Βασική Εφικτή Λύση. Βασική Εφικτή Λύση

Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n µεταβλητών και m περιορισµών Εστω πραγµατικοί αριθµοί a ij, b j, c i R µε 1 i m, 1 j n

Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n µεταβλητών και m περιορισµών Εστω πραγµατικοί αριθµοί a ij, b j, c i R µε 1 i m, 1 j n m περιορισµοί του προβλήµατος και n περιορισµοί µη αρνητικότητας a 11 x 1 + + a 1n x n b 1. a m1 x 1 + + a mn x n b m x i 0, i = 1,..., n ή a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1. a m1 x 1 + + a mn x n = b m x i 0, i = 1,..., n

Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n µεταβλητών και m περιορισµών Εστω πραγµατικοί αριθµοί a ij, b j, c i R µε 1 i m, 1 j n m περιορισµοί του προβλήµατος και n περιορισµοί µη αρνητικότητας a 11 x 1 + + a 1n x n b 1. a m1 x 1 + + a mn x n b m x i 0, i = 1,..., n ή a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1. a m1 x 1 + + a mn x n = b m x i 0, i = 1,..., n Μεγιστοποίηση της συνάρτησης : n z = max x i c i i=1

Μετατροπές Εάν οι περιορισµός της µορφής µπορεί να µετατραπέι στην γενική µορφή αντιστρέφοντας τους συντελεστές π.χ. 2x 1 + 3x 2 10 2x 1 3x 2 10

Μετατροπές Εάν οι περιορισµός της µορφής µπορεί να µετατραπέι στην γενική µορφή αντιστρέφοντας τους συντελεστές π.χ. 2x 1 + 3x 2 10 2x 1 3x 2 10 Εάν η αντικειµενική συνάρτηση είναι ελαχιστοποίησης αντιστρέφουµε πάλι τους συντελεστές π.χ min(x 1 + 2x 2 ) max( x 1 2x 2 ) (Προσοχή πρέπει µετά να αντιστρέψουµε την τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης!)

Μετατροπές Εάν οι περιορισµός της µορφής µπορεί να µετατραπέι στην γενική µορφή αντιστρέφοντας τους συντελεστές π.χ. 2x 1 + 3x 2 10 2x 1 3x 2 10 Εάν η αντικειµενική συνάρτηση είναι ελαχιστοποίησης αντιστρέφουµε πάλι τους συντελεστές π.χ min(x 1 + 2x 2 ) max( x 1 2x 2 ) (Προσοχή πρέπει µετά να αντιστρέψουµε την τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης!) Εάν έχουµε αντί για περιορισµούς µη αρνητικότητας έχουµε x i a (x i a) αντικαθιστούµε την µεταβλητή µε την x i = x i a (x i = a x i ) ώστε να τηρείται η µη αρνητικότητα για τη µεταβλητή x i

Μορφή Πινάκων Θέτουµε x = A i = a 1i. a mi x 1.. x n, c = c 1.. c n, 1 i n και b = b 1.. b m.

Μορφή Πινάκων Αντιστοιχία µε πίνακες : Αναλυτική Μορφή n Αντικειµενική max z = c i x i i=1 Μορφή Πινάκων max z = c t x Συνάρτηση Περιορισµοί a j1 + + a jn = b j A 1 x t +... A n x t = b 1 j m Μη αρνητικότητα x i 0 x 0 1 i n

Μεταβλητές Απόκλισης Μπορούµε να µετατρέψουµε τους περιορισµούς της µορφής = σε και αντίστροφα!

Μεταβλητές Απόκλισης Μπορούµε να µετατρέψουµε τους περιορισµούς της µορφής = σε και αντίστροφα! Αντικαθιστούµε την ισότητα µε δύο ανισότητες π.χ 2x 1 + x 2 = 3 2x 1 + x 2 3 και 2x 1 + x 2 3

Μεταβλητές Απόκλισης Μπορούµε να µετατρέψουµε τους περιορισµούς της µορφής = σε και αντίστροφα! Αντικαθιστούµε την ισότητα µε δύο ανισότητες π.χ 2x 1 + x 2 = 3 2x 1 + x 2 3 και 2x 1 + x 2 3 (Αντίστροφα) Εισάγουµε επιπλέον µεταβλητές απόκλισης π.χ. 4x 1 + 3x 2 + x 3 15 4x 1 + 3x 2 + x 3 x 4 = 15

Μεταβλητές Απόκλισης Για κάθε περιορισµό µε ανισότητα ϑα εισάγουµε µια µεταβλητή απόφασης

Μεταβλητές Απόκλισης Για κάθε περιορισµό µε ανισότητα ϑα εισάγουµε µια µεταβλητή απόφασης Ο συνολικός αριθµός µεταβλητών γίνεται τώρα p όπου n p m + n όπου n µεταβλητές απόφαση και p n µεταβλητές απόκλισης

Μεταβλητές Απόκλισης Για κάθε περιορισµό µε ανισότητα ϑα εισάγουµε µια µεταβλητή απόφασης Ο συνολικός αριθµός µεταβλητών γίνεται τώρα p όπου n p m + n όπου n µεταβλητές απόφαση και p n µεταβλητές απόκλισης Στην περίπτωση της Μορφής Πινάκων αλλάζουµε τα διανύσµατα :

Μεταβλητές Απόκλισης Για κάθε περιορισµό µε ανισότητα ϑα εισάγουµε µια µεταβλητή απόφασης Ο συνολικός αριθµός µεταβλητών γίνεται τώρα p όπου n p m + n όπου n µεταβλητές απόφαση και p n µεταβλητές απόκλισης Στην περίπτωση της Μορφής Πινάκων αλλάζουµε τα διανύσµατα : x = [ x 1... x n x n+1... x p c = [ c 1... c n 0... 0 ] t A = [ ] A 1... A n A n+1... A p ] t

Τάξη Πίνακα Τάξη Πίνακα Η τάξη(rank ) του πίνακα συντελεστών A ισούται µε τον αριθµό των ανεξάρτητων εξισώσεων που τον παράγουν

Τάξη Πίνακα Τάξη Πίνακα Η τάξη(rank ) του πίνακα συντελεστών A ισούται µε τον αριθµό των ανεξάρτητων εξισώσεων που τον παράγουν Εφικτή λύση Το σύστηµα Ax = b έχει εφικτή λύση αν η τάξη του A είναι µικρότερη από τον αριθµό των µεταβλητών

Τάξη Πίνακα Τάξη Πίνακα Η τάξη(rank ) του πίνακα συντελεστών A ισούται µε τον αριθµό των ανεξάρτητων εξισώσεων που τον παράγουν Εφικτή λύση Το σύστηµα Ax = b έχει εφικτή λύση αν η τάξη του A είναι µικρότερη από τον αριθµό των µεταβλητών Υποθέτοντας πώς η τάξη του A ισούται µε m ισχύει πώς p m

Βασικές Μεταβλητές Βάση Βάση ενός προβλήµατος Γραµµικού προγραµµατισµού ϑα ϑεωρούµε ένα σύνολο m µεταβλητών όπου m ο αριθµός των περιορισµών. Τις υπόλοιπες µεταβλητές ϑα ονοµάζονται εκτός ϐάσης B = {x i1,..., x im } EB = {x im+1,..., x ip }

Βασικές Μεταβλητές Βάση Βάση ενός προβλήµατος Γραµµικού προγραµµατισµού ϑα ϑεωρούµε ένα σύνολο m µεταβλητών όπου m ο αριθµός των περιορισµών. Τις υπόλοιπες µεταβλητές ϑα ονοµάζονται εκτός ϐάσης B = {x i1,..., x im } EB = {x im+1,..., x ip } Ενα σύστηµα µπορεί να γραφτεί υπό την µορφή x i1 = b 1 + a 11 x i m+1 + + a 1p m x i p. x im = b m + a m1 x i m+1 + + a mp m x i p

Βασική Λύση Βασική Λύση Μια ϐασική λύση ενός προβλήµατος είναι λύση του συστήµατος Ax = b πού όλες οι µεταβλητές Εκτός Βάσης είναι µηδενικές (σύµφωνα µε την εκάστοτε ϐάση)

Βασική Λύση Βασική Λύση Μια ϐασική λύση ενός προβλήµατος είναι λύση του συστήµατος Ax = b πού όλες οι µεταβλητές Εκτός Βάσης είναι µηδενικές (σύµφωνα µε την εκάστοτε ϐάση) x i k x i k = b k για 1 k m = 0 για m + 1 k p

Βασική Λύση Βασική Λύση Μια ϐασική λύση ενός προβλήµατος είναι λύση του συστήµατος Ax = b πού όλες οι µεταβλητές Εκτός Βάσης είναι µηδενικές (σύµφωνα µε την εκάστοτε ϐάση) x i k x i k = b k για 1 k m = 0 για m + 1 k p Μια ϐασική εφικτή λύση είναι µια ϐασική λύση όπου όλες οι µεταβλητές εντός ϐάσης είναι µη αρνητικές

Simplex Ο αλγόριθµος Simplex ξεκινά από µια αρχική Βασική Εφικτή λύση

Simplex Ο αλγόριθµος Simplex ξεκινά από µια αρχική Βασική Εφικτή λύση Σε κάθε ϐήµα του µεταβαίνει από µια σε µια άλλη

Simplex Ο αλγόριθµος Simplex ξεκινά από µια αρχική Βασική Εφικτή λύση Σε κάθε ϐήµα του µεταβαίνει από µια σε µια άλλη Αν ο Χώρος των Εφικτών λύσεων είναι ϕραγµένος (στη κατεύθυνση της αντικειµενικής συνάρτησης) ϑα καταλήξει σε ϐέλτιστη

Simplex Ο αλγόριθµος Simplex ξεκινά από µια αρχική Βασική Εφικτή λύση Σε κάθε ϐήµα του µεταβαίνει από µια σε µια άλλη Αν ο Χώρος των Εφικτών λύσεων είναι ϕραγµένος (στη κατεύθυνση της αντικειµενικής συνάρτησης) ϑα καταλήξει σε ϐέλτιστη Ακόµη και αν ο Χώρος των Εφικτών Λύσεων είναι ϕραγµένος υπάρχει πάλι ο κίνδυνος απείρων επαναλήψεων (κυκλισµός)

Επιλογή Συµβολαίων (Αλγεβρική Επίλυση) max z = 8x 1 +6x 2 s.t. 5x 1 +3x 2 30 2x 1 +3x 2 24 x 1 +3x 2 18 x i 0

Επιλογή Συµβολαίων (Αλγεβρική Επίλυση) max z = 8x 1 +6x 2 s.t. 5x 1 +3x 2 30 2x 1 +3x 2 24 x 1 +3x 2 18 x i 0 Προσθήκη µεταβλητών απόκλισης (x 3, x 4, x 5 ) για κάθε ανισότητα

Επιλογή Συµβολαίων (Αλγεβρική Επίλυση) max z = 8x 1 +6x 2 s.t. 5x 1 +3x 2 +x 3 = 30 2x 1 +3x 2 +x 4 = 24 x 1 +3x 2 +x 5 = 18 x i 0

Επιλογή Συµβολαίων (Αλγεβρική Επίλυση) Πρώτη Πρώτο λεξικό : Λ 1

Επιλογή Συµβολαίων (Αλγεβρική Επίλυση) Πρώτη Πρώτο λεξικό : Λ 1 Βάση : Β 1 = {3, 4, 5}

Επιλογή Συµβολαίων (Αλγεβρική Επίλυση) Πρώτη Πρώτο λεξικό : Λ 1 Βάση : Β 1 = {3, 4, 5} Εκτός Βάσης : ΕΒ 1 = {1, 2}

Επιλογή Συµβολαίων (Αλγεβρική Επίλυση) Πρώτη Πρώτο λεξικό : Λ 1 Βάση : Β 1 = {3, 4, 5} Εκτός Βάσης : ΕΒ 1 = {1, 2} : ΒΕΛ 1 = {0, 0, 30, 24, 18} x 3 = 5x 1 3x 2 +30 x 4 = 2x 1 3x 2 +24 x 5 = x 1 3x 2 +18 z = 4x 1 +3x 2 +0 = 0

Επιλογή Συµβολαίων (Αλγεβρική Επίλυση) Και οι δύο µεταβλητές έχουν ϑετική συνεισφορά στην αντικειµενική συνάρτηση. Επιλέγουµε τυχαία ποια ϑα εισάγουµε στη ϐάση

Επιλογή Συµβολαίων (Αλγεβρική Επίλυση) Και οι δύο µεταβλητές έχουν ϑετική συνεισφορά στην αντικειµενική συνάρτηση. Επιλέγουµε τυχαία ποια ϑα εισάγουµε στη ϐάση x 2 0 +, x 1 = 0

Επιλογή Συµβολαίων (Αλγεβρική Επίλυση) Και οι δύο µεταβλητές έχουν ϑετική συνεισφορά στην αντικειµενική συνάρτηση. Επιλέγουµε τυχαία ποια ϑα εισάγουµε στη ϐάση x 2 0 +, x 1 = 0 x 3 0 30 5x 1 3x 2 0 x 2 10 x 4 0 24 2x 1 3x 2 0 x 2 8 x 5 0 18 x 1 3x 2 0 x 2 6

Επιλογή Συµβολαίων (Αλγεβρική Επίλυση) Και οι δύο µεταβλητές έχουν ϑετική συνεισφορά στην αντικειµενική συνάρτηση. Επιλέγουµε τυχαία ποια ϑα εισάγουµε στη ϐάση x 2 0 +, x 1 = 0 x 3 0 30 5x 1 3x 2 0 x 2 10 x 4 0 24 2x 1 3x 2 0 x 2 8 x 5 0 18 x 1 3x 2 0 x 2 6 Τον πιο αυστηρό περιορισµό επιβάλλει η µεταβλητή x 5 : x 2 = 6, x 5 = 0

Επιλογή Συµβολαίων (Αλγεβρική Επίλυση) Και οι δύο µεταβλητές έχουν ϑετική συνεισφορά στην αντικειµενική συνάρτηση. Επιλέγουµε τυχαία ποια ϑα εισάγουµε στη ϐάση x 2 0 +, x 1 = 0 x 3 0 30 5x 1 3x 2 0 x 2 10 x 4 0 24 2x 1 3x 2 0 x 2 8 x 5 0 18 x 1 3x 2 0 x 2 6 Τον πιο αυστηρό περιορισµό επιβάλλει η µεταβλητή x 5 : x 2 = 6, x 5 = 0 ηµιουργία νέου λεξικού

Επιλογή Συµβολαίων (Αλγεβρική Επίλυση) εύτερο λεξικό : Λ 2

Επιλογή Συµβολαίων (Αλγεβρική Επίλυση) εύτερο λεξικό : Λ 2 Βάση : Β 2 = {2, 3, 4}

Επιλογή Συµβολαίων (Αλγεβρική Επίλυση) εύτερο λεξικό : Λ 2 Βάση : Β 2 = {2, 3, 4} Εκτός Βάσης : ΕΒ 2 = {1, 5}

Επιλογή Συµβολαίων (Αλγεβρική Επίλυση) εύτερο λεξικό : Λ 2 Βάση : Β 2 = {2, 3, 4} Εκτός Βάσης : ΕΒ 2 = {1, 5} : ΒΕΛ 2 = {0, 6, 12, 6, 0} x 2 = 1 3 x 1 1 3 x 5 +6 x 3 = 4x 1 +x 5 +12 x 4 = x 1 +x 5 +6 z = 3x 1 x 5 +18 = 18

Επιλογή Συµβολαίων (Αλγεβρική Επίλυση) Μόνο η µεταβλητή x 1 έχει ϑετική συνεισφορά

Επιλογή Συµβολαίων (Αλγεβρική Επίλυση) Μόνο η µεταβλητή x 1 έχει ϑετική συνεισφορά x 1 0 +, x 5 = 0

Επιλογή Συµβολαίων (Αλγεβρική Επίλυση) Μόνο η µεταβλητή x 1 έχει ϑετική συνεισφορά x 1 0 +, x 5 = 0 x 2 0 6 1 3 x 1 1 3 x 5 0 x 1 18 x 3 0 12 4x 1 + x 5 0 x 1 3 x 4 0 6 x 1 + x 5 0 x 1 6

Επιλογή Συµβολαίων (Αλγεβρική Επίλυση) Μόνο η µεταβλητή x 1 έχει ϑετική συνεισφορά x 1 0 +, x 5 = 0 x 2 0 6 1 3 x 1 1 3 x 5 0 x 1 18 x 3 0 12 4x 1 + x 5 0 x 1 3 x 4 0 6 x 1 + x 5 0 x 1 6 Τον πιο αυστηρό περιορισµό επιβάλλει η µεταβλητή x 3 : x 1 = 3, x 3 = 0

Επιλογή Συµβολαίων (Αλγεβρική Επίλυση) Μόνο η µεταβλητή x 1 έχει ϑετική συνεισφορά x 1 0 +, x 5 = 0 x 2 0 6 1 3 x 1 1 3 x 5 0 x 1 18 x 3 0 12 4x 1 + x 5 0 x 1 3 x 4 0 6 x 1 + x 5 0 x 1 6 Τον πιο αυστηρό περιορισµό επιβάλλει η µεταβλητή x 3 : x 1 = 3, x 3 = 0 ηµιουργία νέου λεξικού

Επιλογή Συµβολαίων (Αλγεβρική Επίλυση) Τρίτο λεξικό : Λ 3

Επιλογή Συµβολαίων (Αλγεβρική Επίλυση) Τρίτο λεξικό : Λ 3 Βάση : Β 3 = {1, 2, 4}

Επιλογή Συµβολαίων (Αλγεβρική Επίλυση) Τρίτο λεξικό : Λ 3 Βάση : Β 3 = {1, 2, 4} Εκτός Βάσης : ΕΒ 3 = {3, 5}

Επιλογή Συµβολαίων (Αλγεβρική Επίλυση) Τρίτο λεξικό : Λ 3 Βάση : Β 3 = {1, 2, 4} Εκτός Βάσης : ΕΒ 3 = {3, 5} : ΒΕΛ 3 = {3, 5, 0, 3, 0} x 1 = 1 4 x 3 1 4 x 5 +3 x 2 = 1 12 x 3 5 12 x 5 +5 x 4 = 1 4 x 3 + 3 4 x 5 +3 z = 3 4 x 3 1 4 x 5 +27 = 27

Επιλογή Συµβολαίων (Αλγεβρική Επίλυση) Ολες οι µεταβλητές έχουν αρνητική συνεισφορά Βέλτιστη Λύση!!!

Επιλογή Συµβολαίων (Αλγεβρική Επίλυση) Ολες οι µεταβλητές έχουν αρνητική συνεισφορά Βέλτιστη Λύση!!! Τελική Λύση : X = (x 1, x 2 ) = (3, 5) 3 Συµβόλαια Τύπου 1 5 Συµβόλαια Τύπου 2 Συνολικό κέρδος 54000 Ευρώ 30 µηχανικοί 18 ώρες λειτουργίας 21 τεχνικοί

Επιλογή Συµβολαίων (Αλγεβρική Επίλυση) Ολες οι µεταβλητές έχουν αρνητική συνεισφορά Βέλτιστη Λύση!!! Τελική Λύση : X = (x 1, x 2 ) = (3, 5) 3 Συµβόλαια Τύπου 1 5 Συµβόλαια Τύπου 2 Συνολικό κέρδος 54000 Ευρώ 30 µηχανικοί 18 ώρες λειτουργίας 21 τεχνικοί x 1, x 2 ακέραιες τιµές

Επιλογή Συµβολαίων (Αλγεβρική Επίλυση) Ολες οι µεταβλητές έχουν αρνητική συνεισφορά Βέλτιστη Λύση!!! Τελική Λύση : X = (x 1, x 2 ) = (3, 5) 3 Συµβόλαια Τύπου 1 5 Συµβόλαια Τύπου 2 Συνολικό κέρδος 54000 Ευρώ 30 µηχανικοί 18 ώρες λειτουργίας 21 τεχνικοί x 1, x 2 ακέραιες τιµές ΕΥΤΥΧΗΣ ΣΥΜΠΤΩΣΗ!

Simplex : Ενας περίπατος στις ακµές του πολυτόπου! Λεξικό Λ 1 : B = {3, 4, 5}, EB = {1, 2} x 2 10 8 6 A B OABC : Εφικτή Περιοχή O C 6 12 18 x 1

Simplex : Ενας περίπατος στις ακµές του πολυτόπου! Εύρεση κατεύθυνσης για ϐελτίωση της αντικειµενική συνάρτησης x 2 10 8 6 A B OABC : Εφικτή Περιοχή O C 6 12 18 x 1

Simplex : Ενας περίπατος στις ακµές του πολυτόπου! Καµία κατεύθυνση δεν ϐελτιστοποιεί την αντικειµενική συνάρτηση! x 2 10 8 6 A B OABC : Εφικτή Περιοχή O C 6 12 18 x 1