Ειςαγωγό ςτισ βαςικϋσ ϋννοιεσ των Μαθηματικών 1 ο Μάθημα Ειςαγωγή Μαθηματική Λογική Επικοινωνύα (1) ktatsis@uoi.gr twitter: tatsis_kostas Τηλϋφωνο: 2651005870 Ώρεσ ςυνεργαςύασ (3 οσ όροφοσ): Τετϊρτη 17:00-19:00 Πϋμπτη 17:00-19:00 Επικοινωνύα (2) http://ecourse.uoi.gr Διαλϋξεισ = ύλη μαθόματοσ Ανακοινώςεισ Υποςτηρικτικό υλικό κλειδύ: math2009 Επικοινωνύα (3) Ανακοινώςεισ μαθήματοσ: http://ecourse.uoi.gr Εργαςτόριο ϋρευνασ ςτη Διδαςκαλύα των Μαθηματικών (1 οσ όροφοσ) 1
Περιεχόμενο μαθόματοσ Μαθηματικό Λογικό Θεωρύα Αριθμών Θεωρύα Συνόλων ϋννοια ςυνϊρτηςησ Συςτόματα αρύθμηςησ Υπϊρχουν προαπαιτούμενεσ γνώςεισ για το μϊθημα; Γιατύ; Πώσ; Ποιεσ οι προαπαιτούμενεσ γνώςεισ; Γιατύ; Πώσ; Ποιεσ οι προαπαιτούμενεσ γνώςεισ; 2
Σκοπού Μαθηματικών Γιατύ; Τα Μαθηματικά αποτελούν ςχολικό μάθημα, αλλά και κομμάτι τησ καθημερινήσ ζωήσ! Γιατύ; Πώσ; Διδακτική Μαθηματικών Γιατύ; Πώσ; Ποιεσ οι προαπαιτούμενεσ γνώςεισ; Λογικό ςκϋψη Βαςικϋσ μαθηματικϋσ ϋννοιεσ και διαδικαςύεσ Εφαρμογό των μαθηματικών γνώςεων Επύλυςη προβλόματοσ 3
Απλοπούηςη κλϊςματοσ (1) Απλοπούηςη κλϊςματοσ (2) Απλοπούηςη κλϊςματοσ (3) Λογικό Ιςτορικό αναδρομό Ο Ευκλεύδησ, με το ϋργο του Στοιχεύα, χρηςιμοποιώντασ κϊποιεσ προτϊςεισ ωσ βϊςη του ςυςτόματόσ του (αξιώματα) παρόγαγε όλεσ τισ υπόλοιπεσ (θεωρήματα). Παραδεύγματα αξιωμϊτων: Από δύο ςημεύα διϋρχεται μύα μοναδικό ευθεύα. Κϊθε ευθεύα ϋχει ϊπειρα ςημεύα και εκτεύνεται απεριόριςτα και προσ τισ δύο κατευθύνςεισ χωρύσ κενϊ. 4
Λογικό Ιςτορικό αναδρομό Προτϊςεισ Ο όροσ λογικό με τη ςημερινό τησ ϋννοια αναφϋρεται πρώτη φορϊ από τον Αλϋξανδρο τον Αφροδιςιϋα (3οσ αι. μ.χ.). Ο Πλϊτων ιςχυριζόταν ότι εύναι αδύνατο κϊτι να ιςχύει και να μην ιςχύει ταυτόχρονα (Νόμοσ τησ αντύφαςησ, Πολιτεύα). Στον Αριςτοτϋλη οφεύλεται η δημιουργύα του πρώτου ςυςτόματοσ λογικών αρχών. Η πρόταςη εύναι μια γλωςςικό ενότητα, η οπούα εκφρϊζει κϊποιο νόημα. Παραδεύγματα: Η Μαρία ςχεδιάζει ένα τρίγωνο. Σχεδύαςε η Μαρύα το τρύγωνο; Μαρύα, ςχεδύαςε το τρύγωνο ςε παρακαλώ! Κοιτϊξτε, η Μαρύα ςχεδύαςε ϋνα τρύγωνο! Αποφαντικϋσ προτϊςεισ 1α. Μου αρϋςει το μπϊςκετ. 1β. Μου αρϋςει η καλαθοςφαύριςη. 2α. Η Μαρύα και ο Γιϊννησ μαλώνουν. 2β. Ο Γιϊννησ και η Μαρύα μαλώνουν. 3α. Ο Παρθενώνασ ςχεδιϊςτηκε από τουσ Ικτύνο και Καλλικρϊτη 3β. Οι Ικτύνοσ και Καλλικρϊτησ ςχεδύαςαν τον Παρθενώνα. ΟΜΩΣ: 4α. Θα ςε βαθμολογόςω και μετϊ θα ςου δώςω εργαςύα. 4β. Θα ςου δώςω εργαςύα και μετϊ θα ςε βαθμολογόςω. Ποιεσ εύναι προτϊςεισ; 1. Το 33 εύναι μεγαλύτερο του 32. 2. Η Πρϊγα εύναι πρωτεύουςα τησ Αυςτρύασ. 3. Ο όλιοσ θα λϊμπει για τα επόμενα 2000000000 χρόνια. 4. Η πρόταςη αυτό αποτελεύται από επτϊ λϋξεισ. 5. Η πρώτη ϋκφραςη αυτόσ τησ ϊςκηςησ εύναι πρόταςη. 6. Η δεύτερη ϋκφραςη αυτόσ τησ ϊςκηςησ εύναι αληθόσ πρόταςη. 7. Σασ αρϋςει η Λογικό; 8. Αν ςτο δύο προςθϋςουμε τρύα θα πϊρουμε τϋςςερα. 9. Η θϊλαςςϊ μασ περιλαμβϊνει 10 19 + 69 ψϊρια. 10. Γιατύ το διϊβαςεσ αυτό; 11. Υπϊρχει ϋνα πρϊςινο τετρϊδιο ςτο κομοδύνο. 12. Φύγε από εδώ αμϋςωσ. 13. Ο αριθμόσ 3 διαιρεύ τον αριθμό 10. 14. Ο αριθμόσ 3 εύναι περιττόσ. 5
Λογικού Σύνδεςμοι Ο Επιμενύδησ, ο οπούοσ καταγόταν από την Κρότη, ϋλεγε: «Όλοι οι Κρητικού εύναι ψεύτεσ». Μπορεύ η απόφανςό του να εύναι πρόταςη; Η γωνύα Α εύναι οξεύα. Η γωνύα Β εύναι αμβλεύα. Η γωνύα Α εύναι οξεύα και η γωνύα Β εύναι αμβλεύα Ούτε η γωνύα Α εύναι οξεύα ούτε η γωνύα Β εύναι αμβλεύα Πύνακασ αληθοτιμών Η γωνύα Α εύναι οξεύα Η γωνύα Β εύναι αμβλεύα Η γωνύα Α εύναι οξεύα και η γωνύα Β εύναι αμβλεύα Ούτε η γωνύα Α εύναι οξεύα ούτε η γωνύα Β εύναι αμβλεύα Ψ Α Ψ Ψ Ψ Ψ Α Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Α Λογικού Σύνδεςμοι Λογικόσ Διαβάζεται Λογική πράξη ςύνδεςμοσ ό όχι Ϊρνηςη..ό.. Εγκλειςτικό Διϊζευξη ό μόνο...ό μόνο Αποκλειςτικό Διϊζευξη και Σύζευξη εϊν,...,τότε Συνεπαγωγό εϊν, και μόνο εϊν Ιςοδυναμύα 6
Ϊρνηςη Ονομϊζουμε ϊρνηςη μιασ αρχικόσ πρόταςησ p μια νϋα πρόταςη, η οπούα ςυμβολύζεται με p διαβϊζεται : «όχι p» και εύναι αληθόσ αν η p εύναι ψευδόσ και ψευδόσ αν η p εύναι αληθόσ. Βρεύτε τισ αρνόςεισ των προτϊςεων: 1. Το κουτύ εύναι μαύρο. 2. Ο αριθμόσ εύναι ρητόσ. 3. Το τρύγωνο εύναι ορθογώνιο. 4. 2x >3 5. Όλα τα ςτοιχεύα του Α εύναι μικρότερα του 7. 6. Υπϊρχουν τουλϊχιςτον δύο τεμπϋληδεσ ςτην τϊξη. Σύζευξη Ονομϊζουμε ςύζευξη δύο αρχικών προτϊςεων p και q μια νϋα πρόταςη, η οπούα ςυμβολύζεται με p q, διαβϊζεται «p και q» και εύναι αληθόσ μόνο αν και οι δύο προτϊςεισ p, q εύναι αληθεύσ. p q p q Α Ψ Ψ Ψ Α Ψ Ψ Ψ Ψ (Εγκλειςτικό) διϊζευξη Ονομϊζουμε εγκλειςτικό διϊζευξη ό απλϊ διϊζευξη δύο αρχικών προτϊςεων p και q μια νϋα πρόταςη, η οπούα ςυμβολύζεται με p q, διαβϊζεται «p ό q» και εύναι ψευδόσ μόνο αν και οι δύο προτϊςεισ p, q εύναι ψευδεύσ. p q p q Α Ψ Α Ψ Α Α Ψ Ψ Ψ 7
Αποκλειςτικό Διϊζευξη Ονομϊζουμε αποκλειςτικό διϊζευξη δύο αρχικών προτϊςεων p και q μια νϋα πρόταςη, η οπούα ςυμβολύζεται με p q, διαβϊζεται «ό μόνο p ό μόνο q» η οπούα εύναι ψευδόσ μόνο αν οι p,q ϋχουν την ύδια τιμό αληθεύασ. p q p q Α Α Ψ Α Ψ Α Ψ Α Α Ψ Ψ Ψ Συνεπαγωγό Ονομϊζουμε ςυνεπαγωγό δύο αρχικών προτϊςεων p και q μια νϋα πρόταςη, η οπούα ςυμβολύζεται με p q, διαβϊζεται «αν p τότε q» και εύναι ψευδόσ μόνο αν η p εύναι αληθόσ και η q εύναι ψευδόσ. p q p q Α Ψ Ψ Ψ Α Α Ψ Ψ Α Συνεπαγωγό p: Το ποτόρι περιϋχει βότκα q: Υπϊρχει αλκοόλ ςτο ποτόρι p q : Εϊν το ποτόρι περιϋχει βότκα τότε υπϊρχει αλκοόλ ςτο ποτόρι p q p q Α Ψ Ψ Ψ Α Α Ψ Ψ Α Συνεπαγωγό p: Με απατϊσ q: Σε χωρύζω p q: Αν με απατόςεισ θα ςε χωρύςω p q p q Α Ψ Ψ Ψ Α Α Ψ Ψ Α 8
Κρυμμϋνεσ ςυνεπαγωγϋσ Ο βόχασ και ο ϋρωτασ δεν κρύβονται Η εύςοδοσ δεν επιτρϋπεται ςε ανόλικουσ Το παραλληλόγραμμο που ϋχει μύα γωνύα ορθό ονομϊζεται ορθογώνιο. Συνεπαγωγό; «Αν με καλέςεισ ςτο πάρτι ςου, θα ςε καλέςω ςτο δικό μου». Τι παριςτάνουν τα p και q αν η πρόταςη αυτή γραφεί ςύμφωνα με τη μορφή p q; Νομίζετε πωσ ο ομιλητήσ εννοούςε περιςςότερα από όςα είπε; Τι θα έπρεπε να πει για να κάνει το νόημα τησ πρόταςησ εντελώσ ξεκάθαρο; Ιςοδυναμύα Ονομϊζουμε ιςοδυναμύα δύο αρχικών προτϊςεων p και q μια νϋα πρόταςη, η οπούα ςυμβολύζεται με p q, διαβϊζεται «p ιςοδυναμεύ q» και εύναι αληθόσ αν και μόνο αν οι p, q ϋχουν την ύδια τιμό αληθεύασ. p q p q Α Ψ Ψ Ψ Α Ψ Ψ Ψ Α Ϊςκηςη Ποιεσ από τισ παρακϊτω προτϊςεισ εύναι αληθεύσ και ποιεσ ψευδεύσ; α. Το 5 εύναι μικρότερο του 6. β. Το 5 εύναι μικρότερο ό ύςο του 6. γ. Το 5 εύναι μικρότερο ό ύςο του 5. δ. Το 5 εύναι μεγαλύτερο ό ύςο του 5. 9
Θα πϊω ςτην Αθόνα και θα ςυναντόςω τουσ φύλουσ μου ό θα μελετόςω. p: Θα πϊω ςτην Αθόνα q: θα ςυναντόςω τουσ φύλουσ μου r: θα μελετόςω p q r p q r Σχεδιϊςτε τον πύνακα αληθοτιμών! p q r r Ψ Α Α Ψ Α Α Ψ Α Α Α Ψ Ψ Ψ Ψ Α Α Ψ Ψ Α Ψ Α Ψ Ψ Α Α Ψ Ψ Ψ Ψ q p q r q r p q r r p q Ψ Ψ Α Α Ψ Α Α Α Ψ Α Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Α Α Ψ Ψ Ψ Α Ψ Α Ψ Ψ Ψ Α Α Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ p q r q r r p q Ψ Ψ Α Α Ψ Α Α Α Ψ Α Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Α Α Ψ Ψ Ψ Α Ψ Α Ψ Ψ Ψ Α Α Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ p q r 10
Διαφορετικϋσ αληθοτιμϋσ, ϊρα οι ςύνθετεσ προτϊςεισ δεν εύναι ιςοδύναμεσ. p q r q r p q r p q r Ψ Ψ Ψ Α Α Ψ Α Ψ Α Α Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Α Α Ψ Ψ Α Ψ Α Ψ Α Ψ Ψ Ψ Ψ Α Α Ψ Α Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ 1. Το ϊθροιςμα των γωνιών κϊθε τριγώνου εύναι 180 μούρεσ και το τετρϊγωνο εύναι παραλληλόγραμμο. 2. Αν ο 5 εύναι ϊρτιοσ, τότε αν ο 7 εύναι περιττόσ, ςόμερα εύναι Τρύτη. 3. Το 7 διαιρεύ το 14 όταν και μόνο όταν το 4 δεν εύναι περιττόσ. 4. Δεν ιςχύει ότι: το 7 εύναι περιττόσ και το 4 δεν εύναι ϊρτιοσ. 11