Στροφορµή στερεού στην επίπεδη κίνηση u α u i/ u i/ / i/ i/ u i m i F ι α ι f ι α m i ι u u / ω i α I α Mα O Χρήσιµες σχέσεις α β β α α β ( ) ( ) ( ) m 0 i i/ i( i ) m 0 α α β α β ( ) α β α α β ( ) Το εωµετρικό σηµείο µπορεί να είναι: α. Ένα κινούµενο ή ακλόνητο σηµείο ΕΠΙ του στερεού ή στη προέκταση του. Αυτό σηµαίνει ότι το ταυτίζεται συνεχώς µε το ίδιο σηµείο του στερεού και φυσικά έχει συνεχώς την ίδια ταχύτητα και επιτάχυνση µε το σηµείο αυτό. Το µέτρο των διανυσµάτων i/ u u + u u +ω i /i i /i και και / α α +α α + α +ω ω α + α ω ( ) ( ) ( ) i i/ i/ Β i/ i/ i/ Β Στα επόµενα θα αναφέρουµε αυτή τη περίπτωση ως σηµείο ΕΠΙ του στερεού. παραµένει σταθερό και ισχύουν οι σχέσεις u u + u β. Ένα κινούµενο ή ακλόνητο σηµείο που ΕΝ βρίσκεται ΕΠΙ του στερεού. Το µέτρο του διανύσµατος i/ (ενικά) δεν παραµένει σταθερό και (ενικά) δεν ισχύει η σχέση. Εδώ ισχύουν οι οι σχέσεις i /i και α i α +αi/. Στα επόµενα θα αναφέρουµε αυτή τη περίπτωση ως τυχαίο σηµείο. Οι σχέσεις που προκύπτουν ια το τυχαίο σηµείο, ισχύουν και ια το σηµείο ΕΠΙ του στερεού, όχι όµως το αντίθετο. 1
Στη περίπτωση δίσκου µη οµοενούς που κυλίεται χωρίς ολίσθηση σε δάπεδο, µπορούµε να θεωρήσουµε ως σηµείο : α. Ένα σηµείο της περιφέρειας του δίσκου. Το σηµείο αυτό κάποιες χρονικές βρίσκεται σε επαφή µε το δάπεδο. Τις στιµές αυτές η ταχύτητά του είναι µηδενική. β. Το κέντρο του δίσκου ή το κέντρο µάζας του δίσκου.. Ένα φανταστικό σηµείο το οποίο κινείται έτσι ώστε κάθε στιµή να βρίσκεται στο σηµείο επαφής του δίσκου µε το δάπεδο. Το σηµείο αυτό έχει την ίδια ταχύτητα και επιτάχυνση µε το κέντρο του δίσκου και φυσικά η τροχιά του είναι εφαρµοστή µε εκείνη του κέντρου του δίσκου. δ. Ένα τυχαίο ακλόνητο σηµείο του δαπέδου ή ενικότερα του επιπέδου. Τα σηµεία των περιπτώσεων α και β είναι ΕΠΙ του στερεού. Στ,ext+Στ,int Στ τ + τ τ + i,,ext i,,int,ext 0 Στ,ext Στ i/ m i ι ( α ) Ροπή ως προς σηµείο Σ FΣ Fext +ΣFint Σ F Fi + fi Fi + 0 Σ FΣF ext Σ F ( m i α i ) Ως προς το κέντρο µάζας Στ i/ miα i/ mi α +α i/ ω i/ m i i/ α + m i i/α Στ α (1) ( ι) ( ) ( ) I Ως προς τυχαίο σηµείο Στ mα + mα mα + mα Στ / Mα +Στ Στ / Mα + Iα () ( ) ( ) ( ) ( ) i/ i i / i/ i i / i i i/ i i Αν η επιτάχυνση του κέντρου µάζας είναι µηδενική ή έχει τη διεύθυνση του ευθύραµµου τµήµατος τότε ισχύει: Στ α. I Σύµφωνα µε τη σχέση (), αν θεωρήσουµε το ινόµενο Mα (που έχει διαστάσεις δύναµης) διανύσµα µε σηµείο εφαρµοής το κέντρο µάζας του στερεού, και το ινόµενο I α (που έχει διαστάσεις ροπής δύναµης), ελεύθερο διάνυσµα, µπορούµε να πούµε ότι η συνολική ροπή των δυνάµεων και των ζευών που ασκούνται στο σώµα ως προς ένα σηµείο, ισούται µε το άθροισµα της ροπής του διανύσµατος Mα ως προς το σηµείο και του ελεύθερου διανύσµατος I α.
Ως προς σηµείο ΕΠΙ του στερεού Στ i/ miα i/ mi α +α i/ ω i/ i/ miα + m i i/α Στ / Mα + Iα (3) ( ι) ( ) ( ) Αν η επιτάχυνση του (ΕΠΙ του στερεού) σηµείου έχει µηδενική επιτάχυνση ή έχει τη διεύθυνση του ευθύραµµου τµήµατος τότε ισχύει: Στ α I Παρατήρηση Αν θεωρήσουµε σηµείο ΕΠΙ του στερεού, έχουµε το πλεονέκτηµα ότι η ροπή αδράνειας του στερεού ως προς αυτό παραµένει σταθερή. Προσοχή αυτό ΕΝ σηµαίνει ότι ισχύει υποχρεωτικά η σχέση Στ α. Για παράδειµα σε οµοενή δίσκο που κυλίεται χωρίς ολίσθηση σε οριζόντιο δάπεδο, ια το εκάστοτε σηµείο επαφής του δίσκου µε το δάπεδο ισχύει η σχέση από το κέντρο µάζας. Στ α I Αν όµως ο δίσκος είναι ΜΗ οµοενής, τότε ενικά ΕΝ ισχύει η σχέση I, διότι η επιτάχυνση του σηµείου διέρχεται Στ α I. Στη περίπτωση αυτή µόνο τις στιµές που το κέντρο µάζας του δίσκου βρίσκεται στη κατακόρυφη που διέρχεται από το σηµείο επαφής ισχύει η σχέση Στ Iα. Ως προς το κέντρο µάζας Στροφορµή θεωρώντας απόλυτες ταχύτητες L mu m u + ω m u + m ω L m ω L I ω (4) ( ) ( ( )) ( ) ( ) i/ i i i/ i i/ i i/ i/ i i/ i i/ Ως προς τυχαίο σηµείο L mu + mu mu + mu L Mu + I ω (5) ( ) ( ) ( ) ( ) i/ i i / i/ i i / i i i/ i i / Ως προς σηµείο ΕΠΙ του στερεού L mu m u +ω mu + mω ( ) /i i/ i 1 i/ i i/ i/ i i i/ L mu + mω L Mu + I ω ( ) i/ i i i/ / Αν η ταχύτητα του ΕΠΙ του στερεού σηµείου είναι µηδενική ή έχει τη διεύθυνση του ευθύραµµου τµήµατος, τότε ισχύει: L I ω (6) Ρυθµός µεταβολής της στροφορµής σε κάθε περίπτωση Li/ i/ mu i i ( i ) mu i i L ( i ) mu i i 3
+ α + α ( u Mu) (7) ( ui u) mu i i ( i ) mi i [ u mu i i] [ i/ mi i] Στο ίδιο αποτελέσµατα καταλήουµε αν παραωίσουµε τη (5) λαµβάνοντας υπόψη τη () ή την (6) λαµβάνοντας υπόψη τη (3). Αν η ταχύτητα του το σηµείου είναι µηδενική ή παράλληλη µε τη ταχύτητα του κέντρου µάζας τότε ισχύει: Αν το σηµείο ταυτίζεται µε το κέντρο µάζας τότε ισχύει: Ως προς το κέντρο µάζας Στροφορµή ως προς θεωρώντας σχετικές ταχύτητες L mu m ω m ω + m L m ω L I ω (8) ( ) ( ) ( ) [ ] i/ i i/ i/ i i/ i i/ i/ i i/ i i/ Από τις σχέσεις (4) και (8) συµπεραίνουµε ότι η στροφορµή ως προς το κέντρο µάζας είναι η Ι ΙΑ, είτε επιλέξουµε απόλυτες είτε σχετικές ταχύτητες. L mu mu I ω ηλ. ( ) ( ) i/ i i/ i/ i i Ως προς τυχαίο σηµείο L ( i/ mu i i/) ( /+ i/) mi( ui u) ( /+ i/) mi( ui u+ u/) L / mi( ui u+ u/) + I/ mi( ui u+ u/) L ( i/ mu i i) + L+ ( / mu i /) L Iω+ / Mu/ L Mu + I ω (9) /p / Ως προς σηµείο ΕΠΙ του στερεού L i/ mu i ι/ i/ mi( ω i/) miωi/ L Iω (10) Ρυθµός µεταβολής της στροφορµής σε κάθε περίπτωση L i/ mu i i/ ( i ) mi( ui u) ( ui u) mi( ui u) + ( i ) mi( αi α) 4
0+ m α α mα mα ( ) ( ) ( ) ( ) i i i i i i i ( ) mα m ( ) α i i i i i M α Μα ( ) ( ) / (11) Στο ίδιο αποτέλεσµα καταλήουµε αν παραωίσουµε την (9) λαµβάνοντας υπόψη τη () ή την (10) λαµβάνοντας υπόψη τη (3). Αν η επιτάχυνσή του σηµείου είναι µηδενική ή παράλληλη µε το ευθύραµµο τµήµα, τότε ισχύει: Αν το σηµείο ταυτίζεται µε το κέντρο µάζας, τότε ισχύει: Παρατήρηση Στη σχέση (15) η παράσταση ( Μα ) /, είναι η υποθετική ροπή που πρέπει να προσθέσει ένας ΜΗ αδρανειακός παρατηρητής, ο οποίος εκτελεί µεταφορική κίνηση µε ταχύτητα u και επιτάχυνση α. Η υποθετική ροπή προκύπτει από τη µεταφορά της δύναµης d Alembet στο κέντρο µάζας του στερεού. Για τον ΜΗ αδρανειακό παρατηρητή το σώµα εκτελεί στροφική κίνηση ύρω από ακλόνητο σηµείο και είναι όλα ωραία και καλά αρκεί να προσθέσουµε τη δύναµη d Alembet. Πότε οι δύο στροφορµές είναι ίσες; ( i/ mu i i/) i/ mi( u+ ui) ( i/ mu i ) + ( i/ mu i i) ( i/+ /) mu i + ( i/ mu i i) ( i/ mu i ) + ( / mu i ) + ( i/ mu i i) mu mu + mu ( i/ i i/) ( / i ) ( i/ i i) Αν η ταχύτητα του σηµείου είναι µηδενική ή έχει τη διεύθυνση του ευθύραµµου τµήµατος ή το σηµείο ταυτίζεται µε το κέντρο µάζας τότε οι δύο στροφορµές είναι ίσες. 5
Στροφορµή και κέντρο µάζας Αποδείξαµε ότι η στροφορµή ως προς το κέντρο µάζας είναι η ίδια είτε θεωρήσουµε σχετικές είτε απόλυτες ταχύτητες, κάτι ΜΗ αναµενόµενο. Αυτό µας επιτρέπει κατά τη µελέτη του στερεού, να θεωρούµε το κέντρο µάζας ακλόνητο ή ενικά αδρανειακό σηµείο και έτσι απλοποιείται η µελέτη του στερεού σώµατος. Γενικότερα βολεύει να επιλέουµε σηµείο ια το οποίο ισχύει η σχέση εξωτερική ροπή ως προς το είναι µηδενική, τότε η στροφορµή ως προς το διατηρείται. Αν επιλέξουµε κινούµενο σηµείο ια το οποίο ΕΝ ισχύει η σχέση προσεκτικοί στο χειρισµό των σχέσεων., διότι αν η συνολική, τότε πρέπει να είµαστε Ας δούµε τώρα άλλη µια χαρακτηριστική ιδιότητα που σχετίζεται µε τη στροφορµή ως προς το κέντρο µάζας. Ο οµοενής δίσκος του σχήµατος στρέφεται µε ωνιακή ταχύτητα ω ύρω από ακλόνητο οριζόντιο που διέρχεται από το κέντρο µάζας του. Να υπολοιστεί η στροφορµή του δίσκου ως προς το κέντρο µάζας του (spin) και ως προς ένα τυχαίο ακλόνητο σηµείο του χώρου. L i/ m i spin L i ω u i Η στροφορµή του δίσκου ως προς ένα σηµείο ισούται µε το άθροισµα των στροφορµών των υλικών σηµείων ως προς το ίδιο σηµείο. L ( i mu i i) i mi( ω i) m i i ω L Iω ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L i/ mu i i + i mi ω i mi ω i + i mi ω i L m ω L I ω i i Παρατηρούµε ότι το διάνυσµα της στροφορµής του στερεού ως προς το τυχαίο ακλόνητο σηµείο του χώρου είναι ίσο µε το διάνυσµα της στροφορµής του στερεού ως προς το κέντρο µάζας του (spin). Εδώ χρειάζεται προσοχή διότι τα δύο διανύσµατα αν και είναι ίσα, έχουν διαφορετικούς φορείς και εκφράζουν διαφορετικές στροφορµές. Μην ξεχνάµε ότι η στροφορµή ορίζεται ως η ροπή της ορµής ως προς ένα συκεκριµένο σηµείο (ή άξονα). Γενικότερα ια µεέθη όπως η ροπή δύναµης και η στροφορµή, που ορίζονται ως ροπή κάποιου άλλου µεέθους ως προς συκεκριµένο σηµείο, η ισότητα δεν σηµαίνει υποχρεωτικά και iσοδυναµία. Αυτό ίνεται πιο φανερό στη περίπτωση όπου η ροπή δύναµης ως προς ένα σηµείο Α δεν είναι υποχρεωτικά ισοδύναµη δηλ. δεν φέρνει υποχρεωτικά το ίδιο αποτέλεσµα µε µια ίση ροπή δύναµης ως προς ένα άλλο σηµείο Β. Με απλά λόια αν και η στροφορµή ως προς το τυχαίο σηµείο οφείλεται στη περιστροφή ύρω από το κέντρο µάζας και ισούται µε το spin, ΕΝ είναι το spin. 6