. Βάσεις και υποβάσεις. Το «καθήκον» του ορισμού μιας τοπολογίας διευκολύνεται αν είμαστε σε θέση να περιγράψουμε αρκετά ανοικτά σύνολα τα οποία να παραγάγουν όλα τα ανοικτά σύνολα. Ορισμός.9. Έστω X, τ.χ. μια οικογένεια B λέγεται ότι είναι μια βάση για την αν κάθε ανοικτό μη κενό σύνολο ( δηλαδή κάθε στοιχείο της \ ένωση στοιχείων της B. ) είναι Αξίζει να σημειώσουμε εδώ την διαφορά μεταξύ των εννοιών βάση και βάση περιοχών για ένα τοπολογικό χώρο. Η πρώτη είναι έννοια ολική και η δεύτερη τοπική. Επίσης τα μέλη μιας βάσης είναι ανοικτά σύνολα ενώ αυτά μιας βάσης περιοχών δεν είναι όπως έχουμε ήδη διαπιστώσει αναγκαία ανοικτά σύνολα (πρβλ. τα παραδείγματα.3). Η ακόλουθη πρόταση χαρακτηρίζει τις οικογένειες B οι οποίες μπορούν να παίξουν τον ρόλο της βάσης για την. Πρόταση.30 Έστω B (α) Η B είναι μια βάση για την. οι ακόλουθοι ισχυρισμοί είναι ισοδύναμοι (β) Για κάθε και κάθε x υπάρχειv B ώστε xv. Bx V B : x V, x X. Τότε η B x είναι βάση περιοχών του x για (γ) Θέτομε, κάθε x X. Απόδειξη (α) (β) Έστω και x. Επειδή η B είναι βάση για την, Vi : i I, όπου κάθε Vi xvi. B. Επομένως υπάρχει τουλάχιστον ένα Vi B ώστε (β) (γ) Έστω τυχόν x X και W περιοχή του x. Τότε υπάρχει ώστε x W από την υπόθεσή μας υπάρχει V B ώστε xv. Από τον ορισμό της βάσης περιοχών έχουμε το συμπέρασμα.
(γ) (α) Έστω. Αν x τότε από την υπόθεσή μας υπάρχει V Bx και άρα V B, ώστε xv. Έπεται ότι το μπορεί να εκφρασθεί ως ένωση μελών της B και έτσι η B είναι μία βάση για την. Παραδείγματα.3. ) Έστω X, τ.χ., προφανώς η ίδια η είναι βάση της. Αν P X είναι η διακριτή τοπολογία στο X τότε η B x : x X είναι μια βάση της. Παρατηρούμε ήδη ότι μια τοπολογία ( και θα το διαπιστώσουμε και στα επόμενα παραδείγματα ) μπορεί να έχει διαφορετικές βάσεις. ) Έστω X, d μετρικός χώρος. Θέτουμε B Bx, : x X,. B B x, : x X και >0 και Παρατηρούμε ότι, καθώς ένα ανοικτό σύνολο σε ένα μετρικό χώρο είναι ένωση ανοικτών σφαιρών, οι οικογένειες B και B είναι βάσεις για τη μετρική τοπολογία του X. Σημειώνουμε ότι αν D X πυκνό ( δηλαδή αν D X ) τότε η d οικογένεια (Πράγματι, έστω B B x, q : x D και q 0 ρητός είναι επίσης μια βάση για την. X ανοικτό και x τότε υπάρχει >0 Έστω q 0 ρητός με q<. Αν y D ώστε B x, με,. q d x y, τότε 3 q x B y, Bx, q Bx,. Από την πρόταση.30 έχουμε το συμπέρασμα) 3 Έπεται ιδιαίτερα ότι, αν D αριθμήσιμο και πυκνό στον X ( δηλαδή αν X διαχωρίσιμος ) τότε ο X έχει αριθμήσιμη βάση ( λέμε τότε ότι ο X είναι ος αριθμήσιμος.) 3) Έστω X με την συνήθη τοπολογία, τότε η οικογένεια των ανοικτών διαστημάτων του, B a, b : a b, a, b είναι μια βάση για την τοπολογία του. Αυτό προκύπτει ( και ) από το προηγούμενο παράδειγμα αφού a, b B x, x, x, όπου a b b a x και. Λόγω της πυκνότητας
3 των ρητών στο έπεται από το παράδειγμα (), ότι και η οικογένεια B ' a, b : a, b Q με a b είναι μια αριθμήσιμη βάση για το χώρο. 4) Έστω X το ευκλείδειο επίπεδο. Παρατηρούμε ότι το σύνολο D p, q : p, q Q είναι ένα αριθμήσιμο και πυκνό υποσύνολο του ( γιατί;). Έτσι από το παράδειγμα () έχουμε ότι η οικογένεια B όλων των ανοικτών δίσκων B x, r του με κέντρα x αριθμήσιμη βάση για το. Μια διαφορετική βάση B ' του,, D και ακτίνα r θετικό ρητό αριθμό είναι μια αποτελείται από όλα τα ανοικτά ορθογώνια V a b c d ( γιατί;). Το ανωτέρω παράδειγμα γενικεύεται σε κάθε Ευκλείδειο χώρο. ( Συμπληρώστε τις λεπτομέρειες.) Θα εξετάσουμε στην συνέχεια κάτω από ποιες συνθήκες μια ( τυχούσα ) οικογένεια B υποσυνόλων ενός συνόλου X μπορεί να είναι βάση για κάποια τοπολογία στο X. Πρόταση.3. Έστω X και B P X. Τότε το B είναι βάση για μια ( μοναδική ) τοπολογία στο X, αν και μόνο αν, ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες. (α) Για κάθε x X υπάρχει B: x (β) Για κάθε,. ( δηλαδή X : B. B και κάθε x υπάρχει 3 B ώστε x3 Απόδειξη. Έστω ότι το B είναι βάση κάποιας τοπολογίας στο X. Έφ όσον το X είναι ανοικτό η (α) ικανοποιείται από τον ορισμό της βάσης. Αν, B και x τότε επειδή το είναι ανοικτό από την πρόταση.30 έχουμε το συμπέρασμα. V X : i : i I B ώστε V i ii. Θέτομε Θα αποδείξουμε ότι η ικανοποιεί τον ορισμό της τοπολογίας. Από την ιδιότητα (α) έχουμε : X και για I, = i i.
Η είναι κλειστή για τις ενώσεις. Πράγματι, έστω : J 4. Τότε, από τον ορισμό της για κάθε J θα είναι B. Κατά συνέπεια, ii i B B i i J J ii ii όπου I I. Άρα J J = ένωση μελών της B και έτσι ανήκει στην. Η είναι κλειστή για τις πεπερασμένες τομές. Αρκεί να το αποδείξουμε για τις -τομές (γιατί; ). Έστω,, τότε B και i ii B. Άρα Bi B. (). i ii Από την ιδιότητα (β) έχουμε ότι αν B, B B B : x B B B. x x i i i, I J B και x Bi B τότε υπάρχει Έπεται ότι Bi B = ένωση μελών της B και άρα από την () είναι ένωση μελών της B και έτσι ανήκει στην. Η μοναδικότητα της είναι φανερή από τον ορισμό της και τον ορισμό της βάσης. Παραδείγματα.33. ) Έστω X και,, X τοπολογικοί χώροι. Θεωρούμε την οικογένεια B όλων των ανοικτών ορθογωνίων του καρτεσιανού γινομένου X X. Δηλαδή των ορθογωνίων της μορφής V όπου και V. Η B ικανοποιεί τις ιδιότητες (α) και (β) της πρότασης.3. Πράγματι η (α) είναι προφανής. Όσο για την (β) παρατηρούμε ότι, αν V και V είναι μέλη της B τότε V V V V. Συνεπώς η B ( ικανοποιεί την ισχυρότερη ιδιότητα να ) είναι κλειστή για τις - τομές και άρα για τις πεπερασμένες τομές. Η τοπολογία που ορίζεται στον χώρο X X και η οποία έχει ως βάση την B, είναι σημαντική, ονομάζεται τοπολογία γινόμενο και θα μελετηθεί διεξοδικά στο επόμενο κεφάλαιο. Επί του παρόντος γενικεύστε το παράδειγμα για ένα πεπερασμένο πλήθος X, X,..., X χώρων.
5. Έστω το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Θεωρούμε την οικογένεια B όλων των ημιανοικτών διαστημάτων της μορφής xr,, όπου x, r, x r. Εύκολα αποδεικνύεται ότι η B ικανοποιεί τις ιδιότητες (α) και (β) της πρότασης.3. Έτσι ορίζεται μια τοπολογία στο η οποία έχει ως βάση την B. Ο χώρος εφοδιασμένος με αυτή την τοπολογία έστω s, ονομάζεται ευθεία orgefrey και συμβολίζεται με. Είναι απλό να εξακριβώσουμε ότι η συνήθης (ευκλείδεια) τοπολογία του είναι μικρότερη της s και ακόμη ότι, το σύνολο των ρητών αριθμών είναι πυκνό υποσύνολο του χώρου ( άρα ο είναι διαχωρίσιμος). Θα αποδείξουμε ότι ο χώρος δεν είναι μετρικοποιήσιμος. Επειδή είναι διαχωρίσιμος, αρκεί να αποδείξουμε ότι δεν έχει αριθμήσιμη βάση ( πρβλ. παράδειγμα.3. ()) Έστω B :, μια αριθμήσιμη οικογένεια ανοικτών υποσυνόλων του. Θέτομε a if,. Είναι τότε σαφές ότι υπάρχει x0 ώστε x0 a,. Παρατηρούμε ότι τότε το διάστημα x0, x0 (που είναι ανοικτό υποσύνολο του ) δεν μπορεί να εκφρασθεί ως ένωση μιας υποοικογένειας της B ( γιατί; ) και έτσι η B δεν μπορεί να είναι βάση για τον χώρο. Σημειώνουμε ότι ο τοπολογικός χώρος θα μας χρησιμεύσει αργότερα. είναι ένα σημαντικό παράδειγμα το οποίο Σε αυτό το σημείο μπορεί να διατυπωθεί η ακόλουθη ερώτηση. Τι θα συμβεί αν ξεκινήσουμε από μια τυχούσα οικογένεια υποσυνόλων ενός συνόλου X, επισυνάψουμε σε αυτήν όλες τις πεπερασμένες τομές και εν συνεχεία θεωρήσουμε όλες τις δυνατές ενώσεις τέτοιων συνόλων ; έτσι οδηγούμαστε στην έννοια της υποβάσης για μια τοπολογία.
6 Ορισμός.34 Έστω X, τ. χ. και. Η Σ λέγεται υποβάση για την, αν και μόνο αν, η οικογένεια B X : υπάρχουν C, C,... C : Ck είναι βάση k για την. Πρόταση.35. Έστω X σύνολο και P X ώστε X C : C είναι υποβάση για μια (μοναδική) τοπολογία στο X.. Τότε το Απόδειξη. Θέτομε B X : υπάρχουν C,..., C : Ck k προφανώς B. Παρατηρούμε ότι η B ικανοποιεί τις συνθήκες (α) και (β) της πρότασης.3 και συνεπώς είναι βάση για μια τοπολογία στο X. Πράγματι η (α) είναι φανερή αφού B και X C : C. Έστω B, B B τότε B Ci και i B m C. ' Κατά συνέπεια το B B είναι πεπερασμένη τομή μελών της. Έτσι το B είναι κλειστό για τις πεπερασμένες τομές και η ιδιότητα (β) ικανοποιείται. Παραδείγματα.36 ) Έστω υποβάση για την. X, τ.χ. τότε η ίδια η τοπολογία είναι μια ) Έστω X με την συνήθη τοπολογία. Τότε όλα τα υποδιαστήματα της μορφής, a και, απλή. b όπου a, b είναι μια υποβάση για την. Η εξακρίβωση είναι 3) Στον χώρο (= η ευθεία orgefrey) τα υποδιαστήματα της μορφής a, και,b, όπου a, b είναι μια υποβάση για την τοπολογία του χώρου. Ο έλεγχος είναι και πάλι απλός.
7 4) Έστω X,,, X X τοπολογικοί χώροι τότε η τοπολογία γινόμενο στον X (πρβλ παράδειγμα.33 ()) είναι εκείνη η οποία έχει ως υποβάση την οικογένεια X V : V X :.