Γ ΣΑΞΖ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΩΝ ΚΑΗ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΩΝ ΠΟΤΓΩΝ ΤΝΑΡΣΖΔΗ ΟΡΗΑ ΤΝΔΥΔΗΑ (έως Θ.Bolzano). Να δηαηππώζεηε ην Θ.Bolzano. 5 ΘΔΜΑ Α μονάδες A. Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε πνιπωλπκηθή ζπλάξηεζε θαη ηζρύεη όηη P P P... μονάδες A. Να ραξαθηεξίζεηε ηηο πξνηάζεηο πνπ αθνινπζνύλ κε ηελ έλδεημε ωζηό, αλ ε πξόηαζε είλαη ζωζηή ή Λάθος, αλ ε πξόηαζε είλαη ιαλζαζκέλε f α) Αλ, ηόηε f θνληά ζην β) Αλ γηα ηηο ζπλαξηήζεηο f,g νξίδνληαη νη ζπλαξηήζεηο f g θαη g f, ηόηε ηζρύεη πάληα f g g f γ) Αλ κηα ζπλάξηεζε f είλαη γλεζίωο κνλόηνλε, ηόηε ε εμίζωζε f έρεη πάληνηε αθξηβώο κηα ιύζε δ) Η γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο f είλαη ζπκκεηξηθή ωο πξνο ηνλ άμνλα ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο ζπλάξηεζεο f ε) Αλ γηα κηα ζπλάξηεζε f ηζρύεη f ηόηε ε f δελ είλαη ζπλερήο ζην o μονάδες ΘΔΜΑ Β Αλ ε ζπλάξηεζε f έρεη ηύπν f() ln( ) ηόηε :. Να απνδείμεηε όηη ππάξρεη ε αληίζηξνθε ζπλάξηεζε ηεο f. 5. Να βξείηε ηα θνηλά ζεκεία ηωλ γξαθηθώλ παξαζηάζεωλ ηωλ ζπλαξηήζεωλ f θαη f μονάδες 5 μονάδες Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε g :(, ) R ηέηνηα ώζηε ε ε fog λα είλαη γλεζίωο. θζίλνπζα ζην (4, ). (+5) μονάδες i) Να δείμεηε όηη ε g είλαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην (4, ). ii) Να ιύζεηε ηελ αλίζωζε. 4 Να βξείηε ην όξην f ln(g(8) ) ln(g(e ) ) g(e ) g(8) 7 μονάδες
. Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε Να δείμεηε όηη Να δείμεηε όηη. κνλόηνλε.. Να βξείηε ηα όξηα. 4 Να βξείηε ην όξην ΘΔΜΑ Γ f f f f f 4 μονάδες f θαη όηη ε f δελ είλαη νύηε - νύηε θαη γλήζηα f θαη f 4 4 μονάδες 6 μονάδες f 5 μονάδες. f 5 Θεωξνύκε ηελ ζπλάξηεζε g γηα Να βξείηε ηνλ,ώζηε ε g λα είλαη ζπλερήο. θαη g. 6 μονάδες ΘΔΜΑ Δίλεηαη όηη ε ζπλάξηεζε g είλαη ζσνετής ζην R κε Γ g θαη g θαη ε ζπλάξηεζε. f () (g() ) 4 γηα θάζε. Να δείμεηε όηη ππάξρεη έλα ηνπιάρηζην, g θαη ώζηε : f g 4 8 μονάδες. Να απνδείμεηε όηη ε f έρεη νιηθό ειάρηζην. 4 μονάδες. Να βξείηε ην όξην 7 f Να δείμεηε όηη 4. 8 μονάδες f 7 f 7 f 7 f 7 5 5 μονάδες Καλή επιηστία
ΑΠΑΝΣΖΔΗ ΘΔΜΑ Α Θεωξία Θεωξία Σ Λ Λ Σ - Σ ΘΔΜΑ Β. Η ζπλάξηεζε f έρεη πεδίν νξηζκνύ ην Af,. Έηζη γηα θάζε,, κε έρνπκε θαη ln ln θαη κε πξόζζεζε ηωλ, παίξλνπκε ln( ) l n( ) ln( ) l n( ) f f Δειαδή ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα, νπόηε ζαλ γλήζηα κνλόηνλε ζα είλαη θαη,νπόηε ζα ππάξρεη ε αληίζηξνθε ζπλάξηεζε ηεο f. Αθνύ ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα,ηα θνηλά ζεκεία ηωλ γξαθηθώλ παξαζηάζεωλ ηωλ. ζπλαξηήζεωλ f θαη f (αλ ππάξρνπλ) ζα βξίζθνληαη πάλω ζηελ επζεία y θαη έηζη : f () f () f () ln( ) ln( ) e e θαη f (e ) ln(e ) e ln e e ln e e e e θαη ην δεηνύκελν ζεκείν ηνκήο είλαη ην e,e. Έρνπκε όηη ε ζπλάξηεζε fog λα είλαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην (4, ).. i) Υπνζέηνπκε ηώξα ε ζπλάξηεζε όηη ε g δεν είναι γνηζίως θθίνοσζα ζην (4, ). Τόηε ζα ππάξρεη έλα (ηνπιάρηζηνλ) δεύγνο, 4, Αθνύ ε f είλαη ζα είλαη θαη f g f g κε θαη g g,άηοπο γηαηί αθνύ ε fog είλαη έρνπκε f g f g Καηά ζπλέπεηα ε g είλαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην (4, ).
ii) Η αλίζωζε ln(g(8) ) ln(g(e ) ) g(e ) g(8) γξάθεηαη ηζνδύλακα ln(g(8) ) g(8) ln(g(e ) ) g(e ) ln(g(8) ) g(8) ln(g(e ) ) g(e ) f g f g(8) f g(e ) g(8) g(e ) 8 e ln e ln 8 ln e ln ln ln f. 4 Γηα ην όξην έρνπκε f f f f f f θαη f,νπόηε ( ) f f,αθνύ : θαη u u ln( ) u νπόηε Έηζη από ηελ κε ΚΠ παίξλνπκε f ΘΔΜΑ Γ f. Θέηνπκε ζηελ ζρέζε όπνπ θαη παίξλνπκε : f f f f f Θέηνπκε αθόκε ζηελ ζρέζε όπνπ θαη παίξλνπκε : f f f f. Έηζη από ηηο ζρέζεηο, πξνθύπηεη όηη f f. Η ζπλάξηεζε καο ηώξα γξάθεηαη. όπνπ,παίξλνπκε : f f θαη κε αληηθαηάζηαζε,νπόηε f f 4 f f f. Η παξαπάλω ζπλάξηεζε δελ είλαη νύηε νύηε θαη γλήζηα κνλόηνλε θαη απηό γηαηί : Α ηρόπος Παξαηεξνύκε όηη θαη f f,νπόηε δελ είλαη.
Η f δελ είλαη επίζεο γλ. κνλόηνλε (Αλ ε f είλαη γλ. κνλόηνλε,ζα είλαη θαη,πξάγκα άηνπν) Β ηρόπος Η ζπλάξηεζε f είλαη ην γλωζηό καο ηξηώλπκν θαη θάζε επζεία y ηέκλεη ηελ Cf ζε δύν ζεκεία. Απηό δειώλεη όηη ε f δελ είλαη νύηε - νύηε θαη γλήζηα κνλόηνλε.. Γηα ηα όξηα ηώξα έρνπκε : f / 4. f 4 4 / 4 4 4 4 4. 4 Γηα ην όξην όξην θαη έηζη f έρνπκε απξνζδηνξηζηία Είλαη f g θαη 5. g
Όκωο αξθεί ε g είλαη λα είλαη ζπλερήο ζην,νπόηε αξθεί g g ΘΔΜΑ Γ. Θεωξνύκε ηελ ζπλάξηεζε h g,, Η h είλαη ζπλερήο ζην ππνζ θαη έρνπκε :, ωο πξάμεηο ζπλερώλ ζπλαξηήζεωλ. h g, h g,νπόηε θαη h h. Οπόηε από ζεώξεκα Bolzano ππάξρεη έλα ηνπιάρηζην, ώζηε : g Θέηνπκε ζηελ δνζκέλε ζρέζε όπνπ θαη παίξλνπκε f g 4 πξόζζεζε πξνθύπηεη ππνζ. f ( ) (g( ) ) 4 4 θαη κε. Έρνπκε f ( ) 4 θαη f () (g() ) 4 4, R Αξα: f () f ( ), R. δειαδή ε f παξνπζηάδεη ζην, νιηθό ειάρηζην.. Γηα ην όξην 7 7 έρνπκε : f f αθνύ f ( ) 4 είλαη νιηθό ειάρηζην,ζα είλαη θαη f () 4 θαη f () 4 7 7 7 f f f 4 f 4,νπόηε f 7 4 4 όκωο 4 4 θαη έηζη από ΚΠ παίξλνπκε 7 f είλαη f () 4γηα θάζε Rθαη έηζη 4. f 7f 7 f 7 f 7 4444 5 5