. Spivak. Διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 2η έκδοση, 2011. Χ. Ε. Αθανασιάδης, Ε. Γιαννακούλιας και Σ. Χ. Γιωτόπουλος. Γενικά Μαθηματικά - Απειροστικός Λογισμός Τόμος Ι. Εκδόσεις Συμμετρία, 2009. Δ. Γ. Δασκαλόπουλος. Ανώτερα Μαθηματικά V - Διαφορικές εξισώσεις. Εκδόσεις Ζήτη, 1999. Λ. Ν. Τσίτσας. Εφαρμοσμένος Απειροστικός Λογισμός. Εκδόσεις Συμμετρία, 2003. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 15/164

Γενική περιγραφή και ωφελιμότης Σκοπός και στόχοι Μαθησιακά αποτελέσματα Συστάσεις Περιεχόμενα Βιβλιογραφία Τα βασικά σύνολα αριθμών Μέθοδος, χρόνος και τόπος διδασκαλίας Διά ζώσης εκπαίδευση. Διεξαγωγή μίας πανεπιστημιακής παράδοσης ανά εβδομάδα. Δύο ώρες συνολικώς. Τρίτη 13.00 15.00 ώρα Ελλάδος. Αίθουσα 1. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 16/164

Αξιολόγηση Εισαγωγή - Τα βασικά σύνολα αριθμών Γενική περιγραφή και ωφελιμότης Σκοπός και στόχοι Μαθησιακά αποτελέσματα Συστάσεις Περιεχόμενα Βιβλιογραφία Τα βασικά σύνολα αριθμών Τρεις γραπτές εργασίες για την εργαστηριακή εξέταση. Τελικές και επαναληπτικές γραπτές εξετάσεις. Μέθοδος εξέτασης: Τυπολόγιο. Τρόπος και κανόνες επικοινωνίας. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 17/164

Σκοπός Εισαγωγή - Τα βασικά σύνολα αριθμών Γενική περιγραφή και ωφελιμότης Σκοπός και στόχοι Μαθησιακά αποτελέσματα Συστάσεις Περιεχόμενα Βιβλιογραφία Τα βασικά σύνολα αριθμών Μία σύντομη αναδρομή στις ιδιότητες των βασικών συνόλων αριθμών της Ανάλυσης, δηλαδή στα σύνολα των φυσικών, των ακεραίων, των ρητών, των αρρήτων, των πραγματικών και των μιγαδικών αριθμών. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 18/164

Φυσικοί αριθμοί Γενική περιγραφή και ωφελιμότης Σκοπός και στόχοι Μαθησιακά αποτελέσματα Συστάσεις Περιεχόμενα Βιβλιογραφία Τα βασικά σύνολα αριθμών Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1, 2,...} χαρακτηρίζεται από τις ακόλουθες δύο ιδιότητες: έχει μία αρχή: τον αριθμό 1, και αν το n είναι ένα στοιχείο του συνόλου N, τότε και το n + 1 είναι στοιχείο του N. (ιδιότητα της διαδοχής) (Το σύνολο N είναι κλειστό ως προς τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού) Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 19/164

Ακέραιοι αριθμοί Γενική περιγραφή και ωφελιμότης Σκοπός και στόχοι Μαθησιακά αποτελέσματα Συστάσεις Περιεχόμενα Βιβλιογραφία Τα βασικά σύνολα αριθμών Το σύνολο των ακεραίων αριθμών Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} χάνει την ιδιότητα του συνόλου N να έχει αρχή, διατηρεί την ιδιότητα της διαδοχής και κερδίζει την ιδιότητα να είναι κλειστό ως προς την πράξη της αφαίρεσης. Ετσι, στο σύνολο Z μπορούμε να κάνουμε πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμό και το άθροισμα, η διαφορά και το γινόμενο να είναι πάλι στοιχεία του Z. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 20/164

Ρητοί αριθμοί Εισαγωγή - Τα βασικά σύνολα αριθμών Γενική περιγραφή και ωφελιμότης Σκοπός και στόχοι Μαθησιακά αποτελέσματα Συστάσεις Περιεχόμενα Βιβλιογραφία Τα βασικά σύνολα αριθμών Από τις τέσσερις πράξεις της αριθμητικής, από το σύνολο Z απουσιάζει η πράξη της διαίρεσης. Αν μεγαλώσουμε το σύνολο Z έτσι ώστε να είναι δυνατόν να κάνουμε και διαιρέσεις εντός αυτού, τότε δημιουργούμε το σύνολο των ρητών αριθμών { m } Q = m, n Z, n 0. n Το σύνολο Q δεν έχει πια την ιδιότητα της διαδοχής. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 21/164

Πραγματικοί αριθμοί Γενική περιγραφή και ωφελιμότης Σκοπός και στόχοι Μαθησιακά αποτελέσματα Συστάσεις Περιεχόμενα Βιβλιογραφία Τα βασικά σύνολα αριθμών Το σύνολο R αναπαρίσταται γεωμετρικώς με μία ευθεία γραμμή επί της οποίας έχει καθορισθεί το σημείο 0, αρχή του άξονα, και το σημείο 1, μονάδα του άξονα. Στο δεξιό ήμισυ της ευθείας απεικονίζονται οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί και στο αριστερό ήμισυ οι αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί. Κάθε πραγματικός αριθμός αντιστοιχεί σε ένα μοναδικό σημείο της ευθείας και κάθε σημείο της ευθείας αντιστοιχεί σε έναν μοναδικό πραγματικό αριθμό. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 22/164

Πραγματική ευθεία Γενική περιγραφή και ωφελιμότης Σκοπός και στόχοι Μαθησιακά αποτελέσματα Συστάσεις Περιεχόμενα Βιβλιογραφία Τα βασικά σύνολα αριθμών Η ιδιότητα αυτή, ταυτίζουσα στην πραγματικότητα το σύνολο R με την ευθεία, μας επιτρέπει να μιλάμε για την ευθεία των πραγματικών αριθμών ή, όπως συχνά λέγεται, την πραγματική ευθεία. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 23/164

Άρρητοι αριθμοί Γενική περιγραφή και ωφελιμότης Σκοπός και στόχοι Μαθησιακά αποτελέσματα Συστάσεις Περιεχόμενα Βιβλιογραφία Τα βασικά σύνολα αριθμών Το σύνολο που απομένει, αν από το R αφαιρέσουμε το Q, ονομάζεται σύνολο αρρήτων αριθμών και συμβολίζεται με Q c, δηλαδή το συμπλήρωμα του συνόλου Q ως προς το σύνολο R. Κάθε στοιχείο του Q c, δηλαδή κάθε άρρητος αριθμός, χαρακτηρίζεται από το γεγονός ότι δεν μπορεί να γραφεί ως λόγος δύο ακεραίων ή ότι, αν γραφεί σε δεκαδική μορφή, έχει άπειρα δεκαδικά ψηφία μη περιοδικά. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 24/164

Βασικά χαρακτηριστικά Γενική περιγραφή και ωφελιμότης Σκοπός και στόχοι Μαθησιακά αποτελέσματα Συστάσεις Περιεχόμενα Βιβλιογραφία Τα βασικά σύνολα αριθμών Το βασικό χαρακτηριστικό του συνόλου R είναι ότι περιέχει όλους τους αριθμούς που αντιστοιχούν στα γεωμετρικά σημεία μεταξύ δύο οιωνδήποτε σημείων της ευθείας. Η ιδιότητα αυτή του R, την οποία δεν έχουν τα υποσύνολα του N, Z και Q, ονομάζεται πληρότητα. Στην πραγματικότητα αυτό που εξασφαλίζει η ιδιότητα της πληρότητας είναι ότι δεν υπάρχουν «κενά» μεταξύ δύο πραγματικών αριθμών. Στο σύνολο των πραγματικών κάθε θετικός πραγματικός αριθμός έχει ρίζα οιασδήποτε τάξης. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 25/164

Ανώτερα και κατώτερα φράγματα Γενική περιγραφή και ωφελιμότης Σκοπός και στόχοι Μαθησιακά αποτελέσματα Συστάσεις Περιεχόμενα Βιβλιογραφία Τα βασικά σύνολα αριθμών Εστω S ένα σύνολο πραγματικών αριθμών. Εάν υπάρχει ένας πραγματικός αριθμός b τέτοιος, ώστε x b για κάθε x S, τότε ο b καλείται ένα ανώτερο φράγμα για το S και λέμε ότι το S είναι φραγμένο άνωθεν από το b. Εάν ένα ανώτερο φράγμα b είναι και μέλος του S, τότε το b ονομάζεται το μεγαλύτερο μέλος ή το μέγιστο στοιχείο του S. Εάν υπάρχει τέτοιο, γράφουμε b = max S. Ενα σύνολο δίχως ανώτερο φράγμα λέγεται ότι είναι μη φραγμένο άνωθεν. Παρομοίως ορίζονται οι έννοιες κατώτερο φράγμα, φραγμένο κάτωθεν, μικρότερο μέλος (ή ελάχιστο στοιχείο). Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 26/164

Ελάχιστο ανώτερο φράγμα Γενική περιγραφή και ωφελιμότης Σκοπός και στόχοι Μαθησιακά αποτελέσματα Συστάσεις Περιεχόμενα Βιβλιογραφία Τα βασικά σύνολα αριθμών Εστω S ένα σύνολο πραγματικών αριθμών φραγμένο άνωθεν. Ενας πραγματικός αριθμός b ονομάζεται ελάχιστο ανώτερο φράγμα για το S εάν έχει τις ακόλουθες δύο ιδιότητες: α) Ο b είναι ένα ανώτερο φράγμα για το S. β) Κανείς αριθμός μικρότερος του b δεν είναι ένα ανώτερο φράγμα για το S. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 27/164

Πληθικός αριθμός Γενική περιγραφή και ωφελιμότης Σκοπός και στόχοι Μαθησιακά αποτελέσματα Συστάσεις Περιεχόμενα Βιβλιογραφία Τα βασικά σύνολα αριθμών Μη πεπερασμένα σύνολα ονομάζονται άπειρα. Σύνολα έχοντα ίδιο πλήθος στοιχείων με το N ονομάζονται αριθμήσιμα, ενώ τα έχοντα ίδιο πλήθος στοιχείων με το R, ονομάζονται υπεραριθμήσιμα ή μη αριθμήσιμα. Ορίζουμε ότι δύο σύνολα έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων (όμοια), όταν μπορούμε να αντιστοιχίσουμε ένα προς ένα τα στοιχεία τους. Από τα προαναφερόμενα σύνολα τα σύνολα N, Z και Q είναι αριθμήσιμα, ενώ τα σύνολα Q c και R είναι μη αριθμήσιμα. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 28/164

Η συνάρτηση Η ακολουθία Το όριο Βασικές ιδιότητες 1 Εισαγωγή - Τα βασικά σύνολα αριθμών 2 Η συνάρτηση Η ακολουθία και το όριο Βασικές ιδιότητες 3 Η έννοια της σειράς Κριτήρια σύγκλισης Απόλυτη και σχετική σύγκλιση 4 5 6 Θεώρημα μέσης τιμής Απροσδιόριστες μορφές 7 Πολυωνυμική προσέγγιση Ανάπτυγμα Taylor 8 Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 29/164

Η συνάρτηση Εισαγωγή - Τα βασικά σύνολα αριθμών Η συνάρτηση Η ακολουθία Το όριο Βασικές ιδιότητες Βασικό χαρακτηριστικό της έννοιας της συνάρτησης ή της απεικόνισης είναι το γεγονός ότι κάθε στοιχείο ενός συνόλου, το οποίο ονομάζεται πεδίο ορισμού, αντιστοιχεί σε ένα και μόνο στοιχείο ενός άλλου (ή και του ιδίου) συνόλου, το οποίο ονομάζεται πεδίο τιμών. Μία συνάρτηση παριστάνεται γραφικώς σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, όπου στον οριζόντιο άξονα τοποθετούμε το πεδίο ορισμού και στον κάθετο άξονα το πεδίο τιμών. Το σύνολο των γεωμετρικών σημείων της μορφής (x, f(x)) για όλα τα x του πεδίου ορισμού αποτελεί το γράφημα ή τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 31/164

Αμφιμονοσήμαντη συνάρτηση Η συνάρτηση Η ακολουθία Το όριο Βασικές ιδιότητες Αν μια συνάρτηση έχει την επί πλέον ιδιότητα ότι κάθε δύο διακεκριμένα στοιχεία του πεδίου ορισμού αντιστοιχούν σε δύο διακεκριμένα σημεία του πεδίου τιμών, τότε η συνάρτηση ονομάζεται ένα προς ένα ή αμφιμονοσήμαντη και συμβολικώς γράφεται ως 1-1. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 32/164

Συνάρτηση επί Εισαγωγή - Τα βασικά σύνολα αριθμών Η συνάρτηση Η ακολουθία Το όριο Βασικές ιδιότητες Μία συνάρτηση ονομάζεται επί, αν η αντιστοίχιση στοιχείων του πεδίου ορισμού σε στοιχεία του πεδίου τιμών εξαντλεί ολόκληρο το πεδίο τιμών. Με άλλα λόγια, δεν υπάρχει στοιχείο του πεδίου τιμών που να μην είναι σημείο αντιστοίχισης ενός τουλάχιστον στοιχείου του πεδίου ορισμού. Τα στοιχεία του πεδίου ορισμού ονομάζονται πρότυπα ή ανεξάρτητες μεταβλητές και τα στοιχεία του πεδίου τιμών ονομάζονται εικόνες ή εξαρτημένες μεταβλητές. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 33/164

Συμβολισμοί Εισαγωγή - Τα βασικά σύνολα αριθμών Η συνάρτηση Η ακολουθία Το όριο Βασικές ιδιότητες Αν με A συμβολίσουμε το πεδίο ορισμού και με B το πεδίο τιμών μίας συνάρτησης, τότε με f : A B συμβολίζουμε τη συνάρτηση με νόμο αντιστοίχισης f = f(x), x A, όπου x είναι το πρότυπο και f(x) είναι η αντίστοιχη εικόνα. Με το σύμβολο f(a ), που ονομάζουμε εικόνα του A, περιγράφουμε το σύνολο των εικόνων f(x) για όλα τα στοιχεία x, του υποσυνόλου A του A. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 34/164

Αντίστροφη συνάρτηση Η συνάρτηση Η ακολουθία Το όριο Βασικές ιδιότητες Μία ένα προς ένα και επί συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού και πεδίο τιμών με το ίδιο πλήθος στοιχείων. Μία τέτοια συνάρτηση f μπορεί να αντιστραφεί και ορίζει την αντίστροφη συνάρτηση f 1 μέσω της οποίας αντιστοιχείται σε κάθε εικόνα το μοναδικό της πρότυπο. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 35/164

Η συνάρτηση Η ακολουθία Το όριο Βασικές ιδιότητες Περιορισμός και επέκταση συνάρτησης Ονομάζουμε περιορισμό μίας συνάρτησης, τη συνάρτηση που προκύπτει, αν αντικαταστήσουμε το πεδίο ορισμού της με ένα γνήσιο υποσύνολό του και διατηρήσουμε τον ίδιο νόμο αντιστοίχισης. Αντιστοίχως, αν αντικαταστήσουμε το πεδίο ορισμού με ένα γνήσιο υπερσύνολό του, διατηρώντας τον ίδιο νόμο αντιστοίχισης στο αρχικό πεδίο ορισμού και καθορίσουμε κατά μοναδικό τρόπο τις εικόνες των επιπλέον προτύπων, τότε η νέα συνάρτηση ονομάζεται επέκταση της αρχικής. Στο παρακάτω παράδειγμα η g : A B αποτελεί περιορισμό της f : A B. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 36/164

Σύνθεση συναρτήσεων Η συνάρτηση Η ακολουθία Το όριο Βασικές ιδιότητες Μία ακόμα απαραίτητη έννοια είναι αυτή της σύνθεσης δύο συναρτήσεων. Η βασική απαίτηση εδώ είναι ότι σύνθεση δύο συναρτήσεων μπορεί να γίνει μόνο, όταν υπάρχουν εικόνες της μίας που είναι συγχρόνως και πρότυπα της άλλης. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 37/164

Φραγμένο σύνολο Η συνάρτηση Η ακολουθία Το όριο Βασικές ιδιότητες Θεώρημα Αρχιμήδη x R N n > x Για κάθε x R υπάρχει μοναδικός ακέραιος k 0 τέτοιος ώστε k 0 x < k 0 + 1 Ο k 0 ονομάζεται ακέραιο μέρος του x και συμβολίζεται ως [x]. Από τον ορισμό του [x] έχουμε [x] x < [x] + 1 άρα και x 1 < [x] x. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 38/164

Ανισότητα Bernoulli Η συνάρτηση Η ακολουθία Το όριο Βασικές ιδιότητες Υποθέτουμε ότι ο θ είναι ένας πραγματικός αριθμός με θ > 1. Τότε, για κάθε n = 1, 2,... ισχύει: (1 + θ) n 1 + nθ. Απόδειξη Για n = 1 η παραπάνω σχέση ισχύει (ως ισότητα). Υποθέτουμε ότι για κάποιον θετικό ακέραιο n έχουμε: (1 + θ) n 1 + nθ. Τότε, (1 + θ) n+1 = (1 + θ)(1 + θ) n (1 + θ)(1 + nθ) = 1 + (n + 1)θ + nθ 2 1 + (n + 1)θ, δηλαδή η ανισότητα ισχύει και για n + 1. Επομένως ισχύει για κάθε n = 1, 2,.... Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 39/164

Η ακολουθία Εισαγωγή - Τα βασικά σύνολα αριθμών Η συνάρτηση Η ακολουθία Το όριο Βασικές ιδιότητες Ισως η απλούστερη, μη τετριμμένη, συνάρτηση είναι η έχουσα ως πεδίο ορισμού της το σύνολο N των φυσικών αριθμών και ως πεδίο τιμών το σύνολο R των πραγματικών αριθμών. Μία τέτοια συνάρτηση f : N R ονομάζεται ακολουθία και αντανακλά ακριβώς την ιδιότητα της διαδοχής που έχει το σύνολο N. Το σύνολο {a n n n 0 } όπου n 0 είναι οιοσδήποτε φυσικός αριθμός, ονομάζεται ουρά της ακολουθίας a n, n N. Παρατηρούμε ότι η ουρά περιέχει πάντοτε άπειρους όρους της ακολουθίας, καθώς επίσης ότι οι όροι της ακολουθίας μη ανήκοντες στην ουρά είναι πεπερασμένου πλήθους. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 41/164

Φραγμένες ακολουθίες Η συνάρτηση Η ακολουθία Το όριο Βασικές ιδιότητες Μία ακολουθία a n, n N λέγεται άνω φραγμένη τότε και μόνον, εάν για κάποιον αριθμό M R a n M, n N. Αντιστοίχως, λέγεται κάτω φραγμένη τότε και μόνον, εάν για κάποιον αριθμό m R m a n, n N. Η ακολουθία a n, n N λέγεται φραγμένη, εάν είναι συγχρόνως άνω και κάτω φραγμένη, δηλαδή τότε και μόνον, εάν για κάποιους m, M R m a n M, n N. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 42/164

Η συνάρτηση Η ακολουθία Το όριο Βασικές ιδιότητες Να αποδειχθεί ότι η ακολουθία με γενικό τύπο ( b n = 1 + 1 ) ( + 1 2 ( + + 2 2) 1 ) n 1 2 είναι φραγμένη. Απόδειξη. Γνωρίζουμε ότι ( b n = 1 + 1 ) ( + 1 2 ( + + 2 2) 1 n 1 = 2) 1 ( 1 2 1 ( ) 1 2 = 2 [ ( 1 1 ) n ]. 3 2 Επομένως, b n = 2 3 ( 1 1 ) n 2 [ 1 + 2 3 1 n] 2 = 2 3 ) n [ 1 + 1 ] 2 n < 2 3 (1+1) = 4 3. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 43/164

Μονότονες ακολουθίες Η συνάρτηση Η ακολουθία Το όριο Βασικές ιδιότητες Η ακολουθία a n, n N λέγεται (i) αύξουσα, όταν a n a n+1, (ii) γνησίως αύξουσα, όταν (iii) φθίνουσα, όταν (iv) γνησίως φθίνουσα, όταν a n < a n+1, a n a n+1, n N n N n N a n > a n+1, n N. Μία αύξουσα ή φθίνουσα ακολουθία ονομάζεται μονότονη, ενώ μία γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα ονομάζεται γνησίως μονότονη. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 44/164

Υπακολουθίες Εισαγωγή - Τα βασικά σύνολα αριθμών Η συνάρτηση Η ακολουθία Το όριο Βασικές ιδιότητες Ονομάζουμε υπακολουθία μίας ακολουθίας f : N R κάθε σύνθεση συναρτήσεων της μορφής f g : N R, όπου g : N N μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού και τιμών το σύνολο N των φυσικών αριθμών. Εστωσαν s = {1/n} και k(n) = 2 n. Τότε s k = {1/2 n }. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 45/164

Το όριο Εισαγωγή - Τα βασικά σύνολα αριθμών Η συνάρτηση Η ακολουθία Το όριο Βασικές ιδιότητες Η έννοια του ορίου στα μαθηματικά είναι άμεσα συνδεδεμένη με την έννοια του απείρου. Η λέξη «τείνει» υποδηλώνει ότι «δεν δύναταιί να φθάσει». Εάν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι πεπερασμένο, τότε δυνάμεθα να περάσουμε από όλες και να φθάσουμε σε οιαδήποτε από αυτές. Εάν όμως το πλήθος των τιμών αυτών είναι άπειρο, τότε δεν είναι δυνατόν να περάσουμε από όλες, γιατί αυτή η διαδικασία δεν έχει τέλος. Στην περίπτωση αυτήν, ελέγχουμε κατά πόσον η μεταβλητή αυτή έχει μία τάση να πλησιάζει έναν συγκεκριμένο αριθμό και μόνον αυτόν. Οταν αυτό συμβαίνει, τότε λέμε ότι η μεταβλητή τείνει προς τον αριθμό αυτό. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 46/164

Μηδενική ακολουθία Η συνάρτηση Η ακολουθία Το όριο Βασικές ιδιότητες Η ακολουθία a n, n N ονομάζεται μηδενική, ιδιότητα συμβολιζόμενη με τη σχέση lim n a n = 0 τότε και μόνον, εάν για κάθε δεδομένο πραγματικό αριθμό ε > 0, υπάρχει φυσικός αριθμός n 0 εξαρτώμενος από τον ε, για κάθε n n 0 ώστε a n ( ε, ε). Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 47/164

Η συνάρτηση Η ακολουθία Το όριο Βασικές ιδιότητες Παράδειγμα Να αποδειχθεί ότι η ακολουθία με γενικό όρο a n = 1 n, n N τείνει προς το 0 καθώς το n τείνει προς το, δηλ. ότι lim n a n = 0 Απόδειξη Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 48/164

Η συνάρτηση Η ακολουθία Το όριο Βασικές ιδιότητες Παράδειγμα Να αποδειχθεί ότι η ακολουθία με γενικό όρο a n = 1 n, n N τείνει προς το 0 καθώς το n τείνει προς το, δηλ. ότι lim n a n = 0 Απόδειξη Αρκεί να αποδείξουμε ότι για κάθε ε > 0 υπάρχει θετικός ακέραιος n 0 με την ιδιότητα a n = 1/n < ε 1/ε < n για κάθε n n 0. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 48/164

Η συνάρτηση Η ακολουθία Το όριο Βασικές ιδιότητες Παράδειγμα Να αποδειχθεί ότι η ακολουθία με γενικό όρο a n = 1 n, n N τείνει προς το 0 καθώς το n τείνει προς το, δηλ. ότι lim n a n = 0 Απόδειξη Αρκεί να αποδείξουμε ότι για κάθε ε > 0 υπάρχει θετικός ακέραιος n 0 με την ιδιότητα a n = 1/n < ε 1/ε < n για κάθε n n 0. Θεωρούμε τον ελάχιστο ακέραιο n με αυτήν την ιδιότητα. Οπως γνωρίζουμε, αυτός είναι ο [1/ε] + 1, όπου [1/ε] είναι το ακέραιο μέρος του αριθμού 1/ε. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 48/164

Η συνάρτηση Η ακολουθία Το όριο Βασικές ιδιότητες Παράδειγμα Να αποδειχθεί ότι η ακολουθία με γενικό όρο a n = 1 n, n N τείνει προς το 0 καθώς το n τείνει προς το, δηλ. ότι lim n a n = 0 Απόδειξη Αρκεί να αποδείξουμε ότι για κάθε ε > 0 υπάρχει θετικός ακέραιος n 0 με την ιδιότητα a n = 1/n < ε 1/ε < n για κάθε n n 0. Θεωρούμε τον ελάχιστο ακέραιο n με αυτήν την ιδιότητα. Οπως γνωρίζουμε, αυτός είναι ο [1/ε] + 1, όπου [1/ε] είναι το ακέραιο μέρος του αριθμού 1/ε. Θέτουμε λοιπόν n 0 = [1/ε] + 1. Τότε 1/ε < n 0 και επομένως εάν n n 0, ισχύει 1/ε < n 1/n < ε. Άρα a n = 1/n < ε. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 48/164

Η συνάρτηση Η ακολουθία Το όριο Βασικές ιδιότητες Σχόλια Επειδή a n = a n = a n προκύπτει ότι lim a n = 0 lim( a n ) = 0 lim a n = 0. Για κάθε k N lim a n = 0 lim a n+k = 0. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 49/164

Αξιοσημείωτοι ακολουθίες Η συνάρτηση Η ακολουθία Το όριο Βασικές ιδιότητες Εάν 1 < x < 1, τότε a n = x n 0. Απόδειξη. Εστω 1 < x < 1. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: α) Εστω x = 0. Τότε a n = 0 n = 0, n N. Συνεπώς a n 0. β) Εστω x 0. Τότε 0 < x < 1 1/ x > 1 1/ x 1 > 0. Ούτω, θέτοντες 1/ x 1 = δ, έχουμε δ > 0 και 1 x = 1 + δ 1 x n = (1 + δ)n 1 + nδ > nδ 1 x n > nδ x n < 1 nδ a n < 1 n 1 δ ( n N). Εκ της τελευταίας σχέσεως, επειδή 1 n 1 δ 0, έπεται ότι a n 0. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 50/164

Η συνάρτηση Η ακολουθία Το όριο Βασικές ιδιότητες Σύγκλιση προς πραγματικό αριθμό Οταν είναι γνωστός ο τρόπος με τον οποίο ελέγχουμε κατά πόσο μία ακολουθία τείνει προς το μηδέν, τότε δυνάμεθα να ελέγξουμε κατά πόσο μία ακολουθία τείνει προς οιονδήποτε άλλον πραγματικό αριθμό a. Για να εξασφαλίσουμε την ισότητα ελέγχουμε κατά πόσο ισχύει ότι lim a n = a n lim (a n a) = 0. n Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 51/164

Το άπειρο ως όριο Η συνάρτηση Η ακολουθία Το όριο Βασικές ιδιότητες Γράφουμε lim n a n = + εάν για κάθε θετικό πραγματικό αριθμό M υπάρχει φυσικός αριθμός n 0, εξαρτώμενος από τον M, για κάθε n n 0 τέτοιος ώστε a n > M. Ομοίως, γράφουμε lim n a n = εάν για κάθε θετικό αριθμό M υπάρχει φυσικός αριθμός n 0, εξαρτώμενος από τον M, για κάθε n n 0 τέτοιος ώστε a n < M. Τα σύμβολα + και δεν παριστούν πραγματικούς αριθμούς. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 52/164

Συγκλίνουσα ακολουθία Η συνάρτηση Η ακολουθία Το όριο Βασικές ιδιότητες Ετσι ανάγουμε τη διαδικασία σύγκλισης προς τον αριθμό a σε διαδικασία σύγκλισης προς το μηδέν. Μία τέτοια ακολουθία ονομάζεται συγκλίνουσα. Μία μη συγκλίνουσα είναι δυνατόν να έχει όριο το + ή το να μην έχει όριο. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 53/164

Βασικές ιδιότητες Η συνάρτηση Η ακολουθία Το όριο Βασικές ιδιότητες Οι τέσσερις κάτωθι ιδιότητες εξασφαλίζουν ότι οι συγκλίνουσες οριακές διαδικασίες διατηρούν αναλλοίωτες τις αριθμητικές πράξεις της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης. Συγκεκριμένα ισχύει η κάτωθι πρόταση. Εάν lim a n = a και lim b n = b, τότε n n i. lim n ii. iii. lim n lim n (a n + b n) = a + b (a n b n) = a b (a n b n) = a b iv. Εάν επί πλέον b 0, τότε lim n a n b n = a b Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 55/164

Ιδιότητες Εισαγωγή - Τα βασικά σύνολα αριθμών Η συνάρτηση Η ακολουθία Το όριο Βασικές ιδιότητες Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία είναι φραγμένη. Το αντίστροφο δεν ισχύει. Η a n = ( 1) n, n = 1, 2,... είναι φραγμένη, διότι a n = 1, αλλά δεν συγκλίνει. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 56/164

Η συνάρτηση Η ακολουθία Το όριο Βασικές ιδιότητες Η σχέση μεταξύ μονότονης, φραγμένης και συγκλίνουσας ακολουθίας εκφράζεται από το ακόλουθο Θεώρημα Αν η ακολουθία a n, n N είναι αύξουσα και άνω φραγμένη, τότε είναι φραγμένη, συγκλίνει και a 1 a k lim n a n για κάθε k N. Ομοίως, αν η ακολουθία a n, n N είναι φθίνουσα και κάτω φραγμένη, τότε είναι φραγμένη, συγκλίνει και για κάθε k N. lim n a n a k a 1 Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 57/164

Πόρισμα Εισαγωγή - Τα βασικά σύνολα αριθμών Η συνάρτηση Η ακολουθία Το όριο Βασικές ιδιότητες Στην πρώτη περίπτωση, ο όρος a 1 αποτελεί το infimum και το όριο lim n αποτελεί το supremum των όρων της ακολουθίας. Στην δεύτερη περίπτωση, ο όρος a 1 αποτελεί το supremum και το όριο lim n αποτελεί το infimum των όρων της ακολουθίας. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 58/164

Παράδειγμα Εισαγωγή - Τα βασικά σύνολα αριθμών Η συνάρτηση Η ακολουθία Το όριο Βασικές ιδιότητες Η ακολουθία a n = 1 + 1 n, n N συγκλίνει, διότι είναι γνησίως φθίνουσα και κάτω φραγμένη από τον αριθμό 1, το όριό της. Η ακολουθία b n = 1 + ( 1)n n, n N δεν είναι μονότονη, αλλά επίσης συγκλίνει προς τον αριθμό 1. Η μονοτονία επιβάλλει τη σύγκλιση, αλλά η σύγκλιση δεν την απαιτεί. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 59/164

Η συνάρτηση Η ακολουθία Το όριο Βασικές ιδιότητες Θεωρούμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς a. Χωρίζουμε κάθε πλευρά σε τρία ίσα τμήματα. Με βάση το μεσαίο τμήμα κατασκευάζουμε ισόπλευρο τρίγωνο ευρισκόμενο στο εξωτερικό του αρχικού τριγώνου. Δημιουργείται έτσι ένα νέο σχήμα (άστρο). Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία αυτή στις πλευρές του άστρου και λαμβάνουμε το τρίτο εξ αριστερών σχήμα. Εάν επαναλάβουμε αυτή τη διαδικασία στις πλευρές του νέου σχήματος θα πάρουμε το τέταρτο εξ αριστερών σχήμα. Υποθέτουμε ότι αυτή η διαδικασία συνεχίζεται επ άπειρον. i) Να υπολογιστεί το μήκος της οριακής καμπύλης. ii) Να υπολογιστεί το εμβαδόν του εσωτερικού της οριακής αυτής καμπύλης. Η καμπύλη των χιονονιφάδων. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 60/164

Η συνάρτηση Η ακολουθία Το όριο Βασικές ιδιότητες Ας είναι k n το πλήθος των πλευρών του (μη κυρτού) πολυγώνου που προκύπτει μετά από n 1 βήματα, a n το μήκος της πλευράς του, Π n η περίμετρός του και E n το εμβαδόν του. Κάθε πλευρά του παλαιού πολυγώνου δίνει 4 πλευρές του νέου. Άρα ισχύει k n+1 = 4k n και επειδή k 1 = 3 λαμβάνουμε k n = 3 4 n 1. Κάθε πλευρά του νέου πολυγώνου ισούται με το 1/3 της πλευράς του παλαιού, δηλαδή, a n+1 = 1/3a n. Άρα a n = 1/3 n 1 a. Επομένως Π n+1 = k n+1 a n+1 = 4/3Π n, δηλ. lim Π n = +. Η οριακή καμπύλη έχει λοιπόν άπειρο μήκος! Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 61/164

Η συνάρτηση Η ακολουθία Το όριο Βασικές ιδιότητες Το εμβαδόν κάθε προστιθέμενου ισοπλεύρου τριγώνου είναι 3 4 ( ) 2 1 3 3 a n = 36 a2 n. Στο αρχικό εμβαδόν προσθέτουμε k n = 34 n 1 ισόπλευρα τρίγωνα συνολικού εμβαδού 3 3 4 n 1 36 a2 n = 4n 2 3 a 2 3 2n 1. Άρα Επομένως E n+1 = E n + 4n 2 3 a 2 ( ) 3 2n 1 = E n + 3a2 n 4 3. 16 9 lim E n = 8a2 3. n 15 Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 62/164

Κριτήριο σύγκλισης του Cauchy Η συνάρτηση Η ακολουθία Το όριο Βασικές ιδιότητες Η ακολουθία a n, n N συγκλίνει τότε και μόνο, εάν για κάθε ε > 0 υπάρχει n 0 N το οποίο εξαρτάται από το ε, έτσι ώστε a n a m < ε για κάθε ζεύγος φυσικών αριθμών n, m, οι οποίοι είναι μεγαλύτεροι ή ίσοι του n 0. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 63/164

Η συνάρτηση Η ακολουθία Το όριο Βασικές ιδιότητες Ισχύει η σχέση 1 1 ln x x 1, x για κάθε x > 0. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 64/164

Κριτήριο παρεμβολής Η συνάρτηση Η ακολουθία Το όριο Βασικές ιδιότητες Εστω a n c n b n για κάθε n m, όπου m σταθερός θετικός ακέραιος. Υποθέτουμε επίσης ότι a n a και b n a. Τότε c n a. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 65/164

Η συνάρτηση Η ακολουθία Το όριο Βασικές ιδιότητες Να ευρεθῆ το όριο της ακολουθίας όπου n N. a n = 1 n + 1 n + 1 + 1 n + 2 + + 1 2n, Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 66/164

1ος τρόπος Εισαγωγή - Τα βασικά σύνολα αριθμών Η συνάρτηση Η ακολουθία Το όριο Βασικές ιδιότητες θέτοντας x = k+1 k, όπου k = n, n + 1,..., 2n στη σχέση 1 1 x ln x x 1, λαμβάνουμε 1 k ( ) k + 1 k + 1 ln k + 1 1 1 k k k + 1 ln(k + 1) ln k 1 k. Αθροίζοντας τις σχέσεις κατά μέλη λαμβάνουμε 1 n + 1 + 1 1 + + n + 2 2n + 1 ln(2n+1) ln n 1 n + 1 a n + 1 2n + 1 1 n ln n + 1 ( ) 2n + 1 a n. n + + 1 2n. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 67/164

Η συνάρτηση Η ακολουθία Το όριο Βασικές ιδιότητες Άρα ( ) ( ) 2n + 1 2n + 1 ln a n ln 1 n n 2n + 1 + 1 n. Από το κριτήριο παρεμβολής λαμβάνουμε lim a n = ln 2. n Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 68/164

Η συνάρτηση Η ακολουθία Το όριο Βασικές ιδιότητες Εστω (a n ) μια ακολουθία με a n 0 για κάθε n = 1, 2,.... Αν lim a n+1 n a n < 1, να δειχθεί ότι η ακολουθία (a n ) είναι μηδενική. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 69/164

Η συνάρτηση Η ακολουθία Το όριο Βασικές ιδιότητες Να ευρεθῆ το όριο της ακολουθίας όπου n N. a n = 1 n + 1 n + 1 + 1 n + 2 + + 1 2n, Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 70/164

2ος τρόπος Εισαγωγή - Τα βασικά σύνολα αριθμών Η συνάρτηση Η ακολουθία Το όριο Βασικές ιδιότητες Η ακολουθία a n για n = 1, 2,... γράφεται ως a n = 1 n + 1 n + 1 + 1 n + 2 + + 1 2n ( 1 + n = 1 n = 1 n n + 1 + ( 1 + 1 1 + 1 n n n + 2 + + n 2n + 1 1 + 2 n ) + + 1 1 + n n ) = 1 n n 1 1 + k. n Παρατηρούμε ότι η ακολουθία είναι ένα άθροισμα Riemann για τον διαμερισμό του διαστήματος [0, 1], με ισαπέχοντα σημεία πλάτους 1/n, της συνάρτησης με τύπο k=0 Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 71/164

Η συνάρτηση Η ακολουθία Το όριο Βασικές ιδιότητες Επομένως, το lim a 1 n = lim n n n n k=0 1 1 + k n f(x) = 1 1 + x. = 1 0 1 1 + x dx = [ln 1 + x ]1 0 = ln 2. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 72/164

Η συνάρτηση Η ακολουθία Το όριο Βασικές ιδιότητες Να ευρεθῆ το όριο της ακολουθίας όπου n N. a n = 1 n 2 + 2 (n + 1) 2 + 3 (n + 2) 2 + + n + 1 (2n) 2, Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 73/164

Η συνάρτηση Η ακολουθία Το όριο Βασικές ιδιότητες Η ακολουθία a n για n = 1, 2,... γράφεται ως a n = n k=0 = 1 n 2 + 1 n k + 1 (n + k) 2 = 1 n n 2 + n k=1 k=1 k n (1 + k n )2 + k n (n + k) 2 + n k=1 1 (n + k) 2. k=1 1 (n + k) 2 Παρατηρούμε ότι η μεσαία ακολουθία είναι ένα άθροισμα Riemann για τον διαμερισμό του διαστήματος [0, 1], με ισαπέχοντα σημεία πλάτους 1/n, της συνάρτησης με τύπο f(x) = x (1 + x) 2. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 74/164

Η συνάρτηση Η ακολουθία Το όριο Βασικές ιδιότητες Επομένως, το 1 lim n n n k=1 Συνεπώς, το k n (1 + k n )2 = lim a n = lim n n [ = 1 n 2 + 1 n 1 x 0 (1 + x) 2 dx = [ ln 1 + x + 1 1 + x n k=1 k n (1 + k n )2 + 1 0 ] 1 n k=1 0 [ ] 1 1 + x 1 (1 + x) 2 dx = ln 2 1 2. ] 1 (n + k) 2 = ln 2 1 2. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 75/164

Η έννοια της σειράς Κριτήρια σύγκλισης Απόλυτη και σχετική σύγκλιση 1 Εισαγωγή - Τα βασικά σύνολα αριθμών 2 Η συνάρτηση Η ακολουθία και το όριο Βασικές ιδιότητες 3 Η έννοια της σειράς Κριτήρια σύγκλισης Απόλυτη και σχετική σύγκλιση 4 5 6 Θεώρημα μέσης τιμής Απροσδιόριστες μορφές 7 Πολυωνυμική προσέγγιση Ανάπτυγμα Taylor 8 Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 76/164

Η κατασκευή Εισαγωγή - Τα βασικά σύνολα αριθμών Η έννοια της σειράς Κριτήρια σύγκλισης Απόλυτη και σχετική σύγκλιση Ας υποθέσουμε ότι έχουμε την ακολουθία a n, n N. Με βάση αυτήν την ακολουθία μπορούμε να κατασκευάσουμε μία νέα ακολουθία s n, n N με τον ακόλουθο τρόπο s 1 = a 1 s 2 = a 1 + a 2 s 3 = a 1 + a 2 + a 3... s n = a 1 + a 2 + + a n = n k=1 δηλαδή ο όρος s n δημιουργείται από την πρόσθεση των n πρώτων όρων της ακολουθίας a n. a k Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 78/164

Ακολουθία μερικών αθροισμάτων Η έννοια της σειράς Κριτήρια σύγκλισης Απόλυτη και σχετική σύγκλιση Η ακολουθία s n, n N ονομάζεται ακολουθία μερικών αθροισμάτων και το ουσιαστικότερο χαρακτηριστικό της είναι η μνήμη της, δηλαδή το γεγονός ότι καταγράφει και λαμβάνει υπ όψιν της τις τιμές όλων των όρων a k από τους οποίους περνάει. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 79/164

Η έννοια της σειράς Η έννοια της σειράς Κριτήρια σύγκλισης Απόλυτη και σχετική σύγκλιση Το όριο της ακολουθίας s n, καθώς το n τείνει προς το άπειρο, ονομάζεται σειρά με όρους τους a n και συμβολίζεται με το άπειρο άθροισμα a n = lim s n. n n=1 Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 80/164

Σύγκλιση σειρών Η έννοια της σειράς Κριτήρια σύγκλισης Απόλυτη και σχετική σύγκλιση Λέμε ότι η σειρά συγκλίνει, όταν η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων της συγκλίνει, ενώ στην αντίθετη περίπτωση λέμε ότι η σειρά δεν συγκλίνει. Το άπειρο άθροισμα στη σχέση καθορίζει την έννοια της σειράς και δεν προδικάζει τη σύγκλισή της. Η αλλαγή ενός πεπερασμένου πλήθους όρων της σειράς αλλάζει την τιμή του ορίου μιας συγκλίνουσας σειράς αλλά αφήνει αναλλοίωτη την ίδια την ιδιότητα της σύγκλισης. Δεν είναι δυνατόν να μετατρέψουμε μία μη συγκλίνουσα σειρά σε συγκλίνουσα αλλάζοντας ένα πεπερασμένο πλήθος όρων, όπως επίσης είναι αδύνατον μία τέτοια αλλαγή να μετατρέψει μία συγκλίνουσα σειρά σε μη συγκλίνουσα. Η αντικατάσταση πεπερασμένου πλήθους όρων από άλλους στην περίπτωση συγκλίνουσας σειράς έχει ως μοναδικό αποτέλεσμα τη μεταβολή της τιμής του ορίου της s n που αντιπροσωπεύει την τιμή της σειράς. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 81/164

Ομαδοποιήσεις Εισαγωγή - Τα βασικά σύνολα αριθμών Η έννοια της σειράς Κριτήρια σύγκλισης Απόλυτη και σχετική σύγκλιση Η σύγκλιση μιας σειράς είναι επίσης πολύ ευαίσθητη σε διάφορες ομαδοποιήσεις των όρων της, δηλαδή στο πώς ακριβώς κάνουμε τις πράξεις. Για παράδειγμα, αν στη σειρά (1 1) = (1 1) + (1 1) + = lim s n = lim 0 = 0 n n n=1 έχουσα για όριο το 0, γίνουν οι ακόλουθες αποομαδοποιήσεις και επαναομαδοποιήσεις όρων παίρνουμε τη σειρά 1 + ( 1 + 1) + ( 1 + 1) + = 1 συγκλίνουσα προς διαφορετικό όριο ή τη σειρά (1 1+1)+( 1+1 1)+(1 1+1)+( 1+1 1)+ = 1 1+1 1+ η οποία δεν συγκλίνει, γιατί η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων ταλαντεύεται διαδοχικώς μεταξύ των αριθμών 1 και 0. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 82/164

Ευαισθησία Εισαγωγή - Τα βασικά σύνολα αριθμών Η έννοια της σειράς Κριτήρια σύγκλισης Απόλυτη και σχετική σύγκλιση Βλέπουμε λοιπόν ότι οι ομαδοποιήσεις όρων μπορούν όχι μόνο να μεταβάλλουν το όριο μίας σειράς, αλλά ακόμα και να καταστρέψουν τη σύγκλισή της. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 83/164

Η γεωμετρική σειρά Η έννοια της σειράς Κριτήρια σύγκλισης Απόλυτη και σχετική σύγκλιση Μία από τις απλούστερες αλλά συγχρόνως πολύ χρήσιμη είναι η γεωμετρική σειρά r n = 1 + r + r n + n=0 η οποία συγκλίνει όταν r < 1, δηλαδή όταν έχει λόγο με απόλυτη τιμή, αυστηρώς μικρότερο της μονάδος. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 84/164

Σύγκλιση γεωμετρικής σειράς Η έννοια της σειράς Κριτήρια σύγκλισης Απόλυτη και σχετική σύγκλιση Πρόκειται για το άθροισμα απείρων όρων της γεωμετρικής προόδου με λόγο r. Επομένως, μπορούμε να προσδιορίσουμε ακριβώς τόσο τους όρους της ακολουθίας των μερικών αθροισμάτων s 0 = r 0 = 1 s 1 = r 0 + r 1 = 1 + r s 2 = r 0 + r 1 + r 2 = 1 + r + r 2... s n = r 0 + r 1 + + r n = 1 rn+1 1 r όσο και την τελική συμπεριφορά της σειράς r n = lim s 1 r n+1 n = lim n n 1 r n=0 Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 85/164

Σύγκλιση γεωμετρικής σειράς Η έννοια της σειράς Κριτήρια σύγκλισης Απόλυτη και σχετική σύγκλιση Συμπεραίνουμε: Η γεωμετρική σειρά συγκλίνει όταν r < 1 αφού τότε lim n r n+1 = 0 και το τελικό άθροισμά της είναι ίσο με 1 1 r. Απειρίζεται θετικώς όταν r 1, αφού τότε lim n rn+1 = + και 1 r n+1 lim = 1 n 1 r 1 r = + Κυμαίνεται, όταν r 1, αφού το όριο lim n r n+1 δεν υπάρχει Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 86/164

Πράξεις επί των σειρών Η έννοια της σειράς Κριτήρια σύγκλισης Απόλυτη και σχετική σύγκλιση Εάν οι σειρές n=1 a n και n=1 β n συγκλίνουν και λ R, τότε οι σειρές (a n ± β n ) και λa n συγκλίνουν και n=1 n=1 (a n ± β n ) = a n + β n, n=1 n=1 n=1 λa n = λ a n. n=1 n=1 Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 87/164

Περί συγκλίσεως Η έννοια της σειράς Κριτήρια σύγκλισης Απόλυτη και σχετική σύγκλιση Εάν οι όροι στην ουρά μίας σειράς δεν τείνουν προς το μηδέν, τότε η σειρά δεν συγκλίνει. Για μία συγκλίνουσα σειρά με όρους a n ισχύει το συμπέρασμα lim a n = 0. n Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 89/164

Κριτήριο σύγκρισης Η έννοια της σειράς Κριτήρια σύγκλισης Απόλυτη και σχετική σύγκλιση Θεωρούμε τις σειρές για τις οποίες ισχύει ότι a n, a n 0 (1) n=1 β n, β n 0 (2) n=1 a n β n, n N. (i) Αν η σειρά (2) συγκλίνει, τότε και η σειρά (1) συγκλίνει. (ii) Αν η σειρά (1) δεν συγκλίνει, τότε και η σειρά (2) δεν συγκλίνει. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 90/164

Κριτήριο σύγκρισης Η έννοια της σειράς Κριτήρια σύγκλισης Απόλυτη και σχετική σύγκλιση Αν, προσθέτοντας άπειρους θετικούς αριθμούς, φθάσουμε σε έναν πεπερασμένο αριθμό, τότε προσθέτοντας άπειρους μικρότερους ή ίσους αριθμούς φθάνουμε πάλι σε έναν πεπερασμένο αριθμό. Αντιθέτως, αν το αποτέλεσμα της πρόσθεσης είναι άπειρο, τότε προσθέτοντας μεγαλύτερους ή ίσους αριθμούς καταλήγουμε πάλι σε άπειρο αποτέλεσμα. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 91/164

Κριτήριο του λόγου d Alembert Η έννοια της σειράς Κριτήρια σύγκλισης Απόλυτη και σχετική σύγκλιση Θεωρούμε τη σειρά a n, a n 0 n=1 (i) Αν a n+1 a n r < 1 για κάθε n μεγαλύτερο κάποιου φυσικού αριθμού n 0, τότε η σειρά συγκλίνει. (ii) Αν a n+1 a n 1 για κάθε n μεγαλύτερο κάποιου φυσικού αριθμού n 0, τότε η σειρά δεν συγκλίνει. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 92/164

Κριτήριο του λόγου d Alembert Η έννοια της σειράς Κριτήρια σύγκλισης Απόλυτη και σχετική σύγκλιση Στην ειδική περίπτωση όπου υπάρχει το όριο a n+1 lim = a n a n η σειρά συγκλίνει για a < 1, δεν συγκλίνει για a > 1 και δεν είναι δυνατόν να αποφασίσουμε για τη σύγκλιση, όταν a = 1. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 93/164

Κριτήριο του λόγου Cauchy Η έννοια της σειράς Κριτήρια σύγκλισης Απόλυτη και σχετική σύγκλιση Αν για τη σειρά a n, a n 0 n=1 (i) υπάρχει φυσικός αριθμός n 0 τέτοιος ώστε n an r < 1, n > n 0 τότε η σειρά συγκλίνει (ii) ενώ, αν n an 1 για άπειρους όρους, τότε η σειρά δεν συγκλίνει. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 94/164

Κριτήριο του λόγου Cauchy Η έννοια της σειράς Κριτήρια σύγκλισης Απόλυτη και σχετική σύγκλιση Ειδικώς, αν υπάρχει το όριο lim n an = r n τότε η σειρά συγκλίνει για r < 1, δεν συγκλίνει για r > 1 και δεν είναι δυνατόν να εξασφαλίσουμε βέβαιο συμπέρασμα αν r = 1. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 95/164

Κριτήριο του λόγου Cauchy Η έννοια της σειράς Κριτήρια σύγκλισης Απόλυτη και σχετική σύγκλιση Το κριτήριο της ρίζας παρέχει έναν άλλο τρόπο ελέγχου κατά πόσο οι όροι μίας σειράς μη αρνητικών όρων μικραίνουν αρκετά γρήγορα για να εξασφαλισθεί η σύγκλιση. Ο ρυθμός μείωσης των διαδοχικών όρων εδώ μετράται με τον ρυθμό μείωσης της n-οστής ρίζας του όρου, καθώς η τάξη της ρίζας αυξάνει συνεχώς. Β. Δρακόπουλος Μαθηματική Ανάλυση Ι 96/164