Στασίνου 6, Γραφ., Στρόβολος, Λευκωσία Τηλ. 57-78 Φαξ: 57-79 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Παρασκευή, 9/5/7 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΜΕΡΟΣ Α ln( x). Να υολογίσετε το όριο: lim x x lim ln( x) = x { lim x (x ) = De L Hospital: lim x ln( x) x Αροσδιόριστη μορφή ( ) = lim [ln( x)] x [x = lim ] x x x =. Να υολογίσετε το ολοκλήρωμα x ( 7) e x dx (e x + x 7)dx = (e x + x 7) dx = ex + x 4 = ex + 4 x 4 7x + c 4 7x + c
4. Δίνεται ο x ίνακας : A α) Να υολογίσετε τον αντίστροφο ίνακα του Α β) Να δείξετε ότι A A 4I, όου I o x μοναδιαίος ίνακας α) Υολογίζουμε την ορίζουσα του ίνακα Α: A ( ) ( ) 4 4 4 4 A β) 4 4 ( ) 4 4 A A 4 4 4I ( ) 4 A A 4I 4. Αν Α και B είναι ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου ενός ειράματος τύχης με 4 P( A), P( A B ') P( A B), 5 5 Να υολογίσετε τις ιθανότητες: (α) P( A B) (β) P( A / B ) (α) P( A B ') P( A) P( A B) P( A B) P( A B) 5 5 5 5 P( A B) (β) P( A B) P( A) P( B) P( A B) 4 PB ( ) 5 4 6 P( B) P( B) 5 5 P( A B) P( A / B) 5 P( A / B) P( A / B) PB ( ) 6 6 5 Σελίδα αό 5
5. Δίνεται η συνάρτηση f: R R με τύο x f ( x) e ( a ) x, x R όου α θετικός ραγματικός αριθμός. (α) Να βρείτε την τιμή του α για την οοία η συνάρτηση f αρουσιάζει τοικό ακρότατο x =. (β) Να ροσδιορίσετε το είδος του ακρότατου (α) ( ) x f x e ( - ) x f '( x) ae ( a ) Αό το θεώρημα του Fermat ροκύτει ότι: a a f a e a '() ( ) x (β) f '( x) ae ( a ) x f '( x) e f ''( x) e x Αό το ο κριτήριο εύρεσης ακρότατων f ''() άρα το τοικό ακρότατο είναι τοικό ελάχιστο. Σημείο τοικού ελαχίστου: (, f ()) (,) 6. Δίνεται η εξίσωση x y x y 6 8, όου λ μη μηδενικός ραγματικός αριθμός (α) Να δείξετε ότι η ιο άνω εξίσωση αριστάνει κύκλο για κάθε τιμή του,. Ακολούθως συναρτήσει του λ, να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου και να υολογίσετε το μήκος της ακτίνας του κύκλου (β) Να δείξετε ότι οι κύκλοι ου ορίζονται αό την ιο άνω εξίσωση εφάτονται στην ευθεία με εξίσωση x4y (α) ος τρόος x + y 6λx 8λy = (x λ) + (y 4λ) 6λ 9λ = (x λ) + (y 4λ) = 5λ Συνεώς, αριστάνει κύκλο με κέντρο το σημείο Κ(λ, 4λ) και ακτίνα R = 5 λ, αφού λ. ος τρόος Aό τη θεωρεία γνωρίζουμε ότι η εξίσωση x y gx fy c, Παριστάνει κύκλο εάν και μόνο αν: g f c Αό την δοθείσα εξίσωση x y x y 6 8 ροκύτει: g, f 4, c Σελίδα αό 5
g f c ( ) ( 4 ) 9 6 5, Άρα η εξίσωση x y x y 6 8, αριστάνει κύκλο για κάθε τιμή του λ, λ. R g f c 5 5 5, λ. K( g, f ) K(,4 ), λ. (β) Θα βρούμε την αόσταση του κέντρου του κύκλου αό την ευθεία x4y. Εάν η αόσταση αυτή θα ισούται με την ακτίνα τότε η ευθεία θα εφάτεται του κύκλου. d Ax By ( ) 4( 4 ) 9 6 5 5 4 5 5 5 d R 5, λ. και άρα η ευθεία εφάτεται της οικογένειας των κύκλων με εξίσωση x + y 6λx 8λy =. 7. Να υολογίσετε τον όγκο του στερεού ου αράγεται αό την λήρη εριστροφή γύρω αό τον άξονα των τετμημένων του χωρίου ου ερικλείεται αό την καμύλη y x,x, την ευθεία με εξίσωση y και τον άξονα των τεταγμένων. Βρίσκουμε τα σημείο τομή: x x A(, ) 6 6 6 6 6 6 ( ) V y y dx x dx xdx dx 4 Σελίδα 4 αό 5
6 x 6 x 6 dx x x 4 4 4 4 6 4 ( ) ( ). 4 6 4 8 8 8 4 8. Δίνεται η ισοσκελής υερβολή xy 4. Η εφατομένη της υερβολής στο σημείο της A(, ),, τέμνει τον άξονα των τεταγμένων στο σημείο Β. Στο Β φέρουμε κάθετη στον άξονα των τεταγμένων, η οοία τέμνει την υερβολή στο σημείο (α) t (β) Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι σταθερό ( t, ) t. Να δείξετε ότι: (α) x y = 4 y + xy = y = y x y A = ρ ρ = ρ Εξίσωση εφατομένης στο Α: y y A = λ(x x Α ) y = (x ρ) x + ρ ρ ρ y 4ρ = Για x = y = 4. Άρα Β (, 4 ) ρ ρ Η κάθετη στο Β είναι η ευθεία (κ): y = 4 η οοία τέμνει την αραβολή στο σημείο Γ (ρ, 4 ) ρ ρ Αφού δίνεται ότι Γ (t, t ) ρ = t και 4 ρ = t ρ = t (β) Εμβαδόν τριγώνου ΑΒΓ, Ε ΑΒΓ = Άρα το εμβαδόν είναι σταθερό. β υ = ΒΓ υ ( ρ) ( ρ ) = =. Σελίδα 5 αό 5
9. Το κέντρο εξυηρέτησης του Πολίτη θέλει να αλλάξει τον τηλεφωνικό αριθμό εικοινωνίας του με το κοινό. Χρειάζεται έναν οκταψήφιο αριθμό, ο οοίος να σχηματίζεται το ολύ αό δύο διαφορετικά ψηφία. Αν ο αριθμός αρχίζει με 77, όσοι τέτοιοι διαφορετικοί αριθμοί υάρχουν; ος τρόος η ερίτωση Όλα είναι τα ίδια: 77777777, έχουμε αριθμό. η ερίτωση Στις δύο ρώτες θέσεις έχουμε 77 _ Στις υόλοιες θέσεις έχουμε τις αρακάτω εριτώσεις (α) τοοθετούμε ένα αό τα ψηφία,,, 4, 5,6, 8, 9 σε μία αό τις έξι θέσεις και στις υόλοιες έντε θέσεις το 7. Άρα έχουμε εαναλητικές μεταθέσεις ( 9 ) Μ 6 ε = ( 9 ) 6! 5!. (β) τοοθετούμε ένα αό τα ψηφία,,, 4, 5,6, 8, 9 σε δύο αό τις έξι θέσεις και στις υόλοιες τέσσερις θέσεις το 7. Άρα έχουμε εαναλητικές μεταθέσεις ( 9 ) Μ 6 ε = ( 9 ) 6!! 4!. (γ) τοοθετούμε ένα αό τα ψηφία,,, 4, 5,6, 8, 9 σε τρεις αό τις έξι θέσεις και στις υόλοιες τρεις θέσεις το 7. Άρα έχουμε εαναλητικές μεταθέσεις ( 9 ) Μ 6 ε = ( 9 ) 6!!!. (δ) τοοθετούμε ένα αό τα ψηφία,,, 4, 5,6, 8, 9 σε τέσσερις αό τις έξι θέσεις και στις υόλοιες δύο θέσεις το 7. Άρα έχουμε εαναλητικές μεταθέσεις ( 9 ) Μ 6 ε = ( 9 ) 6! 4!!. (ε) τοοθετούμε ένα αό τα ψηφία,,, 4, 5,6, 8, 9 σε έντε αό τις έξι θέσεις και στην άλλη θέση το 7. Άρα έχουμε εαναλητικές μεταθέσεις ( 9 ) Μ 6 ε = ( 9 ) 6! 5!!. (στ) τοοθετούμε ένα αό τα ψηφία,,, 4, 5,6, 8, 9 στις έξι θέσεις. Άρα έχουμε εαναλητικές μεταθέσεις ( 9 ) Μ 6 ε = ( 9 ) 6! 6!. Συνολικά έχουμε: ( 9 6! ) [ + 5! + 6!! 4! + 6!!! ] + = 568 Σελίδα 6 αό 5
ος τρόος Λύση η ερίτωση Όλα είναι τα ίδια: 77777777 έχουμε αριθμό. η ερίτωση Σχηματίζεται αό δύο διαφορετικά ψηφία το 7 και ένα άλλο. Για κάθε θέση έχουμε 7 7 ειλογές αριθμών είτε το ψηφίο 7 είτε ένα άλλο ψηφίο αό τα υόλοια 9. Αφαιρούμε την ερίτωση 77777777 και εειδή έχουμε 9 ψηφία, έχουμε: 9( 6 ) + = 568 διαφορετικούς αριθμούς. Δίνεται η συνάρτηση f: [, ) R με τύο: f(x) = x 4 + ln( + συνx) ln, x [, ) (α) Να δείξετε ότι η αράγωγος f είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ) και να μελετήσετε την f ως ρος την μονοτονία. (β) Να δείξετε ότι: x + ln( + συνx) 4 < ln 6, x (, ) (α) Για να αοδείξουμε ότι η αράγωγος f είναι γνησίως φθίνουσα, είναι αρκετό να αοδείξουμε ότι η f είναι αρνητική. f (x) = x 4 + f (x) = ημx + συνx = x ημx + συνx συνx( + συνx) ( ημx)(ημx) ( + συνx) = συνx + συν x + ημ x ( + συνx) = συνx + ( + συνx) = + συνx = συνx ( + συνx) = εφ ( x ) f (x) <, x(, ). Για x = f () =. Συνεώς, η αράγωγος f είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ). Άρα x (, ) f (x) < f () f (x) < Άρα, η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ). ημ + συν f (x) < Σελίδα 7 αό 5
(β) Αό το α) η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ) έχουμε ότι x (, ) f(x) < f() = x + ln( + συνx) ln < 4 x + 4 ln( + συνx) 4 ln < x + ln ( + συνx) 4 < ln6 ΜΕΡΟΣ Β. Δίνεται η συνάρτηση f με τύο: f(x) = 4x (x+) Να βρείτε το εδίο ορισμού της, τα σημεία τομής της με τους άξονες των συντεταγμένων, τα διαστήματα μονοτονίας, τα τοικά ακρότατα και τις ασύμτωτες της γραφικής αράστασής της, αν υάρχουν, και να την αραστήσετε γραφικά. Λύση Πεδίο Ορισμού: A = R { } Σημείο τομής με άξονες: (,) f (x) = 4(x + ) 8x(x + ) (x + ) 4 = 4( x) (x + ), f (x) = x = Αό τον ίνακα μονοτονίας στο εδίο ορισμού της συνάρτησης για x = έχουμε σημείου τοικού μεγίστου το (,). Η συνάρτηση είναι φθίνουσα στο διάστημα (, ) και στο [, + ), ενώ είναι αύξουσα στο (,]. lim f(x) =, lim x + f(x) = x Άρα y = είναι οριζόντια ασύμτωτη της καμύλης y = f(x). Εομένως, η γραφική αράσταση έχει οριζόντια ασύμτωτη την ευθεία y =. lim x 4x (x + ) =, Άρα x = είναι κατακόρυφη ασύμτωτη της καμύλης y = f(x). Αό τα ιο άνω ροκύτει η γραφική αράσταση της συνάρτησης Σελίδα 8 αό 5
. Δίνεται η αραβολή με εξίσωση x = 9y και το σημείο Α(, ). Αό το Α φέρουμε τις εφατομένες (ε ) και (ε ) ρος την αραβολή. Λύση (α) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών (ε ) και (ε ). (β) Να υολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου ου ερικλείεται αό την αραβολή και τις ευθείες (ε ) και (ε ). (α) ος τρόος Έστω y = λx + β η εξίσωση της εφατομένης της καμύλης ου διέρχεται αό το σημείο (, ) y = λx + β = λ + β β = λ () x = 9y y = λx + β x = 9λx + 9β x 9λx 9β = Η εξίσωση y = λx + β είναι εφατομένη, άρα, λ = β = 9 Δ = 8λ 8λ 8 = λ = β = Άρα οι εξισώσεις των εφατομένων είναι : y = x 9 και y = x ος τρόος Ισχύει ότι y = x 9. Εομένως, η κλίση της εφατομένης στο (x, x της εφατομένης είναι η y x x ) είναι ίση με x 9 9 9 = x 9 (x x ). Αφού διέρχεται αό το (, ), ισχύει: 9 = x 9 ( x ) x 6x 7 = (x 9)(x + ) = x = 9 ή x = και η εξίσωση Σελίδα 9 αό 5
Τα σημεία ου τέμνουν οι εφατόμενες την αραβολή είναι τα (9,9) και (,). λ =, λ = Οι εξισώσεις των εφατομένων είναι αντίστοιχα: (α) E = ( x + x + ) 9 (ε ): y = (x + ) y = x (ε ): y + = (x ) y = x 9 9 dx + ( x x + 9) dx = [ x 7 + x + x] + [ x 9 7 x + 9x] = 8 + 8 = 6 τ. μ. 9. Δύο ομάδες, οι Α και Β, συμμετέχουν στη σειρά των τελικών του ρωταθλήματος ετοσφαίρισης. Νικήτρια της σειράς των τελικών είναι η ομάδα ου θα ετύχει ρώτη 4 νίκες. Η ιθανότητα να κερδίσει η ομάδα Α έναν οοιονδήοτε αγώνα της σειράς των τελικών είναι. (α) Να υολογίσετε την ιθανότητα του ενδεχομένου στη σειρά των τελικών να διεξαχθούν 6 αγώνες για να στεφθεί ρωταθλήτρια μία ομάδα. (β) Δεδομένου ότι έχουν διεξαχθεί 6 αγώνες για να στεφθεί ρωταθλήτρια μία ομάδα, να υολογίσετε την ιθανότητα η ομάδα αυτή να είναι η Α. (Σημείωση: Σε έναν αγώνα ετοσφαίρισης δεν υάρχει το αοτέλεσμα της ισοαλίας, δηλαδή υάρχει άντα νικητής.) Σελίδα αό 5
Λύση Προτεινόμενη λύση (α) Έστω τα ενδεχόμενα: Ν: «στη σειρά των τελικών να διεξαχθούν 6 αγώνες για να στεφθεί ρωταθλήτρια μία ομάδα η Α ή Β» Ν Αi : «Νίκη της ομάδας Α στο i-αγώνα», i =,,,4,5,6 με Ρ(Ν Αi ) =, i =,,,4,5,6 Ν Bi : «Νίκη της ομάδας B στο i-αγώνα», i =,,,4,5,6 με Ρ(Ν Βi ) =, i =,,,4,5,6 Εομένως, για να ραγματοοιηθεί το Ν θα ρέει η ομάδα Α ή η ομάδα Β να κερδίσει σίγουρα τον 6 ο αγώνα και στους έντε ρώτους αγώνες να έχει τρείς νίκες και δύο ήττες. Μια ερίτωση για την ομάδα Α φαίνεται αρακάτω ος αγώνας ος αγώνας ος αγώνας 4 ος αγώνας 5 ος αγώνας Ν Α Ν Α Ν Α Ν Α4 Ν Α5 Όλες οι δυνατές εριτώσεις είναι οι εαναλητικές μεταθέσεις σε 5 αγώνες των τριών νικών (ΝΝΝ) και των δύο ηττών (ΗΗ). Εομένως θα έχουμε: Ρ(Ν) = 5!!! Ρ(Ν Α Ν Α Ν Α Ν Α4 Ν Α5 Ν Α6 ) + 5!!! Ρ(Ν Β Ν Β Ν Β Ν Β4 Ν Β5 Ν Β6 ). Εειδή τα ενδεχόμενα είναι ανεξάρτητα, η ροηγούμενη σχέση γράφεται Ρ(Ν) = 5!!! Ρ(Ν Α )Ρ(Ν Α )Ρ(Ν Α )Ρ(Ν Α4 )Ρ(Ν Α5 )Ρ(Ν Α6 ) + 5!!! Ρ(Ν Β )Ρ(Ν Β )Ρ(Ν Β )Ρ(Ν Β4 )Ρ(Ν Β5 )Ρ(Ν Β6 ) = [( 4 ) ( ) + ( 4 ) ( ) ] = 79 (β) Αό τον ορισμό της δεσμευμένης ιθανότητας θα έχουμε Ρ(Ν Α Ν) = Ρ(Ν Α Ν) Ρ(Ν) 4 = ( ) ( ) 79 = 6 9 79 = 4 5. Σελίδα αό 5
4. Δίνεται το σημείο Ε(4, ) και η ευθεία με εξίσωση (ε): x = 5 4. (α) Να δείξετε ότι το σύνολο των σημείων Τ(x, y) του ειέδου με την ιδιότητα (ΤΕ) (ΤΝ) = 4 5, όου ΤΝ είναι η αόσταση του σημείου Τ αό την ευθεία (ε), ανήκει στην έλλειψη με εξίσωση: x 5 + y 9 = (β) Έστω Τ(5συνθ, ημθ) ένα τυχαίο σημείο της έλλειψης και Λ ( 8, ) ένα σταθερό σημείο. 5 Να υολογίσετε τις τιμές του θ, θ [, ), για τις οοίες η αόσταση ΤΛ γίνεται ελάχιστη. Λύση (α) Έχουμε διαδοχικά, (ΤΕ) (ΤΝ) = 4 5 (x 4) + y 4x 5 4 = 4 5 4x 5 = 5 (x 4) + y (4x 5) = 5[(x 4) + y ] 6x x + 65 = 5x x + 4 + 5y 9x + 5y = 5 x 5 + y 9 = Σελίδα αό 5
(β) Έστω d = (ΤΛ) = (5συνθ 8 5 ) + 9ημ θ = 5 (5συνθ 8) + 5ημ θ, θ [, ) Το d γίνεται ελάχιστο, όταν το υόριζο f(θ) = (5συνθ 8) + 5ημ θ, θ [, ) γίνεται ελάχιστο. f (θ) = 5ημθ(5συνθ 8) + 45ημθσυνθ = 4ημθ( συνθ) Είναι, f (θ) = θ =, θ =, θ =, θ = 5 αφού θ [, ). f (θ) = 4συνθ( συνθ) + 8ημ θ = 4συνθ 8συνθ και έχουμε: f () = 4 <, f ( ) = 6 >, f () = <, f ( 5 ) = 6 > Άρα το f(θ) γίνεται ελάχιστο, όταν θ = και όταν θ = 5. Και οι δυο τιμές αυτές του θ είναι δεκτές, αφού f ( ) = f (5) = 89 (Δικαιολογείται και αό τη συμμετρία της έλλειψης, ως ρος τον άξονα των τετμημένων). ος τρόος για (β) Έστω Τ(5συνθ, ημθ), θ [, ) σημείο της έλλειψης ου αέχει ελάχιστη αόσταση αό το σημείο Λ ( 8 5, ). Τότε στο σημείο Τ η εφατομένη (ε ) του κύκλου (Λ, ΛΤ) και η εφατομένη (ε ) της έλλειψης θα ταυτίζονται. Εομένως θα έχουμε. λ ΤΛ = ημθ 5συνθ 8 5 και άρα λ ε = 8 5 5συνθ ημθ και λ ε = συνθ 5ημθ, θ Σελίδα αό 5
Εομένως, λ ε = λ ε 8 5 5συνθ = συνθ 8 5συνθ = 9συνθ 8 6συνθ = ημθ 5ημθ συνθ = συνθ = συν Στο διάστημα [, ) οι λύσεις της τελευταίας εξίσωσης είναι θ = και θ = 5. 5. (α) Δίνεται συνεχής συνάρτηση f, ορισμένη στο διάστημα [, ]. Χρησιμοοιώντας τον μετασχηματισμό x = u, ή με οοιονδήοτε άλλο τρόο, να δείξετε ότι: Λύση Άρα, (β) Να υολογίσετε το ολοκλήρωμα: xf(ημx)dx = f(ημx)dx I = xημx 8 + ημ x dx (α) x = u dx = du και για x = u =, ενώ για x = u =. Έχουμε, xf(ημx)dx (β) Η συνάρτηση f με f(x) = [, ]. Έτσι, αό το (α), έχουμε: I = = ( u)f(ημ( u))du = ( u)f(ημu)du = f(ημx)dx xf(ημx)dx = f(ημx)dx = ( u)f(ημ( u))du = f(ημu)du xf(ημx)dx. xf(ημx)dx xf(ημx)dx = f(ημx)dx xf(ημx)dx = f(ημx)dx. x 8+x είναι συνεχής στο R και f(ημx) = ημx xημx 8+ημ x dx uf(ημu)du 8+ημ x = ημx dx = ημx 8+ημ x dx 9 συν x, συνεχής στο Σελίδα 4 αό 5
= d(συνx) 9 συν = x d(συνx) συν. x 9 Θέτουμε τώρα συνx = t, οότε για x = t = και για x = t =. I = dt t = 9 8 dt t = 9 8 dt ( t ) = 8 [ t ln t = [ln t ] + t + ] = (ln ln ( )) = 6 ln. Σελίδα 5 αό 5