Σχεδιασμός Συστημάτων Ελέγχου

Σχεδιασμός Συστημάτων Ελέγχου ΔΠΜΣ Συστήματα Αυτοματισμού 2015-2016 Δρ Γ Παπαλάμπρου Λέκτορας ΕΜΠ georgepapalambrou@lmentuagr Εργαστήριο Ναυτικής Μηχανολογίας (Κτίριο Λ) Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχανικών Εθνικό Μετσοβιο Πολυτεχνείο November 2, 2015 Γ Παπαλάμπρου-Σχεδιασμός Συστημάτων Ελέγχου (Μ4) ΔΠΜΣ Συστήματα Αυτοματισμού 2015-2016

Διαμόρφωση συνάρτησης μεταφοράς ανοιχτού βρόχου Περιεχόμενα 1 Διαμόρφωση συνάρτησης μεταφοράς ανοιχτού βρόχου 2 Γ Παπαλάμπρου-Σχεδιασμός Συστημάτων Ελέγχου (Μ4) ΔΠΜΣ Συστήματα Αυτοματισμού 2015-2016

Σχεδιασμός συστήματος ελέγχου Γενικά υπάρχουν αρκετές μεθοδολογίες σχεδιασμού ελεγκτών: lead/lag, PID, state feedback, adaptive, MPC, εύρωστου ελέγχου (robust), IMC, κλπ Μία βασική ταξινόμηση στις μεθόδους: Διαμόρφωση συνάρτησης μεταφοράς ανοιχτού βρόχου L L, S, T βελτιστοποίηση νόρμας H Λαμβάνοντας υπόψη την ασάφεια μοντέλου κατά τον σχεδιασμό έλεγχος μ-σύνθεσης Γ Παπαλάμπρου-Σχεδιασμός Συστημάτων Ελέγχου (Μ4) ΔΠΜΣ Συστήματα Αυτοματισμού 2015-2016

Ελεγκτές Loop Shaping Στην κλασσική προσέγγιση, λέγοντας διαμόρφωση βρόχου (Loop shaping) εννοούμε την διαδικασία σχεδιασμού ελεγκτή όπου διαμορφώνεται το μέτρο της συνάρτησης L(s) = K(s)G(s) ανοιχτού βρόχου Γενικά οι απαιτήσεις για το L είναι πολλαπλές και συχνά αντιφατικές: Επιδόσεις, απόρριψη διαταραχών: μεγάλο L Επιδόσεις, παρακολούθηση αναφοράς: μεγάλο L Σταθεροποίηση ασταθούς συστήματος: μεγάλο L Μείωση θορύβου: μικρό L Μικρό σήμα ελέγχου: μικρό K και L Ευστάθεια: μικρό L Γ Παπαλάμπρου-Σχεδιασμός Συστημάτων Ελέγχου (Μ4) ΔΠΜΣ Συστήματα Αυτοματισμού 2015-2016

Ελεγκτές Loop Shaping Τα παραπάνω ικανοποιούνται με μεγάλο L(jω) σε χαμηλές συχνότητες και μικρό L(jω) σε υψηλές, πάνω από την συχν crossover Όμως παράγοντες όπως η ύπαρξη καθυστερήσεων, μηδενιστών στο δεξίο ημιεπίπεδο, περιορισμοί στην δράση ελέγχου και δυναμική σε υψηλές συχνότητες που δεν λαμβάνεται υπόψη στο μοντέλο του συστήματος, αναγκάζουν το κέρδος βρόχου να πάρει τιμές κάτω της μονάδας σε ορισμένες συχνότητες Γ Παπαλάμπρου-Σχεδιασμός Συστημάτων Ελέγχου (Μ4) ΔΠΜΣ Συστήματα Αυτοματισμού 2015-2016

Ελεγκτές Loop Shaping Θεωρούμε ως ω c τη συχνότητα crossover που έχουμε L = 1 και ως ω 180 τη συχνότητα που έχουμε L= 180 0 Στις υψηλές συχνότητες, η κλίση λέγεται roll-off rate Γενικά ισχύει για την μορφή της L: Ο ρυθμός μείωσης της L είναι κλίση συνήθως 1 (δηλ 20 db/decade) Γενικά είναι επιθυμητό να υπάρχει κλίση 1 στην περιοχή crossover, ω c, και κλίση 2 πέρα από αυτή την περιοχή Ο σχεδιασμός της L(s) είναι κρίσιμος και δυσκολότερος στην περιοχή crossover, δηλαδή μεταξύ ω c και ω 180 Για ευστάθεια, είναι επιθυμητό να υπάρχει κέρδος βρόχου μικρότερο από 1 στη συχνότητα ω c, δηλαδή L(jω 180 ) < 1 Γ Παπαλάμπρου-Σχεδιασμός Συστημάτων Ελέγχου (Μ4) ΔΠΜΣ Συστήματα Αυτοματισμού 2015-2016

Ελεγκτές Loop Shaping Συνήθως αρχικά τοποθετείται ολοκληρωτής στον ελεγκτή ώστε να επιτυγχάνεται επίδοση σε χαμηλές συχνότητες και παρακολούθηση αναφοράς σε υψηλές συχνότητες χωρίς απόκλιση Ακολουθείται επαναληπτικά η διαμόρφωση μορφής του L, μετά τον υπολογισμό των περιθωρίων φάσης και κέρδους, των μεγίστων των συναρτήσεων κλειστού βρόχου M S, M T και των αποκρίσεων συστήματος κλειστού βρόχου Η μέθοδος διαμόρφωσης της συνάρτησης εφαρμόζεται δύσκολα σε πολύπλοκα συστήματα Σε μια τέτοια περίπτωση πλέον κάποιος μπορεί να εφαρμόσει την μέθοδο H Γ Παπαλάμπρου-Σχεδιασμός Συστημάτων Ελέγχου (Μ4) ΔΠΜΣ Συστήματα Αυτοματισμού 2015-2016

Διαμόρφωση συνάρτησης μεταφοράς ανοιχτού βρόχου Συνάρτηση μεταφοράς ανοιχτού βρόχου-παράδειγμα 1 Παράδειγμα: ελεγκτής για το αεροσκάφος HiMat στο MATLAB Robust Control Toolbox Demos Loop Shaping of HIMAT Pitch Axis Controller Γ Παπαλάμπρου-Σχεδιασμός Συστημάτων Ελέγχου (Μ4) ΔΠΜΣ Συστήματα Αυτοματισμού 2015-2016

Παράδειγμα 2: Loop Shaping Θεωρούμε τη συνάρτηση μεταφοράς G(s) = 3( 2s + 1) (5s + 1)(10s + 1) (1) Σκοπός είναι ο σχεδιασμός ελεγκτή με μεθόδους κλασσικού ελέγχου Είναι επιθυμητές οι παρακάτω προδιαγραφές, για το (τελικό) σύστημα κλειστού βρόχου 1 Σφάλμα μόνιμης κατάστασης ίσο με μηδέν 2 Χρόνος ανύψωσης (rise time) ίσος με 5 sec 3 Υπερακόντιση (overshoot) ίση με 20 % 4 Περιθώριο κέρδους GM > 2 και Περιθώριο φάσης PM > 30 0 Γ Παπαλάμπρου-Σχεδιασμός Συστημάτων Ελέγχου (Μ4) ΔΠΜΣ Συστήματα Αυτοματισμού 2015-2016

Παράδειγμα 2 Loop Shaping Θα σχεδιαστεί ελεγκτής με την μέθοδο Loop shaping, για την συνάρτηση μεταφοράς G(s) Η μορφή του ελεγκτή επιλέγεται να είναι K(s) = K c (10s + 1)(5s + 1) s(2s + 1)(033s + 1), K c = 005 (2) Το κέρδος K c επιλέγεται έτσι ώστε να έχουμε αποδεκτό περιθώριο κέρδους και φάσης Η κλίση της L είναι 1 μέχρι τα 3 rad/s, όπου και αλλάζει σε 2 Επίσης ω c = 015 rad/s και ω 180 = 043 rad/s Ο ελεγκτής έχει μηδενιστές στα σημεία των πόλων του συστήματος Αυτό γίνεται σκόπιμα, εφόσον θέλουμε συγκεκριμένη διαμόρφωση της L πριν από την συχνότητα ω c Γ Παπαλάμπρου-Σχεδιασμός Συστημάτων Ελέγχου (Μ4) ΔΠΜΣ Συστήματα Αυτοματισμού 2015-2016

Διαμόρφωση συνάρτησης μεταφοράς ανοιχτού βρόχου Παράδειγμα 2 Loop Shaping-απόκριση συχνότητας περιθώριο κέρδους: 292, περιθώριο φάσης: 54 0 Οι μέγιστες τιμές των συναρτήσεων κλειστου βρόχου S, T είναι 175 και 111 Γ Παπαλάμπρου-Σχεδιασμός Συστημάτων Ελέγχου (Μ4) ΔΠΜΣ Συστήματα Αυτοματισμού 2015-2016

Διαμόρφωση συνάρτησης μεταφοράς ανοιχτού βρόχου Παράδειγμα 2 Loop Shaping-είσοδος μοναδιαίας βαθμίδας Η απόκριση είναι πολύ βελτιωμένη σε σχέση με έναν ελεγκτή PI Στο διάγραμμα του MATLAB, με δεξί κλίκ επιλέγουμε Characteristics και Peak Response, Rise Time, Steady State, για γραφική απεικόνιση Γ Παπαλάμπρου-Σχεδιασμός Συστημάτων Ελέγχου (Μ4) ΔΠΜΣ Συστήματα Αυτοματισμού 2015-2016

Ο όρος H Στα προηγούμενα είδαμε διαμόρφωση συνάρτησης ανοιχτού βρόχου, L(s) Τώρα θα δούμε εισαγωγικά την διαμόρφωση συναρτήσεων κλειστού βρόχου, όπου σχεδιάζεται ελεγκτής με κριτήρια νόρμας H Θα ξαναδούμε την μεθοδολογία πιο συστηματικά αργότερα Εδώ γίνεται σχεδιασμός ελεγκτή με συστηματικό τρόπο, όπου αφήνεται στον Μηχανικό η επιλογή βαρών (weights) για τις επιθυμητές μορφές των KS,S,T Γ Παπαλάμπρου-Σχεδιασμός Συστημάτων Ελέγχου (Μ4) ΔΠΜΣ Συστήματα Αυτοματισμού 2015-2016

Διαμόρφωση συνάρτησης μεταφοράς ανοιχτού βρόχου Ο όρος νόρμα H Η νόρμα H μιας συνάρτησης f(s) είναι η μέγιστη τιμή της f(s), σε συνάρτηση της συχνότητας, δηλ f(s) = max f(jω) Εναλλακτικά χρησιμοποιείται ο όρος νόρμα sup, δηλ supremum Γ Παπαλάμπρου-Σχεδιασμός Συστημάτων Ελέγχου (Μ4) ΔΠΜΣ Συστήματα Αυτοματισμού 2015-2016

Σταθμισμένη Ευαισθησία Η συνάρτηση S(= (1 + KS) 1 ) είναι ένας πολύ καλός δείκτης επιδόσης συστ κλειστού βρόχου, για SISO αλλά και MIMO συστήματα Θέλουμε την S μικρή οπότε εξετάζουμε την S, χωρίς να μας απασχολεί η φάση Τυπικά χαρακτηριστικά της S είναι: 1 Bandwidth ωb (συχνότητα που η S τέμνει το μέτρο στο 0707 από κάτω) 2 Ελάχιστο σφάλμα παρακολούθησης σε ορισμένες συχνότητες 3 Μορφή της S σε ορισμένες συχνότητες 4 Μέγιστη κορυφή της S: S(jω) M Γ Παπαλάμπρου-Σχεδιασμός Συστημάτων Ελέγχου (Μ4) ΔΠΜΣ Συστήματα Αυτοματισμού 2015-2016

Σταθμισμένη Ευαισθησία Το χαρακτηριστικό κορυφής εμποδίζει την ενίσχυση θορύβου σε υψηλές συχνότητες και δίνει περιθώριο ευρωστίας, τυπικά ισχύει M = 2 Αυτό γίνεται μέσω ενός άνω ορίου στο μέτρο της S ως 1 W p (s) όπου W p (s) είναι βάρος (weight) επιλογής του σχεδιαστή και με τον δείκτης P να συνδέεται με την επίδοση (performance) εφόσον η S χρησιμεύει ως δείκτης επίδοσης οπότε έχουμε S(jω) < 1 W p(s), ω W ps < 1 W p S < 1 Έχουμε έτσι τον όρο σταθμισμένη ευαισθησία W p S (weighted sensitivity), της οποίας η νόρμα H πρέπει ναναι < 1 Γ Παπαλάμπρου-Σχεδιασμός Συστημάτων Ελέγχου (Μ4) ΔΠΜΣ Συστήματα Αυτοματισμού 2015-2016

Διαμόρφωση συνάρτησης μεταφοράς ανοιχτού βρόχου Σταθμισμένη Ευαισθησία-Παράδειγμα Βλέπουμε απεικόνηση του αντίστροφου βάρους W p (διακεκομμένη) και συνάρτησης S (συνεχής) Φαίνεται ότι η η S ξεπερνάει το όριο 1/W p σε ορισμένες συχνότητες Γ Παπαλάμπρου-Σχεδιασμός Συστημάτων Ελέγχου (Μ4) ΔΠΜΣ Συστήματα Αυτοματισμού 2015-2016

Σταθμισμένη Ευαισθησία-Επιλογές Βαρών Το σχήμα δείχνει τον αντίστροφο βάρους W p Tο βάρος W p δίνεται από την σχέση w p (s) = s/m+ω B s+ω B A Δηλ το 1/W p είναι ίσο με Α στις χαμηλές συχνότητες και M 1 στις υψηλές και η ασύμπτωτη τέμνει στο μέτρο 1 στην συχνότητα ω B, που είναι περίπου το bandwidth Γ Παπαλάμπρου-Σχεδιασμός Συστημάτων Ελέγχου (Μ4) ΔΠΜΣ Συστήματα Αυτοματισμού 2015-2016

Μικτή Ευαισθησία Σε πολλές περιπτώσεις δεν αρκεί το W p S < 1 Έτσι προσπαθούμε να επηρεάσουμε και άλλες συναρτήσεις κλειστού βρόχου, όπως η T ή KS Στην περίπτωση της Τ, με άνω όριο το 1/ W T στοχεύουμε σε γρήγορο roll off της L σε υψηλές συχνότητες Στην περίπτωση επιθυμίας περιορισμού στο σήμα ελέγχου u, θέτουμε άνω όριο το 1/ W u στο μέτρο της KS Αυτά σε συνδιασμό δίνουν N = max σ(n(jω)) < 1 και [ ] wp S N = w u KS Ο συνδιασμός ονομάζεται H Μικτής Ευαισθησίας (mixed sensitivity) και ανάλογα με τις συναρτήσεις είναι τύπου S/KS ή και S/KS/T Γ Παπαλάμπρου-Σχεδιασμός Συστημάτων Ελέγχου (Μ4) ΔΠΜΣ Συστήματα Αυτοματισμού 2015-2016

Παράδειγμα: Σχεδιασμός H μικτής ευαισθησίας για διεργασία με διαταραχές Μελετάται το Παράδειγμα 217 από το [1] Εξετάζεται το σύστημα G με διαταραχή G d G(s) = 200 1 10s+1, G (005s+1) 2 d = 100 Ο χρόνος είναι σε sec Εξετάζεται σχεδίαση H μικτής ευαισθησίας d 10s+1 05 r K u 1 (005s+1) 2 200 10s+1 y Γ Παπαλάμπρου-Σχεδιασμός Συστημάτων Ελέγχου (Μ4) ΔΠΜΣ Συστήματα Αυτοματισμού 2015-2016

Παράδειγμα: Σχεδιασμός H μικτής ευαισθησίας Προδιαγραφές-Στόχοι συστήματος ελέγχου: Παρακολούθηση εντολής: ο χρόνος ανύψωσης (rise time) ( 90%) να είναι κάτω από 3 sec και η υπερακόντιση κάτω από 5% Απόρριψη διαταραχής: η έξοδος μετά από μοναδιαία βηματική διαταραχή να παραμένει εντός του [ 1, 1] συνέχεια και να επιστρέφει στο 0 το γρηγορότερο Περιορισμός εισόδου: το u(t) πρέπει να παραμένει εντός του [ 1, 1] συνέχεια, ώστε να αποφεύγεται κορεσμός (saturation) Γ Παπαλάμπρου-Σχεδιασμός Συστημάτων Ελέγχου (Μ4) ΔΠΜΣ Συστήματα Αυτοματισμού 2015-2016

Παράδειγμα: Σχεδιασμός H μικτής ευαισθησίας Λαμβάνεται H μικτής ευαισθησίας S / KS στην οποία [ ] wp S N = w u KS Έχει γίνει κατάλληλη αλλαγή κλίμακας του συστήματος έτσι ώστε οι είσοδοι να έχουν μέγεθος 1 ή μικρότερο και γι αυτό επιλέγουμε ένα απλό βάρος εισόδου w u =1 Το βάρος επίδοσης έχει επιλεχθεί ως w p1 (s) = s/m+ω B s+ωb A, M = 15, ω B = 10, A = 10 4 Για να πάρουμε ένα σταθερό βάρος και να αποφύγουμε αριθμητικά προβλήματα στον αλγόριθμο που χρησιμοποιείται για τη σύνθεση του ελεγκτή, έχουμε μετακινήσει τον ολοκληρωτή ελάχιστα χρησιμοποιώντας μία μικρή μη μηδενική τιμή για το Α Γ Παπαλάμπρου-Σχεδιασμός Συστημάτων Ελέγχου (Μ4) ΔΠΜΣ Συστήματα Αυτοματισμού 2015-2016

Παράδειγμα: Σχεδιασμός H μικτής ευαισθησίας Αυτό δεν έχει καμία πρακτική σημασία στην επίδοση του ελεγκτή Η τιμή ωb = 10 έχει επιλεγεί για να επιτύχουμε την επιθυμητή συχνότητα crossover ω c των 10 rad/s Το πρόβλημα του H μικτής ευαισθησίας λύνεται με το Robust Control Toolbox του MATLAB χρησιμοποιώντας την εντολή mixsyn(g, W S, W KS, W T ) Εναλλακτικά, μπορεί να χρησιμοπ η γενική εντολή hinfsyn(p), όπου πρώτα πρέπει να έχει σχηματιστεί το γενικευμένο σύστημα P Αυτό γίνεται με την εντολή sysic Γ Παπαλάμπρου-Σχεδιασμός Συστημάτων Ελέγχου (Μ4) ΔΠΜΣ Συστήματα Αυτοματισμού 2015-2016

Παράδειγμα: Σχεδιασμός H μικτής ευαισθησίας Πρόγραμμα MATLAB για τη σύνθεση ελεγκτή H για το παράδειγμα G=tf,(200,conv,([10; 1],conv([005 ; 1],[005 ;1]))); % Plant is G M=15,; wb=10,; A=1e-4; Wp = tf ([1/M ; wb], [1 ;wb*a]); Wu = 1; % Weights for S,KS %Find H-infinity optimal controller: khinf,ghinf,gopt= mixsyn(g,wp,wu,[ ]); Marg = allmargin,(g*khinf) % Gain, phase margins Γ Παπαλάμπρου-Σχεδιασμός Συστημάτων Ελέγχου (Μ4) ΔΠΜΣ Συστήματα Αυτοματισμού 2015-2016

Παράδειγμα: Σχεδιασμός H μικτής ευαισθησίας khinf είναι η ελεγκτής H, gopt είναι η νόρμα H του συστ κλειστού βρόχου Για αυτό το πρόβλημα πετύχαμε βέλτιστη νόρμα H gopt = 137, οπότε οι απαιτήσεις σταθμισμένης ευαισθησίας δεν ικανοποιούνται πλήρως Βλέπε σχεδιασμό 1 στο Bode όπου η καμπύλη για το S 1 είναι ελάχιστα πάνω από την 1/ w p1 Marg = GainMargin: 773; GMFrequency: 3544; PhaseMargin: 7109; PMFrequency: 719 Γ Παπαλάμπρου-Σχεδιασμός Συστημάτων Ελέγχου (Μ4) ΔΠΜΣ Συστήματα Αυτοματισμού 2015-2016

Διαμόρφωση συνάρτησης μεταφοράς ανοιχτού βρόχου Παράδειγμα: Σχεδιασμός H μικτής ευαισθησίας Αντίστροφα βάρη επίδοσης (διακεκομμένη γραμμή) και συναρτήσεις ευαισθησίας (συνεχής γραμμή) για διαφορετικές σχεδιάσεις H (1 και 2) για το σύστημα με διαταραχές Γ Παπαλάμπρου-Σχεδιασμός Συστημάτων Ελέγχου (Μ4) ΔΠΜΣ Συστήματα Αυτοματισμού 2015-2016

Διαμόρφωση συνάρτησης μεταφοράς ανοιχτού βρόχου Παράδειγμα: Σχεδιασμός H μικτής ευαισθησίας Βηματικές αποκρίσεις κλειστού βρόχου για διαφορετικές σχεδιάσεις H (1 και 2) για το σύστημα με διαταραχές Γ Παπαλάμπρου-Σχεδιασμός Συστημάτων Ελέγχου (Μ4) ΔΠΜΣ Συστήματα Αυτοματισμού 2015-2016

Παράδειγμα: Σχεδιασμός H μικτής ευαισθησίας Παρόλα αυτά, ο σχεδιασμός είναι ικανοποιητικός με S = M S = 130, T = M T = 1, GM = 8, PM = 7119 deg και ω c = 719 rad/s και η απόκριση παρακολούθησης είναι πολύ καλή όπως φαίνεται από την καμπύλη y 1 Ωστόσο, βλέπουμε από την καμπύλη y 1 ότι η απόκριση διαταραχής είναι πολύ αργή Αν η απόρριψη διαταραχής είναι το κύριο μέλημα, προκύπτει η ανάγκη για ένα βάρος επίδοσης που καθορίζει υψηλότερα κέρδη σε χαμηλές συχνότητες Έτσι δοκιμάζουμε w p2 (s) = (s/m1/2 +ωb )2, M = 15, ω (s+ωb A1/2 ) 2 B = 10, A = 10 4 Γ Παπαλάμπρου-Σχεδιασμός Συστημάτων Ελέγχου (Μ4) ΔΠΜΣ Συστήματα Αυτοματισμού 2015-2016

Παράδειγμα: Σχεδιασμός H μικτής ευαισθησίας Ο αντίστροφος αυτού του βάρους υπάρχει στο Bode και φαίνεται από τη διακεκομμένη γραμμή να ξεπερνάει σε μέτρο το 1 στη ίδια περίπου συχνότητα με το βάρος ω p1 αλλά ορίζει αυστηρότερο έλεγχο σε χαμηλότερες συχνότητες Με το βάρος ω p2 πετυχαίνουμε σχεδιασμό με βέλτιστη νόρμα H ίση με 219 και M S = 162, M T = 142, GM = 477, PM = 438 deg και ω c = 1128 rad/s Η απόκριση διαταραχής είναι πολύ καλή, ενώ η απόκριση παρακολούθησης έχει μια κάπως υψηλή υπερακόντηση (βλέπε καμπύλη y 2 ) Γ Παπαλάμπρου-Σχεδιασμός Συστημάτων Ελέγχου (Μ4) ΔΠΜΣ Συστήματα Αυτοματισμού 2015-2016

Παράδειγμα: Σχεδιασμός H μικτής ευαισθησίας Συμπεράσματα: Ο σχεδιασμός 1 είναι καλύτερος για παρακολούθηση αναφοράς ενώ ο σχεδιασμός 2 είναι καλύτερος για απόρριψη διαταραχής Για την επίτευξη σχεδιασμού με καλή παρακολούθηση αναφοράς και καλή απόρριψη διαταραχών χρειαζόμαστε έναν ελεγκτή με δύο βαθμούς ελευθερίας (2DOF) Γ Παπαλάμπρου-Σχεδιασμός Συστημάτων Ελέγχου (Μ4) ΔΠΜΣ Συστήματα Αυτοματισμού 2015-2016

Βιβλιογραφία SP05 : Βασική παραπομπή μαθήματος Κεφ 2: Classical Feedback Control, sec 26, 28 Τα κεφ 1-3 όπως και όλοι οι κώδικες MATLAB του βιβλίου υπάρχουν στο Internet [RobUG10]: Το documentation (on-line) του Robust Control Toolbox [SP05] Skogestad, S and Postlethwaite, I, Multivariable Control Systems, Second edition Wiley, 2005 [RobUG10] Robust Control Toolbox User s Guide, The Mathworks, 2010 Γ Παπαλάμπρου-Σχεδιασμός Συστημάτων Ελέγχου (Μ4) ΔΠΜΣ Συστήματα Αυτοματισμού 2015-2016

Διαμόρφωση συνάρτησης μεταφοράς ανοιχτού βρόχου Στο Επόμενο Μάθημα Περιορισμοί σε Συστήματα SISO Ελεγξιμότητα εισόδου-εξόδου Περιορισμοί από καθυστερήσεις, μηδενιστές, υστέρηση φάσης, ασταθείς πόλους Περιορισμοί λόγω αβεβαιότητας Παραδείγματα Γ Παπαλάμπρου-Σχεδιασμός Συστημάτων Ελέγχου (Μ4) ΔΠΜΣ Συστήματα Αυτοματισμού 2015-2016