CALCULUL PIESELOR ŞI STRUCTURILOR DIN MATERIALE COMPOZITE

11. CALCULUL PIESELOR ŞI STRUCTURILOR DIN MATERIALE COMPOZITE 11.1. Generaltăţ Materalele compozte sunt amestecur de două sau ma multe componente, în anumte proporţ ş condţ, ale căror propretăţ se completează recproc, rezultând un materal cu propretăţ superoare celor propr fecăre componente consderată separat. Ele se folosesc cu mult succes în ndustrle: aerospaţală, a vehculelor de toate categorle, chmcă, a bunurlor de consum etc. Într-un sens general toate materalele sunt, ma mult sau ma puţn, compozte deoarece toate au mpurtăţ, defecte, elemente de alere etc. Marea varetate de materale compozte le face dfcl de defnt ş clasfcat, curent fnd acceptată delmtarea care are în vedere următoarele caracterstc ale acestora: - sunt create artfcal, prn combnarea votă ş raţonală a dfertelor componente; în acest fel sunt excluse compoztele naturale (lemnul) sau cele produse fără ntenţa de a crea un materal compozt (fontele cenuş, betonul). Având în vedere mportanţa practcă deosebtă a betonulu, a betonulu armat ş a celu precomprmat, s-au elaborat metodolog, modele, metode de calcul ş programe dedcate analze structurlor construte dn această categore de materale; - sunt amestecur a cel puţn două materale dstncte dn punct de vedere chmc, între care exstă o suprafaţă de separaţe bne defntă; - au propretăţ pe care nc una dntre componente, luată separat, nu le are. Prncpalele avantaje ale materalelor compozte sunt: 47

- posbltatea modularzăr propretăţlor ş obţnerea, astfel, a unor materale cu propretăţ foarte dferte; - au o valoare foarte bună, comparatv cu materalele clasce, a raportulu rezstenţă la rupere / greutate specfcă; - prezntă o bună rezstenţă la uzură (durtate superfcală), la oxdare ş la corozune; - au o bună stabltate în tmp a dmensunlor ş a forme; - au o bună capactate de amortzare a şocurlor, vbraţlor ş zgomotelor; - materalele compozte carbon - carbon sau cele ceramce pot f foloste la temperatur mar, de până la 00 0 C. Prncpalele dezavantaje ale materalelor compozte sunt: - sensbltatea la varaţle parametrlor tehnologc de fabrcaţe, adcă varaţ relatv mc ale condţlor de fabrcaţe, ca, de exemplu, temperatura ş presunea în tmpul procesăr, proporţle componentelor etc, pot duce la varaţ mportante ale caracterstclor produsulu; - unele compozte, de exemplu, cele stratfcate, sunt hgroscopce ş / sau termo-hgroscopce, absorbţa ape ducând la modfcarea dmensunlor ş propretăţlor; - majortatea compoztelor, dar ma ales cele cu fbre lung, sunt mpropr pentru realzarea unor structur cu forme spaţale complcate, deoarece în zonele de dscontnutăţ geometrce se perde contnutatea fbrelor; - compoztele ceramce, pot f foloste numa pentru structur de dmensun relatv mc, având forme relatv smple, ca urmare a lmtărlor mpuse de tehnologle de fabrcaţe. Deosebta dverstate (dn dferte puncte de vedere) a componentelor care pot f utlzate la fabrcarea unu materal compozt, precum ş nenumăratele combnaţ posble ale acestora în condţle în care ş tehnologle de fabrcaţe sunt numeroase, explcă gama foarte largă a materalelor compozte utlzate în prezent, având propretăţ care varază între lmte aprecable în ceea ce prveşte caracterstcle fzce, mecance, termce precum ş costurle. Materalul compozt este format, de regulă, dntr-o componentă de bază matrcea în care se încorporează materalul complementar, sub formă de fbre sau partcule. 48

Materalele matrcelor sunt, de regulă: a. Metalce: - metale: alumnu, cupru, nobu, oţel noxdabl; - alaje de: alumnu, cupru, magnezu, ttan etc. b. Materale organce: - termoplastce: răşn polesterce, poletlenă densă, polstren, polproplenă, polclorură de vnl, polamde, polsulfone etc; - termorgde: polmde ş răşn epoxdce, fenolce ş polesterce nesaturate. c. Materale ceramce, care pot nclude în compozţa lor alumnă, oxd de zrconu, carbură de slcu ş alţ compuş, precum ş amestecur ale acestora. Materalele complementare pot f de următoarele tpur: a. Fbre, care pot f: - după materal: ceramce, dn bor, carbon, stclă, cuarţ, carbură de slcu, alumnă, alumnă-slce, alaje metalce, oţel noxdabl, nylon; - după structură: polcrstalne, monocrstalne sau amorfe; - după raportul dntre lungmea l ş dametrul d, fbrele pot f contnue (l/d > 1000) sau dscontnue (l/d < 1000), care la rândul lor pot f lung (l/d = 300...1000), scurte (l/d 100) sau foarte scurte (monocrstale flforme); - fbre care se generează în nterorul matrce, prn unul dn următoarele procedee: soldfcarea drjată a eutectcelor, deformarea plastcă sau crstalzarea într-o matrce soldă. Fbrele contnue se încorporează în matrce ca fre smple sau răsucte, care se pot aranja: undrecţonal, bdrecţonal sau sub formă de ţesătură plană sau spaţală. b. Partcule, care pot f: - după materal: carbură de slcu, graft, alumnă, mcă, zrconu, ntrură de bor, stclă, oţel, fontă, oxd de ttan, etc; - după dmensun: de la 10 nm (nanopartcule), la 1 μm (mcrocrstale) la 500 μm, sau ma mar; - după formă: sfercă, dscodală sau alte confguraţ. 49

Condţ mpuse materalelor compozte. În prncpu, se pot obţne dverse materale compozte prn orce fel de combnaţ ale componentelor enumerate ma sus. Practca însă a demonstrat că apar unele restrcţ, mpuse de compatbltăţle care trebue să exste între matrce ş materalul complementar. Aceste compatbltăţ sunt de natură fzcă (valorle coefcenţlor de dlatare termcă lnară ş temperaturle de topre trebue să fe apropate) ş chmcă (nexstenţa reacţlor chmce între componente, dfuza unu component în celălalt să fe lmtată). De asemenea, caracterstcle materalelor compozte sunt determnate într-o mare măsură de fenomenele fzce ş chmce complexe care au loc între matrce ş materalul complementar, în zonele de contact dntre acestea, adcă la nterfaţa matrce-materal complementar. Interfaţa poate acţona atât în sens poztv cât ş negatv asupra caracterstclor compoztulu, ceea ce necestă cunoaşterea ş drjarea fenomenelor care au loc în zonele de contact dntre componentele materalulu compozt. Clasfcăr ale materalelor compozte. Se folosesc numeroase clasfcăr, dntre care, pentru scopul urmărt în această lucrare, sunt utle următoarele: a. După modul de dstrbuţe al materalulu complementar: - zotrope, care conţn fbre scurte sau partcule unform dstrbute; - anzotrope, care au fbre contnue (nserţ sau împlettur) sau fbre scurte, orentate undrecţonal, în plan sau în spaţu; - cu dstrbuţe drjată a materalulu complementar, obţnută prn soldfcare undrecţonală sau prn deformare plastcă la rece; - stratfcate, formate dn ma multe lamne sau stratur. Fecare lamnă este relatv subţre, are fbrele stuate într-un sngur plan ş sunt orentate după o sngură drecţe sau bdrecţonal, dec fecare lamnă este anzotropă. Orentarea fbrelor dn straturle succesve este, de regulă, dfertă. Materalul obţnut se numeşte compozt lamnat. - sandwch, materal compozt realzat dn două stratur de materal lamnat, între care se află un mez dntr-o răşnă, o 50

ceramcă, sau dntr-o fole de materal metalc uşor, dspusă sub formă de fagure. b. După dmensunle materalulu complementar: - nanocompoztele, în care materalul complementar este sub formă de partcule, lamele sau fbre (de exemplu, nanotubur), având cel puţn una dntre dmensun ma mcă de 100 nm; - mcrocompozte, la care materalul complementar este dspersat în matrce la scară mcroscopcă, sub formă de fbre, partcule, lamele etc; - macrocompozte, la care materalul complementar se află la scară macro în compoztul respectv. 11.. Modelarea ş analza peselor ş structurlor dn materale compozte Pentru modelarea ş analza corectă ş efcentă a une structur sau pese realzată dn materale compozte trebue avute în vedere, cel puţn, următoarele aspecte specfce: - alegerea metode de calcul corespunzătoare, în concordanţă cu tpul materalulu compozt, cu geometra structur ş cu scopul avut în vedere pentru analza care se face. Metoda elementelor fnte este cea ma efcentă pentru astfel de analze, programele MEF având mplementate procedur ş tpur de elemente fnte specale pentru materale compozte; - consderarea, pentru modelul elaborat, a valorlor constantelor fzce ş elastce, corespunzătoare materalulu compozt respectv; - trebue acordată o atenţe deosebtă joncţunlor structurlor realzate dn materale compozte, deoarece în zonele respectve, de regulă, nu se poate păstra contnutatea straturlor (de exemplu, a fbrelor lamnelor) ş apare un factor suplmentar care trebue avut în vedere ş anume adezvul. În fgura 11.1 sunt reprezentate schematc, ca exemplu, şase varante constructve ale une joncţun flanşă-tub dn compozt stratfcat, dn care se poate înţelege varetatea soluţlor posble. Se constată că varanta a. este cea ma puţn aptă pentru preluarea solctărlor, deoarece este posblă desprnderea lamne exteroare a tubulu. Dacă zona joncţun prezntă un nteres deosebt, este 51

necesară modelarea ş analza acestea, prntr-o procedură de submodelare, de exemplu; Fgura 11.1 - modelarea ş analza structur în ansamblu, se face cu procedurle clasce, ca pentru stuaţle obşnute, pentru solctăr lnar elastce sau nelnare, în regm statc sau dnamc, la flambaj etc. În concluze, specfcul modelăr ş analze structurlor realzate dn materale compozte, se reduce, de regulă, la alegerea une metode de calcul care poate f aplcată acestor materale ş la defnrea valorlor corespunzătoare ale constantelor fzce ş elastce, celelalte aspecte ale modelăr ş analze rămânând neschmbate. Modelele de calcul pentru materalele compozte sunt foarte elaborate ş sofstcate ş au mplementate toate posbltăţle oferte de teora elastctăţ, teora plastctăţ, mecanca ruperlor, rezstenţa materalelor etc, în formulărle teoretce cele ma generale, pentru materale neomogene, cu anzotrope spaţală, cu nelnartate fzcă etc. Relaţle de calcul obţnute astfel, se folosesc pentru determnarea energe de deformaţe, a deplasărlor, deformaţlor ş tensunlor. De asemenea, relaţle analtce de calcul stablte pentru dverse tpur de compozte stau la baza unor programe de calcul specalzate. Crterle de cedare sau rupere ale materalelor compozte reprezntă condţle în care apar dferte fenomene care pun în 5

percol ntegrtatea structur ş sguranţa e în exploatare ca: ruper ale materalulu complementar (de exemplu, ale fbrelor), fsurăr ş / sau ruper ale matrce, desprnder ale matrce de materalul complementar etc. Pentru a lustra complextatea aceste probleme, se menţonează faptul că în prezent nu este unanm acceptat un crteru de cedare, c se folosesc numeroase formulăr ale acestora, dntre care cele ma cunoscute ş utlzate sunt: - crter lmtă, care consderă că cedarea (ruperea) se produce când un parametru al stăr de tensun sau deformaţ atnge valoarea corespunzătoare stăr lmtă ş anume crterul: tensunlor maxme, deformaţe specfce maxme, al lu Stowell-Lu, al lu Prager etc; - crter nteractve, care sunt generalzăr ale teore von Mses pentru materale zotrope ş care consderă că cedarea (ruperea) se produce când valoarea une expres care conţne valorle tensunlor, atnge valoarea corespunzătoare stăr lmtă ş anume, crterul lu: Tsa-Hll, Marn, Azz-Tsa, Hoffman, Frankln, Tsa- Wu, Goldenblat-Kopnov etc. Unele dntre aceste crter de cedare sunt ncluse în programele de calcul pentru materale compozte, ele fnd ataşate dverselor tpur de compozte. Valorle constantelor fzce ş elastce ale materalelor compozte, precum ş ale altor caracterstc ale acestora (de exemplu, caracterstc mecance), pot avea varaţ între lmte foarte larg, ceea ce mpune ca valorle respectve să fe luate dn documentaţa elaborată de fabrcantul materalulu ş care însoţeşte lvrarea: certfcate de caltate, rezultate ale încercărlor de laborator în dverse condţ (tp de solctare, temperatură, umdtate etc). Metodele de calcul de uz general pot f foloste, în prncpu, pentru modelarea ş analza unor structur dn materale compozte, dacă se defnesc constantele fzce ş elastce corespunzătoare. Se vor consdera, de la caz la caz, materale lnar - elastce sau nelnare, zotrope, ortotrope sau anzotrope, conform tpulu de model de calcul clasc utlzat. În acest caz se pot avea în vedere tre categor de aspecte ale compoztulu: a. Comportarea globală a materalulu compozt sub sarcnă. Prn aceasta se urmăreşte determnarea caracterstclor globale 53

echvalente ale compoztulu, în vederea înlocur acestua cu un materal echvalent, a căru comportare globală este aceeaş. Calculul se face pentru o mostră de compozt, adcă pe o pesă cu o formă relatv smplă, supusă une stăr de solctare smple sau smlară cele dn structură. Se pot face ş determnăr expermentale (prn încercăr de laborator) rezultatele obţnute comparându-se cu cele obţnute prn calcul. În acest mod problema modelăr ş analze structurlor dn materale compozte se reduce la problema clască, adcă a materalelor obşnute. Rezultatele obţnute astfel oferă nformaţ globale satsfăcătoare prvnd structura: deplasăr, reacţun în rezeme, confguraţa stăr de tensun, coefcenţ de flambaj, frecvenţe ş modur propr de vbraţ etc. Nu vor f obţnute, eventual, sufcente nformaţ pentru unele solctăr locale. O altă defcenţă a folosr aceste metode constă în faptul că propretăţle globale ale compoztulu sunt relatv dfcl de determnat expermental, pentru a putea f ntroduse în modelul de calcul al structur. b. Dacă este necesar, se poate extnde modelarea ş analza structur dn compozte utlzând tehnc de modelare ş / sau submodelare locală, de exemplu. În acest mod se pot obţne nformaţ prvnd confguraţle stărlor de tensun ş deformaţ, vârfur ale acestora ş alte nformaţ care pot f utle pentru determnarea aparţe eventualelor cedăr ale compoztulu: fsur, desprnder, ruper. c. Cu metode de calcul de uz general se pot face stud asupra unor materale compozte deosebte, ca, de exemplu, pentru materale sandwch, care, uneor, au un mez (core) cu o confguraţe geometrcă complexă. Se defneşte o substructură pentru o celulă a compoztulu, care se multplcă formând un grup mult - celular cu care, folosnd procedur de substructurare, se poate modela ş analza un ansamblu oarecare. Pentru dscretzăr sufcent de fne, se pot obţne atât nformaţ locale asupra stăr de tensun la nvelul mcrostructur, cât ş globale, prvnd deformarea structur în ansamblu. O astfel de metodă de modelare este foarte laboroasă ş coststoare. 54

Metoda elementelor fnte este foarte efcentă în modelarea ş analza structurlor dn materale compozte, în specal pentru cele stratfcate (mult layer) ş se utlzează aproape exclusv în prezent. Elementele fnte de tp mult strat sunt cele ma răspândte ş utlzate, mplementate în majortatea programelor cu elemente fnte. Aceste elemente sunt, de regulă, de tp sold cu opt nodur (brck) ş de placă (shell) cu 3, 4, 6, 8 sau 9 nodur ş au fost concepute astfel încât să poată f defnte ş utlzate smlar cu elementele corespunzătore, obşnute, pentru a faclta munca utlzatorulu ş pentru a putea f cuplate, fără dfcultăţ, cu celelalte tpur de elemente fnte, adcă cu cele de tp clasc. Elementele fnte de tp compozt au unele partculartăţ pentru fecare program, dar unele aspecte generale, care facltează munca utlzatorulu, se regăsesc în majortatea acestora ş anume: a. Se foloseşte o secvenţă cu nformaţ generale, pentru fecare grup de elemente fnte de tp compozt: numărul grupulu, tpul elementelor, numărul straturlor, alegerea crterulu de cedare, unele constante de materal (denstatea, coefcentul de dlatare termcă lnară, conductvtatea termcă etc), opţun de screre a rezultatelor etc. b. Propretăţle materalulu (modulele de elastctate longtudnale ş transversale, coefcentul contracţe transversale, lmte de curgere la întndere, compresune, forfecare etc) se defnesc în cadrul ma multor setur, care se numerotează succesv, pentru fecare preczându-se valorle, pentru materalul anzotrop, pe tre drecţ perpendculare. c. Sstemul de coordonate. Se folosesc tre ssteme 55 dferte de coordonate, ca în fgura 11.: global - al structur (, Y, Z), local - al elementulu fnt (x*, Fgura 11. y*, z*) ş local - al materalulu (α, β, γ), pe care utlzatorul le poate utlza după dornţă.

d. Defnrea straturlor materalulu. Se atrbue fecăru strat un ndce, de regulă un număr, numerotarea făcându-se pentru toate straturle, sau numa pentru jumătate dntre ele, cu opţunea smetrc sau antsmetrc, ca în fgura 11.3. e. Succesv, pentru fecare strat, se defnesc: grosmea (care poate f varablă), unghul (ω) al drecţe de refernţă, în raport cu care se defnesc 56 caracterstcle (elastce ş fzce) ale materalulu, numărul setulu de propretăţ de materal ataşat stratulu. f. Defnrea topologe elementelor ş generarea lor se face prn procedurle obşnute, mplementate în programele cu elemente fnte. 11.3. Exemple Bare executate dn ma multe materale. Cele ma utlzate bare dn materale compozte sunt cele dn beton armat. Pentru solctarea la încovoere, calculul se face după cum urmează, pentru o secţune a bare formată dn n ar ale materalelor care compun bara. Se presupune că secţunea bare este smetrcă în raport cu axa z, ca în fgura 11.4.a. Sstemul de coordonate xyzg are orgnea în centrul de greutate, G, al întreg a b secţun. Un moment încovoetor Fgura 11.4 M y produce tensunle normale în care: 1 (x) Fgura 11.3 (x,y,z) = E(y,z)[z z 0 (x)] / [(x)], M y(x) EA, z0(x) EIy EA EAzs E A z E A s

-E(y,z) este modulul de elastctate al materalulu cu ara A ; -E, A, I y, z s sunt modulul de elastctate, ara, momentul de nerţe axal faţă de axa y ş ordonata z a centrulu de greutate pentru ara parţală A. Toate sumele se calculează pentru ansamblul = 1,,... n. Axa neutră nu ma trece prn centrul de greutate, ca la barele omogene, c are o excentrctate z 0 ş are curbura 1 / (x). În fgura 11.4.b s-au reprezentat varaţle tensunlor normale,, pe secţune, cu saltur în dreptul granţelor materalelor componente. Ecuaţa dferenţală a axe bare drepte deformate, care are secţunea ca cea dn fgura 11.4, este My(x) EA w"(x) E I E A E A z. y s Compozt stratfcat, smetrc faţă de planul medan Lamna ortotropă. Se consderă o lamnă cu fbre undrecţonale, cu o solctare de tp stare plană de tensun, raportată la două ssteme de coordonate: - un sstem local - ataşat lamne, cu axa Ox în lungul fbrelor ş axa oy în planul lamne, perpendculară pe drecţa fbrelor; - un sstem global ataşat compoztulu, cu axele O ş OY în planul medan al stratfcatulu, care este plan de smetre. Pentru un materal cu anzotrope generală, cu o stare traxală de tensun, relaţle dntre tensun ş deformaţ specfce conţn 1 de constante elastce ndependente, pentru un materal ortotrop solctat traxal sunt necesare 9 constante, ar pentru un materal ortotrop solctat cu o stare plană de tensun, numărul constantelor este 4. Pentru lamna cu fbrele în drecţa globală O, ca în fgura 11.5, relaţle dntre Fgura 11.5 tensun ş deformaţ specfce (legea lu Hooke) au forma 57

E x yx E Y y ; Y E Y y 58 xy E y ; Y G Y xy, (11.1) unde E x ş E y sunt modulele de elastctate longtudnale după drecţle x ş y; G xy modulul de elastctate transversal în planul xoy; xy ş yx - coefcenţ de contracţe transversală. Relaţle (11.1) au forma matrceală 1 Ex yx Ey 0 Y xy Ex 1 Ey 0 Y, (11.) Y 0 0 1 G xyy sau {} = [S]{}, (11.3) în care [S] se numeşte matrce de flexbltate a lamne sau matrcea complanţelor, care poate f scrsă ş sub forma S11 S1 S16 S S1 S S6, (11.4) S 61 S6 S66 ale căre elemente se determnă prn dentfcare cu matrcea dn ecuaţa (11.). Observaţe. Elementele de pe ultma coloană ş de pe ultma lne ale matrce [S] dn relaţa (11.4), s-au notat cu ndcele 6, pentru a pune în evdenţă faptul că relaţle utlzate sunt partcularzăr ale celor pentru starea spaţală de tensun, caz în care matrcea [S] are dmensunle 6x6. Această convenţe se va păstra ş în cele ce urmează. Ecuaţle (11.) rescrse ca expres ale tensunlor în funcţe de deformaţle specfce sunt E E x x ( ); ( ); yx Y yx Y 1 1 xy yx xy yx, (11.5) G Y xy care pot scrse în forma matrceală E yxe x x 1 xy yx 1 xy xyey E y Y 1 xyyx 1 xy Y 0 0 Y yx yx 0 0 G xy Y Y, (11.6)

sau {} = [C]{}, (11.7) unde [C] este matrcea de rgdtate a lamne, care poate f scrsă ş sub forma C11 C1 C16 C C1 C C6, (11.8) C 61 C6 C66 ale căre elemente se determnă prn dentfcare cu matrcea dn ecuaţa (11.6). Matrcea de rgdtate este nversa matrce de flexbltate [C] = [S] -1. (11.9) Pentru o lamnă cu fbrele orentate după o drecţe care face unghul cu drecţa globală O, ca în fgura 11.6, tensunle ş deformaţle specfce defnte în sstemul de coordonate al stratfcatulu, trebue exprmate în funcţe de tensunle ş deformaţle specfce în sstemul de coordonate al lamne, faţă de care se defnesc Fgura 11.6 caracterstcle elastce. În acest scop se utlzează relaţle de transformare a tensunlor (5.37), scrse pentru planul xoy ş relaţle de transformare a deformaţlor specfce, analoage acestora. Pentru calculul matrce de rgdtate a lamne în raport cu sstemul de coordonate global OY se procedează astfel: 1. Se determnă deformaţle specfce după drecţle locale, în funcţe de deformaţle specfce în drecţle globale x c s sc y s c sc Y, (11.10) xy sc sc c s Y în care s-au notat c = cos ş s = sn.. Se calculează tensunle după drecţle locale, în funcţe de deformaţle specfce în drecţle locale, cu relaţle (11.6) în care se înlocuesc ndc cu ltere mar cu ndc cu ltere mc 59

x C11 C1 0 y C1 C 0 Y. (11.11) xy 0 0 C66Y 3. Se determnă tensunle după drecţle globale, în funcţe de tensunle în drecţle locale, cu relaţle cu relaţle (5.37) scrse pentru planul xoy în care se înlocueşte = - (rotre în sens negatv) c s sc x Y s c sc y. (11.1) Y sc sc c s xy 4. Tensunle după drecţle globale, în funcţe de deformaţle specfce globale se obţn înlocund (11.10) în (11.11) ş (11.11) în (11.1), prn care se obţne C11 C1 C16 Y C1 C C6 Y, (11.13) Y C61 C6 C66Y în care apare matrcea de rgdtate a lamne în raport cu sstemul global de coordonate, ale căre elemente au expresle (v. ş relaţle (11.6), (11.7), (11.8)) 4 4 C C cos (C C )sn cos C sn ; 11 11 1 66 4 4 C C11sn (C1 C66)sn cos Csn ; 4 4 C1 (C11 C 4C66)sn cos C1(sn cos ); 4 4 C66 (C11 C C1 C66)sn cos C66(sn cos ); 3 3 C16 (C11 C1 C66)sn cos (C1 C C66)sn cos ); 3 3 C6 (C11 C1 C66)sn cos (C1 C C66)sn cos ). Stratfcat smetrc. Un stratfcat smetrc se comportă ca o placă anzotropă omogenă. Pentru solctăr în planul stratfcatulu, valorle modulelor de elastctate efectve sunt egale cu medle artmetce ale valorlor modulelor de elastctate ale lamnelor 60

consttuente. Eforturle de membrană sunt decuplate de cele de încovoere. Lamnele fnd lpte între ele, când sunt solctate au aceleaş deplasăr ş deformaţ specfce, dar având rgdtăţ dferte, tensunle sunt dferte, ca în Fgura 11.7 fgura 11.7. Pentru determnarea stăr de tensun într-un stratfcat smetrc, de grosme h, solctat în planul său, se defnesc tensun med, prn relaţ de tpul h h h 1 1 1 dz; Y YdZ; Y YdZ. h h h (11.14) h h h Tensunle se pot determna ş prn relaţle matrceale h C h 11 C1 C16 1 1 Y Y dz C1 C C6dZ Y [A] Y,(11.15) h h h h Y Y C61 C6 C66 Y Y unde [A] este matrcea de rgdtate a stratfcatulu. Prmul element al matrce de rgdtate are expresa h h 1 A 11 C11dZ C11dZ. (11.16.a) h h h Deoarece pentru o lamnă coefcenţ Cj sunt constanţ, ntegrala (11.16.a) poate f calculată prntr-o sumă h A 11 C11h C11. (11.16.b) h h h Matrcea de rgdtate a unu stratfcat smetrc se poate calcula adunând termen corespunzător a matrce de rgdtate pentru fecare lamnă, înmulţţ cu procentul volumc v = h /h, adcă [ A] v [C ]. (11.17) După ce s-a determnat matrcea [A], ea poate f nversată, obţnând astfel matrcea de flexbltate a stratfcatulu [S] = [A] -1. 0 61

Valorle modulelor de elastctate pentru stratfcat se pot calcula cu relaţle A A A A A A 11 1 11 1 E ; E ; Y A A 11. (11.18) A A 1 1 G A ; ; Y 66 Y Y A A 11 Pentru un calcul aproxmatv, elementul A 11 al matrce de rgdtate se poate scre 4 A 11 Ex v cos, (11.19) unde v este procentul volumc al lamne cu fbrele înclnate cu unghul θ în stratfcat. Modulul de elastctate longtudnal al stratfcatulu poate f aproxmat cu relaţa 4 E v E cos, (11.0) în care E x este modulul de elastctate al v al lamne cu fbrele înclnate cu unghul θ în stratfcat ş v este procentul volumc al lamne respectve. Dacă un stratfcat smetrc este solctat la încovoere, deformaţle specfce au o dstrbuţe lneară, ar tensunle au o varaţe nelneară cu saltur, datortă rgdtăţlor dferte ale lamnelor componente, ca în fgura 11.8. Procedând smlar ca pentru solctarea axală, se determnă termen matrce de rgdtate a stratfcatulu pentru solctarea de încovoere, care au forma Fgura 11.8 I D 11 C11, (11.1) Itot în care I ş I tot sunt momentele de nerţe axale ale lamne, respectv ale stratfcatulu. Prn nversarea matrce [D] se obţne x 6

matrcea de flexbltate a stratfcatulu ş apo constantele elastce echvalente ale stratfcatulu. Concluz În prezent materalele compozte au larg utlzăr în ngnere ş nteresul pentru folosrea lor este în expansune. Dn succnta prezentare a aceste categor de materale rezultă că ş pentru probleme relatv smple dfcultăţle de calcul sunt consderable, acestea depăşnd cadrul unu curs de rezstenţa materalelor. Cadrul general al problematc a fost prezentat ma sus, dezvoltăr de nvel superor urmează să fe abordate la cursur de specaltate sau prn cercetăr ndependente. Bblografe 1. Gbson, R.F., Prncples of Composte Materal Mechancs, McGraw-Hll Inc., New York, 1994.. Hnton, E., Owen, D.R.J., Fnte Element Software for Plates and Shells, Pnerdge Press, Swansea, 1984. 3. Radeş, M., Rezstenţa meteralelor, vol I, Edtura Prntech, Bucureşt, 004. 4. Ştefănescu, F., Neagu, G., Mha, Al., Materalele vtorulu se fabrcă az. Materale compozte, Edtura Ddactcă ş Pedagogcă R.A., Bucureşt, 1996. 5. Sorohan, Şt., Constantnescu, I. N., Practca modelăr ş analze cu elemente fnte, Bucureşt, Edtura Poltehnca Press, 003. 6. Constantnescu, I.N., Pcu, C., Hadăr, A., Gheorghu, H., Rezstenţa materalelor pentru ngnera mecancă, Edtura BREN, Bucureşt, 006. 63