ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 7: Θεωρία Πιθανοτήτων (Πείραμα Τύχης) Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής
ΑΔΕΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΗΣΗ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΠΕΙΡΑΜΑ ΤΥΧΗΣ; Είναι ένα πείραμα, του οποίου το αποτέλεσμα δεν είναι εκ των προτέρων γνωστό.
ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΟΣ ΤΥΧΗΣ Ότι προκύψει αν το πείραμα εκτελεστεί μία φορά.
ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ Είναι το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης. Σύμβολο: S, Ω Π.χ. Για τη ρίψη των ενός ζαριού είναι: S={1, 2, 3, 4, 5, 6}
ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΟ Ονομάζεται ένα υποσύνολο του δειγματικού χώρου ενός πειράματος τύχης. Σύμβολο: Α, Β, Παρατηρήσεις: Ως ενδεχόμενο μπορεί να είναι όλος ο δειγματικός χώρος, αλλά και το σύνολο που δεν περιέχει κανένα αποτέλεσμα του δειγματικού χώρου δηλαδή το Ø
ΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΩΝ Γίνεται με τη χρήση διαγραμμάτων Venn Α
ΕΝΩΣΗ ΔΥΟ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΩΝ Ένωση δύο ενδεχομένων Α και Β στον δειγματικό χώρο S είναι το ενδεχόμενο που συμβολίζεται Α Β και περιλαμβάνει τα αποτελέσματα που περιέχονται στο Α ή στο Β.
ΤΟΜΗ ΔΥΟ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΩΝ Τομή δύο ενδεχομένων Α και Β στον δειγματικό χώρο S είναι το ενδεχόμενο που συμβολίζεται Α Β και περιλαμβάνει τα κοινά αποτελέσματα που περιέχονται στο Α και στο Β.
ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΟ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΩΝ Διαφορά δύο ενδεχομένων Α και Β στον δειγματικό χώρο S είναι το ενδεχόμενο που συμβολίζεται Α - Β και περιλαμβάνει τα αποτελέσματα που περιέχονται στο Α και δεν περιέχονται στο Β.
ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΟΥ Συμπλήρωμα του ενδεχομένου Α στον δειγματικό χώρο S είναι το ενδεχόμενο που συμβολίζεται Α ή Α c και περιλαμβάνει τα αποτελέσματα του δειγματικού χώρου S που δεν περιέχονται στο Α.
ΤΥΧΑΙΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ (1) Είναι η συνάρτηση που απεικονίζει τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. π.χ. στη ρίψη ενός κύβου αντιστοιχίζεται ένας αριθμός σε κάθε έδρα του και έτσι οι τιμές της τυχαίας μεταβλητής είναι x: 1, 2, 3, 4, 5, 6 π.χ. στη ρίψη ενός νομίσματος αν το αποτέλεσμα κεφαλή αντιστοιχηθεί στο 0 και το γράμματα στο 1, οι τιμές της τυχαίας μεταβλητής είναι x: 0, 1
ΤΥΧΑΙΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ (2) Αν σε ένα εργοστάσιο παράγονται κονσέρβες με μέση τιμή βάρους x = 500 γραμμαρίων και με τυπική απόκλιση s= 10 γραμμάρια, αν το βάρος θεωρηθεί ως τυχαία μεταβλητή, τότε είναι αντιληπτό ότι θα μπορεί να παίρνει τιμές μέσα σε ένα διάστημα, όπως π.χ. το διάστημα [450, 550]
ΔΙΑΚΡΙΣΗ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Συνεχείς: είναι οι τυχαίες μεταβλητές που μπορούν να λάβουν όλες τις τιμές ενός διαστήματος, δηλ. άπειρες τιμές. Ασυνεχείς ή διακριτές: είναι οι τυχαίες μεταβλητές που λαμβάνουν πεπερασμένο αριθμό τιμών.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Το ύψος, το βάρος, η θερμοκρασία, κ.λ.π. είναι συνεχείς μεταβλητές. Ο αριθμός ατόμων μιας οικογένειας, ο αριθμός των αυτοκινήτων που διέρχονται από ένα σημείο, ο αριθμός πελατών που εξυπηρετεί ένα κατάστημα κ.λ.π. είναι διακριτές μεταβλητές.
Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Κλασικός ορισμός P(A) Ε: το πλήθος των ευνοϊκών περιπτώσεων του ενδεχομένου Α. Δ: το πλήθος των δυνατών περιπτώσεων
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 0 P( A) 1 Αν P(A)=0, το ενδεχόμενο Α είναι αδύνατο, δηλαδή δεν πραγματοποιείται. Αν P(A)=1, το ενδεχόμενο Α είναι βέβαιο, δηλαδή θα πραγματοποιηθεί σίγουρα.
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ P( A) lim n f n
ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΗ ΘΕΜΕΛΙΩΣΗ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Αν Α ενδεχόμενο του δειγματικού χώρου S, τότε για το ενδεχόμενο Α ορίζεται το P(A) ως πιθανότητα πραγματοποίησης του ενδεχομένου Α, τέτοια ώστε: 1. 0 P( A) 1 2. P( S) 1 3. Αν Α και Β δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα, δηλ. με τότε A B {} P( A P( A) P(
ΝΟΜΟΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Αν A B {} τότε P( A P( A) P( Αν A B {} τότε P( A P( A) P( P( A
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ P( A P( A / P( Με P( 0
ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Δύο ενδεχόμενα Α και Β ονομάζονται ανεξάρτητα όταν: Και επομένως P( B / A) P( P( A P( A) P(
ΤΕΛΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ