ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιμοποιώντας τανυστικά γινόμενα και εφαρμόζοντας το θεώρημα των Wedderbur-rt ( 33) θα αποδείξουμε δύο θεμελιώδη θεωρήματα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες θεώρημα Solem-Noether θεώρημα του διπλού κεντροποιητή Αμέσως μετά θα εφαρμόσουμε τα αποτελέσματα αυτά για να πάρουμε άλλα δύο φημισμένα θεωρήματα: την ταξινόμηση των παραγματικών αλγεβρών διαίρεσης που έχουν πεπερασμένη διάσταση (Frobeus), και το γεγονός ότι κάθε πεπερασμένος δακτύλιος διαίρεσης είναι μεταθετικός (Wedderbur) 6 Θεώρημα των Solem-Noether Έστω ένα σώμα και μια -άλγεβρα Το κέντρο της είναι ) { x rx xr r } Είναι μια μεταθετική υποάλγεβρα της που περιέχει το Η άλγεβρα λέγεται κεντρική αν ) δηλαδή αν το κέντρο είναι το μικρότερο δυνατό Υπενθυμίζουμε ότι μια άλγεβρα λέγεται απλή αν δεν έχει γνήσια μη τετριμμένα αμφίπλευρα ιδεώδη Παραδείγματα M είναι κεντρική -άλγεβρα αφού το κέντρο της είναι C M ( ) ai a Η ( ) Η M ( ) είναι απλή Η άλγεβρα των quateros (Παράδειγμα 5) είναι κεντρική απλή -άλγεβρα 3 Η ως -άλγεβρα είναι απλή αλλά όχι κεντρική ενώ ως -άλγεβρα είναι απλή και κεντρική 4 Η πολυωνυμική άλγεβρα [ x ] δεν είναι ούτε κεντρική ούτε απλή Έστω μια -άλγεβρα Μια υποάλγεβρα του είναι ένας υποδακτύλιος του (και άρα περιέχει το σύμφωνα με τις παραδοχές μας) που είναι και -υπόχωρος του 6 Θεώρημα (Solem-Noether) Έστω μια κεντρική απλή -άλγεβρα πεπερασμένης διάστασης και Α απλή υποάλγεβρα της Αν f : είναι ομομορφισμός -αλγεβρών, τότε υπάρχει αντιστρέψιμο c με την ιδιότητα f ( a) cac για κάθε a () 6 Πόρισμα Κάθε αυτομορφισμός μιας κεντρικής απλής άλγεβρας πεπερασμένης διάστασης είναι της μορφής () Παρατηρήσεις Σε σχέση με το προηγούμενο πόρισμα σημειώνουμε τα εξής Η υπόθεση ότι η άλγεβρα είναι κεντρική είναι απαραίτητη Για παράδειγμα ο αυτομορφισμός, z z (συζυγής του z) της -άλγεβρας δεν είναι της μορφής () To πόρισμα μας πληροφορεί ότι η ομάδα των αυτομορφισμών της -άλγεβρας M () είναι ισόμορφη με τη ( ) / GL N, όπου N dag( a,, a) M ( ) a, a 0 (άσκηση) Στην απόδειξη του Θεωρήματος 6 υπεισέρχεται με ουσιαστικό τρόπο η έννοια του τανυστικού γινομένου Υπενθυμίζουμε ότι αν Α, Β είναι -άλγεβρες, ο διανυσματικός χώρος καθίσταται - άλγεβρα αν θέσουμε ( a b) ( a b) aa bb

Το ταυτοτικό στοιχείο του 49 είναι το Στα παρακάτω θα γράφουμε στη θέση του 63 Λήμμα Έστω δακτύλιος και πρότυπα M και F όπου το F είναι ελεύθερο με βάση Χ Τότε κάθε u M F γράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως όπου u m x, m M και τα x X είναι ανά δύο διάφορα Απόδειξη: To ότι το u έχει μία έκφραση της ζητούμενης μορφής προκύπτει άμεσα από το γεγονός ότι το Χ παράγει το F ως -πρότυπο Για τη μοναδικότητα, αν x X γράφουμε x και M x M Τότε υπάρχει ισομορφισμός αβελιανών ομάδων x x x xx xx xx : M F M x M F M M M, όπου οι δύο τελευταίοι ισομορφισμοί είναι από την παράγραφο 5 Ισχύει ( m y) ( m), m M, όπου y : M y M x είναι η εμφύτευση στην y συντεταγμένη Από τον ορισμό του ευθέως αθροίσματος κάθε στοιχείο του μορφή x y xx ( m ) x ( m ) ( m x) ( m x xx M γράφεται μοναδικά στη xx ) m x όπου τα x είναι ανά δύο διάφορα στοιχεία του Χ Η μοναδικότητα προκύπτει από το γεγονός ότι ο είναι μονομορφισμός Το παρακάτω αποτέλεσμα θα χρησιμοποιηθεί πολλές φορές 64 Θεώρημα Έστω Α, Β απλές -άλγεβρες Αν η Α είναι κεντρική τότε η είναι απλή -άλγεβρα Απόδειξη: Έστω I 0 αμφίπλευρο ιδεώδες του Θα δείξουμε ότι I Ισχυρισμός v I {0} της μορφής v b, b Έστω προς στιγμή ότι ισχύει ο ισχυρισμός Το b είναι μη μηδενικό αμφίπλευρο ιδεώδες του Β Άρα b Έχουμε b ( )( b)( ) ( ) v( ), και συνεπώς I Επίσης και συνεπώς I ( )( ) ( ) I I, Απόδειξη του Ισχυρισμού Έστω Υ μια βάση του Β Έστω u I, u 0 u a y, () όπου a { 0}, y Y και τα y είναι ανά δύο διάφορα Επιλέγουμε μια έκφραση () με ελάχιστο (καθώς το u 0 διατρέχει το Ι) Λόγω της υπόθεσης της απλότητας έχουμε a Άρα x,

για κάποια r, s Θέτουμε Εκτελώντας πράξεις έχουμε Έστω a s, r v ( r ) u( s ) I v ( r, r a s y, )( a y )( s r a s y r a s y y r a s y ) () a η ποσότητα στην τελευταία παρένθεση Για να δείξουμε τον ισχυρισμό αρκεί να δείξουμε ότι a γιατί τότε θα έχουμε από την () οπότε θέτουμε b y a y v y a y Επειδή η Α είναι κεντρική, αρκεί να δείξουμε ότι Ισχυρισμός a ) Απόδειξη: Έστω a Θέτουμε Αντικαθιστώντας το ν από τη () παίρνουμε w a y a a y y a y y a y, (3) w ( a ) v v( a ) I a y aa y ( a a aa) y Από το ελάχιστο στον ορισμό του ν παίρνουμε w 0 Από το Λήμμα 63 έπεται ότι a a a a 0 δηλαδή a ) 50, Για την απόδειξη των κύριων θεωρημάτων αυτού του κεφαλαίου χρειαζόμαστε δύο επιπλέον αποτελέσματα 65 Λήμμα Έστω μια -άλγεβρα διαίρεσης και Α μια -άλγεβρα πεπερασμένης διάστασης Τότε () η είναι -άλγεβρα του rt () αν η είναι κεντρική και η Α είναι απλή τότε η είναι απλή Απόδειξη: Σύμφωνα με την παράγραφο 5, το είναι -πρότυπο γιατί έχουμε την κατάσταση, Από το Λήμμα 63 μία βάση του ως -πρότυπο είναι το X, όπου το Χ είναι βάση του Α

(ως διανυσματικός χώρος) Άρα dm dm Κάθε ιδεώδες του είναι -πρότυπο και άρα είναι ελεύθερο με τάξη dm ( ) (βλ Παράγραφο 5) Άρα κάθε φθίνουσα ακολουθία ιδεωδών του είναι τελικά σταθερή () δ διαίρεσης απλή (Θεώρημα 64) απλή 66 Λήμμα Έστω Α απλή -άλγεβρα πεπερασμένης διάστασης Αν Μ και Ν είναι Α-πρότυπα με dm M dm N, τότε M N ως Α-πρότυπα Απόδειξη: Η Α είναι του rt, αφού dm Είναι και απλή Από το θεώρημα Wedderbur-rt (Κεφάλαιο 3), το Α έχει μοναδικό απλό πρότυπο (με προσέγγιση ισομορφισμού εννοείται), έστω L Έχουμε τότε m M L και N L, (που είναι ισομορφισμοί Α-προτύπων) Από τη σχέση dm M dm N παίρνουμε m (αφού dm L, γιατί το L είναι πηλίκο του Α) Άρα M N ως Α-πρότυπα 5 Απόδειξη του θεωρήματος Solem-Noether op Έστω E Η E είναι πεπερασμένης διάστασης -άλγεβρα και, σύμφωνα με το Θεώρημα 64, απλή Συνεπώς κάθε δύο E -πρότυπα με ίσες πεπερασμένες διαστάσεις ως -διανυσματικοί χώροι είναι ισόμορφα (Λήμμα 66) Καθιστούμε την αβελιανή ομάδα ένα E -πρότυπο με δύο διαφορετικούς τρόπους: () ( r a) x rxa, () ( r a) x f ( r) xa, όπου r, a, x Συνεπώς υπάρχει ισομορφισμός αβελιανών ομάδων ( r a) h( x) h(( r a) x), δηλαδή h έτσι ώστε rh( x) a h( f ( r) xa) (3) για κάθε r, x, a Για r παίρνουμε h( x) a h( xa) για κάθε a, x Από αυτό συμπεραίνουμε ότι για c h() ισχύει h( x) cx για κάθε x Από την (3) έχουμε rh( x) h( f ( r) x) και επομένως rcx cf ( r) x οπότε rc cf ( r) Δηλαδή f ( r) c rc για κάθε r 6 Θεώρημα Διπλού Κεντροποιητή Έστω μια -άλγεβρα και S ένα υποσύνολο του Ο κεντροποιητής του S στο είναι η υποάλγεβρα ( : { r rs sr για κάθε s S} C Ισχύει S ) Το επόμενο θεώρημα περιγράφει μια κατάσταση όπου ισχύει ισότητα 6 Θεώρημα (Διπλού κεντροποιητή) Έστω κεντρική απλή -άλγεβρα πεπερασμένης διάστασης και S απλή υποάλγεβρα Τότε ) C ( είναι απλή -άλγεβρα ) dm dm S dm ) ) S Απόδειξη: Δίνουμε πρώτα ένα χαρακτηρισμό του C ( Η είναι απλή -άλγεβρα του rt Συνεπώς

(θεώρημα Wedderbur-rt) άλγεβρα διαίρεσης Το V γίνεται 5 Ed V, όπου το V είναι πεπερασμένης διάστασης -πρότυπο, - S πρότυπο με δράση ( d s) v : d( s( v)) s( dv) Ισχυριζόμαστε ότι Ed SV Πράγματι, έχουμε Αλλά Ed S ( v) { f Ed V f (( d s) v) ( d s) f ( v), v V, d, s S} f (( d s) v) ( d s) f ( v) f ( d( s( v)) d( s( f ( v))) df ( s( v)) d( s( f ( v)) f ( s( v)) sf ( v) fs sf f Ερχόμαστε τώρα στην απόδειξη των )-) ) Η S είναι απλή και η είναι απλή και κεντρική (όπως ακριβώς στην απόδειξη του θεωρήματος Sole- Noether) Από το θεώρημα 64, η S είναι απλή Είναι και του rt (Λήμμα 65 ()) Από το θεώρημα Wedderbur-rt παίρνουμε S Ed (V ), όπου V είναι ένα -πρότυπο, -άλγεβρα διαίρεσης Επιπλέον γνωρίζουμε ότι το V είναι το μοναδικό απλό κάποιο m Έχουμε S -πρότυπο Έτσι m V ( V ) για m Ed S ( V ) EdS (( V ) ) M m( Ed S ( V )) M m( ), (4) όπου ο τελευταίος ισομορφισμός της (4) προέρχεται από την άσκηση 30 ) Από την (4) έχουμε και από V ( V ) m dm m dm m dm V / dm V (6) Επειδή το V είναι ελεύθερο -πρότυπο και το είναι ελεύθερο -πρότυπο έχουμε dm V dm V dm (7) Αντικαθιστώντας τις (7) και (6) στην (5) παίρνουμε dm (dm V ) /(dm V ) dm Ο παρονομαστής είναι dm Ed ( V ) dm S dm dm S και ο αριθμητής είναι (dm V dm ) Άρα dm dm (dm Ed V ) ( V ) / dm dm / dm S dm S / dm ) Έχουμε dm dm S dm από το ) Γράφοντας την ίδια εξίσωση για C ( στη θέση του S (η C ( είναι βέβαια απλή από το ) παίρνουμε dm dm dm ) Από τις δύο εξισώσεις προκύπτει dm S dm ) Εφόσον ισχύει S ) προκύπτει το ζητούμενο S (5) 63 Εφαρμογές Θα αποδείξουμε εδώ δύο σημαντικά αποτελέσματα 63 Θεώρημα (Frobeus) Κάθε πραγματική άλγεβρα διαίρεσης πεπερασμένης διάστασης είναι ισόμορφη με μία από τις

, C, H 63 Θεώρημα (Wedderbur) Κάθε πεπερασμένος δακτύλιος διαίρεσης είναι μεταθετικός (δηλαδή σώμα) Ξεκινάμε με προκαταρκτικά που αφορούν δακτύλιους διαίρεσης 633 Λήμμα Έστω δακτύλιος διαίρεσης Τότε ) Υπάρχει μέγιστο υπόσωμα του ) Κάθε μέγιστο υπόσωμα Κ περιέχει το κέντρο C () ) Για κάθε μέγιστο υπόσωμα Κ ισχύει K ) K, όπου C (K ) είναι ο κεντροποιητής του Κ στο Απόδειξη: ) Τυπική εφαρμογή του λήμματος του Zor ) Αν υπάρχει d ), d K, τότε το σύνολο d( f ) K ( d) : f ( x), g( x) K[ x], g( d) 0 g( d) είναι σώμα που περιέχει γνήσια το Κ, άτοπο ) Αφού το Κ είναι μεταθετικό σύνολο, ισχύει K K) Αν υπάρχει d K), d K, τότε το σύνολο K (d) είναι σώμα που περιέχει γνήσια το Κ, άτοπο Το προηγούμενο λήμμα μαζί με το θεώρημα του διπλού κεντροποιητή δίνει αμέσως την πρόταση 634 Πρόταση Έστω κεντρική -άλγεβρα διαίρεσης πεπερασμένης διάστασης και Κ μέγιστο υπόσωμα του Τότε Απόδειξη του θεωρήματος 63 Έστω Κ μέγιστο υπόσωμα του Επειδή αλγεβρική Άρα η περίπτωση dm K Έχουμε dm (dm K) dm K dm, η επέκταση σωμάτων K / είναι dm K ή K και K ) οπότε ) K Η πρόταση 634 δίνει dm (dm K ), και άρα 53 η περίπτωση dm K K ) (α) C () C Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις (α) C () C (β) C ()

(β) C ( ) ) ) C Ισχύει K C ) και άρα (πρόταση 634) dm (dm K) C () Ισχύει K C Θεωρούμε του -ισομορφισμό f : K a b a b K Από το θεώρημα Sole-Noether, υπάρχει Ισχυριζόμαστε ότι x με την ιδιότητα x( a b) x a b για κάθε a, b (9) x Πράγματι, έχουμε x ( a b) x x( a b) x που σημαίνει ότι x K ) Έτσι x K (Λήμμα 633) Τέλος η σχέση ) Αν x 0, τότε x y, f ( x x δίνει x a b x r, r x r, άτοπο λόγω της (9) Άρα x 0 Γράφουμε y Θέτουμε : x / y και : Εύκολα ελέγχουμε ότι,, Ακόμα, η πρόταση 634 δίνει dm (dm K) 4 Εύκολα ελέγχουμε ότι τα στοιχεία,,, είναι γραμμικά ανεξάρτητα πάνω από το και άρα αποτελούν βάση του ως -διανυσματικός χώρος Άρα H 54 635 Λήμμα Έστω G πεπερασμένη ομάδα και Η γνήσια υποομάδα της G Τότε G ghg gg Απόδειξη: Έστω Χ το σύνολο των υποομάδων της G Θεωρούμε τη δράση της G το Χ που δίνεται από τη σχέση G X ( g, H ) ghg X Από γνωστό θεώρημα για δράσεις, ο πληθάριθμος της τροχιάς του G είναι ο σταθεροποιητής { g G g H H} Ο ορισμός της δράσης δίνει H G H G H N(H ) H X είναι ο δείκτης G : G ], όπου όπου N (H ) είναι ο κανονικοποιητής της Η στη G, N ( H ) { g G ghg H} σταθερό Η, το πλήθος των διακεκριμένων υποομάδων της G της μορφής Μετράμε τώρα τα στοιχεία του συνόλου ghg πλήθος τους είναι [ G : N ( H )]( H ) Άρα G ghg gg gg [ G : H ]( H ) (γιατί H N (H ) ) G [ G : H ] (θεώρημα Lagrage) G (γιατί H G ) ghg, [ H Συμπέρασμα: για g G, είναι [ G : N ( H )] που είναι διάφορα από το μοναδιαίο στοιχείο Το

55 Παρατήρηση: Κάθε d, όπου είναι δακτύλιος διαίρεσης περιέχεται σε κάποιο μέγιστο υπόσωμα f ( d) του Πράγματι το d περιέχεται στο σώμα ( d) f ( x), g( x) [ x], g( d) 0, όπου ) g( d) Τώρα το ζητούμενο προκύπτει από μια τυπική εφαρμογή του λήμματος του Zor πόδειξη του θεωρήματος 63 Έστω Κ μέγιστο υπόσωμα του Θα δείξουμε ότι K Έστω d Από την προηγούμενη παρατήρηση το d περιέχεται σε κάποιο σώμα Άρα ισχύει K, Κ μέγιστο υπόσωμα K Ισχυρισμός: Κάθε δύο μέγιστα υποσώματα του έχουν τον ίδιο πληθάριθμο Πράγματι, έστω το κέντρο του οπότε το είναι σώμα που περιέχεται στο Κ (λήμμα 633) Ως -άλγεβρα η έχει προφανώς πεπερασμένη τάξη Η πρόταση 634 δίνει όπου dm dm, K Άρα K q, όπου q και dm δεν εξαρτώνται από το Κ Τώρα από τη θεωρία Galos, υπενθυμίζουμε ότι κάθε δύο πεπερασμένα σώματα της ίδιας τάξης είναι ισόμορφα και επιπλέον αν είναι επεκτάσεις του υπάρχει ισομορφισμός που είναι ταυτοτικός στο Από το θεώρημα Solem-Noether συμπεραίνουμε ότι κάθε δύο μέγιστα υποσώματα του συνδέονται με μια σχέση της μορφής Συμπέρασμα: K xkx, x Λαμβάνοντας τις πολλαπλασιαστικές ομάδες έχουμε Από το λήμμα 635 αυτό είναι άτοπο εκτός αν xkx x xk x x K Αλλά τότε K Ασκήσεις Υπάρχει πεπερασμένη ομάδα G ώστε η άλγεβρα [G] να είναι κεντρική; Υπάρχει ισομορφισμός -αλγεβρών M ( ) M ( ) M ( ) m m Υπόδειξη: Οι άλγεβρες M ( ) M ( ), M ( ) είναι απλές m m 3 Έστω Α κεντρική απλή -άλγεβρα και Β -άλγεβρα Τότε ) Kάθε αμφίπλευρο ιδεώδες του έχει τη μορφή I, όπου το Ι είναι αμφίπλευρο ιδεώδες του Β ) ) ) 4 Έστω κεντρική -άλγεβρα διαίρεσης πεπερασμένης διάστασης Αν a, b έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυμο πάνω από το, τότε a xbx για κάποιο x 5 Ακολουθεί μια κομψή εφαρμογή του Θεωρήματος Solem-Noether Έστω δακτύλιος Μια προσθετική απεικόνιση d : λέγεται παραγώγιση αν d ( ab) ad( b) d( a) b για κάθε a, b Μια παραγώγιση λέγεται εσωτερική αν είναι της μορφής d( x) xc cx για κάποιο c Αποδείξετε ότι κάθε -γραμμική παραγώγιση μιας πεπερασμένης διάστασης κεντρικής απλής - άλγεβρας είναι εσωτερική

Υπόδειξη: Solem-Noether στην απεικόνιση f : M ( ) όπου r 0 r 0 r d( r) r και f : 0 r 0 r 0 r 6 ) Το τανυστικό γινόμενο δύο -αλγεβρών διαίρεσης είναι πάντοτε -άλγεβρα διαίρεσης για κάθε ; ) Έστω, δύο -άλγεβρες διαίρεσης πεπερασμένης διάστασης Αν η είναι κεντρική και επιπλέον μκδ (dm, dm ), τότε η είναι -άλγεβρα διαίρεσης 7 Ταξινομήσετε τους ημιαπλούς δακτυλίους που έχουν 999 στοιχεία Το ίδιο για 000 στοιχεία 8 Έστω απλή -άλγεβρα Δώστε στο τη δομή προτύπου έτσι ώστε C ( ) Ed ( ) 9 Έστω Είναι δυνατόν η -άλγεβρα M ( ) να περιέχει υπόσωμα Κ με K και K ) K ; 0 Έστω Α, Β μιγαδικοί πίνακες Αν ο Α αντιμετατίθεται με κάθε πίνακα με τον οποίο ο Β αντιμετατίθεται, τότε ο Α είναι πολυώνυμο του Β op op 56