ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης.
ΔΕΚΑΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ Παράδειγμα. Θεωρούμε για κάθε την συνάρτηση με πεδίο ορισμού [0, + ) και με τύπο (x) = x για κάθε x [0, + ). + x Έχουμε δει ότι 0 στο [0, + ). Τώρα, για κάθε έχουμε [0,+ ) = sup (x) x [0, + )} = sup [ = sup 0, ) =. x + x } x [0, + ) Η ισότητα x x [0, + )} = [0, ) προκύπτει από το ότι η f +x (x) = γνησίως αύξουσα και συνεχής στο [0, + ). [0,+ ) 0, 0 στο [0, + ). x είναι +x Στο γράφημα φαίνεται ότι, με σταθερό, μεταβάλλοντας το x στο [0, + ), το supremum των (x) 0 είναι και αυτό το supremum προσεγγίζεται όταν το x απακρύνεται προς τα δεξιά. Παράδειγμα. Θεωρούμε για κάθε την συνάρτηση με πεδίο ορισμού [0, + ) και με τύπο (x) = για κάθε x [0, + ). x + 2 Για κάθε x [0, + ) ισχύει (x) = x + 2 0 0 όταν +. στο [0, + ). 2
Τώρα, για κάθε έχουμε } [0,+ ) = sup (x) x [0, + )} = sup x [0, + ) x + ( 2 = sup 0, ] =. Η ισότητα x [0, + )} = (0, ] προκύπτει από το ότι η f x+ 2 (x) = γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο [0, + ). [0,+ ) 0, 0 στο [0, + ). x+ 2 είναι Στο γράφημα φαίνεται ότι, με σταθερό, μεταβάλλοντας το x στο [0, + ), το supremum των (x) 0 είναι και αυτό το supremum είναι η μέγιστη τιμή (0) της συνάρτησης στο [0, + ). Παράδειγμα. Θεωρούμε για κάθε την συνάρτηση με πεδίο ορισμού [0, + ) και με τύπο (x) = για κάθε x [0, + ). + x Για κάθε x [0, + ) ισχύει (x) = + x f, αν x = 0 0, αν 0 < x στο [0, + ), όπου f είναι η συνάρτηση στο [0, + ) με τύπο, αν x = 0 f(x) = 0, αν 0 < x Τώρα, για κάθε έχουμε (x) f(x) = 0, αν x = 0, +x όταν +. αν 0 < x 3
(x) f(x) x [0, + )} = 0} και, επένως, } x (0, + ) = 0} (0, ) = [0, ) + x f [0,] = sup (x) f(x) x [0, ]} =. δεν ισχύει f [0,+ ) 0, η ( ) δεν συγκλίνει σε καμιά συνάρτηση οιόμορφα στο [0, + ). Δείτε στο γράφημα ότι, με σταθερό, μεταβάλλοντας το x στο [0, + ), το supremum των (x) f(x) είναι και αυτό το supremum προσεγγίζεται όταν το x πλησιάζει το 0 από τα δεξιά (αλλά όχι όταν x = 0). Παράδειγμα. Θεωρούμε για κάθε την συνάρτηση με πεδίο ορισμού [0, ] και με τύπο x, αν 0 x (x) =, αν x x Έχουμε δει ότι Για κάθε έχουμε ότι 0 στο [0, ]. (x) = (x) για κάθε x [0, ] και ( f ) =. για κάθε το σύνολο (x) x [0, ]} έχει μέγιστο στοιχείο το, [0,] =. δεν ισχύει [0,] 0, η ( ) δεν συγκλίνει σε καμιά συνάρτηση οιόμορφα στο [0, ]. Παράδειγμα. Θεωρούμε για κάθε την συνάρτηση με πεδίο ορισμού R και με τύπο (x) = si(x) για κάθε x. 4
Έχουμε δει ότι Για κάθε βλέπουμε ότι ισχύει 0 στο R. (x) = si(x) για κάθε x, και, επένως, R R 0. 0 στο R. Παρατηρήστε ότι δεν χρειάστηκε να υπολογίσουμε ακριβώς την τιμή της οιόμορφης απόστασης R. Αποδείξαμε μόνο την ανισότητα R και αυτό ήταν αρκετό για να συμπεράνουμε ότι R 0. Γενικότερα, αν για μια ακολουθία συναρτήσεων ( ) και μια συνάρτηση f μπορούμε να αποδείξουμε ότι για κάθε ισχύει (x) f(x) για κάθε x A, όπου ( ) είναι μια ακολουθία αριθμών η οποία τείνει στο 0, τότε συνεπάγεται και, επένως, και συμπεραίνουμε ότι f A f A 0 f στο A. Ξαναγυρνώντας στο συγκεκριμένο παράδειγμα, μπορούμε, αν θέλουμε, να υπολογίσουμε ακριβώς την τιμή της οιόμορφης απόστασης R. Παρατηρούμε ότι ( π ) = και, επειδή ισχύει f 2 (x) για κάθε x, συνεπάγεται ότι το είναι το μέγιστο στοιχείο του συνόλου (x) x R}, R =. Τώρα θα δούμε ότι με την οιόμορφη σύγκλιση έχουμε πιο ικανοποιητικές απαντήσεις στα τρία ερωτήματα που διατυπώθηκαν στο προηγούμενο μάθημα απ ότι με την κατά σημείο σύγκλιση. ΘΕΩΡΗΜΑ. Έστω f στο A. Αν κάθε είναι συνεχής στο ξ A, τότε και η f είναι συνεχής στο ξ. Ειδικώτερα, αν κάθε είναι συνεχής στο A, τότε και η f είναι συνεχής στο A. Απόδειξη. Έστω f στο A και έστω ότι κάθε είναι συνεχής στο ξ A. Έστω ɛ > 0. Επειδή f στο A, υπάρχει κάποιο 0 ώστε 0 f A < ɛ 3. 5
Ειδικώτερα, για = 0 είναι: 0 f A < ɛ 3. () Επειδή η 0 είναι συνεχής στο ξ, υπάρχει κάποιο δ > 0 ώστε x A, x ξ < δ 0 (x) 0 (ξ) < ɛ 3. (2) Τώρα, χρησιμοποιώντας την τριγωνική ανισότητα, έχουμε ότι f(x) f(ξ) f(x) 0 (x) + 0 (x) 0 (ξ) + 0 (ξ) f(ξ) 0 f A + 0 (x) 0 (ξ) + 0 f A. (3) Από τις (), (2) και (3) συνεπάγεται ότι x A, x ξ < δ f(x) f(ξ) < ɛ 3 + ɛ 3 + ɛ 3 = ɛ. η f είναι συνεχής στον ξ. ΘΕΩΡΗΜΑ. Έστω f στο [, b]. Αν κάθε είναι ολοκληρώσιμη στο [, b], τότε η f είναι ολοκληρώσιμη στο [, b] και Απόδειξη. Έστω f στο [, b]. Θα παραλείψουμε την απόδειξη του ότι η f είναι ολοκληρώσιμη στο [, b] και θα το θεωρήσουμε δεδένο. (Η απόδειξη υπάρχει στο βιβλίο.) Τώρα, για κάθε ισχύει (x) f(x) f [,b] για κάθε x [, b], f = f. ( f) dx f [,b] (b ) και, επειδή f [,b] 0, συνεπάγεται f. 6