1 ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 11 ΙΟΥΝΙΟΥ 2018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Transcript

1 1 ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 11 ΙΟΥΝΙΟΥ 1 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο σελ. 99 Α.α. Ψευδής. β. Σχολικό βιβλίο σελ. 5, Θεωρούμε g() = 1, y ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Η συνάρτηση g είναι ένα προς ένα και όχι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της. Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 16 Α4. α Λάθος, β Λάθος, γ Σωστό, δ Σωστό, ε Σωστό. ΘΕΜΑ Β Β1. f () = 1 =, f () = = = = f () > > ( ) > < ή > - - f()

2 Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο (, ] Η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο [,) Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο (, ) Η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στη θέση o = το f ( ) = Β. 4 f () = 1 (1 ), = = 4 Είναι f () < για κάθε, Άρα η f είναι κοίλη στα διαστήματα (,) και (, ) και δεν έχει σημεία καμπής. 4 Β. lim f () = lim = γιατί lim = και > κοντά στο 1 1 άρα lim = lim =. Η ευθεία = κατακόρυφη ασύμπτωτη. 4 lim ( f () ) = lim = Άρα η y= είναι ασύμπτωτη και και στο και στο 4 lim ( f () ) = lim = Β4. Πίνακας μεταβολών - - y f() ΘΕΜΑ Γ Γ1. Η πλευρά του τετραγώνου είναι α= 4

3 Άρα Eτετρ = = m 4 16 Η περίμετρος του κύκλου είναι L = ( ) π R = R =, όπου R είναι η ακτίνα του κύκλου. π ( ) Επομένως Ε κυκλ. =π R =π = m π 4π Επομένως το άθροισμα των εμβαδών είναι ( ) π 4( ) Ε () = = 16 4π 16π ( π 4) Ε () =, (,) 16π Γ. 1 Ε () = ( π 4) = 16π = 1 [ ( π ) 64 ], (,) 16π E () = (π ) 64 = = π4 E () > (π ) 64 > > π4 E() - = 16 Το άθροισμα των εμβαδών γίνεται ελάχιστο όταν = = =α π 4 4 π 4 και R 4 π = π π R = R = δ=α π π 4 π 4 16 Γ. lim E() = > 5 lim E() = 4 γιατί 16, π 5 = >π Η Ε() είναι γνησίως φθίνουσα στο 1 =, π 4 και συνεχής. Άρα

4 Ε ( 1) =, π 4 π Η Ε() είναι γνησίως αύξουσα στο =, και συνεχής. Άρα π 4 16 Ε ( ) =,4 π 4 Επειδή 5 Ε( 1) και Ε() είναι γνησίως μονότονη η εξίσωση Ε() = 5 έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα, π 4. ΘΕΜΑ Δ α Δ1. f () = e, ΙR με α > 1 α f () = e, ΙR α f () = e, ΙR α α f () = e = e = 1 α= =α α α f () > e > e > 1 α> >α f() - Δ. f () < για κάθε (, α ) = α Άρα f στο 1 (, ] και f( ) = f( α ),limf() ) = [ α, ) 1 α γιατί ( ) α=ω lim e = lim e = και lim ( ) =. ω ω Επειδή α> 1 1 α< α< το f( 1). Άρα υπάρχει μοναδικό 1 (, α ) ώστε f ( 1) =. < 1 f () > f ( 1) = f () > Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, 1 ]. 1 < < α f () < f ( 1) f () <. Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [,α 1 ] Συνεπώς το 1 είναι θέση τοπικού μέγιστου της f.

5 f () > για κάθε ( α, ) = α και Άρα f στο [ ), 5 ) [ ) f( ) = f( α ),limf() = α, α = = = α α γιατί ( ) ( ) Αφού lim f () lim e lim e e lim e t α= t α = lim e = ( ) t t και lim lim D.L.H e = α α e =. Επειδή α> 1 α<. Άρα f( ), συνεπώς υπάρχει μοναδικό ( α, ) ώστε f ( ) = α < < f () < f ( ) = f () < Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο[ α, ]. > f () > f ( ) f () >. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, ] Συνεπώς το είναι θέση τοπικού ελάχιστου της f. Όλα τα παραπάνω φαίνονται στον παρακάτω πίνακα μεταβολών. - 1 f() Δ. Η f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο [, ] = α (από το ερώτημα Δ). Άρα f( ) = [ f( ),f( α )] = f( ), α. Θα δείξουμε ότι f(1) f( ) Αρκεί να δείξουμε ότι: 1 α 1 α f (1) > α e 1 > α α e >. Θεωρούμε συνάρτηση 1 K() = e, ΙR. 1 Είναι K () = e 1 και K () = e > για κάθε ΙR. Άρα Κ () είναι γνησίως αύξουσα στο ΙR. Επομένως για > 1 K() > K(1) K() >. 1,. Άρα η Κ() είναι γνησίως αύξουσα στο [ ) Άρα για > 1 K() > K(1) K() >.

6 Επομένως Κ(α) > γιατί α > 1. 6 Β τρόπος Είναι α α 1 α f () = e = ( e ), ΙR και f (1) ( e 1) 1 α 1 α =. Όμως α> 1 1 α< e < 1 e 1< f (1) < και επειδή f () < για κάθε ( 1, ) είναι 1 < 1<α<. Έστω ότι υπάρχει ρ ( α, ) ώστε f(ρ) = f(1). Τότε ικανοποιείται για την f το θεώρημα του Rolle στο [1,ρ]. Άρα υπάρχει ξ (1, ρ ) ώστε f ( ξ ) = (άτοπο αφού f () < για κάθε (1, ρ) ( 1, ) Δ4. Η f είναι κυρτή στο διάστημα [, ). Η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο (,f ()) είναι: y f () = f ()( ) y = ( ) y = 4 y = Άρα για κάθε ισχύει ότι: > f() f() ( 1) Η ισότητα ισχύει μόνο για =. Επομένως f () d > ( 1) d (1) I = ( 1) d Θέτουμε u = du = d για =, u= για =, u= 1. Επομένως έχουμε: I = (u 1) udu = u udu udu = = u u 5 = = = 5 16 = = 15

7 7 =. 15 Άρα από την (1) f () d > 15 ΚΟΥΡΤΟΓΛΟΥ ΘΕΑΓΕΝΗΣ ΠΟΡΦΥΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΚΑΡΠΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΦΡΟΝΤΙΣΤΕΣ SCIENCE PRESS