σκήσεις στις Μηχανικές Ταλαντώσεις

σκήσεις στις Μηχανικές Ταλαντώσεις 1. Ένα σώμα εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση. Να υολογίσετε την αρχική φάση της ταλάντωσης αν α. Για t 0 = 0, το σώμα βρίσκεται στην θέση x = + A. β. Για t 0 = 0, το σώμα βρίσκεται στην θέση x = + A/ και κινείται ρος την θέση x = + A. γ. Για t 0 = 0, το σώμα βρίσκεται στην θέση x = A/ και κινείται ρος την θέση x = A. δ. Για t 0 = 0, το σώμα βρίσκεται στην θέση x = A.. Ένα σώμα εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση. Να υολογίσετε την αρχική φάση της ταλάντωσης αν α. Για t 0 = 0, το σώμα έχει ταχύτητα υ = + υ ax. β. Για t 0 = 0, το σώμα έχει ταχύτητα υ = + υ ax / και κινείται στον αρνητικό ημιάξονα. γ. Για t 0 = 0, το σώμα έχει ταχύτητα υ = + υ ax 3 δ. Για t 0 = 0, το σώμα έχει ταχύτητα υ = υ ax και κινείται ρος την θέση x = 0. και κινείται ρος την θέση x = 0. 3. Ένα σώμα εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση. Να υολογίσετε την αρχική φάση της ταλάντωσης αν α. Για t 0 = 0, το σώμα έχει ταχύτητα υ = υ ax / και θετική αομάκρυνση. β. Για t 0 = 0, το σώμα έχει ειτάχυνση α = α ax / και κινείται ρος την θέση x = + A. 3 γ. Για t 0 = 0, στο σώμα ασκείται δύναμη εαναφοράς F = F ax και το σώμα κινείται ρος την θέση x = 0. 4. Στο διάγραμμα δίνεται η γραφική αράσταση της φάσης της αομάκρυνσης σε φ(rad) συνάρτηση με τον χρόνο, ενός σώματος ου εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση x = Α ημ(ωt+φ 0 ). 4,7 Α. Πόση είναι η αρχική φάση και οιος ο ρυθμός μεταβολής της φάσης της αομάκρυνσης; 1, Β. Να βρεθεί η ερίοδος ταλάντωσης του σώματος. t(s) Γ. Να υολογιστεί η μεταβολή της φάσης της ταχύτητας σε χρονικό διάστημα Δt = 6 s. 0 7 Δ. Κάοια στιγμή t 1 το σώμα έχει ταχύτητα υ 1 = /s, να βρεθεί η ταχύτητά του την στιγμή t = t 1 + 10 s. 5. Τα σώματα Β και Γ έχουν ίσες μάζες και εφάτονται σε λείο οριζόντιο είεδο, ενώ το σώμα Β είναι δεμένο στο άκρο ελατηρίου, ου έχει το φυσικό του μήκος. Εκτρέουμε το σώμα Β ρος τα αριστερά κατά Α και το αφήνουμε να κινηθεί. Φτάνοντας στη θέση ισορροίας συγκρούεται λαστικά με το σώμα Γ. Για το νέο λάτος ταλάντωσης του συσσωματώματος ισχύει: L 0 B Γ α. Α 1 = Α, β. Α 1 = A γ. Α 1 = A Να δικαιολογήσετε την αάντησή σας. 6. Σύστημα ελατήριο σταθεράς σώμα μάζας εκτελεί ΑΑΤ. Κάοια στιγμή η θέση του σώματος είναι υax x=, όου υ ax η μέγιστη ταχύτητα του σώματος. Ο λόγος της δυναμικής ρος την κινητική 3 ενέργεια του σώματος την στιγμή αυτή είναι ίσος με: α. U = 1 β. U = 1 γ. U = 8 K 9 K 8 K 9. Να δικαιολογήστε την αάντησή σας.

- 0 - Μηχανικές Ταλαντώσεις 7. Σώμα εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση με λάτος Α = 5 10 -. Την χρονική στιγμή t 0 = 0 της έναρξης των ταλαντώσεων το σώμα βρίσκεται σε αομάκρυνση x = + 5 10 - αό την θέση ισορροίας του, ενώ διέρχεται αό αυτή μετά αό χρόνο t = 0,5 s. Να γραφούν οι εξισώσεις για την αομάκρυνση, την ταχύτητα και την ειτάχυνση σε συνάρτηση με τον χρόνο. 8. Ένα σώμα εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση λάτους Α = 0,5 με ερίοδο Τ = s. Το σώμα διέρχεται αό το μέσο της τροχιάς του την χρονική στιγμή t 1 = 1 s κινούμενο κατά την θετική φορά. Δίνεται = 10. α. Να γραφεί η εξίσωση της αομάκρυνσης του σώματος. β. Να υολογιστεί η ειτάχυνση του σώματος την χρονική στιγμή t = 1,5 s. 9. Ένα σώμα μάζας = 1 g εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση με ερίοδο Τ = 1 s και λάτος Α = 0,. Την χρονική στιγμή t 0 = 0 το σώμα βρίσκεται στην θέση x = 0,1 3 με υ < 0. Αν δίνεται = 10 α. Να υολογίσετε την σταθερά εαναφοράς της ταλάντωσης. β. Να γράψετε την εξίσωση της αομάκρυνσης του σώματος. γ. Να βρείτε την τιμή της δύναμης εαναφοράς την χρονική στιγμή t 0 = 0. 10. Υλικό σημείο μάζας = 0,1 g εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση. Η ταχύτητά του δίνεται αό την εξίσωση υ = συν 10t + 6 ( S.I.). α. Να γραφεί η εξίσωση της δύναμης εαναφοράς συναρτήσει του χρόνου. β. Να βρεθεί η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης την χρονική στιγμή t = /60 s. γ. Να βρεθεί ο ελάχιστος χρόνος ου ααιτείται για να μετακινηθεί το υλικό σημείο αό την θέση x 1 = + 0,1, κινούμενο στην θετική κατεύθυνση, στην θέση x = 0. 11. Ένα σώμα μάζας = g εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση με λάτος Α = 0,5. Η σταθερά των ταλαντώσεων είναι D = 00 N/. Σε κάοια χρονική στιγμή t 1 η αομάκρυνση του σώματος είναι x 1 > 0 και το μέτρο της ταχύτητας του είναι υ 1 = 3 /s. Να υολογιστούν : α. Η κυκλική συχνότητα ω των ταλαντώσεων. β. Η αομάκρυνση x 1 του σώματος αό την θέση ισορροίας του την t 1. γ. Η ειτάχυνση του σώματος την ίδια χρονική στιγμή. 1. Σώμα μάζας = 0,5 g εκτελεί Α.Α.Τ. με λάτος Α = 0,8 και ερίοδο Τ = s. Την χρονική στιγμή t 0 = 0 έχει αομάκρυνση A x = και ταχύτητα υ > 0. Αν δίνεται = 10: α. Να υολογιστεί αρχική φάση φ 0 β. Να υολογιστεί η δύναμη εαναφοράς την χρονική στιγμή t 1 = 5 s. γ. Να γίνει η γραφική αράσταση F = f(x). 13. Υλικό σημείο εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση και ερνάει αό δύο σημεία της τροχιάς του Α και Β ου αέχουν αόσταση d=0,, με την ίδια ταχύτητα. Για τη μετάβαση αό το σημείο Α στο Β ααιτείται χρονικό διάστημα Δt 1 = 4 s. Μετά το έρασμά του αό το Β το υλικό σημείο χρειάζεται χρονικό διάστημα Δt = 4 s για να εράσει άλι αό το σημείο B κινούμενο με αντίθετη φορά. Να βρείτε α. την ερίοδο της ταλάντωσης. β. το λάτος της ταλάντωσης. [Α. α. 16 s, β. 0, ] 14. Υλικό σημείο εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση. Όταν η αομάκρυνσή του έχει τιμές x 1, x, η ταχύτητά του έχει αντίστοιχες τιμές υ 1, υ. Να βρείτε α. την ερίοδο της ταλάντωσης. β. το λάτος της ταλάντωσης. Εφαρμογή : x 1 = 0,16, x = 0,1, υ 1 = 1, /s, υ = 1,6 /s. [Α. α. x -x T=, T = 0, s, β. Α= υ -υ 1 1 υ x -υ x 1 1 υ1 -υ, A = 0, ] Πααθεοδώρου Γιώργος

Μηχανικές Ταλαντώσεις - 1-15. Υλικό σημείο εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση και η αομάκρυνσή του αό τη θέση ισορροίας του x=aημ ωt+φ. δίνεται αό την εξίσωση ( ) 0 α. Να υολογίσετε τις τιμές των μεγεθών A, ω, φ 0 αν γνωρίζετε ότι αόσταση των ακραίων θέσεων του υλικού σημείου είναι d = 0, και για t 0 = 0 είναι x = 0,05 και υ=- 3 /s. β. Να βρείτε τη χρονική στιγμή t 0 = 0 την ειτάχυνση του υλικού σημείου. γ. Να αραστήσετε γραφικά σε συνάρτηση με την αομάκρυνση x αό τη θέση ισορροίας του τη συνισταμένη δύναμη ου ασκείται στο υλικό σημείο, αν η μάζα του είναι = 0,1 g. 5 [Α. α. A = 0,1, ω = 0 rad/s, φ 0 = rad, β. α = 0 /s, γ. ευθεία] 6 16. Υλικό σημείο μάζας = 0,01 g εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση με λάτος A = 0, και ερίοδο Τ = s. α. Να βρείτε το ελάχιστο χρονικό διάστημα ου ααιτείται για να μεταβεί το υλικό σημείο αό τη θέση x 1 = 0,1 στη θέση x = 0,1 αν δίνεται ότι το υλικό σημείο ερνάει αό τη θέση x 1 κινούμενο i) ρος τη θετική κατεύθυνση. ii) ρος την αρνητική κατεύθυνση. β. Πόσος είναι ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του υλικού σημείου όταν αυτό ερνάει αό τις θέσεις x 1 και x ; [Α. α. i) s, ii) s 6, β. 4 10-3 N, 4 10-3 N] 17. Υλικό σημείο εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση κατά μήκος του άξονα x. Τη χρονική στιγμή t 0 = 0 το υλικό σημείο διέρχεται αό τη θέση ισορροίας του κινούμενο ρος τη θετική κατεύθυνση. Το λάτος της ταλάντωσης είναι A = 4 c και η συχνότητα f = Hz. Να θεωρήσετε ότι η αομάκρυνση x του υλικού σημείου αό τη θέση ισορροίας του είναι ημιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου. α. Να γράψετε την εξίσωση της αομάκρυνσης x σε συνάρτηση με το χρόνο. β. Να ροσδιορίσετε τη μέγιστη ταχύτητα (κατά μέτρο) του υλικού σημείου και τη χρονική στιγμή t 1 κατά την οοία αυτό θα αοκτήσει αυτήν την ταχύτητα για ρώτη φορά μετά τη χρονική στιγμή t 0 = 0. γ. Να ροσδιορίσετε τη μέγιστη ειτάχυνση (κατά μέτρο) του υλικού σημείου και τη χρονική στιγμή t κατά την οοία την αοκτά για ρώτη φορά μετά τη στιγμή t 0 = 0. δ. Να υολογίσετε τη συνολική αόσταση ου διάνυσε το υλικό σημείο αό τη στιγμή t 0 = 0 ως τη στιγμή t = 1,5 s. [Α. α. x = 4 10 - ημ4t (SI), β. 0,16 /s, 0,5 s, γ. 0,64 /s, 0,15 s, δ. 0,4 ] 18. Υλικό σημείο εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση. Η αομάκρυνσή του x αό τη θέση ισορροίας του x=0, ημ 0t+φ (SI). δίνεται αό την εξίσωση ( ) 0 α. Για οιες τιμές της αομάκρυνσης x η δυναμική του ενέργεια U είναι ίση με το 50% της ολικής του ενέργειας Ε Τ ; β. Να βρείτε την τιμή της αρχικής φάσης φ 0 αν δίνεται ότι για το t 0 = 0 είναι Κ = 3U με x > 0 και υ < 0. [Α. α. 0,, 0,, β. 5 6 ] 19. Υλικό σημείο μάζας = 10 - g εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση λάτους A = 0,. Τη χρονική στιγμή t 0 = 0 ερνάει αό τη θέση x = 0,1 κινούμενο κατά τη θετική κατεύθυνση, ενώ τη χρονική στιγμή t 1= s ερνάει αό την ίδια θέση κινούμενο κατά την αρνητική κατεύθυνση. Να θεωρήσετε ότι η 3 αομάκρυνση x του υλικού σημείου αό τη θέση ισορροίας του είναι ημιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου. Δίνεται 10. α. Να υολογίσετε την ερίοδο της ταλάντωσης. β. Να γράψετε για την ταλάντωση ου εκτελεί το υλικό σημείο τις εξισώσεις σε συνάρτηση με το χρόνο: i) της αομάκρυνσης x. ii) της ταχύτητας υ. iii) της ειτάχυνσης α. 1 γ. Κατά το χρονικό διάστημα της κίνησης αό t 0 = 0 μέχρι t = s να βρείτε το έργο της συνισταμένης 3 δύναμης ου ενεργεί στο υλικό σημείο.

- - Μηχανικές Ταλαντώσεις [Α. α. s, β. i) x=0,ημ t+ 6 (SI) ii) υ=0,συν t+ 6 (SI) iii) α=-ημ t+ 6 (SI), γ. 15 10-4 J] 0. Ένα σώμα μάζας = 0,5 g εκτελεί Α.Α.Τ. χωρίς αρχική φάση. Στην θέση x = 1 η ταχύτητά του είναι υ = 3 /s και η ειτάχυνσή του α = - 4 /s. α. Να υολογιστεί η ερίοδος και το λάτος της ταλάντωσης. β. Ποια είναι η αομάκρυνση και οια η τιμή της ταχύτητας του σώματος όταν η κινητική του και η δυναμική του ενέργεια είναι ίσες και το σώμα βρίσκεται στον αρνητικό ημιάξονα κινούμενο ρος την θέση ισορροίας. γ. Ποιες χρονικές στιγμές συμβαίνει αυτό; δ. Να γίνει σε κοινό διάγραμμα η γραφική αράσταση της δυναμικής, της κινητικής και της ενέργειας ταλάντωσης σε συνάρτηση με τον χρόνο. 1. Ένα σώμα εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση. Την χρονική στιγμή t 0 = 0 η αομάκρυνση του σώματος αό την θέση ισορροίας είναι x = + 0,1, υ > 0 και η κινητική ενέργεια είναι το 75% της ολικής ενέργειας της ταλάντωσης. H μέγιστη ειτάχυνση του σώματος είναι α ax = 0 /s. α. Να υολογιστεί η αρχική φάση της ταλάντωσης. β. Να υολογιστεί το λάτος της ταλάντωσης. γ. Να γραφεί η εξίσωση της αομάκρυνσης σε συνάρτηση με τον χρόνο.. Σε μια Α.Α.Τ. το λάτος είναι Α = 0, και η ερίοδος Τ = 1 s. Το κινητό ερνά για ρώτη φορά αό το κέντρο ταλάντωσης την χρονική στιγμή t = s με ταχύτητα υ > 0. Να βρεθούν : α. Η εξίσωση της αομάκρυνσης. β. Η χρονική στιγμή ου ερνά για ρώτη φορά αό την θέση x = 0,1. 3. Σύστημα αοτελείται αό οριζόντιο ελατήριο σταθεράς = 00 N/ και σώμα μάζας = 0,5 g, το οοίο μορεί να κινείται χωρίς τριβές άνω σε οριζόντιο είεδο. Αομακρύνουμε το σώμα αό την θέση ισορροίας του κατά x = 0,1 3 και την χρονική στιγμή t 0 = 0 του δίνουμε ταχύτητα μέτρου υ = /s κατά την θετική φορά του άξονα. α. Να υολογίσετε την κυκλική συχνότητα και το λάτος της ταλάντωσης. β. Να ροσδιοριστεί η αρχική φάση της ταλάντωσης. γ. Να γραφεί η εξίσωση της ταχύτητας σε συνάρτηση με τον χρόνο. δ. Να υολογιστεί η ενέργεια ταλάντωσης και να γίνουν σε κοινό διάγραμμα οι γραφικές αραστάσεις της δυναμικής, της κινητικής και της ολικής ενέργειας της ταλάντωσης σε συνάρτηση με την αομάκρυνση x. 4. Σώμα μάζας = 0,5 g εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση. Την χρονική στιγμή t 0 = 0 κινείται με ταχύτητα υ = 3 /s και η δύναμη ου ασκείται σε αυτό είναι F = = 10 N. Να βρεθούν : α. Η αρχική φάση φ 0 β. Η κυκλική συχνότητα ω, η σταθερά εαναφοράς D και το λάτος Α γ. Η εξίσωση της αομάκρυνσης και της δύναμης εαναφοράς και να γίνει η γραφική αράσταση της δύναμης σε συνάρτηση με την αομάκρυνση x. δ. H ολική ενέργεια της ταλάντωσης και να γίνουν σε κοινό διάγραμμα οι γραφικές αραστάσεις της δυναμικής, της κινητικής και της ολικής ενέργειας της ταλάντωσης σε συνάρτηση με την ταχύτητα υ. 5. Υλικό σημείο μάζας = 0,1 g εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση λάτους A = 0,1 με ερίοδο Τ = s. Τη - χρονική στιγμή t = 0 το υλικό σημείο ερνάει αό τη θέση x=5 3 10 κινούμενο κατά την αρνητική κατεύθυνση. α. Να γράψετε την εξίσωση της αομάκρυνσης x σε συνάρτηση με το χρόνο. T β. Τη χρονική στιγμή t= να βρείτε για το υλικό σημείο την δυναμική του ενέργεια, την κινητική του 4 ενέργεια και τον ρυθμό μεταβολής της ορμής του. Να θεωρήσετε ότι η αομάκρυνση x του υλικού σημείου αό τη θέση ισορροίας του είναι ημιτονοειδής F ax Πααθεοδώρου Γιώργος

Μηχανικές Ταλαντώσεις - 3 - συνάρτηση του χρόνου. Δίνεται 10. [Α. α. x=0,1ημ t+ 3 (SI), β. 1,5 10-3 J, 3,75 10-3 J, 5 10 - N] 6. Υλικό σημείο μάζας = 0,01 g εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση και η ολική του ενέργεια είναι Ε Τ = 3 10-4 J. Η αομάκρυνση x του υλικού σημείου αό τη θέση ισορροίας του είναι ημιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου και η ειτάχυνσή του α συνδέεται με την αομάκρυνση αό τη θέση ισορροίας του με τη σχέση α = 16x(στο SI). α. Να βρείτε την ερίοδο και το λάτος της ταλάντωσης. β. Να γράψετε την εξίσωση της αομάκρυνσης x σε συνάρτηση με το χρόνο, αν για t 0 = 0 το υλικό σημείο έχει U = K και κινείται κατά τη θετική κατεύθυνση με θετική ειτάχυνση. [Α. α. T= s, A = 0,, β. x=0,ημ 4t+ 7 4 (SI)] 7. Σώμα μάζας = 0,5 g είναι δεμένο στο ένα άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς = 50 N/ και ισορροεί, όως φαίνεται στο σχήμα. Αομακρύνουμε τη μάζα αό τη θέση ισορροίας της κατά τη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου κατά 0, ρος τα κάτω και την αφήνουμε ελεύθερη. α. Να δείξετε ότι το σύστημα μάζας - ελατηρίου θα εκτελέσει αλή αρμονική ταλάντωση και να υολογίσετε την ερίοδό της. β. Πόση είναι η μέγιστη δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης; γ. Πόση είναι η μέγιστη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου; δ. Να γράψετε την εξίσωση της αομάκρυνσης της μάζας αό τη θέση ισορροίας της σε συνάρτηση με το χρόνο, αν για t 0 = 0 διέρχεται αό τη θέση = + 0,1 κινούμενη ρος την αρνητική κατεύθυνση. Να θεωρήσετε ότι η αομάκρυνση είναι ημιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου και g = 10 /s. [Α. α. T= s 5, β. 1 J, γ.,5 J, δ. =0,ημ 10t+ 5 6 8. Σώμα μάζας = 1 g ισορροεί άνω σε λείο οριζόντιο είεδο δεμένο στα άκρα δύο οριζόντιων ιδανικών ελατηρίων, όως φαίνεται στο σχήμα. Τα ελατήρια βρίσκονται στο φυσικό τους μήκος και έχουν σταθερές 1 = 300 N/ και = 100 N/. Αομακρύνουμε τη μάζα αό τη θέση ισορροίας της κατά τη διεύθυνση του άξονα των ελατηρίων και την αφήνουμε ελεύθερη. α. Να δείξετε ότι το σύστημα μάζας - ελατηρίων θα εκτελέσει αλή αρμονική ταλάντωση και να υολογίσετε την ερίοδο Τ. β. Πόση είναι η ολική ενέργεια της ταλάντωσης αν το λάτος είναι A = 0, ; 9. Σώμα μάζας = 1 g ισορροεί συνδεδεμένο στα άκρα δύο κατακόρυφων ιδανικών ελατηρίων, όως φαίνεται στο σχήμα. Οι σταθερές των ελατηρίων είναι 1 = 50 N/ και = 150 N/. Αομακρύνουμε τη μάζα αό τη θέση ισορροίας της κατά τη διεύθυνση του άξονα των ελατηρίων και την αφήνουμε ελεύθερη. α. Να δείξετε ότι το σύστημα θα εκτελέσει αλή αρμονική ταλάντωση και να υολογίστε την ερίοδο Τ. β. Αν το λάτος της ταλάντωσης είναι A = 0,, όση είναι η μέγιστη κινητική ενέργεια της μάζας ; (g = 10 /s ). Να θεωρήσετε ότι στη θέση ου η μάζα ισορροεί το ελατήριο σταθεράς 1 είναι A 1 1 1 [Α. α. x (SI)] T= s, β. 8 J] 10 A 1

- 4 - Μηχανικές Ταλαντώσεις τεντωμένο και το ελατήριο σταθεράς είναι συσειρωμένο. [Α. α. T= s, β. 8 J] 10 30. Σώμα μάζας = 1 g ισορροεί άνω σε λείο κεκλιμένο είεδο, όως φαίνεται στο σχήμα. Το ελατήριο είναι ιδανικό με σταθερά = 100 N/. Η γωνία κλίσης του κεκλιμένου ειέδου είναι φ = 30. Αομακρύνουμε το σώμα αό τη θέση ισορροίας του κατά τη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου κατά A = 0,05 και το αφήνουμε ελεύθερο. α. Να υολογίσετε την ερίοδο Τ. φ x β. Όταν το σώμα βρίσκεται στις θέσεις x=± 0,05 να βρείτε την δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης, την δυναμική ενέργεια του ελατηρίου και τον ρυθμό μεταβολής της ορμής του. [Α. α. T= s, β. 0,15 J, 0,5 J και 0, 5 N και 5 N] 10 31. Τα δύο σώματα Α και Β ου δείχνει το σχήμα είναι τοοθετημένα το ένα άνω στο άλλο και εκτελούν κατακόρυφη αλή αρμονική ταλάντωση με ερίοδο +A Τ = s και λάτος A = 0,5. Το σώμα Β έχει μάζα = 0, g. α. Να βρείτε την δύναμη ου ασκεί το σώμα Β στο σώμα Α στις θέσεις A i) = 0, ii) = 0,5, iii) = + 0,5. β. Για οια τιμή του λάτους ταλάντωσης το σώμα Β θα εγκαταλείψει το σώμα Α, 0 όταν η ερίοδος της ταλάντωσης είναι Τ = s; γ. Ποια είναι η μέγιστη συχνότητα της ταλάντωσης για την οοία το σώμα Β δεν θα εγκαταλείψει το σώμα Α, όταν το λάτος της ταλάντωσης είναι 0,5 ; Δίνονται g = 10/s -A και 10. [Α. α. i) N, ii),5 N, iii) 1,5 N, β. 1, γ. 1 Ηz ] 3. Το ένα άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς = 00 N/ είναι στερεωμένο σε οριζόντιο δάεδο. Στο άλλο άκρο του είναι σταθερά συνδεδεμένος δίσκος Α B μάζας Μ = 1,5 g. Πάνω στο δίσκο είναι τοοθετημένο σώμα Β A 0 μάζας = 0,5 g. Το σύστημα ισορροεί. Πιέζουμε το σύστημα 5 κατακόρυφα ρος τα κάτω κατά 0 = 10 ελεύθερο. και το αφήνουμε α. Να δείξετε ότι το σώμα Β θα εγκαταλείψει το δίσκο Α. β. Ποια είναι η ταχύτητα και η ειτάχυνση του σώματος Β τη στιγμή ου εγκαταλείει το δίσκο; γ. Σε όσο ύψος θα φθάσει το σώμα Β άνω αό τη θέση στην οοία εγκαταλείει το δίσκο; Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα και g = 10 /s. [Α. α. εγκαταλείει στη θέση 1 = 0,1, β. υ = /s, α = 10 /s, γ. h = 0, ] 33. Δύο σημεία B και Γ μιας ευθείας αέχουν μεταξύ τους d = 3. Πάνω στην γραμμή ου τα ενώνει μορεί να κινείται χωρίς τριβή υλικό σημείο Κ μάζας = 1 g, το οοίο δέχεται αό τα Β και Γ ελκτικές δυνάμεις ου έχουν μέτρα F 1 = 6 (ΒK) και F = 3 (KΓ) αντίστοιχα στο S.I. Αομακρύνω το σώμα στην θέση Β, του δίνω ταχύτητα μέτρου υ Β = 6 /s και το αφήνω να κινηθεί. α. Να υολογιστεί η θέση ισορροίας του υλικού σημείου. β. Να αοδείξετε ότι το σώμα εκτελεί ΑΑΤ και να υολογίσετε την σταθερά εαναφοράς D και την ερίοδο Τ της ΑΑΤ. γ. Να υολογίσετε το λάτος της ταλάντωσης ου εκτελεί το υλικό σημείο. δ. Για κάοιον αρατηρητή την t 0 = 0 το σώμα βρίσκεται ανάμεσα στα σημεία Β και Γ, αέχει d 1 = 0,5 αό το Γ και κινείται ρος το Β. Να γράψετε την εξίσωση της αομάκρυνσης του υλικού σημείου σε συνάρτηση με τον χρόνο για αυτόν τον αρατηρητή. 0 B M Πααθεοδώρου Γιώργος

Μηχανικές Ταλαντώσεις - 5 - ε. Να υολογίσετε την συνολική ενέργεια, την δυναμική και την κινητική ενέργεια του υλικού σημείου στη θέση Γ. Να θεωρήσετε θετική φορά αό το Β ρος το Γ. 34. Δίσκος μάζας Μ = 3,75 g είναι συνδεδεμένος στο άνω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς = 400 N/ του οοίου το άλλο άκρο στερεώνεται σε ακλόνητο σημείο του δαέδου. Αό ύψος h = 0,75 άνω αό το δίσκο αφήνεται να έσει ελεύθερο ένα σφαιρίδιο μάζας = 0,5 g, το οοίο συγκρούεται με το δίσκο μετωικά και λαστικά. Η διάρκεια της κρούσης θεωρείται αμελητέα. α. Να υολογίσετε το λάτος της ταλάντωσης του συστήματος. β. Να γράψετε την εξίσωση της αομάκρυνσης του συσσωματώματος αό τη θέση ισορροίας του αν για t 0 = 0 δίνεται = 0 και υ < 0. Να θεωρήσετε ότι η αομάκρυνση είναι ημιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου (g = 10 /s ). -3 =5 10 ημ 10t+ (SI)] [Α. α. 5 10-3, β. ( ) 35. Σφαίρα μάζας = 1 g αφήνεται να έσει ελεύθερα αό ύψος h 1 = 5 άνω αό δίσκο μάζας Μ = 10 g, ο οοίος ισορροεί συνδεδεμένος στη μια άκρη κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς = 1000 N/, όως φαίνεται στο σχήμα. Η σφαίρα συγκρούεται μετωικά με το δίσκο και η διάρκεια της κρούσης είναι αμελητέα. Μετά την κρούση της με το δίσκο η σφαίρα φθάνει σε ύψος h = 1,5. Να βρείτε α. τα μέτρα των ταχυτήτων της σφαίρας και του δίσκου αμέσως μετά την κρούση. β. το λάτος της ταλάντωσης του δίσκου. γ. το ρυθμό μεταβολής της ορμής του δίσκου όταν βρίσκεται στις ακραίες θέσεις της τροχιάς του (g = 10 /s ). [Α. α. 5 /s, 1,5 /s, β. 0,15, γ. 150 Ν, 50 Ν] 36. Αό την κορυφή λείου κεκλιμένου ειέδου γωνίας κλίσης φ = 30 0 στερεώνεται διαμέσου ιδανικού ελατηρίου σώμα μάζας = 3 g και το σύστημα ισορροεί άνω στο κεκλιμένο είεδο. Αό τη βάση του κεκλιμένου ειέδου κινείται ρος τα άνω σώμα μάζας 1 = 1 g και αρχικής ταχύτητας υ 0 = 5 /s ου έχει τη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου, όως φαίνεται στο σχήμα. Η αρχική αόσταση των σωμάτων είναι s = 0,9 και η σταθερά του ελατηρίου = 300 N/. Τα σώματα συγκρούονται μετωικά και η διάρκεια της κρούσης είναι αμελητέα. g = 10 /s. Α. Πόσο είναι το λάτος της ταλάντωσης του σώματος όταν η κρούση είναι ελαστική; Β. Όταν η κρούση είναι λαστική να βρείτε α. το λάτος της ταλάντωσης του συσσωματώματος. β. τη μέγιστη αραμόρφωση του ελατηρίου κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης του συσσωματώματος. [Α. Α. 0,, Β. α. 7 60 37. Ξύλινος κύβος μάζας Μ ισορροεί συνδεδεμένος στο ένα άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς του οοίου το άλλο άκρο είναι στερεωμένο σε οροφή. Ένα βλήμα μάζας κινείται κατακόρυφα ρος τα άνω με ταχύτητα υ 0, όως φαίνεται στο σχήμα. α. Το βλήμα διαερνά τον κύβο και εξέρχεται με ταχύτητα υ = λυ 0 (λ <1). Η διάρκεια κίνησης του βλήματος μέσα στον κύβο είναι αμελητέα. Πόσο είναι το λάτος της ταλάντωσης ου θα εκτελέσει ο κύβος; β. Το βλήμα σφηνώνεται ακαριαία στο κέντρο μάζας του κύβου. Πόσο είναι στην ερίτωση αυτή το λάτος ταλάντωσης του συσσωματώματος; [Α. α. A= ( 1-λ) υ0 1 1 υ 0 φ s g A= 1+ M, β. ( ), β. 11 (ειμήκυνση)] 60 υ h 0 M+ g ] M h 1 M υ 0

- 6 - Μηχανικές Ταλαντώσεις 38. Το σώμα Σ 1 του σχήματος μάζας 1 = 1 g μορεί να εκτελέσει Α.Α.Τ. Τα ελατήρια είναι ιδανικά με σταθερές 1 = 150 N/ και = 50 N/ και το οριζόντιο δάεδο είναι λείο. Εκτρέουμε το Σ 1 αό τη θέση ισορροίας του στη θέση Α = + 0,4 και τη χρονική στιγμή t 0 = 0 το αφήνουμε ελεύθερο. Ταυτόχρονα αό ύψος h άνω αό τη θέση ισορροίας αφήνεται να έσει ελεύθερα σώμα Σ μάζας = 0,44 g. Αν g = 10 /s, = 10 και η διάρκεια της κρούσης είναι άρα ολύ μικρή και η αντίσταση του αέρα αμελητέα να βρείτε : α. Το ύψος h ώστε το σώμα Σ να συναντήσει το Σ 1 όταν διέρχεται για ρώτη φορά αό τη θέση ισορροίας του. β. Το λάτος της ταλάντωσης του συσσωματώματος, αν τα σώματα Σ 1 και Σ συγκρούονται μετωικά και λαστικά στη θέση 0. 39. Σώμα Σ 1 μάζας 1 = 1 g είναι συνδεδεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς = 400 N/ και εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση λάτους A = 0,1 κατά μήκος λείου οριζόντιου ειέδου. Όταν το σώμα Σ 1 διέρχεται αό τη θέση ισορροίας του συγκρούεται μετωικά με ακίνητο σώμα Σ μάζας = 3 g. Η κρούση είναι μετωική και η διάρκειά της είναι [Α. α. 1, β. 0, ] 16 αμελητέα. Να βρείτε το λάτος της ταλάντωσης ου εκτελείται αν η κρούση είναι: α. ελαστική, β. λαστική. [Α. α. 0,05, β. 0,05 ] 40. Δίσκος μάζας M = 1 g είναι στερεωμένος στο άνω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς = 00 N/ του οοίου το άλλο άκρο είναι στερεωμένο σε οριζόντιο δάεδο. Πάνω στο δίσκο κάθεται ένα ουλί μάζας = 0, g και κάοια στιγμή εκτινάσσεται κατακόρυφα ρος τα άνω με ταχύτητα υ = /s. Αν g = 10 /s να βρείτε α. το μέτρο της ταχύτητας ου αοκτά ο δίσκος. β. το λάτος της ταλάντωσης του δίσκου. γ. τη μέγιστη δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης. δ. τη μέγιστη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου. 1 Σ 1 [Α. α. 0,4 /s, β. 0,03, γ. 0,09 J, δ. 0,64 J] 41. Σώμα Σ 1 μάζας = 1 g ισορροεί συνδεδεμένο στο ένα άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς = 100 N/ του οοίου το άλλο άκρο στερεώνεται σε οροφή. Βλήμα Σ ίσης μάζας με το Σ 1 κινείται κατακόρυφα ρος τα άνω και συγκρούεται με ταχύτητα μέτρου υ 0 = 6 /s, μετωικά και λαστικά με το σώμα Σ 1 τη χρονική στιγμή t 0 = 0. α. Να βρείτε το λάτος της ταλάντωσης του συσσωματώματος. β. Μετά όσο χρόνο αό τη στιγμή της κρούσης t 0 = 0, η ταχύτητα του συσσωματώματος θα μηδενιστεί για ρώτη φορά; γ. Να βρείτε για το χρονικό διάστημα του ερωτήματος β, το έργο της δύναμης του Σ 1 ελατηρίου. δ. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της ορμής του συσσωματώματος υ 0 i) αμέσως μετά την κρούση και ii) όταν βρίσκεται στις ακραίες θέσεις της κίνησής του. Να θεωρήσετε ότι η αομάκρυνση αό τη θέση ισορροίας για την ταλάντωση είναι ημιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου και g = 10 /s. [Α. α. 0,, β. s, γ. 0,5 J, δ. i) 10 Ν, ii) 0 Ν, 0 Ν] 30 4. Το ένα άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς = 0 N/ είναι στερεωμένο σε οροφή. Στο άλλο άκρο του είναι συνδεδεμένο σώμα Σ 1 μάζας = 0, g το οοίο εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση Σ h 1 -A 0 A Πααθεοδώρου Γιώργος

Μηχανικές Ταλαντώσεις - 7 - λάτους A = 0, Κάοια στιγμή ου θεωρούμε ως αρχή του χρόνου t 0 = 0, ενώ το σώμα βρίσκεται στο μισό του λάτους κατερχόμενο ρος τη θέση ισορροίας του, συγκρούεται μετωικά με σώμα Σ ίσης μάζας, ου έχει αντίθετη ταχύτητα. Να βρείτε τις εξισώσεις ου εριγράφουν την κίνηση κάθε σώματος αν η κρούση είναι : α. ελαστική, β. λαστική. Η διάρκεια της κρούσης είναι αμελητέα. Ο άξονας είναι κατακόρυφος με φορά ρος τα κάτω. Δίνεται g = 10 /s. [Α. α. =0,ημ 10t+ 7 1 6, =- 0,1+ 3t+5t (SI), β. =0,ημ 5 t+ 3 (SI)] 43. Αό την κορυφή λείου κεκλιμένου ειέδου γωνίας κλίσεως φ = 30 o εξαρτάται ιδανικό ελατήριο σταθεράς = 100 N/ και στο κάτω ελεύθερο x άκρο του συνδέεται σώμα μάζας 1 = g. Το σύστημα ισορροεί άνω σε 1 υ κεκλιμένο είεδο. Ένα βλήμα μάζας = g κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου υ = /s και συγκρούεται ακαριαία, μετωικά και λαστικά με το σώμα μάζας 1. Το συσσωμάτωμα δεν αναηδά. Είναι φ x g = 10 /s α. Να βρείτε το λάτος της ταλάντωσης του συσσωματώματος. β. Θεωρούμε αρχή μέτρησης του χρόνου t 0 = 0 τη στιγμή της κρούσης και άξονα xx με την κατεύθυνση ου φαίνεται στο σχήμα. Να γράψετε την εξίσωση της αομάκρυνσης του συσσωματώματος αό τη θέση ισορροίας του. Να θεωρήσετε ότι η αομάκρυνση x για την ταλάντωση είναι ημιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου. γ. Μετά όσο χρόνο αό τη στιγμή t 0 = 0, η ταχύτητα του συσσωματώματος μηδενίζεται για ρώτη φορά; δ. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της ορμής του συσσωματώματος κατά τη διεύθυνση του κεκλιμένου ειέδου i) αμέσως μετά την κρούση, ii) όταν βρίσκεται στις ακραίες θέσεις της κίνησής του. [Α. α. 0,, β. =0,ημ 5t+ 1 6 (SI), γ. s, δ. i) 10 Ν, ii) 0 Ν, 0 Ν] 15 44. Ένα σώμα μάζας = 1 g ισορροεί δεμένο στο ένα άκρο κατακόρυφου αβαρούς ελατηρίου σταθεράς = 100 N/. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι δεμένο σε σταθερό σημείο όως φαίνεται στο σχήμα και το σύστημα ισορροεί. Το κάτω άκρο του σώματος αέχει αό το έδαφος αόσταση h = 1,8. Αό το έδαφος και ακριβώς κάτω αό το κρεμασμένο σώμα εκτοξεύεται κατακόρυφα ρος τα άνω με ταχύτητα υ 0 = 10 /s δεύτερο σώμα μάζας = 1 g. Τα δύο σώματα συγκρούονται ελαστικά και κεντρικά. Δίνεται g = 10 /s. Να βρεθούν : α. Η ταχύτητα των δύο σωμάτων αμέσως μετά την κρούση. β. Η ερίοδος Τ και το λάτος Α της ταλάντωσης ου θα εκτελέσει το σώμα ου είναι δεμένο στο ελατήριο. γ. Η εξίσωση της αομάκρυνσης του σώματος ου εκτελεί Α.Α.Τ. 45. Στο ένα άκρο κατακόρυφου ελατηρίου με σταθερά = 400 N/ κρέμεται δίσκος με μάζα Μ = 1 g ου έχει άνω του σώμα μάζας = g. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι δεμένο σε σταθερό σημείο και το σύστημα ισορροεί. Αφαιρούμε το σώμα μάζας και το σύστημα εκτελεί Α.Α.Τ. Δίνεται η θετική φορά του άξονα ρος τα άνω και g = 10 /s. α. Να βρεθεί η ερίοδος Τ και το λάτος Α της ταλάντωσης. β. Να γραφεί η εξίσωση της αομάκρυνσης. γ. Να βρεθεί η ταχύτητα του δίσκου όταν η αομάκρυνση του αό την θέση ισορροίας είναι = 0,03. 46. Σώμα μάζας είναι δεμένο στην μία άκρη ελατηρίου σταθεράς και εκτελεί Α.Α.Τ. λάτους Α = 4, σε λείο οριζόντιο είεδο. Την χρονική στιγμή ου βρίσκεται στην θέση x = 3 κινούμενο με υ > 0 συγκρούεται κεντρικά και λαστικά με ακίνητο σώμα μάζας 3. Να βρεθεί το νέο λάτος της ταλάντωσης ου εκτελεί το συσσωμάτωμα. h υ 0

- 8 - Μηχανικές Ταλαντώσεις 47. Σώμα μάζας είναι δεμένο στην μία άκρη ελατήριου σταθεράς και εκτελεί Α.Α.Τ. σε λείο οριζόντιο είεδο. Η εξίσωση της αομάκρυνσης είναι x = 0,8 ημ10t (S.I.). Κάοια χρονική στιγμή ου ερνά αό το κέντρο της ταλάντωσης κινούμενο ρος τα θετικά, έφτει άνω του κατακόρυφα ένα κομμάτι λαστελίνης μάζας 3. Η λαστελίνη κολλάει άνω στο σώμα. α. Να υολογιστεί η ερίοδος της ταλάντωσης του συσσωματώματος μετά την κρούση. β. Να υολογιστεί το λάτος της ταλάντωσης του συσσωματώματος μετά την κρούση. γ. Να γραφεί η εξίσωση της αομάκρυνσης. 48. Σώμα μάζας = 0,5 g εκτελεί Α.Α.Τ. με σταθερά εαναφοράς D = 00 N/. Κάοια χρονική στιγμή t 1 το σώμα βρίσκεται στην θέση x = 0,1 3 και η ταχύτητά του είναι υ = /s. Να υολογίσετε : α. Τη γωνιακή συχνότητα των ταλαντώσεων του σώματος. β. Το λάτος της ταλάντωσης του σώματος. γ. Τη μέγιστη τιμή της ταχύτητας του σώματος. δ. Τη χρονική στιγμή t 1 τον λόγο της κινητικής ενέργειας ρος την δυναμική ενέργεια του σώματος. 49. Σώμα μάζας είναι δεμένο στο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς = 400 N/, το άλλο άκρο του οοίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Το σώμα εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση λάτους Α. Την χρονική A στιγμή t 0 = 0 το σώμα βρίσκεται στην θέση x= και κινείται με ταχύτητα υ= 3. Η μέγιστη δύναμη s ου ασκείται στο σώμα κατά την ΑΑΤ είναι F ax = 80 N. α. Να υολογίσετε την μάζα του σώματος. β. Να υολογίσετε την ολική ενέργεια του σώματος και τον λόγο της δυναμικής ρος την κινητική ενέργεια του σώματος την t 0 = 0. γ. Να υολογίσετε την εξίσωση της ΑΑΤ του σώματος. δ. Σε όσο χρόνο το σώμα φτάνει για ρώτη φορά σε ακραία θέση; 50. Το λάτος της ΑΑΤ ενός σώματος είναι Α = 0,4. Όταν το σώμα βρίσκεται στην θέση x = 0, η ταχύτητά του είναι υ = 3 /s. α. Να υολογιστεί η ερίοδος Τ των ταλαντώσεων του σώματος. β. Να υολογιστεί η μέγιστη ταχύτητα του σώματος. γ. Ποιες χρονικές στιγμές είναι U = 3Κ κατά την διάρκεια της 1 ης εριόδου; δ. Να γίνουν σε κοινό διάγραμμα οι γραφικές αραστάσεις της δυναμικής, της κινητικής και της ολικής ενέργειας της ταλάντωσης σε συνάρτηση με την θέση x του σώματος αν δίνεται = 4 g. 51. Ιδανικό σύστημα μηχανικών ταλαντώσεων αοτελείται αό σώμα μάζας = g και ιδανικό ελατήριο σταθεράς = 50 N/. Δίνουμε στο σύστημα ενέργεια Ε = 4 J. α. Να υολογιστεί η συχνότητα των ταλαντώσεων του σώματος. β. Να υολογιστεί η μέγιστη τιμή της ταχύτητας του σώματος. γ. Να υολογιστεί η ταχύτητα του σώματος όταν η δυναμική ενέργεια είναι 3 φορές μεγαλύτερη αό την κινητική ενέργεια του σώματος. δ. Να γίνουν σε κοινό διάγραμμα οι γραφικές αραστάσεις της δυναμικής, της κινητικής και της ολικής ενέργειας της ταλάντωσης σε συνάρτηση με την ταχύτητα του σώματος. 5. Κύβος μάζας = 10 g ισορροεί τοοθετημένος άνω σε λείο οριζόντιο είεδο. Στη μια κατακόρυφη έδρα του κύβου είναι δεμένη η μια άκρη ιδανικού οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς = 50 N/, του οοίου η άλλη άκρη είναι δεμένη σε σταθερό σημείο κατακόρυφου τοίχου. Το ελατήριο βρίσκεται στο φυσικό του μήκος. Στην αέναντι κατακόρυφη έδρα του κύβου είναι δεμένο μη ελαστικό και αβαρές νήμα το οοίο έχει όριο θραύσεως F θ = 10 N. Μέσω του νήματος ασκούμε στο σώμα δύναμη κατά τη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου και με φορά τέτοια ώστε το ελατήριο να ειμηκύνεται. Το μέτρο της δύναμης μεταβάλλεται με την ειμήκυνση x του ελατηρίου σύμφωνα με την εξίσωση F = 80 + 00x (SI). Να θεωρήσετε άξονα xx με αρχή τη θέση ισορροίας του κύβου και θετική φορά εκείνη κατά την οοία το ελατήριο ειμηκύνεται. Να βρείτε : Πααθεοδώρου Γιώργος

Μηχανικές Ταλαντώσεις - 9 - α. τη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου τη στιγμή ου κόβεται το νήμα. β. το λάτος της ταλάντωσης ου θα εκτελέσει το σύστημα ελατήριο - κύβος. γ. μετά όσο χρόνο αό τη στιγμή t 0 = 0 ου κόβεται το νήμα θα εράσει ο κύβος αό τη θέση ισορροίας του για ρώτη φορά; [Α. α. 5 J, β. 0,4, γ. s 6 ] 53. Σώμα μάζας = g ισορροεί δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς = 100 N/, το άνω άκρο του οοίου είναι ακλόνητα στερεωμένο σε οροφή. Εκτρέουμε το σώμα κατακόρυφα ρος τα κάτω κατά d = 0,3, ασκώντας κατάλληλη εξωτερική δύναμη F εξ μεταβλητού μέτρου. Κάοια στιγμή αφήνουμε το σώμα ελεύθερο να κινηθεί ξεκινώντας αό την ηρεμία, οότε αυτό εκτελεί ΑΑΤ γύρω αό την αρχική θέση ισορροίας του. Α. Στη θέση (Γ) μέγιστης ειμήκυνσης του ελατηρίου, να υολογίσετε το μέτρο της ασκούμενης εξωτερικής δύναμης. Β. Να υολογίσετε το έργο της εξωτερικής δύναμης F εξ κατά την μετακίνηση του σώματος αό τη θέση (Ο) στη θέση (Γ). Γ. Να υολογίσετε την ταχύτητα του σώματος όταν διέρχεται για 1η φορά αό τη θέση Ζ με αομάκρυνση x 1 = - 0,1 αό τη θέση ισορροίας (Ο). Θετική φορά θεωρείστε ρος τα κάτω και g = 10 /s. 54. Ένα σώμα μάζας 1 g, ηρεμεί στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς = 30 Ν/. Κάοια στιγμή (t 0 = 0) ασκείται στο σώμα μια κατακόρυφη μεταβλητή δύναμης, της μορφής F = -10 s + 8 (S.Ι.), όου s η μετατόιση αό την αρχική θέση ισορροίας του σώματος. Α. Να αοδείξτε ότι το σώμα θα εκτελέσει ΑΑΤ, υολογίζοντας το λάτος και την ενέργεια ταλάντωσης. Β. Την χρονική στιγμή t 1 = 16/3 s η δύναμη F αύει να ασκείται. Να βρείτε το λάτος και την ενέργεια της νέας ταλάντωσης του σώματος. Δίνεται g = 10 /s. 55. Σώμα μάζας = g εκτελεί ΑΑΤ. Η δύναμη F ου δρα στο σώμα σε συνάρτηση με την αομάκρυνση x αό την θέση ισορροίας εριγράφεται αό τη γραφική αράσταση του διλανού σχήματος. Την χρονική στιγμή t 0 = 0 η δύναμη F έχει αλγεβρική τιμή F = - 10 N και το σώμα κινείται ρος την θέση ισορροίας. α. Να υολογίσετε την ερίοδο της ταλάντωσης. β. Να γράψετε την εξίσωση της αομάκρυνσης του σώματος σε συνάρτηση με τον χρόνο. γ. Να γραφεί η εξίσωση και να γίνει το αντίστοιχο κοινό διάγραμμα της κινητικής, της δυναμικής και της ολικής ενέργειας του σώματος σε συνάρτηση με την αομάκρυνση x. 56. Σώμα μάζας εκτελεί AAT. Όταν το σώμα βρίσκεται στην μέγιστη αομάκρυνση το μέτρο της δύναμης εαναφοράς στο σώμα είναι F = 40 N. Η δυναμική ενέργεια της ΑΑΤ σε κάθε χρονική στιγμή δίνεται αό την εξίσωση: U = 4ημ 10t (S.I.). α. Να υολογίσετε το λάτος της ΑΑΤ του σώματος. β. Να υολογίσετε την μάζα του σώματος. γ. Να βρείτε σε οιες θέσεις στην διάρκεια της ρώτης εριόδου η κινητική ενέργεια είναι Κ = 1 J. 57. Ένα σώμα μάζας 1 g εκτελεί ΑΑΤ και σε μια στιγμή (t 0 = 0) ερνάει αό μια θέση Β, κινούμενο ρος την θετική κατεύθυνση, με ταχύτητα μέτρου υ 1 = 0,4 /s. Μετά αό λίγο αοκτά την μέγιστη ταχύτητά του 0,5 /s, ενώ στην συνέχεια ειβραδύνεται και μηδενίζεται στιγμιαία η ταχύτητά του στην θέση Γ, αφού διανύσει αόσταση (ΒΓ) = 0,8. Α. Να βρεθεί το λάτος ταλάντωσης και η αομάκρυνσή του στην θέση Β. Β. Να υολογιστεί η ειτάχυνση του σώματος στις θέσεις Β και Γ. Γ. Να βρεθεί η θέση του σώματος, την στιγμή t = 5/ s. Δ. Να κάνετε το διάγραμμα της (συνισταμένης) δύναμης ου ασκείται στο σώμα, αό το Β στο Γ, σε συνάρτηση με την μετατόιση αό την αρχική θέση Β. Στη συνέχεια να υολογίσετε το εμβαδόν του -0,4-0 F(N) 0 0,4 0 x()

- 30 - Μηχανικές Ταλαντώσεις χωρίου μεταξύ της γραφικής αράστασης και του άξονα της μετατόισης. Τι μετράει το αραάνω εμβαδόν; 58. Ένα υλικό σημείο μάζας 1 g εκτελεί ΑΑΤ και στο ρώτο διάγραμμα U (J) δίνεται η δυναμική του ενέργεια σε συνάρτηση με τον χρόνο. 5 A. Να βρεθούν η ερίοδος και το λάτος ταλάντωσης. B. Να γίνει η γραφική αράσταση x = x(t) της αομάκρυνσης του σώματος σε συνάρτηση με τον χρόνο. 0,0 0,5 t(s) U Γ. Αν το διάγραμμα είχε την μορφή του δεύτερου σχήματος, οια μορφή (J) 5 θα είχε η γραφική αράσταση της αομάκρυνσης, αν την στιγμή t 0 = 0,,5 το σώμα κινείται ρος την θετική κατεύθυνση; Δ. Την στιγμή t 0 = 0, το σώμα κινείται ρος την αρνητική κατεύθυνση, 0,0 0,5 t(s) K (J) ενώ το αντίστοιχο διάγραμμα κινητικής ενέργειας, έχει την μορφή του 5 τρίτου διαγράμματος. Να γίνει ξανά η γραφική αράσταση της,5 αομάκρυνσης του σώματος αό την θέση ισορροίας, σε συνάρτηση με τον χρόνο. 0,0 0,5 t(s) Δίνεται = 10. 59. Σώμα μάζας = 1 g είναι δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς και εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση λάτους Α = 0,. H ερίοδος των ταλαντώσεων είναι T = /5 s. Να υολογίσετε: α. την κυκλική συχνότητα ω, την σταθερά του ελατηρίου, την μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης και την ενέργεια ταλάντωσης Ε Τ. β. το μέτρο της ταχύτητας του σώματος υ, όταν το σώμα βρίσκεται στην θέση x=0,1 3. γ. τον ρυθμό μεταβολής της αομάκρυνσης την χρονική στιγμή t= s 40. δ. τον ρυθμό μεταβολής της ορμής όταν ισχύει Κ = 3 U με x > 0 (Κ η κινητική και U η δυναμική ενέργεια). ε. οιες χρονικές στιγμές ισχύει K = 3 U με υ > 0 στη διάρκεια της 1 ης εριόδου της κίνησης. στ. τον ρυθμό μεταβολής της ταχύτητας του σώματος όταν το σώμα έχει ταχύτητα υax 3 υ=. ζ. τον ρυθμό μεταβολής της δυναμικής ενέργειας του σώματος, όταν αυτό βρίσκεται στην θέση και κινείται ρος την θέση ισορροίας. 60. Στη διάταξη του διλανού σχήματος το σώμα Σ 1 έχει μάζα 1 = 1 g και είναι δεμένο στην κάτω άκρη κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς 1 = 100 N/ ενώ το σώμα Σ έχει μάζα = 3 g και είναι δεμένο στην άνω άκρη κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς. Τα δύο σώματα είναι δεμένα με αβαρές και μη εκτατό νήμα μήκους d = 0,. Αρχικά τα σώματα ισορροούν με το ελατήριο σταθεράς να έχει το φυσικό του μήκος. Την χρονική στιγμή t 0 = 0 κόβουμε το νήμα οότε τα δύο σώματα εκτελούν αλές αρμονικές ταλαντώσεις κατά την διάρκεια των οοίων οι δυναμικές ενέργειες (+) ταλάντωσης των δύο σωμάτων μεγιστοοιούνται ταυτόχρονα. Α. Να υολογίσετε το λάτος ταλάντωσης ου θα εκτελέσει το Σ 1 μετά το κόψιμο του νήματος. Β. Να υολογίσετε την σταθερά του ελατηρίου. Γ. Ποια χρονική στιγμή τα δύο σώματα αέχουν την μέγιστη μεταξύ τους αόσταση; Ποια είναι η μέγιστη αυτή αόσταση; Δ. Να γράψετε τις εξισώσεις της αομάκρυνσης των δύο σωμάτων συναρτήσει του χρόνου. 3 Ε. Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της ορμής του Σ 1 την χρονική στιγμή t 1= s 0. Δίνεται g = 10 /s. 1 1 A 3 x = d Πααθεοδώρου Γιώργος

Μηχανικές Ταλαντώσεις - 31-61. Ένα σώμα Α μάζας Μ = 3 g ηρεμεί σε λείο κεκλιμένο είεδο κλίσεως θ, με ημθ = 0,6 και συνθ = 0,8, δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς = 100 Ν/. Την στιγμή t 0 = 0, αφήνουμε άνω στο σώμα Α, ένα δεύτερο σώμα Β, μάζας = 1 g, το οοίο εμφανίζει με το σώμα Α συντελεστή οριακής στατικής τριβής μ s = 1. Δίνεται g = 10 /s. A. Τι θα συμβεί μόλις αφήσουμε ελεύθερο το Β σώμα; α. Θα ισορροήσει. β. Θα κινηθεί ρος τα κάτω, γλιστρώντας άνω στο Α σώμα, το οοίο αραμένει στην θέση του. γ. Θα κινηθεί ρος τα κάτω, συμαρασύροντας στην κίνησή του και το Α σώμα. Β. Να υολογιστεί η αρχική ειτάχυνση ου θα αοκτήσει το σώμα Β. Γ. Να αοδείξτε ότι το σύστημα των δύο σωμάτων Α και Β, θα εκτελέσει ΑΑΤ, υολογίζοντας και το λάτος ταλάντωσής του. Δ. Θεωρώντας την ρος τα άνω κατεύθυνση ως θετική, να βρεθεί η εξίσωση της ειτάχυνσης του συστήματος σε συνάρτηση με τον χρόνο. Ε. Να γίνει η γραφική αράσταση της τριβής ου ασκείται στο Β σώμα, σε συνάρτηση με τον χρόνο. 6. Σώμα Σ 1 μάζας M = είναι δεμένο στο άνω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς. Το σώμα ισορροεί όταν το ελατήριο είναι συμιεσμένο κατά Δ l =x0 αό το φυσικό του μήκος. Σώμα Σ μάζας αφήνεται να έσει ελεύθερα αό ύψος h στην κατακόρυφη του ελατηρίου. Το Σ συγκρούεται ανελαστικά με το Σ 1 χωρίς την δημιουργία συσσωματώματος. Αμέσως μετά την κρούση τα δύο σώματα κινούνται με κοινή ταχύτητα υ κ σε εαφή. Το σύστημα των δύο σωμάτων με το ελατήριο εκτελεί ΑΑΤ. Για να μην χάνεται η εαφή του Σ με το Σ 1 κατά την ΑΑΤ, για το ύψος h ρέει να ισχύει α. h< 6x0 β. h< 9x0 γ. h< 11x0 Να δικαιολογήσετε την αάντησή σας. σκήσεις στις Φθίνουσες Ταλαντώσεις 63. Ένα μηχανικό σύστημα τίθεται σε ταλάντωση με λάτος Α. Εκτός αό την δύναμη εαναφοράς ασκείται στο σύστημα δύναμη αντίστασης της μορφής F = bυ, οότε σταδιακά το λάτος των ταλαντώσεων ου εκτελεί το σύστημα μειώνεται. α. Να υολογιστεί μετά αό όσο χρόνο t 1 αό την έναρξη των ταλαντώσεων το λάτος της ταλάντωσης έχει μειωθεί κατά 50 %. β. Πόσος χρόνος ααιτείται ώστε το λάτος να υοδιλασιαστεί άλι; γ. Να υολογιστεί το λάτος της ταλάντωσης την χρονική στιγμή t = 3 t 1 αό την έναρξη των ταλαντώσεων. 64. Σε μία φθίνουσα ταλάντωση το λάτος μειώνεται εκθετικά αό την αρχική του τιμή Α 0 σύμφωνα με την -Λt εξίσωση A =A e. Αν Τ είναι η ερίοδος των ταλαντώσεων του συστήματος να αοδειχθεί ότι : κ 0 α. Ο λόγος διαδοχικών λατών είναι A κ =e Λt A κ+1 = σταθερός. Ε κ β. Ο λόγος διαδοχικών μεγίστων ενεργειών είναι =e Ε κ+1 Λt = σταθερός. 65. Σε μία φθίνουσα ταλάντωση το λάτος μειώνεται εκθετικά αό την αρχική του τιμή Α 0 σύμφωνα με την -Λt εξίσωση A =A e. Σε χρονικό διάστημα 10 s το σύστημα ραγματοοιεί 0 λήρεις ταλαντώσεις και το κ 0

- 3 - Μηχανικές Ταλαντώσεις λάτος γίνεται Α κ = Α 0 /3. Να υολογιστούν : α. Η ερίοδος των ταλαντώσεων. β. Το λάτος της ταλάντωσης όταν θα έχουν ραγματοοιηθεί ακόμη 40 λήρεις ταλαντώσεις. 66. Σε μια φθίνουσα μηχανική ταλάντωση το λάτος μειώνεται εκθετικά με τον χρόνο. Την χρονική στιγμή t 1 = s το λάτος της ταλάντωσης είναι το 5 % του αρχικού λάτους. Την χρονική στιγμή t = 6 s το λάτος της ταλάντωσης είναι 1. Αν δίνεται ln = 0,7, να υολογιστούν : α. Η τιμή της σταθεράς Λ και το αρχικό λάτος της ταλάντωσης. β. Το λάτος της ταλάντωσης την χρονική στιγμή t 3 = 8 s. 67. Στο ένα άκρο ιδανικού οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς κ = 100 Ν/ είναι δεμένο σώμα μάζας = 1 g, το οοίο μορεί να κινείται άνω στο οριζόντιο είεδο. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι δεμένο σε ακλόνητο σημείο. Αομακρύνουμε το σώμα κατά Α 0 = 1 αό τη θέση ισορροίας του και το αφήνουμε ελεύθερο. Λόγω τριβών το λάτος της ταλάντωσης ελαττώνεται κατά 10% μετά αό κάθε λήρη ταλάντωση. α. Ποια είναι η ιδιοσυχνότητα f 0 του ταλαντωτή; β. Πόση ενέργεια αφαιρείται αό τον ταλαντωτή μέσω του έργου των τριβών στην διάρκεια της ρώτης εριόδου; γ. Πόση ενέργεια ρέει να μεταφερθεί στον ταλαντωτή μέσω του έργου εξωτερικής εριοδικής δύναμης σε χρόνο t = 0 s, ώστε να εκτελεί αμείωτες ταλαντώσεις με συχνότητα f 0 ; 68. Το λάτος της φθίνουσας ταλάντωσης αρμονικού ταλαντωτή μειώνεται εκθετικά με το χρόνο, σύμφωνα -Λt με την εξίσωση A =A e. Τη χρονική στιγμή t 0 = 0 η ολική ενέργεια του ταλαντωτή είναι E 0. κ 0 E0 α. Μετά όσο χρόνο t 1 η ενέργεια του ταλαντωτή θα γίνει E = ; β. Πόση είναι η ενέργεια του ταλαντωτή τη χρονική στιγμή t = 3t 1 ; 1 ln Ε0 [Α. α. t 1=, β. Λ 8 ] 69. Στο ένα άκρο ιδανικού οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς = 100 N/ είναι συνδεδεμένο σώμα μάζας = 1 g το οοίο μορεί να κινείται άνω σε οριζόντιο είεδο. Το άλλο άκρο του ελατηρίου στερεώνεται σε ακλόνητο σημείο. Αομακρύνουμε το σώμα αό τη θέση ισορροίας του κατά τη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου κατά A 0 = 0, και το αφήνουμε ελεύθερο. Λόγω τριβών το λάτος της ταλάντωσης ελαττώνεται κατά 0% μετά αό κάθε λήρη ταλάντωση. α. Ποια είναι η ιδιοσυχνότητα f 0 του ταλαντωτή; β. Πόση ενέργεια αφαιρείται αό τον ταλαντωτή μέσω του έργου των τριβών στη διάρκεια της ρώτης εριόδου; γ. Πόση ενέργεια ρέει να μεταφερθεί στον ταλαντωτή μέσω του έργου εξωτερικής αρμονικής δύναμης σε χρόνο t = 0 s, ώστε να εκτελεί αμείωτες ταλαντώσεις με συχνότητα f 0 ; [Α. α. 5 Hz, β. 0,7 J, γ. 7 J] 70. Σε μια φθίνουσα μηχανική ταλάντωση το λάτος μειώνεται εκθετικά με τον χρόνο σύμφωνα με την -Λt εξίσωση A κ =A0e. Την χρονική στιγμή t 0 = 0 το λάτος της ταλάντωσης είναι 1 ενώ την χρονική στιγμή t = Τ το λάτος της ταλάντωσης είναι 0,5. Αν D = 400 N/ και Τ η ερίοδος της ταλάντωσης, να υολογιστούν : α. Το λάτος της ταλάντωσης την χρονική στιγμή t 1 = Τ. β. Η ενέργεια της ταλάντωσης την χρονική στιγμή t 1 = Τ. γ. Η αώλεια ενέργειας κατά την ρώτη και κατά την δεύτερη ερίοδο. δ. Το οσοστό της ενέργειας ου μετατρέεται σε θερμότητα κατά την ρώτη και κατά τη δεύτερη ερίοδο. 71. Ένα σώμα μάζας 0,1 g ηρεμεί στο κάτω άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς = 10 Ν/. Εκτρέουμε το σώμα κατακόρυφα ρος τα κάτω κατά 0 c και σε μια στιγμή t 0 = 0, το αφήνουμε να ταλαντωθεί. Παρατηρούμε ότι την στιγμή t 1 = 0,63 s το σώμα σταματά την ρος τα κάτω κίνησή του, για Πααθεοδώρου Γιώργος

Μηχανικές Ταλαντώσεις - 33 - ρώτη φορά, αλλά την στιγμή αυτή αέχει κατά 10,1 c αό την αρχική θέση ισορροίας του. Με δεδομένο ότι το σώμα δέχεται δύναμη αόσβεσης της μορφής F α = - bυ, ενώ η ρος τα κάτω κατεύθυνση θεωρείται θετική: Α. Να βρεθεί η ταχύτητα και η θέση του σώματος την στιγμή t = 1,6 s. Β. Να υολογιστεί το έργο της δύναμης αόσβεσης αό t 0 = 0, μέχρι την στιγμή t. Γ. Σε μια στιγμή t 3 το σώμα έχει αομάκρυνση 4 c και ταχύτητα - 0,3 /s. Γ1. Να υολογιστεί η αώλεια της ενέργειας ταλάντωσης αό την στιγμή t 0 = 0, έως την στιγμή t 3. Γ. Για την χρονική στιγμή t 3 ισχύει: α. t 3 < t 1 β. t 1 < t 3 < t γ. t 3 > t. Να δικαιολογήσετε την ειλογή σας. Δ. Αν η σχέση μεταξύ των σταθερών Λ και b είναι Λ = b/: α. Να υολογιστούν οι τιμές των δύο σταθερών. β. Ποια η ειτάχυνση του σώματος την στιγμή t 3 ; γ. Να βρεθεί ο ρυθμός μείωσης της ενέργειας ταλάντωσης την στιγμή t 3. Δίνεται ln0,5 = - 0,69. 7. Το σώμα του σχήματος μάζας = 1 g βρίσκεται άνω σε λείο δάεδο συνδεδεμένο με ιδανικό ελατήριο σταθεράς = 100 N/. Το σώμα κατά F την κίνησή του δέχεται δύναμη αντίστασης F =- b υ, όου υ η ταχύτητά αντ g του και b=15. Το σώμα δέχεται εριοδική εξωτερική δύναμη F με s αοτέλεσμα μετά την άροδο των μεταβατικών φαινομένων να εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση της οοίας η εξίσωση δίνεται αό την σχέση x=0, ημ5t (S.I.). Α. Να γραφούν οι εξισώσεις της ταχύτητας, της αντίστασης, της δύναμης του ελατηρίου και της δύναμης του διεγέρτη. Β. Για όσο χρόνο σε κάθε ερίοδο ο διεγέρτης ροσφέρει ενέργεια; (Υόδειξη: Χρησιμοοιείστε εριστρεφόμενα διανύσματα και τις εριοχές ροσήμων των αρμονικών συναρτήσεων). 73. Ένα σώμα μάζας g ηρεμεί σε λείο οριζόντιο είεδο, δεμένο στο F άκρο ενός οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς = 5 Ν/. Σε μια στιγμή δέχεται εριοδική οριζόντια δύναμη F, με αοτέλεσμα να αρχίσει να ταλαντώνεται. Μόλις αοκατασταθεί σταθερή κατάσταση, λαμβάνοντας κάοια στιγμή σαν t = 0, βρίσκουμε ότι το σώμα εκτελεί ταλάντωση με εξίσωση αομάκρυνσης x = 0,4 ημ(t) (S.Ι.) γύρω αό την αρχική θέση ισορροίας του. Στη διάρκεια της ταλάντωσης το σώμα δέχεται δύναμη αόσβεσης της μορφής F α = - 4υ (S.Ι.), όου υ η ταχύτητα του σώματος. A. Να βρεθούν η ιδιοσυχνότητα και η συχνότητα ταλάντωσης του σώματος. B. Για την χρονική στιγμή t 1 = 1 s ζητούνται: α. Η κινητική και η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης και το άθροισμά τους Κ + U. β. Ο ρυθμός με τον οοίο αφαιρείται ενέργεια αό το σώμα, μέσω του έργου της δύναμης αόσβεσης. Γ. Για την χρονική στιγμή t = 13/6 s να υολογιστούν: α. Η κινητική και η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης και το άθροισμά τους Κ + U. β. Οι ρυθμοί μεταβολής της κινητικής και δυναμικής ενέργειας. γ. Η εξωτερική δύναμη F. δ. Ο ρυθμός με τον οοίο αφαιρείται ενέργεια αό το σώμα εξαιτίας της δύναμης αόσβεσης καθώς και ο ρυθμός με τον οοίο ροσφέρεται ενέργεια στο σώμα μέσω της εξωτερικής δύναμης F.

- 34 - Μηχανικές Ταλαντώσεις σκήσεις στη Σύνθεση Ταλαντώσεων 74. Υλικό σημείο Σ εκτελεί ταυτόχρονα δύο αλές αρμονικές ταλαντώσεις, οι οοίες γίνονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω αό την ίδια θέση ισορροίας. Οι ταλαντώσεις εριγράφονται αό τις εξισώσεις: x =A ημ ωt+ με Α 1 =, A = 1 και ω = 10 rad/s. x =A ημωt και ( ) 1 1 Να γραφεί η εξίσωση της αομάκρυνσης της σύνθετης ταλάντωσης ου εκτελεί το υλικό σημείο Σ. 75. Υλικό σημείο Σ εκτελεί ταυτόχρονα δύο αλές αρμονικές ταλαντώσεις, οι οοίες γίνονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω αό την ίδια θέση ισορροίας. Οι ταλαντώσεις εριγράφονται αό τις εξισώσεις: x =A ημ ωt+ 1 1 6 και x =A ημ ωt+ 3 4 με Α 1 =, A = 3 και ω = 10 rad/s. Να γραφεί η εξίσωση της αομάκρυνσης της σύνθετης ταλάντωσης ου εκτελεί το υλικό σημείο Σ. 76. Υλικό σημείο Σ εκτελεί ταυτόχρονα δύο αλές αρμονικές ταλαντώσεις, οι οοίες γίνονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω αό την ίδια θέση ισορροίας. Οι ταλαντώσεις εριγράφονται αό τις εξισώσεις: x 1 =A1ημ ωt+ 3 και x =A ημ ωt+ 3 με Α 1 = 1, A = 3 και ω = 10 rad/s. Να γραφεί η εξίσωση της αομάκρυνσης της σύνθετης ταλάντωσης ου εκτελεί το υλικό σημείο Σ. 77. Σώμα μάζας εκτελεί ταυτόχρονα δύο αλές αρμονικές ταλαντώσεις της ίδιας διεύθυνσης, της ίδιας κυκλικής συχνότητας ω = 0 rad/s και του ίδιου λάτους Α ου διαφέρουν μεταξύ τους κατά / rad. Η μέγιστη ταχύτητα του σώματος είναι 10 /s και η ολική του ενέργεια 100 J. Να υολογιστούν : α. Το λάτος Α της συνισταμένης ταλάντωσης. β. Η μάζα του σώματος. γ. Το λάτος Α 1 των δύο ειμέρους ταλαντώσεων. 78. Ένα σώμα μάζας Μ κινείται ευθύγραμμα γύρω αό μια θέση = 0, με εξίσωση κίνησης: =Aημ ωt+ +Αημ(ωt) 3 A. Η μέγιστη κινητική ενέργεια του σώματος είναι ίση: 1 1 9 α. Κ= Μω Α β. Κ= Μω Α γ. Κ= Μω Α 4 Β. Την χρονική στιγμή t 1 =, η ειτάχυνση του σώματος έχει τιμή: ω 1 1 1 α. α 1=- ω Α β. α 1= ω Α γ. α 1=- ω Α 4 4 Να δικαιολογήσετε τις ααντήσεις σας. 79. Δύο αλές αρμονικές ταλαντώσεις εξελίσσονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω αό την ίδια θέση ισορροίας. Η ρώτη ταλάντωση έχει αρχική φάση φ 01 = 0, λάτος Α 1 = 0, και συχνότητα f = 5 Hz. Η δεύτερη ταλάντωση έχει αρχική φάση φ 0 = rad, λάτος Α = 0,4 και την ίδια συχνότητα. Ένα υλικό σημείο μάζας = 0,5 g εκτελεί ταλάντωση ου ροκύτει αό την σύνθεση των δύο αυτών ταλαντώσεων. Δίνεται = 10. α. Να γραφεί η εξίσωση της συνισταμένης ταλάντωσης. β. Να γραφεί η εξίσωση της δύναμης εαναφοράς. γ. Να υολογιστεί η ολική ενέργεια της ταλάντωσης του υλικού σημείου. δ. Να γραφούν οι εξισώσεις σε συνάρτηση με το χρόνο για την δυναμική και κινητική ενέργεια της ταλάντωσης του υλικού σημείου και να αρασταθούν γραφικά μαζί με την ενέργεια ταλάντωσης σε κοινό σύστημα αξόνων. Πααθεοδώρου Γιώργος

Μηχανικές Ταλαντώσεις - 35-80. Δύο αλές αρμονικές ταλαντώσεις ου εξελίσσονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω αό την ίδια θέση ισορροίας, έχουν το ίδιο λάτος Α = 0,05 και συχνότητες f 1 = 199 Hz και f = 01 Hz. Να βρείτε : α. Το λάτος και την συχνότητα της συνισταμένης ταλάντωσης. β. Την συχνότητα του διακροτήματος και την εξίσωση της Α.Α.Τ. γ. Τον αριθμό των ταλαντώσεων ου ραγματοοιούνται στην διάρκεια ενός διακροτήματος. 81. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο αλές αρμονικές ταλαντώσεις ου εξελίσσονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω αό την ίδια θέση ισορροίας. Οι εξισώσεις των δύο ταλαντώσεων είναι αντίστοιχα : x 1 = 0,1ημ(0t) και x = 0,1ημ(198t) στο (S.I.). α. Να γράψετε την εξίσωση της συνισταμένης κίνησης του σώματος. β. Πόσες λήρεις ταλαντώσεις εκτελεί το σώμα κατά τη διάρκεια μιας εριόδου του διακροτήματος ; γ. Ποια είναι η μέγιστη τιμή ου μορεί να έχει το μέτρο της ταχύτητας του σώματος, κατά την διέλευσή του αό την θέση ισορροίας ; Παρατήρηση: Πολλές αό τις αραάνω ασκήσεις ροέρχονται αό το lionet και το βιβλίο του ΚΕΕ. Ευχαριστώ τους συναδέλφους Φυσικούς για την δουλειά τους.