3. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΤΟΥΣ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ Θεωρούμε μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα ανοιχτό υποσύνολο του ευκλείδειου χώρου : f : U. Λέμε ότι η συνάρτηση αυτή είναι διαφορίσιμη στο σημείο a U όταν υπάρχει γραμμική συνάρτηση : τέτοια ώστε: d a f : f (a + u) = f (a) + d a f (u) + o( u ). Η γραμμική αυτή συνάρτηση όταν υπάρχει είναι μοναδική και καλείται διαφορικό της δεδομένης συνάρτησης στο συγκεκριμένο σημείο του πεδίου ορισμού της. Ο ορισμός αυτός δίνει ενδογενή χαρακτήρα στην έννοια του διαφορικού μιας συνάρτησης στα σημεία του πεδίου ορισμού της δηλαδή δεν υπεισέρχεται σε αυτόν κάποιο σύστημα συντεταγμένων. Η επαύξηση u οφείλει να διατηρεί τη μεταβλητή στο πεδίο ορισμού a+ u U και με τη διανυσματική της υπόσταση υπεισέρχεται ως μεταβλητή της γραμμικής συνάρτησης που εκφράζει το διαφορικό στο σημείο a U. Ο συμβολισμός του Ladau o( u ) δηλώνει μια συνάρτηση ou ( ) τέτοια ώστε : lim o(u)/ u = 0. u 0 Θεωρώντας μία βάση {e...e } του ευκλείδειου χώρου και συνακόλουθα ένα σύστημα γραμμικών συντε- ταγμένων ο πραγματικός αριθμός df ( e ) υποδεικνύει την κλίση της συνάρτησης στο σημείο a U ως προς a i τον i- οστό άξονα που ορίζεται από το αντίστοιχο διάνυσμα της βάσης και συμβολίζεται f ( a). Η μερική παράγωγος της συνάρτησης f ως προς την i- οστή μεταβλητή της είναι η συνάρτηση : i f : U x i f (x) i =... και όλες οι μερικές παράγωγοι συγκροτούν το πεδίο κατευθυντήριας κλίσης (gradiet) : f (x) = ( f (x)... f (x)). Η συνάρτηση f λέμε ότι είναι διαφορίσιμη και συγκεκριμένα κλάσης C όταν όλες οι μερικές παράγωγοί της υπάρχουν και είναι συνεχείς στο πεδίο ορισμού της. Γενικότερα λέμε ότι είναι κλάσης C r i όταν όλες οι μερικές παράγωγοί της είναι κλάσης C r r > και τέλος λέμε ότι είναι κλάσης C όταν όλες οι μερικές παράγωγοί της είναι κλάσης C r για κάθε r ( C 0 σημαίνει ότι η συνάρτηση είναι συνεχής). Το διαφορικό της συνάρτησης είναι η συνάρτηση που ορίζεται ως εξής : f : U Df : U L( ) df (x) d x f όπου L( p ) δηλώνει το διανυσματικό χώρο των γραμμικών συναρτήσεων του εκφράζεται σε μία βάση του ευκλείδειου χώρου με το πεδίο κατευθυντήριας κλίσης : 3 στο και η οποία f (x) = ( f (x)... f (x)) x U. Προφανώς οι γραμμικές συναρτήσεις είναι διαφορίσιμες και ταυτίζονται παντού με το διαφορικό τους. Βλ. Διανυσματικός Λογισμός J. Marsde A. Tromba Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης 00. 3 Η ύπαρξη των μερικών παραγώγων δεν αρκεί για να διασφαλιστεί η διαφορισιμότητα της συνάρτησης και απαιτείται η συνέχειά τους. 7
Ο όρος γραμμική μορφή στον ευκλείδειο χώρο Ε = δηλώνει κάθε γραμμική απεικόνιση: α :Ε. Οι γραμμικές μορφές εκτός της μηδενικής έχουν μονοδιάστατη εικόνα και διάστατο πυρήνα : Kerα = { v Ε / α(v) = 0}. Το σύνολο των γραμμικών μορφών του ευκλείδειου χώρου Ε εφοδιασμένο με τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού με πραγματικούς αριθμούς διαθέτει δομή - διάστατου πραγματικού διανυσματικού χώρου συμβολίζεται Ε και καλείται δυϊκός χώρος του ευκλείδειου χώρου Ε. Σε κάθε βάση του ευκλεί- δειου χώρου Ε προσαρτάται αμφιμονοσήμαντα μια δυϊκή βάση του δυϊκού χώρου Ε που ορίζεται ως εξής: e j :Ε e j (e i ) = δ ij i j =.... Έτσι όταν δοθεί μια γραμμική μορφή εκφρασμένη σε μια βάση του χώρου Ε : α = c e * +...+ c e * c i τότε αυτή αποδίδει σε κάθε διάνυσμα του ευκλείδειου χώρου Ε : τον πραγματικό αριθμό: v = ve +... + ve v i α (v) = ce() v +... + ce() v = cv +... + cv αφού e () v = v i... * * i i =. Ένα σύστημα γραμμικών συντεταγμένων στον ευκλείδειο χώρο Ε ορίζεται από μία οποιαδήποτε βάση του δυϊκού χώρου Ε και αποδίδει στα σημεία του Ε αριθμητικές συντεταγμένες. Οι προβολές στους άξονες που ορίζονται από μία βάση του ευκλείδειου χώρου Ε και αποδίδουν σε κάθε σημείο καρτεσιανές συντεταγμέ- νες είναι γραμμικές μορφές οι οποίες συγκροτούν βάση του δυϊκού χώρου Ε και συνακόλουθα ορίζουν ένα σύστημα γραμμικών συντεταγμένων στον ευκλείδειο χώρο Ε που συμβολίζονται : x i : i... =. Οι προβολές αυτές ως γραμμικές απεικονίσεις συμπίπτουν σε κάθε σημείο με το διαφορικό τους : d a x i : i... =. Τα στοιχεία του ευκλείδειου χώρου έχουν διπλή υπόσταση σημειακή και διανυσματική. Οι συντεταγμένες προβολές προβάλλουν σημεία ενώ τα διαφορικά τους σε κάθε σημείο συμπίπτουν με αυτές και προβάλλουν διανύσματα στους αντίστοιχους άξονες συντεταγμένων : d a x i (v) = v i i =... v = v e +...+ v e v i i =.... Προβολές σημείων και προβολές διανυσμάτων στο ευκλείδειο επίπεδο. 8
Όταν δοθεί μία διαφορίσιμη συνάρτηση : τότε το διαφορικό της σε κάθε σημείο a U : f : U d a f : απεικονίζει τα διανύσματα του ευκλείδειου χώρου ως εξής : και d a f (v) = ( d a f )( v i e i ) = v i ( d a f )(e i ) = i f (a)v i = < f (a) v > i= i= d a f (v) = i f (a) d a x i (v) d a f = i f (a) d a x i. 4 i= i= i= Ο όρος διαφορική μορφή ορισμένη σε ένα ανοιχτό υποσύνολο του ευκλείδειου χώρου Ε = δηλώ- νει κάθε διαφορίσιμη απεικόνιση η οποία σε κάθε σημείο x U προσαρτά μια γραμμική μορφή α(x) Ε *.: α : U Ε Ε *. Σε ένα σύστημα γραμμικών συντεταγμένων προκύπτει η έκφραση: α ( x) = c ( x) dx c i C r (U) r i= όπου C r (U) συμβολίζει το σύνολο των πραγματικών συναρτήσεων κλάσης C r στο U Ε. i i Όταν δοθεί μία διαφορίσιμη συνάρτηση : τότε το διαφορικό της δηλαδή η συνάρτηση : f : U df : U * df () x dx f. αποδίδει σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της τη γραμμική μορφή: Πρόκειται για διαφορική μορφή: df = i f dxi i= df ( x) = i f ( x) dxxi x U. i= που συμβολίζεται : x i i= df = f dx. Μία διαφορική μορφή δεν αποτελεί όμως πάντα διαφορικό μιας συνάρτησης. Εκείνες οι διαφορικές μορφές που αποτελούν διαφορικό μιας συνάρτησης καλούνται ακριβείς. Αν δοθεί μια ακριβής διαφορική μορφή: α ( x) = c ( x) dx c i C r (U) r i= τότε αυτό σημαίνει ότι υπάρχει διαφορίσιμη συνάρτηση: i i i τέτοια ώστε: f : U α(x) = d x f x U. Η συνάρτηση αυτή εφόσον υπάρχει προκύπτει από την επίλυση του συστήματος των εξισώσεων : f (x)= ( c i (x)...c (x)) : xi f (x)= c i (x) x U i =... 4 Στην περίπτωση μοναδιαίων διανυσμάτων η σχέση αυτή υποδεικνύει το ρυθμό μεταβολής των τιμών της συνάρτησης προς την κατεύθυνση του θεωρούμενου διανύσματος v Ε. 9
Μια απεικόνιση ορισμένη σε ένα ανοιχτό υποσύνολο του ευκλείδειου χώρου : λέγεται διαφορίσιμη σε ένα σημείο f : U p f( x) ( f( x)... fp ( x) ) = a U όταν στο σημείο αυτό είναι διαφορίσιμες οι συνιστώσες της : f i : U i... = p. Ο ορισμός αυτός ισοδυναμεί με την ύπαρξη γραμμικής απεικόνισης: τέτοιας ώστε: D a f : p f( a+ u) = f( a) + D f( u) + o( u ). a Η γραμμική αυτή απεικόνιση όταν υπάρχει είναι μοναδική και αποτελεί το διαφορικό της θεωρούμενης απει- κόνισης στο δεδομένο σημείο του πεδίου ορισμού της. Άρα το διαφορικό κάθε διαφορίσιμης απεικόνισης ορίζεται ως εξής : f : U p Df : U L( p ) Df () x Dx f όπου L( p ) συμβολίζει το διανυσματικό χώρο των γραμμικών απεικονίσεων του στο p. Το δια- φορικό της θεωρούμενης συνάρτησης σε κάθε σημείο a U εκφράζεται στην κανονική βάση του ευκλείδειου χώρου με τον ιακωβιανό πίνακα : 5 f (a) x f (a) x f (a) D a f = f p (a) x f p (a) x f p (a) Ο όρος αμφιδιαφορομορφισμός του ευκλείδειου χώρου δηλώνει κάθε αντιστρέψιμη αμφιδιαφορίσιμη απεικόνιση και αυτό σημαίνει ότι πρόκειται για αμφιδιαφορίσιμο ομοιομορφισμό : f :. Το σύνολο των αμφιδιαφορομορφισμών του ευκλείδειου χώρου εφοδιασμένο με την πράξη της σύν- θεσης έχει δομή ομάδας που τη συμβολίζουμε Diff( ). Η ομάδα αυτή προφανώς περιέχει την ομάδα ισο- μορφισμών και περιέχεται στην ομάδα ομοιομορφισμών του ευκλείδειου χώρου : Isom( ) Diff( ) Hom( ). Γενικά ο όρος αμφιδιαφορομορφισμός δηλώνει κάθε αμφιδιαφορίσιμο ομοιομορφισμό μεταξύ ανοιχτών υποσυνόλων του ευκλείδειου χώρου : f : U U f() x ( f ()... x f () x ) =. Το διαφορικό ενός αμφιδιαφορομορφισμού σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού του ορίζει έναν ισομορφισμό του ευκλείδειου χώρου : 6 Da f : Da f ( f (a)... f(a)) a U. 5 Η ύπαρξη των μερικών παραγώγων που υπεισέρχονται στον ιακωβιανό πίνακα δεν αρκεί για να διασφαλιστεί η διαφορισιμότητα της θεωρούμενης απεικόνισης και απαιτείται επιπλέον η συνέχειά τους. 6 Μια διαφορίσιμη απεικόνιση που το διαφορικό της σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της είναι ισομορφισμός δεν είναι οπωσδήποτε αμφιδιαφορίσιμη και ενδεχομένως ούτε αντιστρέψιμη. Π.χ.: { } U = (x y) / x + y > 3 { } φ : U U ( xy ) ( u x y v xy) U = (uv) / u + v > 9 φ = = =. 0
ο οποίος στην κανονική βάση του ευκλείδειου χώρου εκφράζεται με τον αντιστρέψιμο ιακωβιανό πίνακα: f (a) x f (a) x f (a) D a f = f (a) x f (a) x f (a) Οι αμφιδιαφορικοί μετασχημαισμοί διατηρούν αναλλοίωτα όχι μόνο τα τοπολογικά αλλά και τα διαφορικά χαρακτηριστικά πρώτης ή ανώτερης τάξης των μετασχηματιζόμενων υποσυνόλων των ευκλείδειων χώρων ανάλογα με την απαίτηση της C r αμφιδιαφορισιμότητας r όμως δεν διατηρούν γενικά τα γεωμετρικά και μετρικά χαρακτηριστικά τους. Για παράδειγμα προσέξτε στο ακόλουθο σχήμα πώς μετασχηματίζονται οι ομόκεντροι κύκλοι του ευκλείδειου επιπέδου από τον υποδεικνυόμενο μετασχηματισμό: ( ). φ(x y) = u = x + y v = y. Μια απεικόνιση f : U f() x ( f ()... x f () x ) = καλείται τοπικός αμφιδιαφορομορφισμός στο σημείο a U όταν υπάρχουν ανοιχτές περιοχές U a του a και U a του a =f(a) στις οποίες περιοριζόμενη η απεικόνιση ορίζει έναν αμφιδιαφορομορφισμό: f : U a U a. Δύο κλασικά θεωρήματα δίνουν τις προϋποθέσεις τοπικής και ολικής αντιστρεψιμότητας και αμφιδιαφορισι- μότητας των απεικονίσεων ενός ευκλείδειου χώρου στον εαυτό του : Θεώρημα τοπικής αντιστροφής. 7 Μια C - διαφορίσιμη απεικόνιση: f : U είναι τοπικός C - αμφιδιαφορομορφισμός σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της αν και μόνο αν ο ιακωβιανός της πίνακας στο σημείο αυτό είναι αντιστρέψιμος. Θεώρημα ολικής αντιστροφής. 8 Αν μια C - διαφορίσιμη απεικόνιση: f : U είναι ένα προς ένα και ο ιακωβιανός της πίνακας είναι αντιστρέψιμος σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της τότε έχει ανοιχτή εικόνα U = f (U) και προκύπτει ο C - αμφιδιαφορομορφισμός: f : U U. 7 Η απόδειξη του θεωρήματος τοπικής αντιστροφής βασίζεται στην κλασική τεχνική των διαδοχικών προσεγγίσεων και στο θεώρημα στα- θερού σημείου και υπάρχει σε όλα τα βιβλία Διαφορικού Λογισμού. Η μονοδιάστατη περίπτωση είναι γνωστή από το Λύκειο και δηλώνει ότι στα σημεία του γραφήματος μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης όπου η κλίση δεν είναι μηδενική η συνάρτηση είναι τοπικά αντιστρέ- ψιμη και η αντίστροφή της είναι παραγωγίσιμη με αντίστροφη κλίση στο αντίστοιχο σημείο του ορισμού της. Από το θεώρημα αυτό απορρέει το σπουδαίο θεώρημα των πεπλεγμένων συναρτήσεων. 8 Η αντιστρεψιμότητα του ιακωβιανού πίνακα σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού μιας διαφορίσιμης απεικόνισης διασφαλίζει την τοπική αλλά όχι την ολική αντιστρεψιμότητά της ούτε καν την ένα προς ένα απεικόνιση του πεδίου ορισμού της..
Αμφιδιαφορικές αλλαγές συντεταγμένων στους ευκλείδειους χώρους. Στον ευκλείδειο χώρο επιλέγοντας μια προσανατολισμένη ορθοκανονική βάση προκύπτει ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων το οποίο ορίζεται από τις κανονικές προβολές στους άξονες που προκύπτουν από αυτή τη βάση. Κάθε γραμμικός ισομορφισμός του ευκλείδειου χώρου : φ : μετατρέπει την ορθοκανονική βάση σε βάση όχι απαραίτητα ορθοκανονική και συνακόλουθα το σύστημα των καρτεσιανών συντεταγμένων (x...x ) σε σύστημα γραμμικών συντεταγμένων ( x... x ) όχι απαραίτητα καρτεσιανών ως εξής: x i = x i φ : x i = x i φ : φ x i x i i =... Γραμμικός μετασχηματισμός των καρτεσιανών συντεταγμένων στο ευκλείδειο επίπεδο. Κάθε αμφιδιαφορομορφισμός 9 του ευκλείδειου χώρου : φ : μετατρέπει το σύστημα των καρτεσιανών συντεταγμένων (x...x ) σε σύστημα όχι απαραίτητα γραμμικών αλλά καμπυλόγραμμων συντεταγμένων (u...u ) ως εξής: x i = u i φ u i = x i φ i =... φ x i u i Αμφιδιαφορικός μετασχηματισμός των καρτεσιανών συντεταγμένων του ευκλείδειου επιπέδου. 9 Οι αλλαγές συντεταγμένων οφείλουν να διασφαλίζουν κατά τρόπο αντιστρεπτό την εγκυρότητα των φυσικών χαρακτηριστικών που αφορούν τόσο στις θέσεις όσο και στις ταχύτητες των φυσικών συστημάτων και στην απαίτηση αυτή ανταποκρίνονται οι αμφιδιαφορο- μορφισμοί κλάσης C r r.
Στο Διαφορικό και Ολοκληρωτικό Λογισμό χρησιμοποιούνται συχνά καμπυλόγραμμες συντεταγμένες π.χ. κυλινδρικές σφαιρικές ελλειπτικές παραβολικές που όμως δεν βρίσκονται σε ολική αμφιδιαφορική αντι- στοιχία με τις καρτεσιανές συντεταγμένες του ευκλείδειου χώρου. Για να υπάρξει αμφιδιαφορική αντιστοιχία χρειάζεται να περιοριστεί κατάλληλα το πεδίο ορισμού και εικόνων της αλλαγής συντεταγμένων : φ : U a U a φ(x) = ( φ (x)...φ (x)). Το θεώρημα τοπικής αντιστροφής υποδεικνύει τη δυνατότητα συγκρότησης ενός τοπικού συστήματος συντε- ταγμένων στην περιοχή ενός σημείου αν και μόνο αν το διαφορικό του μετασχηματισμού σε αυτό το σημείο ορίζει ισομορφισμό του ευκλείδειου χώρου και αυτό σημαίνει τη γραμμική ανεξαρτησία των πεδίων κατευ- θυντήριας κλίσης σε αυτό το σημείο άρα το μη μηδενισμό της ιακωβιανής ορίζουσας : f (a) x φ (a) x φ (a) det D a φ = det det 0 f (a) x φ (a) x φ (a) Πράγματι το διαφορικό αυτής της τοπικής αμφιδιαφορικής αλλαγής συντεταγμένων στο σημείο όπου είναι επικεντρωμένο το τοπικό σύστημα συντεταγμένων μετασχηματίζει τη βάση του ευκλείδειου χώρου ως εξής: D a φ(e ) = D a φ(e ) = και έτσι συγκροτείται ο αντιστρέψιμος ιακωβιανός πίνακας: D a φ = i= i= x φ i (a) x φ i (a) e i e i x φ (a) x φ (a) x φ (a) x φ (a) Στον ευκλείδειο χώρο 3 από την αμφιδιαφορική αλλαγή συντεταγμένων : φ : 3 3 (x x x ) ( u (x x x ) u (x x x ) u (x x x )) φ = =φ =φ =φ 3 3 3 3 3 3 που ορίζει τη μετάβαση από καρτεσιανές σε καμπυλόγραμμες συντεταγμένες προκύπτουν οι επιφάνειες : { } c i i 3 S i = (x x 3 x 3 ) 3 / φ i (x x 3 x 3 ) = c i =. Επιφάνειες συντεταγμένων και καμπύλες συντεταγμένων. Οι επιφάνειες αυτές καλούνται επιφάνειες συντεταγμένων και τέμνονται ανά δυο στις καμπύλες συντεταγμέ- νων που αντιστοιχούν στους άξονες του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων. Αν οι επιφάνειες συντεταγ- μένων τέμνονται ορθογώνια λέμε ότι πρόκειται για σύστημα ορθογώνιων καμπυλόγραμμων συντεταγμένων. 3
Η ορθογωνιότητα των συντεταγμένων σημαίνει ότι το σύστημα των μοναδιαίων διανυσμάτων e e e 3 τα οποία εφάπτονται στις αντίστοιχες καμπύλες συντεταγμένων ταυτίζεται με το σύστημα των μοναδιαίων διανυ- σμάτων e e e 3 που είναι κάθετα στις αντίστοιχες επιφάνειες συντεταγμένων. Συγκεκριμένα εκφράζοντας ένα διάνυσμα του ευκλείδειου χώρου 3 στις καμπυλόγραμμες συντεταγμένες σε κάθε σημείο ισχύει: ui r = ui r ei u i = u i e i i= 3 < ui r u j > = δ ij i j = 3. Η φορά των μοναδιαίων διανυσμάτων e e e 3 ορίζεται σε κάθε σημείο από την αυξητική κατεύθυνση των συντεταγμένων συναρτήσεων u u u 3 και σε κάθε διάνυσμα προσαρτώνται οι αναλογικοί συντελεστές: Ο αντίστροφος αμφιδιαφορομορφισμός: h i (u u u 3 ) = r(u ui u u 3 ) i= 3. φ : 3 3 φ (u u u 3 ) = ( x = ψ (u u u 3 ) x = ψ (u u u 3 ) x 3 = ψ 3 (u u u 3 )) ορίζει σε κάθε σημείο τον ισομορφισμό: που εκφράζεται με τον ιακωβιανό πίνακα: D a φ = D a φ : 3 3 u φ ( a ) u φ ( a ) u φ ( a ) u φ ( a ) Η ορίζουσα αυτού του πίνακα δίνει το γινόμενο των αναλογικών συντελεστών της αλλαγής συντεταγμένων: det D a = (a ) (a ) 3(a ) φ h h h. Κλασικά παραδείγματα καμπυλόγραμμων συντεταγμένων στον ευκλείδειο χώρο. ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ x =ρcosϕ y=ρsiϕ z = z. Επιφάνειες συντεταγμένων: ρ= c κυλινδρικές επιφάνειες ϕ= c επίπεδα που τέμνουν τον άξονα z z= c 3 επίπεδα ορθογώνια στον άξονα z Καμπύλες συντεταγμένων: Συντεταγμένη καμπύλη ρ : { ϕ= c } {z= c 3} (ευθεία) Συντεταγμένη καμπύλη ϕ : { ρ= c } {z= c 3} (κύκλος) Συντεταγμένη καμπύλη z : { ρ= c } { ϕ= c } (ευθεία) ρ 0 0 ϕ < π z. Αναλογικοί συντελεστές: h = ρ h =ρ ϕ h z=. 4
Κυλινδρικές συντεταγμένες. Θέση ταχύτητα και επιτάχυνση ενός σωματιδίου που κινείται στο χώρο : 0 r(t) = x(t) ex + y(t) e y + z(t) e z = ρ(t) e ρ + z(t) e z r(t) = ρ(t) e ρ + ρ(t) ϕ(t) e ϕ + z(t) e z r(t) = ( ρ(t) ρ(t) ϕ (t)) e ρ + ( ρ(t) ϕ(t) + ρ(t) ϕ(t) ) e ϕ + z(t) e z. ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ x =ρsiθcosϕ y=ρsiθsiϕ z =ρcosθ. Επιφάνειες συντεταγμένων: ρ= c σφαιρικές επιφάνειες θ= c κωνικές επιφάνειες ϕ= c 3 επίπεδα που τέμνουν τον άξονα z Καμπύλες συντεταγμένων: Συντεταγμένη καμπύλη ρ : { θ= c } { ϕ= c 3} (ευθεία) Συντεταγμένη καμπύλη θ : { ρ= c } { ϕ= c 3} (ημικύκλιο) Συντεταγμένη καμπύλη ϕ : { ρ= c } { θ= c } (κύκλος) ρ 0 0 ϕ< π 0 θ π. Αναλογικοί συντελεστές: h = ρ h =ρ θ h =ρsiθ ϕ. Σφαιρικές συντεταγμένες. Θέση ταχύτητα και επιτάχυνση ενός σωματιδίου που κινείται στο χώρο : r(t) = x(t) ex + y(t) e y + z(t) e z = ρ(t) e ρ r(t) = ρ(t) e ρ + ρ(t) θ(t) e θ + ρ(t) ϕ(t)siθ(t) e ϕ ( ) e ρ + ( ) e θ + r(t) = ρ(t) ρ(t) θ (t) ρ(t) ϕ (t)si θ(t) + ρ(t) θ(t) + ρ(t)θ(t) ρ(t) ϕ (t)siθ(t)cosθ(t) ( ) e ϕ. + ρ(t) θ(t) ϕ(t)cosθ + ρ(t) ϕ(t)siθ(t) + ρ(t) ϕ(t)siθ(t) 0 Ένας απλός υπολογισμός υποδεικνύει ότι : e ρ = cosϕ e x + siϕ e y e ϕ = siϕ e x + cosϕ e y e z = e z e x = cosϕ e ρ siϕ e ϕ e y = siϕ e ρ + cosϕ e ϕ e z = e z e ρ = ϕ e ϕ e ϕ = ϕ e ρ e z = 0. Ένας απλός υπολογισμός υποδεικνύει ότι : e ρ = siθcosϕe x + siθsiϕ e y + cosθ e z e x = siθcosϕ e ρ + cosθcosϕ e θ siϕ e ϕ e θ = cosθcosϕe x + cosθsiϕ e y siθe z e y = siθsiϕ e ρ + cosθsiϕ e θ + cosϕe ϕ e ϕ = siϕ e x + cosϕe y e z = cosθe ρ siθe θ e ρ = θ eθ + ϕsiθ e ϕ e θ = θ eρ + ϕcosθ e ϕ e ϕ = ϕsiθ e ρ ϕcosθ e θ. 5
ΠΑΡΑΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ x = ( u u) y= uu z = u3 u u 0 u 3. x = chucosu y shusi u = z = u3 u 0 0 u < π u 3. Τομές επιφανειών παραβολικών συντεταγμένων με το επίπεδο z= 0 : Παραβολές κοινής εστίας και κοινού άξονα. ( ) / hu= hu = u + u h u =. 3 Τομές επιφανειών ελλειπτικών συντεταγμένων με το επίπεδο z= 0 : Ελλείψεις και υπερβολές κοινών εστιών. ( sh si ) / hu = hu = u + u h u =. 3 Πολικές συντεταγμένες στο ευκλείδειο επίπεδο: x =ρcosϕ y=ρsiϕ ρ 0 0 ϕ< π h =ρ ϕ ρ = h. Ο μετασχηματισμός αυτός δεν θέτει σε αμφιδιαφορική αντιστοιχία τις πολικές με τις καρτεσιανές συντεταγμένες και απαιτείται ο περιορισμός: + φ ]0π[ + {0} ( ) φ(ρϕ) = ( x = φ (ρϕ) y= φ (ρϕ)). Τροχιές του απλού επίπεδου εκκρεμούς στην περιοχή του σημείου ευσταθούς ισορροπίας σε καρτεσιανές και σε πολικές συντεταγμένες. 6
Παραδείγματα τοπικής και ολικής αντιστροφής στο πραγματικό επίπεδο. Παράδειγμα. Θεωρούμε το μετασχηματισμό του ευκλείδειου επιπέδου: που ορίζεται ως εξής: f : f (x y) = ( f (x y) f (x y) ) f (xy) = six + y f (xy) = cosy + x. Ο μετασχηματισμός αυτός είναι διαφορίσιμος σε κάθε σημείο του ευκλείδειου επιπέδου. Αν ήταν αμφιδιαφο- ρίσιμος θα έπρεπε σε κάθε σημείο του ευκλείδειου επιπέδου να διασφαλίζεται η γραμμική ανεξαρτησία των πεδίων κατευθυντήριας κλίσης: f (x o ) = (cos x o ) f (x o ) = ( si y o ) γεγονός που εκφράζεται με την αντιστρεψιμότητα του ιακωβιανού πίνακα: [D a f ] = f (x y ) o o f (x o ) = cos x o si y o Προφανώς αυτό δεν συμβαίνει στα σημεία: (π + kπ π/ + kπ) (kπ 3π/ + kπ) k. Αν τα σημεία αυτά εξαιρεθούν από το πεδίο ορισμού το θεώρημα τοπικής αντιστροφής υποδεικνύει την το- πική αμφιδιαφορισιμότητα του μετασχηματισμού: f : U U = f(u) Όμως η ένα προς ένα απεικόνιση του πεδίου ορισμού του είναι αυτή που δίνει τη δυνατότητα εφαρμογής του θεωρήματος ολικής αντιστροφής και οδηγεί στην επιβεβαίωση της αντιστρεψιμότητας και της αμφιδιαφορισι- μότητας του μετασχηματισμού μεταξύ του πεδίου ορισμού του και της εικόνας του στο ευκλείδειο επίπεδο. Μετασχηματισμός καρτεσιανού πλέγματος σε καμπυλόγραμμο πλέγμα και τετραγωνικών χωρίων σε καμπυλόγραμμα χωρία στο ευκλείδειο επίπεδο : [ u= si x + y v = cos y + x ] 7
Παράδειγμα. Θεωρούμε το μετασχηματισμό του ευκλείδειου επιπέδου: που ορίζεται ως εξής: f : f (x y) = ( f (x y) f (x y) ) f (xy) = x y f (xy) = xy. Ο μετασχηματισμός αυτός είναι διαφορίσιμος σε κάθε σημείο του ευκλείδειου επιπέδου. Αν επιπλέον ήταν τοπικά αμφιδιαφορίσιμος θα έπρεπε σε κάθε σημείο του ευκλείδειου επιπέδου να είναι αντιστρέψιμος ο ιακωβιανός του πίνακας: [D a f ] = f (x y ) o o f (x o ) = x o y o y o x o και αυτό θα σήμαινε τη γραμμική ανεξαρτησία των πεδίων κατευθυντήριας κλίσης: f (x o ) = (x o y o ) f (x o ) = (x o y o ). Προφανώς αυτό συμβαίνει σε όλα τα σημεία του ευκλείδειου επιπέδου εκτός από την αρχή του και σε αυτά τα σημεία το θεώρημα τοπικής αντιστροφής υποδεικνύει την τοπική αμφιδιαφορισιμότητα του μετασχηματι- σμού. Η εξαίρεση της αρχής του ευκλείδειου επιπέδου από το πεδίο ορισμού του δεν αρκεί για την εφαρμογή του θεωρήματος ολικής αντιστροφής. Προφανώς ο μετασχηματισμός αποδίδει ίδια εικόνα στα σημεία που είναι συμμετρικά ως προς την αρχή του ευκλείδειου επιπέδου και η άρση αυτής της αντιξοότητας επιτυγχάνε- ται με τον περιορισμό του πεδίου ορισμού ώστε να μην συνυπάρχουν συμμετρικά σημεία οπότε προκύπτει ένας αμφιμονοσήμαντος και αμφιδιαφορίσιμος μετασχηματισμός: f : U U = f(u). Μετασχηματισμός καρτεσιανού πλέγματος σε καμπυλόγραμμο πλέγμα και τετραγωνικών χωρίων σε καμπυλόγραμμα χωρία στο ευκλείδειο επίπεδο : [ u= x y v = x y ] Παραδείγματα τοπικής και ολικής αντιστροφής στο μιγαδικό επίπεδο. Μια μιγαδική συνάρτηση ορισμένη σε ένα ανοιχτό χωρίο του μιγαδικού επιπέδου: f : U αποσυντίθεται στην πραγματική και στην φανταστική συνιστώσα της ως εξής: όπου f (z) = P(x y) + iq(x y) P : U Q : U. Ο μετασχηματισμός αυτός εκφράζεται στο μιγαδικό επίπεδο με τη μιγαδική συνάρτηση: f( z) = z. 8
Παρότι η διανυσματική δομή του μιγαδικού επιπέδου (μιγαδική διανυσματική δομή) είναι διαφορετική από εκείνη του ευκλείδειου επιπέδου (πραγματική διανυσματική δομή) εντούτοις η τοπολογία τους είναι ταυτόσημη. 3 Έτσι σε κάθε σημείο του μιγαδικού επιπέδου z o = (x o ) η συνέχεια της μιγαδικής συνάρτησης ισοδυναμεί με τη συνέχεια των συνιστωσών της πραγματικών συναρτήσεων και ισχύει: Lim f () z = a + ib z z o Lim P ( x y ) = a & ( xy ) ( xo yo) Lim Q ( x y ) = b. ( xy ) ( xo yo) Όμως η παραγωγισιμότητα της μιγαδικής συνάρτησης δεν ισοδυναμεί με την παραγωγισιμότητα των συνι- στωσών της πραγματικών συναρτήσεων. Η παράγωγος μιας μιγαδικής συνάρτησης σε ένα σημείο του χωρίου ορισμού της εφόσον υπάρχει ορίζεται ως εξής: f (z) f (z f (z o ) =lim o ). z zo z z o Το διαφορικό της μιγαδικής συνάρτησης σε αυτό το σημείο είναι η μιγαδική γραμμική απεικόνιση: 4 D zo f : D f() z = f ( z ) z. zo o Οι μιγαδικές συναρτήσεις που είναι διαφορίσιμες σε κάθε σημείο του χωρίου ορισμού τους στο μιγαδικό επίπεδο καλούνται ολόμορφες και εμφανίζουν εξαιρετικές ιδιότητες που δεν τις διαθέτουν οι διαφορίσιμες πραγματικές συναρτήσεις. Για να διασφαλιστεί η ολομορφία μιας μιγαδικής συνάρτησης στο χωρίο ορισμού της πρέπει οι συνιστώσες πραγματικές συναρτήσεις να είναι διαφορίσιμες με συνεχείς μερικές παραγώγους και επιπλέον να πληρούν τις συνθήκες Cauchy- Riema: x P(x o ) = y Q(x o ) y P(x o ) = x Q(x o ). Η παράγωγος μιας ολόμορφης μιγαδικής συνάρτησης υπολογίζεται ως εξής: f (z o ) = x P(x o ) + i x Q(x o ) και λαμβάνοντας υπόψη τις προαναφερόμενες συνθήκες ολομορφίας προκύπτει: f (z o ) = x P(x o ) i y P(x o ) = y Q(x o ) + i y Q(x o ). Οι συνιστώσες πραγματικές συναρτήσεις ορίζουν τη διαφορίσιμη πραγματική απεικόνιση: f : U f( x y) ( P( x y) Q( x y) ) = και σε κάθε σημείο του χωρίου ορισμού της ορίζεται το διαφορικό της: D a f : οπότε λαμβάνοντας υπόψη τις συνθήκες ολομορφίας προκύπτει η έκφραση της ιακωβιανής: Συνεπώς xp( a) xq( a) x Da f( x y) = xq( a) xp( a) y. 3 Η διανυσματική δομή του μιγαδικού επιπέδου εφοδιασμένο με τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού με μιγαδικούς συντελεστές είναι σαφώς διαφορετική από την πραγματική διανυσματική δομή του ευκλείδειου επιπέδου εφοδιασμένο με τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού με πραγματικούς συντελεστές αλλά η τοπολογία τους είναι ταυτόσημη γεγονός που τους απο- δίδει ίδιες τοπολογικές ιδιότητες. 4 Η - γραμμικότητα σημαίνει: και προφανώς συνεπάγεται την - γραμμικότητα: f ( z+ z ) = f( z) + f ( z ) z z f ( λz) = λf ( z) z λ f ( z+ z ) = f( z) + f ( z ) z z f ( λz) = λf ( z) z λ. 9
άρα det D a f = ( x P(a) ) + ( x Q(a) ) = f (z o ) o [ ] f ( z ) 0 det D f 0. a Το συμπέρασμα είναι ότι στα σημεία όπου δεν μηδενίζεται η παράγωγος μιας ολόμορφης μιγαδικής συνάρ- τησης ο μετασχηματισμός που ορίζεται στο ευκλείδειο επίπεδο από τις συνιστώσες της πραγματικές συναρ- τήσεις είναι τοπικά αντιστρέψιμος και αμφιδιαφορίσιμος όπως δηλώνει το θεώρημα τοπικής αντιστροφής. 5 Στη Μιγαδική Ανάλυση τα θεωρήματα τοπικής και ολικής αντιστροφής δηλώνουν τα εξής: Μια ολόμορφη συνάρτηση σε ένα ανοιχτό χωρίο του μιγαδικού επιπέδου είναι τοπικά αντιστρέψιμη και αμφιολόμορφη στην περιοχή κάθε σημείου του πεδίου ορισμού της στο οποίο η παράγωγός της δεν είναι μηδενική. Αν ο μη μηδενισμός της παραγώγου της αληθεύει σε όλο το χωρίο ορισμού της και επιπλέον πρό- κειται για ένα προς ένα συνάρτηση τότε η εικόνα της στο μιγαδικό επίπεδο είναι ανοιχτή και επάνω σε αυτή η αμφιολόμορφη αντιστροφή είναι ολική. Παράδειγμα. Θεωρούμε τη μιγαδική συνάρτηση: f : f () z = z που προφανώς είναι ολόμορφη σε όλο το μιγαδικό επίπεδο με μη μηδενιζόμενη παράγωγο παρά μόνο στην αρχή του. Άρα σε κάθε σημείο του μιγαδικού επιπέδου εκτός της αρχής του είναι τοπικά αντιστρέψιμη και αμφιολόμορφη. Συνεπώς σε κάθε σημείο του ευκλείδειου επιπέδου εκτός της αρχής του διασφαλίζεται η το- πική αμφιδιαφορική αντιστροφή του μετασχηματισμού που συγκροτείται από τις συνιστώσες πραγματικές συναρτήσεις της μιγαδικής αυτής συνάρτησης: f : f (x y) = ( P(x y) = x y Q(x y) = xy). Η ολική αμφιολόμορφη αντιστροφή της μιγαδικής συνάρτησης είναι εφικτή μόνο στα χωρία του μιγαδικού επιπέδου που βρίσκονται σε αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία με την εικόνα τους στο μιγαδικό επίπεδο. Όμως η μιγαδική αυτή συνάρτηση αποδίδει ίδια εικόνα στα σημεία του μιγαδικού επιπέδου που είναι συμμετρικά ως προς την αρχή του δηλαδή στους μιγαδικούς αριθμούς ίδιου μέτρου που το όρισμά τους διαφέρει κατά π. Ο περιορισμός του χωρίου ορισμού της σε ένα ανοιχτό ημιεπίπεδο του μιγαδικού επιπέδου αποκαθιστά την ένα προς ένα αντιστοιχία και επιτρέπει την εφαρμογή του θεωρήματος ολικής αντιστροφής. Έτσι για δεδομένο θ o π.χ. θ o = 0 περιοριζόμαστε στο ανοιχτό χωρίο του μιγαδικού επιπέδου: U = { z = ρe iθ / ρ > 0 θ o < θ < θ o + π} οπότε αποκαθίσταται αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία με την εικόνα U = f ( U) που καλύπτει το μιγαδικό επί- πεδο εκτός της ημιευθείας πολικής γωνίας θ. Έτσι όπως υποδεικνύεται από το θεώρημα ολικής αντιστρο- o φής προκύπτει η αμφιολόμορφη μιγαδική συνάρτηση: f : U U και η αντίστροφη ολόμορφη συνάρτηση ορίζεται ως εξής: f : U U f () z = z / f ( z) = z. 5 Το σπουδαίο όμως γεωμετρικό χαρακτηριστικό των ολόμορφων μιγαδικών συναρτήσεων των οποίων η παράγωγος δεν μηδενίζεται στο πεδίο ορισμού τους είναι το ότι οι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί που ορίζονται στο ευκλείδειο επίπεδο από τις συνιστώσες της πραγματικές συναρτήσεις διατηρούν αμετάβλητες τις γωνίες δηλαδή αν δυο ομαλές καμπύλες τέμνονται τότε η γωνία που ορίζουν οι εφαπτόμενές τους στο σημείο τομής τους είναι ίδια με τη γωνία που ορίζουν οι εφαπτόμενες στις εικόνες τους στο αντίστοιχο σημείο τομής τους. Οι μετασχηματισμοί του μιγαδικού επιπέδου που έχουν αυτό το χαρακτηριστικό καλούνται σύμμορφοι μετασχηματισμοί. 30
f (i) Ισοσταθμικές καμπύλες των συνιστωσών συναρτήσεων της μιγαδικής συνάρτησης (z) = z. Πρόκειται για ορθογώνιες υπερβολές που ορίζονται στο ευκλείδειο επίπεδο από τις εξισώσεις: ℜ(z ) = x y = ϕ ο & ℑ(z ) = xy = ψ o. (ii) Ισοσταθμικές καμπύλες των συνιστωσών συναρτήσεων της μιγαδικής συνάρτησης f (z) = z /. Πρόκειται για ορθογώνιες ομοεστιακές παραβολές που ορίζονται στο ευκλείδειο επίπεδο από τις εξισώσεις: ℜ(z/ ) = ϕ ο : y = 4ϕ ο4 4ϕ ο x & ℑ(z/ ) = ψ ο : y = 4ψ ο4 + 4ψ ο x. Ας δούμε λεπτομερέστερα τι συμβαίνει με τη μιγαδική πλειότιμη συνάρτηση: f : f ( z ) = z / που σε κάθε μιγαδικό αριθμό αποδίδει δυο συμμετρικές τιμές: z = ρ eiθ z = ρ/ eiθ / z = ρ/ ei(π +θ /). Η πλειότιμη συμπεριφορά αίρεται θεωρώντας ως πεδίο ορισμού όχι το μιγαδικό επίπεδο αλλά ένα διπλό αντίγραφο του μιγαδικού επιπέδου που τα δυο φύλλα του έχουν συγκολληθεί κατά μήκος της σχισμής που ορίζεται από το θετικό πραγματικό ημιάξονα όπως υποδεικνύεται στο σχήμα. (επιφάνεια Riema). Στην επιφάνεια αυτή θα παρατηρήσουμε ότι αν ξεκινήσουμε από ένα σημείο του άνω επιπέδου και επιχειρή- σουμε να διαγράψουμε μια κλειστή καμπύλη γύρω από την αρχή Ο με σκοπό να επανέλθουμε στο αρχικό σημείο θα συναντήσουμε οπωσδήποτε τη σχισμή η οποία αντί να είναι αδιαπέραστη θα λειτουργήσει ως πέρασμα στο κάτω επίπεδο. Η πρώτη περιφορά γύρω από την αρχή δεν οδηγεί στο αρχικό σημείο zo αλλά στο ομόλογό του σημείο z o που ανήκει στο κάτω επίπεδο. Τα δυο αυτά σημεία εφόσον αναπαρασταθούν στο μιγαδικό επίπεδο είναι συμμετρικά ως προς την αρχή του. Μια επιπλέον περιφορά γύρω από την αρχή θα οδηγήσει στο αρχικό σημείο εκκίνησης. Έτσι σε κάθε σημείο z της επιφάνειας Riema αποδίδεται μια μοναδική εικόνα z / στο μιγαδικό επίπεδο και με τον τρόπο αυτό αίρεται κάθε αμφισημία που θα μπορούσε να προκαλέσει η συναρτησιακή χρήση της τετραγωνικής ρίζας των μιγαδικών αριθμών. Η επιφάνεια Riema της πλειότιμης μιγαδικής συνάρτησης Z = z. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Καθηγητής Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Μάθημα ο : Συνοπτική ανασκόπηση βασικών προπτυχιακών εννοιών. 3
Παράδειγμα. Θεωρούμε τη μιγαδική εκθετική συνάρτηση: f : f ( z) = e z που προφανώς είναι ολόμορφη σε όλο το μιγαδικό επίπεδο με μη μηδενιζόμενη παράγωγο άρα σε κάθε σημείο του μιγαδικού επιπέδου είναι τοπικά αντιστρέψιμη και αμφιολόμορφη. Κατά συνέπεια σε κάθε σημείο του ευκλείδειου επιπέδου διασφαλίζεται η τοπική αμφιδιαφορική αντιστροφή του μετασχηματισμού που συγκροτείται από τις συνιστώσες πραγματικές συναρτήσεις της μιγαδικής αυτής συνάρτησης: f : f (x y) = ( P(x y) = e x cos y Q(x y) = e x si y ). Ο μετασχηματισμός αυτός είναι άλλωστε τοπικά αντιστρέψιμος και αμφιδιαφορίσιμος σε όλα τα σημεία του ευκλείδειου επιπέδου αφού ο ιακωβιανός του πίνακα είναι παντού αντιστρέψιμος: e xo cos yo e xo si yo x D( xo yo ) f ( x y) = x xo o e si yo e cos yo y. Η ολική αμφιολόμορφη αντιστροφή της μιγαδικής συνάρτησης είναι εφικτή μόνο στα χωρία του μι- γαδικού επιπέδου που βρίσκονται σε αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία με την εικόνα τους στο μιγαδικό επίπεδο. Ο περι- ορισμός του χωρίου ορισμού της στην οριζόντια ζώνη U = ] π π[ εξασφαλίζει αμφιμονοσήμαντη αντι- στοιχία με την εικόνα U = f (U) που καλύπτει το μιγαδικό επίπεδο εκτός του αρνητικού πραγματικού ημι- άξονα. Όπως υποδεικνύει το θεώρημα ολικής αντιστροφής προκύπτει η αμφιολόμορφη μιγαδική συνάρτηση: f : U U f (z) = e z = e x ( cos y + isi y ) και η αντίστροφη ολόμορφη συνάρτηση ορίζεται ως εξής: f : U U f (z) = Log z = l z + i Arg z. 6 Επιβάλλοντας αυτούς τους περιορισμούς στο ευκλείδειο επίπεδο ορίζεται ο αμφιδιαφορομορφισμός : f : U U f ( x y ) = ( e x cos y e x si y ) και προκύπτει ο αντίστροφος αμφιδιαφορικός μετασχηματισμός: f : U U f ( x y ) = ( l ( x + y )/ Arc ta ( y / x) ). z (i) Ισοσταθμικές καμπύλες των συνιστωσών συναρτήσεων της μιγαδικής συνάρτησης f (z) = e : ℜ(e z ) = e x cos y = ϕ ο & ℑ(e z ) = e x si y = ψ ο. (ii) Ισοσταθμικές καμπύλες των συνιστωσών συναρτήσεων της μιγαδικής συνάρτησης f (z) = log z : ℜ(Log z) = l(x + y )/ = ϕ ο : x + y = e ϕ ο & ℑ( Log z) = Arc ta( y / x) = ψ ο : y = (ta ψ ο ) x. 6 Η μεταβλητή αυτής της μιγαδικής συνάρτησης περιορισμένη στο χωρίο ορισμού της εκθετικής μιγαδικής συνάρτησης διατρέχει το μιγαδικό επίπεδο με εξαίρεση τον αρνητικό πραγματικό ημιάξονα άρα το όρισμά της παίρνει τιμές στο διάστημα ] π π [. Αν η μιγαδική μεταβλητή διέτρεχε ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο εκτός της αρχής του τότε θα προέκυπτε η πλειότιμη μιγαδική λογαριθμική συνάρτηση: Log z = l z + i ( Arg z + k π) k. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Καθηγητής Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Μάθημα ο : Συνοπτική ανασκόπηση βασικών προπτυχιακών εννοιών. 3
Παράδειγμα 3. Θεωρούμε τη μιγαδική συνάρτηση: f : {0} f () z = / z που σε κάθε μιγαδικό αριθμό διάφορο του μηδενός αποδίδει τον αντίστροφό του: i e θ z = ρ / z = (/ ρ)e iθ. Πρόκειται για ολόμορφη συνάρτηση με μη μηδενιζόμενη παράγωγο στο χωρίο ορισμού της άρα τοπικά αντι- στρέψιμη και αμφιολόμορφη. Κατά συνέπεια σε κάθε σημείο του ευκλείδειου επιπέδου εκτός της αρχής του διασφαλίζεται η τοπική αμφιδιαφορική αντιστροφή του μετασχηματισμού που συγκροτείται από τις συνιστώ- σες πραγματικές συναρτήσεις της μιγαδικής αυτής συνάρτησης: f : {(00)} x y f (x y) = P(x y) = Q(x y) = x + y x + y. Η αντιστροφή στο μιγαδικό επίπεδο ενός μιγαδικού αριθμού μέτρου ρ ορίζεται από μια συμμετρία ως προς τον πραγματικό άξονα και μια ομοθεσία λόγου / ρ με κέντρο το Ο. Παραδείγματα αντιστροφής στο μιγαδικό επίπεδο 33
Εφαρμογή : Αναγωγή διαφορίσιμων συναρτήσεων σε τοπικά πρότυπα. Θεωρούμε μια C r διαφορίσιμη συνάρτηση r σε ένα ανοιχτό χωρίο του ευκλείδειου χώρου : f : U y = f(x...x ). Η τοπική αλλαγή συντεταγμένων σε ένα σημείο a που ορίζεται από τον τοπικό αμφιδιαφορομορφισμό: φ : a a φ(x...x ) = ( u = φ (x...x )... u = φ (x...x )) δίνει στη συνάρτηση μια άλλη τοπική έκφραση: f : a y = f(u...u ) όπου f(u...u ) = f φ(x...x ) = f(x...x ) f(u...u ) = f φ (u...u ) a f φ a Σε κάθε σημείο του χωρίου ορισμού αυτής της συνάρτησης λαμβάνουμε το διαφορικό της: και προκύπτει το διάνυσμα κατευθυντήριας κλίσης: f d a f : d a f = xi f(a)dx i i= ( ). f(a) = x f(a)... x f(a) Ο μη μηδενισμός του διαφορικού υποδηλώνει ότι τουλάχιστο μια από τις μερικές παραγώγους δεν μηδενί- ζεται στο θεωρούμενο σημείο και τότε λέμε ότι πρόκειται για ομαλό σημείο ενώ σε περίπτωση μηδενισμού του διαφορικού λέμε ότι πρόκειται για κρίσιμο σημείο της συνάρτησης. Τα κρίσιμα σημεία μιας συνάρτησης διακρίνονται σε δυο κατηγορίες ανάλογα με τη συμπεριφορά του διαφορικού ης τάξης δηλαδή της εσσιανής συνάρτησης: που για κάθε v = (v...v ) ορίζεται ως εξής: H a f : H a f(v) = f(a) v i j= x i x i v j. j Η εσσιανή συνάρτηση είναι μια τετραγωνική συνάρτηση 7 της οποίας οι τιμές ορίζονται διαμέσου του συμμετρικού διγραμμικού τελεστή που εκφράζεται με τον εσσιανό πίνακα: 7 Τετραγωνική συνάρτηση καλείται κάθε συνάρτηση Q : της μορφής Q(u...u ) = a ij u i u j a ij και ο τετραγωνικός της χαρακτήρας αντικατοπτρίζεται στην ταυτότητα: Q(λu...λu ) = λ Q(u...u ) λ. i j= 34
H a f(v) = v v f x (a) f (a) x x f (a) f x x x (a) v v. Αν η εσσιανή συνάρτηση μηδενίζεται σε ένα κρίσιμο σημείο τότε λέμε ότι πρόκειται για εκφυλισμένο κρίσιμο σημείο και σε αντίθετη περίπτωση πρόκειται για μη εκφυλισμένο κρίσιμο σημείο. Οι διαφορίσιμες συναρτήσεις στην περιοχή κάθε ομαλού σημείου με κατάλληλη αμφιδιαφορική αλλαγή συντεταγμένων ανάγονται τοπικά σε γραμμικές συναρτήσεις και συγκεκριμένα σε προβολές οι οποίες ευθυ- γραμμοποιούν τα ισοσταθμικά τους σύνολα. Επίσης όπως απέδειξε ο Marsto Morse το 939 οι διαφορί- σιμες συναρτήσεις στην περιοχή οποιουδήποτε κρίσιμου μη εκφυλισμένου σημείου με κατάλληλη αμφιδια- φορική αλλαγή συντεταγμένων ανάγονται τοπικά σε τετραγωνικά πολυώνυμα. 8 Η διαδικασία αυτή έχει την απαρχή της σε ένα κλασικό Λήμμα του Jacques Hadamard (865-963). ΛΗΜΜΑ HADAMARD: 9 Θεωρούμε μια C r διαφορίσιμη συνάρτηση r σε ένα ανοιχτό κυρτό χωρίο του ευκλείδειου χώρου : f : U. Για κάθε σημείο a U υπάρχουν C r διαφορίσιμες συναρτήσεις: τέτοιες ώστε: H i : U H i (a) = xi f(a) i =... f(x) = f(a) + (x i a i )H i (x) x U. Απόδειξη. Το κλασικό θεώρημα των πεπερασμένων αυξήσεων δηλώνει ότι: i= d f(x) f(a) = f(a + t(x a))dt = (x 0 dt i a i ) xi (a + t(x a))dt x U. 0 Το συμπέρασμα προκύπτει θέτοντας: i= H i (x) = xi (a + t(x a))dt i =.... 0 Η διαδικασία μπορεί να επαναληφθεί σε αυτές τις συναρτήσεις αρκεί να είναι διαφορίσιμες έως την απαι- τούμενη τάξη οπότε θα προκύψουν οι συναρτήσεις: Συνεπώς H i (x) = H i (a) + (x j a j )h ij (x) i =.... j= f(x) = f(a) + (x i a i ) xi f (a) + (x i a i )(x j a j )H i j (x) i= i j= H i j (x) = h i j (x) + h j i (x) και H i j (a) = x i x j f(a). 8 Στα κρίσιμα εκφυλισμένα σημεία τα τοπικά πρότυπα των διαφορίσιμων συναρτήσεων είναι πιο περίπλοκα και υπάγονται στη Θεωρία των Ιδιομορφιών των Διαφορίσιμων Συναρτήσεων που θεμελιώθηκε από τον Reé Thom το 97 Βλ. Μαθηματικά Πρότυπα της Μορφογένεσης Reé Thom Ελληνική Έκδοση Αθήνα 985. Sigularities of differetiables fuctios V.I. Arold S.M. Gusei- Zade A.N. Varcheko Birkhauser 988. 9 Το Λήμμα του Hadamard με επαναληπτική εφαρμογή αποδίδει σε κάθε απειροδιαφορίσιμη συνάρτηση ένα ανάπτυγμα Taylor χωρίς υπόλοιπο το οποίο στην πραγματικότητα εμπεριέχεται σε κατάλληλα επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων. Στη μονοδιάστατη περίπτωση το λήμμα δίνει τη δυνατότητα διαίρεσης της συνάρτησης με τη μεταβλητή της καταλήγοντας σε αποτελέσματα αναλυτικής επέκτασης. 35
ΛΗΜΜΑ ΟΜΑΛΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ (Τοπική έκφραση στην περιοχή των ομαλών σημείων). Θεωρούμε μια C r διαφορίσιμη συνάρτηση r σε ένα ανοιχτό χωρίο του ευκλείδειου χώρου : f : U y = f(x...x ). Σε κάθε ομαλό σημείο a U υπάρχει επικεντρωμένο ένα τοπικό σύστημα συντεταγμένων: φ : a a φ(x...x ) = (u = φ (x)...u = φ (x)) στο οποίο η συνάρτηση εκφράζεται τοπικά ως προβολή: f φ (u...u ) = π i (u...u ) = u i i =.... Τοπική άποψη των ισοσταθμικών συνόλων στα δυο συστήματα συντεταγμένων στην περιοχή ενός ομαλού σημείου: ( = ) Σ f (c) = x / f(x) = c f(u) = c Απόδειξη. Αν a U είναι ομαλό σημείο της συνάρτησης: { } και Σ f (c) = { u / } c. f : U y = f(x...x ) δηλαδή σημείο στο οποίο δεν μηδενίζεται το διαφορικό της: τότε θεωρώντας στην περιοχή του σημείου b d a f : = f (a) τη συντεταγμένη y : θέτουμε: και προκύπτει η γραμμική μορφή: u = y f : a d a u = d b y d a f :. Η ομαλότητα του θεωρούμενου σημείου διασφαλίζει τη μη μηδενικότητα της γραμμικής αυτής μορ- φής οπότε συμπληρώνοντας με - ανεξάρτητες γραμμικές μορφές π.χ. με τις κανονικές προβολές: u i : i =... συγκροτείται μια βάση του δυϊκού χώρου που ορίζει το ζητούμενο σύστημα συντεταγμένων: u i : a i =.... 36
ΛΗΜΜΑ MORSE (Τοπική έκφραση στην περιοχή των κρίσιμων μη εκφυλισμένων σημείων. Θεωρούμε μια C r διαφορίσιμη συνάρτηση r > σε ένα ανοιχτό χωρίο του ευκλείδειου χώρου : f : U y = f(x...x ). Σε κάθε κρίσιμο μη εκφυλισμένο σημείο a U υπάρχει επικεντρωμένο ένα τοπικό σύστημα συν- τεταγμένων: φ : a a φ(x...x ) = (u = φ (x)...u = φ (x)) στο οποίο η συνάρτηση αποκτά τετραγωνική πολυωνυμική έκφραση: 0 f φ (u...u ) = u +...+ u p u p+... u. ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ MORSE ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ: f(x x ) = x + x f(x x ) = x x f(x x ) = x x Κατασκευή των συντεταγμένων Morse: Στην περίπτωση = η κατασκευή είναι απλή. Για απλούστευση των υπολογισμών τοποθετούμε την αρχή των αξόνων στο κρίσιμο μη εκφυλισμένο σημείο έτσι ώστε: f(0) = 0 f (0) = 0 f (0) 0. Το θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού υποδεικνύει ότι: f(x) = df = f (tx)d(tx) = x f (tx)dt = xα(x). 0 x 0 x Επαναλαμβάνοντας τη διαδικασία στην παραγωγίσιμη συνάρτηση Α(x) που προφανώς μηδενίζεται στο σημείο 0 προκύπτει μια νέα παραγωγίσιμη συνάρτηση τέτοια ώστε: f(x) = x Β(x). Επιλέγοντας το κατάλληλο πρόσημο που υποδεικνύεται από τη δεύτερη παραγώγιση θεωρούμε τη συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής που ορίζεται στην περιοχή του 0 ως εξής: u = φ(x) = (±) f(x) / = x Β(x) /. Πρόκειται για τοπικά αντιστρέψιμη αμφιδιαφορική συνάρτηση στην περιοχή του 0 γιατί: 0 Β(0) = f (0) 0 φ (0) 0. Συνεπώς στην περιοχή του 0 ορίζεται πράγματι νέα τοπική συντεταγμένη συνάρτηση τέτοια ώστε: f(x) = f(φ (u)) = (±)u. 0 Στην τετραγωνική πολυωνυμική αυτή έκφραση ο δείκτης p δηλώνει το πλήθος των θετικών ιδιοτιμών του εσσιανού πίνακα. Το Λήμμα δηλώνει ότι στην περιοχή ενός κρίσιμου μη εκφυλισμένου σημείου η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο εφόσον p= ή τοπικό μέγιστο εφόσον p=0 και υποδεικνύει το κατάλληλο σύστημα συντεταγμένων στο οποίο προκύπτει η τοπική τετραγωνική έκφρασή της. Στην περίπτωση = εμφανίζονται οι προαναφερόμενες τρεις εκδοχές. 37
ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ MORSE ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ: f(x) = x f(x) = x Στην περίπτωση = για απλούστευση των υπολογισμών θα τοποθετήσουμε την αρχή των αξόνων στο κρίσιμο μη εκφυλισμένο σημείο έτσι ώστε: f(0) = 0. Το Λήμμα Hadamard υποδεικνύει ότι σε μια ανοιχτή κυρτή περιοχή αυτού του σημείου ορίζονται διαφορί- σιμες συναρτήσεις: H i : a H i (0) = xi f(0) i = τέτοιες ώστε: f(x) = x H (x) + x H (x). Εφαρμόζοντας το Λήμμα Hadamard στις δυο προαναφερόμενες συναρτήσεις προκύπτει: άρα όπου H (x) = x H (x) + x H (x) H (x) = x H (x) + x H (x) f(x) = x H (x) + x H (x) + x x ( H (x) + H (x)) = x H (x) + x H (x) + x x H (x) 0 H (0) = x x f(0) H (0) = x x f(0) H o (0) = f(0). x x Ο μη εκφυλισμός του κρίσιμου σημείου σημαίνει: H (0)H (0) H o (0) 0. Αν H (0) 0 σε μια συνεκτική περιοχή του κρίσιμου σημείου θα ισχύει: και επιλέγοντας κ=± και κ=± έτσι ώστε: προκύπτει: και θέτοντας: κ H (x) > 0 και κ f(x) = κ x κ H (x) + κ x H o (x) / κ H (x) H (x)h (x) H o (x) 0 ( ) + + ( H (x)h (x) H o (x)) > 0 ( ) / κ H (x) κ κ x κ H (x)h (x) H o (x) u = x κ H (x) + x κ H o (x) / κ H (x) u = x κ ( H (x)h (x) H o (x)) / κ H (x) καταλήγουμε στην τετραγωνική έκφραση: f(u) = ±u ± u. 38
Αν H (0) 0 αναγόμαστε στην προηγούμενη περίπτωση εναλλάσσοντας το ρόλο των μεταβλητών. Αν H (0) = H (0) = 0 τότε H o (0) 0 και αναγόμαστε στην προηγούμενη περίπτωση θέτοντας: x = x + x και x = x x. Στις περισσότερες μεταβλητές η κατασκευή των συντεταγμένων πραγματοποιείται επαγωγικά με χρήση του Λήμματος Hadamard που υποδεικνύει την ύπαρξη διαφορίσιμων συναρτήσεων τέτοιων ώστε: H i j (x) = H j i (x) i j =... f(x) = x i x j H i j (x) H i j (0) = f(0) x i x i j =.... j i j= Ο μη εκφυλισμός του κρίσιμου σημείου διασφαλίζει την αντιστρεψιμότητα του εσσιανού πίνακα: xi x j f(0). ij Η υπόθεση της επαγωγής δηλώνει την ύπαρξη συντεταγμένων στις οποίες ισχύει η τοπική έκφραση: f(u) = ±u ±...± u + u i u j H i j (u) όπου υπεισέρχονται νέες διαφορίσιμες συναρτήσεις που πληρούν τη σχέση: i j > H ij (u) = H ji (u) i j =... για τις οποίες εναλλάσσοντας στην ανάγκη τη σειρά των συντεταγμένων ισχύει H (0) 0. Το θεώρημα τοπικής αντιστροφής υποδεικνύει το σχηματισμό του ακόλουθου συστήματος συντεταγμένων στην περιοχή του κρίσιμου μη εκφυλισμένου σημείου: u i = u i i u = u + j > H j (u) H (u) u j H (u). Σε αυτό το τοπικό σύστημα συντεταγμένων προκύπτει η επαγωγική έκφραση: και τελικά: f(u) = ± u ±...± u + u i u j H i j ( u ) i j > f(u) = ± u ±...± u. Σχόλιο. Η μεμονωμένη εμφάνιση των κρίσιμων μη εκφυλισμένων σημείων. Όταν μια διαφορίσιμη συνάρτηση έχει κρίσιμα μη εκφυλισμένα σημεία τότε αυτά εμφανίζονται πάντα μεμο- νωμένα δηλαδή κάθε τέτοιο σημείο διαθέτει περιοχή στην οποία δεν υπάρχει άλλο κρίσιμο μη εκφυλισμένο σημείο. Πράγματι από την τετραγωνική έκφραση: προκύπτει: f(x) = ±x ±...± x xi f(x) = ±x i και η συνέχεια των μερικών παραγώγων διασφαλίζει το μη μηδενισμό του διαφορικού σε μια περι- οχή αυτού του κρίσιμου σημείου εκτός φυσικά από αυτό το ίδιο το σημείο. 39