1 Oct 16 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Διάλεξη 4 η Γεωμετρική Αναπαράσταση Σημάτων 1 Αθανάσιος Κανάτας Καθηγητής Παν/μίου Πειραιώς Δομή της παρουσίασης Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Διανύσματα στους Χώρους Χώρος Hlert και Συναρτησιακός Χώρος Χώρος Μιγαδικών Συναρτήσεων Βάσεις Συναρτησιακού Χώρου & Υποχώρων Γραμμικώς Ανεξάρτητα Σήματα Παραγωγή Χώρου Βάση και Διάσταση Χώρου & Υποχώρων Ανεξαρτησία & Ορθογωνιότητα Ορθογώνιοι και Ορθοκανονικοί Χώροι Ανάπτυξη σε Ορθογώνια Σήματα Θεώρημα του Prsevl 1
1 Oct 16 Σήματα και Διανύσματα 3 Kotelkov (1947) Wozekrft & Jcos (1965) Ομοιότητες Σημάτων Διανυσμάτων Πρόσθεση και Αφαίρεση Σημάτων δίνει Σήματα Πολλαπλασιασμός Σήματος με Βαθμωτό μέγεθος δίνει Σήμα Κάθε γραμμικός συνδυασμός Σημάτων δίνει Σήμα Στους χώρους των Σημάτων ορίζονται Βάσεις Ορίζονται το εσωτερικό γινόμενο Σημάτων και η νόρμα ενός Σήματος Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός Σημάτων ενός χώρου, εκφράζεται με το γραμμικό μετασχηματισμό της βάσης του χώρου των Σημάτων Διανύσματα στο Χώρο 4 Ο διανυσματικός χώρος περιέχει όλα τα διανύσματα με συνιστώσες 1 1,,..., όπου Άθροισμα και αφαίρεση δύο διανυσμάτων του χώρου δίνει διάνυσμα του χώρου. Ο πολλαπλασιασμός διανύσματος του χώρου με βαθμωτό μέγεθος παράγει διάνυσμα του χώρου.
1 Oct 16 Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων 5 y y y 1 y, y y 1 1 1 y 1 1 y y y y Όπου y ή ο ανάστροφος του y ή y1 y y Το εσωτερικό γινόμενο είναι ένας πραγματικός αριθμός Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων 6 Το εσωτερικό γινόμενο μπορεί να θεωρηθεί ως γινόμενο δύο πινάκων διάστασης (1) και (1) αντίστοιχα, που δίνει έναν αριθμό. Η αντιμεταθετική ιδιότητα δεν ισχύει στον πολλαπλασιασμό πινάκων, οπότε στο εσωτερικό γινόμενο δεν μπορώ να εναλλάξω τη θέση των διανυσμάτων, δηλαδή, y y y Άλλωστε το γινόμενο δύο πινάκων (1) και (1) δίνει πίνακα διάστασης () 3
1 Oct 16 Άλλοι Ορισμοί 7 Νόρμα διανύσματος : Η θετική τετραγωνική ρίζα του δηλαδή 1 Δύο διανύσματα είναι ορθογώνια όταν 1/, yy y 1 1y y 0 Η ανισότητα Cuchy Schwrz y y Ιδιότητες Νόρμας 8 Η νόρμα ικανοποιεί τις εξής ιδιότητες 0 0 αν και μόνο αν 0 όπου βαθμωτός +y y 4
1 Oct 16 Παράδειγμα στο 9 y y y, y 1 1 s cos y s cos y y y y 1 1, p Παράδειγμα στο 10 cos cos cos cos s s y y y y y y y 1 1 Όμως cos 1 άρα y y Δηλαδή η ανισότητα Cuchy Schwrz 5
1 Oct 16 Παράδειγμα στο 11 Υπολογίστε τη γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα 1 3 4 y 5 cos y, yy yy 1 1 3 3 4 4 y y y y y 1 3 4 1 3 4 1*3*4*5* 3 1 3 4 5 30 37 0.96 Παράδειγμα στο 1 Η προβολή του y στο είναι το διάνυσμα p. o p είναι απλά ένα πολλαπλάσιο του. p k y p y k k 0 k αριθμός y y y, pk y p, y 6
1 Oct 16 Διανύσματα στο Χώρο 13 Κάθε διάνυσμα του χώρου έχει μιγαδικές συνιστώσες και γράφεται 1 όπου j Η νόρμα πλέον είναι 1 Παράδειγμα 14 1 j j j y 4j y 1 j j 1 1 0 1 13 j 4 j 1 4 5 0 5 7
1 Oct 16 Διανύσματα στο Χώρο 15 Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων H y, y y y y 1 1 y H Όπου ο μιγαδικός συζυγής του y και y ο αναστροφοσυζυγής ή ερμιτιανός του y y H y1 y y y H y Διανύσματα στο Χώρο 16 1 H 1 1 1 1 H H H y 1 1y y y y y H H Ορθογώνια αν ισχύει y y 0 8
1 Oct 16 Παράδειγμα 17 H y H y 1 j 3 j y 1 j 1 j 3 j 1 j 3 1 j 1 j j 3 6 j j 18 j 3 6 j j 18 j Διανύσματα στο Χώρο 18 Η απόσταση των δύο διανυσμάτων είναι y y, y,, y y, y, y H H, y y yy, H H, y y yy, Re, y y 9
1 Oct 16 Χώρος Hlert 19 Μια φυσική επέκταση του χώρου είναι ο χώρος Περιλαμβάνει όλα τα διανύσματα με άπειρες συνιστώσες, δηλαδή, 1,, Όμως θέλουμε να διατηρήσουμε την έννοια του μήκους των διανυσμάτων, έτσι επιλέγουμε εκείνα τα διανύσματα τα οποία έχουν πεπερασμένο μήκος, δηλαδή η άπειρη σειρά 1 3 συγκλίνει σε πεπερασμένο άθροισμα. Χώρος Hlert 0 Τα διανύσματα αυτά μπορούν να προστεθούν μεταξύ τους καθώς και να πολλαπλασιασθούν με βαθμωτούς και άρα παράγουν ένα διανυσματικό χώρο που ονομάζεται χώρος Hlert. Ο χώρος αυτός έχει άπειρες διαστάσεις. Δύο διανύσματα του χώρου είναι ορθογώνια αν y 1y1y 0 Η ανισότητα Cuchy Schwrz ισχύει ακόμη. 10
1 Oct 16 Συναρτησιακός Χώρος 1 Θεωρούμε συναρτήσεις μιας μεταβλητής π.χ. του χρόνου t και ορίζουμε τις συναρτήσεις αυτές σε κάποιο διάστημα του t, π.χ. t Μια συνάρτηση είναι σαν ένα διάνυσμα με μια απειρία συνιστωσών που δεν είναι τίποτε άλλο από τις τιμές της συνάρτησης στο διάστημα, Παράδειγμα είναι οι δύο συναρτήσεις, s f t t g t t 0 t Οι συνιστώσες των συναρτήσεων είναι οι τιμές τους στο 0, Συναρτησιακός Χώρος Τις συναρτήσεις αυτές μπορούμε να τις αθροίσουμε καθώς και να τις πολλαπλασιάσουμε με οποιουσδήποτε βαθμωτούς και προκύπτουν πάλι συναρτήσεις. Για να υπολογίσουμε το μήκος μιας τέτοιας συνάρτησης διανύσματος, η εφαρμογή του συνηθισμένου κανόνα της άθροισης των τετραγώνων των συνιστωσών είναι αδύνατη λόγω της απειρίας των συνιστωσών, γιαυτό f f t dt 11
1 Oct 16 Συναρτησιακός Χώρος 3 Ο χώρος Hlert έγινε συναρτησιακός χώρος όπου τα διανύσματα είναι συναρτήσεις με πεπερασμένο μήκος, δηλαδή το ολοκλήρωμα συγκλίνει. Ο χώρος αυτός δεν περιλαμβάνει όσες συναρτήσεις δεν έχουν πεπερασμένο μήκος, π.χ. f t 1/ t 0 t Η αντικατάσταση του αθροίσματος με το ολοκλήρωμα ισχύει και για το εσωτερικό γινόμενο δύο συναρτήσεων. Συναρτησιακός Χώρος 4 Το εσωτερικό γινόμενο είναι, f t g t f t g t dt, Η ορθογωνιότητα γίνεται εμφανής για δύο συναρτήσεις f t s t gt cost 0 t f t, g t s t cos t dt 0 0 f t f t f t f t dt 1
1 Oct 16 Παράδειγμα 5 Υπολογίστε τη γωνία μεταξύ των που ορίζονται στο διάστημα 0, p t p t dt p t, p t cos p t p t 1 1 1 0 1 1/ 1/ p1 t dt p t dt 0 0 0 0 p t 1 t p t t 3 t t t dt 10 0 3 1/ 1/ 8 06 4 t 4t4dt t t 1dt 3 15 Χώρος Μιγαδικών Συναρτήσεων 6 1/ 1/ 1/, t t t t t dt t dt Ορθογωνιότητα t, yt t y tdt 0 1/ 1/ t y t dt t dt y t dt t, y t t y t dt t y t dt y t, t 13
1 Oct 16 Χώρος Μιγαδικών Συναρτήσεων 7 Το εσωτερικό γινόμενο και η ετεροσυσχέτιση συνδέονται ως εξής, 0 t yt t y tdt R Πράγματι είχαμε δει ότι δύο συναρτήσεις είναι ορθογώνιες όταν Ry 0 0 y Γραμμικώς Ανεξάρτητα Σήματα 8 Θεωρώ σύνολο σημάτων t 1 και παρατηρώ τους γραμμικούς συνδυασμούς c t c t c t c 1 1 Αν μόνο αν τότε τα σήματα c t c t c t 11 0 c c c 1 0 t είναι γραμμικώς ανεξάρτητα 14
1 Oct 16 Γραμμικώς Ανεξάρτητα Σήματα 9 Οι συναρτήσεις είναι γραμμικώς εξαρτημένες p t 1, p t t, p t t, p t t 1 1 3 4 p t p t p t 1 3 4 0 Ενώ οι επόμενες είναι γραμμικώς ανεξάρτητες 1 p t t, p t t1 Παραγωγή Χώρου 30 Θεωρούμε ότι ένα σύνολο σημάτων t παράγει ένα χώρο αν αυτός ο χώρος αποτελείται από όλους τους γραμμικούς συνδυασμούς των t δηλαδή κάθε σήμα του χώρου μπορεί να εκφραστεί ως ένας γραμμικός συνδυασμός των σημάτων t g t c t c t c t 1 1 c 15
1 Oct 16 Βάση του Χώρου 31 Ένα σύνολο σημάτων αποτελεί βάση για ένα χώρο (ή βάση Hmel) αν ισχύουν οι εξής δύο ιδιότητες 1. τα σήματα είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. παράγουν το χώρο Κάθε σήμα στο χώρο μπορεί να εκφραστεί ως γραμμικός συνδυασμός σημάτων της βάσης και μάλιστα ο συνδυασμός αυτός είναι μοναδικός Πρέπει επίσης να σημειωθεί ότι η βάση t δεν είναι μοναδική, υπάρχουν άπειρες διαφορετικές βάσεις του χώρου. Όλες οι βάσεις έχουν το ίδιο πλήθος σημάτων, το οποίο εκφράζει τους βαθμούς ελευθερίας του χώρου και καλείται διάσταση του χώρου. Βάση και Διάσταση Χώρου & Υποχώρων 3 Μια βάση του χώρου όλων των σημάτων έχει άπειρα σήματα, δηλαδή Αν υποθέσουμε έναν υποχώρο σημάτων, τότε αυτός ο υποχώρος μπορεί να έχει βάσεις με πεπερασμένο αριθμό σημάτων. Γενικά δηλαδή πρέπει να διαφοροποιήσουμε τη διάσταση ενός υποχώρου και τον αριθμό των συνιστωσών του σήματος, π.χ. στα διανύσματα ένα 3 επίπεδο που αποτελεί υποχώρο του έχει ως βάση δύο διανύσματα τα οποία έχουν τρεις συνιστώσες. 16
1 Oct 16 Ανεξαρτησία και Ορθογωνιότητα 33 Αν τα μη μηδενικά σήματα t είναι αμοιβαία ορθογώνια, δηλαδή κάθε σήμα είναι ορθογώνιο με οποιοδήποτε άλλο σήμα του συνόλου, τότε είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Η ορθογωνιότητα του t 1 με όλα τα υπόλοιπα σήματα του συνόλου t εκφράζεται ως εξής t, t t t dt 0 1 1 1 1 Προσοχή η αντίστροφη σχέση δεν ισχύει πάντα, δηλαδή αν δύο σήματα είναι γραμμικώς ανεξάρτητα δεν είναι υποχρεωτικά και ορθογώνια. Παράδειγμα 34 Τα διανύσματα στήλες του πίνακα είναι γραμμικώς ανεξάρτητα 1 1 A A1 A A 3 4 6 0 7 Δεν είναι όμως και ορθογώνια AA 1 AA 1 3 AA 3 36 0 0 15 0 17
1 Oct 16 Ορθογώνιος Χώρος 35 Μπορούμε να επιλέξουμε t, t t t dt K, j 1,, j j j j Όπου είναι το δέλτα του Kroecker για το οποίο ισχύει 1 j j 0 j Οι σταθερές είναι μη μηδενικές, K t t t t dt t dt t Ορθοκανονικός Χώρος 36 Αν επιπλέον κανονικοποιήσουμε τα σήματα της βάσης ώστε K 1 η βάση καλείται ορθοκανονική και ο χώρος ορθοκανονικός Αν η t αντιστοιχεί σε κυματομορφή τάσης ή ρεύματος σχετισμένη με αντίσταση 1Ω τότε η σταθερά K είναι η κανονικοποιημένη ενέργεια σε Joules που καταναλίσκεται στο φορτίο σε χρόνο E K t dt 18
1 Oct 16 Παράδειγμα Ορθοκανονικών Σημάτων 37 Τα σήματα jfst t e 0, 1,, s είναι ορθοκανονικά στο διάστημα 1 t t 1 1 1 1, 1s t1s t1s 1 jfst jmfst t, m t t m t dt e e dt t s t 1 s t t 1 t1 s 1 j mfst 0 s t 1 s dt 1 m e dt m Ανάπτυξη σε Ορθογώνια Σήματα 38 Θεωρούμε ένα οποιοδήποτε σήμα t του συναρτησιακού χώρου, ορισμένου στο διάστημα, και επιθυμούμε να το περιγράψουμε με τη βοήθεια ενός διακεκριμένου συνόλου συντελεστών 1 και ενός συνόλου σημάτων που t 1 είναι ορθογώνια 1 ˆ t t t Το σύμβολο ˆ t υποδεικνύει την προσέγγιση του σήματος. Θα μελετήσουμε κάτω από ποιες προϋποθέσεις η προσέγγιση δεν περιέχει σφάλμα. 19
1 Oct 16 Ανάπτυξη σε Ορθογώνια Σήματα 39 Ίσως κάποιος αναρωτηθεί γιατί αναφερόμαστε σε προσέγγιση του αρχικού σήματος και όχι ισότητα με το ίδιο το σήμα. Εδώ πρέπει να υπενθυμίσουμε ο χώρος όλων των σημάτων έχει διάσταση, ενώ εμείς προσπαθούμε να το αναπαραστήσουμε με πεπερασμένο αριθμό ορθογώνιων σημάτων. Αρχικά ορίζουμε το σφάλμα αναπαράστασης ˆ et t t t t Στόχος μας να ελαχιστοποιήσουμε το τετράγωνο του μέτρου του σφάλματος, δηλαδή την ενέργειά του. 1 Ανάπτυξη σε Ορθογώνια Σήματα 40 Αποδεικνύεται ότι το τετραγωνικό σφάλμα ελαχιστοποιείται όταν t t, 1 K t t dt K K Αν επιπλέον τα σήματα ορθοκανονικά τότε K 1 t, t t 1 είναι 0
1 Oct 16 Ανάπτυξη σε Ορθογώνια Σήματα 41 Η ενέργεια στο σφάλμα τότε είναι E em t Αν είναι ορθοκανονικά τότε 1 t, K 1 t K t em ˆ 1 E t E E Ανάπτυξη σε Ορθογώνια Σήματα 4 Θέλουμε m E t Πράγματι αν το σύνολο των ορθοκανονικών σημάτων t είναι τέτοιο ώστε E 1 0 m για οποιοδήποτε σήμα με πεπερασμένη ενέργεια στο διάστημα, τότε λέμε ότι το σύνολο είναι πλήρες στο διάστημα, και συνεπώς 1 t t dt 1 0 1
1 Oct 16 Ανάπτυξη σε Ορθογώνια Σήματα 43 Το σφάλμα είναι ορθογώνιο σε κάθε σήμα της βάσης et, t 0 ή et t ˆ t Το είναι η προβολή του σήματος στο χώρο της βάσης. Αν η βάση είναι πλήρης, τότε E 0 e Ανάπτυξη σε Ορθογώνια Σήματα 44 Επιπλέον αν έχουμε και ένα δεύτερο σήμα του χώρου, για το οποίο τότε yt j j j t t, y t t y t dt t t dt j j j j t j t dt j
1 Oct 16 Ανάπτυξη σε Ορθογώνια Σήματα 45 Στόχος ήταν η ανάπτυξη ενός οποιουδήποτε σήματος του χώρου των σημάτων με χρήση ενός ορθοκανονικού συνόλου σημάτων. Επειδή ο χώρος έχει άπειρες διαστάσεις, μια ορθοκανονική βάση του χώρου θα αποτελείται από άπειρα σήματα. Αν συνεπώς παραλείψουμε κάποιους όρους στο άθροισμα t t 1 τότε παραβιάζεται η έννοια της πληρότητας και η ισότητα παύει να ισχύει. Θεώρημα του Prsevl & Πυθαγόρειο 46 Αν το σύνολο των σημάτων και ορθοκανονικό, τότε t 1 είναι πλήρες, t t dt t t 1 1 Δηλαδή η ολική ενέργεια στο σήμα ισούται με το άθροισμα των ενεργειών κάθε μιας από τις συνιστώσες συναρτήσεις t, t t t t 1 3
1 Oct 16 47 Ευκλείδεια Απόσταση και Συντελεστής Συσχέτισης Έστω δύο σήματα του ίδιου χώρου t t y t y t 1 1 Η Ευκλείδεια απόσταση μεταξύ των 1/ 1/ d, y E y t y t dt y 1 48 Ευκλείδεια Απόσταση και Συντελεστής Συσχέτισης d, y y y y 1 1 yy y y y y y 1 1 y y,, 1 1 E E y y E E y y E Ey Re, y E Ey Re t, y t 4
1 Oct 16 49 Ευκλείδεια Απόσταση και Συντελεστής Συσχέτισης Ορίζουμε το συντελεστή συσχέτισης Αν είναι πραγματικός t t, y t y t cos Re t, y t t, y t t y t EEy d, y E Ey EEy 50 Ευχαριστώ για την προσοχή σας Αθανάσιος Κανάτας Καθηγητής Πανεπιστημίου Πειραιώς Τηλ: +30 10 414759 e ml: kts@up.gr 5