8. TEHNIKE INTEGRIRANJA

8 TEHNIKE INTEGRIRANJA Njjosiji igrli Igrirj spsicijo Prcijl igrcij Trigoorijski igrli Igrirj rciolih fkcij 6 Igrli koji s so igrl rciolih fkcij U oo pogllj jprij sso i jo js, okpljo s hik igrirj s koji so s o s pozli Zi oio ij o i jo jžij hik: igrirj spsicijo i prcijl igrcij N krj rjšo probl igrirj kih posbih kls fkcij Mogi igrli, koji s izrči oo ojljk, srsi s blic igrl oici kjig i ji ćo s sloboo korisii pri ljj igrirj 8 NAJJEDNOSTAVNIJI INTEGRALI Norđi igrl rl fkcij f j jgo iricij F Dkl, f F, ko j F f, gj j kos sp Orđi s igrl, pr osoo or ifiizilog rč, lzi izrčj rijosi orđog igrl gric igrcij i jihoi ozij sp : OSNOVNI TEOREM b f f Njjosij orđ igrl izrčli so prhoi pogllji: b 9

TEHNIKE INTEGRIRANJA PRIMJER Izrčjo: INTEGRAL POTENIJE, l,, b, c,, Rjšj: c 6, b 6,,, l INTERGALI NEKIH TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJA si, si, g, cg si INTERGALI NEKIH ALGEBARSKIH FUNKIJA rcg, l,, rcsi, < <, l l rsh rch

NAJJEDNOSTAVNIJI INTEGRALI INTERGALI EKSPONENIJALNIH FUNKIJA b, b lb Složij orđ igrl rčo prijjjći oso pril igrirj sp OSNOVNA PRAVILA INTEGRIRANJA [ f g ] f ± ± g, cf c f PRIMJER Izrčjo: 7, b, c Rjšj: Prijo osoih pril i forl z igrl pocij lzio: b c 7 7 7 7 7 7l 7l 9 7 l PRIMJER Izrčjo: si, b, c si si Rjšj: si si si

TEHNIKE INTEGRIRANJA b c g si si si si cg si PRIMJER Izrčjo:, b,z < 7 Rjšj: rcg rcsi b 7 7 rsh 7 PRIMJER Izrčjo:, b, c Rjšj:, b l 9, l9 9 c PRIMJER 6 Izrčjo: l, b si, c,,

NAJJEDNOSTAVNIJI INTEGRALI Rjšj: Iz osoog or sliji: b si si c rcsi rcsi rcsi rcg rcg rcg 6 l l l l PRIMJER 7 Izrčjo: si, b Rjšj: si b PRIMJER 8 Izrčjo:

TEHNIKE INTEGRIRANJA l, b l, c l Rjšj: Prijo pril z ricij prok lzio: l l l l l b Iz sliji: l l, l l, l l c Iz b sliji: PRIMJER 9 l l Izrčjo log b Rjšj: l l l l INTEGRAL LOGARITAMSKE FUNKIJE l l 9 l Zbog l log b sp 6 io: lb PRIMJER lb lb log b l l Izrčjo porši porčj koj s irlo [, ] Rjšj: Porši porčj sl orđ j igrlo prož izđ si i si si si si

NAJJEDNOSTAVNIJI INTEGRALI Slik 8 INTEGRIRANJE SUPSTITUIJOM Igrirj spsicijo j irzi, igrli oblik lčog riirj Ni, ko s F i g ribil fkcij, o lčo prilo kž sp j Fo g F g g To zči j Fg orđi igrl fkcij F gg, j F g g F g Ako o đrijos g, o o ožo zpisi oblik: F F Ako još i ricij F ozčio s f, šo zči j olzio o forl spsicij f F, o kočo f f D biso forl priijili, zoj poigrloj fkciji rbo očii izrz g, čij s ricij kođr pojljj poigrloj fkciji INTEGRIRANJE SUPSTITUIJOM Fkcij o, koj srži pofkcij i jzi ricij, igriro ko j pišo oblik f, poo priijio forl spsicij f f K izrčo f, z spsiiro

TEHNIKE INTEGRIRANJA PRIMJER Izrčjo Rjšj: Uočio pofkcij bći s i jzi ricij igrl zi igrl pišio oblik pojljj po zko Prijo forl spsicij lzio: Uršj olzio o kočog rzl- PRIMJER Izrčjo si Rjšj: Iz si i PRIMJER, sliji: si si Izrčjo si Rjšj: Ako spsiiro obi ćo si T j si, p zo zi igrl pišio oblik si 6

INTEGRIRANJE SUPSTITUIJOM PRIMJER Izrčjo Rjšj: Iz i sliji PRIMJER l l Izrčjo Rjšj: Spsicij s ij pogo, jr j Uočio li j, ć s spsicij koj z j PRIMJER 6 Izrčjo rcg rcg, b Rjšj: Ako spsiiro obi ćo T j, p zo zi igrl pišio oblik b Iz i sliji: l l 7

TEHNIKE INTEGRIRANJA si si PRIMJER 7 Izrčjo f b, b f, c f b, ko j f F Rjšj: Iz b i sliji f b f f F F b b Iz i sliji f f f f F F c Iz b i sliji f b f b f f F F b Rzl prhoog prijr ko jos i čs slčj igrirj spsicijo posbo isičo Ako j f F o j f b F b, f F, ili ssi općio f b F b PRIMJER 8 Izrčjo 8

INTEGRIRANJE SUPSTITUIJOM 9 8, b, c,, Rjšj: 8 si 8 8, b, c l, l, g Prijo okirih forl lko ćo izrči i općiij igrl kih lgbrskih fkcij, go šo s oi jjosiji iz, ojljk: PRIMJER 9 Izrčjo, b, c,, Rjšj: rcg rcg, b, l l >, c, rcsi rcsi >, l l rsh, l l l >, l rch > INTEGRALI NEKIH ALGEBARSKIH FUNKIJA rcg, l,

TEHNIKE INTEGRIRANJA rcsi, ± ± l U si igrli > PRIMJER Izrčjo, b Rjšj: rcsi, b rcg rcg PRIMJER Izrčjo Rjšj: l l l, gj j l Igrl koji srži kri izrz bc ož s izlčij kos ssi igrl koji srži pq p b /, q c / Iz og s krog izrz, ogorjćo spsicijo ož liiiri liri čl: p q p q p k k p q p ± ± SVOÐENJE NA PUNI KVADRAT

INTEGRIRANJE SUPSTITUIJOM Ako igrl srži izrz pq, o s j izrz ož pisi oblik ± k, z k p q, šo olkš izrčj igrl p i PRIMJER Izrčjo, b Rjšj: rcg rcg b Sio jprij pi kr: Dkl, rcsi rcsi Čso ij lko orii pr spsicij, čij ć s ricij kođr pojii zo igrl h T rbo pokši s ko spsicijo g, koj s čii pogoo Iz g forlo sliji j, p ršj g h obijo h h g Ako h g h spijo izrzii pooć f, spsicij j spjš i lj rčo g f

TEHNIKE INTEGRIRANJA Zirsiro čilj pokzjo j š forli rč s ifrcijli kork Ni, iz h h g sliji h f g f gg, p forl h zpro ij rgo g o kork forl spsicij f g g f INTEGRIRANJE SUPSTITUIJOM RAČUNANJE S DIFERENIJALIMA Igrl h rjšo spsicijo slijći či: Obro o rijbl g Driiro g, rijšio po i rsio zi igrl: g h h g No poigrl fkcij izrčo f h g pokšo izrzii pooć, h g f, i poo Ako h g spijo izrzii pooć, pokšo s ko rgo spsicijo Dobii rzl izrzio pooć, ršjći g PRIMJER Izrčjo Rjšj: Pokšjo spsicijo, jr ć ziik posi oo Iz sliji, p ršj igrl obio Iz obiog igrl lko liiiro j igrl izržo so pooć :

INTEGRIRANJE SUPSTITUIJOM Uršj olzio o kočog rzl: PRIMJER Izrčjo, b Rjšj: Iz sliji, p j Dkl, b Iz sliji, p j Dkl, / PRIMJER Izrčjo l, b ϕ ϕ ϕ si Rjšj: Iz l sliji, p j Dkl, l l b Iz si ϕ sliji ϕ ϕ, p j ϕ ϕ Dkl,

TEHNIKE INTEGRIRANJA ϕ ϕ ϕ siϕ ϕ l l siϕ PRIMJER 6 Izrčjo sil, b Rjšj: Iz l sliji, p j Dkl, sil si si l b Iz sliji, p j Dkl, l l PRIMJER 7 Izrčjo, b l Rjšj: Pokšo li s spsicijo, ij ćo o ij spjš pokšj No očio li j l l, iio j š igrl zpro Iz l sliji, p l j i l l l l b Iz sliji, p j Dkl,

INTEGRIRANJE SUPSTITUIJOM PRIMJER 8 Izrčjo ϕϕ, b

TEHNIKE INTEGRIRANJA Rjšj: Igrl ožo pisi oblik ϕϕ ϕ ϕϕ - si ϕϕ ϕ Uz spsicij si ϕ, iz koj sliji ϕ ϕ j ϕϕ, io lj: - si ϕϕϕ ϕ si siϕ b Uz spsicij si j rcsi, iz koj sliji io:, j, si si si si si Iz si, j si, sliji rcsi i sl Slik Dkl, rcsi Ako rčo orđi igrl k fkcij o, pr osoo or, jprij izrčo jzi orđi igrl, zi jg rsio gric igrcij obij rijosi ozo Eo jog prijr, koj orđi igrl lzio spsicijo PRIMJER 9 Izrčjo 6

INTEGRIRANJE SUPSTITUIJOM Rjšj: Njprij rčo orđi igrl Iz sliji, p j rcg rcg Pr osoo or, s j Uočio s gric orj rsii rcg rcg6 rcg rcg 6 jr j i, rcg Mogć j i ršj rcg, li rg i 6 T bi šo krć rč izglo oko: rcg 6 SUPSTITUIJA U ODREÐENI INTEGRAL Ako igrl h spsicijo g prlzi f, o j PRIMJER 8 Izrčjo Rjšj: Iz sliji p j b g b 6 h f g rcg6 rcg 6 8 8 si si si PRIMJER Izrčjo 7

TEHNIKE INTEGRIRANJA Rjšj: Iz sliji, p j l l l l PRIMJER Izrčjo Rjšj: Iz sliji, p j PRIMJER 8 Izrčjo Rjšj: Iz sliji, p j rcg rcg rcg Vć so pozorili čso ij lko ći spjš spsicij, koj zi igrl soi igrl koji zo izrči Općio, igrirj j pospk pokšj i pogršk, p s kk si pr spsicij đo k ko iš pokšj Dpč, igrli ogih lrih fkcij koj s slož o polio, rigoorijskih i kspocijlih fkcij, i jihoih irz is lr fkcij N prijr, i si is lr fkcij Zbog sg og slj hik igrirj ogo j gorjiji i ži poso o slj hik riirj i zhij po iš jžb 8

PARIJALNA INTEGRAIJA 8 PARIJALNA INTEGRAIJA Prcijl igrcij j irzi, igrli oblik ricij ošk Ni, ko s f i g ribil fkcij, o prilo z ricij ošk sp srđj j [f g] f gf g To zči j f g orđi igrl o f gf g j O sliji forl prcijl igrcij: [ f g f g ] f g f g f g f g orđi igrl soj sri i soj kos, p j zo rb polji Ako o pokr f i g, o j f i g, p forl prcijl igrcij ožo zpisi ifrcijlo oblik koji s lko pi i i jos gorijsk irprcij sp sl; f i g prrski zj krilj koj porši prokik ijli ijl: f g Slik PARIJALNA INTEGRAIJA Igrl f g rčo ko g prikžo oblik: f f f g g g g p zi priijio forl prcijl igrcij: f g g f 9

TEHNIKE INTEGRIRANJA PRIMJER Izrčjo Rjšj: PRIMJER Izrčjo Rjšj: si Pro prcijlo igrcijo lzio: si si si si si si Još jo prcijlo igrcijo lzio: Dkl, PRIMJER Izrčjo si l, b Rjšj: si si si si si

PARIJALNA INTEGRAIJA l l l l b PRIMJER Izrčjo, b Rjšj: si si si si b PRIMJER Izrčjo l, b Rjšj:

TEHNIKE INTEGRIRANJA l l l 9 l l b s s s s s 6 9 7 PRIMJER 6 Izrčjo, prijjjći spsicij i prcijl igrcij:, b Rjšj: si Ni, prijo spsicij, lzio: si si si si si si si si b si Ni, prijo spsicij lzio:

PARIJALNA INTEGRAIJA si si si si si si si si PRIMJER 7 Dosrko prijo prcijl igrcij izrčjo si Rjšj: si si si si si si si si s s s s s Dkl, si si si, okl sliji si si, si si PRIMJER 8 Izrčjo rcsi, b rcg Rjšj: rcsi rcsi rcsi rcsi rcsi rcsi

TEHNIKE INTEGRIRANJA b rcg rcg rcg rcg rcg rcg rcg rcg PRIMJER 9 Izrčjo Rjšj: Uz spsicij sliji i, j Dkl, rcg rcg Uočio s i iz prhoog prijr đsobo irz fkcij Prcijl igrcij, kobiir s spsicijo, oogćil j pozi igrl fkcij so pozi igrl joj irz fkcij To riji ssi općio Ako s f i f đsobo irz fkcij o j, f f f f f f f f f f INTEGRAL INVERZNE FUNKIJE

PARIJALNA INTEGRAIJA Igrl fkcij f ožo izrči pooć igrl joj irz fkcij f, korisći s forlo: f f f U rzl igrcij soj sri rb rsii f Forl z igrl irz fkcij ožo zpisi i josij oblik: Forl s lko pi jr j iič forli z prcijl igrcij, li s i is fkcij rć rijbl go s fkcij j rg, f i f PRIMJER Korisći s forlo z igrl irz fkcij izrčjo l, b rc Rjšj: l l l l l b rc rc rc rc si rc D j si, lko očo sl Iz sliji si Slik PRIMJER Izrčjo, b

TEHNIKE INTEGRIRANJA 6 Rjšj: Rijšio li po, ći ćo fkcij irz fkciji Dkl,,,, 6 Prijo forl z igrl irz fkcij lzio: 7 7 7 7 6 6 b Iz sliji,,, Dkl, Orđ igrl, i z prcijl igrcij, rčo ko priijio osoi or: [ ] b b b b PRIMJER Izrčjo Rjšj: 8

PARIJALNA INTEGRAIJA PRIMJER Izrčjo l sil, b l Rjšj: Iz spsicij l sliji i Dkl, sil si si sp 7 prijr si si b Iz spsicij sliji, p j l l l sp prijr l l l PRIMJER Izrčjo l, b l Rjšj: l l sp prijr l l l l b l PRIMJER l sp prijr l Izrčjo porši ispo rćg lk o si sl l 7

TEHNIKE INTEGRIRANJA 8 Slik Rjšj: Porši j orđ igrlo si si si PRIMJER 6 Dokžio rkrzi forl, p pooć j izrčjo Rjšj:

PARIJALNA INTEGRAIJA 9 PRIMJER 7 Dokžio rkrzi forl, p pooć j izrčjo z,, i Rjšj: Z io: Z, pr rkrzioj forli, io: Z, pr rkrzioj forli, io:! Z, pr rkrzioj forli, io:! Igrl iz prhoog prijr j fkcij o koj s zo "g fkcij" i ozč s s Γ Γ

TEHNIKE INTEGRIRANJA Iz Γ i iz rkrzi forl okz prhoo prijr sliji j Γ!, z N Dkl, g fkcij proširj fkorijl s priroih rl čk i koplks broj GAMA FUNKIJA Γ Γ Z N, Γ! Npo: Čso s oo šo so i fiirli ko Γ fiir ko Γ T j Γ! PRIMJER 8 Izrčjo

PARIJALNA INTEGRAIJA Rjšj: K Γ!!!!! - s - s s s s PRIMJER 9 Dokžio rkrzi forl -, p korisći s rzoj fkcij rcsi r pocij: K 9 8 6 7 7 6 rcsi 9 7 sp 7 prijr izrčjo rcsi Rjšj: - - rcsi Dkl,, šo so i rbli okzi O, iz rzoj fkcij rcsi r pocij, sliji: [] 7 7 6 7 6 rcsi 7 K K K

TEHNIKE INTEGRIRANJA S rg sr, 8 rcsi rcsi Dkl, K 9 7 8 Priijio lj j 8 6 K K okl sliji j 8, 6 8 Uspori općiiji izrč s p, z ski pri p, 77 prijr PRIMJER Dokžio rkrzi forl si, p pooć j izrčjo i Rjšj: si si si si si si Dkl, si, okl sliji si, si

PARIJALNA INTEGRAIJA Prijjjći posljj forl lzio: 8 si si si si si si si si Sličo ožo ći rkrzi forl z si i si : INTEGRALI TRIGONOMETRIJSKIH POTENIJA si si si si si si si si si PRIMJER Dokžio rkrzi forl si si si p pooć jih izrčjo si Rjšj: si si

TEHNIKE INTEGRIRANJA si si si 6 6si 6 6 si si si 8 TRIGONOMETRIJSKI INTEGRALI U oo ojljk pokzjo kko s lz igrli kih rigoorijskih fkcij, kih lgbrskih fkcij koj s rigoorijski spsicij so rigoorijsk fkcij U prhoo ojljk šli so rkrzi forl z izrčj igrl rigoorijsk pocij oblik si sp okir prhooj srici I bz rkrzi forl k j igrl lko izrči spsicijo, ko j ili : si si si z ; ko j rzl j l si si si z ; ko j rzl j l Ako j ili pr, o š igrl z pooć ii si ožo ssi j o pro rzor ip PRIMJER Izrčjo si Rjšj:

TRIGONOMETRIJSKI INTEGRALI si si si si si Ako s i pri, j i k, o s korisio rigoorijski forl sp : Ni, j si, si j k si j j k k j k l K obio pocirj i ožj olzio o igrl oblik z l o o jk Z pr l pospo kko j objšjo, z pr l još jo priijio forl Pospk s polj ok go j o porbo PRIMJER Izrčjo si Rjšj: si 8 6 6 8 si si z si z 6 si si si si z 6 z z si z si si si si si 6 6

TEHNIKE INTEGRIRANJA si si si si 6 6 PRIMJER Izrčjo si si Rjšj: si si si si si si si si si si PRIMJER si g Izrčjo Rjšj: Izrzio s pooć si i : si g si si si si 6 6 6 si 6 6 U prij s o ži rigoorijski igrli oblik si b, si si b, Njih rčo korisći s rigoorijski forl sp: si b si si b b si bsi b, b b, 6

TRIGONOMETRIJSKI INTEGRALI PRIMJER Izrčjo b si, b si si b b Rjšj: si si si b si si 8 si si8 8 PRIMJER 6 Izrčjo b Rjšj: b b b si b si b, b b si, z ± b, z ± b Uočio bi rzlik izđ slčj ± b, pri koj j rjšj oscilirjć ođ fkcij, i slčj ± b, pri koj j rjšj fkcij koj ogričo rs jr i oscilirjći io Ako ss lsi frkcij jlj oscilirjć sil frkcij b, o ć s gibi skl s ši rjšj To zči ć slčj rzocij, k j b, oći o ogričo likih gibj i kočo rzrj ss Mogi igrli koji srž fkor oblik, i og s ssi josij igrl rigoorijski spsicij Njih j jlkš orii iz ogorjćg prokog rok: Proki rok s srico or ii k i, hipoz sp sl 7

TEHNIKE INTEGRIRANJA ϕ Slik g ϕ Pokšjo spsiiri g ϕ, jr j i ϕ ϕ ϕ Proki rok s srico or ii hipoz i j k, ok j rg k spsl si ϕ ϕ Slik Pokšjo spsiiri si ϕ, jr j ϕ i ϕϕ Proki rok s srico or ii hipoz i j k, ok j rg k spsl ϕ ϕ Slik Pokšjo spsiiri siϕ gϕ, jr j g ϕ i ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ PRIMJER 7 Izrčjo, b, c 8

TRIGONOMETRIJSKI INTEGRALI Rjšj: Proki rok s srico i hipoz i k, spsl si ϕ ϕ Slik Pokšjo spsiiri si ϕ, jr j ϕ i ϕϕ: si ϕ ϕϕ ϕ si ϕϕ ϕ ϕ ϕ si ϕ ϕ siϕ ϕ rcsi b Proki rok s srico i k i, spsl gϕ ϕ Slik Pokšjo spsiiri g ϕ, jr j ϕ i ϕ : ϕ ϕ siϕϕ ϕ ϕ gϕ ϕ siϕϕ ϕ ϕ Uočio so isi igrl još josij ogli izrči spsicijo : c Proki rok s srico i hipoz i k spsl6 9

TEHNIKE INTEGRIRANJA ϕ ϕ Slik 6 Pokšjo spsiiri ϕ, jr j siϕ gϕ i ϕ siϕϕ : ϕ ϕ siϕϕ siϕ ϕ ϕ l gϕ ϕ ϕ l l Uočio zi igrl ožo izrči ko igrl oblik ojljk ; sp D prhoo prijr isi riji izrčo PRIMJER 8 ϕ l gϕ, ožo projrii ko ϕ ϕ l gϕ ϕ ϕ ϕ Slič forl riji i z ϕ si ϕ INTEGRALI REIPROČNIH VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJA ϕ ϕ l cgϕ l g, siϕ siϕ ϕ ϕ l gϕ l g ϕ ϕ Izrčjo Rjšj: Iz si ϕ sliji ϕ i ϕϕ, Dkl, 6

TRIGONOMETRIJSKI INTEGRALI ϕϕ siϕ ϕ ϕ ϕ l l siϕ siϕ siϕ PRIMJER 9 Izrčjo Rjšj: Proki rok s srico i hipoz i k spsl7 ϕ ϕ Slik 7 Pokšjo spsiiri, jr j o g ϕ i ϕ siϕϕ gϕϕ ϕ ϕ gϕϕ gϕ ϕ ϕ gϕ ϕ ϕ Uočio j igrl ožo još josij izrči ko 8 prijr PRIMJER Izrčjo Rjšj: Proki rok s srico i hipoz i k spsl8 ϕ si ϕ Slik 8 Dkl, si ϕ, ϕ i ϕϕ j: 6

TEHNIKE INTEGRIRANJA ϕϕ ϕ siϕ ϕ rcsi ϕ si ϕ ϕ ϕ Igrl koji srži fkor oblik ili spsicijo sh ili ch, jr j ooso ch i sh PRIMJER Izrčjo kk j josij izrči hiprbolo sh sh ch i ch, b Rjšj: Pokšjo spsicijo sh jr j ch i ch : ch ch sh sh ch rsh sp 76 l b Iz ch sliji sh i sh Dkl, sh ch sh sh ch sp 76 l rch INTEGRALI NEKIH ALGEBARSKIH FUNKIJA 6

TRIGONOMETRIJSKI INTEGRALI ± ± rcsi ± l, >, ± PRIMJER Izrčjo porši krg rijs Rjšj: Jžb krg rijs, s sriš ishoiš j 9, spsl9 Slik 9 Gorj poloic ođ j grfo fkcij 9 i irlo Dkl, 9 P 9 9 rcsi 9 8 INTEGRIRANJE RAIONALNIH FUNKIJA Kko s rč igrl polio obro j pozo U oo ćo ojljk pokzi kko s rč igrl kocij j polio P / Q, j kko s rč igrl rciol fkcij Priijio jprij s rciol fkcij S / Q, kojoj j spj polio S ći ili jk spj polio Q, ož ijljj ssi zbroj polio R i rciol fkcij P / Q, kojoj j spj o P ji o spj o Q: P S : Q R Q Bći polio R zo igriri, jii j probl igrirj rciol fkcij P / Q, kojoj j spj brojik ji o spj ziik PRIMJER 6

TEHNIKE INTEGRIRANJA Izrčjo Rjšj: Dijljj lzio: Dkl, : rcg Rzorio s probl igrirj rciol fkcij P / Q, kojoj j spj o P ji o spj o Q Njjosij igrl rs rčo slijć prijr PRIMJER Izrčjo, b b Rjšj: l,, z, z b b b l b,, z, z PRIMJER Izrčjo, b, c 8 6

INTEGRIRANJE RAIONALNIH FUNKIJA Rjšj: Pr prhoo prijr:, b c 9, l 8 8 I složij rciol fkcij P / Q, koji j Q ožk lirih fkor, ijk ožo igriri sri pospko To ilsriro s koliko prijr, prij go općio opišo j pospk PRIMJER Izrčjo, b Rjšj: Rciol poigrl fkcij prikžio ko zbroj prcijlih rzlok oblik A B gj s A i B kos koj k rbo orii Možj s lzio: A B Z io A, j A, z io B Dkl, l l l Koficij A i B ogli so ći i ko A B, j AB A B izjčio ogorjć koficij polio lijoj i soj sri: AB, A B 6

TEHNIKE INTEGRIRANJA Rjšjći j ss op biso šli A, B b Rciol poigrl fkcij prikžio ko zbroj prcijlih rzlok oblik: B gj s A i B kos koj k rbo orii Možj s lzio: B Z io B, j B, z io, j l l l 66

INTEGRIRANJE RAIONALNIH FUNKIJA PRIMJER Izrčjo Rjšj: Rciol poigrl fkcij prikžio ko zbroj prcijlih rzlok oblik: A B, gj s A i B kos koj k rbo orii Možj s lzio: A B Z io A, j A, z io B, j B Dkl, l l l Koficij A, B i oj p ožo izrči iz A B, j AB A B, izjčj ogorjćih koficij: AB, A B Rjšjći j ss op obijo A i B PRIMJER 6 Izrčjo Rjšj: Mogli biso očkii s i s ko i prhoi prijri poigrl fkcij ož prikzi oblik A / B / No, o ij očo Zbog rg pocij lirog fkor,, rb oi i rći prcijli rzlok / Dkl, A B, gj s A, B i kos koj k rbo orii Možj s lzio: A B Z io, j Z io A Z io AB, j B7, j B 67

TEHNIKE INTEGRIRANJA Izjčj ogorjćih koficij AB A BAB, obili biso ss AB, A B, AB, koji j is rijosi A, B i Dkl, l l l PRIMJER 7 Izrčjo, b - Rjšj: Fkor, ziik poigrl fkcij, ogor prcijli rzlok A /, ok fkor ogorj prcijli rzloci B / i / Poigrl fkcij jk j zbroj ih prcijlih rzlok: A B Možj s lzio: Z io: Z io: A B,, 9 A, A, A Koficij B lzio ršj bilo koj rijosi, pr : A 6B, 6 67 B, 6 B, B 68

INTEGRIRANJE RAIONALNIH FUNKIJA Dkl, l 67 l 67 b Poigrl fkcij ži z i, p porčj igrcij sij srži ij o ih očk Irl [, ] ih srži p ožo rči, korisći s Nwo Libizoo forlo: PRIMJER 8 - l l Izrčjo Rjšj: l 67 l 67 l 7 Fkor ogorj prcijli rzloci A /, B / i /, ok fkor ogor prcijli rzlok D / Poigrl fkcij jk j zbroj ih prcijlih rzlok: A B D Možj s lzio: A B D Z io, j Z io D Prosl koficij orđjo ko gorj jžb rsio još ij rijosi z, pr i : zbog i D : Dkl, AB D, A6B 8D, A B, A 6B 8, A B, A B, A B 69

TEHNIKE INTEGRIRANJA l l l Mđi, ož s ski polio prikzi ko prok lirih fkor N prijr, s ož prikzi ko prok lir fkor osi ko s korisio koplksi broji Općio, polio s koplksi koriji α ± β i, α ± β i,, i kr fkor α α β, α α β, Ni αβi αβi α α β, šo s lko projr ožj Kri fkori oblik pq, ko ij koplks korij j ko j p < q, ogorj prcijli rzloci oblik AB/ pq Njihoi pocij pq ogorj prcijli rzloci A B / pq, A B / pq,, A B / pq Rciol fkcij čiji j ziik prok kih fkor i rij rzorih lirih fkor, ož s prikzi ko zbroj sih ji ogorjćih prcijlih rzlok To ćo ilsriri s pr prijr PRIMJER 9 Izrčjo Rjšj: Kri fkor ož s lj fkoriziri lir fkor jr i koplks korij p < q, p j zo poigrl fkcij jk zbroj slijćih prcijlih rzlok: A B Možj s lzio: AB Z io, j Z io B B, j B Usporio li koficij z lijoj sri posljj jžb, koji j, i oj soj sri, koji j A, io A, j A Dkl, Pri o obij igrl zo izrči: l 7

INTEGRIRANJE RAIONALNIH FUNKIJA 7 Drgi igrl, s kri ziiko, rsforiro ko s brojik poji ricij og krog ziik:

TEHNIKE INTEGRIRANJA 7 S j lko izrči posljj igrl Pri lzio spsicijo, l l, ok rgi lzio sođj pi kr sp 8: rcg rcg Dkl, rcg l 6 l rcg l l PRIMJER Izrčjo Rjšj: Njprij oro fkoriziri ziik J jgo rli korij j, p j zo jgo liri fkor Drgi fkor lzio ijljj: : Dkl, Kri fkor ož s lj fkoriziri jr i koplks korij Dkl,, j so igrl izrčli 9 prijr

INTEGRIRANJE RAIONALNIH FUNKIJA 7 Vijli so kri fkori ziik poigrl fkcij o igrl ip Zo ćo slijć prijr izrči j ip igrl, z,,, općio bilo koji PRIMJER Izrčjo, b, c, Rjšj: rcg b Priijio pospk prcijl igrcij pozi igrl Dkl, okl sliji j zbog, rcg c Priijio pospk prcijl igrcij pozi igrl b:

TEHNIKE INTEGRIRANJA 7 Dkl,, okl sliji, j zbog b, rcg 8 Pospk pro z b i z c ož s priijii općio, z ski : Dkl,, okl sliji Posljj rkrzi forl oogć sizjo kspo poigrl fkcij, ok ođo o pozog igrl Kokr prij rkrzi forl lzi s slijć prijr PRIMJER Izrčjo

INTEGRIRANJE RAIONALNIH FUNKIJA Rjšj: Prijo rkrzi forl, o koj so ošli krj prijr, lzio: 8 8 6 8 6 6 8 6 7 rcg Poslij sih oih prijr ožo opisi opći pospk z igrirj rciol fkcij INTEGRIRANJE RAIONALNIH FUNKIJA Rciol fkcij P / Q, gj s P i Q polioi, igriro slijći či: Ako j P jkog ili ćg spj o Q, o poijlio P s Q, či ćo P / Q prikzi ko zbroj SR / Q, gj j R spj jg o Q Zo lj prposio j P jg spj o Q Nziik Q fkoriziro lir fkor oblik c, gj j c rli korij o Q, i kr fkor oblik pq, gj j p α i q α β, α ± βi s koplksi koriji o Q Ako s fkorizciji o Q pojljj fkor c, priržjo zbroj prcijlih rzlok A A A c c K, c ko s joj pojljj fkor pq, koji i koplks korij, priržjo zbroj prcijlih rzlok: B B B p q p q K p q Rciol fkcij P / Q jk j zbroj sih prcijlih rzlok iz očk Koficij A i, B j i j orđjo ko j zbroj izjčio s P / Q, zi s koficij orio sporđij lij i s sr obi jkosi ili pk ršj pojiih rijosi o Igriro zbroj prcijlih rzlok iz očk ko i prijr 7

TEHNIKE INTEGRIRANJA PRIMJER Izrčjo Rjšj: : Fkor priržjo Dkl, A A, fkor priržjo A A B B Možći s lzio: A A B Z io A, j A Z io B Koficij z lijoj sri j, soj A B Dkl, A B, j A B Iz i sliji l l l PRIMJER Izrčjo Rjšj: Brojik j spj jg o spj ziik Mđi, ziik ij o krj fkorizir, jr j Dkl, 76

INTEGRIRANJE RAIONALNIH FUNKIJA A B A B, A A B B Z io 8B, j B Z io 8A, j A Usporđjći koficij z i lzio: Zbog A B sliji A B, A A B B A B, A B, A B, A, A, B Dkl, l l l PRIMJER Izrčjo Rjšj: Kri fkor i koplks korij p s ož lj fkoriziri Dkl, A B B, A B B Usporđjći koficij z is pocij i ili ršjći kokr rijosi z šli biso A, B,, B i projri Dkl, 77

TEHNIKE INTEGRIRANJA 78 Izrč ćo ski o ih igrl: l rcg l l [ ] rcg rcg b prijr sp Ursio li rijosi olzio o kočog rzl: 8rcg l l Igrli rciolih fkcij koji ziik srž so j fkor oblik c og s izrči gor opisi pospko, li ih j ogo josij izrči spsicijo c Eo jog prijr koji o ilsrir PRIMJER 6 Izrčjo Rjšj:

INTEGRIRANJE RAIONALNIH FUNKIJA 79 86 INTEGRALI KOJI SE SVODE NA INTEGRALE RAIONALNIH FUNKIJA Pogoi spsicij ogi s igrli so igrl rciolih fkcij Eo jprij pr prijr koji poigrl fkcij srži rzlolj pocij j korij PRIMJER Izrčjo 7 Rjšj: D biso s rijšili korij spsiiro ;, i : 7 96 9 6 8 8 6 8 8 8 7 Slijći j prijr šo složiji PRIMJER Izrčjo Rjšj: Uočio jprij j:

TEHNIKE INTEGRIRANJA 8 D biso s rijšili rzloljog kspo spsiiro / : : Nziik posljj poigrl fkcij,, i korij, p j j jgo fkor, rgi lzio ijljj: : Fkor i koplks korij, p s ož lj fkoriziri Dkl, A B Možj s / lzio: A B Z io A, j A Z io 6, j / Usporđjći koficij z io AB, j B A Dkl, Dkl,

INTEGRALI KOJI SE SVODE NA INTEGRALE RAIONALNIH FUNKIJA 8 6 l 6 l l l 6 rcg l 6 l Ursio li j rzl poč jžb, kočo lzio: l 8 l rcg 6 6 PRIMJER Izrčjo Rjšj: Možj brojik i ziik s igrl ć s bio pojosii: 6 6 rcg l l 8 prijr 9 i sp rcg l l

TEHNIKE INTEGRIRANJA Igrl oblik R siϕ,ϕ ϕ, gj j R rciol fkcij o si ϕ i ϕ, soi s igrl rciol fkcij spsicijo Ni sp prijr, j si g ϕ ϕ ϕ ϕ, p j ϕ, Rsi,ϕϕ R, šo j igrl rciol fkcij PRIMJER Izrčjo ϕ ϕ Rjšj: Korisći s spsicijo lzio: PRIMJER ϕ Izrčjo ϕ Rjšj: g ϕ, iz koj sliji siϕ, ϕ i ϕ, ϕ ϕ ϕ rcg rcg g Iz g ϕ sliji ϕ i ϕ Osi og z ϕ i z Dkl, ϕ 8

INTEGRALI KOJI SE SVODE NA INTEGRALE RAIONALNIH FUNKIJA 8 l l ϕ ϕ Igrl oblik ϕ ϕ ϕ, si R ož s izrči i slijći josiji spsicij: ϕ ko j Rsi ϕ, ϕ Rsi ϕ, ϕ, si ϕ ko j Rsi ϕ, ϕ Rsi ϕ, ϕ, g ϕ ko j Rsi ϕ, ϕ Rsi ϕ, ϕ Eo koliko prijr koji o ilsrirj PRIMJER 6 Izrčjo si si Rjšj: Bći j si si si si, j Rsi, Rsi,, priiji ćo spsicij : si si si si si si l l PRIMJER 7 Izrčjo si si Rjšj: Bći j

TEHNIKE INTEGRIRANJA, si si si si j R si, Rsi,, priiji ćo spsicij si : si si si si si si l l si si PRIMJER 8 Izrčjo si si Rjšj: Bći j Rsi, Rsi, :, si si si si priiji ćo spsicij g, iz koj sliji : si si g g g l l g l g PRIMJER 9 Izrčjo g Rjšj: Priiji ćo spsicij g : 8

INTEGRALI KOJI SE SVODE NA INTEGRALE RAIONALNIH FUNKIJA 8 g rcg rcg g g