ακτύλιοι Πολυωνύµων και Σώµατα Κλασµάτων

Κεφάλαιο 8 ακτύλιοι Πολυωνύµων και Σώµατα Κλασµάτων 8.1 Συνοπτική Θεωρία Η παρούσα ενότητα είναι αφιερωµένη στην υπενθύµιση ϐασικών εννοιών και αποτελεσµάτων από την ϑεωρία πολυωνύµων µιας ή περισσότερων µεταβλητών µε συντελεστές από έναν µεταθετικό δακτύλιο, συνήθως από ένα σώµα. Επιπρόσθετα υπενθυµίζουµε τις ϐασικές ιδιότητες σωµάτων κλασµάτων ακέραιων περιοχών. Εστω R = R,+, ) ένας µεταθετικός δακτύλιος. 8.1.1 ακτύλιοι Πολυωνύµων και Τυπικών υναµοσειρών Υπενθυµίζουµε ότι ο δακτύλιος R[[t]] = R[[t]], +, ) των τυπικών δυναµοσειρών υπεράνω του R R[[t]] = { a = a n ) n 0 a n R, n 0 } έχει ως στοιχεία ακολουθίες a = a n ) n 0 στοιχείων του R, όπου δύο ακολουθίες a = a n ) n 0,b = b n ) n 0 είναι ίσες αν και µόνον αν a n = b n, n 0. Η πρόσθεση «+» και ο πολλαπλασιασµός ορίζονται ως εξής : + : R[[t]] R[[t]] R[[t]], a +b = c = c n ) n 0, όπου c n = a n + b n, n 0 : R[[t]] R[[t]] R[[t]], a b = d = d n ) n 0, όπου d n = a k b n k, n 0 Γνωρίζουµε τότε ότι η τριάδα R[[t]],+, ) είναι ένας δακτύλιος µε µονάδα, την ακολουθία 1 = 1,0,0,,0, ). Το µηδενικό στοιχείο είναι η µηδενική ακολουθία 0 = 0,0,,0, ), και το αντίθετο στοιχείο της ακολουθίας a = a n ) n 0 είναι η ακολουθία a = a n ) n 0. Επειδή ο δακτύλιος R είναι µεταθετικός, ο πολλαπλασιασµός του R[[t]] δείχνει ότι ο δακτύλιος R[[t]] = R[[t]], +, ) είναι επίσης µεταθετικός. Υπενθυµίζουµε ότι ο δακτύλιος R[t] των πολυωνύµων υπεράνω του R ορίζεται ως ο υποδακτύλιος R[t] = { a = a n ) n 0 R[[t]] n 0 : a k = 0, k > n } του δακτυλίου R[[t]] των τυπικών δυναµοσειρών υπεράνω του R. Συµβολίζοντας : t 0 := 1,0,0,,0, ), t := 0,1,0,,0, ), και γενικότερα : t n := 0,0,, 0,1,0,,0, ), n 0 }{{} το 1 στην n+1) ϑέση ϑα έχουµε ότι οι ακολουθίες t n, n 0, είναι πολυώνυµα υπεράνω του R και παρατηρούµε ότι το πολυώνυµο t n είναι η n-οστή δύναµη του πολυωνύµου t ως προς την πράξη του πολλαπλασιασµού πολυωνύµων : t n = t t t n-παράγοντες). 387

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΚΑΙ ΣΩΜΑΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ 388 Επίσης, για κάθε στοιχείο r R, γράφοντας : r a = r a n ) n 0 = r a 0,r a 1,,r a n, ) για το γινόµενο της ακολουθίας r = r,0,,0, ) µε την ακολουθία a = a 0, a 1,, a n, ), κάθε στοιχείο a = a n ) n 0 µπορεί να εκφραστεί και να γραφεί ως εξής : Pt) = a n t n = a 0 1 + a 1 t + a 2 t 2 + a n t n + n=0 Το παραπάνω στοιχείο καλείται τυπική δυναµοσειρά υπεράνω του R. Αν η τυπική δυναµοσειρά Pt) = n=0 a n t n ανήκει στον υποδακτύλιο R[t], τότε υπάρχει n 0 έτσι ώστε a n = 0, k > n. Τότε η τυπική δυναµοσειρά καλείται πολυώνυµο υπεράνω του R, και µπορεί να εκφραστεί και να γραφεί ως εξής : Pt) = a n t n = a 0 1 + a 1 t + a 2 t 2 + + a n t n Χάριν απλότητας η ακολουθία πολυώνυµο) 1 παραλείπεται από τις παραπάνω εκφράσεις. Παρατηρούµε ότι ο δακτύλιος πολυωνύµων R[t] είναι ο υποδακτύλιος του R[[t]] ο οποίος παράγεται υπεράνω του R από το στοιχείο του t, και συνήθως καλείται ο δακτύλιος πολυωνύµων µιας µεταβλητής t. Εστω R 1 = R[t 1 ] ο δακτύλιος πολυωνύµων µιας µεταβλητής t 1 υπεράνω του R. Επειδή ο δακτύλιος R 1 είναι µεταθετικός, έπεται ότι µπορούµε να επαναλάβουµε τη διαδικασία και να ϑεωρήσουµε τον δακτύλιο πολυωνύµων R 2 = R 1 [t 2 ] = R[t 1 ][t 2 ], εισάγουµε νέο σύµβολο t 2 για να µην υπάρχει σύγχιση µε το σύµβολο t 1 ), ο οποίος είναι µεταθετικός, συµβολίζεται µε R[t 1, t 2 ] και καλείται ο δακτύλιος των πολυωνύµων στις δύο µεταβλητές t 1 και t 2. Επειδή ο δακτύλιος R[t 1, t 2 ] είναι µεταθετικός µπορούµε να επαναλάβουµε την διαδικασία για ένα πεπερασµένο πλήθος, ας πούµε n, ϐηµάτων, και να αποκτήσουµε τον δακτύλιο πολυωνύµων R[t 1, t 2,, t n ] στις n µεταβλητές t 1, t 2,, t n : R[t 1, t 2 ] = R[t 1 ])[t 2 ], R[t 1, t 2, t 3 ] = R[t 1, t 2 ])[t 3 ],, R[t 1, t 2,, t n ] = R[t 1, t 2,, t n 1 ])[t n ] και τα στοιχεία του οποίου είναι πεπερασµένα αθροίσµατα γινοµένων στοιχείων του δακτυλίου R µε γινόµενα µη-αρνητικών δυνάµεων του στοιχείων t 1, t 2,, t n : { R[t 1, t 2,, t n ] = r i1 i 2 i n t k i 1 1 t k i 2 2 t k in n i) S } ri1 i 2 i n R, k i j 0, 1 j n όπου i) = i 1,i 2,,i n ) N 0 N 0 N 0. Εστω R[t] ο δακτύλιος πολυωνύµων µιας µεταβλητής t υπεράνω του µεταθετικού δακτυλίου R. 0 Pt) είναι ένα µη-µηδενικό πολυώνυµο, τότε υπάρχει n 0 έτσι ώστε το Pt) είναι της µορφής Αν Pt) = a n t n = a 0 1 + a 1 t + a 2 t 2 + + a n t n, a k R, 0 k n και a n 0 8.1) Ο ϑετικός ή ίσος µε µηδέν ακέραιος n καλείται ο ϐαθµός του πολυωνύµου Pt) και συµβολίζεται µε degpt): degpt) = max { r 0 a r 0, όπου 0 Pt) = a k t k} Το στοιχείο a n καλείται ο συντελεστής του µεγιστοβάθµιου όρου ή οδηγών συντελεστής του Pt). Αν ο οδηγών συντελεστής του πολυωνύµου Pt) είναι το 1, το πολυώνυµο Pt) καλείται µονικό. Στο µηδενικό πολυώνυµο δεν αποδίδουµε ϐαθµό 1. Ενα πολυώνυµο Pt) = n a k t k καλείται σταθερό πολυώνυµο, αν a k = 0, k 1, δηλαδή Pt) = a 0 = a 0 1. Ενα µη-µηδενικό πολυώνυµο Pt) = n a k t k έχει ϐαθµό degpt) = 0, αν a 0 0 και a k = 0, k 1. ηλαδή το Pt) είναι ένα µη-µηδενικό σταθερό πολυώνυµο. Αντίστροφα κάθε 1 Στην ϐιβλιογραφία συχνά στο µηδενικό πολυώνυµο 0 αποδίδεται ως ϐαθµός το σύµβολο deg0 =, µε την σύµβαση ότι : n >, n Z, και συµφωνώντας ότι : ) + ) = = n + ), n Z.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΚΑΙ ΣΩΜΑΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ 389 µη-µηδενικό σταθερό πολυώνυµο έχει ϐαθµό ίσο µε µηδέν. Συνήθως ϑα γράφουµε degpt) n, όπου n 0, εννοώντας ότι είτε το πολυώνυµο Pt) είναι το µηδενικό πολυώνυµο ή ότι το Pt) είναι ένα µη-µηδενικό πολυώνυµο µε ϐαθµό το πολύ n. Αν r R, τότε, προς αποφυγή σύγχισης, ϑα συµβολίζουµε το σταθερό πολυώνυµο r, δηλαδή το πολυώνυµο r 1, µε r. Προφανώς η απεικόνιση f : R R[t], f a) = a = a1 ή γενικότερα η απεικόνιση f : R R[t 1, t 2,, t n ], f a) = a = a1 είναι ένας µονοµορφισµός δακτυλίων µε εικόνα Im f ) το σύνολο των σταθερών πολυωνύµων υπεράνω του R. Από τώρα και στο εξής ϑα ταυτίζουµε τα στοιχεία του R µε τα σταθερά πολυώνυµα του δακτυλίου R[t 1, t 2,, t n ], r 1, µέσω του παραπάνω µονοµορφισµού δακτυλίων. Λήµµα 8.1.1. Εστω ότι Pt),Qt) R[t] είναι δύο µη-µηδενικά πολυώνυµα. Τότε : 1. deg Pt) +Qt) ) max { degpt),degqt) }, και η ισότητα ισχύει, εκτός αν degpt) = degqt). 2. Αν ο µεγιστοβάθµιος συντελεστής είτε του Pt) είτε του Qt) δεν είναι διαιρέτης του µηδενός του R, τότε : deg Pt)Qt) ) = degpt) + degqt). Με χρήση του παραπάνω Λήµµατος προκύπτει η ακόλουθη Πρόταση η οποία ιδιαίτερα πιστοποιεί ότι η ιδιότητα ο δακτύλιος R να είναι ακέραια περιοχή µεταφέρεται σε πολυωνυµικούς δακτυλίους υπεράνω του R. Πρόταση 8.1.2. Εστω ότι ο δακτύλιος R είναι ακέραια περιοχή, και n 1 είναι ένας ϑετικός ακέραιος. 1. Ο δακτύλιος πολυώνυµων R[t 1, t 2,, t n ] είναι ακέραια περιοχή. 2. U R[t 1, t 2,, t n ] ) = UR). Εστω Pt),Qt) R[t] δύο πολυώνυµα. Θα λέµε ότι το Pt) διαιρεί το Qt), ή ότι το Qt) είναι πολλαπλάσιο του Pt), και ϑα γράφουµε Pt) Qt) αν υπάρχει πολυώνυµο Rt) R[t] έτσι ώστε : Qt) = Pt)Rt). Η ακόλουθη ϐοηθητική πρόταση περιγράφει ϐασικές ιδιότητες διαιρετότητας πολυωνύµων. Λήµµα 8.1.3. Εστω ότι R είναι µια ακέραια περιοχή και Pt),Qt),St),Rt) R[t]. Τότε : 1. Pt) Pt) και Pt) 0. Αντίστροφα : 0 Pt) αν και µόνον αν Pt) = 0. 2. Αν Pt) Qt) και Qt) Rt), τότε : Pt) Rt). 3. Αν Pt) Qt) και Pt) Rt), τότε : Pt) Qt) + Rt)). 4. Αν Pt) St) και Qt) Rt), τότε : Pt)Qt) St)Rt). 5. Αν Pt) Qt) και Qt) 0, και αν ο συντελεστής του µεγιαστοβάθµιου όρου του Pt) ή του Qt) δεν είναι διαιρέτης του µηδενός στον δακτύλιο R, τότε : αʹ) degpt) degqt). ϐʹ) Pt) Qt) και Qt) Pt) αν και µόνον αν υπάρχει r UR): Pt) = rqt) και Qt) = r 1 Pt). Το ακόλουθο Θεώρηµα δείχνει ότι η οικεία, από την ϑεωρία διαιρετότητας ακεραίων, Ευκλείδεια διαίρεση εξακολουθεί να ισχύει στο πλαίσιο πολυωνυµικών δακτυλίων υπεράνω ακέραιων περιοχών. Θεώρηµα 8.1.4 Ευκλείδεια ιαίρεση). Εστω ότι R είναι µια ακέραια περιοχή. 1. Εστω Pt),Qt) R[t], όπου Qt) 0, και υποθέτουµε ότι degqt) = m. Αν b m είναι ο συντελεστής του µεγιστοβάθµιου όρου του Qt), τότε υπάρχει ϑετικός ακέραιος k N και πολυώνυµα St), Rt) R[t] έτσι ώστε : bm k Pt) = St)Qt) + Rt), και είτε Rt) = 0 είτε degrt) < degqt)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΚΑΙ ΣΩΜΑΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ 390 2. Αν η ακέραια περιοχή R είναι σώµα, τότε για τυχόντα πολυώνυµα Pt),Qt) R[t], όπου Qt) 0, υπάρχουν µοναδικά πολυώνυµα St), Rt) R[t] έτσι ώστε : Pt) = St)Qt) + Rt), και είτε Rt) = 0 είτε degrt) < degqt) Πόρισµα 8.1.5. Εστω ότι R είναι µια ακέραια περιοχή, ότι Pt) R[t] και ότι r R. 1. Υπάρχει µοναδικό πολυώνυµο St) R[t] έτσι ώστε : Pt) = t r )St) + Pr ) 2. t r ) Pt) Pa) = 0 Ενα στοιχείο a R, όπου R είναι ένας µεταθετικός δακτύλιος, καλείται ϱίζα του πολυωνύµου Pt) R[t], αν Pa) = 0. Από το Πόρισµα 8.1.5, έπεται ότι αν το στοιχείο a R είναι ϱίζα του Pt) R[t], τότε µπορούµε να γράψουµε Pt) = t a)at), για κάποιο πολυώνυµο At) R[t]. Ορισµός 8.1.6. Ενα πολυώνυµο Pt) K[t], όπου K είναι ένα σώµα, καλείται ανάγωγο, αν το πολυώνυµο Pt) είναι ϑετικού ϐαθµού και δεν µπορεί να γραφεί ως γινόµενο Pt) = At)Bt), πολυωνύµων At),Bt) K[t] ϑετικού ϐαθµού. Το ακόλουθο πολύ χρήσιµο Θεώρηµα πιστοποιεί ότι ένα πολυώνυµο µε συντελεστές από ένα σώµα δεν µπορεί να έχει περισσότερες ϱίζες από τον ϐαθµό του. Θεώρηµα 8.1.7. Εστω ότι K είναι ένα σώµα και Pt) K[t] ένα πολυώνυµο ϐαθµού degpt) = n 1. Τότε το Pt) έχει το πολύ n διακεκριµένες ϱίζες στο σώµα K. Ιδιαίτερα αν ένα πολυώνυµο έχει πλήθος ϱιζών µεγαλύτερο από τον ϐαθµό του, τότε είναι το µηδενικό πολυώνυµο. Μια άµεση συνέπεια του παραπάνω αποτελέσµατος είναι η ακόλουθη. Θεώρηµα 8.1.8. Η πολλαπλασιαστική οµάδα F ενός πεπερασµένου σώµατος F είναι κυκλική. Η δοµή των ιδεωδών ενός πολυωνυµικού δακτυλίου υπεράνω ενός σώµατος είναι σχετικά απλή, καθώς κάθε ιδεώδες του είναι κύριο : Θεώρηµα 8.1.9. Αν K είναι ένα σώµα, τότε κάθε ιδεώδες του δακτυλίου πολυωνύµων K[t] είναι κύριο. 8.1.2 Σώµατα Κλασµάτων Από τώρα και στο εξής ϑεωρούµε µια ακέραια περιοχή R. Ως συνήθως συµβολίζουµε µε R το σύνολο των µη-µηδενικών στοιχείων του R προφανώς R, διότι 1 R R ). Στο σύνολο R R ορίζουµε µια σχέση ως εξής : a,b), c,d) R R : a,b) c,d) ad = bc ) Αποδεικνύεται εύκολα ότι η σχέση είναι µια σχέση ισοδυναµίας επί του συνόλου R R. Η κλάση ισοδυναµίας [a,b)] του στοιχείου a,b) ϑα συµβολίζεται µε a b = [a,b)] = { c,d) R R a,b) c,d) } = { c,d) R R ad = bc } και καλείται το κλάσµα του στοιχείου a ως προς το µη-µηδενικό στοιχείο b του R. Το σύνολο πηλίκο R R )/ των κλάσεων ισοδυναµίας επί του R R ως προς τη σχέση ισοδυναµίας ϑα συµβολίζεται µε { a QR) = b R R a,b) R R }

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΚΑΙ ΣΩΜΑΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ 391 Σηµειώνουµε ότι για δύο κλάσµατα a b και c d, έχουµε : a b = c d ad = bc Επί του συνόλου πηλίκο QR) ορίζονται πράξεις πρόσθεσης «+» και πολλαπλασιασµού ως εξής : + : QR) QR) QR), : QR) QR) QR), a b, c d a ) b, c d ) a b + c d = ad + bc bd a b c d = ac bd Το παρακάτω ϐασικό αποτέλεσµα δείχνει ότι κάθε ακέραια περιοχή µπορεί να «εµφυτευθεί» σε ένα σώµα µε ϐέλτιστο τρόπο. Θεώρηµα 8.1.10. Αν R είναι µια ακέραια περιοχή, τότε µε τους παραπάνω συµβολισµούς : 1. Η τριάδα QR) = QR),+, ) είναι ένα σώµα, και η απεικόνιση είναι ένας µονοµορφισµός δακτυλίων. ϕ: R QR), ϕa) = a 1 R 2. Αν K είναι ένα σώµα και g : R K είναι ένας µονοµορφισµός δακτυλίων, τότε υπάρχει µοναδικός οµοµορφισµός δακτυλίων g : QR) K, ο οποίος είναι µονοµορφισµός σωµάτων, έτσι ώστε : g ϕ = g. 3. Αν F είναι ένα σώµα και ψ: R F είναι ένας µονοµορφισµός δακτυλίων, έτσι ώστε για κάθε άλλο σώµα K και µονοµορφισµό δακτυλίων f : R K, υπάρχει µοναδικός οµοµορφισµός δακτυλίων f : F K, ο οποίος είναι µονοµορφισµός σωµάτων, έτσι ώστε : f ψ = f, τότε υπάρχει µοναδικός ισοµορφισµόις σωµάτων ω: QR) F, έτσι ώστε : ω ϕ = ψ Ορισµός 8.1.11. Αν R είναι µια ακέραια περιοχή, τότε το µονοσήµαντο ορισµένο, µέχρι ισοµορφισµού σωµάτων, σώµα QR) καλείται το σώµα κλασµάτων της ακέραιας περιοχής R. Παρατηρούµε στο ακόλουθο Πόρισµα, το οποίο αποτελεί ένα χρήσιµο κριτήριο αναγνώρισης του σώµατος κλασµάτων µιας ακέραιας περιοχής, ότι το σώµα κλασµάτων µιας ακέραιας περιοχής R είναι το µικρότερο σώµα το οποίο περιέχει ως υπόσωµα την ακέραια περιοχή R. Πόρισµα 8.1.12. 1. Εστω ότι F είναι ένα σώµα το οποίο περιέχει ως υποδακτύλιο µια ακέραια περιοχή R. Τότε το σώµα F περιέχει ως υπόσωµα ένα ισόµορφο αντίγραφο του σώµατος κλασµάτων QR) της ακέραιας περιοχής R. 2. Εστω ότι R είναι µια ακέραια περιοχή και υποθέτουµε ότι ι: R K είναι ένας µονοµορφισµός δακτυλίων, όπου K είναι ένα σώµα. Αν κάθε στοιχείο x του K είναι της µορφής x = ιa)ιb) 1, όπου a,b R και b 0, τότε το σώµα K είναι ισόµορφο µε το σώµα κλασµάτων QR) της ακέραιας περιοχής R. Ορισµός 8.1.13. Αν R είναι µια ακέραια περιοχή, τότε το σώµα κλασµάτων του δακτυλίου πολυωνύµων R[t 1, t 2,, t n ] συµβολίζεται µε Rt 1, t 2,, t n ) = QR[t 1, t 2,, t n ]) και καλείται το σώµα των ϱητών συναρτήσεων στις n µεταβλητές υπεράνω της ακέραιας περιοχής R.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΚΑΙ ΣΩΜΑΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ 392 Τα στοιχεία του σώµατος κλασµάτων Rt 1, t 2,, t n ) µιας ακέραιας περιοχής R είναι της µορφής Pt 1, t 2,, t n ) Qt 1, t 2,, t n ), Pt 1, t 2,, t n ), Qt 1, t 2,, t n ) R[t 1, t 2,, t n ], Qt 1, t 2,, t n ) 0 Υποθέτουµε τώρα ότι οι δακτύλιοι R και S είναι ακέραιες περιοχές, και ο οµοµορφισµός δακτυλίων f : R S είναι µονοµορφισµός. Θεωρούµε τα σώµατα κλασµάτων QR[t]) = Rt) και QS[t]) = St) των ακέραιων περιοχών R και S αντίστοιχα, και έστω φ R : R[t] Rt), φ R Pt)) = Pt) 1 και φ S : S[t] St), φ S Pt)) = Pt) 1, οι κανονικοί µονοµορφισµοί. Η σύνθεση φ S f : R[t] St) είναι τότε µονοµορφισµός δακτυλίων, και άρα από το Θεώρηµα 8.1.10, έπεται ότι ο µονοµορφισµός δακτυλίων φ S f : R[t] St) επεκτείνεται µοναδικά σε ένα µονοµορφισµό σωµάτων f : QR[t]) = Rt) QS[t]) = St), έτσι ώστε το ακόλουθο διάγραµµα να είναι µεταθετικό : R[t] f S[t] 8.2) φ R Rt) f φ S St) Πρόταση 8.1.14. Εστω ότι R είναι µια ακέραια περιοχή, και QR) το σώµα κλασµάτων της. Τότε υπάρχει µοναδικός ισοµορφισµός σωµάτων ι: Rt) QR)t) έτσι ώστε το ακόλουθο διάγραµµα µονοµορφισµών δακτυλίων να είναι µεταθετικό : R[t] ι QR)[t] 8.3) φ R Rt) ι φ QR) QR)t) Καθ όλη τη διάρκεια του παρόντος Κεφαλαίου, R ϑα συµβολίζει έναν µεταθετικό δακτύλιο. 8.2 Λυµένες Ασκήσεις Ασκηση 8.2.1. Εστω K ένα σώµα και Pt),Qt) είναι δύο πολυλωνυµα υπεράνω του K. Αν για κάθε a K, ισχύει ότι : Pa) = Qa), είναι τότε Pt) = Qt); Να δειχθεί ότι αν chark) = 0, ή αν γενικότερα το πλήθος των στοιχείων του K είναι άπειρο 2, τότε Pt),Qt) K[t]: a K : Pa) = Qa) = Pt) = Qt) Λύση. Γενικά η απάντηση στο πρώτο είναι όχι, διότι για παράδειγµα αν K = Z 2 και Pt) = t 2 t και Qt) = t 3 t, τότε προφανώς ως στοιχεία του δακτυλίου πολυωνύµων K[t] έχουµε Pt) Qt), αλλά : P[0] 2 ) = P[1] 2 ) = [0] 2 και Q[0] 2 ) = Q[1] 2 ) = [0] 2 = Pa) = Qa), a Z 2 Ετσω ότι το σώµα K έχει άπειρο πλήθος στοιχείων, και ϑέτουµε Ht) = Pt) Qt). Αν το Ht) δεν είναι το µηδενικό πολυώνυµο, τότε το Ht) δεν µπορεί να είναι ένα σταθερό µη-µηδενικό πολυώνυµο και άρα deg Ht) 1. Επειδή Ha) = Pa) Qa) = 0, a K, έπεται ότι το πολυώνυµο Ht) έχει άπειρο πλήθος διακεκριµένων ϱιζών στο σώµα K. Επειδή όµως σε ένα σώµα K, ένα µη-µηδενικό πολυώνυµο Ht) K[t] έχει το πολύ degpt) ϱίζες στο K, έπεται ότι αναγκαστικά το πολυώνυµο Ht) είναι το µηδενικό και αυτό σηµαίνει ότι Pt) = Qt). Αν chark) = 0, τότε δεν υπάρχει ϑετικός ακέραιος n έτσι ώστε n1 K = 0. Αυτό σηµαίνει ότι η τάξη του στοιχείου 1 K στην προσθετική οµάδα K,+) είναι άπειρη, και ιδιαίτερα έπεται ότι το σώµα K έχει άπειρο πλήθος στοιχείων και αναγόµαστε στην παραπάνω περίπτωση. 2 Η αν ακόµα γενικότερα αν : Pa) = Qa) για άπειρο πλήθος στοιχείων του K.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΚΑΙ ΣΩΜΑΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ 393 Ασκηση 8.2.2. Εστω K ένα σώµα, και Pt) K[t] ένα πολυώνυµο υπεράνω του K. 1. Αν degpt) 2 και το Pt) είναι ανάγωγο υπεράνω του K, να δειχθεί ότι το Pt) δεν έχει ϱίζα στο K. Ισχύει το αντίστροφο ; 2. Αν degpt) = 2 ή 3, τότε το Pt) είναι ανάγωγο υπεράνω του K αν και µόνον αν το Pt) δεν έχει καµία ϱίζα στο K. Λύση. 1. Εστω ότι degpt) 2 και και υποθέτουµε ότι το Pt) είναι ανάγωγο υπεράνω του K. Αν ρ K είναι µια ϱίζα του Pt), τότε από το Πόρισµα 8.1.5 ϑα είχαµε Pt) = t ρ)at), για κάποιο πολυώνυµο At) K[t] και αναγκαστικά deg At) 1 διότι degpt) 2), δηλαδή το Pt) δεν είναι ανάγωγο και αυτό είναι άτοπο. Το αντίστροφο δεν ισχύει : υπάρχουν µη-ανάγωγα πολυώνυµα υπεράνω ενός σώµατος τα οποία δεν έχουν καµµία ϱίζα στο σώµα. Για παράδειγµα το πολυώνυµο t 4 + 2t 2 + 1 = t 2 + 1)t 2 + 1) R[t] έχει αυτή την ιδιότητα, και το ίδιο συµβαίνει για το πολυώνυµο t 4 4 = t 2 2)t 2 + 2) Q[t]. 2. Υποθέτουµε ότι το Pt) δεν έχει καµµία ϱίζα στο K και έστω ότι Pt) = At)Bt), όπου τα πολυώνυµα At),Bt) είναι ϐαθµού 1. Τότε προφανώς είτε το At) είτε το Bt) είναι πρωτοβάθµιο, και εποµένως έχει µια ϱίζα στο K, η οποία είναι και ϱίζα του Pt). Αυτό είναι άτοπο και εποµένως το Pt) είναι ανάγωγο. Το αντίστροφο προκύπτει από το µέρος 1. Ασκηση 8.2.3. Να δειχθεί ότι το πολυώνυµο Pt) = t 3 + at + b Z[t], όπου a,b : περιττοί είναι ανάγωγο υπεράνω του Z. Λύση. Υποθέτουµε ότι το Pt) δεν είναι ανάγωγο υπεράνω του Z και εποµένως ϑα έχει αναγκαστικά έναν µονικό πρωτοβάθµιο παράγοντα. Ετσι µπορούµε να γράψουµε Pt) = t 3 + at + b = t + k)t 2 + l t + m), k,l,m Z Θεωρούµε το πολυώνυµο Pt) ως πολυώνυµο υπεράνω του σώµατος Z 2, και τότε ϑα έχουµε Pt) = t 3 + [a] 2 t + [b] 2 = t + [k] 2 )t 2 + [l] 2 t + [m] 2 ) στον δακτύλιο Z 2 [t] ) Οµως το πολυώνυµο Pt) είναι ανάγωγο υπεράνω του Z 2. Πράγµατι, Pt)[0] 2 ) = [b] 2 [0] 2 διότι ο b είναι περιττός, και Pt)[1] 2 ) = [1] 2 + [a] 2 + [b] 2 = [a + b + 1] 2 [0] 2 διότι οι a,b είναι περιττοί και άρα ο ακέραιος a + b + 1 είναι περιττός. Ετσι το πολυώνυµο Pt) δεν έχει καµµία ϱίζα στο σώµα Z 2 και εποµένως σύµφωνα µε την Άσκηση 8.2.2, το Pt) είναι ανάγωγο υπεράνω του Z 2. Αυτό είναι άτοπο, όπως προκύπτει από τη σχέση ). Άρα το πολυώνυµο Pt) είναι ανάγωγο υπεράνω του Z. Ασκηση 8.2.4. Εστω R ένας µεταθετικός δακτύλιος, και I ένα ιδεώδες του R. 1. Να δειχθεί ότι το σύνολο είναι ένα ιδεώδες του R. { } I [t] = a k t k R[t] a k I, 0 k n 2. Να δειχθεί ότι υπάρχει ένας ισοµορφισµός δακτυλίων R[t] / I [t] R/I )[t]

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΚΑΙ ΣΩΜΑΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ 394 Λύση. Θα αποδείξουµε µε ενιαίο τρόπο τα 1. και 2.. Θεωρούµε την απεικόνιση Φ : R[t] R/I )[t], Pt) = a k t k ΦPt)) = a k + I )t k Τότε Φ1 R[t] ) = Φ1) = 1 + I = 1 R/I )[t], δηλαδή η απεικόνιση Φ στέλνει την µονάδα του R[t] στην µονάδα του R/I )[t]. Αν Pt) = n a k t k και Qt) = m b k t k είναι δύο πολυώνυµα στον δακτύλιο R[t], τότε µπορούµε να υποθέσουµε χωρίς ϐλάβη της γενικότητας ότι n m και τότε µπορούµε να γράψουµε Pt) = m a k t k, όπου ϑέσαµε a n+1 = = a m = 0. Θα έχουµε : ΦPt) +Qt)) = Φ a k t k + b k t k ) = Φ a k + b k )t k ) = a k + b k + I )t k = = a k + I )t k + b k + I )t k = ΦPt)) + ΦQt)) Παρόµοια, ϑέτοντας c k = k l=0 a l b k l, 0 k n + m, ϑα έχουµε : ΦPt) Qt)) = Φ a k t k n+m = l=0 b k t k n+m ) = Φ c k t k n+m ) = c k + I )t k ) = k a l + I )b k l + I ))t k = a k + I )t k b k + I )t k = ΦPt)) ΦQt)) Εποµένως η απεικόνιση Φ είναι οµοµορφισµός δακτυλίων ο οποίος επιπρόσθετα είναι επιµορφισµός διότι αν At) = n a k + I )t k είναι ένα τυπικό στοιχείο του δακτυλίου R/I )[t], τότε ϑέτοντας Pt) = n a k t k R[t], ϑα έχουµε ΦPt)) = At). Εστω Pt) = n a k t k KerΦ), τότε ΦPt)) = n a k + I )t k = 0 R/I )[t] = I είναι το µηδενικό πολυώνυµο στον δακτύλιο R/I )[t], δηλαδή a k + I = I, και εποµένως a k I, 0 k n. Αυτό σηµαίνει ότι το πολυώνυµο Pt) I [t]. Αντίστροφα αν Pt) I [t], τότε a k I, 0 k n, και τότε προφανώς ΦPt)) = n a k + I )t k = n 0 R/I )t k = 0 R/I )[t]. Εποµένως KerΦ) = I [t] και άρα το υποσύνολο I [t] είναι ιδεώδες του R[t] ως πυρήνας οµοµορφισµού δακτυλίων. Τέλος επειδή η απεικόνιση Φ είναι επιµορφισµός, από το Πρώτο Θεώρηµα Ιοσµορφισµών έπεται ότι η Φ επάγει έναν ισοµορφισµό δακτυλίων R[t] / I [t] R/I )[t] Ασκηση 8.2.5. Θεωρούµε το σώµα Z p, όπου p είναι ένας πρώτος αριθµός. Να δειχθεί ότι το πλήθος των µονικών ανάγωγων πολυωνύµων ϐαθµού 2 υπεράνω του Z p είναι ίσο µε pp 1) Να συµπεράνετε ότι υπάρχει πάντα ένα ανάγωγο πολυώνυµο ϐαθµού 2 υπεράνω του Z p. Λύση. Ενα µονικό πολυώνυµο ϐαθµού 2 υπεράνω του Z p είναι της µορφής 2 Pt) = t 2 + at + b, a, b Z p Τέτοια πολυώνυµα υπάρχουν σε πλήθος ίσο µε p 2 διότι τα στοιχεία a,b µπορούν να λάβουν αυθαίρετες τιµές από το σώµα Z p = { [0] p,[1] p,,[p 1] p }. Αν ένα πολυώνυµο Pt) = t 2 + at + b Z p [t] δεν είναι ανάγωγο είναι της µορφής Pt) = At)Bt), όπου προφανώς τα πολυώνυµα At) και Bt) είναι µονικά πρωτοβάθµια πολυώνυµα, και άρα ϑα είναι της µορφής At) = t a και Bt) = t d. Άρα Pt) = t 2 + at + b είναι µη-ανάγωγο = Pt) = t c)t d) όπου c,d Z p Τπ πλήθος των µη-ανάγωγων πολυωνύµων ϐαθµού 2 εποµένως εξαρτάται από τις τιµές c, d:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΚΑΙ ΣΩΜΑΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ 395 1. Αν c d, τότε υπάρχουν p το πλήθος επιλογές για το στοιχείο c και p 1 επιλογές για το d διότι c d. Άρα υπάρχουν pp 1) επιλογές για τα c,d και επειδή τα πολυώνυµα t c)t d) και t d)t c) είναι ίσα, έπεται ότι το πλήθος των µονικών µη-ανάγωγων πολυωνύµων µε δύο διακεκριµένες ϱίζες είναι ίσο µε pp 1) 2. 2. Αν c = d, τότε υπάρχουν p το πλήθος επιλογές για το στοιχείο c, και άρα το πλήθος των µονικών µη-ανάγωγων πολυωνύµων µε µια διπλή ϱίζα είναι ίσο µε p. Εποµένως το πλήθος των µονικών µη-ανάγωγων πολυωνύµων υπεράνω του Z p είναι ίσο µε pp 1) pp + 1) + p = 2 2 Τα υπόλοιπα µονικά πολυώνυµα ϐαθµού 2 υπεράνω του Z p ϑα είναι ακριβώς τα ανάγωγα µονικά πολυώνυµα ϐαθµού 2 υπεράνω του Z p και άρα το πλήθος τους ϑα είναι : p 2 pp + 1) pp 1) = 2 2 Εποµένως το πλήθος των µονικών πολυωνύµων ϐαθµού 2 του Z p [t] είναι ίσο µε pp 1) 2. Εποµένως επειδή για κάθε πρώτο p, έχουµε pp 1) 2 1, έπεται ότι υπάρχει πάντα ανάγωγο µονικό πολυώνυµο ϐαθµού 2 υπεράνω του Z p. Σχόλιο 8.2.6. Αποδεικνύεται ότι το πλήθος N p n) των µονικών ανάγωγων πολυωνύµων ϐαθµού n υπεράνω ενός πεπερασµένου σώµατος F µε q το πλήθος στοιχεία είναι ίσο µε : N q n) = 1 µd)q n d n όπου 1 αν n = 1 µ : N C, µn) = 0 αν p : πρώτος έτσι ώστε p 2 n 1) k αν n = p 1 p 2 p k είναι η πρωτογενής ανάλυση του n είναι η συνάρτηση του Möbius, ϐλέπε [12]. d n Ασκηση 8.2.7. Να ϐρεθεί ο µέγιστος κοινός διαιρέτης t 5 + t + 1, t 4 + t 3 + t + 1 ) των πολυωνύµων t 5 + t + 1, t 4 + t 3 + t + 1 Z 2 [t]. Ποιός είναι ο µέγιστος κοινός διαιρέτης των πολυωνύµων, όταν αυτά ϑεωρηθούν ως πολυώνυµα στον δακτύλιο Q[t]; Λύση. 1. Θα εφαρµόσουµε τον Ευκλείδειο αλγόριθµο. Ετσι, λαµβάνοντας υπ όψιν ότι εργαζόµαστε µε πολυώνυµα µε συντελεστές στο σώµα Z 2 ϑα έχουµε διαδοχικά : t 5 +t +1 = t +1)t 4 +t 3 +t +1)+t 3 +t 2 +t) και άρα : t 4 + t 3 + t + 1 = tt 3 + t 2 + t) + t 2 + t + 1) και άρα : t 5 +t +1, t 4 +t 3 +t +1 ) = t 4 +t 3 +t +1, t 3 +t 2 +t ) t 4 + t 3 + t + 1, t 3 + t 2 + t ) = t 3 + t 2 + t, t 2 + t + 1 ) t 3 + t 2 + t = tt 2 + t + 1) + 0 και άρα : t 3 + t 2 + t, t 2 + t + 1 ) = t 2 + t + 1 Εποµένως t 5 + t + 1, t 4 + t 3 + t + 1 ) = t 2 + t + 1

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΚΑΙ ΣΩΜΑΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ 396 2. Θα εφαρµόσουµε τον Ευκλείδειο αλγόριθµο. Ετσι ϑα έχουµε διαδοχικά : t 5 +t+1 = t 1)t 4 +t 3 +t+1)+t 3 t 2 +t+2) και άρα : t 4 +t 3 +t+1 = t+2)t 3 t 2 +t+2)+t 2 3t 3) και άρα : t 3 t 2 + t +2 = t +2)t 2 3t 3)+10t +8) και άρα : t 2 3t 3 = 1 10 19 50 )10t + 8) + 19 5 t + 1 25 10t + 8 = 50 19 19 5 t + 1 25 ) + 150 και άρα : 19 Το στοιχείο 150 19 19 5 t + 1 25 = 150 19 και άρα : t 5 +t+1, t 4 +t 3 +t+1 ) = t 4 +t 3 +t+1, t 3 t 2 +t+2 ) t 4 +t 3 +t+1, t 3 t 2 +t+2 ) = t 3 t 2 +t+2, t 2 3t 3 ) t 3 t 2 + t +2, t 2 3t 3 ) = t 2 3t 3, 10t +8 ) t 2 3t 3, 10t + 8 ) = 10t + 8, 19 10t + 8, 5 t + 1 ) 19 = 25 19 19 150 t + 19 25 150 + 0 και άρα : 19 5 t + 1 25, 150 19 είναι αντιστρέψιµο στο Q, και άρα 5 t + 1 25, 150 19 ) 150 = 19 19 5 t + 1 ) 25 ) t 5 + t + 1, t 4 + t 3 + t + 1 ) = 19 5 t + 1 25, 150 ) = 1 19 Ασκηση 8.2.8. Εστω F ένα σώµα χαρακτηριστικής 0. Τότε ο µοναδικός µονοµορφισµός δακτυλίων φ: Z F επεκτείνεται µοναδικά σε έναν µονοµορφισµό σωµάτων φ : Q F, φ a b ) = φa)φb) 1 Λύση. Επειδή η απεικόνιση φ είναι «1-1» και b 0, έπεται ότι φb) 0 και άρα υπάρχει το στοιχείο φb) 1 διότι το F είναι σώµα. Αν a b = c d στο σώµα Q, τότε στον δακτύλιο Z των ακεραίων ϑα έχουµε ad = bc και εποµένως ϑα έχουµε φad) = φa)φd) = φb)φc) = φbc) στο σώµα F. Τότε ϑα έχουµε φ ) a b = φa)φb) 1 = φc)φc) 1 = φ ) c d, και εποµένως η απεικόνιση φ είναι καλά ορισµένη. Η απεικόνιση φ είναι «1-1» διότι αν φ ) a b = φa)φb) 1 = 0, τότε φa) = 0 φb) = 0, και άρα a = 0 διότι η φ είναι «1-1». Άρα Kerφ ) = { 0 } και έτσι η φ είναι «1-1». Επιπλέον φ 1) = φ 1 1 ) = φ1)φ1) 1 = 1 F 1 1 F = 1 F. Εστω a b, c d Q. Τότε ϑα έχουµε : Παρόµοια φ a b + c ) = φ ad + bc ) = φad + bc)φbd) 1 = φa)φd) + φb)φc) ) φb) 1 φd) 1 = d bd = φa)φd)φb) 1 φd) 1 + φb)φc)φb) 1 φd) 1 = φa)φb) 1 + φc)φd) 1 = φ a b ) + φ c d φ a b c ) = φ ac ) = φac)φbd) 1 = φa)φc) φbd) 1 = φa)φc) φb) 1 φd) 1 = φ a d bd b ) φ c ) d Οι παραπάνω σχέσεις δέιχνουν ότι η φ είναι ένας µονοµορφισµός σωµάτων. Αν f : Q F είναι ένας άλλος µονοµορφισµός σωµάτων έτσι ώστε f Z = φ, δηλαδή η σύνθεση της f µε την κανονική έγκλειση Z Q, n n 1 συµπίπτει µε την φ, εποµένως f ) n 1 = φn), n Z, τότε ϑα δείξουµε ότι f = φ. Πράγµατι, χρησιµοποιώντας ότι η f είναι µονοµορφισµός σωµάτων, ϑα έχουµε, a b Q: f a b ) = f a b 1 ) = f a) f b 1 ) = f a)f b) 1 = φa)φb) 1 = φ a b ) ) Εποµένως φ = f. Ασκηση 8.2.9. Να δοθεί παράδειγµα πολυωνύµου µε συντελεστές από έναν µεταθετικό δακτύλιο ο οποίος δεν είναι σώµα, το οποίο έχει περισσότερες ϱίζες από τον ϐαθµό του.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΚΑΙ ΣΩΜΑΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ 397 Λύση. Θεωρούµε τον µεταθετικό δακτύλιο Z 15 ο οποίος δεν είναι σώµα ή ακέραια περιοχή, διότι ο αριθµός 15 δεν είναι πρώτος. Το πολυώνυµο Pt) = t 2 [1] 15 Z 15 [t] είναι ϐαθµού 2. Επειδή P[1] 15 ) = [0] 15, P[4] 15 ) = [15] 14 = [0] 14, P[11] 15 ) = P[ 4] 15 ) = [15] 14 = [0] 14, P[14] 15 ) = P[ 1] 15 ) = [0] 15 έπεται ότι το πολυώνυµο Pt) έχει τουλάχιστον 4 ϱίζες στον δακτύλιο Z 15. Ασκηση 8.2.10. Θεωρούµε τα πολυώνυµα Pt) = t 4 4 Q[t] και Qt) = t 2 + 2 Q[t] Να δειχθεί ότι υπάρχει µεγιστοτικό 3 ιδεώδες M Q[t]/Pt) και ένας ισοµορφισµός δακτυλίων Q[t]/Pt)) / M = Q[t]/Qt)) Λύση. Παρατηρούµε ότι Pt) = t 4 4 = t 2 2)t 2 + 2) και άρα Qt) Pt). Για τα κύρια ιδεώδη τα οποία παράγονται από τα πολυώνυµα Pt) και Qt) αυτό σηµαίνει ότι Pt)) Qt)). Ορίζουµε µια απεικόνιση f : Q[t]/Pt)) Q[t]/Qt)), f At)) = At) + Qt)) Η απεικόνιση f είναι είναι καλά ορισµένη διότι αν At) + Pt)) = Bt) + Pt)), τότε At) Bt) Pt)) και εποµένως επειδή Pt)) Qt)), ϑα έχουµε At) Bt) Qt)), δηλαδή f At)) = At)+Qt)) = Bt)+Qt)) = f Bt)). Προφανώς η απεικόνιση f είναι ένας επιµορφισµός δακτυλίων. Αν At) Ker f ), τότε ϑα έχουµε : f At) + Pt))) = 0 Q[t]/Qt)) = At) + Qt)) = Qt)) = At) Qt)) Εποµένως Kerf ) Qt)) / Pt)). Αντίστροφα αν At) + Pt)) Qt) / Pt)), τότε f At) + Pt))) = At) + Qt)) = Qt)), διότι At) Qt)). Άρα Qt)) / Pt)) Kerf ) και εποµένως Kerf ) = Qt)) / Pt)). Από το Πρώτο Θεώρηµα Ισοµορφισµών ακτυλίων, έπεται ότι ϑα έχουµε έναν ισοµορφισµό δακτυλίων 4 Q[t]/Pt)) / Qt)) / Pt)) = Q[t]/Qt)) Επειδή το πολυώνυµο Qt) = t 2 +2 είναι ανάγωγο υπεράνω του Q, έπεται ότι ο δακτύλιος πηλίκο Q[t]/Qt)) είναι σώµα. Άρα και ο δακτύλιος πηλίκο Q[t]/Pt)) / Qt)) / Pt)) είναι σώµα και αυτό σηµαίνει ότι το ιδεώδες M = Qt)) / Pt)) είναι µεγιστοτικό. Ασκηση 8.2.11. Εστω R ένας µεταθετικός δακτύλιος και I ένα ιδεώδες του R. Θεωρούµε το υποσύνολο { } I = a k t k R[t] a 0 I Να δειχθεί ότι το υποσύνολο I του R[t] είναι ένα ιδεώδες του R[t]. Επίσης να δειχθεί ότι το ιδεώδες I του R[t] είναι πρώτο ή µεγιστοτικό αν και µόνον αν το ιδεώδες I του R είναι πρώτο ή µεγιστοτικό αντίστοιχα. 3 Για λεπτοµερέστερη ανάπτυξη της ϑεωρίας µεγιστοτικών ιδεωδών, παραπέµπουµε στο Κεφάλαιο 9. 4 Ο ισοµορφισµός δακτυλίων µπορεί να προκύψει άµεσα και από το Τρίτο Θεώρηµα Ισοµορφισµών δακτυλίων, εφαρµοσµένο στην έγκλειση ιδεωδών Pt)) Qt)).

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΚΑΙ ΣΩΜΑΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ 398 Λύση. Προφανώς το µηδενικό πολυώνυµο ανήκει στο υποσύνολο I και άρα I. Εστω Pt) = n a k t k και Qt) = m b k t k δύο στοιχεία του I. Τότε Pt) Qt) = a 0 b 0 ) + a 1 b 1 t +, και επειδή a 0,b 0, I και το I είναι ιδεώδες του R, έπεται ότι a 0 b 0 I και άρα Pt) Qt) I. Αν Ct) = l c k t k R[t], τότε Pt)Ct) = a 0 c 0 + a 0 c 1 + a 1 c 0 )t +. Επειδή a 0 I και το I είναι ιδεώδες του R, έπεται ότι a 0 c 0 I και εποµένως Pt)Ct) I. Συνοψίζοντας, δείξαµε ότι το υποσύνολο I είναι ένα ιδεώδες του R[t]. Θεωρούµε την απεικόνιση f : R[t] R/I, f Pt)) = P0) + I Η απεικόνιση f είναι επιµορφισµός δακτυλίων ως σύνθεση του επιµορφισµού δακτυλίων R[t] R, Pt) P0) και του κανονικού επιµορφισµού R R/I, r r +I. Για τον πυρήνα του επιµορφισµού f ϑα έχουµε : Kerf ) = { Pt) R[t] f Pt)) = 0 R/I } = { Pt) R[t] P0) + I = I } = { Pt) R[t] P0) I } = I Από το Πρώτο Θεώρηµα Ισοµορφισµών ακτυλίων, ϑα έχουµε έναν ισοµορφισµό δακτυλίων : R[t]/I = R/I Εποµένως ο δακτύλιος R[t]/I είναι ακέραια περιοχή ή σώµα αν και µόνον αν ο δακτύλιος R/I είναι ακέραια περιοχή ή σώµα αντίστοιχα. Ισοδύναµα το ιδεώδες I του R[t] είναι πρώτο ή µεγιστοτικό αν και µόνον αν το ιδεώδες I του R είναι πρώτο ή µεγιστοτικό αντίστοιχα. Ασκηση 8.2.12. Να προσδιορισθεί ο δακτύλιος πηλίκο Z 3 [t] / t 2 + 2) Λύση. Εστω Pt) = t 2 + 2. Επειδή P1) = 1 2 + 2 = 3 = 0 στο σώµα Z 3 και P2) = 2 2 + 2 = 6 = 0 στο σώµα Z 3, ϑα έχουµε : t 2 + 2 = t 1)t 2) Προφανώς ϑα έχουµε t 1) t 2) = 1 και εποµένως για κάθε πολυώνυµο At) Z 3 [t] έπεται ότι At) = t 1)At)+t 2) At)). Αυτό σηµαίνει ότι Z 3 [t] = t 1)+t 2), δηλαδή τα κύρια ιδεώδη t 1) και t 2) είναι συµµέγιστα. Από την άλλη πλευρά έχουµε t 1) t 2) = t 2 +2). Πράγµατι, επειδή t 2 +2 = t 1)t 2), ϑα έχουµε προφανώς t 2 + 2) t 1) t 2). Αντίστροφα αν Qt) t 1) t 2), τότε Qt) = t 1)At) = t 2)Bt), για κάποια πολυώνυµα At),Bt) Z 3 [t]. Τότε προφανώς Q1) = Q2) = 0 στο σώµα Z 3 και εποµένως t 1)t 2) = t 2 + 2 Qt). Αυτό σηµαίνει ότι Qt) t 2 + 2) και εποµένως t 1) t 2) t 2 + 2). Άρα t 1) t 2) = t 2 +2). Από το Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων, ϐλέπε την Άσκηση 7.2.25, έπεται ότι ϑα έχουµε έναν ισοµορφισµό δακτυλίων : Z 3 [t] / t 2 + 2) Επειδή, όπως µπορούµε να δούµε εύκολα, οι απεικονίσεις Z 3 [t] / t 1) Z 3 [t] / t 2) f : Z 3 [t]/t 1) Z 3, f Qt) + t 1)) = Q1) και g : Z 3 [t]/t 2) Z 3, g Qt) + t 2)) = Q2) είναι ισοµορφισµοί δακτυλίων, έπεται ϑα έχουµε έναν ισοµορφισµό δακτυλίων Z 3 [t] / t 2 + 2) Z 3 Z 3 Ασκηση 8.2.13 Κριτήριο Eisenstein). Θεωρούµε ένα πολυώνυµο µε ακέραιους συντελεστές f t) = a 0 + a 1 t + + a n t n, n > 0, a i Z, 0 i n και a n 0 και έστω p ένας πρώτος αριθµός. Τότε : p a 0, p a 1,, p a n 1 και p a n και p 2 a 0 = f t) : ανάγωγο Ωε εφαρµογή, να δειχθεί ότι τα πολυώνυµα µε ακέραιους συντελεστές

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΚΑΙ ΣΩΜΑΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ 399 1. g 1 t) = t 4 6t 3 + 24t 2 30t + 14, 2. g 2 t) = t 7 + 48t 24, 3. g 3 t) = t 5 + 5t + 5, 4. g 4 t) = t n p, όπου p είναι ένας πρώτος αριθµός και n > 1, είναι ανάγωγα υπεράνω του Q. Είναι το πολυώνυµο g 5 t) = t 4 + 4 ανάγωγο υπεράνω του Q; Λύση. Εστω ότι το πολυώνυµο f t) δεν είναι ανάγωγο. Άρα f t) = g t)ht) όπου g t) = b 0 +b 1 t + +b s t s Z[t], ht) = c 0 + c 1 t + + c r t r Z[t] και s 1, r 1. Τότε a 0 = b 0 c 0, a 1 = b 0 c 1 + b 1 c 0,, a i = b 0 c i + b 1 c i 1 + + b i c 0 όπου 0 i n. Αφού p a 0 και a 0 = b 0 c 0 έπεται ότι p b 0 ή p c 0. Χωρίς ϐλάβη της γενικότητας υποθέτουµε ότι p b 0. Τότε p c 0, διότι αν p c 0, ϑα είχαµε ότι p 2 b 0 c 0 = a 0 το οποίο είναι άτοπο. Αν p b s τότε p b s c r = p a n που είναι άτοπο. Άρα p b s. Εποµένως υπάρχει ένα i s έτσι ώστε p b 0,b 1, b i 1 και p b i. Οµως a i = b 0 c i + b 1 c i 1 + + b i 1 c 1 + b i c 0 και p a i p b 0 c i + + b i 1 c 1 = που είναι άτοπο. Συνεπώς το πολυώνυµο f t) είναι ανάγωγο. p b i c 0 p c 0 = p b i 1. Για το πολυώνυµο g 1 t) = t 4 6t 3 + 24t 2 30t + 14, επιλέγοντας τον πρώτο p = 3, ϐλέπουµε ότι εφαρ- µόζεται το κριτήριο Eisenstein, και άρα το πολυώνυµο g 1 t) είναι ανάγωγο. 2. Για το πολυώνυµο g 2 t) = t 7 + 48t 24, επιλέγοντας τον πρώτο p = 3, ϐλέπουµε ότι εφαρµόζεται το κριτήριο Eisenstein, και άρα το πολυώνυµο g 2 t) είναι ανάγωγο. 3. Για το πολυώνυµο g 3 t) = t 5 +5t +5, επιλέγοντας τον πρώτο p = 5, ϐλέπουµε ότι εφαρµόζεται το κριτήριο Eisenstein, και άρα το πολυώνυµο g 3 t) είναι ανάγωγο. 4. Για το πολυώνυµο g 4 t) = t n p, επιλέγοντας τον πρώτο p, ϐλέπουµε ότι εφαρµόζεται το κριτήριο Eisenstein, και άρα το πολυώνυµο g 1 t) είναι ανάγωγο. 5. Αντίθετα το πολυώνυµο g 5 t) = t 4 + 4, για το οποίο δεν µπορεί να εφαρµοσθεί το Κριτήριο Eisenstein, δεν είναι ανάγωγο διότι : t 4 + 4 = t 2 2t + 2 ) t 2 + 2t + 2 ) Ασκηση 8.2.14. 1. Να δειχθεί ότι για κάθε ϑετικό ακέραιο n υπάρχει µονικό ανάγωγο πολυώνυµο µε ακέραιους συντελεστές, το οποίο είναι ανάγωγο υπεράνω του Q. 2. Να δειχθεί ότι το πολυώνυµο t 4 + 1 δεν είναι ανάγωγο υπεράνω του σώµατος Z p, για κάθε πρώτο p. Λύση. 1. Θεωρούµε το πολυώνυµο Pt) = t n + p, όπου p είναι τυχόν πρώτος αριθµός. Τότε από το κριτήριο του Eisenstein, έπεται ότι το πολυώνυµο Pt) είναι ανάγωγο υπεράνω του Q, και προφανώς είναι µονικό και µε ακέραιους συντελεστές. 2. Θέτουµε Pt) = t 4 + 1. αʹ) Αν p = 2, τότε P[1] 2 ) = [1] 4 2 + [1] 2 = 2[1] 2 = [0] 2 και άρα t 1 t 4 + 1, δηλαδή το Pt) δεν είναι ανάγωγο υπεράνω του Z 2.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΚΑΙ ΣΩΜΑΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ 400 ϐʹ) Αν p = 3, τότε αν και το Pt) δεν έχει καµµία ϱίζα στο Z 3, µπορούµε να γράψουµε t 4 + 1 = t 2 + t + 2)t 2 + 2t + 2) και άρα το Pt) δεν είναι ανάγωγο υπεράνω του Z 2. γʹ) Υποθέτουµε ότι p > 3. Θεωρούµε το σύνολο H = { a 2 Z p a Z } p Από την Άσκηση 5.2.40, έπεται ότι το σύνολο H είναι µια υποοµάδα δείκτου 2 στην Z p. ιακρίνουµε περιπτώσεις για το στοιχείο [ 1] p = [p 1] p Z p : i. Υποθέτουµε ότι [ 1] p = [p 1] p H. Τότε υπάρχει στοιχείο a Z έτσι ώστε [a] 2 = [ 1] p και τότε ϑα έχουµε στο σώµα Z p : t 4 + 1 = t 2 + a)t 2 a) ii. Υποθέτουµε ότι [ 1] p = [p 1] p H. Επειδή [Z p : H] = 2, σύµφωνα µε την Άσκηση 5.2.40, υπάρχουν µόνο δύο διακεκριµένες πλευρικές κλάσεις της H στην Z p : η H και η H. Τότε για το στοιχείο 2 ϑα έχουµε 2 H ή 2 H. Αʹ. Αν 2 H, τότε υπάρχει b Z έτσι ώστε [b] 2 p = [2] p και τότε εύκολα ϐλέπουµε ότι ϑα έχουµε : t 4 + 1 = t 2 + bt + 1)t 2 bt + 1) Βʹ. Αν 2 H, τότε 2 H και εποµένως υπάρχει c Z έτσι ώστε [c] 2 p = [ 2] p και τότε εύκολα ϐλέπουµε ότι ϑα έχουµε : t 4 + 1 = t 2 + ct + 1)t 2 ct 1) Εποµένως δείξαµε ότι σε κάθε περίπτωση το πολυώνυµο t 4 +1 αναλύεται σε παράγοντες στο σώµα Z p, για κάθε πρώτο p, και άρα δεν µπορεί να είναι ανάγωγο. Ασκηση 8.2.15. Θεωρούµε ένα πολυώνυµο µε ακέραιους συντελεστές Pt) = a n t n + a n 1 t n 1 + + a 1 t + a 0 1. Αν r s είναι µια ϱητή ϱίζα του Pt), όπου r, s) = 1, τότε : s a n και r a 0 2. Αν a n = 1 και ρ είναι µια πραγµατική ϱίζα του Pt), να δείξετε ότι : είτε ο ρ είναι ακέραιος ή ο ρ είναι άρρητος. Λύση. 1. Θα έχουµε P r s Τότε : ) r ) n r = an + an 1 s s ) n 1 + + a1 r s + a 0 = 0 = a n r n s n + a r n 1 n 1 = a n r n + a n 1 r n 1 s + + a 1 r s n 1 + a 0 s n = 0 s n 1 + + a r 1 s + a 0 = 0 = r a n r n 1 + a n 1 r n 2 s + + a 1 s n 1 ) = a 0 s n και sa 0 s n 1 + a 1 r s n 2 + + a n 1 r n 1 ) = a n r n Από τις παραπάνω σχέσεις έπεται οτι r a 0 s n και s a n r n Επειδή r, s) = 1, ϑα έχουµε r, s n ) = 1 = r n, s) και εποµένως ϑα έχουµε : r a 0 και s a n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΚΑΙ ΣΩΜΑΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ 401 2. Εστω ότι ρ = r s Q είναι µια ϱητή ϱίζα του Pt). Χωρίς ϐλάβη της γενικότητας υποθέτουµε ότι οι r, s δεν έχουν κανένα κοινό παράγοντα, και άρα r, s) = 1. Τότε από 1. έπεται ότι s 1 και άρα s = ±1. Εποµένως ρ = ±s Z. Ασκηση 8.2.16. δακτυλίων 1. Εστω R µια ακέραια περιοχή και a R. Να δειχθεί ότι υπάρχει ένας ισοµορφισµός R[t]/t a) R 2. Αν K είναι ένα σώµα, να δειχθεί ότι υπάρχει ένας ισοµορφισµός δακτυλίων K[x, y] / x y) K[x] Λύση. 1. Θεωρούµε την απεικόνιση Φ : R[t] R, ΦPt)) = Pa) Τότε Φ1 R[t] ) = Φ1) = 1a) = 1, δηλαδή η απεικόνιση Φ στέλνει την µονάδα του R[t] στην µονάδα του R. Αν Pt) = n a k t k και Qt) = m b+kt k είναι δύο πολυώνυµα στον δακτύλιο R[t], τότε µπορούµε να υποθέσουµε χωρίς ϐλάβη της γενικότητας ότι n m και τότε µπορούµε να γράψουµε Pt) = m a k t k, όπου ϑέσαµε a n+1 = = a m = 0. Θα έχουµε : ΦPt) +Qt)) = Φ a k t k + b k t k ) = Φ a k + b k )t k ) = a k + b k + I )a k = = a k a k + b k a k = ΦPt)) + ΦQt)) Παρόµοια, ϑέτοντας c k = k l=0 a l b k l, 0 k n + m, ϑα έχουµε : ΦPt) Qt)) = Φ a k t k n+m = l=0 b k t k n+m ) = Φ c k a k ) = k a l b k l )a k = a k a k b k a k = ΦPt)) ΦQt)) Εποµένως η απεικόνιση Φ είναι οµοµορφισµός δακτυλίων ο οποίος επιπρόσθετα είναι επιµορφισµός διότι αν r R είναι ένα τυχόν στοιχείο του δακτυλίου R, τότε ϑέτοντας Pt) = r να είναι το σταθερό πολυώνυµο r, ϑα έχουµε ΦPt)) = r. Αν At) t a), τότε At) = t a)bt) για κάποιο πολυώνυµο Bt) R[t], και ϑα έχουµε ΦAt)) = Aa) = a a)ba) = 0. Άρα t a) KerΦ). Αντίστροφα, αν At) KerΦ), τότε Aa) = 0. Από την Ευκλείδεια ιαίρεση, µπορούµε να γράψουµε At) = Bt)t a) + Rt), όπου είτε Rt) = 0 είτε degrt) < degt a) = 1, και άρα είτε Rt) = 0 είτε Rt) = c R. Επειδή 0 = Aa) = Ba)a a) + c, έπεται ότι c = 0 και άρα Rt) = 0, δηλαδή At) t a) και άρα KerΦ) t a). Συνοψίζοντας δείξαµε ότι KerΦ) = t a). Από το Πρώτο Θεώρηµα Ισοµορφισµών ακτυλίων, έπεται ότι ο επιµορφισµός Φ επάγει έναν ισοµορφισµό δακτυλίων R[t] / t a) R 2. Θέτουµε R = K[x], και τότε επειδή ο δακτύλιος K είναι σώµα, ο δακτύλιος R είναι ακέραια περιοχή. Θέτοντας a = x R = K[x] στο µέρος 1., ϑα έχουµε έναν ισοµορφισµό δακτυλίων R[y] / y a) R και άρα K[x, y] / x y) K[x]

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΚΑΙ ΣΩΜΑΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ 402 Ασκηση 8.2.17. Υποθέτουµε ότι K είναι ένα σώµα το οποίο περιέχει ως υποδακτύλιο µια ακέραια περιοχή R. Να δειχθεί ότι το σώµα K περιέχει ως υπόσωµα το σώµα κλασµάτων QR) της R. Λύση. Ορίζουµε µια απεικόνιση f : QR) K, f a b ) = ab 1 1. είχνουµε ότι η απεικόνιση f είναι καλά ορισµένη. Εστω a b, c d QR), οπότε a,b,c,d R και b 0 d. Τότε R K και επειδή το K είναι σώµα, τα µη-µηδενικά στοιχεία b,d είναι αντιστρέψιµα ως στοιχεία του K και άρα ορίζονται τα στοιχεία b 1 και d 1 του K και τότε ιδιαίτερα έχουµε f ) a b = ab 1 K και f ) c d = cd 1 K. Υποθέτουµε ότι a b = c d, και τότε ad = bc R K. Τότε ab 1 d = c και άρα ab 1 = cd 1, δηλαδή f ) a b = f c ) d. Εποµένως η απεικόνιση f είναι καλά ορισµένη. 2. είχνουµε ότι η f οµοµορφισµός δακτυλίων. Προφανώς f 1 ) 1 = 1, και αν a b, c d QR), τότε ϑα έχουµε : f a b + c ) ad + bc = f ) = ad + bc)bd) 1 = adb 1 d 1 + bcb 1 d 1 = ab 1 + cd 1 = f a d bd b ) + f c ) d f a b c ) ac = f d bd ) = ac)bd) 1 = acb 1 d 1 = ab 1 cd 1 = f a b ) f c ) d Συµπεραίνουµε ότι η απεικόνιση f είναι οµοµορφισµός δακτυλίων. 3. Θα δείξουµε ότι η f είναι µονοµορφισµός. Εστω a b Kerf ), και εποµένως f a b ) = ab 1 = 0 = ab 1 b = a = 0 = a b = 0 1 = 0 QR) = η f είναι µονοµορφισµός Από το Πρώτο Θεώρηµα Ισοµορφισµών, έπεται ότι QR) = Imf ) είναι ένας υποδακτύλιος του K και µάλιστα είναι υπόσωµα του K διότι 0,1 Imf ) και x, y Imf ): x y, x y Imf ). Τέλος αν 0 x = ab 1 = f ) a b Imf ), τότε προφανώς a 0 και άρα υπάρχει το στοιχείο a 1 K. Τότε x 1 = ba 1 = f b a ) Imf ). Εποµένως το υποσύνολο Imf ) είναι ένα υπόσωµα του K και R = Imf ). Ασκηση 8.2.18. Εστω ότι R είναι µια ακέραια περιοχή, και υποθέτουµε ότι a,b R είναι δύο στοιχεία της έτσι ώστε a n = b n και a m = b m, όπου n,m είναι ϑετικοί ακέραιοι µε n,m) = 1. Να δειχθεί ότι a = b. Λύση. Αν a = 0, τότε b n = a n = 0, και επειδή ο δακτύλιος R είναι ακέραια περιοχή, έπεται ότι b = 0. Εποµένως αν a = 0, τότε a = b = 0 και παρόµοια αν b = 0, τότε a = b = 0. Από τώρα και στο εξής υποθέτουµε ότι a 0 και b 0. 1. Υποθέτουµε πρώτα ότι η ακέραια περιοχή R είναι σώµα. Τότε, επειδή n,m) = 1, έπεται ότι υπάρχουν ακέραιοι x, y Z έτσι ώστε : 1 = nx + my. Επειδή τα στοιχεία a, b R είναι µη-µηδενικά, και ο δακτύλιος R είναι ακέραια περιοχή, ϑα έχουµε ότι και τα στοιχεία a n και b m είναι µη-µηδενικά και εποµένως υπάρχουν όλες οι ακέραιες δυνάµεις των a n,b n R, και τότε : a = a 1 = a nx+my = a nx a my = a n ) x a m ) y = b n ) x b m ) y = b nx b my = b nx+my = b 1 = b 2. Επανερχόµενοι στην γενική περίπτωση κατά την οποία ο δακτύλιος R είναι ακέραια περιοχή, υποθέτουµε ότι a 0 και b 0, και ϑεωρούµε τον µονοµορφισµό δακτυλίων ϕ : R QR), ϕr ) = r 1 όπου QR) είναι το σώµα κλασµάτων της R. Τότε ϑα έχουµε φa n ) = φb n ) = φa) n = φb) n και φa m ) = φb m ) = φa) m = φb) m Επειδή ο δακτύλιος QR) είναι σώµα, από το µέρος 1. ϑα έχουµε φa) = φb). Επειδή η απεικόνιση φ είναι «1-1», έπεται ότι a = b.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΚΑΙ ΣΩΜΑΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ 403 Ασκηση 8.2.19. Για κάθε ϑετικό ακέραιο n, ϑεωρούµε το ιδεώδες n, t) του δακτυλίου πολυωνύµων Z[t] το οποίο παράγεται από το σταθερό πολυώνυµο n και το πολυώνυµο t. Να δειχθεί ότι υπάρχει ένας ισοµορφισµός δακτυλίων : Z[t]/n, t) Z n Λύση. Ορίζουµε απεικόνιση f : Z[t] Z n, Pt) = a k t k f Pt)) = [a 0 ] n 1. Η απεικόνιση f είναι ένας επιµορφισµός δακτυλίων. Πράγµατι, ϑα έχουµε f 1) = [1] n, όπου 1 είναι το σταθερό πολυώνυµο 1 Z, και άρα η f στέλνει την µονάδα του Z[t] στην µονάδα του Z n. Αν Pt) = r a k t k και Qt) = m b k t k είναι δύο πολυώνυµα του Z[t], µπορούµε να υποθέσουµε χωρίς ϐλάβη της γενικότητας ότι r m και τότε µπορούµε να γράψουµε Pt) = m a k t k όπου a r +1 = = a m = 0. Τότε ϑα έχουµε f Pt) +Qt) ) = f m a k t k + b k t k) = f m a k + b k )t k) = [a 0 ] n + [b 0 ] n = = [a 0 ] n + [b 0 ] n = f Pt)) + f Qt)) Παρόµοια ϑα έχουµε, όπου c k = k s=0 a s b k s, 0 k r + m: f Pt) Qt) ) = f r a k t k b k t k) = f r +m c k t k) = [c 0 ] n = [a 0 b 0 ] n = [a 0 ] n [b 0 ] n = f Pt))f Qt)) Ετσι η απεικόνιση f είναι ένας οµοµορφισµός δακτυλίων. Αν [a] n Z n, τότε ϑεωρούµε το σταθερό πολυώνυµο Pt) = a Z[t] και τότε προφανώς ϑα έχουµε f Pt)) = f a) = [a] n και εποµένως πράγµατι η απεικόνιση f είναι επιµορφισµός δακτυλίων. 2. Θα δείξουµε ότι: Kerf ) = n, t). Εστω Pt) = m a k t k n, t). Υπενθυµίζουµε ότι n, t) = n) + t) και άρα : n, t) = n) + t) = { At) + Bt) Z[t] At) n) και Bt) t) } = = { At) + Bt) Z[t] At) = nk, s Z και Bt) = a k t k για κάποια s, a 1,, a m Z } Αν Pt) := At) + Bt) = ns + m k=1 a k t k n, t), τότε f At) + Bt)) = [ns] n = [0] 0 = 0 Zn και άρα Pt) Kerf ), δηλαδή n, t) Kerf ). Αντίστροφα, έστω Pt) = m a k t k ένα πολυώνυµο του Z[t] το οποίο ανήκει στον πυρήνα Kerf ) και εποµένως ϑα έχουµε : f Pt)) = f m a k t k) = [a 0 ] n = 0 Zn = [a 0 ] n = [0] n, = s Z : a 0 = ns Τότε Pt) = a 0 + a 1 t + + a m t m = ns +a 1 + a 2 t + + a n t n 1 ) n)+t) = n, t) και άρα Kerf ) n, t). Συνοψίζοντας, δείξαµε ότι Kerf ) = n, t) 3. Από το Πρώτο Θεώρηµα Ισοµορφισµών ακτυλίων, έπεται ότι ο επιµορφισµός f επάγει έναν ισοµορ- ϕισµό δακτυλίων Z[t]/n, t) Z n k=1 Για µια γενίκευση των Ασκήσης 8.2.19 και των συνεπειών της παραπέµπουµε στις Ασκήσεις 10.2.19 και 10.2.21.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΚΑΙ ΣΩΜΑΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ 404 8.3 Προτεινόµενες Ασκήσεις Προς Λύση Ασκηση 8.3.1. Θεωρούµε το ιδεώδες n, t) Z[t] το οποίο παράγεται από το σταθερό πολυώνυµο n Z, και το πολυώνυµο t. Να δειχθεί ότι το ιδεώδες n, t) είναι κύριο αν και µόνον αν n { 1,0,1 }. Ασκηση 8.3.2. Εστω R ένας µεταθετικός δακτύλιος. Να δειχθεί ότι ένα πολυώνυµο Pt) = a 0 +a 1 t + +a n t n είναι αντιστρέψιµο στοιχείο του R[t] αν και µόνον αν ο σταθερός του όρος a 0 είναι αντιστρέψιµο στοιχείο του R και τα στοιχεία a k, 1 k n είναι µηδενοδύναµα. Ασκηση 8.3.3. Εστω R ένας µεταθετικός δακτύλιος. Να δειχθεί ότι ένα πολυώνυµο Pt) = a 0 +a 1 t + +a n t n είναι µηδενοδύναµο στοιχείο του R[t] αν και µόνον αν τα στοιχεία a k, 1 k n είναι µηδενοδύναµα. Ασκηση 8.3.4. Να δειχθεί ότι υπάρχει ένας ισοµορφισµός δακτυλίων : Q[t]/t 2 5) Q[ 5] = { x + y 5 R x, y Q } Ασκηση 8.3.5. Εστω R µια µεταθετική ακέραια περιοχή µε σώµα κλασµάτων QR). Να δειχθεί ότι : charr) = charqr)) Ασκηση 8.3.6. Να προσδιορισθεί ο µέγιστος κοινός διαιρέτης των πολυωνύµων υπεράνω του σώµατος Z 5. t 4 3t 3 + 2t 2 + 4t 1 και t 2 t 3 Ασκηση 8.3.7. Να δειχθεί ότι ο µέγιστος κοινός διαιρέτης των πολυωνύµων Pt) = t 7 + t 6 + t 3 + t 2 Z 2 [t] και Qt) = t 5 + t 4 + t 3 + 1 Z 2 [t] είναι το πολυώνυµο t 2 + 1, και ακολούθως να ϐρεθούν πολυώνυµα At),Bt) Z 2 [t] έτσι ώστε : t 2 + 1 = At)Pt) + Bt)Qt) Ασκηση 8.3.8. Να προσδιορισθεί ο µέγιστος κοινός διαιρέτης των πολυωνύµων υπεράνω του Q. Pt) = t 4 + 4t 3 + 6t 2 + 4t + 1 και Qt) = t 4 4t 3 + 6t 2 4t + 1 Ασκηση 8.3.9. Εστω K ένα σώµα και n,m δύο ϑετικοί ακέραιοι µε m n. Εστω ότι m = nq + r, 0 r < n. Να ϐρεθεί ο µέγιστος κοινός διαιρέτης t m 1, t n 1) στον δακτύλιο πολυωνύµων K[t]. Ασκηση 8.3.10. Να δειχθεί ότι ο δακτύλιος πηλίκο είναι σώµα. Q[t] / 6t 5 + 10t 3 10)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΚΑΙ ΣΩΜΑΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ 405 Ασκηση 8.3.11. Εστω ότι R είναι ένας, όχι απαραίτητα µεταθετικός, δακτύλιος χωρίς διαιρέτες του µηδενός, και υποθέτουµε ότι a,b R είναι δύο στοιχεία του R έτσι ώστε : a n = b n και a m = b m, όπου n,m είναι ϑετικοί ακέραιοι µε n,m) = 1. Να δειχθεί ότι a = b. Ασκηση 8.3.12. Να δειχθεί ότι τα πολυώνυµα t 2 + 1 και t 2 + t + 4 είναι ανάγωγα υπεράνω του σώµατος Z 11, και ακολούθως να δειχθεί ότι οι δακτύλιοι πηλίκο Z 11 [t]/t 2 + 1) και Z 11 [t]/t 2 + t + 4) είναι σώµατα µε 121 στοιχεία τα οποία είναι ισόµορφα. Ασκηση 8.3.13. Εστω ότι R είναι µια ακέραια περιοχή µε σώµα κλασµάτων QR). πολυώνυµο Pt) QR)[t] µπορεί να γραφεί ώς Να δειχθεί ότι κάθε Pt) = P 0t) a, όπου P 0t) R[t] και a R Εστω R ένας µεταθετικός δακτύλιος. Αν Pt) = n a k t k R[t], τότε η τυπική παράγωγος του Pt) ορίζεται να είναι το πολυώνυµο DPt)) = ka k t k 1 Ετσι ορίζεται µια απεικόνιση k=1 D : R[t] R[t], Pt) DPt)) η οποία καλείται ο διαφορικός τελεστής ή τελεστής τυπικής διαφόρισης υπεράνω του R[t]. Ασκηση 8.3.14. Για τον διαφορικό τελεστή D, να δειχθούν τα ακόλουθα, a R, Pt),Qt) R[t] : 1. DPt) +Qt)) = DPt)) +DQt)). 2. DaPt)) = adpt)). 3. DPt)Qt)) = Pt)DQt)) + DQt))Pt). [Κανόνας του Leibniz] 4. DPt) n ) = npt) n 1 DPt)). Αν Pt) είναι ένα πολυώνυµο υπεράνω του µεταθετικού δακτυλίου R και k 2, τότε ένα στοιχείο a R καλείται ϱίζα πολλαπλότητας k του Pt) αν και µόνον αν : t a) k Pt) και t k) k 1 Pt) Το στοιχείο a R καλείται πολλαπλή ϱίζα του Pt), αν είναι ϱίζα πολλαπλότητας k για κάποιον ϑετικό ακέραιο k 2. Ασκηση 8.3.15. Αν Pt) είναι ένα µη-µηδενικό πολυώνυµο υπεράνω της µεταθετικής ακέραιας περιοχής R και k 2, τότε, για κάθε a R, τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : 1. Το στοιχείο a R είναι πολλαπλή ϱίζα του Pt). 2. Το στοιχείο a R είναι κοινή ϱίζα των Pt) και DPt)).

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΚΑΙ ΣΩΜΑΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ 406 Ασκηση 8.3.16. Αν Pt) είναι ένα µη-µηδενικό πολυώνυµο υπεράνω της µεταθετικής ακέραιας περιοχής R και n 2, τότε, για κάθε a R, τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : 1. Το στοιχείο a R είναι ϱίζα πολλαπλότητας n του Pt). 2. D k Pa)) = 0, 0 k < n και D n Pa)) 0. Ασκηση 8.3.17. Εστω R ένας µεταθετικός δακτύλιος και S R ένα πολλαπλασιαστικό υποσύνολο του R. Στο σύνολο R S ορίζουµε µια σχέση ως εξής, a, s),b, t) R S: a, s) b, t) u S : uat bs) = 0 1. Να δειχθεί ότι η σχέση είναι µια σχέση ισοδυναµίας επί του συνόλου R S. Συµβολίζουµε µε a/s = [a, s)] την κλάση ισοδυναµίας του στοιχείου a, s) και µε R[S 1 ] το σύνολο πηλίκο R S)/, δηλαδή a/s = { b, t) R S a, s) b, t) } = { b, t) R S u S : uat bs) = 0 } R[S 1 ] = { a/s R S a R, s S } 2. Ορίζοντας πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού στο σύνολο πηλίκο R[S 1 ] ως εξής, a/s,b/t R[S 1 ]: a/s + b/t = at + bs)/st και a/s b/t = ab/st να δειχθεί ότι η τριάδα R[S 1 ],+, ) είναι ένας µεταθετικός δακτύλιος µε µηδενικό στοιχείο 0 R[S 1 ] = 0 R/1 R και µονάδα 1 R[S 1 ] = 1 R/1 R. 3. Να δειχθεί ότι η απεικόνιση είναι ένας οµοµορφισµός δακτυλίων. φ: R R[S 1 ], φa) = a/1 R 4. Ο οµοµορφισµός δακτυλίων φ είναι µονοµορφισµός αν και µόνον αν κανένα στοιχείο του S δεν είναι διαιρέτης του µηδενός. 5. Να δειχθεί ότι κάθε στοιχείο της µορφής s/1 R, s S, είναι αντιστρέψιµο στοιχείο του R[S 1 ]. Ο δακτύλιος R[S 1 ] καλείται ο δακτύλιος τοπικοποίησης του µεταθετικού δακτυλίου R ως προς το πολλαπλασιαστικό σύνολο S R. Για παράδειγµα αν R = Z και S = Z \ {0}, τότε Z[Z \ {0} 1 ] = Q. Ασκηση 8.3.18. Αν R είναι µια µεταθετική ακέραια περιοχή και S = R, να δειχθεί ότι ο δακτύλιος τοπικοποποίησης R[S 1 ] συµπίπτει µε το σώµα κλασµάτων της R. Ασκηση 8.3.19. Εστω R ένας µεταθετικός δακτύλιος και S είναι το σύνολο όλων των στοιχείων του R τα οποία δεν είναι διαιρέτες του µηδενός. 1. Να δειχθεί ότι το S είναι ένα πολλαπλασιαστικό υποσύνολο του R. 2. Ο δακτύλιος τοπικοποίησης R[S 1 ] του R ως προς το S καλείται ο ολικός δακτύλιος κλασµάτων του R και συµβολίζεται µε QR). 3. Ο ολικός δακτύλιος κλασµάτων QR) είναι σώµα αν και µόνον αν ο δακτύλιος R είναι ακέραια περιοχή. Ασκηση 8.3.20. Εστω R ένας µεταθετικός δακτύλιος και a ένα στοιχείο του R το οποίο δεν είναι διαιρέτης του µηδενός. Εστω S = { 1, a, a 2,, a n,, }. Να δειχθεί ότι το S είναι ένα πολλαπλασιαστικό σύνολο και υπάρχει ένας ισοµορφισµός δακτυλίων R[S 1 ] R[t]/at 1)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΚΑΙ ΣΩΜΑΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ 407 Ασκηση 8.3.21. Για κάθε n 2, ϑεωρούµε τον επιµορφισµό κανονικής προβολής π n : Z Z n, πk) = [k] n. 1. Να δειχθεί ότι ο π n επεκτείνεται σε έναν επιµορφισµό δακτυλίων π n : Z[t] Z n[t], Pt) = a k t k π n Pt)) = π n a k )t k = [a k ] n t k 2. Να δειχθεί ότι αν το πολυώνυµο π n Pt)) δεν αναλύεται στον δακτύλιο Z n[t] σε γινόµενο δύο πολυωνύ- µων ϐαθµού < degpt), τότε το Pt) είναι ανάγωγο στον δακτύλιο Z[t]. 3. Να δειχθεί ότι το πολυώνυµο Pt) = t 3 + 17t + 36 είναι ανάγωγο στον δακτύλιο Q[t].