Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 1 ου κεφαλαίου Βιβλίο: Κολυβά Μαχαίρα, Φ. & Χατζόπουλος Στ. Α. (2016). Μαθηματική Στατιστική, Έλεγχοι Υποθέσεων. [ηλεκτρ. βιβλ.] Αθήνα: Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών Βιβλιοθηκών. Διαθέσιμο στο: http://hdl.handle.net/11419/1899320117. [320117] Σταύρος Χατζόπουλος 20/02/2017
Ορισμός 1.13. Τυχαίο δείγμα (τ.δ.) (random sample) είναι ένα πεπερασμένο σύνολο ανεξάρτητων πραγματοποιήσεων,,, της ίδιας τ.μ. Οαριθμός ονομάζεται μέγεθος του δείγματος. Τα αποτελέσματα δοκιμών σημειώνονται με x,,, και δεν είναι τυχαίες μεταβλητές, ενώ το τ.δ. X,,, είναι τ.μ. Το τ.δ. είναι μια πολυδιάστατη τ.μ. με συνιστώσες ανεξάρτητες και ισόνομες τ.μ. Αν είναι η τ.μ. από την οποία προέρχεται το δείγμα, τότε ισχύει ότι:, Var Var, 1,2,,. Το δείγμα προέρχεται από πληθυσμό ο οποίος μπορεί να είναι άπειρου πλήθους, πεπερασμένου ή το πολύ αριθμήσιμου πλήθους. Στην περίπτωση που ο πληθυσμός είναι άπειρος, τότε οι τ.μ.,,, είναι ανεξάρτητες και ισχύει,,,, όπου,,, είναι η από κοινού κατανομή του τ.δ. X,,, και είναι η κατανομή της τ.μ..
Στην πράξη συνήθως η συναρτησιακή μορφή της είναι γνωστή, σε αντίθεση με τις παραμέτρους που είναι άγνωστες και πρέπει να εκτιμηθούν. Το συγκεκριμένο πρόβλημα αποτελεί το αντικείμενο της Παραμετρικής Στατιστικής. Με τη βοήθεια ενός τ.δ. γίνεται προσπάθεια να προσδιοριστούν οι άγνωστες παράμετροι της κατανομής που μελετάται. Στο εξής, η θα συμβολίζεται με ;, για να δηλωθεί ότι η κατανομή εξαρτάται από την άγνωστη παράμετρο. Στην περίπτωση που υπάρχει μόνο μια άγνωστη παράμετρος θα χρησιμοποιείται ο συμβολισμός ;. Αν οι άγνωστες παράμετροι είναι περισσότερες από μια, τότε θ,,,, θα είναι το διάνυσμα των παραμέτρων και η σ.π.π. θα συμβολίζεται με ; θ.
Στην κατανομή Poisson, η οποία έχει σ.π.:, 0, 1,, 0,! η παράμετρος είναι το και ο παραμετρικός χώρος είναι Ω0,. Στη διωνυμική κατανομή,, η οποία έχει σ.π.: 1, 0, 1,,, 0 1, το μέγεθος του δείγματος είναι γνωστό, η παράμετρος είναι η πιθανότητα και Ω 0,1. Στην εκθετική κατανομή, η οποία έχει σ.π.π.:, 0, 0 η παράμετρος είναι το και Ω0,.
Στην κανονική κατανομή,, η οποία έχει σ.π.π.: 1 2,, υπάρχουν δύο παράμετροι, οι οποίες είναι οι και. : άγνωστο και γνωστό. Ο δειγματοχώρος είναι Ω. : άγνωστο και : γνωστό. Ο δειγματοχώρος είναι Ω0, άγνωστο και : άγνωστο. θ, και Ω. Στην κατανομή γάμμα,, η οποία έχει σ.π.π.:, 0, οι παράμετροι είναι οι 0και 0. : άγνωστο και : γνωστό. Ο δειγματοχώρος είναι Ω0,. : άγνωστο και : γνωστό. Ο δειγματοχώρος είναι Ω0, άγνωστο και : άγνωστο. θ, και Ω.
Στην κατανομή βήτα,, η οποία έχει σ.π.π.: 1,0 1,, οι παράμετροι είναι οι 0και 0. : άγνωστο και : γνωστό. Ο δειγματοχώρος είναι Ω0,. : άγνωστο και : γνωστό. Ο δειγματοχώρος είναι Ω0, άγνωστο και : άγνωστο. θ, και Ω. Στην κατανομή Pareto,της οποίας η σ.π.π. είναι:,, 0, 0, οι παράμετροι είναι οι και. Επομένως, θ,). : άγνωστο και : γνωστό. Ο δειγματοχώρος είναι Ω0, : άγνωστο και : γνωστό. Ισχύει ότι Ω0, : άγνωστο και : άγνωστο. θ, και Ω.
Ορισμός 1.14. Έστω X,,, τ.δ. από τ.μ.. Κάθε μετρήσιμη συνάρτηση,,,, που δεν περιέχει άγνωστες παραμέτρους, καλείται στατιστική συνάρτηση (στ.σ.). Το πεδίο ορισμού της στ.σ. είναι ο δειγματοχώρος, ενώ το πεδίο τιμών είναι ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών. Ορισμός 1.15. Εκτιμήτρια συνάρτηση ή εκτιμητής της παραμέτρου καλείται μια στατιστική συνάρτηση Χ που έχει πεδίο τιμών τον παραμετρικό χώρο Ω καισυμβολίζεταιμε. Ηεκτιμήτρια συνάρτηση είναι τυχαία μεταβλητή. Ητιμήx της εκτιμήτριας συνάρτησης για ένα συγκεκριμένο τ.δ. x,,, καλείται εκτίμηση της παραμέτρου. Με την εκτίμηση παραμέτρων του πληθυσμού ασχολείται η Εκτιμητική και προτείνει δύο ειδών εκτιμητές: εκτιμητές σε σημείο και εκτιμητές σε διάστημα.
Προφανώς, οι στατιστικές συναρτήσεις περιέχουν τ.μ., με συνέπεια να είναι και οι ίδιες τ.μ. Αν οι τ.μ., αντικατασταθούν με τις τιμές,, τότε η τιμή της στατιστικής συνάρτησης είναι μια συγκεκριμένη πραγματική τιμή. Ο πραγματικός αυτός αριθμός ονομάζεται τιμή της στατιστικής συνάρτησης. Οι στ.σ. βοηθούνναοριστούνταστατιστικάτουδείγματοςαπότιςπαραμέτρουςτου πληθυσμού από τον οποίο προέρχεται. Τα στατιστικά αυτά είναι: Ο δειγματικός μέσος που ορίζεται ως: Η δειγματική ροπή r τάξης που ορίζεται ως: 1 1, 2,3,
Η δειγματική κεντρική ροπή r τάξης που ορίζεται ως: 1, 2,3, Για 2στον παραπάνω τύπο προκύπτει η δειγματική διασπορά που συμβολίζεται με: 1. Να σημειωθεί ότι ως δειγματική διασπορά τις περισσότερες φορές χρησιμοποιείται η ποσότητα: 1 1. Οι ποσότητες και που είναι ίσες με τις θετικές τετραγωνικές ρίζες των και, αντίστοιχα ονομάζονται δειγματική τυπική απόκλιση.
Έστω X,,, και Y,,, δύο τυχαία δείγματα από τις τ.μ. και, αντίστοιχα, τότε η δειγματική ή εμπειρική συνδιασπορά είναι: 1 1, ή 1, ενώ ο δειγματικός ή ο εμπειρικός συντελεστής συσχέτισης ισούται με:. Όπως κάθε τ.μ., έτσι και οι στ.σ., οι οποίες είναι τ.μ., ακολουθούν κάποια κατανομή.
Ορισμός 1.21. Ηκατανομήτηςτ.μ. ανήκει στην εκθετική οικογένεια κατανομών (Ε.Ο.Κ.) ήείναι μέλος της οικογένειας κατανομών Koopman Darmois όταν μπορεί να πάρει τη μορφή: όπου: ; exp, Το σύνολο ; 0 είναι ανεξάρτητο της παραμέτρου. Ησυνάρτηση είναι θετική στο σύνολο. Ησυνάρτηση είναι θετική για κάθε Ω. Ορισμός 1.22. Έστω X,,, μια διάστατη τ.μ. η οποία εξαρτάται από μια διάστατη παράμετρο θ,,,, όπου θ Ω, 1. Η κατανομή της τ.μ. Χ ανήκει στην εκθετική οικογένεια κατανομών, όταν μπορεί να πάρει τη μορφή:
όπου: x ;θ θ exp θ x x, Το σύνολο x x ;θ 0 είναι ανεξάρτητο της παραμέτρου θ. Ησυνάρτησηx είναι θετική στο σύνολο. Ησυνάρτησηθ είναι θετική για κάθε θ Ω. Από τους ορισμούς 1.21 και 1.22 προκύπτει ότι, αν η κατανομή της τ.μ. ανήκει στην Ε.Ο.Κ. και X,,, τ.δ. από αυτήν την τ.μ., τότε και η κατανομή της τ.μ. X ανήκει στην Ε.Ο.Κ. και X Τ.
Παράδειγμα 1.4. Να αποδειχθεί ότι η οικογένεια των διωνυμικών κατανομών, ανήκει στην οικογένεια κατανομών Koopman Darmois. Παράδειγμα 1.5. Να αποδειχθεί ότι η οικογένεια κατανομών Poisson ανήκει στην οικογένεια κατανομών Koopman Darmois. Παράδειγμα 1.6. Να αποδειχθεί ότι η κανονική κατανομή, κατανομών Koopman Darmois. ανήκει στην οικογένεια Παράδειγμα 1.7. Να αποδειχθεί ότι η ομοιόμορφη κατανομή, δενανήκειστηνοικογένεια κατανομών Koopman Darmois.
Η μέθοδος μεγίστης πιθανοφάνειας προτάθηκε πρώτη φορά από τον Gauss, πιστώνεται όμως στο Fisher γιατί αυτός πρώτος στο 1922 ερεύνησε τις ιδιότητες της μεθόδου. Ας είναι X,,, τ.δ. από κατανομή ; Ορισμός 1.27. Πιθανοφάνεια ονόμασε το 1912 ο R.A. Fisher την από κοινού κατανομή του δείγματος X, όταν η κατανομή θεωρείται συνάρτηση της παραμέτρου θ για δοσμένη τιμή του δείγματος και συμβολίζεται με: θ x x ; θ θ ;θ.
Ορισμός 1.28. Έστω x ;θ η συνάρτηση πιθανοφάνειας του τυχαίου δείγματος Χ,,,. Ο εκτιμητής θ λέγεται εκτιμητής μεγίστης πιθανοφάνειας (Ε.Μ.Π.) της παραμέτρου θ αν: x ;θ max x ; θ ή ισοδύναμα, αν ο εκτιμητής θ μεγιστοποιεί τη συνάρτηση lnx ;θ. Παρατηρήσεις. 1. Στην περίπτωση που η συνάρτηση πιθανοφάνειας είναι διαφορίσιμη, ο Ε.Μ.Π. είναι η λύση της εξίσωσης πιθανοφάνειας: ln 0, που ικανοποιεί τη σχέση: ln 0.
2. Για την εύρεση του μεγίστου της πιθανοφάνειας θ υπάρχουν οι ακόλουθες περιπτώσεις: να μην υπάρχει πεπερασμένο μέγιστο, να υπάρχει ακριβώς ένα μέγιστο, να υπάρχουν περισσότερα από ένα μέγιστα. Θεώρημα 1.21. Έστω Χ,,, τ.δ. από τ.μ. με κατανομή ; θ και θ ο Ε.Μ.Π. της παραμέτρου θ. Αν θ είναι μια αμφιμονοσήμαντη συνάρτηση της παραμέτρου θ, τότε ο Ε.Μ.Π. της συνάρτησης θ είναι ο θ. Παράδειγμα 1.12. Έστω τυχαίο δείγμα,,, από εκθετική κατανομή με σ.π.π. ;,,. Να υπολογισθεί ένας Ε.Μ.Π. για την παράμετρο. Επιπλέον, ναβρεθείητιμήτουεκτιμητή, αν από ένα δείγμα μεγέθους δίνονται οι παρατηρήσεις:,,, και.