ΠΡΩΣΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Οπιζμόρ : Έλαο αθέξαηνο θαιείηαη πξώηνο αλ νη κόλνη ζεηηθνί δηαηξέηεο ηνπ είλαη νη θαη. Αλ ν αθέξαηνο δελ είλαη πξώηνο ηόηε ν θαιείηαη ζύλζεηνο. Παπαηήπηζη : i) Αλ ν αθέξαηνο είλαη ζύλζεηνο ηόηε ππάξρεη α κε α θαη α (δει. ν έρεη έλαλ ηνπιάρηζηνλ δηαηξέηε πνπ αλήθεη ζην ζύλνιν,..., ). ii) Ο κνλαδηθόο άξηηνο πξώηνο είλαη ην. Δπνκέλσο αλ p πξώηνο κε p ηόηε ν p είλαη πεξηηηόο. Γελ ηζρύεη ην αληίζηξνθν. Γειαδή έλαο πεξηηηόο θπζηθόο αξηζκόο κεγαιύηεξνο ηνπ δελ είλαη πάληα πξώηνο. Π.ρ. ν πεξηηηόο θπζηθόο αξηζκόο 5 είλαη πξώηνο, ελώ ν πεξηηηόο θπζηθόο αξηζκόο 9 δελ είλαη πξώηνο αθνύ 39 θαη 3, 3 9. Θεώπημα 3: Κάζε αθέξαηνο έρεη έλαλ (ηνπιάρηζηνλ) πξώην δηαηξέηε. Απόδειξη: Έζησ κε. Θεσξνύκε ην ζύλνιν A m / m θαη m (δει. ην Α απνηειείηαη από όινπο ηνπο ζεηηθνύο δηαηξέηεο ηνπ πνπ είλαη κεγαιύηεξνη ηνπ ). Πξνθαλώο A. Άξα A (δει. ην Α είλαη έλα κε θελό ππνζύλνιν ησλ θπζηθώλ αξηζκώλ). Σπλεπώο ην Α πεξηέρεη ειάρηζην ζηνηρείν. Απηό ζεκαίλεη όηη ππάξρεη p A ηέηνην ώζηε p m γηα θάζε m A. Θα δείμνπκε όηη ν p είλαη πξώηνο αξηζκόο. Πξάγκαηη: Αθνύ p A ηόηε p. Έζησ ηώξα όηη ν p είλαη ζύλζεηνο. Τόηε (βι. Παξαηήξεζε i) ππάξρεη α κε α p θαη αp. Δπεηδή p A έρνπκε όηη p. Δπνκέλσο α. Άξα γηα ην α έρνπκε όηη α κε α θαη α. Σπλεπώο α A. Άξα p α (αθνύ ην p είλαη ην ειάρηζην ζηνηρείν ηνπ Α). Απηό όκσο είλαη άηνπν γηαηί α p. Δπνκέλσο ν p δελ είλαη ζύλζεηνο. Σπλεπώο ν p είλαη πξώηνο. Δπεηδή p A έρνπκε ακέζσο όηη p. Άξα ν p είλαη πξώηνο δηαηξέηεο ηνπ.
Παπαηήπηζη 4: Από ην πξνεγνύκελν Θεώξεκα έπεηαη όηη θάζε αθέξαηνο είλαη είηε πξώηνο αξηζκόο είηε έλα γηλόκελν πξώησλ αξηζκώλ. Θεώπημα 5 (Θεώπημα ηος Εςκλείδη): Υπάξρνπλ άπεηξνη πξώηνη αξηζκνί. Απόδειξη: Έζησ όηη ππάξρνπλ πεπεξαζκέλνη ζην πιήζνο πξώηνη αξηζκνί, νη p, p,, p ( ). Θεσξνύκε ηνλ αθέξαην m pp...p. Σύκθσλα κε ην Θεώξεκα 3, ν m έρεη έλαλ (ηνπιάρηζηνλ) πξώην δηαηξέηε. Απηόο πξνθαλώο ζα είλαη θάπνηνο από ην ζύλνιν p,p,...,p. Γειαδή ππάξρεη i κε pi m. Όκσο pi pp...p.. Γει. pi. Απηό όκσο είλαη άηνπν αθνύ Άξα p m p p...p i είλαη πξώηνο. Δπνκέλσο ην πιήζνο ησλ πξώησλ αξηζκώλ είλαη άπεηξν. pi δηόηη ν p i Λήμμα 6: Έζησ α,m, κε α,m θαη α m. Τόηε α. Απόδειξη: Αθνύ α,m ηόηε ππάξρνπλ x, y ηέηνηα ώζηε αx my. Δπνκέλσο αx my. Δπεηδή α αx θαη α my (δηόηη από ππόζεζε α m ), έπεηαη όηη α αx my. Άξα α. Λήμμα 7: Έζησ α,p ηέηνηνη ώζηε ν p λα είλαη πξώηνο θαη pi α. Τόηε p,α. Απόδειξη: Έζησ p,α έρνπκε d ή d p. Έζησ όηη d p. Αθνύ p,α d. Τόηε d 0 θαη dp. Άξα (επεηδή ν p είλαη πξώηνο) d ηόηε d α. Άξα p α. Άηνπν. Δπνκέλσο d θαη ζπλεπώο p,α. Θεώπημα 8: Έζησ α,b,p ηέηνηνη ώζηε ν p λα είλαη πξώηνο θαη p αb. Τόηε p α ή pb. Απόδειξη: Έζησ όηη pi α (αλ p α ηόηε δελ έρνπκε ηίπνηα λα δείμνπκε). Θα απνδείμνπκε όηη pb. Πξάγκαηη: Από ην Λήκκα 7 έρνπκε όηη p,α. Τόηε από ην Λήκκα 6 έπεηαη ακέζσο όηη pb.
Παπαηήπηζη 9: Από ην πξνεγνύκελν Θεώξεκα έπεηαη όηη αλ o p είλαη πξώηνο αξηζκόο θαη α,α,...,α ( ) κε p αα...α, ηόηε ν p δηαηξεί έλαλ (ηνπιάρηζηνλ) από ηνπο α, α,, α. Θεώπημα 0 (Θεμελιώδερ Θεώπημα ηηρ Απιθμηηικήρ): Κάζε αθέξαηνο αλαιύεηαη σο γηλόκελν πξώησλ παξαγόλησλ θαηά κνλαδηθό ηξόπν (αλ δελ ιεθζεί ππόςε ε ζεηξά ησλ παξαγόλησλ). Παπαηήπηζη : Από ην Θεώξεκα 0 έρνπκε ακέζσο όηη θάζε αθέξαηνο γξάθεηαη κνλνζήκαληα ζηε κνξθή p p...p όπνπ p p... pθ πξώηνη αξηζκνί θαη r r rθ θ r,r,...,r θ ( θ ). Δπίζεο από ην Θεώξεκα 6 έπεηαη αθόκε όηη θαη θάζε αθέξαηνο γξάθεηαη κνλνζήκαληα ζηε κνξθή p p...p όπνπ p p... pθ πξώηνη αξηζκνί θαη r r rθ θ r,r,...,r θ ( θ ). Άξα θάζε αθέξαηνο 0, γξάθεηαη κνλνζήκαληα ζηε κνξθή p p...p όπνπ p p... pθ πξώηνη αξηζκνί θαη r r rθ θ r,r,...,r θ ( θ ). Η κνξθή απηή ηνπ θαιείηαη κανονική μοπθή ηνπ. Η εύξεζε ηεο θαλνληθήο κνξθήο ελόο αθεξαίνπ 0, πεξηγξάθεηαη ζην παξαθάησ παξάδεηγκα: Έζησ 6. Βξίζθνπκε ηνλ πξώην ζηε ζεηξά πξώην αξηζκό κε ηνλ νπνίν δηαηξείηαη ην 6. Απηόο είλαη ην. Παξαηεξνύκε όηη 6: 63. Σηε ζπλέρεηα βξίζθνπκε ηνλ πξώην ζηε ζεηξά πξώην αξηζκό κε ηνλ νπνίν δηαηξείηαη ην 63. Απηόο είλαη ην 3. Παξαηεξνύκε όηη 63: 3. Σπλερίδνπκε ηελ πξνεγνύκελε δηαδηθαζία γηα ην. Παξαηεξνύκε όηη : 3 7. Τειεηώλνπκε ηε δηαδηθαζία όηαλ ζα θαηαιήμνπκε ζε πξώην αξηζκό (εδώ είλαη ην 7). Άξα 6 3 7. Απηή είλαη ε θαλνληθή κνξθή ηνπ 6. Η πξνεγνύκελε δηαδηθαζία ζπλήζσο γξάθεηαη ζύληνκα σο εμήο: 3
6 63 3 3, 6 3 7 7 7 Αλ μεθηλήζνπκε κε αξλεηηθό αθέξαην, ηόηε εθαξκόδνπκε ηελ παξαπάλσ δηαδηθαζία γηα ηνλ θαη ηόηε ε θαλνληθή κνξθή ηνπ είλαη ε θαλνληθή κνξθή ηνπ κε πξόζεκν. Γειαδή αλ 6 ηόηε ε θαλνληθή ηνπ κνξθή είλαη 3 7. Παπαηήπηζη : Έζησ αθέξαηνο 0,. Τόηε από ηελ πξνεγνύκελε r r rθ Παξαηήξεζε έρνπκε όηη ν γξάθεηαη κνλνζήκαληα ζηε κνξθή p p...p, όπνπ p p... pθ πξώηνη αξηζκνί θαη ησλ δηαηξεηώλ ηνπ είλαη ην ζύλνιν ησλ αξηζκώλ ηεο κνξθήο: p p...p θ r,r,...,r θ ( θ ). Τόηε ην ζύλνιν ι ι ιθ θ όπνπ ιi κε 0 ιi ri γηα θάζε i,,...,θ. Οπόηε ην πιήζνο ησλ δηαηξεηώλ ηνπ είλαη r r... r (ην πιήζνο ησλ ζεηηθώλ δηαηξεηώλ ηνπ είλαη θ r r... r θαη ην πιήζνο ησλ αξλεηηθώλ δηαηξεηώλ ηνπ είλαη θ r r... r ). θ Θεώπημα 3: Έζησ αθέξαηνο. Τόηε ν είλαη ζύλζεηνο αλ θαη κόλν αλ ππάξρεη p πξώηνο δηαηξέηεο ηνπ κε p. Απόδειξη: (επζύ) Έζησ όηη ν είλαη ζύλζεηνο. Τόηε (βι. Παξαηήξεζε i)) ππάξρεη α κε α θαη α. Αθνύ α ηόηε ππάξρεη b κε αb. Από απηό θαη ην γεγνλόο όηη α έρνπκε ακέζσο όηη b. Δπεηδή αb ηόηε α ή b (αλ α θαη b άηνπν). ηόηε ζα είρακε Αο ππνζέζνπκε ρσξίο βιάβε ηεο γεληθόηεηαο όηη α αb ην νπνίν είλαη πξνθαλώο (αθξηβώο όκνηα εξγαδόκαζηε αλ b ). Από ην Θεώξεκα 3 έπεηαη όηη ππάξρεη p πξώηνο αξηζκόο 4
ηέηνηνο ώζηε p α. Άξα p α θαη επνκέλσο p. Δπίζεο επεηδή α έρνπκε θαη όηη p. Σπλεπώο ν p είλαη πξώηνο δηαηξέηεο ηνπ κε p. (αληίζηξνθν) Πξνθαλέο. Παπαηήπηζη 4: Γηα έλαλ αθέξαην, από ην πξνεγνύκελν Θεώξεκα, έρνπκε ακέζσο ηα εμήο: i) Ο είλαη πξώηνο αλ θαη κόλν αλ δελ ππάξρεη πξώηνο αξηζκόο p ηέηνηνο ώζηε p θαη p. ii) Ο είλαη πξώηνο αλ θαη κόλν αλ γηα θάζε πξώην αξηζκό p κε p έρνπκε όηη p I. iii) Ο είλαη πξώηνο αλ θαη κόλν αλ γηα θάζε πξώην αξηζκό p κε p έρνπκε p. Παπαηήπηζη 5 (Αλγόπιθμορ εύπεζηρ ππώηων απιθμών): Έζησ αθέξαηνο. Τόηε γηα λα ειέγμνπκε αλ ν είλαη πξώηνο κπνξνύκε λα εθαξκόζνπκε ηνλ εμήο αιγόξηζκν: I) Αλ ή 3 ηόηε ν είλαη πξνθαλώο πξώηνο αξηζκόο. II) Αλ 4 ηόηε ππνινγίδνπκε ηε θαη δηαθξίλνπκε ηηο εμήο πεξηπηώζεηο: i) Αλ ηόηε ν είλαη ζύλζεηνο αξηζκόο αθνύ κε θαη, δηόηη. ii) Αλ ηόηε ζεσξνύκε ην ζύλνιν A p / p πξώηνο θαη p θαη έρνπκε ειέγρνπκε αλ θάπνην από ηα ζηνηρεία ηνπ : A είλαη δηαηξέηεο ηνπ α) Αλ θαλέλα ζηνηρείν ηνπ A δελ δηαηξεί ην ηόηε (βι. Παξαηήξεζε 4ii)) ν είλαη πξώηνο αξηζκόο. β) Αλ ππάξρεη ζηνηρείν ηνπ A ην νπνίν δηαηξεί ην ηόηε (βι. Θεώξεκα 3) ν είλαη ζύλζεηνο αξηζκόο. 5
Η δπζθνιία ηνπ παξαπάλσ αιγνξίζκνπ έγθεηηαη ζηνλ ππνινγηζκό ηνπ ζπλόινπ γηα κεγάια. Παξάδεηγκα: Να εμεηαζηεί αλ ν αξηζκόο 4 είλαη πξώηνο. Δπεηδή 4 0,5, ζα βξνύκε ην ζύλνιν A4 p / p πξώηνο θαη p 4 Έρνπκε πξνθαλώο όηη A,3,5, 7,,3,7,9 4 A.. Παξαηεξνύκε (απιώο ππνινγηζκόο) όηη θαλέλα από ηα ζηνηρεία ηνπ A 4 δελ είλαη δηαηξέηεο ηνπ 4. Άξα ν αξηζκόο 4 είλαη πξώηνο αξηζκόο. Παπαηήπηζη 6 (Σο κόζκινο ηος Επαηοζθένη): Θεσξνύκε έλα ζεηηθό αθέξαην. Γηα λα πξνζδηνξίζνπκε ηνπο πξώηνπο αξηζκνύο ηνπ ζπλόινπ,..., εξγαδόκαζηε σο εμήο: i) Γξάθνπκε ζε έλαλ πίλαθα κε αύμνπζα ζεηξά ηνπο θπζηθνύο από ην κέρξη ην. ii) Κξαηάκε ην (είλαη ν πξώηνο ζηε ζεηξά πξώηνο αξηζκόο) θαη δηαγξάθνπκε όια ηα πνιιαπιάζηα ηνπ πνπ ππάξρνπλ ζηνλ πίλαθα. iii) Σηε ζπλέρεηα θξαηάκε ην 3 (είλαη ν δεύηεξνο ζηε ζεηξά πξώηνο αξηζκόο θαη ν πξώηνο ζηνλ πίλαθα κεηά ην πνπ δελ έρεη δηαγξαθεί) θαη δηαγξάθνπκε όια ηα πνιιαπιάζηα ηνπ 3 πνπ ππάξρνπλ ζηνλ πίλαθα. iv) Σπλερίδνπκε κε όκνην ηξόπν ηε δηαδηθαζία πνπ πεξηγξάςακε ζηα i), ii) κέρξη ηνλ πξώην p γηα ηνλ νπνίν p (ζηελ αξρή θάζε βήκαηνο ν πξώηνο αξηζκόο πνπ δελ έρεη δηαγξαθεί κεηά ηνλ αξηζκό ηνπ νπνίνπ ηα πνιιαπιάζηα δηαγξάςακε ζην πξνεγνύκελν βήκα είλαη ν επόκελνο ζηε ζεηξά πξώηνο αξηζκόο κεηά από απηόλ πνπ βξήθακε ζην πξνεγνύκελν βήκα). v) Οη αξηζκνί ηνπ πίλαθα πνπ δελ έρνπλ δηαγξαθεί είλαη νη πξώηνη αξηζκνί ηνπ ζπλόινπ,...,. Η παξαπάλσ πεξηγξαθείζα δηαδηθαζία θαιείηαη κόζκινο ηος Επαηοζθένη πξνο ηηκή ηνπ αξραίνπ Έιιελα καζεκαηηθνύ Δξαηνζζέλε πνπ ηελ αλαθάιπςε. Παξάδεηγκα: Δθαξκόδνληαο ηελ παξαπάλσ δηαδηθαζία γηα 50 έρνπκε όηη 50 7, 07. Άξα νη πξώηνη πνπ είλαη κηθξόηεξνη ή ίζνη ηνπ 50 είλαη νη, 3, 5 θαη 7. Οπόηε δεκηνπξγείηαη ν πίλαθαο: 6
3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 30 3 3 33 34 35 36 37 38 39 40 4 4 43 44 45 46 47 48 49 50 Δπνκέλσο νη πξώηνη αξηζκνί πνπ είλαη κηθξόηεξνη ή ίζνη ηνπ 50 είλαη νη, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 3, 9, 3, 37, 4, 43 θαη 47. Θεώπημα 7 (μικπό Θεώπημα ηος Fermat): Γηα θάζε αθέξαην α θαη γηα θάζε πξώην αξηζκό p ηζρύεη: p α p α Πόπιζμα 8: Έζησ α θαη p πξώηνο αξηζκόο κε pi α. Τόηε: p p α Απόδειξη: Από ην πξνεγνύκελν Θεώξεκα έπεηαη όηη Τόηε από ην Θεώξεκα 8 (αθνύ p α p p p α α p α α p I ) έπεηαη ακέζσο όηη p α. Θεώπημα 9 (Θεώπημα ηος Wilso): Έζησ κε. Τόηε ν είλαη πξώηνο αλ θαη κόλν αλ! (όπνπ!... ). Οπιζμόρ 0: Έζησ δύν κε κεδεληθνί αθέξαηνη m θαη. Οξίδνπκε σο ειάρηζην θνηλό πνιιαπιάζην ησλ m θαη ην κηθξόηεξν από ηα θνηλά ζεηηθά πνιιαπιάζηα ησλ m θαη. Τν ειάρηζην θνηλό πνιιαπιάζην ησλ m θαη ζπκβνιίδεηαη κε m,. Παπαηήπηζη : Έζησ θαη m Π θ m / θ m, m,3 m,... Π ι / ι,,3,... 7
Πξνθαλώο m Πm Π. Άξα Πm Π. Σπλεπώο ην m Π Π πεξηέρεη ειάρηζην ζηνηρείν ην νπνίν είλαη ην ειάρηζην θνηλό πνιιαπιάζην ησλ m θαη (δει. m, mi Π Π ). Δπνκέλσο ην ειάρηζην θνηλό πνιιαπιάζην m, m ησλ m θαη είλαη ν κνλαδηθόο ζεηηθόο αθέξαηνο πνπ έρεη ηηο εμήο ηδηόηεηεο: i) m,πm Π (δει. ην m, είλαη θνηλό ζεηηθό πνιιαπιάζην ησλ m θαη ). ii) Αλ α Πm Π ηόηε m, α (δει. ην m, είλαη κηθξόηεξν ή ίζν από θάζε θνηλό ζεηηθό πνιιαπιάζην ησλ m θαη ). Θεώπημα : Έζησ m,. Τόηε m, m, m. Από ην Θεώξεκα έπεηαη ακέζσο ην εμήο: Πόπιζμα 3: Έζησ m, κε m,. Τόηε m, m. Θεώπημα 4: Έζησ m, θαη x. Τν x είλαη θνηλό πνιιαπιάζην ησλ m θαη αλ θαη κόλν αλ ην x είλαη πνιιαπιάζην ηνπ m,. Απόδειξη: (επζύ) Έζησ όηη ην x είλαη θνηλό πνιιαπιάζην ησλ m θαη. Θα δείμνπκε όηη ην x είλαη πνιιαπιάζην ηνπ m,. Πξάγκαηη: Αθνύ ην x είλαη πνιιαπιάζην ηνπ m ηόηε ππάξρεη θ ηέηνην ώζηε x θm. Όκνηα ππάξρεη ι ηέηνην ώζηε x ι. Έζησ m, d m, 0. Τόηε d m, θαη άξα Τώξα έρνπκε: Όκσο m θ m d d 6) m ι d m,. d d m m θ m ι θd ιd θ ι d d d d m (πξνθαλέο). Άξα ι d d θαη επεηδή m, d d, ηόηε (βι. Λήκκα. Δπνκέλσο ιd ι. Άξα: m m d 8
ιd m ιd m ιd x ι m, m d m m, m Θεώξεκα Σπλεπώο ην x είλαη πνιιαπιάζην ηνπ m, αθνύ, όπσο δείμακε παξαπάλσ, ιd m. (αληίζηξνθν) Πξνθαλέο. Θεώπημα 5: Έζησ p, p,, θ m ε p p...p, ε p ι p ι...p ι r r rθ m θ r,r,...,r θ,ι,ι,...,ι θ. Τόηε: p ( θ ) πξώηνη αξηζκνί θαη θ όπνπ ε,ε, θ c c cθ i) m, p p...p όπνπ c mir, ι θάζε i θ,,...,θ. i i i s s sθ ii) m, p p...p όπνπ s maxr, ι θάζε i θ i i i m m, κε θαη (= ν κηθξόηεξνο από ηνπο r i, ι i ) γηα (= ν κεγαιύηεξνο από ηνπο r i, ι i ) γηα,,...,θ. Παπαηήπηζη 6: Από ην πξνεγνύκελν Θεώξεκα έπεηαη ακέζσο όηη γηα λα βξνύκε ηνλ κέγηζην θνηλό δηαηξέηε θαη ην ειάρηζην θνηλό πνιιαπιάζην δύν αθεξαίσλ m, κε m, 0, κπνξνύκε λα θάλνπκε ηα εμήο: i) Γξάθνπκε ηνπο m, ζηελ θαλνληθή ηνπο κνξθή (βι. Παξαηήξεζε ). ii) Ο κέγηζηνο θνηλόο δηαηξέηεο ησλ m, είλαη ην γηλόκελν ησλ θνηλώλ πξώησλ παξαγόλησλ (νη νπνίνη εκθαλίδνληαη ζηηο θαλνληθέο ηνπο κνξθέο) πςσκέλνη ζηηο κηθξόηεξεο δπλάκεηο. Αλ δελ ππάξρνπλ θνηλνί πξώηνη παξάγνληεο ηόηε (θαη κόλν ηόηε) ν κέγηζηνο θνηλόο δηαηξέηεο ησλ m θαη είλαη ην. iii) Τν ειάρηζην θνηλό πνιιαπιάζην ησλ m, είλαη ην γηλόκελν ησλ θνηλώλ θαη κε θνηλώλ πξώησλ παξαγόλησλ (νη νπνίνη εκθαλίδνληαη ζηηο θαλνληθέο ηνπο κνξθέο) πςσκέλνη νη θνηλνί παξάγνληεο ζηηο κεγαιύηεξεο δπλάκεηο. Αλ έλαο από ηνπο m, είλαη ην ή ην, ηόηε m,. Δπίζεο αλ έλαο από ηνπο m, είλαη ην ή ην, έζησ όηη απηό ζπκβαίλεη γηα ηνλ m, θαη 0 ηόηε m,. 9
ΑΚΗΕΙ. Να βξείηε ηνπο α,β θαη ηνλ πξώην p ζε θάζε κηα από ηηο παξαθάησ πεξηπηώζεηο: i) α βα β 3 ii) α 4 p iii) α p 5. Έζησ ηέηνηνο ώζηε ν δελ είλαη ηέιεην ηεηξάγσλν. Να δείμεηε όηη ν αξηζκόο είλαη άξξεηνο. Μπνξείηε λα γεληθεύζεηε ην απνηέιεζκα; 3. Να βξείηε ηνλ πξώην αξηζκό p γηα ηνλ νπνίν ηζρύεη: i) ii) 3p,. 3 p,. iii) 3 p,. 4. Έζησ α, λ,θ θαη πξώηνο κε λ p α. Να απνδείμεηε όηη θ θ p α. 5. Έζησ α,β κε α,β. Να απνδείμεηε ηα εμήο: i) α β, αβ. ii) λ κ θ ι α β,α β, λ,κ,θ,ι. 6. Να απνδείμεηε όηη είλαη ζύλζεηνη νη αξηζκνί: i) ii) 4 4, όπνπ θπζηθόο κεγαιύηεξνο ηνπ. 8, όπνπ. 7. Να ιύζεηε ζην ηηο εμηζώζεηο: i) ii) 3 x x x 3 0 x x p, όπνπ p πξώηνο. 0
8. Έζησ α,β, λ. Να απνδείμεηε ηελ ηζνδπλακία: β α λ λ β α 9. Έζησ α,β, γ,δ α,β γ, δ θαη α γ. Τόηε β δ. β δ κε 0. Γίλνληαη νη αξηζκνί α θ θαη β 6θ 7, θ. Να απνδείμεηε όηη: i) ην ππόινηπν ηεο δηαίξεζεο ηνπ αξηζκνύ β α κε ην 0 είλαη. ii) αλ ν αξηζκόο θ είλαη πνιιαπιάζην ηνπ 7, ηόηε θαη ν αξηζκόο α β είλαη πνιιαπιάζην ηνπ 7.. Γίλνληαη νη αθέξαηνη αξηζκνί β 3α 4 θαη γ 4α 5, α. Να απνδείμεηε όηη: i) ν αξηζκόο βγ β γ είλαη πεξηηηόο. ii) αλ α 3θ, θ, ηόηε ν αξηζκόο γ β είλαη πνιιαπιάζην ηνπ 3.. Αλ α είλαη έλαο άξηηνο αθέξαηνο αξηζκόο, ηόηε λα απνδείμεηε όηη: 4 α i) ii) α α α 3 α 3 300 3. Γίλεηαη ν αξηζκόο Α 99 9... 9. Να απνδείμεηε όηη ν αξηζκόο Α δηαηξείηαη κε ηνπο αξηζκνύο 3,, 5, 7, 9 θαη 3. 3 3 3 6 α β γ 6 α β γ. 4. Αλ α,β,γ θαη, ηόηε λα απνδείμεηε όηη 5. Να βξείηε ηνπο αθέξαηνπο αξηζκνύο x, y γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη: i) x ii) xy x y iii) x y x 6. Να απνδείμεηε όηη i) 4 3 5 9 3, ii) 3 4 3, iii) 7 5 3 5 3 5, 7. Αλ α, β είλαη πεξηηηνί αθέξαηνη, λα απνδείμεηε όηη 8 α βα β. 8. Να βξείηε ηνπο θπζηθνύο αξηζκνύο α γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη α α 4 9. Έζησ α, β αθέξαηνη κε 7 α β. Να απνδείμεηε όηη 7 α θαη 7 β..