9/6/5 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 5 Δίνεται ο πίνακας A 5. Αν διαγωνοποιείται να τον διαγωνοποιήσετε και στη συνέχεια να k υπολογίσετε το A όπου k θετικός ακέραιος αριθμός. Η απάντηση να δοθεί ως ένας τελικός πίνακας. To χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα Α είναι το: p A ( ) 4 ( 4)( 6) Βρίσκουμε τις ιδιοτιμές: p A 4 ( ) 6 Επειδή οι ιδιοτιμές είναι διακριτές συνεπάγεται πως ο Α διαγωνοποιείται Για την βρίσκουμε τα ιδιοδιανύσματα A 4I O Με απαλοιφή Gauss παίρνουμε Έτσι τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην είναι τα ακόλουθα t t, t R t Μία βάση του ιδιοχώρου V (4) είναι το σύνολο v Για την βρίσκουμε τα ιδιοδιανύσματα
A I O 6 Με απαλοιφή Gauss παίρνουμε Έτσι τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην είναι τα ακόλουθα t t, t R t Μία βάση του ιδιοχώρου V (6) είναι το σύνολο v Δημιουργούμε τον πίνακα P v v Επίσης P Τέλος 4 D 6 Έτσι ο πίνακας Α διαγωνοποιείται ως εξής 4 A PDP 6 Για τον υπολογισμού του A PDP A k k A θα είναι: k k k k k k k k 4 4 6 4 6 4 6 PD P k k k k k k k 6 4 6 4 6 4 6
Άσκηση (Μονάδες ) Έστω ο πίνακας a b A d e f g h i, ο οποίος έχει det( A) 7. Υπολογίστε τις ακόλουθες ορίζουσες: a) ad be f det 3g 3h 3i d e f b) a b det 3d a 3e b 3 f g h i a) Έχουμε διαδοχικά: ad be f ad be f ad be f 3g 3h 3i 3 g h i 3 d e f d e f d e f g h i a b d e f d e f 3 d e f 3 d e f 3det( A) 6 d e f 3det( A) 3det( A) g h i g h i g h i b) Έχουμε διαδοχικά: a b a b 3d a 3eb 3f 4 3d a 3eb 3f g h i g h i a b a b a b 4 3d 3e 3f 4 a b det( A) 4 a b det( A) 84 g h i g h i g h i Άσκηση 3 (Μονάδες.6) Έστω ένας διαγωνοποιήσιμος πίνακας 3 3 p ( ) ( 3)( ) ( 4) A a) Βρείτε την τιμή του n An nμε χαρακτηριστικό πολυώνυμο το Χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι ο πίνακας είναι διαγωνοποιήσιμος απαντήστε στα ακόλουθα ερωτήματα χωρίς να κάνετε αναλυτικούς υπολογισμούς (τεκμηριώνοντας επαρκώς τις απαντήσεις σας) b) Βρείτε τη διάσταση του ιδιοχώρου V (4) 3
) Βρείτε τη διάσταση του πυρήνα του A a) n 9 Επειδή το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι 9 ου βαθμού b) Επειδή είναι διαγωνοποιήσιμος η γεωμετρική πολλαπλότητα θα ισούται με την αλγεβρική πολλαπλότητα της κάθε ιδιοτιμής, έτσι dim V (4) 3 ) dim ker(a) dim N( A) dim N( A I) dim V() όσο η γεωμετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής. Επειδή ο Α διαγωνοποιήσιμος η γεωμετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής θα ισούται με την αλγεβρική της πολλαπλότητα. Επομένως dim ker(a) Άσκηση 4 (Μονάδες.4) Δίνεται ο πίνακας.64 8.4 5.53.55.4 5.98 4.95.6 3.8.5.54 4.66 4.3 4.67.34.5 3.95 4.7 A.4 3.96 3.5.8 4.37 5.8 5.97.7 4.8 5.97.38 4.37 6.3 8.5 6.7 7.95.4. Δίνεται ότι ο πίνακας Α έχει μόνον πραγματικές ιδιοτιμές. Πέντε ιδιοτιμές του είναι οι 4,,,. Πόσες ακόμα ιδιοτιμές έχει; Να τις υπολογίσετε., 3 4 5 Ο Α είναι ένας πίνακας 6 6, επομένως θα έχει 6 ιδιοτιμές. Για να υπολογίσουμε την 6 μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα των ιδιοτιμών: tr( A) 6 i i.64.6.34.8.38. 4 4 6 7 7 5 6 6 Άσκηση 5 (Μονάδες.5) Δώστε χωρίς απόδειξη 5 ισοδύναμες προτάσεις με την ακόλουθη: «Ο πίνακας An nείναι αντιστρέψιμος» μία εκ των οποίων θα πρέπει να αναφέρεται στις ιδιοτιμές του Α. 4
) A ) rank(a)=n 3) Όλες οι στήλες του Α είναι γραμμικά ανεξάρτητες μεταξύ τους 4) Το σύστημα A έχει μοναδική λύση τη μηδενική 5) Το δεν αποτελεί ιδιοτιμή του πίνακα Α Άσκηση 6 (Μονάδες.5) Έστω το γραμμικό σύστημα A b. Η απαλοιφή Gauss μας οδηγεί στο ισοδύναμο σύστημα R d, όπου ο πίνακας R βρίσκεται σε κλιμακωτή μορφή. Αν η γενική λύση του συστήματος είναι η 4 5,, R Να βρεθεί ο 33 πίνακας R και το διάνυσμα d Η λύση του αντίστοιχου ομογενούς συστήματος θα είναι η 5,, R ή ισοδύναμα: 5 y,, R z Φαίνεται ότι οι ελεύθερες μεταβλητές είναι οι y,z Το σύστημα τελικά μπορεί να γραφεί ως μία εξίσωση: y5z y5z Αυτό εκφράζεται από τον πίνακα 5 R 4 5 Αν στη γενική λύση,, R 5
θέσουμε παίρνουμε 4 d Άσκηση 7 (Μονάδες.5) 3 Δίνεται ο πίνακας A. Να δειχθεί ότι αυτός είναι αντιστρέψιμος και να βρεθεί ο 4 αντίστροφός του με τη χρήση του προσαρτημένου πίνακα Είναι det( A) 48 Άρα ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος Θα υπολογίσουμε τον προσαρτημένο πίνακα του Α: A 4, A, A3 4 4 3 3 A, A 8, A3 4 4 3 3 A3 3, A3, A33 4 Έτσι 4 3 adja 8 Επομένως A 3 4 3 8 adj( A) 8 det( A) 8 4 6
Άσκηση 8 (Μονάδες.5) Έστω το σύνολο V R εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y(, ) ( y, y ) ( y, y ) Εξετάστε αν η πράξη αυτή ικανοποιεί τις 4 ιδιότητες της πρόσθεσης, που απαιτούνται ώστε το V να αποτελεί R διανυσματικό χώρο (αγνοώντας την πράξη πολλαπλασιασμού αριθμού με διάνυσμα). Πρέπει να ελέγξουμε αν ισχύουν οι ακόλουθες 8 ιδιότητες για κάθε, yz, V, ab, R ) y y ) ( y) z ( y z) 3) O: OO 4) ( ) : ( ) O Έχουμε: ) y (, ) ( y, y ) ( y, y ) () y( y, y ) (, ) ( y, y ) ( y, y ) () Προφανώς οι () και () ταυτίζονται άρα η πρώτη ιδιότητα ισχύει ) y z (, ) ( y, y) ( z, z) ( y, y ) ( z, z) ( yz, y z ) ( yz, y z 4) (3) ( yz) (, ) ( y, y) ( z, z) (, ) ( yz, y z ) ( yz, y z ) ( y z, y z 4) (4) Προφανώς οι (3) και (4) ταυτίζονται άρα και η δεύτερη ιδιότητα ισχύει 3) Αναζητούμε το μηδενικό διάνυσμα O ( a, b) τέτοιο ώστε O,,,,, O a b a b a a b b Άρα υπάρχει το μηδενικό διάνυσμα: O (,) ώστε για κάθε να ισχύει O Επειδή ισχύει η πρώτη ιδιότητα θα είναι προφανώς και O Επομένως και η τρίτη ιδιότητα ισχύει. 4) Αναζητούμε το αντίθετο διάνυσμα ( ) ( ab, ) τέτοιο ώστε ( ) O 7
( ) O, ( a, b) (,) a, b (, ) a a b b 4 Άρα για κάθε υπάρχει το αντίθετο διάνυσμα: ( ) (, 4) Επομένως ισχύει και η τέταρτη ιδιότητα Άσκηση 9 (Μονάδες ) 3 Δίνονται τα ακόλουθα 4 διανύσματα του R : v (,,3), v (,,), v3 (3,, 4), v4 (,,). Να βρεθεί ένα υποσύνολο των v, v, v3, v 4 το οποίο να αποτελεί βάση του V span{ v, v, v3, v4}. Ποια είναι η διάσταση του V; Γράφουμε τα διανύσματα ως στήλες ενός πίνακα 3 A 3 4 και εφαρμόζουμε απαλοιφή Gauss, η οποία δίνει: A 3 3 3 3 4 3 r3r3 r r3r3 r r rr 4 Οι στήλες με οδηγό είναι οι,,4 επομένως τα διανύσματα που αποτελούν βάση του V είναι τα v, v, v και συνεπώς dimv 3 4 Άσκηση (Μονάδες ) Δίνεται ο πίνακας που αναπαριστά ένα ενδομορφισμό T : R T B 3 Επίσης δίνεται η βάση S (,4),(3, ) R στη βάση B (, 3), (4, ) a) Να χρησιμοποιήσετε τη σχέση ομοιότητας των πινάκων [ ] S και [ ] B για να υπολογίσετε τον [ ] S 8
b) Να βρεθεί ο μαθηματικός τύπος του ενδομορφισμού a) Θα είναι [ T] P [ T] P S SB B SB Αρχικά υπολογίζουμε τον πίνακα PS B: (,4) a(,3) b(4, ) a4b 8 a, b 3ab4 3 3 και (3, ) a(,3) b(4, ) a4b3 a, b 3ab 3 3 Έτσι PS B 8 3 Ο αντίστροφός του γράφεται ως: P S B 4 8 Επομένως [ T] S PSB[ T] BPSB 8 68 3 4 9 4 8 3 3 8 98 96 6 4 8 b) Θα χρησιμοποιήσουμε τη σχέση: ( Tv ( )) [ T] ( v) (, y) a(,3) b(4, ) a ( 4 y ) a4b 3 3ab y b (3 y ) 3 Έτσι B B B 9
4y B() v B(, y) 3 3 y Υπολογίζουμε το γινόμενο: 4y [ T] BB( v) (7 y, 3 y) 3 3 3 y 3 Και τελικά θα είναι: 7 y T(, y),4y(3, ) (75 y, 9 y) 3 3 MATLAB (Bonus Μονάδες.5) Δώστε τις εντολές MATLAB για την εκτέλεση των ακόλουθων ενεργειών: a) Να βρεθεί η ορίζουσα του πίνακα A 3 4. Να βρεθεί η ανηγμένη κλιμακωτή μορφή του πίνακα Α. Στη δεύτερη γραμμή να προστεθεί το διπλάσιο της πρώτης γραμμής. Α=[, ;3,4] det(a) rref(a) A(,:)=A(,:)+*A(,:) 3 b) Να γίνει γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ) os( ), με βήμα. με κόκκινο χρώμα και διακεκομμένη γραμμή. Να δημιουργηθούν κατάλληλοι τίτλοι για το γράφημα και τους άξονες. = *pi:.:*pi; plot(os(*.^3),'r ') title('graph') label('') ylabel('y') για
) Να γίνει γραφική παράσταση της επιφάνειας z y για,, y με βήμα.. [X,Y]=meshgrid( :.:); Z=X.^ Y/; surf(x,y,z) d) Να δημιουργηθεί συνάρτηση (αρχείο m) με όνομα «fun», η οποία θα δέχεται ένα μονοδιάστατο πίνακα Α στοιχείων. Θα υπολογίζει και θα επιστρέφει το άθροισμα και το διπλάσιο της διαφοράς του πρώτου και του τελευταίου στοιχείου του πίνακα. Δώστε ένα παράδειγμα κλήσης της συνάρτησης αυτής από τη γραμμή εντολών του Matlab. funtion [s,d]=fun(a) s=a()+a(); d=a() a(); Κλήση: [,y]=fun(b)