Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και των αντίστοιχων ιδιοδιανυσµάτων ενός πίνακα. Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουµε και τα δύο προβλήµατα και θα αναπτύξουµε τα αντίστοιχα προγράµµατα µε πολλές αριθµητικές µεθόδους, έτσι ώστε να δοθεί η δυνατότητα να επιλέγεται κάθε φορά η πιο κατάλληλη µέθοδος. Η λύση γραµµικών συστηµάτων αλγεβρικών εξισώσεων µε αριθµητικές µεθόδους περιλαµβάνει συνήθως µεγάλο αριθµό αριθµητικών πράξεων µε αποτέλεσµα τα σφάλµατα στρογύλευσης να επηρεάζουν πολλές φορές σηµαντικά την τελική απάντηση και να έχουµε αναξιόπιστες λύσεις. Για το πρόβληµα των ιδιοτιµών υπάρχει τεράστια βιβλιογραφία. Σ' αυτό το κεφάλαιο θα αναπτυχθούν ορισµένα προγράµµατα αριθµητικών µεθόδων, οι οποίες χρησιµοποιούνται περισσότερο στην πράξη. Ορισµένα προγράµµατα της Γραµµικής Άλγεβρας βρίσκονται στο πρώτο κεφάλαιο σαν παραδείγµατα εφαρµογής της γλώσσας BASIC. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί και µε τη µορφή πινάκων Δηλαδή a!! a!" a!" a!! a!! a!! a!! a!! Ax = b x! : x! = b! : b! Αν οι ν εξισώσεις είναι γραµµικώς ανεξάρτητες, τότε υπάρχει µια µοναδική λύση του συστήµατος. Ισοδύναµη ικανή και αναγκαία συνθήκη για την ύπαρξη µιας µοναδικής λύσης είναι η ορίζουσα του πίνακα Α να είναι διάφορη του µηδενός. Με τη µέθοδo απαλοιφής του Gauss προσπαθούµε να καταλήξουµε σε ένα ισοδύναµο άνω τριγωνικό σύστηµα εξισώσεων, όπου η τελευταία εξίσωση περιέχει έναν άγνωστο, η προηγούµενή της δύο κ.ο.κ. Η φάση αυτή της µεθόδου απαλοιφής του Gauss καλείται τριγωνοποίηση. Αρχίζοντας τώρα από την τελευταία εξίσωση µπορούµε να έχουµε την τιµή του αγνώστου x ν. Την τιµή x ν αντικαθιστούµε στην προτελευταία εξίσωση και έχουµε την τιµή x ν-1.
Διαδοχικά έχουµε και τις άλλες τιµές x ν-2, x ν-3,... x 1. Η φάση αυτή της µεθόδου καλείται πίσω αντικατάσταση. Η τριγωνοποίηση επιτυγχάνεται ως εξής: Πολλαπλασιάζουµε την κ-γραµµή, κ=1,2,...,ν-1µε -α λκ/α κκ λ=2,3,...,ν και τη προσθέτουµε στη λ-γραµµή. Το αποτέλεσµα της πρόσθεσης αντικαθιστά τη λ- εξίσωση. Το στοιχείο α κκ καλείται οδηγό στοιχείο και προφανώς δεν πρέπει να ισούται µε το µηδέν. Επίσης επιδιώκουµε το α κκ να είναι το απολύτως µεγαλύτερο στοιχείο της κ-στήλης. Αυτό επιτυγχάνεται µε την κατάλληλη ανταλλαγή των εξισώσεων. Η διαδικασία αυτή καλείται µερική οδήγηση. Αν για οδηγό στοιχείο επιλεγεί ο απολύτως µεγαλύτερος συντελεστής των αγνώστων, τότε η διαδικασία καλείται ολική οδήγηση. Το τριγωνοποιηµένο σύστηµα που καταλήγουµε, είναι της µορφής α 11x 1 + α 12x 2 +... + α ννx ν = β ν Παράδειγµα α 22x 2 +... + α 2νx ν = β 2............ α ννx ν = β ν Καταρχήν θα παρακολουθήσουµε τον τρόπο µε τον οποίο εφαρµόζεται η µέθοδος σ ένα συγκεκριµένο παράδειγµα και µετά η διαδικασία θα γενικευθεί για συστήµατα γενικής µορφής. Έστω το σύστηµα 5x 2y + 6z = 2 2x + 7y + 6z = 7 3x + 5y + 6z = 9 Αυτό που προσπαθούµε να κάνουµε µε τη µέθοδο απαλοιφής του Gauss είναι να καταλήξουµε σε ένα ισοδύναµο σύστηµα, του οποίου όλοι οι συντελεστές κάτω της κυρίας διαγωνίου να είναι µηδέν. Αυτή η φάση της µεθόδου καλείται τριγωνοποίηση. Για να επιτευχθεί αυτό ακλουθούµε την εξής διαδικασία: 1 ο Βήµα: Θα πρέπει πρώτα να αντικαταστήσουµε τη 2 η και 3 η εξίσωση µε ισοδύναµες εξισώσεις, έτσι ώστε οι συντελεστές του αγνώστου x να είναι µηδέν. Δηλαδή, πολλαπλασιάζουµε την πρώτη εξίσωση µε έναν αριθµό τέτοιο ώστε ο συντελεστής του x να γίνει αντίθετος του συντελεστή του x της 2 ης εξίσωσης και προστιθέµενες αυτές οι εξισώσεις να προκύψει εξίσωση µε συντελεστή του x µηδέν. Αυτός ο αριθµός είναι l = 2. Δηλαδή 5 4 6 4 2x y + z = 5 5 5 2x + 7y + 5z = 7 0x + y + z = 1
2 ο Βήµα: Πολλαπλασιάζουµε την 1 η εξίσωση µε λ = 3 και την προσθέτουµε 5 στην τρίτη δηλαδή 6 9 6 3x + y z = 5 5 5 3x + 5y + 6z = 9 0x + 31y + 21z = 51 Έτσι καταλήγουµε στο σύστηµα 5x 2y + 3z = 2 0x + y + z = 1 0x + 31y + 21z = 51 3 ο Βήµα: Αυτό που αποµένει για να καταλήξουµε σε τριγωνοποιηµένο σύστηµα είναι ο συντελεστής του y στην 3 η εξίσωση να γίνει µηδέν. Γι αυτό πολλαπλασιάζουµε τη 2 η εξίσωση µε λ=-31 και την προσθέτουµε στην 3 η. Δηλαδή 0x 31y 31z = 31 0x + 31y + 21z = 51 0x + 0y 10z = 20 Έτσι το τριγωνοποιηµένο ισοδύναµο σύστηµα είναι 5x 2y + 3z = 2 + y + z = 1 + z = 2 4 ο Βήµα: Από την 3 η εξίσωση που έχει µόνο έναν άγνωστο έχουµε την τιµή του z=-2. Την τιµή αυτή αντικαθιστούµε στη 2 η εξίσωση και υπολογίζουµε την τιµή y=3. Τις τιµές τώρα των z και y αντικαθιστούµε στην 1 η εξίσωση και έχουµε την τιµή του x=2. Τη φάση αυτής της διαδικασίας του 4 ου βήµατος καλούµε πίσω αντικατάσταση. Είναι γνωστό από την άλγεβρα ότι η ορίζουσα του πίνακα των συντελεστών των αγνώστων δίνεται από! A = ( 1)! u!! όπου m ο αριθµός αλλαγής γραµµών ή στηλών που έγιναν κατά τη διαδικασία της οδήγησης και u ii τα διαγώνια στοιχεία του τριγωνοποιηµένου πίνακα Οδήγηση Εφαρµόζουµε το παραπάνω πρόγραµµα για το σύστηµα 0. 001462x + 45367. 06y = 45367. 35 x + y = 3 και έχουµε την απάντηση x=0 και y=1.000006 ενώ η ακριβής λύση του συστήµατος είναι x=2 και y=1!!!
Αλλάζουµε τώρα τη σειρά των εξισώσεων και τρέχουµε το πρόγραµµα για το σύστηµα x + y = 3 0. 001462x + 45367. 06y = 45367. 35 και έχουµε την απάντηση x=1.999994 και y=1.000006 που είναι πολύ κοντά στην ακριβή λύση. Η διαφορά στις δύο παραπάνω περιπτώσεις βρίσκεται στο µέγεθος της απόλυτης τιµής του οδηγού στοιχείου. Μεγάλη παρέκκλιση από την ακριβή λύση παρατηρήθηκε όταν η απόλυτη τιµή του οδηγού στοιχείου ήταν µικρή. Μπορούµε όµως εµείς να µεγαλώσουµε την απόλυτη τιµή του πολλαπλασιάζοντας τους συντελεστές της εξίσωσης µε ένα πολύ µεγάλο αριθµό. Δηλαδή 20 20 20 10 0. 001462x + 10 45367. 06y = 10 45367. 35 x + y = 3 δίνοντας τα νέα δεδοµένα στο πρόγραµµα παρατηρούµε ότι έχουµε την ίδια απάντηση, δηλαδή x=0 και y=1.000006. Το φαινόµενο αυτό εξηγείται ως εξής: Αν το οδηγό στοιχείο έχει µικρή απόλυτη τιµή, τότε ο αριθµός µε τον οποίο πολλαπλασιάζονται οι συντελεστές της 1 ης εξίσωσης θα είναι µεγάλος στην απόλυτη τιµή του. Κατά συνέπεια τα λάθη στρογγύλευσης πολλαπλασιαζόµενα µε έναν µεγάλο αριθµό θα αυξάνονται και θα επηρεάσουν σηµαντικά τη λύση του συστήµατος. Όταν όµως πολλαπλασιάσαµε την 1 η εξίσωση µε τον αριθµό 10 20 δεν είχαµε καµιά διαφορά στο αποτέλεσµα διότι το σφάλµα στρογγύλευσης του συντελεστή του y της 1 ης εξίσωσης πολλαπλασιάζεται µε τον ίδιο αριθµό ο οποίος είναι 20 0. 001462 0. 001462 10 στην πρώτη περίπτωση και 20. Στη δεύτερη περίπτωση ο 2 2 10 παράγοντας 10 20 απαλείφεται και κατά συνέπεια το σφάλµα στρογγύλευσης του συντελεστή του y πολλαπλασιάζεται µε τον ίδιο αριθµό. Για να γίνουν πιο κατανοητά τα όσα είπαµε παραπάνω, θεωρούµε ένα σύστηµα δύο εξισώσεων στη γενική του µορφή a x + a x = a x + a x = β 11 1 12 2 1 β 21 1 22 2 2 Ο αριθµός l 21 µε τον οποίο θα πολλαπλασιαστεί η πρώτη εξίσωση είναι a21 l21 =. Αν το α 11 είναι µικρό, τότε ο l 21 είναι µεγάλος και τα λάθη a11 στρογγύλευσης θα αυξάνονται. Όταν εµείς πολλαπλασιάζουµε την πρώτη εξίσωση µε έναν µεγάλο αριθµό, τότε αυξάνεται η τιµή του α 11 αλλά παράλληλα αυξάνεται και η τιµή του α 12 οπότε καµιά επίδραση δεν έχουµε στο µέγεθος του αριθµού µε τον οποίο πολλαπλασιάζεται το σφάλµα. Κατά τη φάση της πίσω αντικατάστασης υπολογίζουµε την τιµή του x 2 από τη 2 η εξίσωση και την οποία τιµή αντικαθιστούµε στην 1 η εξίσωση, οπότε έχουµε
x 1 β1 a = a a 11 12 11 x a12 Αν το α 11 είναι µικρό σε σχέση µε το α 12, τότε το πηλίκο θα είναι µεγάλος a11 αριθµός και πολλαπλασιαζόµενος µε το σφάλµα του x 2, που επίσης είναι µεγάλο θα έχει σαν συνέπεια το σφάλµα του x 1 να γίνει µεγαλύτερο. Από όλα τα παραπάνω βγαίνει το συµπέρασµα ότι, όταν χρησιµοποιούµε την ορολογία οδηγό στοιχείο πολύ µικρό ή πολύ κοντά στο µηδέν η φράση αυτή δεν έχει νόηµα όταν το οδηγό στοιχείο συγκρίνεται µε τους συντελεστές της ίδιας εξίσωσης. Για να αποφύγουµε τέτοια λάθη χρησιµοποιούµε την τεχνική της οδήγησης. Με την οδήγηση αποφεύγουµε να έχουµε οδηγά στοιχεία πολύ κοντά στο µηδέν ή γενικότερα οδηγά στοιχεία µικρά σε απόλυτη τιµή (αλλά πάντα σε σύγκριση µε τους συντελεστές της ίδιας εξίσωσης). Υπάρχουν δύο είδη οδήγησης α) η µερική και β) η ολική Τη µερική οδήγηση τη διακρίνουµε α) σε µερική οδήγηση κατά στήλη και β) σε µερική οδήγηση κατά γραµµή. Για να γίνει πιο κατανοητό θα δώσουµε τους σχετικούς ορισµούς µέσα από ένα συγκεκριµένο παράδειγµα. Έστω το σύστηµα x + 2y + 3z = 14 2x y + 4z 4x + 2y 7z 2 Το οδηγό στοιχείο είναι προφανώς το 1. Αν κοιτάξουµε τη στήλη του x παρατηρούµε ότι η τελευταία εξίσωση έχει το µεγαλύτερο συντελεστή, δηλαδή το 4. Αλλάζουµε τη σειρά των εξισώσεων έτσι ώστε να έχουµε τον αριθµό 4 για οδηγό στοιχείο, οπότε 4x + 2y 7z 2x y + 4z x + 2y + 3z = 14 Η διαδικασία αυτή καλείται µερική οδήγηση κατά στήλη. Αν κοιτάξουµε όµως τους συντελεστές της εξίσωσης του οδηγού στοιχείου (η οποία εξίσωση καλείται και οδηγός εξίσωση) του συστήµατος, παρατηρούµε ότι ο συντελεστής του z έχει τη µεγαλύτερη τιµή. Αν τώρα αλλάξουµε την πρώτη µε την τρίτη στήλη θα έχουµε 3z + 2y + x = 14 4z y + 2x 7z + 2y + 4x Τη διαδικασία αυτή καλούµε µερική οδήγηση κατά γραµµή. Αν κοιτάξουµε να βρούµε το συντελεστή που έχει τη µεγαλύτερη απόλυτη τιµή, που στο παράδειγµά µας είναι ο συντελεστής του z της 3 ης εξίσωσης, και κάνουµε αλλαγές γραµµών και στηλών έτσι ώστε ο (-7) να γίνει οδηγό στοιχείο,
τότε τη διαδικασία αυτή θα καλούµε ολική οδήγηση. Το σύστηµα θα έχει την τελική µορφή 7z + 2y + 4x 4z y + 2x 3z + 2y + x = 14 Για να έχουµε µερική οδήγηση κατά στήλη θα πρέπει στο πρόγραµµά µας να παρεµβληθούν οι παρακάτω εντολές ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Το πρόγραµµα αυτό υπολογίζει την ορίζουσα ενός τετραγωνικού πίνακα Α µε τη µέθοδο απαλοιφής του Gauss. Δεδοµένα του προγράµµατος είναι η διάσταση Ν και τα στοιχεία του πίνακα Α. Τα στοιχεία δίνονται κατά γραµµή. Τρέχουµε το πρόγραµµα για τον πίνακα Δώσε τη διάσταση του πίνακα? 3 Η ορίζουσα είναι ίσον µε -62 5 2 3 2 7 5 3 5 6