ÔÏ ÈÅÙÑÇÌÁ ÔÏÕ BERNSTEIN ÃÉÁ ÐËÇÑÇ ÅËÁ ÉÓÔÉÊÁ ÃÑÁÖÇÌÁÔÁ

ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏ ÉÙÁÍÍÉÍÙÍ ÔÌÇÌÁ ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÙÍ ÔÏ ÈÅÙÑÇÌÁ ÔÏÕ BERNSTEIN ÃÉÁ ÐËÇÑÇ ÅËÁ ÉÓÔÉÊÁ ÃÑÁÖÇÌÁÔÁ ÑÇÓÔÏÓ ÏÍÔÉ ÌÅÔÁÐÔÕ ÉÁÊÇ ÄÉÁÔÑÉÂÇ IOANNINA, 2012

Η παρούσα Μεταπτυχιακή ιατριβή εκπονήθηκε στα πλαίσια του Προγράµµατος Μεταπτυχιακών Σπουδών του Τµή- µατος Μαθηµατικών του Πανεπιστηµίου Ιωαννίνων υπό την επίβλεψη του Καθηγητή Θωµά Χασάνη. Τριµελης Επιτροπη Κρισης Θωµάς Χασάνης, Καθηγητής του Τµήµατος Μαθηµατικών του Πανεπιστηµίου Ιωαννίνων (Επιβλέπων Καθηγητής) Χρήστος Μπαϊκούσης, Καθηγητής του Τµήµατος Μαθηµατικών του Πανεπιστηµίου Ιωαννίνων Θεόδωρος Βλάχος, Αναπληρωτής Καθηγητής του Τµήµατος Μαθηµατικών του Πανεπιστηµίου Ιωαννίνων

Αφιερώνεται στην µητέρα µου Αθηνά, την αδερφή µου Νίκη, τον παππού µου Χρήστο και την γιαγιά µου Νίκη.

Ευχαριστίες Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον επιβλέπων µου, Καθηγητή Θωµά Χασάνη, για τις αρκετές συζητήσεις που είχαµε επί του ϑέµατος και για την συνεχή υποστήριξη του απέναντι µου. Θα ήθελα να ευχαριστήσω επίσης τον Αναπληρωτή Καθηγητή Θεόδωρο Βλάχο και τον Καθηγητή Χρήστο Μπαϊκούση που δέχθηκαν να είναι στην τριµελή επιτροπή κρίσης καθώς και για τις υποδείξεις τους και παρατηρήσεις τους. Θα ήθελα τέλος να ευχαριστήσω τον πάρα πολύ καλό µου ϕίλο και συνάδελφο κ. Κλεάνθη Πολυµεράκη για τις συνεχείς συζητήσεις µας αλλά και για τη ϕιλία του.

Πρόλογος Ο S. Bernstein το 1915 στην εργασία [2] απέδειξε ότι : Αν u : R 2 R είναι λύση, ορισµένη σε όλο το R 2, της ελαχιστικής εξίσωσης (minimal surface equation) div u = 0, 1 + u 2 τότε u(x, y) = αx + βy + γ, όπου α, β, γ R είναι σταθερές. Για το παραπάνω αποτέλεσµα, που είναι γνωστό ως το κλασσικό ϑεώ- ϱηµα του Bernstein έχει δοθεί αριθµός αποδείξεων κυρίως µε µεθόδους µιγαδικής ανάλυσης µε πιο αξιοπρόσεκτες αυτές του L. Bers [3] και του J. Nitsche [15]. Ο E. Heinz το 1952 στην εργασία [11] εξέτασε επιφάνειες που είναι γραφήµατα λύσεων της ελαχιστικής εξίσωσης στο δίσκο D R = {x R 2 : x x 0 < R} και απέδειξε ότι οι κύριες καµπυλότητες k 1, k 2 της επιφάνειας πληρούν τη σχέση (k 2 1 + k 2 2)(x 0 ) c R 2, όπου c είναι µια σταθερά. Αυτή η εκτίµηση δίνει απόδειξη, χωρίς µιγαδική ανάλυση, του κλασσικού ϑεωρήµατος Bernstein. Παράλληλα άρχισαν να γίνονται προσπάθειες απόδειξης του ϑεωρήix

x µατος Bernstein σε µεγαλύτερες διαστάσεις. Πιο συγκεκριµένα διατυπώθηκε η εικασία, γνωστή ως εικασία Bernstein (Bernstein conjecture), ότι οι µόνες λύσεις u : R n R της ελαχιστικής εξίσωσης είναι οι οµοπα- ϱαλληλικές συναρτήσεις, δηλαδή u(x 1, x 2,..., x n ) = n α ix i + α 0, όπου α 0, α 1,..., α n σταθερές. Ο W.H. Fleming το 1962 στην πολύ ενδιαφέρουσα εργασία του [10] έλυσε το πρόβληµα του Plateau για προσανατολισµένες επιφάνειες, χρησιµοποιώντας Γεωµετρική Θεωρία Μέτρου, και παρατήρησε ότι η τεχνική που χρησιµοποιείται για να αποδειχθεί η κανονικότητα της λύσης, µπο- ϱεί να δώσει µια καινούργια απόδειξη του κλασσικού ϑεωρήµατος του Bernstein και το σηµαντικότερο ότι εφαρµόζεται και σε µεγαλύτερες διαστάσεις. Πιο συγκεκριµένα, αν Σ είναι η επιφάνεια γράφηµα µιας λύσης της ελαχιστικής εξίσωσης και p Σ, τότε µε κατάλληλες συστολές της Σ, κατασκευάζεται µια οικογένεια ευσταθών ελαχιστικών επιφανειών Σ r µε σύνορο στην µοναδιαία σφαίρα κέντρου p. Οδηγούµαστε, έτσι, στην µελέτη ευσταθών ελαχιστικών κώνων K µε κορυφή το p και σύνορο στην µοναδιαία σφαίρα. Ο Fleming διατύπωσε το εξής ισοδύναµο, µε την εικασία του Bernstein, πρόβληµα : Αν K είναι ευσταθής ελαχιστικός κώνος διάστασης n στον R n+1 µε κορυφή το κέντρο της µοναδιαίας σφαίρας S n και σύνορο στην S n τότε ο K είναι n-διάστατος δίσκος. Σε µια τέτοια περίπτωση η Σ είναι επίπεδο. Ο E. De Giorgi το 1965 στην εργασία του [7] ϐελτίωσε τη διαδικασία του Fleming δείχνοντας ότι : Η απόδειξη του ισοδύναµου προβλήµατος του Fleming για τους κώνους διάστασης n συνεπάγεται την ισχύ της εικασίας Bernstein για λύσεις της ελαχιστικής εξίσωσης στον R n+1.

xi Ο ίδιος ο Fleming απέδειξε το ισοδύναµο πρόβληµα για n = 2 και ο F.J. Almgren το 1966 στην εργασία [1] για n = 3. Συνδυάζοντας µε το αποτέλεσµα του E. De Giorgi αποδεικνύεται η εικασία Bernstein για n = 3 και 4. Ο J. Simons το 1968 στην εργασία [19] µελέτησε ελαχιστικούς κώνους διάστασης n στον R n+1 µε περισσότερη προσοχή. Ενα από τα κυριότερα αποτελέσµατα του σε αυτή την εργασία είναι µια ταυτότητα, γνωστή στη ϐιβλιογραφία ως τύπος του Simons, η οποία δίνει την λαπλασιανή του τετραγώνου του µήκους της δεύτερης ϑεµελιώδους µορφής µιας ελαχιστικής υπερεπιφάνειας στον ευκλείδειο χώρο R n+1. Συνδυάζοντας αυτήν την ταυτότητα µε την πρώτη ιδιοτιµή ενός προβλήµατος ιδιοτιµών απέδειξε το ισοδύναµο πρόβληµα του Fleming για n 6. Η εργασία του J. Simons αποκαθιστά, πλέον, ϑετικά την εικασία του Bernstein για n 7 ως ϑεώρηµα του Bernstein: Οι µόνες λύσεις u : R n R, n 7, της ελαχιστικής εξίσωσης είναι οι οµοπαραλληλικές συναρτήσεις. Οι E. Bombieri, E. De Giorgi και E. Giusti το 1969 στην εργασία [4] απέδειξαν ότι η εικασία του Bernstein δεν είναι αληθής για n 8. Οι R. Schoen, L. Simon και S.T. Yau το 1975 στην εργασία [17] απέδειξαν το ϑεώρηµα του Bernstein για n 5, µε µεθόδους γεωµετρικής ανάλυσης. Σηµειώνουµε ότι η εικασία Bernstein έχει αποδειχθεί ανεξαρτήτως διάστασης µε περιορισµούς πάνω στην κλίση της λύσης από J. Moser [14], K. Ecker και G. Huisken [9]. Στην παρούσα µεταπτυχιακή διατριβή ϑα ασχοληθούµε µε το ϑεώρη- µα του Bernstein. Στο πρώτο κεφάλαιο δίνουµε έννοιες από τη Γεωµετρία

xii Riemann και τη ϑεωρία υποπολυπτυγµάτων (submanifolds). Στο δεύτερο κεφάλαιο ϑα αποδείξουµε την πολύ σηµαντική ταυτότητα, γνωστή ως τύπος του Simons. Επιπλέον ϑα δούµε την πρώτη και δεύτερη µεταβολή του εµβαδού υποπολυπτύγµατος κυρίως σε χώρους σταθερής καµπυλότητας τοµής. Στο πρώτο µέρος του τελευταίου κεφαλαίου ϑα ασχοληθούµε µε το σπουδαίο αποτέλεσµα του J. Simons για τους ευσταθείς κώνους και ϑα δώσουµε ένα παράδειγµα ευσταθούς κώνου στον R 8 που δεν είναι δίσκος. Στο δεύτερο µέρος αυτού του κεφαλαίου ϑα δώσουµε την απόδειξη, µε µεθόδους γεωµετρικής ανάλυσης, του ϑεωρήµατος του Bernstein που δόθηκε από τους R. Schoen, L. Simon και S.T. Yau [17] για n 5. Τέλος, ϑα περιγράψουµε την απόδειξη του J. Simons για το ϑεώρηµα Bernstein, µε µεθόδους γεωµετρικής ϑεωρίας µέτρου, για n 7.

Περιεχόµενα Πρόλογος ix 1 Προκαταρκτικά 1 1.1 Πολυπτύγµατα Riemann................... 1 1.2 Η εξίσωση ελαχιστικότητας.................. 13 2 Τύπος του Simons και Μεταβολές Εµβαδού 19 2.1 Τύπος του Simons...................... 19 2.2 Τύποι Πρώτης και εύτερης Μεταβολής Εµβαδού...... 27 3 Θεώρηµα Bernstein 43 3.1 Ελαχιστικοί Κώνοι στον Ευκλείδειο Χώρο.......... 43 3.2 Θεώρηµα Bernstein..................... 66 xiii

Κεφάλαιο 1 Προκαταρκτικά Σε αυτό το κεφάλαιο ϑα δώσουµε ϐασικά στοιχεία της Γεωµετρίας Riemann. Για περισσότερες λεπτοµέρειες παραπέµπουµε στα ϐιβλία [5],[6] [8],[12],[13],[16]. 1.1 Πολυπτύγµατα Riemann Εστω M ένα διαφορίσιµο πολύπτυγµα διάστασης n. Συµβολίζουµε µε (M) το σύνολο των διαφορίσιµων διανυσµατικών πεδίων και µε D(M) το σύνολο των διαφορίσιµων συναρτήσεων στο M αντίστοιχα. Ενα σύνολο το οποίο αποτελείται από n διαφορίσιµα διανυσµατικά πεδία {E 1, E 2,..., E n }, που είναι µοναδιαία και κάθετα ανά δύο σε κάθε σηµείο ενός ανοιχτού υποσυνόλου U του M λέγεται ορθοµοναδιαίο πλαίσιο του M στο U. Μια γραµµική συνοχή (linear connection) στο M είναι µια απεικόνιση : (M) (M) (M), (X, Y ) X Y 1

2 Κεφαλαιο 1. Προκαταρκτικά µε τις ακόλουθες ιδιότητες : 1. X1 +X 2 Y = X1 Y + X2 Y, X (Y 1 + Y 2 ) = X Y 1 + X Y 2 2. fx Y = f X Y, X (fy ) = (Xf)Y + f X Y, για κάθε f D(M) και X, X 1, X 2, Y, Y 1, Y 2 (M). Το διανυσµατικό πεδίο X Y λέγεται συναλλοίωτη παράγωγος (covariant derivative) του Y στη διεύθυνση X ως προς τη συνοχή. Μια µετρική Riemann,,, στο M είναι µια αντιστοιχία η οποία σε κάθε σηµείο p M αντιστοιχεί µια συµµετρική, ϑετικά οριστική, διγραµµική µορφή του T p M, και η οποία είναι διαφορίσιµη µε την εξής έννοια : για κάθε X, Y (M) η συνάρτηση p X, Y p := X p, Y p είναι διαφορίσιµη. Το M εφοδιασµένο µε µια µετρική λέγεται πολύπτυγµα Riemann. Αν ϑεωρήσουµε χάρτη (U, φ) στο M µε συντεταγµένες {x 1, x 2,..., x n } και { x 1, x 2,..., x n } τα αντίστοιχα ϐασικά διανυσµατικά πεδία, τότε οι συναρτήσεις g ij : U R, p g ij (p) που ορίζονται ως εξής g ij (p) := x p, i x j p λέγονται συνιστώσες της µετρικής, ως προς τον χάρτη (U, φ). Αν {dx 1, dx 2,..., dx n } είναι η δυϊκή ϐάση των { x 1, x 2,..., x n } τότε η ds 2 = g ij dx i dx j i,j=1

1.1. Πολυπτύγµατα Riemann 3 λέγεται πρώτη ϑεµελιώδης µορφή του M. Αν το M είναι προσανατολισµένο, χρησιµοποιώντας τις συνιστώσες της µετρικής ορίζεται η διαφορική µορφή ϐαθµού n µε τοπική έκφραση dm = det(g ij ) dx 1 dx 2... dx n, η οποία λέγεται στοιχείο όγκου (volume element) του M. Το Θεµελιώδες Θεώρηµα της Γεωµετρίας Riemann µας εγγυάται ότι για δεδοµένη µετρική στο M υπάρχει µοναδική γραµµική συνοχή, η οποία λέγεται συνοχή Riemann ή συνοχή Levi-Civita, και η οποία έχει επιπλέον τις παρακάτω δύο ιδιότητες : 1. X Y, Z = X Y, Z + Y, X Z 2. X Y Y X = [X, Y ], για κάθε X, Y, Z (M), όπου [X, Y ] είναι το γινόµενο Lie των X, Y. Εστωσαν πολυπτύγµατα Riemann M και M µε διαστάσεις m και n, αντίστοιχα, και f : M M µια διαφορίσιµη απεικόνιση. Συµ- ϐολίζουµε µε T p M και T f(p) M τους εφαπτόµενους χώρους στα σηµεία p και f(p), αντίστοιχα. Ενα διανυσµατικό πεδίο κατά µήκος της f είναι µια απεικόνιση W η οποία σε κάθε σηµείο p M αντιστοιχεί ένα διάνυσµα W (p) T f(p) M. Αν {E 1, E 2,..., E n } είναι τοπικό ορθοµοναδιαίο πλαίσιο περί το f(p), τότε για κάθε q U, U περιοχή του p, έχουµε την παρακάτω ανάλυση W (q) = w i (q)e i (f(q)),

4 Κεφαλαιο 1. Προκαταρκτικά όπου w i, i = 1, 2,..., n, συναρτήσεις ορισµένες στο U. Το διανυσµατικό πεδίο W κατά µήκος της f ϑα λέγεται διαφορίσιµο όταν οι συναρτήσεις w i, i = 1, 2,..., n, είναι διαφορίσιµες. Αν v T q M τότε ορίζουµε την συναλλοίωτη παράγωγο v W,κατά µήκος της f, του W στην διεύθυνση v ως εξής v W = v(w i )E i (f(q)) + df(v) E i, όπου η συνοχή Levi-Civita του M. Είναι προφανές ότι αν X (M) τότε το df(x) είναι διανυσµατικό πεδίο κατά µήκος της f : M M. Η ικανοποιεί τις παρακάτω σχέσεις X Y, Z = X Y, Z + Y, X Z, (1.1) df([v, W ]) = V df(w ) W df(v ), (1.2) για κάθε X, V, W (M) και Y, Z διανυσµατικά πεδία κατά µήκος της f. Θεωρούµε, για τη συνέχεια, πολύπτυγµα Riemann (M,, ) διάστασης n και έστω η συνοχή Levi-Civita αυτού. Ενας τανυστής τύπου (r, s), όπου s = 0 ή 1, στο M είναι µια απεικόνιση T : (M) (M)... (M) }{{} r ϕορές D(M), αν s = 0, (M), αν s = 1, η οποία είναι D(M)-γραµµική ως προς κάθε µεταβλητή. Αν X (M) τότε η συναλλοίωτη παράγωγος του T στη διεύθυνση X είναι ο τανυστής

1.1. Πολυπτύγµατα Riemann 5 X T τύπου (r, s) που ορίζεται ως ( X T ) (X 1, X 2,..., X r ) = X (T (X 1, X 2,..., X r )) r T (X 1,..., X i 1, X X i, X i+1,..., X r ), όπου ϑέτουµε X (T (X 1, X 2,..., X r )) = X(T (X 1, X 2,..., X r )) αν s = 0. Επίσης ορίζουµε την συναλλοίωτη παράγωγο του T και συµβολίζουµε µε T, τον (r + 1, s) τανυστή T (X 1, X 2,..., X r+1 ) := ( X1 T ) (X 2,..., X r+1 ). Η απεικόνιση R : (M) (M) (M) (M), (X, Y, Z) R(X, Y )Z, που ορίζεται ως R(X, Y )Z := X Y Z Y X Z [X,Y ] Z, όπου X, Y, Z (M), είναι ένας (3, 1) τανυστής και λέγεται τανυστής καµπυλότητας του M. Με τη ϐοήθεια του τανυστή R ορίζονται οι παρακάτω καµπυλότητες σε κάθε σηµείο του πολυπτύγµατος M. Εστω p M και X, Y T p M µοναδιαία και κάθετα. Η καµπυλότητα τοµής του M στο σηµείο p ως προς το επίπεδο σ που γεννάται από τα X, Y είναι ο αριθµός K(p, σ) = K(X Y ) := R(X, Y )Y, X. Αν X µοναδιαίο διάνυσµα του T p M και {e 1, e 2,..., e n } είναι ορθοµοναδιαία ϐάση µε e n = X, τότε η ποσότητα n 1 Ric(X) := R(e i, X)X, e i

6 Κεφαλαιο 1. Προκαταρκτικά λέγεται καµπυλότητα Ricci του M στη διεύθυνση X. Για X (M) η απόκλισή του, div X, ορίζεται ως η διαφορίσιµη συνάρτηση στο M trace (Z Z X), Z (M), η οποία ως προς τοπικό ορθοµοναδιαίο πλαίσιο {E 1, E 2,..., E n } έχει την έκφραση div X = Ei X, E i. Ως προς τοπικό σύστηµα συντεταγµένων {x 1, x 2,..., x n } µε αντίστοιχα ϐασικά διανυσµατικά πεδία {,,..., } λαµβάνει την έκφραση x 1 x 2 x n div X = 1 g όπου X = n Xi x i και g = det (g ij ). x i ( gx i ), Εστω f D(M). Η κλίση της f ορίζεται ως το µοναδικό διανυσµατικό πεδίο f (M) που πληροί την σχέση X, f := df(x) = X(f) για κάθε X (M). Ως προς τοπικό σύστηµα συντεταγµένων {x 1, x 2,..., x n } µε αντίστοιχα ϐασικά διανυσµατικά πεδία { x 1, x 2,..., x n } έχει την έκφραση f = i,j=1 ij f g x i x, i όπου g ij τα στοιχεία του αντίστροφου πίνακα του (g ij ). Η λαπλασιανή της f συµβολίζεται µε f και ορίζεται ως f := div( f).

1.1. Πολυπτύγµατα Riemann 7 Εύκολα προκύπτει ότι η έκφραση της f ως προς τοπικό ορθοµοναδιαίο πλαίσιο {E 1, E 2,..., E n } είναι f = {E i (E i f) ( Ei E i ) f} (1.3) και σε τοπικό σύστηµα συντεταγµένων {x 1, x 2,..., x n } µε αντίστοιχα ϐασικά διανυσµατικά πεδία {,,..., } είναι x 1 x 2 x n f = 1 g x ( g g ij (f)), i (1.4) xj i,j=1 όπου g = det (g ij ) και g ij τα στοιχεία του αντίστροφου πίνακα του (g ij ). Ισχύουν οι παρακάτω ταυτότητες (fg) = f g + g f + 2 f, g (1.5) div (fx) = f div X + f, X, (1.6) όπου f, g D(M) και X (M). Θα υπενθυµίσουµε δύο κλασσικά Θεωρήµατα της Ανάλυσης, τα Θεωρήµατα Stokes και Gauss. Θεώρηµα 1.1. (Stokes) Εστω M n προσανατολισµένο πολύπτυγµα Riemann µε σύνορο M. Αν ω είναι µια (n 1)-διαφορική µορφή, µε συµπαγές στήριγµα στο M, τότε ισχύει dω = i ω, M M όπου i : M M είναι η συνάρτηση έγκλεισης. Στην περίπτωση όπου το πολύπτυγµα δεν έχει σύνορο, ισχύει dω = 0, M για κάθε (n 1)-διαφορική µορφή ω µε συµπαγές στήριγµα στο M.

8 Κεφαλαιο 1. Προκαταρκτικά Θεώρηµα 1.2. (Gauss) Εστωσαν M n προσανατολισµένο πολύπτυγµα Riemann χωρίς σύνορο, και X (M) µε συµπαγές στήριγµα. Τότε (div X)dM = 0, M όπου div X η απόκλιση του διανυσµατικού πεδίου X στο M n. Παρατήρηση 1.1. Χρησιµοποιώντας την (1.6) και το Θεώρηµα του Stokes προκύπτει M f gdm = για f, g D(M) µε συµπαγή στηρίγµατα. Αναφέρουµε, τώρα, δύο γνωστές ανισότητες. 1. ε-ανισότητα του Cauchy: Για a, b R και ε > 0 ισχύει M g f dm (1.7) ab εa2 2 + b2 2ε. (1.8) 2. Ανισότητα Hölder: Εστωσαν p, q µε 1 < p, q και 1 p + 1 q = 1. Αν f L p (M) και g L q (M), όπου M πολύπτυγµα Riemann, τότε ( ) 1 ( ) 1 fg dm f p p dm g q q dm. (1.9) M M M Θεωρούµε, τώρα, πολυπτύγµατα M και M µε διαστάσεις n, n + k αντίστοιχα που πληρούν, ως σύνολα, τη σχέση M M. Αν η απεικόνιση της έγκλεισης i : M M είναι εµφύτευση, τότε το M λέγεται υποπολύπτυγµα (submanifold) του M. Αν το M είναι πολύπτυγµα Riemann και το M ϕέρει την επαγόµενη µετρική, τότε για κάθε p M ο εφαπτόµενος χώρος T p M αναλύεται σε ορθογώνιο ευθύ άθροισµα T p M = T p M (T p M),

1.1. Πολυπτύγµατα Riemann 9 όπου (T p M) είναι το ορθοσυµπλήρωµα του n διάστατου υποχώρου T p M στον (n + k) διάστατο Ευκλείδειο χώρο T p M. Ο χώρος (T p M) λέγεται κάθετος χώρος (normal space) του υποπολυπτύγµατος M στο M, στο σηµείο p. Κάθε διάνυσµα v T p M γράφεται µονοσήµαντα ως v = v + v, όπου v T p M και v (T p M). Συµβολίζουµε µε N(M) το σύνολο των κάθετων διαφορίσιµων διανυσµατικών πεδίων του M στο M. Για κάθε διανυσµατικό πεδίο X, κατά µήκος της i : M M, έχουµε την παρακάτω ανάλυση X = X + X, όπου X (M) και X N(M). Συµβολίζουµε µε, τις συνοχές Levi-Civita των M και M, αντίστοιχα. Τότε για κάθε X, Y (M) έχουµε X Y = ( X Y ) + ( X Y ). Εύκολα αποδεικνύεται ότι ( X Y ) = X Y. Με αφορµή την παραπάνω σχέση ϑεωρούµε την D(M) διγραµµική και συµµετρική απεικόνιση B : (M) (M) N(M), (X, Y ) B(X, Y ), που ορίζεται ως B(X, Y ) := ( X Y ) και ονοµάζεται δεύτερη ϑεµελιώδης µορφή (second fundamental form) του M στο M. Η σχέση X Y = X Y + B(X, Y ), X, Y (M)

10 Κεφαλαιο 1. Προκαταρκτικά λέγεται τύπος του Gauss. Στην περίπτωση όπου M N, N πολύπτυγµα Riemann, ϑα πληρούται η σχέση B(X, Y ) = B M (X, Y ) + B M (X, Y ), (1.10) για κάθε X, Y (M), όπου B η δεύτερη ϑεµελιώδης µορφή του M στο N, B M η δεύτερη ϑεµελιώδης µορφή του M στο M και B M η δεύτερη ϑεµελιώδης µορφή του M στο N. οθέντος ξ N(M) ο αυτοπροσαρτηµένος (self-adjoint) γραµµικός τελεστής A ξ : (M) (M) που δίνεται από τη σχέση A ξ X, Y = B(X, Y ), ξ, X, Y (M) λέγεται απεικόνιση Weingarten του M στη διεύθυνση ξ. Εστωσαν χάρτης (U, φ) στο M µε συντεταγµένες {x 1, x 2,..., x n } και { x 1, x 2,..., x n } τα αντίστοιχα ϐασικά διανυσµατικά πεδία. Αν ϑεωρήσουµε {ξ 1, ξ 2,..., ξ k } κάθετο και ορθοµοναδιαίο πλαίσιο του U στο M τότε B Οι συναρτήσεις ( ) x, = i x j k m=1 ( ) B x,, ξ i x j m ξ m. b m ij : U R, p b m ij (p) που ορίζονται ως εξής ( ) ( ) b m ij = B x,, ξ i x j m = A ξm, x i x j

1.1. Πολυπτύγµατα Riemann 11 λέγονται συνιστώσες της δεύτερης ϑεµελιώδους µορφής, στην διεύθυνση ξ m, ως προς τον χάρτη (U, φ). Θεωρούµε, στη συνέχεια, την απεικόνιση : (M) N(M) N(M), (X, ξ) Xξ, που ορίζεται ως Xξ := ( X ξ ) και ονοµάζεται κάθετη συνοχή του M στο M. Ισχύει ο παρακάτω τύπος X ξ = ( X ξ ) + ( X ξ ) = Aξ X + Xξ, (1.11) ο οποίος λέγεται τύπος του Weingarten. Αν {E 1, E 2,..., E n } είναι τοπικό ορθοµοναδιαίο πλαίσιο στο M, τότε το διανυσµατικό πεδίο H = 1 B(E i, E i ) n λέγεται διανυσµατικό πεδίο µέσης καµπυλότητας (mean curvature vector field). Στην περίπτωση όπου H = 0 το υποπολύπτυγµα M του M λέγεται ελαχιστικό υποπολύπτυγµα (minimal submanifold). Για κάθε υποπολύπτυγµα M n του R n+k µε παραµετρική παράσταση x(u 1, u 2,..., u n ) ισχύει x = nh. (1.12) Συµβολίζουµε µε S το τετράγωνο του µήκους της δεύτερης ϑεµελιώδους µορφής του M στο M και έχουµε k S = B 2 := B(E i, E j ) 2 = trace A 2 ξ m i,j=1 m=1

12 Κεφαλαιο 1. Προκαταρκτικά όπου {E 1, E 2,..., E n } είναι ορθοµοναδιαίο πλαίσιο στο M και {ξ 1, ξ 2,..., ξ k } ορθοµοναδιαίο πλαίσιο, κάθετο στο M. Εστω M υπερεπιφάνεια του πολυπτύγµατος Riemann M n+1, δηλαδή υποπολύπτυγµα του M n+1 συνδιάστασης 1. Θεωρούµε τοπικό κάθετο και µοναδιαίο διανυσµατικό πεδίο ξ της M στο M. Θα συµβολίζουµε µε A αντί A ξ, την αντίστοιχη απεικόνιση Weingarten. Επειδή σε κάθε ση- µείο p της M ο A είναι αυτοπροσαρτηµένος γραµµικός µετασχηµατισµός του T p M, υπάρχει ορθοµοναδιαία ϐάση {e 1, e 2,..., e n } του T p M που τον διαγωνιοποιεί. Οι ιδιοτιµές του A στο τυχόν p M συµβολίζονται µε k i, i = 1, 2,..., n, και λέγονται κύριες καµπυλότητες (principal curvatures) του M στο p. Προκύπτει ότι η µέση καµπυλότητα H := H, ξ ϑα είναι H = 1 n k i. (1.13) Τέλος, αν το M n+1 έχει σταθερή καµπυλότητα τοµής c τότε ισχύουν οι σχέσεις : 1. Εξίσωση Gauss R(X, Y )Z = AY, Z AX AX, Z AY + c ( Y, Z X X, Z Y ) (1.14) 2. Εξίσωση Codazzi ( X A)Y = ( Y A)X, (1.15) για κάθε X, Y, Z (M), όπου R είναι ο τανυστής καµπυλότητας του M.

1.2. Η εξίσωση ελαχιστικότητας 13 1.2 Η εξίσωση ελαχιστικότητας Εστω u : Ω R n R µια συνεχώς διαφορίσιµη συνάρτηση στο Ω και C 2 στο Ω, δηλαδή u C 1 (Ω) C 2 (Ω), όπου Ω ένας τόπος στον R n. Θεωρούµε το γράφηµά της G u = {(x 1, x 2,..., x n+1 ) R n+1 (x 1, x 2,..., x n ) Ω και x n+1 = u(x 1, x 2,..., x n )}. Ο όγκος (εµβαδόν) αυτού, ως γνωστόν, ϑα είναι Vol(G u ) = 1 + u 2 dω. Ω Αν h : Ω R n R είναι διαφορίσιµη συνάρτηση τέτοια ώστε h Ω = 0, τότε για τα γραφήµατα G u+th, t ( ε, ε), έχουµε Vol(G u+th ) = 1 + u + t h 2 dω, και συνεπώς, Ω d dt (Vol(G u, h u+th)) t=0 = dω. (1.16) Ω 1 + u 2 Λόγω της ταυτότητας (1.6) ϑα έχουµε u div h = h div u 1 + u 2 1 + u 2 + u, h. 1 + u 2 Ολοκληρώνοντας στο Ω και χρησιµοποιώντας το ϑεώρηµα του Gauss προκύπτει Ω u, h dω = 1 + u 2 Ω h div u 1 + u 2 dω.

14 Κεφαλαιο 1. Προκαταρκτικά Άρα η (1.16) λαµβάνει την µορφή d dt (Vol(G u+th)) t=0 = Ω h div u 1 + u 2 dω. Συνεπώς το γράφηµα της u ϑα είναι κρίσιµο σηµείο του συναρτησοειδούς του εµβαδού αν και µόνο αν η u πληροί την εξίσωση div u = 0 (1.17) 1 + u 2 ή, ισοδύναµα, την (1 + u 2 ) u x i x i i,j=1 u x i x ju x iu xj = 0. (1.18) Η (1.17) ή η ισοδύναµη της (1.18) λέγεται εξίσωση ελαχιστικότητας. Θα διαπιστώσουµε ότι κάθε λύση της (1.18) έχει ελάχιστο εµβαδό (area-minimizing) ανάµεσα σε όλες τις υπερεπιφάνειες του στερεού κυλίνδρου Ω R R n+1 µε σύνορο το G u. Για το σκοπό αυτό ϑεωρούµε την διαφορική n-µορφή ω στο Ω R R n+1 η οποία ορίζεται ως εξής : ω(x 1, X 2,..., X n ) := det(x 1, X 2,..., X n, N), X 1, X 2,..., X n (Ω R), όπου N = ( u x 1, u x 2,..., u xn, 1). 1 + u 2 Αν {,,..., } είναι τα ϐασικά διανυσµατικά πεδία του R n+1 ως x 1 x 2 x n+1 προς τις καρτεσιανές συντεταγµένες και dx 1, dx 2,..., dx n+1 η δυϊκή ϐάση

1.2. Η εξίσωση ελαχιστικότητας 15 αυτών τότε η n-µορφή ω ϑα γράφεται ω = = n+1 ω( x,,..., 1 x2 x,..., i x n+1 )dx1 dx 2... dx i... dx n+1 ( 1) n+i u x i dx 1 1 dx 2... dx i... dx n+1 + u 2 1 + dx 1 1 dx 2... dx n, + u 2 όπου το σύµβολο σηµαίνει ότι παραλείπουµε αυτόν τον όρο. Συνεπώς dω = ( 1) n+i ( 1) i+1 u x i x i 1 + u 2 = ( 1) n+1 u x i x i 1 + u 2 = ( 1) n+1 div u = 0. 1 + u 2 Άρα, η n-µορφή ω είναι κλειστή. Αν, τώρα, διαλέξουµε X 1, X 2,..., X n ορθοµοναδιαία διανύσµατα στο τυχόν σηµείο p = (x 1, x 2,..., x n+1 ) Ω R τότε µε την ισότητα να πληρούται µόνο όταν ω(x 1, X 2,..., X n ) 1 (1.19) X 1, X 2,..., X n T p G u και p G u. (1.20) Η µορφή ω λέγεται µορφή ϐαθµονόµησης (calibration form). Ισχύει η παρακάτω

16 Κεφαλαιο 1. Προκαταρκτικά Πρόταση 1.1. Εστω u : Ω R n R λύση της εξίσωσης ελαχιστικότητας. Αν M υπερεπιφάνεια του R n+1 µε M Ω R και M = G u τότε Vol(G u ) Vol(M). (1.21) Απόδειξη. Επειδή η ω είναι κλειστή από το ϑεώρηµα του Stokes έχουµε ω = G u Λόγω των (1.19) και (1.20), προκύπτει ότι Vol(G u ) = ω = G u M M ω. ω Vol(M). Εστω x 0 R n+1. Με Br n+1 (x 0 ) συµβολίζουµε, στον R n+1, την µπάλλα κέντρου x 0 και ακτίνας r, δηλαδή Br n+1 (x 0 ) := {x R n+1 : x x 0 < r}, και µε S n r (x 0 ) συµβολίζουµε την σφαίρα κέντρου x 0 και ακτίνας r, δηλαδή S n r (x 0 ) := {x R n+1 : x x 0 = r} = B n+1 r (x 0 ). ίνουµε το εξής πόρισµα. Πόρισµα 1.1. Εστω u : Ω R n R λύση της εξίσωσης ελαχιστικότητας και x 0 Ω. Αν B n r (x 0 ) Ω τότε Vol(B n+1 r (x 0 ) G u ) Vol(Sn r (x 0 )) 2 = Vol(Sn 1 (x 0 ))r n. (1.22) 2

1.2. Η εξίσωση ελαχιστικότητας 17 Απόδειξη. Το Br n+1 (x 0 ) G u χωρίζει την Br n+1 (x 0 ) = Sr n (x 0 ) σε δύο συνιστώσες από τις οποίες µια έχει όγκο το πολύ ίσο µε Vol(Sn r (x 0)) 2. Χρησιµοποιώντας την (1.21) προκύπτει το Ϲητούµενο. Παρατήρηση 1.2. Είναι προφανής η ακόλουθη ανισότητα Vol(B n+1 r (x 0 ) G u ) Vol(B n r (x 0 )) Vol(Sn 1 (x 0 )) 2 Vol(B n 1 (x 0 )). (1.23) Ισχύει η παρακάτω πρόταση Πρόταση 1.2. Εστω u : Ω R n R λύση της εξίσωσης ελαχιστικότητας, όπου Ω είναι κυρτός τόπος στον R n. Τότε ο όγκος του γραφήµατος G u, είναι απόλυτο ελάχιστο (absolutely area-minimizing), δηλαδή έχει τον ελάχιστο όγκο µεταξύ όλων των υπερεπιφανειών του R n+1 µε σύνορο το G u. Απόδειξη. Εστω M υπερεπιφάνεια του R n+1 µε M = G u. Αν M κείται ολόκληρη στο εσωτερικό του κυλίνδρου Ω R τότε το Ϲητούµενο προκύπτει άµεσα από την Πρόταση 1.1. Στην περίπτωση, τώρα, που η M δεν κείται ολόκληρη στον κύλινδρο Ω R, ϑεωρούµε την προβολή π : R n+1 Ω R η οποία απεικονίζει κάθε σηµείο του R n+1 στο πιο κοντινό του από το Ω R. Η π είναι προφανώς η ταυτότητα στο Ω R και µικραίνει αποστάσεις. Συνεπώς Vol(π(M)) Vol(M) και από την Πρόταση 1.1 προκύπτει ότι Vol(G u ) Vol(M).

Κεφάλαιο 2 Τύπος του Simons και Μεταβολές Εµβαδού 2.1 Τύπος του Simons Εστω M n προσανατολισµένη, ξ το µοναδιαίο και κάθετο διανυσµατικό πεδίο αυτής, υπερεπιφάνεια του χώρου σταθερής καµπυλότητας M n+1 (c) µε c = 0 ή 1. Ο χώρος M n+1 (c), ϑα συµβολίζει τον ευκλείδειο χώρο E n+1 µε το κανονικό εσωτερικό γινόµενο ή τη µοναδιαία σφαίρα S n+1 µε την επαγόµενη από τον E n+2 µετρική, όταν c = 0 ή 1, αντίστοιχα. Συµβολί- Ϲουµε µε, τις συνοχές Levi-Civita των M n και M n+1 (c) αντίστοιχα, µε R, R τους τανυστές καµπυλότητας των M n, M n+1 (c) και µε A την απεικόνιση Weingarten ως προς το µοναδιαίο κάθετο ξ. Εστω S το τετράγωνο του µήκους της δεύτερης ϑεµελιώδους µορφής της M στο M n+1 (c), 19

20 Κεφαλαιο 2. Τύπος του Simons και Μεταβολές Εµβαδού δηλαδή S = trace A 2. Ως γνωστόν ο A πληροί την εξίσωση Codazzi ( X A) Y = ( Y A) X, για κάθε X, Y (M). Επιπλέον, οι A, X A είναι συµµετρικοί και ισχύει (trace A) = ( Ei A) E i, (2.1) όπου {E 1, E 2,..., E n } είναι τυχαίο τοπικό ορθοµοναδιαίο πλαίσιο στην M. Προκειµένου να αποδείξουµε την ταυτότητα του Simons χρειαζόµαστε το παρακάτω Λήµµα 2.1. Ισχύει X Y A Y X A [X,Y ] A = [R(X, Y ), A], (2.2) για κάθε X, Y (M), όπου R(X, Y ) ο τελεστής καµπυλότητος. Απόδειξη. Εστω Z (M), τότε ϑα έχουµε [R(X, Y ), A]Z = R(X, Y )(AZ) A(R(X, Y )Z) = X Y (AZ) Y X (AZ) [X,Y ] (AZ) A(R(X, Y )Z) = X {( Y A)Z + A( Y Z)} Y {( X A)Z + A( X Z)} [X,Y ] (AZ) A(R(X, Y )Z) = ( X Y A)Z ( Y X A)Z ( [X,Y ] A ) Z = ( X Y A Y X A [X,Y ] A)Z.

2.1. Τύπος του Simons 21 Πρόταση 2.1. (Τύπος του J.Simons) Αν M n είναι ελαχιστική υπερεπιφάνεια του πολυπτύγµατος M n+1 (c) τότε ισχύει 1 2 S = S(nc S) + A 2, (2.3) όπου ο τελεστής Laplace της M και A 2 το τετράγωνο του µήκους της συναλλοιώτου παραγώγου του A. Απόδειξη. Για τυχαίο p M επιλέγουµε ένα γεωδαιτικό πλαίσιο {E 1, E 2,..., E n }, περί το p και συνεπώς X E i p = 0, για κάθε X (M). Άρα ισχύει S p = E i E i (trace A 2 ) p. Επειδή E i (trace A 2 ) = ( ) E i j, AE j j=1 AE = 2 = 2 Ei (AE j ), AE j j=1 ( Ei A) E j, AE j + 2 j=1 j=1 A ( Ei E j ), AE j, έχουµε εκτιµώντας στο σηµείο p, E i E i (trace A 2 ) = 2 Ei (( Ei A) E j ), AE j i,j=1 +2 ( Ei A) E j, Ei (AE j ) + 2 Ei (A ( Ei E j )), AE j i,j=1 i,j=1

22 Κεφαλαιο 2. Τύπος του Simons και Μεταβολές Εµβαδού +2 +2 A ( Ei E j ), Ei (AE j ) = 2 i,j=1 ( Ei Ei A) E j, AE j i,j=1 [ ] ( Ei A) E j, ( Ei A) E j = 2 trace ( Ei Ei A)A + 2 A 2. i,j=1 (2.4) Θα υπολογίσουµε ξεχωριστά την ποσότητα n E i Ei A, εκτιµώντας στο σηµείο p, και ϑα την αντικαταστήσουµε στην (2.4). Αν Z (M), τέτοιο ώστε ( Ei Z) (p) = 0, i = 1,..., n, τότε ( ) Ei Ei A Z = ( Ei Ei A)Z = = = = = { Ei (( Ei A)Z) ( Ei A)( Ei Z)} Ei (( Ei A)Z) Ei (( Z A)E i ) {( Ei Z A)E i + ( Z A)( Ei Z)} ( Ei Z A)E i. Κάνοντας χρήση της ταυτότητας του λήµµατος 2.1, έχουµε ( ) { Ei Ei A Z = ( Z Ei A)E i + [R(E i, Z), A]E i + ( [Ei,Z]A ) } E i = {( Z Ei A)E i + [R(E i, Z), A]E i }. (2.5) Θα υπολογίσουµε, τώρα, ξεχωριστά τους δύο όρους της (2.5). Για τον

2.1. Τύπος του Simons 23 πρώτο όρο, λαµβάνοντας υπόψη την (2.1), ϑα έχουµε ( Z Ei A)E i = { Z (( Ei A)E i ) ( Ei A)( Z E i )} = Z (( Ei A)E i ) ( ) = Z ( Ei A)E i = Z ( (trace A)) = 0, (2.6) αφού η M είναι ελαχιστική. Για τον δεύτερο όρο της (2.5) ϑα έχουµε [R(E i, Z), A]E i = [R(Z, E i ), A]E i = + R(Z, E i )(AE i ) A(R(Z, E i )E i ). (2.7) Για τον πρώτο όρο της (2.7), χρησιµοποιώντας την εξίσωση του Gauss, ϐρίσκουµε, R(Z, E i )(AE i ) = AE i, AE i AZ + AZ, AE i AE i ( c AE i, E i Z ) AE i, Z E i ( ) = (trace A 2 )AZ + A A 2 Z, E i Ei ( c (trace A)Z ) AZ, E i E i = SAZ + A 3 Z + caz. (2.8)

24 Κεφαλαιο 2. Τύπος του Simons και Μεταβολές Εµβαδού Επιπλέον ο δεύτερος όρος της (2.7), χρησιµοποιώντας πάλι την εξίσωση του Gauss, ϑα γίνει A(R(Z, E i )E i ) = A( AE i, E i AZ AZ, E i AE i + c( E i, E i Z Z, E i E i )) = A 3 Z + c(n 1)AZ. (2.9) Η (2.7), λόγω των (2.8), (2.9), ϑα γίνει [R(E i, Z), A]E i = SAZ + cnaz. Άρα η σχέση (2.5) ϑα λάβει την µορφή ( ) Ei Ei A Z = SAZ + cnaz = (nc S)AZ, από την οποία προκύπτει ότι Ei Ei A = (nc S)A. Αντικαθιστώντας στην (2.4) έχουµε τελικά 1 2 S = (nc S)S + A 2.

2.1. Τύπος του Simons 25 Επειδή A 2 = 2 A A ϑα έχουµε 4 A 2 A 2 = A 2 2 = A 2, E j 2 = 4 = 4 = 4 j=1 Ej A, A 2 j=1 ( ( Ej A ) E i, E m AE i, E m j=1 i,m=1 j=1 i,m=1 ) 2 ( ) 2 h imj h im, (2.10) όπου ϑέσαµε h ij = AE i, E j και h ijk = ( Ek A) E i, E j, για τυχαίο τοπικό ορθοµοναδιαίο πλαίσιο {E 1, E 2,..., E n } στην M. Ο A είναι συµ- µετρικός και λόγω της εξίσωσης Codazzi συµπεραίνουµε ότι οι ποσότητες h ij, h ijk είναι συµµετρικές ως προς κάθε Ϲεύγος δεικτών. Εστω p M και {E 1, E 2,..., E n } ορθοµοναδιαίο πλαίσιο σε µια περιοχή του p, τέτοιο ώστε A(E i p ) = λ i E i p, δηλαδή h ij (p) = λ i δ ij. Εκτιµώντας στο σηµείο p την (2.10) έχουµε ( ) 2 4 A 2 A 2 = 4 h iij λ i j=1 4 A 2 i,j=1 h 2 iij, όπου χρησιµοποιήσαµε την ανισότητα Cauchy-Schwarz για τα διανύσµατα (h 11j, h 22j,..., h nnj ), (λ 1, λ 2,..., λ n ). Οπότε προκύπτει ότι A 2 h 2 iij. (2.11) i,j=1

26 Κεφαλαιο 2. Τύπος του Simons και Μεταβολές Εµβαδού Η ταυτότητα h 2 iij = h 2 iij + i,j=1 i j h 2 iii, (2.12) λαµβάνοντας υπόψη την ελαχιστικότητα, δηλαδή την λαµβάνει την µορφή i,j=1 h 2 iij = i j ( ) 2 h 2 iii = h iij, i j h 2 iij + ( ) 2 h iij. Χρησιµοποιώντας την γνωστή αλγεβρική ανισότητα ( ) 2 c i n έχουµε i,j=1 h 2 iij i j h 2 iij + (n 1) i j Συνεπώς λόγω της (2.11) λαµβάνουµε i j c 2 i h 2 iij = n i j 2 n A 2 h 2 iij + h 2 iij i j i j h 2 iij. = i j h 2 iji + i j h 2 jii. (2.13) Προσθέτοντας κατά µέλη τις (2.11) και (2.13) προκύπτει η ( 1 + 2 ) A 2 A 2. (2.14) n Η ανισότητα (2.14) είναι γνωστή και ως ανισότητα Kato. Αντικαθιστώντας στον τύπο του Simons για c = 0 λαµβάνουµε ( 1 2 S S2 + 1 + 2 ) A 2. (2.15) n

2.2. Τύποι Πρώτης και εύτερης Μεταβολής Εµβαδού 27 2.2 Τύποι Πρώτης και εύτερης Μεταβολής Εµβαδού Εστω M n+k πολύπτυγµα Riemann, M n υποπολύπτυγµα αυτού µε την επαγόµενη µετρική και D M ένας τόπος µε D συµπαγές υποσύνολο του M. Μια διαφορίσιµη απεικόνιση φ : ( ε, ε) M M τέτοια ώστε : 1. Για κάθε t ( ε, ε), η απεικόνιση φ t : M M µε φ t (p) := φ(t, p) να είναι εµβάπτιση µε φ t M\D id. 2. φ 0 i : M M, όπου i η έγκλειση, ϑα λέγεται µεταβολή (variation) του D M στο M. Συµβολίζουµε µε M t την εικόνα του M µέσω της απεικόνισης φ t. Προφανώς M 0 M. Παρακάτω ϑα ϑεωρούµε ότι D = M. Εστωσαν x = (x 1, x 2,..., x n ) συντεταγµένες περί το τυχόν σηµείο p 0 M και { x 1, x 2,..., x n } τα αντίστοιχα ϐασικά διανυσµατικά πεδία. Μπο- ϱούµε να ϑεωρήσουµε συντεταγµένες (t, x 1, x 2,..., x n ) στο ( ε, ε) M περί το σηµείο (0, p 0 ) µε { t, x 1, x 2,..., x n } τα αντίστοιχα ϐασικά διανυσµατικά πεδία, όπου t η συντεταγµένη του ( ε, ε) και t το αντίστοιχο ϐασικό διανυσµατικό πεδίο αυτού. Συµβολίζουµε µε E i (t, x) = dφ( x i ) = dφ t ( x i ) για i = 1,..., n, E(t, x) = dφ( t ) και µε g ij(t, x) = E i, E j την επαγόµενη µετρική στο M µέσω της φ t. Εστω A : ( ε, ε) R, A(t) := M dm t η συνάρτηση εµβαδού, όπου dm t το στοιχείο όγκου της µετρικής (g ij (t, x)). Αν {dx 1, dx 2,..., dx n } η δυϊκή ϐάση των { x 1, x 2,..., x n } τότε dm t = g(t, x)dx 1 dx 2... dx n,

28 Κεφαλαιο 2. Τύπος του Simons και Μεταβολές Εµβαδού όπου g(t, x) = det (g ij (t, x)) µε dm 0 = dm. Για λόγους ευκολίας ϑεωρούµε κανονικές συντεταγµένες (normal coordinates) (x 1, x 2,..., x n ) περί το p 0. Άρα ϑα έχουµε g ij (0, p 0 ) = δ ij και Ei E j (0,p0 ) = 0, όπου η συνοχή Levi-Civita του M. Παρακάτω ϑα χρειαστούµε το εξής λήµµα (ϐλέπε για παράδειγµα στο [13]). Λήµµα 2.2. Εστω (α ij (t)) ένας (n n) αντιστρέψιµος και συµµετρικός πίνακας, όπου α ij (t) διαφορίσιµες συναρτήσεις. Θέτοντας (α ij (t)) = (α ij (t)) 1 και α(t) = det (α ij (t)), έχουµε την ταυτότητα α (t) = α(t) α ij (t)α ij(t). (2.16) Θα αποδείξουµε το εξής i,j=1 Θεώρηµα 2.1. (Τύπος Πρώτης Μεταβολής του Εµβαδού) Αν το διανυσµατικό πεδίο µεταβολής E έχει συµπαγές στήριγµα στο M, τότε ισχύει A (0) = n E, H dm, (2.17) M όπου H είναι το διάνυσµα µέσης καµπυλότητας του M στο M. Απόδειξη. Είναι προφανές ότι dm t = g(t, x)dx 1 dx 2... dx n g(t, x) = g(0, x)dx 1 dx 2... dx n g(0, x) = g(t, x) g(0, x) dm.

2.2. Τύποι Πρώτης και εύτερης Μεταβολής Εµβαδού 29 Θέτουµε J(t, x) = g(t, x) g(0, x) και έχουµε dm t = J(t, x)dm. Συνεπώς ισχύει A(t) = M J(t, x)dm. (2.18) Θα υπολογίσουµε την παράγωγο της συνάρτησης A(t) στο t = 0, δηλαδή την A (0). Προς τούτο, αρκεί να υπολογίσουµε την J (t, x) = J (t, x) και t να εκτιµήσουµε στο σηµείο (0, p 0 ). Επειδή g ij (0, p 0 ) = δ ij έχουµε J (0, p 0 ) = g (0, p 0 ). (2.19) 2 Αλλά, λόγω της ταυτότητας του λήµµατος 2.2, λαµβάνουµε g (0, p 0 ) = g(0, p 0 ) g ij (0, p 0 )g ij(0, p 0 ) = i,j=1 g ii(0, p 0 ). (2.20) Οµως g ii = t E i, E i = 2 E i, E i, t όπου η συνοχή Levi-Civita κατά µήκος της φ. Επειδή dφ ([ t, x i ]) = 0, προκύπτει ότι Συνεπώς ϑα έχουµε t E i = E. (2.21) xi g ii = 2 x i E, E i = dφ( x i )E, E i = 2 Ei E, E i, (2.22) όπου η συνοχή Levi-Civita του M. Συµβολίζουµε µε E και E, αντίστοιχα, τις προβολές του E(0, x) στον εφαπτόµενο και κάθετο χώρο

30 Κεφαλαιο 2. Τύπος του Simons και Μεταβολές Εµβαδού του M στο M. Αντικαθιστώντας την (2.22) στην (2.20) ϑα έχουµε g (0, p 0 ) 2 = Ei E, E i + Ei E, E i = div E + = div E ( Ei E, E i E, Ei E i ) E, ( ) Ei E i = div E E, = div E E, ( ) Ei E i B(E i, E i ) = div E E, n H, (2.23) όπου έχουµε εκτιµήσει στο σηµείο (0, p 0 ) και div E είναι η απόκλιση του διανυσµατικού πεδίου E στο M. Συνεπώς από (2.19), λόγω της (2.23), λαµβάνουµε J (0, p 0 ) = div(e ) E, n H. (2.24) Λαµβάνοντας υπόψη ότι το διανυσµατικό πεδίο E έχει συµπαγές στή- ϱιγµα και ότι το διάνυσµα µέσης καµπυλότητας είναι κάθετο στο M, ϑα έχουµε E, n H = E, n H και M div E dm = 0, λόγω του ϑεωρήµατος του Gauss. Άρα, ολοκληρώνοντας την σχέση (2.24)

2.2. Τύποι Πρώτης και εύτερης Μεταβολής Εµβαδού 31 στο M ϑα έχουµε A (0) = J (0, x)dm M ( = div E E, n ) H dm M = div E dm E, nh dm M M = n E, H dm. M Προκειµένου να αποφασίσουµε, στη περίπτωση που το M είναι ελαχιστικό υποπολύπτυγµα του M, αν το εµβαδόν του M αυξάνει ή ελαττούται στις µεταβολές χρειαζόµαστε το παρακάτω. Θεώρηµα 2.2. (Τύπος εύτερης Μεταβολής του Εµβαδού) Αν το πεδίο µεταβολής E είναι παντού κάθετο στο M µε συµπαγές στήριγµα, τότε ισχύει A (0) = { E, B(E i, E j ) 2 K(E i E) M i,j=1 ( E E ), n H + E 2 + E, n H 2 }dm, (2.25) όπου B είναι η δεύτερη ϑεµελιώδης µορφή του M M, η κάθετη συνοχή και K(E i E) η καµπυλότητα τοµής του M στο επίπεδο που ορίζεται από τα E i, E. Εχουµε ϑέσει E 2 = n E i E 2. Απόδειξη. Για την απόδειξη αρκεί να υπολογίσουµε την παράγωγο J και να εκτιµήσουµε, όπως προηγουµένως, στο σηµείο (0, p 0 ).

32 Κεφαλαιο 2. Τύπος του Simons και Μεταβολές Εµβαδού Ισχύει J (t, x) = 1 g (t, x) = 1 g (t, x) J(t, x), 2 g(t, x) g(0, x) 2 g(t, x) ή, λαµβάνοντας υπόψη τη ταυτότητα του Λήµµατος 2.2, J (t, x) = 1 2 g ij (t, x)g ij(t, x)j(t, x). (2.26) i,j=1 Οµως, παραλείποντας την εκτίµηση στο (t, x), ϑα έχουµε g ij = t E i, E j = E i, E j + E i, E j. (2.27) t t Άρα, λαµβάνοντας υπόψη την (2.21), ϑα έχουµε g ij = x i E, E j + E i, x j E = Ei E, E j + E i, Ej E. Επειδή το E είναι παντού κάθετο στο M και Ei E j, E = B(E i, E j ), E, όπου B είναι η δεύτερη ϑεµελιώδης µορφή, από την παραπάνω σχέση, προκύπτει ότι Αντικαθιστώντας την (2.28) στην (2.26) έχουµε Συνεπώς ϑα πάρουµε J = J t = i,j=1 + J = g ij = 2 Ei E, E j. (2.28) g ij Ei E, E j J. (2.29) i,j=1 g ij t E i E, E j J + i,j=1 ( ) g ij t E i E, E j J g ij Ei E, E j J. (2.30) i,j=1

2.2. Τύποι Πρώτης και εύτερης Μεταβολής Εµβαδού 33 Θα υπολογίσουµε, τώρα, ξεχωριστά τους τρεις όρους της (2.30) και ϑα εκτιµήσουµε στο σηµείο (0, p 0 ). Για τον πρώτο όρο, παραγωγίζοντας τη σχέση n k=1 gik g kj = δ ij, λαµβάνουµε ( ) g ik g kj = 0 ή t k=1 k=1 Εκτιµώντας στο σηµείο (0, p 0 ) ϑα έχουµε g ik t g kj = k=1 g ik g kj t. g ij t = g ij t = 2 Ei E, E j. Άρα, ο πρώτος όρος αν εκτιµηθεί στο (0, p 0 ), δίνει i,j=1 g ij t E i E, E j J = 2 Για τον δεύτερο όρο της (2.30) έχουµε Ei E, E j 2. (2.31) i,j=1 t E i E, E j = Ei E, E j + Ei E, E j. t t Η παραπάνω σχέση, λόγω της (2.21) και της Ei E = E Ei E, λαµ- t ϐάνει την µορφή t E i E, E j = E Ei E, E j + Ei E, x j E = R(E, E i )E, E j + Ei E E, E j + Ei E, Ej E, (2.32) όπου R ο τανυστής καµπυλότητος του M. Άρα, ο δεύτερος όρος της (2.30), υπολογισµένος στο σηµείο (0, p 0 ), δίνει i,j=1 ( ) g ij t E i E, E j J =

34 Κεφαλαιο 2. Τύπος του Simons και Μεταβολές Εµβαδού = R(E, E i )E, E i + = + = + + = + = + Ei E E, E i + R(E i, E)E, E i + Ei E, Ei E ( Ei E E ), Ei ( Ei E E ), Ei + Ei E, Ei E ( ( E K(E i E) + div E ) ) { E i ( E E ), Ei ( E E ) }, Ei E i Ei E, Ei E ( ( E K(E i E) + div E ) ) ( E E ) ( ), Ei E i Ei E, Ei E ( ( E K(E i E) + div E ) ) ( E E ), nh Ei E, Ei E. (2.33) Τέλος, λόγω της (2.29), ο τρίτος όρος της (2.30) εκτιµηµένος στο (0, p 0 ) δίνει g ij Ei E, E j J = i,j=1 = ( Ei E, E i ) 2 ( { Ei E, E i E, Ei E i }) 2 = E, n H 2. (2.34)

2.2. Τύποι Πρώτης και εύτερης Μεταβολής Εµβαδού 35 Συµπερασµατικά, η (2.30) εκτιµώντας στο (0, p 0 ) δίνει ( ( E J = 2 Ei E, E j 2 K(E i E) + div E ) ) i,j=1 ( E E ), nh + Ei E, Ei E + E, nh 2 = 2 Ei E, E j 2 i,j=1 ( E E ), nh + Ei E, E j 2 + + E, nh 2 = Ei E, E j 2 i,j=1 i,j=1 ( ( E K(E i E) + div E ) ) E i E, E i E ( ( E K(E i E) + div E ) ) ( E E ), nh + E 2 + E, nh 2 ( = E, B(E i, E j ) 2 ( E K(E i E) + div E ) ) i,j=1 ( E E ), n H + E 2 + E, n H 2, (2.35) όπου κάναµε χρήση της Ei E, Ei E = ( Ei E ) 2 + ( Ei E ) 2 και του γεγονότος ότι στο (0, p 0 ) το {E 1,..., E n } είναι ορθοµοναδιαίο πλαίσιο. Ολοκληρώνοντας την (2.35), λαµβάνοντας υπόψη ότι το E έχει συµπαγές στήριγµα και εφαρµόζοντας το ϑεώρηµα του Gauss λαµβάνουµε την (2.25). Θεωρούµε, για τη συνέχεια, ελαχιστικό υποπολύπτυγµα M του πολυπτύγµατος Riemann M. Σύµφωνα µε τον τύπο της πρώτης µεταβολής

36 Κεφαλαιο 2. Τύπος του Simons και Μεταβολές Εµβαδού το M αποτελεί κρίσιµο σηµείο της συνάρτησης εµβαδού A(t) και ο τύπος δεύτερης µεταβολής λαµβάνει τη µορφή A (0) = { M E, B(E i, E j ) 2 + i,j=1 Ισχύει το παρακάτω λήµµα. K(E i E) E 2 }dm. (2.36) Λήµµα 2.3. Με τους παραπάνω συµβολισµούς και λαµβάνοντας υπόψη ότι το E N(M), έχουµε 1 2 E 2 = E, E + E 2, (2.37) όπου E := ( ) n e i e i E ei e i E και {e 1, e 2,..., e n } τυχαίο ορ- ϑοµοναδιαίο πλαίσιο στο M. Απόδειξη. Λόγω της (1.3) έχουµε 1 2 E 2 = 1 E, E 2 = 1 {e i (e i E, E ) ( ei e i ) E, E } 2 = = = { } e i e i E, E ei e i E, E { e i e i E, E + e i E, e i E ei e i E, E } { e i e i E ei e i E}, E + = E, E + E 2. e i E, e i E

2.2. Τύποι Πρώτης και εύτερης Μεταβολής Εµβαδού 37 Ολοκληρώνοντας την ταυτότητα του λήµµατος και λαµβάνοντας υπόψη ότι το E έχει συµπαγές στήριγµα, από το ϑεώρηµα απόκλισης του Gauss έχουµε M E, E dm = E 2 dm. M Συνεπώς, η (2.36) λαµβάνει την µορφή A (0) = { E, B(E i, E j ) 2 Επειδή και M M i,j=1 E, B(E i, E j ) 2 = i,j=1 K(E i E)}dM E, E dm. (2.38) = K(E i E) = B(E i, E j ), E B(E i, E j ), E i,j=1 B(E i, E j ), E B(E i, E j ), E i,j=1 R(E i, E)E, E i = = η (2.38) ϑα λάβει τη µορφή A (0) = { E + M R(E i, E)E i, E ( ), R(Ei, E)E i E B(E i, E j ), E B(E i, E j ) i,j=1 ( ), R(Ei, E)E i E }dm. (2.39)

38 Κεφαλαιο 2. Τύπος του Simons και Μεταβολές Εµβαδού Για ελαχιστικές υπερεπιφάνειες παίρνουµε την παρακάτω Πρόταση 2.2. Εστω M n προσανατολισµένη, ελαχιστική υπερεπιφάνεια του M n+1 (c). Αν E είναι κάθετο διανυσµατικό πεδίο της M µε συµπαγές στήριγµα και N το µοναδιαίο και κάθετο διανυσµατικό πεδίο της M, τότε E = f N, όπου f D(M) έχει συµπαγές στήριγµα, και ισχύει ( A (0) = f + ( A 2 + nc)f ) fdm. (2.40) M Απόδειξη. Για να αποδείξουµε την (2.40) αρκεί να υπολογίσουµε τους όρους της (2.39) για την περίπτωση υπερεπιφάνειας. Επειδή B(E i, E j ) = B(E i, E j ), N N, ϑα έχουµε B(E i, E j ), E) B(E i, E j ) = f B(E i, E j ), N 2 N i,j=1 i,j=1 = f A 2 N. Λόγω της ( R(Ei, E)E i ) = ( R(Ei, E)E i ), N N = R(E i, E)E i, N N = f R(E i, N)E i, N N,

2.2. Τύποι Πρώτης και εύτερης Μεταβολής Εµβαδού 39 ϑα έχουµε ( ) R(Ei, E)E i = f R(E i, N)E i, N N = f = f R( N, E i )E i, N N K( N E i ) N = fric( N, N) N = ncf N, (2.41) όπου Ric( N, N) είναι η καµπυλότητα Ricci του M στη µοναδιαία διεύ- ϑυνση N. Τέλος, αν {e 1, e 2,..., e n } είναι ορθοµοναδιαίο πλαίσιο στη M ϑα έχουµε E = = = = ( ei e i (fn) ei e i (fn) ) ( ( ei (e i f) N ) ( ei e i (f)) N ) ( e i (e i f) N ( ei e i ) (f) N ) {e i (e i )f ( ei e i ) (f)} N = ( f) N. Συνεπώς, αντικαθιστώντας στην (2.39) τις παραπάνω εκφράσεις, προκύπτει η Ϲητούµενη σχέση. Με αφορµή την σχέση (2.39), ορίζουµε τους τελεστές. B : N(M) N(M), V B(V ) := B(e i, e j ), V ) B(e i, e j ) i,j=1

40 Κεφαλαιο 2. Τύπος του Simons και Μεταβολές Εµβαδού και R : N(M) N(M), V R(V ( ), ) := R(ei, V )e i όπου {e 1, e 2,..., e n } είναι ορθοµοναδιαίο πλαίσιο στο M. Αποδεικνύεται ότι οι τελεστές B και R είναι ανεξάρτητοι από την επιλογή του ορθοµοναδιαίου πλαισίου και ότι είναι συµµετρικοί, δηλαδή ισχύουν B(V ), W = V, B(W ) και R(V ), W = V, R(W ) για κάθε V, W N(M), όπου, το εσωτερικό γινόµενο στο M. Με τους νέους συµβολισµούς η (2.39) λαµβάνει την µορφή A (0) = (E) R(E) + B(E), E dm M = ( + R B)E, E dm. M Η συνάρτηση I : N(M) N(M) R, (V, W ) I(V, W ), µε τύπο I(V, W ) = ( + R B)V, W dm M λέγεται µορφή δείκτη (index form) του M στο M. Συµβολίζουµε µε N 0 (M) το σύνολο των διαφορίσιµων διανυσµατικών πεδίων του N(M) µε συµπαγές στήριγµα. Το M ϑα λέγεται ευσταθές (stable) αν I(V, V ) 0 για κάθε V N 0 (M) και µη ευσταθές (unstable) αν υπάρχει V N 0 (M) τέτοιο ώστε I(V, V ) < 0. Ο τελεστής J : N(M) N(M), ο οποίος ορίζεται ως εξής J := + R B,

2.2. Τύποι Πρώτης και εύτερης Μεταβολής Εµβαδού 41 λέγεται τελεστής του Jacobi. Ενα διανυσµατικό πεδίο V N(M) το οποίο πληροί τη σχέση J(V ) = 0 ϑα λέγεται πεδίο Jacobi. Ο τελεστής J αποδεικνύεται ότι είναι ελλειπτικός τελεστής. Για υπερεπιφάνειες M n M n+1 (c), V = f N, όπου f D(M) µε συµπαγές στήριγµα, σύµφωνα µε την Πρόταση 2.2, ϑα έχουµε ( I(V, V ) = f + ( A 2 + nc)f ) fdm. (2.42) M Πόρισµα 2.1. (Συνθήκη Ευστάθειας) Εστω M n M n+1 (c) προσανατολισµένη και ελαχιστική υπερεπιφάνεια µε προσανατολισµό N. Η M n είναι ευσταθής µόνο αν για κάθε Lipschitz συνάρτηση f : M n R µε συµπαγές στήριγµα ισχύει f 2 dm ( A 2 + nc)f 2 dm. (2.43) M M Απόδειξη. Η (2.43) προκύπτει άµεσα από την (2.42).

Κεφάλαιο 3 Θεώρηµα Bernstein 3.1 Ελαχιστικοί Κώνοι στον Ευκλείδειο Χώ- ϱο Στο παρόν κεφάλαιο ϑα ασχοληθούµε µε τη µελέτη των ελαχιστικών κώνων του ευκλειδείου χώρου και τη σχέση τους µε ελαχιστικά υποπολυπτύγµατα της σφαίρας. Εστω M n υποπολύπτυγµα της µοναδιαίας σφαίρας S n+k στον R n+k+1. Ο κώνος υπεράνω του M, συµβολίζεται µε CM, είναι το σύνολο CM := { tx R n+k+1 : µε x M και t 0 }. Είναι προφανές ότι ο κώνος CM δεν είναι λείος το πολύ στην κορυφή. Ορίζουµε για κάθε ε (0, 1) το σύνολο CM ε := { tx R n+k+1 : µε x M και t ε }, 43

44 Κεφαλαιο 3. Θεώρηµα Bernstein το οποίο λέγεται ε-κόλουρος κώνος και είναι λείος παντού ως πολύπτυγµα µε σύνορο. Παράδειγµα 3.1. Συµβολίζουµε µε S q (r) µια σφαίρα διάστασης q στον ευκλείδειο χώρο E q+1 µε ακτίνα r. Εστωσαν p, n ϑετικοί ακέραιοι µε n > p και M p,n p = S ( ) ( ) p p n S n p n p το γινόµενο των σφαιρών n S p ( p n ) και S n p ( n p n ). Το πολύπτυγµα M p,n p εµφυτεύεται στην S n+1 (1) ως εξής. Εστωσαν X 1, X 2 διανύσµατα των E p+1 και E n p+1, αντίστοιχα, µε X 1 = p n και n p X 2 = n. Το σηµείο (X 1, X 2 ) του E n+2 = E p+1 E n p+1 είναι στην S n+1 (1). Μπορούµε να διαπιστώσουµε ότι το M p,n p είναι ελαχιστικό υποπολύπτυγµα της S n+1 (1). Προς τούτο έστω θ(u 1, u 2,..., u p ) και φ(w 1, w 2,..., w n p ) τοπικές παραµετρικές παραστάσεις των S p (1) και S n p (1). Τότε η διανυσµατική συνάρτηση z(u 1, u 2,..., u p, w 1, w 2,..., w n p ) = p n θ(u1, u 2,..., u p ) n p + n φ(w1, w 2,..., w n p ) είναι τοπική παραµετρική παράσταση της M n,n p. Θα έχουµε z u i = p n p n θ u i, i = 1,..., p και z w j = n φ wj, j = 1,..., n p. Είναι προφανές ότι το διάνυσµα ξ = n p n θ p φ είναι µοναδιαίο, εφα- n πτόµενο της S n+1 και κάθετο στην M p,n p. Από τις εξισώσεις Weingarten

3.1. Ελαχιστικοί Κώνοι στον Ευκλείδειο Χώρο 45 λαµβάνουµε n p n n p ξ u i = n θ u i = p ξ w j = n φ w j = p n p n n p z u i = z u i, i = 1,..., p, p p = n p z wj, j = 1,..., n p. z w j n p n Συνεπώς οι κύριες καµπυλότητες του M p,n p είναι οι n p k 1 = k 2 =... = k p =, p p k p+1 = k p+2 =... = k n = n p. Αρα η µέση καµπυλότητα H, του M p,n p, είναι ( ) ( ) n p p nh = k l = p + (n p) = 0. p n p l=1 Επιπλέον, το τετράγωνο της δεύτερης ϑεµελιώδους µορφής ϑα είναι S = ( ) 2 ( ) 2 n p p kl 2 = p + (n p) = n. p n p l=1 Οπως ϑα διαπιστώσουµε στη συνέχεια ο κώνος CM p,n p υπεράνω του M p,n p είναι ελαχιστικός στον R n+2. Μια ειδική περίπτωση, για p = 3 και n = 6, ϑα αποδειχθεί χρήσιµη. ( 2 ) ( 2 ) Η υπερεπιφάνεια M 3,3 = S 3 S 3 της S 7 (1) είναι ελαχιστική 2 και ο αντίστοιχος κώνος CM 3,3, διάστασης 7, είναι επίσης ελαχιστικός στον R 8. Μας ενδιαφέρει να συγκρίνουµε στοιχεία του M µε στοιχεία του CM ε. Προς τούτο, έστω θ(u 1, u 2,..., u n ), µια τοπική παραµετρική παράσταση του M. Τότε η 2

46 Κεφαλαιο 3. Θεώρηµα Bernstein x(t, u 1, u 2,..., u n ) := tθ(u 1, u 2,..., u n ), t ε ϑα είναι µια τοπική παραµετρική παράσταση του ε-κόλουρου κώνου CM ε. Θα υπολογίσουµε, στη συνέχεια, τις ϑεµελιώδεις µορφές των M, CM ε και ϑα δούµε πως συνδέονται µεταξύ τους. Θέτοντας u 0 := t οι συνιστώσες g ij, g ij των µετρικών των M και CM ε ϑα είναι : g ij = θ u i, θ u j, i, j = 1, 2,..., n, (3.1) g ij = x u i, x u j, i, j = 0, 1,..., n, (3.2) αντίστοιχα. Επειδή, x t = θ, x u i = t θ u i, x tt = 0, x tu i = x u i t = θ u i, x u i u j = t θ u i u j (3.3) έχουµε ότι, g ij = x u i, x u j = t 2 θ u i, θ u j = t 2 g ij, i, j = 1, 2,..., n (3.4) g tt = x t, x t = 1, (3.5) g it = x u i, x t = 0. (3.6) Εστω {ξ 1, ξ 2,..., ξ k } τοπικό ορθοµοναδιαίο πλαίσιο στον κάθετο χώρο του M στην S n+k. Μεταφέροντας, παράλληλα, κατά µήκος των γενετειρών του ε-κόλουρου κώνου, οι συνιστώσες της δεύτερης ϑεµελιώδους µορφής, στην διεύθυνση ξ m, των M και CM ε ϑα είναι : b m ij = θ u i u j, ξ m, i, j = 1, 2,..., n και m = 1,..., k (3.7) bm ij = x u i u j, ξ m, i, j = 0, 1,..., n και m = 1,..., k, (3.8)

3.1. Ελαχιστικοί Κώνοι στον Ευκλείδειο Χώρο 47 αντίστοιχα. Η (3.8) λόγω της (3.3) δίνει bm ij = tb m ij, b m it = b m tt = 0, i, j = 1,..., n και m = 1,..., k. (3.9) Το τετράγωνο του µήκους της δεύτερης ϑεµελιώδους µορφής B ενός υποπολυπτύγµατος M στο M, δίνεται από τη σχέση B 2 = g mm g rr b mr, b m r, (3.10) m,m,r,r=1 όπου g ij η επαγόµενη µετρική από το M στο M και b ij = B ( x u i, x u j), ως προς τοπικό σύστηµα συντεταγµένων. Συµβολίζουµε µε S το τετράγωνο του µήκους της δεύτερης ϑεµελιώδους µορφής του M στην S n+k και µε S το τετράγωνο του µήκους της δεύτερης ϑεµελιώδους µορφής του CM στον R n+k+1, αντίστοιχα. Χρησι- µοποιώντας τον τύπο (3.10) και τις σχέσεις (3.7),(3.8) ϑα έχουµε S = g mm g rr b mr, b m r = m,m,r,r=0 m,m,r,r=1 = 1 t 2 = 1 t 2 S. m,m,r,r=1 Συµπερασµατικά, προκύπτει η σχέση g mm g rr b mr, b m r. g mm g rr b mr, b m r S = 1 S. (3.11) t2

48 Κεφαλαιο 3. Θεώρηµα Bernstein Θεωρούµε, τώρα, µια διαφορίσιµη συνάρτηση f(t, u 1, u 2,..., u n ) του CM ή του CM ε. Συµβολίζουµε, για κάθε t σταθερό, µε f t τη διαφορίσιµη συνάρτηση στο M, που ορίζεται ως f t (u 1, u 2,..., u n ) := f(t, u 1, u 2,..., u n ). Ισχύει η παρακάτω Πρόταση 3.1. Θεωρούµε ένα ελαχιστικό υποπολύπτυγµα M n της µοναδιαίας σφαίρας S n+k. Τότε ισχύουν τα παρακάτω : 1. f = 1 t 2 (f t ) + n t f + 2 f, t t 2 όπου έχουµε συµβολίσει µε το ίδιο γράµµα τους τελεστές Laplace στο M και CM ε. 2. Το CM ε είναι ελαχιστικό υποπολύπτυγµα του R n+k+1. Απόδειξη. 1. Θέτουµε x u i, οπότε x u i u 0 = x t. Απο την έκφραση t της f σε τοπικές συντεταγµένες, σύµφωνα µε την (1.4), ϑα έχουµε f = 1 g i,j=0 u ( g g ij (f)), i (3.12) uj όπου g = det( g ij ). Αν g = det(g ij ), τότε λόγω των σχέσεων (3.4), (3.5) και (3.6) ϑα έχουµε ότι g = det( g ij ) = det(t 2 g ij ) = t 2n det(g ij ) = t 2n g. (3.13) Αντικαθιστώντας στην (3.12) ϑα έχουµε = 1 t n g { i,j=1 f = 1 t n g ( u i i,j=0 ( t n g g ij u i t n ) g g ij u (f) + j ) u (f) j (t n g g it t ) u (f) + i

3.1. Ελαχιστικοί Κώνοι στον Ευκλείδειο Χώρο 49 + j=1 ( t n g g tj t ) u (f) + j t (t n g g tt t (f) ) }. (3.14) Από τις σχέσεις (3.4), (3.5) και (3.6) ϑα έχουµε επίσης ότι g ij = 1 t 2 gij, g it = 0, i = 1,..., n και g tt = 1. (3.15) Άρα η (3.14), λόγω της (3.15), ϑα γίνει, { 1 ( ) f = t n t n 2 g g ij g u i u (f) + (t n g t ) } j t (f) i,j=1 1 ( ) g = t 2 g ij g u i u (f) + 1 (t n t ) j t n t (f) i,j=1 1 ( ) g = t 2 g ij g u i u (f t) j i,j=1 + 1 { nt n 1 t n t (f) + ( )} tn t t (f) = 1 t (f t) + n 2 t t (f) + ( ) t t (f) = 1 t (f t) + n f 2 t t + 2 f t. 2 (3.16) 2. Από την (3.16) λαµβάνοντας ως f την x = t θ ϑα έχουµε : x = 1 t 2 ( x t) + n t από όπου έπεται, µε χρήση της (1.12), ότι x t + 2 x t, 2 (n + 1) H CM = 1 t 2 (t θ) + n t θ = n t H M + n t θ, (3.17) όπου H CM το διάνυσµα µέσης καµπυλότητας του CM στον R n+k+1 και H M το διάνυσµα µέσης καµπυλότητας του M στον R n+k+1. Συµβολίζουµε

50 Κεφαλαιο 3. Θεώρηµα Bernstein µε H M το διάνυσµα µέσης καµπυλότητας του M στην S n+k. Εφαρµόζοντας τη σχέση (1.10), έχουµε B M (E i, E i ) = B M (E i, E i ) + B S (E i, E i ), i = 1, 2,..., n, όπου B M είναι η δεύτερη ϑεµελιώδης µορφή του M στον R n+k+1, B M η δεύτερη ϑεµελιώδης µορφή του M στην S n+k, B S η δεύτερη ϑεµελιώδης µορφή της S n+k στον R n+k+1 και {E 1, E 2..., E n } τοπικό ορθοµοναδιαίο πλαίσιο του M. Αθροίζοντας, ως προς i, ϑα έχουµε, B M (E i, E i ) = B M (E i, E i ) + B S (E i, E i ), δηλαδή, n HM = n H M + B S (E i, E i ). (3.18) Πολλαπλασιάζοντας εσωτερικά την (3.18) µε το θ παίρνουµε n HM, θ = n H M, θ + B S (E i, E i ), θ. Το H M είναι κάθετο στο θ, άρα ϑα έχουµε n HM, θ = B S (E i, E i ), θ = A θ (E i ), E i, (3.19) όπου A θ η απεικόνιση Weingarten της S n+k στον R n+k+1 στη διεύθυνση θ. Για X (S n+k ) από τον τύπο (1.11) προκύπτει A θ (X) = X και συνεπώς από την (3.19) έχουµε HM, θ = 1. (3.20)

3.1. Ελαχιστικοί Κώνοι στον Ευκλείδειο Χώρο 51 Η σχέση (3.17) δίνει (n + 1) H CM = n t H M + n t θ = n t { H M + HM, θ θ} + n t θ, ή, λόγω της (3.20), H CM = n t(n + 1) H M, από όπου προκύπτει το Ϲητούµενο. Θεωρούµε, για τη συνέχεια, µια ελαχιστική και συµπαγή προσανατολισµένη υπερεπιφάνεια M n της µοναδιαίας σφαίρας S n+1. Συµβολί- Ϲουµε µε N(t, θ) το διαφορίσιµο µοναδιαίο και κάθετο διανυσµατικό πεδίο στον ε-κόλουρο κώνο CM ε και ϑέτουµε V (t, θ) = f(t, θ) N(t, θ), ό- που f(t, θ) είναι µια διαφορίσιµη συνάρτηση που ορίζεται στον CM ε µε f(ε, θ) = f(t, θ) = 0, για t 1. Λήµµα 3.1. Με τους παραπάνω συµβολισµούς ισχύει I(V, V ) = [ε,1] M ( (f t ) Sf nt f ) t 2 f t2 t n 2 fdm t 2 ε, (3.21) όπου dm ε είναι το στοιχείο όγκου του γινοµένου [ε, 1] M. Απόδειξη. Συµβολίζουµε µε S το τετράγωνο του µήκους της δεύτερης ϑεµελιώδους µορφής του CM ε. Από την (2.42) και χρησιµοποιώντας το γεγονός ότι ο περιβάλλων χώρος είναι ευκλείδειος, ϑα έχουµε ( ) I(V, V ) = f fs fdcmε, CM ε

52 Κεφαλαιο 3. Θεώρηµα Bernstein όπου dcm ε είναι το στοιχείο όγκου του CM ε. Σε τοπικές συντεταγµένες έχουµε dcm ε = det g ij dt du 1 du 2... du n = t 2n det g ij dt du 1 du 2... du n = t n det g ij dt du 1 du 2... du n = t n dm ε, (3.22) όπου dm ε είναι το στοιχείο όγκου του γινοµένου [ε, 1] M. Χρησιµοποιώντας τις σχέσεις (3.11) και (3.16), η παραπάνω σχέση λαµβάνει τη µορφή I(V, V ) = = = CM ε 1 CM ε t 2 CM ε από όπου προκύπτει η (3.21). ( 1 t (f t) f 2 t S n ) f 2 t t 2 f t ( 2 (f t ) fs nt f t 2 f t2 t 2 ( (f t ) fs nt f t 2 f t2 t 2 fdcm ε ) fdcm ε ) t 2 fdcm ε Με αφορµή τη σχέση (3.21), ορίζουµε τους δύο διαφορικούς τελεστές, L 1 : D(M) D(M), f L 1 (f) := f Sf (3.23) L 2 : D([ε, 1]) D([ε, 1]), g L 2 (g) := t 2 g ntg. (3.24) Για τον διαφορικό τελεστή L 1 ισχύει το παρακάτω. Λήµµα 3.2. Ο L 1 διαγωνιοποιείται από ένα πλήρες ορθοµοναδιαίο σύστηµα ιδιοσυναρτήσεων {f i } i N, από το D(M), µε αντίστοιχες ιδιοτιµές λ i τέτοιες ώστε λ 1 λ 2... λ i....