Πρόσθεση Στροφορμών
Δομή Διάλεξης Ορισμός Ολικής Στροφορμής Σχέση βάσης ολικής στροφορμής (j,m j ) με βάση επιμέρους στροφορμών (m 1,m 2 ) Συντελεστές μετάβασης (Glebsch-Gordon) για σύνθεση από l=1, s=1/2 Συντελεστές μετάβασης (Glebsch-Gordon) για σύνθεση από s 1 =1/2, s 2 =1/2 Σύνοψη - Ασκήσεις
Ολική Στροφορμή J Έστω σωμάτιο με τροχιακή στροφορμή L=(L x, L y, L z ) και spin S=(S x, S y, S z ). Ορίζουμε το άθροισμα J=L+S. Θα δούμε ότι το J ικανοποιεί σχέσεις μετάθεσης στροφορμής Οι σχέσεις μετάθεσης της τροχιακής στροφορμής L εκφράζονται περιεκτικά ως: Αντίστοιχα για το spin έχουμε: Ισχύει ακόμα: (ανεξάρτητες στροφορμές)
Ολική Στροφορμή J Επομένως δείξαμε ότι: Άρα για την ολική στροφορμή J ισχύουν όσα δείξαμε για τα άλλα είδη στροφορμών χρησιμοποιώντας μόνο τις σχέσεις μετάθεσης: Το J 2 =J x2 +J y2 +J z 2 μετατίθεται με μια συνιστώσα (πχ J z ) και έχει κοινό σύστημα ιδιοκαταστάσεων (βάση) με αυτή. όπου το j παίρνει ακέραιες και ημιακέραιες τιμές και το m j παίρνει τις τιμές: +6a
Σχέση J 2 με L 2 και S 2 Έχουμε ότι: x y x y x y x y LxSx LyS y ilxs y ilysx LxSx LyS y ilxs y ilysx 2LxSx LyS y L S L S L il S is L il S is +6b Χρήσιμές σχέσεις μετάθεσης: +6c Το J 2 έχει κοινές ιδιοκαταστάσεις με τα L 2 και S 2 αλλά όχι και με τα L z και S z!
Δύο σετ μετατιθέμενων στροφορμών Το J 2 έχει κοινές ιδιοκαταστάσεις με τα L 2 και S 2 αλλά όχι και με τα L z και S z! Ακόμα το J z =L z +S z έχει κοινές ιδιοκαταστασεις με όλες τις στροφορμές αφου Άρα υπάρχουν δυο σετ μετατιθέμενων μεγεθών Σετ (1): Κοινές ιδιοκαταστάσεις, ταυτόχρονη μέτρηση χωρίς αβεβαιότητα Σετ (2): Κοινές ιδιοκαταστάσεις, ταυτόχρονη μέτρηση χωρίς αβεβαιότητα Όμως το J 2 δεν μπορεί να μετρηθεί ταυτόχρονα με τα L z και S z αφού
Δύο σετ μετατιθέμενων στροφορμών Άρα υπάρχουν δυο σετ μετατιθέμενων μεγεθών Σετ (1): Κοινές ιδιοκαταστάσεις, ταυτόχρονη μέτρηση χωρίς αβεβαιότητα Σετ (2): Κοινές ιδιοκαταστάσεις, ταυτόχρονη μέτρηση χωρίς αβεβαιότητα Βάση (1):
Δύο σετ μετατιθέμενων στροφορμών Βάση (1): Οι ιδιοκαταστάσεις του σετ (1) είναι και ιδιοκαταστασεις του J z Επομένως για το m j του σετ (2) ισχύει η σύνδεση με το σετ (1):
Δύο σετ (βάσεις) μετατιθέμενων Βάση (1): στροφορμών m,m s >, J,m j > Βάση (2): όπου
Σύνδεση των δύο βάσεων: Άτομο Υδρογόνου Βάση (1) στο άτομο υδρογόνου: Ιδιοκατάσταση των Μετάβαση σε βάση (2): +6d όπου α, β σταθερές που θα προσδιοριστούν με χρήση των και
Εύρεση α και β 2 J Y Y L S L S L S L S Y Y 2 2 2 lm lm1 z z lm lm1 2 2 3 2 1/ 2 2 j j 1 Ylm Ylm 1 l l 1 Ylm Ylm mylm l l 1 m m 1 Ylm 1 4 2 3 2 1/ 2 2 l l 1 Ylm 1 Ylm 1 m 1Ylm 1 l l 1 mm 1 Ylm 4 3 1/ 2 j j 1 l l 1 m l l 1 m m 1 0 4 3 1/ 2 j j 1 l l 1 m 1 l l 1 m m 1 0 4
Εύρεση α και β Άρα έχουμε: 3 1/ 2 j j 1 l l 1 m l l 1 mm 1 0 4 3 1/ 2 j j 1 l l 1 m 1 l l 1 mm 1 0 4 +6e που γράφεται και ως: όπου με λύση 1/ 2 l ml m 1 xm1 x m l ml m 1 l ml m 1 x mx m 1 1/ 2 2 2 2 2 l lm l lm m m x xm x xm m m 1 x x 1 l l
Εύρεση α και β Επομένως έχουμε Για την μία λύση: Όμοια δείχνουμε: Γενικά ισχύει: 1 x x 1 1/ 2 l m l m 1 xm1 1/ 2 x m l ml m 1 l l x l x l1 3 3 0 2 0 4 4 2 2 2 2 x l j j l l l j j l l 2 1 1 4l 8l 3 1 2 l 1 j0 1 j j l 2 2 2 1 x l 1 j l +6h 2 j j j min 1 2 j j j max 1 2 +6f +6i (δείτε και Τραχανά Κβαντομηχανική ΙΙ) Η απόδειξη γίνεται με χρήση της σχέσης m j =m j1 +m j2 και εύρεση όλων των δυνατών m J που αντιστοιχούν σε ζεύγος m j1,m j2. Μετά, από τα m j βρίσουμε και τα αντίστοιχα j. +6g
Σύνδεση βάσεων: Συντελεστές Glebsch-Gordon l ml m 1 1/ 2 x m x l 1 j l 2 +6j l ml m 1 1/ 2 x m x l1 1 j l 2 +6k aγνοούμε τους κοινούς δείκτες l, 1/2 Συντελεστές Glebsch-Gordon
Σύνδεση βάσεων: Συντελεστές Glebsch-Gordon +6l Συντελεστές Glebsch-Gordon
Ειδική Περίπτωση l=1 Συντελεστές Glebsch-Gordon +6m +6n
Ειδική Περίπτωση l=1 Συντελεστές Glebsch-Gordon
Ειδική Περίπτωση s 1 =s 2 =1/2 Αντί για θεωρούμε Βάση (1): Βάση (2):
Ειδική Περίπτωση s 1 =s 2 =1/2 Συντελεστές Glebsch-Gordon Κατάσταση Triplet Κατάσταση Singlet
Σύνοψη Για την περιγραφή συστημάτων που συνθέτονται από υποσυστήματα με στροφορμή μπορούν να χρησιμοποιηθούν δύο βάσεις καταστάσεων: η βάση των επιμέρους στροφορμών και η βάση της ολικής στροφορμής Οι δύο βάσεις συνδέονται με χρήση των συντελεστών Glebsch-Gordon. Οι συντελεστές Glebsch-Gordon δίνουν την πιθανότητα μέτρησης τιμών για τις επιμέρους στροφορμές όταν έχει μετρηθεί αρχικά η ολική στροφορμή (οπότε αρχικά το σύστημα περιγράφεται από ιδιοκατάσταση της ολικής στροφορμής). Οι συντελεστές Glebsch-Gordon υπολογίστηκαν σε απλές περιπτώσεις συστημάτων όπου η μία από τις δύο επιμέρους στροφορμές αντιστοιχεί σε spin ½.
Άσκηση 1 Ηλεκτρόνιο σε άτομο υδρογόνου βρίσκεται στην κατάσταση Βρείτε τις πιθανές τιμές και τις αντίστοιχες πιθανότητες που αντιστοιχούν σε μέτρηση των μεγεθών L 2, L z, S 2, S z, J 2, J z. Ποια είναι η πυκνότητα πιθανότητας να βρεθεί το σωμάτιο στην θέση r, θ, φ; Ποια είναι η αντίστοιχη πυκνότητα πιθανότητας να βρεθεί το σωμάτιο σε θέση r με spin πάνω; Έχουμε και για τις δύο καταστάσεις που υπερτίθενται l=1. Επομένως για το L 2 θα μετρηθεί η τιμή ћ 2 1(1+1)=2 ћ 2 με πιθανότητα 1. Για το L z θα μετρήσουμε 0 με πιθανότητα 1/3 και ћ με πιθανότητα 2/3. Έχουμε και για τις δύο καταστάσεις που υπερτίθενται s=1/2. Επομένως για το S 2 θα μετρηθεί η τιμή ћ 2 1/2(1/2+1)=3/4 ћ 2 με πιθανότητα 1. Για το J 2 θα πρέπει να εκφράσουμε την κατάσταση στην βάση (2) j,m j >. Έχουμε: (1) (1) 1/ 3 2 / 3 1/ 3 2 / 3 R Y Y R 21 1,0 1,1 21 1 1 0, 1, 2 2 (2) (2) (2) (2) R21 1/ 3 2 / 3 3 1 1/ 3 1 1 2 / 3 1/ 3 3 1 2 / 3 1 1,,,, 2 2 2 2 2 2 2 2 R 2 2 1 (2) (2) 21 3 1 1 1 3,, 2 2 3 2 2
Άσκηση 1 Για το J 2 θα πρέπει να εκφράσουμε την κατάσταση στην βάση (2) j,m j >. Έχουμε: (1) (1) 1/ 3 2 / 3 1/ 3 2 / 3 R Y Y R 21 1,0 1,1 21 1 1 0, 1, 2 2 (2) (2) (2) (2) R21 1/ 3 2 / 3 3 1 1/ 3 1 1 2 / 3 1/ 3 3 1 2 / 3 1 1,,,, 2 2 2 2 2 2 2 2 R 2 2 1 (2) (2) 21 3 1 1 1 3,, 2 2 3 2 2 R 2 2 1 (2) (2) 21 3 1 1 1 3,, 2 2 3 2 2 Για το J 2 θα μετρήσουμε ћ 2 3/2(3/2+1)=15/4 ћ 2 με πιθανότητα 8/9 και μετρήσουμε ћ 2 1/2(1/2+1)=3/4 ћ 2 με πιθανότητα 1/9 R 2 2 1 (2) (2) 21 3 1 1 1 3,, 2 2 3 2 2 Για το J z θα μετρήσουμε ½ ћ με πιθανότητα 1. Η πυκνότητα πιθανότητας να βρεθεί το σωμάτιο στην θέση r, θ, φ είναι: 2 21 1,0 1,1 P r,, R 1/ 3 Y 2/3 Y r sin 2 2 2 2 Η πυκνότητα πιθανότητας να βρεθεί το σωμάτιο στην θέση r, θ, φ με spin πάνω είναι: 2 2 2 2,, 1/ 3 sin P r R Y r 21 1,0
Άσκηση 2 Δυο σωμάτια με spin ½ αλληλεπιδρούν σύμφωνα με την Χαμιλτονιανή: H A s1 s2 όπου Α δεδομένη σταθερά. Βρείτε τις ενεργειακές ιδιοτιμές του συστήματος και τον αντίστοιχο εκφυλισμό. Το ολικό spin του συστήματος είναι της μορφής: 2 S s s s s 2 s s 2 2 2 1 2 1 2 1 2 A 2 2 2 Άρα η Χαμιλτονιανή εκφράζεται συναρτήσει του ολικού spin ως: H S s1 s2 και οι ιδιοτιμές δύνονται από την σχέση: A A 1 1 1 1 2 2 1 1 3/ 2 2 2 2 2 E S S s s s s S S Οι δυνατές τιμές του S είναι 0 και 1 με εκφυλισμούς (2S+1) (1 και 3 αντίστοιχα). 2
Άλυτες Ασκήσεις 1. Θεωρήστε δύο ηλεκτρόνια σε κατάσταση s=0 (singlet). a. Μέτρηση της z συνιστώσας του spin του ενός ηλεκτρονίου δίνει την τιμή S z =ћ/2. Ποια η πιθανότητα να μετρηθεί η ίδια συνιστώσα του άλλου ηλεκτρονίου στην τιμή ћ/2. b. Μέτρηση της y συνιστώσας του spin του ενός ηλεκτρονίου δίνει την τιμή S y =ћ/2. Ποια η πιθανότητα να μετρηθεί η x συνιστώσα του spin του άλλου ηλεκτρονίου στην τιμή S x =-ћ/2. c. Αν το ηλεκτρόνιο 1 είναι στην κατάσταση cosα 1 χ + +sinα 1 e iβ1 χ - και το ηλεκτρονιο 2 στην κατάσταση cosα 2 χ + +sinα 2 e iβ2 χ - ποια είναι η πιθανότητα να βρεθεί το σύστημα σε κατάσταση ολικού spin s=1 (triplet)? 2. Βρείτε τους συντελεστές Glebsch-Gordon για l,1/2,j,m-1/2.
Άλυτες Ασκήσεις 3. Αποδείξτε τις σχέσεις που δεν αποδείξαμε (ή που σχεδόν αποδείξαμε) στην διάλεξη: x x l l1
Άλυτες Ασκήσεις 4. Αποδείξτε τις σχέσεις που δεν αποδείξαμε (ή που σχεδόν αποδείξαμε) στην διάλεξη:
Άλυτες Ασκήσεις 5. Αποδείξτε τις σχέσεις που δεν αποδείξαμε (ή που σχεδόν αποδείξαμε) στην διάλεξη: 6. Σύστημα νετρονίου πρωτονίου με μηδενική τροχιακή στροφορμή διέπεται από το δυναμικό: όπου σ 1 (σ 2 ) το διάνυσμα των πινάκων Pauli που αντιστοιχεί στο νετρόνιο (πρωτόνιο). Α. Δείξτε ότι:
Άλυτες Ασκήσεις 6. Σύστημα νετρονίου πρωτονίου με μηδενική τροχιακή στροφορμή διέπεται από το δυναμικό: όπου σ 1 (σ 2 ) το διάνυσμα των πινάκων Pauli που αντιστοιχεί στο νετρόνιο (πρωτόνιο). Α. Δείξτε ότι: Β. Βρείτε την μέση τιμή του δυναμικού στην κατάσταση ολικού spin s=1 (triplet) και ολικού spin s=0 (singlet).