Εαρινό εξάμηνο 2012 26.04.12 Χ. Χαραλάμπους
René Descartes (Γαλλία) 1596 1650 φιλόσοφος Cogito ergo sum Σκέφτομαι άρα υπάρχω
1637 La dioptrique, Les meteores, La geometrie
Καρτεσιανή γεωμετρία=αναλυτική γεωμετρία Στόχος του: «κάθε πρόβλημα της γεωμετρίας μπορεί εύκολα να μετατραπεί έτσι ώστε η γνώση των μηκών ορισμένων ευθύγραμμων τμημάτων να αρκεί για την κατασκευή του.» Συστηματική χρήση της συμβολικής άλγεβρας: σύγχρονος αλγεβρικός συμβολισμός είναι βασισμένος στον συμβολισμό του Descartes. (μετατροπή ενός γεωμετρικού προβλήματος σε αλγεβρικό)
Descartes θεωρούσε τις παραμέτρους και τους αγνώστους ευθύγραμμα τμήματα. Για παράδειγμα: x τετράγωνο και x κύβος ερμηνεύονται και αυτά ως ευθύγραμμα τμήματα. AB=1, τότε BD BC= BE Μπορεί κανείς να ερμηνεύσει με τον ίδιο τρόπο και ριζικά?
Λύση: LM=b, LN=a/2 (Geometrie) z=om
Χρήση συντεταγμένων: Παράδειγμα: Γιατηλύσητουπροβλήματοςτου Απολλώνιου: όλες οι γραμμές δίνονται αναφορικά με δύο: EG (x), CT (y)
Απολλώνιο πρόβλημα: κατασκευή κύκλων (με κανόνα και διαβήτη), που είναι εφαπτόμενοι σε τρεις δεδομένους κύκλους στο επίπεδο. Το πρόβλημα έθεσε ο Απολλώνιος ο Περγαίος (περ. 262 π.χ. περ. 190 π.χ.) στο έργο του «Επαφαί».
«Ελπίζω ότι το μέλλον θα με κρίνει με ευγενικά όχι μόνο για τα πράγματα που εξήγησα, αλλά και για αυτά που παρέλειψα για να αφήσω σε άλλους τη χαρά της ανακάλυψης.»
Marin Mersenne (Γαλλία)1588 1648 «Ινστιτούτο (ανταλλαγής γνώσεων) μαθηματικών» πρώτοι αριθμοί του Mersenne
Pierre de Fermat (Γαλλία) 1601 1665 δικηγόρος ουσιαστική συμβολή στην ανάπτυξη της Αναλυτική Γεωμετρίας με τη μελέτη Ad locos planos et solidos isagoge (1636, χειρόγραφο) Ημερομηνία δημοσίευσης: 1679
Descartes και η κάθετη ευθεία (στην εφαπτομένη) μιας καμπύλης ΙΔΕΑ: να βρεθεί ο κύκλος (καιτοκέντροτου) που εφάπτεται της καμπύλης στο συγκεκριμένο σημείο. Η ακτίνα του κύκλου είναι η ζητούμενη κάθετος. Για να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται της καμπύλης στο σημείο C με κέντρο P πάνω στο άξονα των συντεταγμένων, θεωρούμε τη γενική εξίσωση του κύκλου με ακτίνα CP, βρίσκουμε το δεύτερο σημείο τομής κύκλου και καμπύλης και ψάχνουμε να βρούμε πότε τα δύο σημεία τομής ταυτίζονται.
Σημαντικά στην εικόνα και στην επακόλουθη ανάλυση: Οάξοναςτωνx είναι η ευθεία ΑP. Έτσι x είναι το ευθύγραμμο τμήμα AM. Αν y=f(x) είναι η εξίσωση της καμπύλης τότε το σημείο C πάνω στη καμπύλη ACE απέχει y από την ευθεία ΑP. Οκύκλος μεκέντροp: το ευθύγραμμο τμήμα AP έχει μήκος v και το P απέχει απόσταση 0 από τον άξονα των x, δηλαδή P: (v,0). Ηακτίναn=PC δίνεται από το Πυθαγόρειο Θεώρημα. To n καθορίζεται από το v, αφού η μία πλευρά του τριγώνου είναι v-x, και η άλλη πλευρά είναι y=f(x). Ψάχνουμε να βρούμε το v.
(Descartes για την μέθοδό του)
Fermat και εφαπτομένη μίας καμπύλης ΙΔΕΑ: Έστω Β το σημείο της καμπύλης y=f(x), και Α πάνω στην εφαπτομένη. Αν το Α είναι πολύ κοντά στο Β και F είναι το σημείο τομής της καμπύλης και του ευθ. τμήματος ΑΙ (που είναι κάθετο στον άξονα των x) τότε AI είναι σχεδόν ίσο με το FI. Θέλουμε να βρούμε την κλίση της ΕΑ, δηλ. το BC/EC. Το τμήμα EC έχει μήκος t, (το t είναι άγνωστο.) Τονίζουμε ότι ο άξονας των x είναι η ευθεία EC και ότι το τμήμα DC έχει μήκος x. Το τμήμα BC έχει μήκος f(x).
Aπό τα όμοια τρίγωνα AEI και BEC προκύπτει ότι FI/BC είναι σχεδόν ίσο με ΕΙ/ΕC. Όταν λοιπόν το e είναι πολύ μικρό τότε f(x+e)/f(x) είναι σχεδόν ίσο με (t+e)/t και t f(x+e) είναι σχεδόν ίσο με (t+e) f(x).
Να ελέγξετε αν η μέθοδος του Fermat ισοδυναμεί με το να υπολογίζει κανείς το όριο (παράγωγο)
Η καμπύλη του Descartes και η πρόκληση στον Fermat να βρει την εφαπτομένη. (1638)
Τετραγωνισμός και εμβαδόν (αδιαίρετα + απειροστά) Αρχιμήδης για το εμβαδόν παραβολικού τμήματος χρησιμοποίησε τρίγωνα. Cavalieri (1635), Fermat +Roberval (1636, αλληλογραφία) 1598-1647 1601-1665 1602-1675
Με τη μέθοδο των «αδιαιρέτων» ο Cavalieri είχε οδηγηθεί στο παρακάτω γενικό συμπέρασμα για το παρακάτω εμβαδό (έχοντας αποδείξει τον τύπο μέχρι και για n=9) Οι Fermat και Roberval το απέδειξαν.
ΗαπόδειξητωνFermat+ Roberval (+ Pascal)
(Fermat)