Γιώργος Νάνος. Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά T.E.E. ΤΑΞΗ 2 ου ΚΥΚΛΟΥ

Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Μαθηματικά T.E.E A ΤΑΞΗ ου ΚΥΚΛΟΥ

Μαθηματικά T.E.E - Α Τάξη ου Κύκλου Περιεχόμενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Περιγραφική Στατιστική Η θεωρία με Ερωτήσεις Ασκήσεις & Προβλήματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Η θεωρία με Ερωτήσεις 9 Ασκήσεις & Προβλήματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Διαφορικός Λογισμός Η θεωρία με Ερωτήσεις 7 Ασκήσεις & Προβλήματα 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Διαγωνίσματα Κριτήρια Αξιολόγησης ανά Κεφάλαιο 9 Θέματα Εξετάσεων Προηγούμενων Ετών 7 «Σκέφτομαι άρα υπάρχω» Καρτέσιος

Μαθηματικά T.E.E - Α Τάξη ου Κύκλου Κεφάλαιο : Περιγραφική Στατιστική Κεφάλαιο Περιγραφική Στατιστική ΕΝΟΤΗΤΑ : Βασικές Έννοιες Ορισμοί Συχνότητα Παρατηρήσεων Ερωτήσεις Θεωρίας Ορισμοί Παρατηρήσεις. Ποιο είναι το αντικείμενο της στατιστικής;. Τι ονομάζεται πληθυσμός; Τι είναι το μέγεθος του πληθυσμού;. Τι ονομάζεται δείγμα; Τι είναι το μέγεθος του δείγματος και πως συμβολίζεται; 4. Τι ονομάζεται μεταβλητή στη στατιστική; Πως συμβολίζεται; 5. Ποιες είναι οι ποιοτικές μεταβλητές; Να δώσετε σχετικό παράδειγμα. 6. Ποιες είναι οι ποσοτικές μεταβλητές; Σε ποιες κατηγορίες διακρίνονται οι ποσοτικές μεταβλητές; Να δώσετε σχετικά παραδείγματα. 7. Τι ονομάζεται διαλογή στη στατιστική; 8. Τι ονομάζεται συχνότητα ν i της τιμής i μιας μεταβλητής ; Να εξηγήσετε ότι: v v v... v κ v 9. Τι είναι ο πίνακας κατανομής συχνοτήτων; 0. Να ορίσετε της σχετική συχνότητα f i της τιμής i μιας μεταβλητής.. Να αποδείξετε ότι f f f... f κ. Να ορίσετε της σχετική συχνότητα επί της εκατό f i %.. Να ορίσετε της αθροιστική συχνότητα Ν i της τιμής i μιας μεταβλητής. 4. Να ορίσετε της σχετική αθροιστική συχνότητα F i της τιμής i μιας μεταβλητής. 5. Πως παρουσιάζουμε τα στατιστικά δεδομένα με ραβδογράμματα κυκλικά διαγράμματα και εικονογράμματα;

Μαθηματικά T.E.E - Α Τάξη ου Κύκλου Κεφάλαιο : Περιγραφική Στατιστική ΕΝΟΤΗΤΑ : Ομαδοποίηση Παρατηρήσεων Ερωτήσεις Θεωρίας Ορισμοί Παρατηρήσεις. Τι ονομάζεται ομαδοποίηση; Πότε ομαδοποιούμε στατιστικά δεδομένα;. Τι ονομάζεται κλάση (ομάδα); Τι ονομάζεται κέντρο κλάσης (κεντρική τιμή);. Τι ονομάζεται ιστόγραμμα και πως κατασκευάζεται; 4. Πως κατασκευάζεται το πολύγωνο συχνοτήτων; 5. Πως κατασκευάζεται το ιστόγραμμα (σχετικής) αθροιστικής συχνότητας; ΕΝΟΤΗΤΑ : Παράμετροι Θέσης Ερωτήσεις Θεωρίας Ορισμοί Παρατηρήσεις. Να ορίσετε την επικρατούσα τιμή;. Να ορίσετε τη μέση τιμή της μεταβλητής με παρατηρήσεις t t t t ν.. Να ορίσετε τη μέση τιμή της μεταβλητής όταν στις τιμές της κ αντιστοιχίζονται οι συχνότητες ν ν ν ν κ. 4. Πως υπολογίζουμε τη μέση τιμή μιας συνεχούς μεταβλητής; 5. Να ορίσετε τη διάμεσο δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων. ΕΝΟΤΗΤΑ 4: Παράμετροι Διασποράς - Συντελεστής Μεταβλητότητας CV Ερωτήσεις Θεωρίας Ορισμοί Παρατηρήσεις. Να ορίσετε το εύρος τιμών R ενός σύνολο παρατηρήσεων.. Να ορίσετε τη διακύμανση s μιας μεταβλητής με παρατηρήσεις t t t t ν και μέση τιμή.. Να ορίσετε τη διακύμανση s μιας μεταβλητής όταν στις τιμές της κ αντιστοιχίζονται οι συχνότητες ν ν ν ν κ και η μέση τιμή είναι. 4. Να ορίσετε τη τυπική απόκλιση s μιας μεταβλητής. 5. Να ορίσετε τo συντελεστή μεταβλητότητας CV ενός δείγματος. 6. Πότε ένα δείγμα ονομάζεται ομοιογενές και πότε ανομοιογενές;

Μαθηματικά T.E.E - Α Τάξη ου Κύκλου Κεφάλαιο : Περιγραφική Στατιστική Ασκήσεις & Προβλήματα Βασικές Έννοιες Ορισμοί Συχνότητα Παρατηρήσεων. Ο διπλανός πίνακας δίνει τον αριθμό των επισκέψεων 50 οικογενειών σε χώρες του εξωτερικού τα τελευταία χρόνια. Να υπολογιστεί ο αριθμός και το ποσοστό των οικογενειών που έχουν ταξιδέψει: α) σε μια τουλάχιστον χώρα. β) σε περισσότερες από χώρες. γ) σε περισσότερες από χώρες αλλά έως και 5 χώρες. δ) το πολύ σε 6 χώρες. ε) ακριβώς σε χώρες. Αριθμός Χωρών ν i 0 5 0 9 4 9 5 6 Σύνολο 50. Τα αποτελέσματα των 5 ρίψεων ενός ζαριού δίνονται στον πίνακα: Α) Να συμπληρωθεί ο πίνακας με όλες τις συχνότητες. Β) Να υπολογιστεί το πλήθος των ενδείξεων που είναι: i) μικρότερες του ii) μεγαλύτερες ή ίσες του 4 Γ) Να υπολογιστεί το ποσοστό των ενδείξεων που είναι: i) μεγαλύτερες ή ίσο του 5 ii) ακριβώς 4 iii) μικρότερο του 4 i 4 5 6 ν i 7 6 4. Τα αποτελέσματα των εκλογών σε ένα εκλογικό τμήμα δίνονται από τον παρακάτω ελλιπή πίνακα. α) Να βρείτε πόσοι εκλογείς ψήφισαν στο τμήμα αυτό; β) Να βρείτε πόσες ψήφους πήρε κάθε κόμμα σε αυτό το εκλογικό τμήμα γ) Να σχεδιάσετε το ραβδόγραμμα των σχετικών συχνοτήτων. Κόμμα ν i f i Α 05 Β 50 00 Γ 05 Δ Σύνολο 4. Από τις 00 οικογένειες ενός χωριού 0 οικογένειες ρωτήθηκαν πόσα παιδία έχουν και δόθηκαν οι παρακάτω απαντήσεις: 0 0 α) Να γίνει ο πίνακας συχνοτήτων (απόλυτης σχετικής και αθροιστικής). β) Να γίνει γραφική παράσταση των δεδομένων (ραβδόγραμμα κυκλικό διάγραμμα και σημειόγραμμα) γ) Πόσες οικογένειες έχουν τουλάχιστον παιδία; δ) Πόσες οικογένειες έχουν λιγότερα από δυο παιδία; ε) Ποιο είναι το ποσοστό των οικογενειών χωρίς παιδία; Ομαδοποίηση Παρατηρήσεων 5. Δίνεται ο πίνακας των μηνιαίων αμοιβών σε των υπαλλήλων μιας εταιρείας. Αμοιβή i ν i α) Ποιο είναι το πλάτος της κάθε κλάσης; β) Ποιο είναι το κέντρο της 4 ης κλάσης; γ) Ποια είναι συχνότητα της 5 ης κλάσης; δ) Ποια είναι σχετική συχνότητα της ης κλάσης; ε) Πόσοι υπάλληλοι παίρνουν τουλάχιστον 700 ; στ) Πόσοι υπάλληλοι παίρνουν το πολύ 800 ; ζ) Πόσοι υπάλληλοι παίρνουν τουλάχιστον 600 αλλά το πολύ 900 ; [500 600) [600 700) 8 [700 800) 7 [800 900) 5 [900 000) Σύνολο 50

Μαθηματικά T.E.E - Α Τάξη ου Κύκλου Κεφάλαιο : Περιγραφική Στατιστική 4 Παράμετροι Θέσης 6. Δίνεται ο πίνακας συχνοτήτων: α) Να συμπληρώσετε τον πίνακα. β) Να βρείτε τη μέση τιμή. i ν i i ν i f i f i % 5 8 4 5 5 0 Σύνολο 7. Η βαθμολογία ενός μαθητή σε 0 μαθήματα είναι: 5 7 6 8 4 5 4 0 5 Να βρείτε: α) το εύρος β) την επικρατούσα τιμή γ) τη μέση τιμή δ) τη διάμεσο 8. Εξετάσαμε 0 οικογένειες ως προς τον αριθμό των παιδιών που έχουν. Τα αποτελέσματα φαίνονται στο διπλανό πίνακα. α) Να βρείτε την επικρατούσα τιμή. β) Να βρείτε τη μέση τιμή. γ) Να κατασκευάσετε τον πίνακα αθροιστικών συχνοτήτων και να βρείτε πόσες οικογένειες έχουν λιγότερα από τρία παιδία. Αριθμός Παιδιών Οικογένειες i ν i 0 5 8 4 Σύνολο 0 9. Ρωτήθηκαν 50 άνθρωποι για το πόσες φορές έχουν ταξιδέψει εκτός Ευρώπης τα τελευταία 5 χρόνια. Οι απαντήσεις δίνονται στο διπλανό πίνακα. i 0 4 5 6 7 ν i 7 5 9 7 8 5 5 4 α) Να κατασκευαστεί ο πίνακας όλων των συχνοτήτων. β) Ν κατασκευαστεί οριζόντιο ραβδόγραμμα συχνοτήτων. γ) Να υπολογιστεί η επικρατούσα τιμή και η διάμεσος. δ) Να υπολογιστεί η μέση τιμή. ε) Να υπολογιστεί ο αριθμός και το ποσοστό όσων έχουν ταξιδέψει: i) λιγότερες από φορές. ii) από 4 μέχρι και 6 φορές iii) περισσότερες από 5 φορές. 0. Ο διπλανός πίνακας δίνει τη συχνότητα 40 παιδιών κατά ηλικία: Να βρείτε τη μέση τιμή. Ηλικία [4 5) [5 6) [6 7) [7 8) [8 9) [9 0) Αριθμός Παιδιών 5 40 6 55 8 0. Δίνεται ο πίνακας: Να υπολογίσετε τη συχνότητα του 5 όταν: α) Υπάρχουν δυο επικρατούσες τιμές. β) Η μέση τιμή είναι ο αριθμός. γ) Η διάμεσος είναι.. Δίνεται ο πίνακας: Να βρεθεί η συχνότητα της τιμής όταν: α) Η μέση τιμή είναι ο αριθμός 5. β) Υπάρχουν δυο επικρατούσες τιμές. γ) Η διάμεσος είναι 45. i 4 5 ν i 8 i 4 5 6 7 ν i 4 5 7 8 7

Μαθηματικά T.E.E - Α Τάξη ου Κύκλου Κεφάλαιο : Περιγραφική Στατιστική 5. Δίνεται ο πίνακας: Να βρεθεί η συχνότητα της τιμής 4 όταν: α) Υπάρχουν δυο επικρατούσες τιμές. β) Η μέση τιμή είναι ο αριθμός 8. γ) Η διάμεσος είναι. i 0 4 6 8 ν i 6 8 7 5 4. Ο μέσος μισθός των υπαλλήλων μιας εταιρείας είναι 00. Αν ο μισθός κάθε υπαλλήλου αυξηθεί κατά 0% να βρείτε τη μεταβολή που επέρχεται στο μέσο όρο. 5. Από το πλήθος 00 παρατηρήσεων t t t 00 βρήκαμε μέση τιμή = 5. Αν υποθέσουμε ότι η μέση τιμή των 60 παρατηρήσεων από αυτές είναι να βρεθεί η μέση τιμή των υπολοίπων 40 παρατηρήσεων. 6. Οι βαθμοί 7 μαθητών στα Μαθηματικά για το δεύτερο τετράμηνο είναι: 6 0 6 9 0 α β και η μέση βαθμολογία τους είναι 4. Αν ισχύει η σχέση α = β να βρείτε: α) Τα α και β. β) την επικρατούσα τιμή και τη διάμεσο της παραπάνω βαθμολογίας. 7. Το μέσο ημερομίσθιο 0 υπαλλήλων είναι 40. Από αυτούς οι 5 είναι ειδικευμένοι και έχουν μέσο ημερομίσθιο 60. Να βρείτε το μέσο ημερομίσθιο των υπολοίπων. 8. Σε μια ομάδα μπάσκετ παικτών το μέσο ύψος είναι 0m. Να βρείτε το μέσο ύψος της ομάδας όταν: α) φύγει ένας παίκτης με ύψος 90m. β) αν δοθεί μεταγραφή σε δυο παίκτες με ύψος 05mκαι 95m. γ) φύγει ένας παίκτης με ύψος 90m και έρθει ένας άλλος με ύψος 0m. δ) Αν θέλουμε η ομάδα να έχει μέσο ύψος 04m να βρείτε τι ύψος πρέπει να έχει ο παίκτης που θα έρθει στη θέση του παίκτη με ύψος 90m που θα φύγει. 9. Η κατανομή των 50 μαθητών ενός Λυκείου ως προς τις ώρες τους ανά εβδομάδα έχει μέση τιμή = 5. Αν οι 40 μαθητές της Α Λυκείου μελετούν κατά μέσο όρος 8 ώρες την εβδομάδα ενώ οι 50 μαθητές της Β Λυκείου κατά ώρες την εβδομάδα να βρεθεί ο μέσος χρόνος μελέτης την εβδομάδα των μαθητών της Γ Λυκείου. 0. Ο μέσος όρος στα μαθηματικά των μαθητών μιας τάξης ενός Λυκείου είναι 4. Στη τάξη αυτή ήρθαν από άλλο σχολείο δυο μαθητές με βαθμούς: ο ένας 9 και άλλος. Ο νέος μέσος όρος είναι ίσος με 4. Να βρεθεί ο αρχικός αριθμός των μαθητών της τάξης.. Επτά διαδοχικοί ακέραιοι έχουν μέση τιμή 0. Να βρεθούν οι αριθμοί αυτοί και η διάμεσος τους.. Έξι διαδοχικοί περιττοί αριθμοί έχουν μέση τιμή 4. Να βρεθούν οι αριθμοί αυτοί καθώς και η διάμεσος τους.. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθμοί έχουν μέση τιμή 5. Να βρεθούν οι αριθμοί αυτοί καθώς και η διάμεσος τους. 4. Αν η μέση τιμή και η διάμεσος 5 αριθμών είναι 6 και οι τρεις από αυτούς είναι 5 8 9 να βρείτε τους άλλους δυο. 5. Ο ακόλουθος πίνακας δίνει τη σχετική συχνότητα f i των τιμών i μιας μεταβλητής με μέση τιμή = 5. i 0 0 0 40 50 α) Να συμπληρωθεί ο πίνακας. f i 0. 0. 0.5 β) Να βρεθεί το εύρος. γ) Να βρεθεί η επικρατούσα τιμή και η διάμεσος.

Μαθηματικά T.E.E - Α Τάξη ου Κύκλου Κεφάλαιο : Περιγραφική Στατιστική 6 6. Δίνεται ο πίνακας συχνοτήτων με τον αριθμό Αρ. Τερμάτων τερμάτων που σημειώθηκαν σε κάθε ένα από τους i 0 4 0 αγώνες ενός πρωταθλήματος ποδοσφαίρου. Αγώνες f i 4 5 α) Να υπολογίσετε τις συχνότητες που έχουν χαθεί αν η συχνότητα της τιμής είναι διπλάσια από τη συχνότητα της τιμής. β) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή. γ) Να κάνετε πίνακα με όλες τις συχνότητες (f i N i F i f i % F i %). δ) Να βρείτε το ποσοστό των αγώνων που σημειώθηκαν τουλάχιστον τέρματα. ε) Να βρεθεί το πλήθος των αγώνων που σημειώθηκαν ακριβώς τέρματα. Παράμετροι Διασποράς Συντελεστής Μεταβλητότητας 7. Ένα προϊόν πωλείται σε 9 διαφορετικά καταστήματα στις παρακάτω τιμές (σε ) 0 4 6 4 5 Να υπολογίσετε: α) τις παραμέτρους θέσης. β) τις παραμέτρους διασποράς. γ) το συντελεστή μεταβλητότητας. 8. Οι 0 μαθητές μιας τάξης ρωτήθηκαν πόσες φορές βγαίνουν την εβδομάδα. Οι απαντήσεις τους ήταν: 4 α) Να κατασκευάσετε πίνακα με όλες τις συχνότητες. β) Να κατασκευάσετε κατακόρυφο ραβδόγραμμα συχνοτήτων. γ) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο. δ) Να βρείτε τη διακύμανση και τη τυπική απόκλιση. ε) Να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές. 9. Δυο σκοπευτές Α και Β ρίχνουν σε Α 4 8 6 8 5 ένα στόχο 0 φορές με το ίδιο όπλο. Ο διπλανός πίνακας καταγράφει την Β 6 5 4 7 5 8 7 6 7 8 απόσταση σε χιλιοστά από το κέντρο του στόχου. Να βρείτε ποιος από τους δυο σκοπευτές παρουσιάζει μεγαλύτερη ομοιογένεια στις βολές του. 0. Ο διπλανός πίνακας δίνει τον αριθμό των επισκέψεων 50 μαθητών σε μουσεία κατά τη διάρκεια του έτους Να υπολογιστούν: α) Η επικρατούσα τιμή. β) Η μέση τιμή γ) Η διάμεσος. δ) Η τυπική απόκλιση. ε) Είναι το δείγμα ομοιογενές; Επισκέψεις ν i [0 ) 0 [ 4) 4 [4 6) [6 8) 8 [8 0) 6 Σύνολο 50. Δείγμα 5 μαθητών έδωσε τις απαντήσεις: 4 5 4 4 5 4 4 α) Να γίνει πίνακας συχνοτήτων. β) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο. γ) Να κάνετε πίνακα σχετικών συχνοτήτων. δ) Να κατασκευάσετε ραβδόγραμμα σχετικών συχνοτήτων. ε) Να γίνει κυκλικό διάγραμμα συχνοτήτων. στ) Να υπολογίσετε το εύρος. ζ) Είναι το δείγμα ομοιγενές;

Μαθηματικά T.E.E - Α Τάξη ου Κύκλου Κεφάλαιο : Περιγραφική Στατιστική 7. Ο επόμενος πίνακας δίνει τους βαθμούς των μαθητών μιας τάξης σε ένα διαγώνισμα: α) Να υπολογιστούν τα μέτρα θέσης. β) Να υπολογιστούν τα μέτρα διασποράς. γ) Να υπολογιστούν ο αριθμός και το ποσοστό των μαθητών που πήραν: i) πάνω από τη βάση ii) τουλάχιστον 5 iii) το πολύ 6 iv) από έως 8 i 9 5 6 8 0 ν i 5 5 8 5. Η βαθμολογία 50 μαθητών Βαθμοί 0 - - 4 4-6 6-8 8-0 στα Μαθηματικά Αριθμός Μαθητών 5 0 0 0 5 κυμαίνεται από 0 έως 0 σύμφωνα με τον πίνακα: α) Να κάνετε πίνακα με όλες τις συχνότητες. β) Να κάνετε πολύγωνο συχνοτήτων και πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων. γ) Να βρείτε την επικρατούσα κλάση. δ) Να βρείτε τη μέση τιμή. ε) Να βρεθεί η διάμεσος. στ) Πόσοι μαθητές έχουν βαθμό κάτω από 4. ζ) Να υπολογίσετε τη διακύμανση της κατανομής. η) Να υπολογιστεί η τυπική απόκλιση και ο συντελεστής μεταβλητότητας 4. Να συμπληρωθεί ο πίνακας: α) Να συμπληρωθεί ο πίνακας. β) Να υπολογιστούν οι παράμετροι διασποράς. i ν i f i f i % N i F i i ν i 0 5 Σύνολο 50 5. Η μέση τιμή του βάρους των μαθητών ενός τμήματος είναι 60Kg. Αν ο συντελεστής μεταβολής είναι 0 και ισχύει ν ν... ν κ κ 600 να βρείτε: α) τη διακύμανση β) τον αριθμό των μαθητών (ν). 6. Σε μια πολυκατοικία κατοικούν 50 άτομα. Η ηλικία τους κυμαίνεται από 5 65 χρόνια. Αν γνωρίζουμε ότι 0 άτομα έχουν ηλικία κάτω από 5 χρόνια 5 άτομα κάτω από 5 χρόνια 0 άτομα έχουν ηλικία 55 χρόνια και άνω και αλλά 5 άτομα έχουν ηλικία ίση και μεγαλύτερη από 45 χρόνια: α) Να κάνετε πίνακα συχνοτήτων. β) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή. γ) Να βρείτε τη διακύμανση. δ) Να βρείτε την επικρατούσα κλάση τιμή. 7. Σε μια αστική πόλη διεξήχθη έρευνα για τα ατυχήματα που γίνονται στο σπίτι με παιδία ηλικίας κάτω των 0 ετών. Ο αριθμός των αναφερομένων ατυχημάτων και οι ηλικίες των παιδιών δίνονται στο διπλανό πίνακα. α) Να κάνετε το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων. β) Να βρείτε τη διάμεσο και την επικρατούσα κλάση. γ) Υπολογίστε στον πλησιέστερο μήνα τη μέση τιμή. δ) Υπολογίστε τη τυπική απόκλιση. Ηλικία Παιδιών [0 ) [ 4) [4 6) [6 8) [8 0) Αριθμός Ατυχημάτων 60 85 0 0 5

Μαθηματικά T.E.E - Α Τάξη ου Κύκλου Κεφάλαιο : Περιγραφική Στατιστική 8 8. Ο επόμενος πίνακας δίνει τις ηλικίες των υπαλλήλων μιας εταιρίας. α) Να γίνουν πολύγωνα και ιστογράμματα όλων των συχνοτήτων. β) Να υπολογιστεί η επικρατούσα τιμή. γ) Να υπολογιστεί η διάμεσος. δ) Είναι το δείγμα ομοιογενές; Ηλικία [0 0) [0 40) [40 50) [50 60) [60 70) Υπάλληλοι 5 4 8

Μαθηματικά T.E.E - Α Τάξη ου Κύκλου Κεφάλαιο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης 9 Κεφάλαιο Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΕΝΟΤΗΤΑ : Η Έννοια του Ορίου Ιδιότητες του Ορίου Συνάρτησης Ερωτήσεις Θεωρίας Ορισμοί Παρατηρήσεις. Να εξηγήσετε την έννοια του ορίου με ένα παράδειγμα (συνάρτηση θέσης κινητού μέση ταχύτητα στιγμιαία ταχύτητα);. Να ορίσετε το όριο συνάρτησης. Μπορούμε να αναζητούμε ένα όριο συνάρτησης σε ένα σημείο 0 που αυτή δεν ορίζετε;. Ποιες είναι οι ιδιότητες ορίου συνάρτησης; ΕΝΟΤΗΤΑ : Πλευρικά Όρια Απροσδιόριστες Μορφές Ερωτήσεις Θεωρίας Ορισμοί Παρατηρήσεις. Πότε παίρνουμε πλευρικά όρια μιας συνάρτησης;. Αν για μια συνάρτηση f ισχύει: f 0 τότε τι προκύπτει για τα πλευρικά όρια στο 0 ;. Αν τα πλευρικά όρια μιας συνάρτησης f στο 0 είναι διαφορετικά τότε τι προκύπτει για το όριο της συνάρτησης στο 0 ; 4. Πότε λέμε ότι το όριο μιας συνάρτησης f είναι μη πεπερασμένο; 5. Ποιες είναι οι επιτρεπτές πράξεις με το άπειρο; 6. Ποιες είναι οι μη επιτρεπτές πράξεις (απροσδιόριστες μορφές);

Μαθηματικά T.E.E - Α Τάξη ου Κύκλου Κεφάλαιο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης 0 7. Πως αντιμετωπίζουμε την απροσδιόριστη μορφή (0/0) για ρητές συναρτήσεις; 8. Πως αντιμετωπίζουμε την απροσδιόριστη μορφή (0/0) για ριζικά; ΕΝΟΤΗΤΑ : Συνέχεια Συνάρτησης Ερωτήσεις Θεωρίας Ορισμοί Παρατηρήσεις. Ποιες είναι οι τρεις προϋποθέσεις που πρέπει να πληρούνται ώστε μια συνάρτηση f να είναι συνεχής σε ένα σημείο 0 ;. Να ορίσετε την έννοια της συνέχειας μιας συνάρτησης f σε ένα σημείο 0 ;. Πότε θα λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα (α β) ή [α β]; 4. Τι γνωρίζετε για τη συνέχεια των βασικών συναρτήσεων; 5. Ποιες είναι οι ιδιότητες των συνεχών συναρτήσεων;

Μαθηματικά T.E.E - Α Τάξη ου Κύκλου Κεφάλαιο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Ασκήσεις & Προβλήματα Η Έννοια του Ορίου Ιδιότητες του Ορίου Συνάρτησης. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: 5 i) 4 5 ii) 4 iii) 4. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: i) 0 ii) iii). Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: 8 5 i) ii) e 0 4. Έστω μια συνάρτηση f με 4 f. Να βρείτε το i) g f ii) g g αν: ln iii) 5 f 5 iii) g f 5 f iv) g f f v) g vi) g f 4f f f 5. Αν ισχύει α να υπολογίσετε τον πραγματικό αριθμό α. 6. Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ στα παρακάτω όρια: λ i) 4 00 47 λ ii) λ 7. Αν η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο R και ισχύει: f 5 να βρεθεί το f. 8. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι ορισμένες στο R και ισχύουν: f g f g 4 να βρείτε τα όρια f και g. και Πλευρικά Όρια Απροσδιόριστες Μορφές λ 9. Έστω η συνάρτηση f με f. Να βρείτε: λ λ 7 f και το f i) το ii) τις πραγματικές τιμές του λ ώστε να υπάρχει το f 0. Να βρείτε αν υπάρχει το όριο της f στο σημείο που αλλάζει ο τύπος όταν: i) f ii) f e 0 0

Μαθηματικά T.E.E - Α Τάξη ου Κύκλου Κεφάλαιο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης. Να βρείτε αν υπάρχει το όριο της f στο σημείο που αλλάζει ο τύπος όταν: i) f ii) f. Να βρείτε αν υπάρχει το όριο της f στο σημείο που αλλάζει ο τύπος όταν: i) f 4 ln ii) f 7 6 8 λ. Έστω η συνάρτηση f με f. Να βρείτε τον λr αν υπάρχει το λ f. 4. Να βρείτε τον αριθμό αr ώστε η συνάρτηση α f 4 να έχει όριο στο 0 =. α 5. Έστω η συνάρτηση f με f. Για ποια τιμή του α υπάρχει το α f α. α β 6. Έστω η συνάρτηση f με. Αν είναι α β f f 0 να βρείτε τα α και β. 7. Αν f να βρείτε τα κ λ ώστε να υπάρχουν τα f κ λ λ κ και f. α β 8. Έστω η συνάρτηση f με f. Να βρείτε τις τιμές των α β ώστε η γραφική β α παράσταση της f να διέρχεται από το σημείο Α( ) και να υπάρχει το f. 9. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: i) 4 ii) 8 iii) 0. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: i) 8 ii) 6 iii) 4 9. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: i) 8 4 ii) 9 7 iii) 4 6 4. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: i) ii) 5 6 iii) 7 0

Μαθηματικά T.E.E - Α Τάξη ου Κύκλου Κεφάλαιο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: i) 4 ii) 5 4 iii) 4. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: i) 0 5 4 6 ii) iii) 4 6 6 6 5. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: i) 8 6 ii) 8 iii) 5 6. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: i) ii) 4 4 iii) 8 7. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: i) 9 9 ii) 4 5 4 iii) 6 8. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: i) 7 ii) 9 iii) 4 5 4 9. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: i) 5 7 5 ii) 0 5 5 5 iii) 0 0. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: i) 5 ii) 4 5 5 iii). Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: i) 4 5 4 ii) 6 iii). Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: i) ii) 0 8 iii). Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: 4. i) 5 0 4 ii) 6 4 4 iii) 5 6

Μαθηματικά T.E.E - Α Τάξη ου Κύκλου Κεφάλαιο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης 4 5. Δίνεται η συνάρτηση α 6 β f. Αν η f έχει στο σημείο 0 = όριο l να βρείτε τους αριθμούς α β l R. Συνέχεια Συνάρτησης 6. Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις συναρτήσεις στο σημείο που αλλάζει ο τύπος της όταν: i) ii) f f 7. Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις συναρτήσεις στο σημείο που αλλάζει ο τύπος της όταν: i) f ii) f 8. Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις συναρτήσεις στο σημείο που αλλάζει ο τύπος της όταν: 9. i) 7 7 7 8 f ii) 5 f 40. Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τη συνάρτηση 7 9 4 f 4. Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τη συνάρτηση f 4. Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τη συνάρτηση f 4. Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τη συνάρτηση 0 0 f 44. Δίνεται η συνάρτηση. Να μελετήσετε τη συνέχεια της συνάρτησης στο 0 =. 0 e f

Μαθηματικά T.E.E - Α Τάξη ου Κύκλου Κεφάλαιο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης 45. i) Να βρείτε τη τιμή του λ ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο σημείο 0 =. ii) Να υπολογίσετε το 0 λ 900 46. Να βρείτε τη τιμή του κ ώστε η συνάρτηση 5 6 λ i) Να βρείτε τα f και f 47. Δίνεται η συνάρτηση f λ 5 κ κ g να είναι συνεχής στο 0 =. κ 5 ii) Να υπολογίσετε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ αν η f είναι συνεχής στο 0 =. λ 5 iii) Να υπολογίσετε το 5 5 48. Δίνεται η συνάρτηση f i) Να βρείτε το f. ii) Να βρείτε το f. 7 8 λ iii) Να υπολογίσετε το λr αν η f είναι συνεχής στο 0 =. 49. Έστω η συνάρτηση f συνεχής στο R και συνάρτηση g με g f ότι g 7 να βρείτε το f. 50. Να βρείτε τη τιμή του α ώστε η συνάρτηση f α β 5. Δίνεται η συνάρτηση f 0. α 4 i) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α β αν είναι γνωστό ότι η f είναι συνεχής στο 0 =. ii) Να συμπληρώσετε τον διπλανό πίνακα τιμών. iii) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f αν 0 4. 5. Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο 0 =. 5. Δίνεται η συνάρτηση f α 4 λ 6 λ 0 α. Αν είναι γνωστό να είναι συνεχής. 0 4 f(). Να βρείτε τη τιμή του α ώστε η f να είναι. Να βρείτε το λr αν η f είναι συνεχής στο 0 =. 5

Μαθηματικά T.E.E - Α Τάξη ου Κύκλου Κεφάλαιο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης 6 54. Έστω η συνάρτηση f με τύπο f κ 9 λ κ λ αν είναι γνωστό ότι f και η f είναι συνεχής στο 0 = 0. α β 0. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς 0 55. Δίνεται η συνάρτηση f. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α β αν α β είναι γνωστό ότι η f είναι συνεχής στο 0 =. α 56. Δίνεται η συνάρτηση f β. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α β αν ln είναι γνωστό ότι η f είναι συνεχής στο 0 = και στο 0 = 57. Έστω η συνάρτηση f λ κ. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς κ λ αν είναι γνωστό ότι η f είναι συνεχής στο 0 = και f α 4 β αν είναι γνωστό ότι η f είναι συνεχής στο R. 58. Δίνεται η συνάρτηση f.. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α β 59. Να βρείτε τη τιμή του α ώστε η συνάρτηση f 5 7 6 α 6 5 5 να είναι συνεχής. 60. Δίνεται η συνάρτηση f ημ συν β 0 π π π. Αν f f π π να βρείτε την τιμή το βr. π α βημ 4 α βσυνπ αν η f είναι συνεχής στο R. 6. Δίνεται η συνάρτηση f. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α β 6. Αν α R να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση f α α α α α 6. Αν f 5 α. Να εξετάσετε αν υπάρχει τιμή του α ώστε η f να είναι συνεχής. α 4α 5

Μαθηματικά T.E.E - Α Τάξη ου Κύκλου Κεφάλαιο : Διαφορικός Λογισμός 7 Κεφάλαιο Στοιχεία Διαφορικού Λογισμού ΕΝΟΤΗΤΑ : Η Έννοια της Παραγώγου Παράγωγος Συνάρτηση Ερωτήσεις Θεωρίας Ορισμοί Παρατηρήσεις. Να ορίσετε τη παράγωγο μιας συνάρτησης f σε ένα σημείο 0. Πότε μια συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο 0 ; [ ορισμοί]. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο 0 στη περίπτωση που η f αλλάζει τύπο στο 0 ;. Ποια η σχέση παραγωγισιμότητας και συνέχειας μια συνάρτησης f σε ένα σημείο 0 ; 4. Ποια σημεία συνάρτησης ονομάζονται γωνιακά σημεία; 5. Τι ονομάζουμε παράγωγο συνάρτηση f μιας συνάρτησης f σε ένα διάστημα (α β); [ ορισμοί] 6. Παρατήρηση: Δεν πρέπει να γίνεται σύγχυση μεταξύ των εννοιών «παράγωγος της f» και «παράγωγος της f στο 0». Η πρώτη δηλώνει συνάρτηση ενώ η δεύτερη αριθμό. ΕΝΟΤΗΤΑ : Παράγωγοι Βασικών Συναρτήσεων Κανόνες Παραγώγισης Ερωτήσεις Θεωρίας Ορισμοί Παρατηρήσεις. Να γράψετε τις παραγώγους των παρακάτω βασικών συναρτήσεων: c α με αr * >0 ημ συν e ln με >0. Αν οι συναρτήσεις f g: AR είναι παραγωγίσιμες στο πεδίο ορισμού τους Α να γράψετε τους κανόνες παραγώγισης των παρακάτω συναρτήσεων. f g c f f g f g

Μαθηματικά T.E.E - Α Τάξη ου Κύκλου Κεφάλαιο : Διαφορικός Λογισμός 8. Να ορίσετε τη παράγωγο της σύνθετης συνάρτησης f g. 4. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης εφ f. 5. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f. 6. Τι ονομάζονται παράγωγοι ανώτερη τάξης μιας συνάρτησης f; 7. Παρατήρηση: Οι κανόνες παραγώγισης f g f g και ισχύουν και για περισσότερες από δυο συναρτήσεις. f g f g f g ΕΝΟΤΗΤΑ : Παράγουσα Συνάρτηση - Ρυθμός Μεταβολής Ερωτήσεις Θεωρίας Ορισμοί Παρατηρήσεις. Να ορίσετε τη παράγουσα συνάρτηση F() της συνάρτησης f().. Να γράψετε τις παράγουσες συναρτήσεις των παρακάτω βασικών συναρτήσεων f: 0 α με α->0 e συν ημ συν ημ. Να γράψετε τις παράγουσες συναρτήσεις των παρακάτω σύνθετων συναρτήσεων: g g g g g α g g e g 4. Να ορίσετε τo ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης f g g y ως προς όταν το είναι ίσο με 0. ΕΝΟΤΗΤΑ 4: Μονοτονία Συνάρτησης Ακρότατα Συνάρτησης Ερωτήσεις Θεωρίας Ορισμοί Παρατηρήσεις. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της και πότε γνησίως φθίνουσα;. Τι συμπεραίνουμε ως προς τη μονοτονία μιας συνάρτησης f όταν ισχύει f 0 ; Ομοίως τι συμπεραίνουμε f όταν ισχύει f 0 σε ένα διάστημα Δ;. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f έχει τοπικό μέγιστο και πότε τοπικό ελάχιστο σε ένα διάστημα Δ; 4. Αν μια συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο 0 του πεδίου ορισμού της f. (Θεώρημα Fermat). Ισχύει το αντίστροφο; και είναι παραγωγίσιμη σε αυτό τότε με τι ισούται το 5. Να περιγράψετε το κριτήριο της ης παραγώγου. 6. Να περιγράψετε το κριτήριο της ης παραγώγου. 0

Μαθηματικά T.E.E - Α Τάξη ου Κύκλου Κεφάλαιο : Διαφορικός Λογισμός Ασκήσεις & Προβλήματα 9 Η Έννοια της Παραγώγου Παράγωγος Συνάρτηση. Να βρείτε το f όταν η f είναι f.. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0 = και να βρείτε το. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0 = 4. Δίνεται η συνάρτηση f με f. 6 4 i) Να εξετάσετε αν η f είναι συνεχής στο 0 =. ii) Να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 = και να βρείτε αν υπάρχει το f. 5. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0 = 6. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f f. είναι παραγωγίσιμη στα σημεία: i) 0 = ii) 0 = 7. Έστω η συνάρτηση f με f. Είναι το σημείο 0 = γωνιακό σημείο; Δικαιολογήστε την απάντηση σας. 8. Δίνεται η συνάρτηση f με f. α i) Να βρεθεί για ποια τιμή του α θα είναι η f συνεχής στο 0 =. ii) Για τη τιμή αυτή του α να εξετάσετε αν η f είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο 0 =. α 0 9. Για ποιες τιμές του αr η f με f είναι: α i) συνεχής στο 0 = 0. ii) παραγωγίσιμη στο 0 = 0. 0. Δίνεται η συνάρτηση f με f. α β i) Να βρεθεί η σχέση που συνδέει τα α και βr έτσι ώστε η f να είναι συνεχής στο 0 =. ii) Να βρεθούν τα α βr έτσι ώστε η f να είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο 0 =.. Να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης f και στη συνέχεια ο αριθμός f 5. Παράγωγοι Βασικών Συναρτήσεων Κανόνες Παραγώγισης. Να βρείτε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: i) f ii) f 5 6 iii) f ln

Μαθηματικά T.E.E - Α Τάξη ου Κύκλου Κεφάλαιο : Διαφορικός Λογισμός 0. Να βρείτε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: i) f ln ii) f ημ συν 5 5 iii) f e 5 4. Να βρείτε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: i) f ln f συν ημ ii) iii) f 5. Να βρείτε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: i) f ii) f 4 ln e iii) f 5 e 6. Να βρείτε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: i) f ln ii) f ημ 7. Να βρείτε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: i) f συν ii) f e iii) f iii) f 8. Να βρείτε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: i) f ln e ημ ii) f ημ συν iii) f ln συν 9. Να βρείτε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: 5 ημ i) f ii) 0. Να βρείτε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: i) f ii) f ln. Να βρείτε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: e i) f e συν ln ii) f e. Να βρείτε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: 5 e i) f ii) f ημ ln. Να βρείτε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: i) f ημ συν ii) f 4 f iii) f iii) iii) f iii) f ln ln f ημ 4 iii) f e ημ 4. Να βρείτε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: i) f f f συν ii) 4 iii) 5. Να βρείτε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: ii) f iii) f i) f ημ 6. Να βρείτε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: i) 4 f e ii) f e ημ iii) f e

Μαθηματικά T.E.E - Α Τάξη ου Κύκλου Κεφάλαιο : Διαφορικός Λογισμός 7. Να βρείτε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: f ln 5 f ln e i) ii) 8. Να βρείτε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: i) f συν ii) f ημ 9. Να βρείτε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: i) f συν ii) f ημ 0. Να βρείτε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: 4 i) f e συν ii) f e. Να βρείτε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: i) f συν 4 5 ii) f iii) f e ln iii) f iii) f συν ημ συν iii) f e 5 ημln lnημ iii) f. Να βρεθούν οι δεύτερες παράγωγοι f i) f ii) f των παρακάτω συναρτήσεων: e ln iii) f e συν. Να βρεθούν οι δεύτερες παράγωγοι f των παρακάτω συναρτήσεων: 5 i) f ii) f lne iii) f ημ 5 4. Να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης: f 5. Να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης: f 8 4 6. Έστω η συνάρτηση f με f ln με > 0. Να δείξετε ότι: 7. Δίνεται η συνάρτηση f με f συν ημ i) Να αποδείξετε ότι f f 0 f f 0. ii) Να βρείτε την τιμή του λr για την ποια ισχύει η σχέση: f π π f 7 8. Έστω f 5 λ. Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες ισχύει: f 9. Για τη συνάρτηση f με f ασυν βημ 40. Έστω f 5 5 0. Αν α βr με e e. e e όπου α βr να δείξετε ότι: f 4f 0 α β να δείξετε ότι f α β f α f β. Παράγουσα Συνάρτηση 4. Να βρείτε τις παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων: i) f ii) f 4 iii) f

Μαθηματικά T.E.E - Α Τάξη ου Κύκλου Κεφάλαιο : Διαφορικός Λογισμός 4. Να βρείτε τις παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων: i) f ii) 4. Να βρείτε τις παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων: i) f ημ ii) f e 44. Έστω συνάρτηση f: RR τέτοια ώστε: f f iii) f 4 iii) και 0 0 7 f f. Να βρείτε το τύπο της f. 45. Να βρείτε το τύπο της συνάρτησης f για την οποία ισχύει ότι f 46. Για μια συνάρτηση F δίνονται ότι: f f 0 και 5 και f. f. Να βρείτε το τύπο της f. 47. Να βρείτε το τύπο της συνάρτησης g για την οποία ισχύουν ότι g 6 48. Δίνεται η συνάρτηση f:rr με τύπο: f λ λ i) Αν ισχύει 4 f να βρείτε τον λ. με λr. g 0 και 0 ii) Για τη τιμή του λ που βρήκατε να υπολογίσετε: α) τη παράγωγο της f β) τη παράγουσα της f. 49. Δίνεται η συνάρτηση f:rr με τύπο: f λ i) Να βρείτε τον λ αν είναι γνωστό ότι f με λr. ii) Για τη τιμή (τιμές) του λ που βρήκατε να υπολογίσετε τη παράγουσα της f. 50. Αν είναι f e > 0 και f e. να βρείτε το υπό της f. 5. Μια ομάδα βιολόγων σε ένα ωκεανογραφικό ινστιτούτο προτείνει να ληφθούν μια σειρά από προληπτικά μέτρα για τη διάσωση ενός συγκεκριμένου είδους φάλαινας από την εξαφάνιση. Αν ο ρυθμός αύξησης του πληθυσμού των φαλαινών συνάρτηση του χρόνου t (σε έτη) είναι: N t 9t 4t 0 t 0 να βρείτε την αύξηση του πληθυσμού των φαλαινών τον πρώτο χρόνο εφαρμογής των μέτρων αυτών. g. Ρυθμός Μεταβολής 5. Ένας πληθυσμός μικροβίων P μεταβάλλεται συναρτήσει του χρόνου t (σε ώρες) σύμφωνα με τον τύπο: P t 0 5 0 t με t 0. i) Να βρείτε τον αρχικό αριθμό μικροβίων. ii) Να βρείτε τον αριθμό μικροβίων όταν t = 0 ώρες. iii) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής των μικροβίων ως προς το χρόνο t. iv) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής των μικροβίων ως προς το χρόνο όταν t = 0 ώρες. 5. Η θέση ενός κινητού πάνω σε ένα άξονα τη χρονική στιγμή t (σε sec) δίνεται από τον τύπο: 9 S t t t 5t με 0 t 5. 4 i) Να βρείτε την αρχική ταχύτητα του κινητού. ii) Ποια χρονική στιγμή η ταχύτητα του είναι 8 μονάδες ανά sec; 54. Το συνολικό κέρδος P (σε ) από την πώληση ηλεκτρονικών υπολογιστών μιας εταιρείας δίνεται από τη συνάρτηση: P 0 με 0 50. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του συνολικού κέρδους αν η εταιρεία κατασκευάζει 0 ηλεκτρονικούς υπολογιστές την ημέρα.

Μαθηματικά T.E.E - Α Τάξη ου Κύκλου Κεφάλαιο : Διαφορικός Λογισμός 55. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού ενός τετραγώνου ως προς την πλευρά του τη στιγμή που αυτό είναι ίσο με 6 τ.μ. 56. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς α και ύψους. i) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του ισόπλευρου τριγώνου ως συνάρτηση του ύψους δίνεται από τον τύπο: E. ii) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του Ε ως προς για. 57. Η πλευρά ενός κύβου μεταβάλλεται. Κάποια στιγμή t 0 ο όγκος του κύβου είναι V 0 = 8m. i) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της επιφάνειας Ε του κύβου τη χρονική στιγμή t 0. ii) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του όγκου V του κύβου ως προς τη πλευρά τη χρονική στιγμή t 0. 58. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του όγκου V μιας σφαίρας ως προς την ακτίνα της τη χρονική στιγμή που αυτή είναι r. π 59. Η ακτίνα μιας σφαιρικής μπάλας από χιόνι δίνεται από τον τύπο: rt 7 t το ρυθμό μεταβολής του όγκου V της μπάλας ως προς το χρόνο t. 7 με 0 t. Να βρείτε Μονοτονία Συνάρτησης Ακρότατα Συνάρτησης 60. Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα οι παρακάτω συναρτήσεις: i) f ii) 4 f f iii) 6 ln 6. Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα οι παρακάτω συναρτήσεις: π 5 iii) f e i) f 9 ii) f 6. Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα οι παρακάτω συναρτήσεις: 4 i) f 9 ii) 6 4 f iii) f 5 4 6. Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα οι παρακάτω συναρτήσεις: 5 i) f ii) f f iii) 64. Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα οι παρακάτω συναρτήσεις: 4 4 i) f ii) f f iii) 65. Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα οι παρακάτω συναρτήσεις: i) f e ii) f ln f iii) ln 66. Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα οι παρακάτω συναρτήσεις: e i) f ii) f e iii) f 67. Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα οι παρακάτω συναρτήσεις: i) f στο [ 0 ] ii) f f ln 7 στο [ ] iii) 9

Μαθηματικά T.E.E - Α Τάξη ου Κύκλου Κεφάλαιο : Διαφορικός Λογισμός 4 68. Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα οι παρακάτω συναρτήσεις: i) f 4 ii) f 5 f iii) 69. Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα οι παρακάτω συναρτήσεις: i) f e ii) f ln iii) f ln 70. Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα οι παρακάτω συναρτήσεις: i) f e ii) f ln iii) f e 0 7. Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα η συνάρτηση f e 4 7. Δίνεται η συνάρτηση f 48 64 0. i) Να βρεθεί η f και η f. f ii) Να λυθεί η εξίσωση 0 iii) Να βρεθεί το πρόσημο της f. iv) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. 7. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f με f 6 δεν έχει τοπικά ακρότατα.. 74. Έστω η συνάρτηση f με f 4 9 6 ορισμένη στο [ ]. Να βρείτε τα ολικά ακρότατα της f στο [ ]. 75. Δίνεται η συνάρτηση f: RR με f λ όπου λr. Αν ισχύει 0 f : i) να βρείτε τη τιμή του λ. ii) Για τη τιμή του λ που βρήκατε μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. 6 0 76. Δίνεται η συνάρτηση f 0 i) Να βρεθεί η f. ii) Να βρεθούν τα κρίσιμα σημεία της f. iii) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. α 77. Δίνεται η συνάρτηση f 4. i) Να βρεθεί η παράγωγος της f. ii) Να προσδιοριστούν οι τιμές του α για τις οποίες η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. 78. Δίνεται η συνάρτηση f e e. i) Να βρεθεί η παράγωγος της f. ii) Να βρείτε τις τιμές f και f. iii) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f. iv) Να συγκριθούν οι αριθμοί f 5 και f 6. 79. Δίνεται η συνάρτηση f ln με > 0. i) Να βρεθεί η f και η f. ii) Εντοπίστε το ακρότατο της f βρείτε το είδος του και τη τιμή του. iii) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f. π f e. iv) Να συγκριθούν οι αριθμοί f και

Μαθηματικά T.E.E - Α Τάξη ου Κύκλου Κεφάλαιο : Διαφορικός Λογισμός 5 80. Η συνάρτηση f: RR είναι παραγωγίσιμη στο σημείο = στο οποίο παρουσιάζει τοπικό ακρότατο με τιμή 5. f. i) Να βρείτε τις τιμές f και f ii) Αν g είναι η συνάρτηση με τύπο g με 0 να βρείτε το 8. Η συνάρτηση με τύπο f α β R παρουσιάζει στο σημείο = τοπικό ακρότατο με τιμή. f i) Υπολογίστε το τύπο της ii) Να βρείτε τους αριθμούς f. g. f και iii) Αποδείξτε ότι α = και β =. iv) Εντοπίστε και το δεύτερο ακρότατο της f βρείτε το είδος του και τη τιμή του. 8. Για τη συνάρτηση f με f α ln όπου > 0 να βρείτε τη τιμή του α αν γνωρίζεται ότι παρουσιάζει ακρότατο στο 0 =. Κατόπιν για τη τιμή του α που βρήκατε να εξετάσετε την f ως προς τη μονοτονία. 8. Να βρείτε τα ακρότατα της f με f α 7 α > 0. α 84. Δίνεται η συνάρτηση f με f β παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σημείο 0 =. i) Να βρεθούν τα α και β. ii) Να βρεθεί το είδος του ακροτάτου και η τιμή του. με α βr η οποία μηδενίζεται στο = και 85. Να βρεθεί η συνάρτηση f με f α β γ με α β γr αν είναι γνωστό ότι f 0 ότι η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στα σημεία = και =. και 86. Δίνεται η συνάρτηση f με f α 6α 9 7 θα έχει τοπικό ακρότατο στο σημείο 0 =. με αr. Να βρεθούν τα α για τα οποία η f 87. Δίνεται η συνάρτηση f με f α β μέγιστο στο 0 = με τιμή.. Να βρεθούν τα α βr ώστε η f να έχει τοπικό 88. Να βρείτε τη τιμή του πραγματικού αριθμού α ώστε η συνάρτηση f με τύπο f α να έχει μέγιστο ίσο με 0. 89. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f α β γ με α β γr και α 0. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α β και γ έτσι ώστε η συνάρτηση f για τη τιμή = ¼ να παρουσιάζει ελάχιστο ίσο με και η γραφική παράσταση να διέρχεται από το σημείο (0 ). Προβλήματα 90. Το άθροισμα δυο αριθμών y είναι ίσο με 50. i) Να αποδείξετε ότι το γινόμενο τους P δίνεται από τη συνάρτηση με τύπο P 50. ii) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει το γινόμενο των δυο αριθμών. 9. Δίνονται δύο αριθμοί y για τους οποίους ισχύει ότι + y = 0. Να βρείτε τους αριθμούς αυτούς όταν το γινόμενο τους παίρνει τη μέγιστη δυνατή τιμή.

Μαθηματικά T.E.E - Α Τάξη ου Κύκλου Κεφάλαιο : Διαφορικός Λογισμός 6 9. Το γινόμενο δυο θετικών αριθμών y είναι ίσο με 900. 900 i) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα τους S δίνεται από τη συνάρτηση με τύπο S. ii) Να βρείτε τη ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει το άθροισμα των δυο αριθμών. 9. Δίνονται δύο θετικοί αριθμοί y με y = 00. Να βρείτε τους αριθμούς αυτούς όταν το άθροισμα τους είναι το ελάχιστο δυνατό. 94. Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με διαστάσεις y έχει περίμετρο 80m. i) Να δείξετε ότι το εμβαδόν Ε του ορθογωνίου δίνεται από τον τύπο της συνάρτησης E 40. ii) Να βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου για τις οποίες το εμβαδόν του παίρνει τη μέγιστη τιμή. iii) Να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή του εμβαδού του ορθογωνίου. 95. Από όλα τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα που έχουν σταθερή περίμετρο α να βρείτε εκείνο που έχει μέγιστο εμβαδόν. 96. Η θετική αντίδραση ενός οργανισμού από τη χορήγηση ενός φαρμάκου δίνεται από τη συνάρτηση f όπου η ημερήσια δόση σε mg. Ποια είναι η ενδεδειγμένη ποσότητα δόσης του φαρμάκου ώστε να έχουμε τη μέγιστη θετική αντίδραση του οργανισμού; 97. Η χωρητικότητα (σε λίτρα) των πνευμόνων ενός ανθρώπου ηλικίας ετών δίνεται από τη συνάρτηση f 4 με 0 5. Σε ποια ηλικία οι πνεύμονες του ανθρώπου έχουν τη μέγιστη 00 5 χωρητικότητα; 98. Η κατανάλωση ενός κινητήρα σε λίτρα ανά 00 χιλιόμετρα όταν αυτός λειτουργεί με χιλιάδες στροφές ανά λεπτό δίνεται από τη συνάρτηση: f 0 με 5. Να βρείτε: 9 i) Τη τιμή του για την οποία έχουμε τη μικρότερη κατανάλωση καθώς επίσης και πόση κατανάλωση είναι αυτή. ii) Το ρυθμό μεταβολής της κατανάλωσης του αυτοκίνητου για = και = 4 (δηλαδή για 000 και 4000 στροφές ανά λεπτό αντίστοιχα). 99. Η τιμή πώλησης ενός μηχανικού εξαρτήματος είναι 0. Το κόστος του συνάρτηση του χρόνου 6 κατασκευής σε ώρες δίνεται από τον τύπο της συνάρτησης K t t. t i) Πότε πραγματοποιήθηκε το μέγιστο κέρδος; ii) Πόσο είναι αυτό; 00. Ένας γεωργός θέλει να κτίσει μια αποθήκη σε σχήμα ορθογωνίου παραλληλογράμμου με εμβαδόν 64m. Αν και y είναι οι διαστάσεις της βάσης της αποθήκης: 8 i) Να δείξετε ότι η περίμετρος της δίνεται από τον τύπο Π. ii) Να βρείτε τις διαστάσεις της βάσης της αποθήκης ώστε η περίμετρος της να είναι η ελάχιστη δυνατή (ελάχιστο κόστος κατασκευής). 0. Το άθροισμα δύο θετικών αριθμών είναι ίσο με 0. Να βρείτε τους αριθμούς αυτούς όταν το άθροισμα των τετραγώνων τους γίνεται ελάχιστο.

Μαθηματικά T.E.E - Α Τάξη ου Κύκλου Κεφάλαιο : Διαφορικός Λογισμός 0. Το κόστος παραγωγής μονάδων ενός βιομηχανικού προϊόντος είναι K 0 600 000 σε χιλιάδες όπου 0 05. Η είσπραξη από τη πώληση των μονάδων είναι K 40 σε χιλιάδες. i) Να βρείτε τη συνάρτηση που δίνει το κέρδος από τη παραγωγή και πώληση μονάδων του προϊόντος. ii) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του κέρδους από τη παραγωγή και πώληση 0 μονάδων του προϊόντος. iii) Να βρείτε την ημερήσια παραγωγή του εργοστάσιου για την οποία το κέρδος γίνεται μέγιστο. 0. Το ημερήσιο κόστος παραγωγής μονάδων Η/Υ από ένα εργοστάσιο με ημερήσια δυνατότητα 50 Η/Υ 0 50 είναι: K 60 60 ( ) ενώ τα έσοδα από την πώληση τους είναι: 00 E 60 ( ). i) Υπολογίστε το ρυθμό μεταβολής του κόστους για 0 Η/Υ. ii) Βρείτε τη συνάρτηση κέρδους. iii) Υπολογίστε το κέρδος από τη παραγωγή και πώληση 5 Η/Υ iv) Ποια συνάρτηση εκφράζει το ρυθμό μεταβολής του κέρδους; v) Πότε ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους είναι θετικός; vi) Να βρείτε πόσοι Η/Υ πρέπει να παραχθούν και να πουληθούν για να έχουμε μέγιστο κέρδος το οποίο και να υπολογιστεί. 04. Ένας χωρικός διαθέτει μια απλή περίφραξη μήκους 00m και θέλει να τη χρησιμοποιήσει για να κλείσει ένα βοσκότοπο σχήματος ορθογωνίου από τις τρεις πλευρές. Η τέταρτη πλευρά έχει ένα σταθερό φράχτη. Να βρείτε το μέγιστο εμβαδόν που μπορεί να περιφράξει ο χωρικός. 05. Να βρείτε το ώστε η συνάρτηση με τύπο T μεταβολής. με 0 < < να έχει μέγιστο ρυθμό 4 7

Μαθηματικά T.E.E - Α Τάξη ου Κύκλου Κεφάλαιο : Διαφορικός Λογισμός 8

Μαθηματικά T.E.E - Α Τάξη ου Κύκλου Θέματα Εξετάσεων Αξιολόγηση Θέματα Εξετάσεων Προηγούμενων Ετών 7 Θέματα 00 Θέμα Μονάδες: 7+5+5+8 Μια μεταβλητή παίρνει τις τιμές: 5 ω ω ω ω όπου ω>0. Α) Αν η μέση τιμή τους είναι = 4 να αποδείξετε ότι ω =. Β) Για ω = να βρείτε: i) Το εύρος των τιμών. ii) Την επικρατούσα τιμή. iii) Την τυπική απόκλιση. Θέμα Μονάδες: 6+0+9 6 7 όπου λr. λ i) Να βρείτε το f(0) και f(). 6 7 ii) Να βρείτε το. iii) Να βρείτε το λ ώστε η συνάρτηση να είναι συνεχής στο 0 =. Δίνεται η συνάρτηση f Θέμα Μονάδες: 4+4+7 Δίνεται η συνάρτηση f ln με > 0 i) Να βρείτε το f(). ii) Να βρείτε την f () και την f (). iii) Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα για κάθε > 0. Θέμα 4 Μονάδες: 5+7+7+6 Το ύψος (σε m) που βρίσκεται ένα τηλεκατευθυνόμενο μοντέλο αεροπλάνου μετά από χρόνο πτήσης t (σε sec) δίνεται από τη συνάρτηση: f t t 0t όπου 0 t 0. i) Σε ποιο ύψος βρίσκεται το αεροπλάνο τη χρονική στιγμή t = 0; ii) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του ύψους του αεροπλάνου μετά από χρόνο t. iii) Να βρείτε το χρονικό διάστημα κατά το οποίο το αεροπλάνο ανεβαίνει καθώς και το χρονικό διάστημα κατά το οποίο κατεβαίνει. iv) Να βρείτε τη χρονική στιγμή t κατά την οποία το αεροπλάνο βρίσκεται στο μέγιστο ύψος καθώς και το ύψος αυτό.

Μαθηματικά T.E.E - Α Τάξη ου Κύκλου Θέματα Εξετάσεων 8 Θέματα 004 Θέμα Μονάδες: 5+5+5+5+5 Εξετάσαμε δείγμα 5 οικογενειών μιας πόλης ως προς τον αριθμό των παιδιών τους. Τα αποτελέσματα της έρευνας φαίνονται στον διπλανό πίνακα. i) Να μεταφέρετε τον παραπάνω πίνακα στο τετράδιό σας και να τον συμπληρώσετε. ii) Να βρείτε την επικρατούσα τιμή. iii) Να βρείτε τη διάμεσο. iv) Τι ποσοστό οικογενειών έχει τρία παιδία; v) Πόσες οικογένειες έχουν μέχρι και δυο παιδία; Αριθμός Παιδιών v i 0 4 5 4 4 5 Αθροίσματα Συχνότητα Αθροιστική Συχνότητα Σχ. Συχνότητα (%) f i % Θέμα Μονάδες: +5+8 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: i) Να βρείτε το f 9 ii) Να βρείτε το f 9 8 9 f όπου λr. λ 9 iii) Να βρείτε το λ ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο 0 = 9. Θέμα Μονάδες: 5+0+0 Δίνεται η συνάρτηση f: RR με τύπο: f() = 9 + α + β α βr. i) Να υπολογίσετε τη παράγωγο της f. ii) Αν f () = 0 και f() = 5 να βρείτε τα α και β. iii) Για τις τιμές των α και β που βρήκατε στο ερώτημα (ii) να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία. Θέμα 4 Μονάδες: 5+0+0 Το άθροισμα του μήκους και του πλάτους ενός οικοπέδου σχήματος ορθογώνιου παραλληλογράμμου είναι 00 μέτρα. Αν το μήκος του είναι μέτρα: i) να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του οικοπέδου ως συνάρτηση του δίνεται από τον τύπο E 00 ii) να βρείτε την τιμή του για την οποία το εμβαδόν του οικοπέδου γίνεται μέγιστο. iii) να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή του εμβαδού του οικοπέδου.

Μαθηματικά T.E.E - Α Τάξη ου Κύκλου Θέματα Εξετάσεων Θέματα 005 9 Θέμα Μονάδες: 8+8+5+4 Ερωτήθηκαν 50 μαθητές ενός σχολείου για τον αριθμό των βιβλίων που διάβασαν στις διακοπές. Τα αποτελέσματα της έρευνας φαίνονται στον διπλανό πίνακα. i) Να μεταφέρετε τον παραπάνω πίνακα στο τετράδιό σας και να τον συμπληρώσετε. ii) Να βρείτε τη μέση τιμή των παρατηρήσεων. iii) Να βρείτε τη διάμεσο των παρατηρήσεων. iv) Να βρείτε το εύρος των τιμών. Τιμές i Συχνότητα v i Αθροιστική Συχνότητα 0 5 4 47 4 50 Αθροίσματα i v i Θέμα Μονάδες: 4+4+4+4+9 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f i) Να βρείτε το f ii) Να βρείτε το f iii) Να βρείτε το f iv) Να βρείτε το f κ μ 5 ln v) Να βρείτε τα κ και μ ώστε να υπάρχουν ταυτόχρονα τα f και όπου κ μ πραγματικοί αριθμοί f Θέμα Μονάδες: 4+6+6+4+5 Δίνεται η συνάρτηση f: R R της οποίας η πρώτη παράγωγος έχει τύπο: f () =. i) Να δείξετε ότι f (0) = 0 και f () =0. ii) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία. iii) Να βρείτε την f (). iv) Για ποιες τιμές του η f παρουσιάζει ακρότατα και ποιο είναι το είδος των ακρότατων; v) Αν f(0) = 005 να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f. Θέμα 4 Μονάδες: 5+8+7+5 Μια ομάδα βιολόγων προτείνει να ληφθούν μέτρα για τη διάσωση ενός είδους δελφινιών. Μετά την εφαρμογή των μέτρων εκτιμάται ότι ο αριθμός των δελφινιών εκφράζεται από τη συνάρτηση N(t) = t t + 5t + 000 0 t 0 όπου t ο χρόνος σε έτη. i) Πόσα δελφίνια υπάρχουν κατά την έναρξη εφαρμογής των μέτρων (t = 0); ii) Να βρείτε το ρυθμό αύξησης του πληθυσμού των δελφινιών. iii) Να βρείτε το ρυθμό αύξησης του πληθυσμού των δελφινιών το δεύτερο έτος. iv) Πόσα δελφίνια θα υπάρχουν σε δέκα (0) έτη;

Μαθηματικά T.E.E - Α Τάξη ου Κύκλου Θέματα Εξετάσεων 40 Θέματα 006 Θέμα Μονάδες: 7+0+5+ Δίνονται 5 παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής : 6 4 8 0 + α όπου αr. Αν ο συντελεστής μεταβλητότητας (CV) των παρατηρήσεων αυτών είναι 0% και η τυπική απόκλισή τους (s) είναι 4 τότε: i) Να δείξετε ότι η μέση τιμή των παρατηρήσεων είναι = 0. ii) Να υπολογίσετε την τιμή του πραγματικού αριθμού α. iii) Για την τιμή του α που υπολογίσατε στο ερώτημα β να βρείτε τη διάμεσο του δείγματος. iv) Είναι το δείγμα ομοιογενές ή όχι και γιατί. Θέμα Μονάδες: 8+8+9 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f() = 4 + 006 R. i) Να βρεθεί η παράγουσα της f. ii) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της f για κάθε R. iii) Να εξεταστεί η συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία. Θέμα Μονάδες: 8+5+8+4 Έστω α β πραγματικοί αριθμοί και συνάρτηση f με τύπο: i) Να βρείτε το f. ii) Να βρείτε το f. f 4 α 4 α β iii) Να υπολογίσετε τα α β ώστε η f να είναι συνεχής στο 0 =. iv) Για τις τιμές των α και β που βρήκατε στο ερώτημα γ να υπολογίσετε τις τιμές f(0) και f(). Θέμα 4 Μονάδες: 8++5 Μια βιοτεχνία μεταξύ άλλων κατασκευάζει κεραμικά πλακίδια σε σχήμα τριγώνου. Σε κάθε πλακίδιο το άθροισμα της βάσης και του ύψους που αντιστοιχεί στη βάση αυτή είναι σταθερό και ισούται με 50cm. i) Να δείξετε ότι το εμβαδόν Ε της επιφάνειας κάθε τριγωνικού πλακιδίου δίνεται συναρτήσει του από τον τύπο E 50 0 < <50. ii) Για ποια τιμή του το εμβαδόν Ε() γίνεται μέγιστο. iii) Να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή του Ε().

Μαθηματικά T.E.E - Α Τάξη ου Κύκλου Διαγωνίσματα ανά Κεφάλαιο 9 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Μαθηματικά T.E.E - Α Τάξη ου Κύκλου Διαγωνίσματα ανά Κεφάλαιο 0

Μαθηματικά T.E.E - Α Τάξη ου Κύκλου Διαγωνίσματα ανά Κεφάλαιο

Μαθηματικά T.E.E - Α Τάξη ου Κύκλου Διαγωνίσματα ανά Κεφάλαιο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά T.E.E - Α Τάξη ου Κύκλου Διαγωνίσματα ανά Κεφάλαιο

Μαθηματικά T.E.E - Α Τάξη ου Κύκλου Διαγωνίσματα ανά Κεφάλαιο 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Μαθηματικά T.E.E - Α Τάξη ου Κύκλου Διαγωνίσματα ανά Κεφάλαιο 5