Προχωρημένα Θέματα Συστημάτων Ελέγχου

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑIΟΥ & ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΤ Τμήματα Ναυτιλίας και Επιχειρηματικών Υπηρεσιών & Μηχ Αυτοματισμού ΤΕ ΔΙΙΔΡΥΜΑΤΙΚΟ ΠΜΣ «Νέες Τεχνολογίες στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές» Προχωρημένα Θέματα Συστημάτων Ελέγχου Εκτίμηση στοχαστικών μεγεθών και παραμέτρων με συνεχείς και διακριτούς αλγόριθμους Δ Καλλιγερόπουλος Ομοτ Καθηγητής Τμήματος Μηχανικών Αυτοματισμού ΤΕ

Εκτίμηση Esimion στοχαστικών μεγεθών και παραμέτρων Συνεχή και διακριτά μεγέθη Διακριτά είναι τα βότσαλα Συνεχής είναι η θάλασσα Διακριτό discree) λέγεται ένα μέγεθος όταν αυτό παίρνει διακριτές τιμές Συνεχές coninos) λέγεται ένα μέγεθος όταν αυτό παίρνει συνεχείς τιμές Η ιδιότητα που ξεχωρίζει τα διακριτά από τα συνεχή μεγέθη είναι η συνέχεια conini): Ένα συνεχές μέγεθος έχει την ιδιότητα μεταξύ δύο οιονδήποτε τιμών του και να υπάρχει πάντα μια ενδιάμεση τιμή ή σε μια οποιαδήποτε περιοχή γύρω από αυτό να υπάρχει επίσης μία τιμή του ιδίου μεγέθους Σχέσεις μεταξύ μεγεθών Οι φυσικοί αριθμοί n,,3, είναι διακριτοί Οι σχέσεις: πρόσθεση + και πολλαπλασιασμός επί φυσικών αριθμών δημιουργούν πάλι φυσικούς αριθμούς Η σχέση αφαίρεση δημιουργεί όμως το σύνολο των ακέραιων αριθμών:,,,, που περιέχουν το και τους αρνητικούς αριθμούς Η διαίρεση δημιουργεί το σύνολο των ρητών αριθμών: m n Η σχέση του τετραγωνισμού αριθμούς Η αντίστροφη σχέση της ρίζας αριθμούς, πχ n επί φυσικών αριθμών δημιουργεί φυσικούς n δημιουργεί τους άρρητους ή πραγματικούς Η σχέση της ρίζας επί των ακέραιων αριθμών δημιουργεί τους φανταστικούς αριθμούς, πχ j Η επέκταση των πραγματικών αριθμών στο διδιάστατο επίπεδο δημιουργεί τους μιγαδικούς αριθμούς, πχ j Οι πραγματικοί αριθμοί είναι συνεχείς αριθμοί, που δημιουργήθηκαν όμως από σχέσεις επί των διακριτών φυσικών αριθμών 3

Σχέσεις μεταξύ μεγεθών Ο χρόνος είναι συνεχές μέγεθος Διακριτός μπορεί να θεωρηθεί ο χρόνος μόνο προσεγγιστικά, με τη μέθοδο της δειγματοληψίας ή διάκρισης smpling ή discreision):,,,, Συνεχή λέμε μία χρονική συνάρτηση, δηλαδή μια συνάρτηση του συνεχούς χρόνου, ή ένα χρονικά μεταβαλλόμενο μέγεθος ), πχ ) Διακριτή λέμε μια συνάρτηση του διακριτού χρόνου: ) {,,, },,,,, Μία διακριτή συνάρτηση του χρόνου ) τείνει στην συνεχή συνάρτηση ) όταν ) Η μετάβαση από τη μία μορφή στην άλλη γίνεται μέσω της σχέσης του ορίου Σχέσεις συνεχών και διακριτών συναρτήσεων Διαφορά στην χρονική διακριτή συνάρτηση,,, }, {,,, ορίζεται η σχέση: Διαφορικό στην αντίστοιχη συνεχή χρονική συνάρτηση ),, ) ορίζεται το όριο της διαφοράς: d lim Μεταβολή ή σχετική διαφορά της διακριτής συνάρτησης ορίζεται η σχέση: Παράγωγος της συνεχούς χρονικής συνάρτησης ) ορίζεται το d όριο της μεταβολής: lim d 4

Αντίστροφη διαφορά και μεταβολή Αντίστροφη διαφορά της διακριτής συνάρτησης ορίζεται η σχέση:, ώστε να ισχύει: Τι είναι η αντίστροφη διαφορά; Αναλυτικά ισχύει: Προσθέτοντας προκύπτει: Άρα η αντίστροφη διαφορά είναι το ολικό άθροισμα Αντίστροφη μεταβολή της διακριτής συνάρτησης ορίζεται η σχέση: z, όπου, ώστε να ισχύει: z, άρα z Τι είναι η αντίστροφη μεταβολή; Αναλυτικά ισχύει: z z z z z z Προσθέτοντας προκύπτει: Άρα z z z ή d Στις συνεχείς συναρτήσεις η αντίστροφη σχέση της παραγωγού ) είναι d το ολοκλήρωμα ) ) d, που προκύπτει από το όριο: ) lim 5

6 Συνεχή και διακριτά συστήματα Το σύστημα εκφράζεται από μία σχέση εισόδου-εξόδου Η είσοδος και η έξοδος ενός συστήματος μπορεί να είναι συνεχείς: ) ), ή διακριτές:, συναρτήσεις του χρόνου Οπότε η μαθηματική σχέση του συστήματος θα είναι: μία συνεχής διαφορική εξίσωση differenil eqion) ή μία διακριτή εξίσωση διαφοράς difference eqion) Η συνεχής εξίσωση -τάξης: ) ) διακριτοποιείται στην εξίσωση: Η συνεχής διαφορική εξίσωση -τάξης: ) ) b d d διακριτοποιείται στην εξίσωση διαφοράς: b ή b ), δηλαδή Η συνεχής διαφορική εξίσωση -τάξης: ) ) b d d d d διακριτοποιείται στην εξίσωση: Και η συνεχής διαφορική εξίσωση n-τάξης: m m m n n d d b b d d d d ) ) διακριτοποιείται στην εξίσωση: m m n

Ορισμένα και τυχαία μεγέθη Ορισμένο είναι το μετρήσιμο και το προβλέψιμο Τυχαίο είναι το άγνωστο και ο απρόβλεπτο Ορισμένο deerminisic) λέγεται ένα μέγεθος όταν παίρνει ορισμένες τιμές Τυχαίο sochsic) λέγεται ένα μέγεθος όταν οι τιμές που παίρνει δεν είναι μετρήσιμες, γνωστές ή προκαθορισμένες, αλλά κυμαίνονται τυχαία μέσα σε ορισμένα όρια Η ιδιότητα που ξεχωρίζει αυτά τα δύο είδη μεγεθών είναι η αβεβαιότητα ncerin) Αντίστοιχα ορίζεται ορισμένη μια χρονική συνάρτηση ) όταν αυτή παίρνει ορισμένες τιμές, πχ ), και τυχαία ) όταν οι τιμές της είναι απροσδιόριστες Τα ορισμένα και τα τυχαία μεγέθη μπορεί να είναι συνεχή ή διακριτά Τα τυχαία μεγέθη ορίζονται στατιστικά Ο καθορισμός τους δηλαδή απαιτεί περισσότερες από μία μετρήσεις οριακά άπειρες) 7

Στατιστικός ορισμός τυχαίων μεγεθών Έστω ένα τυχαίο γεγονός A, που παρουσιάζεται n A φορές σε μετρήσεις Συχνότητα του τυχαίου γεγονότος A ορίζεται η σχέση: f A na Οριακά η συχνότητα γίνεται πιθανότητα probbili): P A na lim Εξετάζοντας τώρα τυχαία ή αβέβαια μεγέθη, ορίζουμε ως αβέβαιο γεγονός A τη σχέση, δηλαδή το αβέβαιο μέγεθος να είναι μικρότερο του πραγματικού και ορισμένου αριθμού Τότε μπορούμε να αντιστοιχίσουμε στο αβέβαιο αυτό γεγονός μιαν ορισμένη πραγματική συνάρτηση F ) Συνάρτηση κατανομής disribion fncion) ενός τυχαίου μεγέθους ορίζεται η συνάρτηση: F ) P ) και πυκνότητα κατανομής disribion densi) η df ) f ) d 8

Διακριτά και συνεχή στατιστικά μέτρα Ένα τυχαίο μέγεθος κινείται γενικά γύρω από έναν μέσον όρο m και μία απόκλιση, που ορίζονται ως εξής: Μέσος όρος men vle) ενός τυχαίου διακριτού μεγέθους που παίρνει τυχαία διακριτές τιμές,,, } σε μετρήσεις ορίζεται το μέτρο: m { Ενώ εάν το τυχαίο διακριτό μέγεθος παίρνει τυχαία τις διακριτές τιμές,,, } με συχνότητες f, f,, f αντίστοιχα σε M μετρήσεις τότε: { m f Απόκλιση deviion) ενός τυχαίου διακριτού μεγέθους ορίζεται στην πρώτη περίπτωση το μέτρο: και στη δεύτερη: m) m) f Μέσος όρος, αναμενόμενη τιμή epeced vle) ή εκτιμώμενη τιμή esimed vle) ενός τυχαίου συνεχούς μεγέθους ορίζεται το μέτρο: m E{ } f ) d Απόκλιση ή διασπορά vrince) ενός τυχαίου συνεχούς μεγέθους ορίζεται: { m ) } m) f ) d Η διασπορά είναι ένα μέτρο εύρους του τυχαίου μεγέθους Το μέγεθος αυτό βρίσκεται δηλαδή μέσα στα όρια m, m ) με πιθανότητα 67% 9

Εκτίμηση στοχαστικών ή μικτών μεγεθών Μικτό ονομάζεται ένα μέγεθος που περιέχει τόσο έναν ορισμένο όσο και έναν τυχαίο παράγοντα πχ ) ), όπου άγνωστος αλλά ορισμένος συντελεστής και ) τυχαίος θόρυβος με μέσον όρο m Εκτίμηση esimion) του μικτού μεγέθους ) ορίζεται η διαδικασία υπολογισμού του ορισμένου συντελεστή που περιέχει, η απάλειψη δηλαδή του θορύβου Διακριτή εκτίμηση Έστω μία σειρά διακριτών μετρήσεων:,, } του μικτού μεγέθους { Έστω ο άγνωστος υπό εκτίμηση ορισμένος συντελεστής του μεγέθους αυτού Ορίζουμε ως στιγμιαίο σφάλμα τη χρονική στιγμή τη διαφορά: e Και ως συνάρτηση σφάλματος, σε ένα διάστημα, ), την τετραγωνική σχέση: E e ) Θεωρούμε στο διάστημα αυτό το σταθερό και υπολογίζουμε ως â την καλύτερη εκτίμηση του, δηλαδή εκείνη που κάνει την συνάρτηση σφάλματος E ελάχιστη: E min E : Είναι Άρα E )

Αλγοριθμικά: ) ή e, όπου e Αλγοριθμικός υπολογισμός του :, Άρα Από τις εξισώσεις αυτές προκύπτει ένας επαγωγικός αλγόριθμος για τον υπολογισμό της εκτιμώμενης παραμέτρου τη χρονική στιγμή : â Μετρήσεις: Εξίσωση διαφοράς της εκτιμώμενης παραμέτρου e Εκτιμώμενο σφάλμα: e Εξίσωση διαφοράς του συντελεστή Κ: με αρχικές συνθήκες:, πχ: 3 Κ

Συνεχής εκτίμηση Έστω μια γνωστή μέτρηση της χρονικής συνάρτησης ),, ) μεγέθους Η εκτιμώμενη τιμή την χρονική στιγμή είναι: ) ενός μικτού Το σφάλμα είναι: e ) ) Η συνάρτηση σφάλματος είναι: E ) e ) d ) ) d Το καλύτερο εκτιμώμενο την χρονική στιγμή : ) είναι αυτό που ελαχιστοποιεί την E ) : E) min E ) ) : : α άρα ) ) ) d ) ) d Η σχέση αυτή μπορεί να γραφεί με τη μορφή διαφορικής εξίσωσης: d d d d ) d d d ) ) d ) ) ) )) ) ) d ή d d e e όπου και d οπότε d Άρα d d

Οι διαφορικές αυτές εξισώσεις αποτελούν τον συνεχή αλγόριθμο εκτίμησης της άγνωστης παραμέτρου και επιτρέπουν την εξομοίωσή του σε ένα μη γραμμικό αναλογικό διάγραμμα Συνοπτικά: Μετρήσεις: d Διαφορική εξίσωση εκτιμώμενης παραμέτρου: e d Εκτιμώμενο σφάλμα: e ) d Διαφορική εξίσωση του συντελεστή Κ: d Αρχικές συνθήκες:, με : μικρό πχ: Κ 3 Αναλογικό διάγραμμα: 3

Παράδειγμα Ζητείται η διακριτή και συνεχής εκτίμηση μιας κρυφής ορισμένης παραμέτρου, όταν δίνεται μια σειρά διαταραγμένων με θόρυβο μετρήσεών της Διακριτή Εκτίμηση παραμέτρου Δίνονται μία σειρά διακριτών μετρήσεων,, } για μιας { άγνωστης κρυφής παραμέτρου, που προήλθαν από τη σχέση,,, όπου διακριτός θόρυβος με διασπορά s, δηλαδή s n κανονικός θόρυβος με διασπορά s και μέση τιμή m Λύση για, όπου n Στο ψηφιακό πρόγραμμα Mlb, M-File Edior) που ακολουθεί εξομοιώθηκαν οι ψηφιακοί αλγόριθμοι για τη διακριτή εκτίμηση της κρυφής σταθερής παραμέτρου 3, που μετρήθηκε με διατάραξη, διασποράς s 3 και με αρχικές συνθήκες και 6 Στο πρόγραμμα η εκτιμώμενη παράμετρος συμβολίζεται με A Στον ψηφιακό παλμογράφο παρουσιάζεται η διαταραγμένη μέτρηση εκτιμώμενη παράμετρος και η Παρατηρούμε ότι η εκτίμηση της αληθούς παραμέτρου 3 γίνεται γρήγορα, σε περίπου ψηφιακά βήματα Η εκτίμηση γίνεται βραδύτερα όταν αυξάνει ο θόρυβος 3 s ) ή όταν μειώνεται η αρχική συνθήκη ) A= =^6 s=3 =zeros,) A=zeros,) =zeros,) A,)=A,)= =3,)= e,)= form long )=rndn) for i=: i)=rndn) i)=+s*i) end for i=: Αi+)=/i+))*i+)-Ai))+Ai)) end i=:: for i=: i+)=i)/i)+) end ploi,i),i,ai)) 4

Συνεχής Εκτίμηση παραμέτρου Δίνεται ένα διάστημα συνεχών μετρήσεων ),, ) μιας άγνωστης κρυφής παραμέτρου, που προήλθαν από τη σχέση ) ),, ), όπου ) συνεχής θόρυβος με διασπορά s, δηλαδή ) s n ), όπου n ) κανονικός θόρυβος με διασπορά s και μέση τιμή m Λύση Η αναλογική εξομοίωση των διαφορικών εξισώσεων της συνεχούς εκτίμησης έγινε στον ψηφιακό υπολογιστή Mlb, Simlin) με κρυφή σταθερή παράμετρο 3 3, θόρυβο διασποράς s 3 και με αρχικές συνθήκες και Στον ψηφιακό παλμογράφο παρατηρούμε εδώ άριστη εκτίμηση της κρυφής παραμέτρου σε λιγότερο από ψηφιακά βήματα, γρηγορότερα δηλαδή από την αντίστοιχη διακριτή εκτίμηση 5