Λόγος ευθυγράµµων τµηµάτων Ότν θέλουµε ν συγκρίνουµε δύο ευθύγρµµ τµήµτ, υπολογίζουµε τη διάφορ ή το λόγο των µηκών τους. Στην περίπτωση του λόγου υπολογίζουµε πόσες Φορές το έν τµήµ είνι µεγλύτερο πό το άλλο. AB 1m Πράδειγµ: Αν AB =1m κι ΒΓ = 6m τότε = = ο ριθµός λέγετι ΒΓ 6m λόγος του ΑΒ προς το Γ Ο λόγος δυο ευθύγρµµων τµηµάτων δεν εξρτάτι πό τη µονάδ µε την οποί θ µετρηθούν. Βσική προϋπόθεση ν µετρηθούν µε την ίδι µονάδ. Οι τριγωνοµετρικοί ριθµοί οξείς γωνίς στο ορθογώνιο τρίγωνο Ηµίτονο µις οξείς γωνίς ορθογωνίου τριγώνου λέγετι: ο λόγος της πένντι κάθετης πλευράς προς την υποτεί- Γ νουσά του. ηµγ = γ = πένντι κάθετη Υποτείνουσ β ω Συνηµίτονο µις οξείς γωνίς ορθογωνίου τριγώνου λέγετι: ο λόγος της προσκείµενης κάθετης πλευράς προς την υποτείνουσά του. συνγ = β = προσκείµενη κάθετη Υποτείνουσ Α γ Β Εφπτόµενη µις οξείς γωνίς ορθογωνίου τριγώνου λέγετι: ο λόγος της πένντι κάθετης πλευράς προς την προσκείµενη κάθετη πλευράς. γ πένντικλάθετη εφγ = = β προσκείµενη κάθετη Πρτηρήσεις: 1. Επειδή οι κάθετες πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου είνι µικρότερες πό την υποτείνουσ, ισχύουν οι σχέσεις: 0 < ηµω < 1 κι 0 < συνω < 1.. Ότν υξάνετι µι οξεί γωνί, υξάνετι κι το ηµίτονό της. 3. Ότν υξάνετι µι οξεί γωνί, ελττώνετι το συνηµίτονο της. 1
Σχέσεις µετξύ των τριγωνοµετρικών ριθµών. Α. Αν Γ είνι µι οξεί γωνί, τότε πό στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ έχουµε: ηµγ = γ συνγ = β Άρ ηµ Γ + συν γ Γ = = β + γ άρ + β = γ +β = = 1 γιτί πό Πυθγόρειο θεώρηµ ισχύει ηµ Γ+συν Γ = 1 ΠΡΟΣΟXΗ! ηµ Γ = (ηµγ) ηµγ. Β. Γνωρίζουµε ότι εφγ = β γ ηµγ γ β γ έxουµε = : = =εφγ άρ συνγ β εφγ = ηµγ συνγ Τριγωνοµετρικοί ριθµοί των ξιοσηµείωτων γωνιών 4, 30, 60 ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Συµπληρώστε τον διπλνό πίνκ. Εργζόµενοι στις πρκάτω εφρµογές ω 30 ο 4 ο 60 ο ηµω συνω εφω Εφρµογές: 1. Το τρίγωνο ΑΒΓ είνι ορθογώνιο κι ισοσκελές µε κάθετες πλευρές 3 cm. Ν υπολογίσετε: ) την υποτείνουσά του β) τους τριγωνοµετρικούς ριθµούς της γωνίς των 4 κι ν συµπληρώσετε τον πρπάνω πίνκ.. Στο διπλνό σxήµ ν εντοπίσετε γωνίες: ) 60 κι β) 30. Στη συνέxει ν υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς ριθµούς κι ν συµπληρώσετε τον πρπάνω πίνκ.
Φύλλο εργσίς Τριγωνοµετρί Ονοµτεπώνυµο: Ηµεροµηνί. /./00 Σε έν ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, A=90 o (ορθή), λέµε ότι: Η πλευρά ΒΓ είνι η υποτείνουσ. Οι πλευρές ΑΒ κι ΑΓ είνι οι κάθετες πλευρές κι µάλιστ: Η πλευρά ΑΒ είνι η προσκείµενη κάθετη στη γωνί Β. Η πλευρά ΑΓ είνι η πένντι κάθετη στη γωνί Β. Ν συµπληρώσετε τις φράσεις: Στο τρίγωνο ΚΛΜ Στο τρίγωνο ΡΣΤ Η υποτείνουσ είνι η. Η προσκείµενη κάθετη πλευρά στη γωνί Κ είνι η... Η πένντι κάθετη πλευρά στη γωνί Κ είνι η. Η πένντι κάθετη πλευρά τη γωνί Μ είνι η. Η υποτείνουσ είνι η... Η πλευρά ΡΣ είνι.... στη γωνί Τ. Η πλευρά ΡΤ είνι.... στη γωνί Τ. Η πλευρά ΡΣ είνι.... στη γωνί Σ. 3
. Στ πρκάτω ορθογώνι τρίγων οι σηµειωµένες οξείες γωνίες είνι ίσες. Ν συµπληρώσετε τον πρκάτω πίνκ: Τρίγωνο Υποτείνουσ Απένντι κάθετη Προσκείµενη Απένντι κάθετη υποτείνουσ Προσκείµενη κάθετη υποτείνουσ 1 3 4 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΝΕΑΣ ΚΙΟΥ 4 Κ. ΜΑΝΙΤΑΡΑΣ
Ασκήσεις 1. Ν κυκλώσετε το γράµµ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση. Α) Ότν µί οξεί γωνί υξάνετι, τότε η εφπτοµένη της: Α. υξάνετι Β. µειώνετι Γ. µένει στθερή Β) Στο διπλνό ορθογώνιο τρίγωνο η εφθ Α. 6 / 10 Β. 8 / 6 Γ. 6 / 8. 8 / 10. Έν ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90 ) έχει ΑΒ = 3cm κι ΒΓ = 0mm βρεθούν οι εφπτόµενες των οξειών γωνιών του. 3. Έν ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90 ) έχει ΒΓ = 0cm κι ΑΒ = 1cm βρεθούν οι εφπτόµενες των οξειών γωνιών του. 4. Έν ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90 ) έχει ΑΓ = 0m κι γωνί Β = 3. Ν υπολογισθεί το µήκος της ΑΒ.. Έν ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90 ) έχει ΑΒ = 1cm κι Β =. Ν υπολογισθεί το µήκος της ΑΓ. 6. ίνετι ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90 ) µε ΑΒ = 60m κι εφβ= 4 3. Ν υπολογίσετε: I) το µήκος της πλευράς ΑΓ. II) το µήκος της πλευράς ΒΓ. 7. Ν κτσκευάσετε (σχέδιο) οξεί γωνί ω µε: ) εφω = 7 3 β) εφφ = 0,7 γ) εφθ = 0,7. 8. ίνετι ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90 ) µε ΑΒ = cm κι ΑΓ = cm. Ν υπολογιστούν οι ο- ξείες γωνίες του τριγώνου. 9. ίνετι ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90 ) µε ΑΒ = 10m κι εφβ = 0,7. Ν βρεθεί η περίµετρος του τριγώνου. 10. Ένς δρόµος έχει νηφορική κλίση 10%. Ν βρεθεί η οριζόντι πόστση που πρέπει ν δινύσουµε γι ν νεβούµε ύψος 80m. ω φ 11. Στο διπλνό ορθογώνιο µε πλευρές 40m κι m ν υπολογίσετε τις γωνίες φ κι ω. 1. Σε έν ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ η µί πό τις δύο ίσες γωνίες του είνι 3 ο. Αν το ύψος της βάσης είνι 6cm ν βρεθούν: ) η βάση του τριγώνου, β) το εµβδό του τριγώνου. 13. Η υποτείνουσ ΒΓ ενός ορθογώνιου τριγώνου ΑΒΓ, είνι 0cm κι η πλευρά ΑΒ είνι 30cm. Ν Ν υπολογιστούν τ ηµίτον κι συνηµίτον των οξειών γωνιών του. 14. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε υποτείνουσ ΒΓ = 0cm κι ηµγ = 0,8 ν υπολογιστούν τ: ηµβ, συνβ κι συνγ. ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΝΕΑΣ ΚΙΟΥ Κ. ΜΑΝΙΤΑΡΑΣ
1. Ν υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς ριθµούς στ πρκάτω ορθογώνι τρίγων. 16. Ν υπολογίσετε την πλευρά χ στ πρκάτω τρίγων: 17. Στο διπλνό τρίγωνο ν υπολογίσετε τ µήκη ) Β, Α, Γ β) το εµβδό του τριγώνου ΑΒΓ 18. Σε ορθογώνιο τρίγωνο µε Πυθγόρει τριάδ -1-13 κι ω ή φ τις οξείες γωνίες: 1 Ν υπολογίσετε το συνω κι την εφω ότν το ηµω = (όµοι ηµω = ) 13 13 Ν υπολογίσετε το ηµφ κι την εφφ ότν το συνφ = 13 Ν υπολογίσετε το ηµω κι την συνω ότν το εφω = 1 1 (όµοι συνφ = ) 13 1 (όµοι εφφ = ) 19. Σε ορθογώνιο τρίγωνο µε Πυθγόρει τριάδ 6-8-10 κι ω ή φ τις οξείες γωνίες: Ν υπολογίσετε το συνω κι την εφω ότν το ηµω = 0,6 (όµοι ηµω = 0,8) Ν υπολογίσετε το ηµφ κι την εφφ ότν το συνφ = 0,8 (όµοι συνφ = 0,6) Ν υπολογίσετε το ηµφ κι την συνω ότν το εφω = 0,8 (όµοι εφφ = 0,6) ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΝΕΑΣ ΚΙΟΥ 6 Κ. ΜΑΝΙΤΑΡΑΣ