Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β E.M.E. (τεύχος 4) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κώστα Βακαλόουλου ΕΙΣΑΓΩΓΗ Αν κάοιος θέλει να άψει να φοβάται το κεφάλαιο της Τριγωνομετρίας, ρέει ν αοφασίσει να διαβάσει ροσεκτικά τους ορισμούς των αρχικών εννοιών α όοιο βιβλίο κι αν θελήσει. Ειδικά θα ρέει να συνειδητοοιήσει ότι οι τριγωνομετρικοί αριθμοί (ημίτονο, συνημίτονο, ε- φατομένη και συνεφατομένη) μιας γωνίας δεν αφορούν αοκλειστικά οξείες γωνίες αλλά και γωνίες ω με 0 ω 360, είσης γωνίες μεγαλύτερες των 360 αλλά και αρνητικές γωνίες. Εομένως: Οι ορισμοί ου έμαθε στην Β Γυμνασίου και αφορούν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας ο- ξείας γωνίας δεν είναι τελικά οι μόνοι ου υάρχουν. Στην Γ Γυμνασίου αλλά ειδικά στην Α Λυκείου τέθηκαν οι ορισμοί των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας (γενικά) όχι κατ ανάγκη οξείας. Σύμφωνα μ αυτούς, για να οριστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας γωνίας ω ρέει να τοοθετηθεί «κατάλληλα» σ ένα σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων όως φαίνεται στο σχήμα. Συγκεκριμένα, η γωνία ω ταυτίζεται με τη γωνία ου αράγεται αό τον ημιάξονα Οx (αρχική λευρά) όταν στραφεί γύρω αό το Ο κατά την θετική φορά (δηλαδή την αντίθετη των δεικτών του ρολογίου). Η τελική θέση του ημιάξονα Οδ είναι η τελική λευρά της γωνίας. Στη συνέχεια, αν Μ(α,β) τυχαίο σημείο της τελικής λευράς της γωνίας ω θα ισχύει: β ημω ρ α συνω ρ β εφω α τεταγμενη του σημειου Μ αοσταση του Μ αο το Ο τετμημενη του σημειου Μ αοσταση του Μ αο το Ο τεταγμενη του σημειου Μ τετμημενη του σημειου Μ α τετμημενη του σημειου Μ σφω β τεταγμενη του σημειου Μ Προφανώς: ημω Αν συνω 0 τότε εφω και συνω συνω αν ημω 0 τότε σφω. ημω με α 0 με β 0. Εειδή το σημείο Μ είναι τυχαίο και οι αραάνω λόγοι είναι σταθεροί δηλαδή ανεξάρτητοι αό την ειλογή του σημείου Μ (αφού λόγω των ομοίων τριγώνων ου σχηματίζονται οι λόγοι είναι σταθεροί), λαμβάνουμε ως σημείο Μ το σημείο ου η τελική λευρά της γωνίας τέμνει τον κύκλο κέντρου Ο(0,0) και ακτίνας ίση με τη μονάδα μήκους (ρ ) (ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ). Κι αυτό, γιατί; Αλούστατα γιατί λέον οι ροηγούμενοι ορισμοί, ααλλάσσονται αό τον αρανομαστή αφού αυτός ισούται με. Σχήμα Σχήμα Έτσι για το ημίτονο και το συνημίτονο έχουμε: (σχ. ) ημω β (= τεταγμένη του Μ) ΟΜ ρ α β 0. () Ονομάζουμε: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β λε τ./ συνω α (= τετμημένη του Μ) Εύκολα αοδεικνύεται (βλέε αόδειξη σχολικού βιβλίου) ότι η εφω είναι ίση με την τεταγμέ-
νη του σημείου Ε, σημείο ου η τελική λευρά της γωνίας ή η ροέκτασή της τέμνει τον εφατόμενο άξονα του κύκλου στο σημείο Α (σχ. 3). Αντίστοιχα η σφω είναι ίση με την τετμημένη του σημείου Σ, σημείο ου η τελική λευρά της γωνίας ή η ροέκτασή της τέμνει τον εφατόμενο άξονα του κύκλου στο σημείο Β (σχ. 3). Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β E.M.E. (τεύχος 4) (Α.:, 0,, 0 / 0,, 0, /, 0,, 0 / 0,, 0, ) Σχήμα 3 Εομένως: Αν Μ, Ε και Σ τα σημεία του τριγωνομετρικού κύκλου όως αυτά ορίστηκαν ιο άνω ισχύει: ημω y Μ (τεταγμένη του Μ) συνω x Μ (τετμημένη του Μ) εφω y Ε (τεταγμένη του Ε) σφω x Σ (τετμημένη του Σ) ΆΣΚΗΣΗ Ας κάνουμε τώρα μια άσκηση και να εφαρμόσουμε τους αραάνω ορισμούς: Βρείτε τα σημεία Μ, Ε και Σ ου αντιστοιχούν στις γωνίες 0 (0 rad), 90 ( rad), 80 ( rad), 70 ( 3 rad), 360 ( rad) και συμληρώστε τον αρακάτω ίνακα (όως στη ρώτη στήλη): ημ0 0 ημ90 ; ημ80 ; συν0 συν90 ; ; ; ημ70 ; ημ360 ; συν80 ; συν70 συν360 ; ; εφ0 0 εφ90 ; εφ80 ; εφ70 ; εφ360 ; σφ0 σφ90 ; σφ80 ; σφ70 ; σφ360 ; ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Με τη βοήθεια του Τριγωνομετρικού κύκλου εύκολα καταλαβαίνουμε γιατί ισχύουν οι αρακάτω σχέσεις: Για κάθε γωνία ω ισχύει: ημω και συνω, αφού οι τεταγμένες και οι τετμημένες του σημείου Μ όλων των γωνιών στον τριγωνομετρικό κύκλο βρίσκονται μεταξύ των αριθμών και (σχ. ). Για κάθε γωνία ω και για κάθε κ ισχύει: ημ κ 360 ω ημω (ή ημ κ ω ημω ),αφού οι τελικές λευρές των γωνιών: κ 360 ω, (ή κ ω), κ ταυτίζονται με την τελική λευρά της γωνίας ω (ομοίως για τους υόλοιους τριγωνομετρικούς αριθμούς). ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: 33 33 ημ ημ ημ 6 ημ ημ ημ. 6 6. Με τη βοήθεια του τριγωνομετρικού κύκλου μορούμε να αναγάγουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας γωνίας σε τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας ου η τελική της λευρά βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο (χωρίς να χρειάζεται να αομνημονεύσουμε τους αντίστοιχους τύους!). Για τις αντίθετες γωνίες x και x ισχύει: ημx ημx συνx συνx εφx εφx σφx σφx ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β λε τ./
Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β E.M.E. (τεύχος 4) Εεξήγηση Οι γωνίες x και x τέμνουν τον τριγωνομετρικό κύκλο στα σημεία Μ και Μ αντίστοιχα, ου είναι συμμετρικά ως ρος τον άξονα x x και έχουν ίσες τετμημένες και αντίθετες τεταγμένες, δηλ. ίσα συνημίτονα και αντίθετα ημίτονα. Προφανώς θα έχουν αντίθετες εφατομένες και συνεφατομένες. ΑΣΚΗΣΗ Εαληθεύοντας τις μέχρι τώρα γνώσεις σας και με ολύ ροσοχή συμληρώστε τα κενά στους αρακάτω ίνακες εκφράζοντας τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών: x, x, x συναρτήσει των τριγωνομετρικών αριθμών της γωνίας x i) x, x (αραληρωματικές γωνίες) ημ x; συν x; εφ x; σφ x; ρος την διχοτόμο της γωνία xoy, άρα το Μ έχει τετμημένη την τεταγμένη του Μ και τεταγμένη την τετμημένη του Μ δηλ.... ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ (ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ) ημ x ; συν x ; εφ x ; σφ x ; ρος τον άξονα y y, άρα έχουν αντίθετες τετμημένες και ίσες τεταγμένες δηλ.... ii) x, x (γωνίες με διαφορά ) ημ x ; συν x ; εφ x ; σφ x ; ρος την αρχή Ο(0,0) των αξόνων, άρα έχουν α- ντίθετες τετμημένες και αντίθετες τεταγμένες δηλ.... iii) x, x (συμληρωματικές γωνίες) ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β λε τ./3 ) Κατ αρχήν οι ααντήσεις στη αραάνω άσκηση: i) ημx, συνx, εφx, σφx, ii) ημx, συνx, εφx, σφx, iii) συνx, ημx, σφx, εφx. ) Οι αραάνω τύοι εριέχονται στο σχολικό βιβλίο με την μορφή: ημ 80 ω για την ερίτωση (i), ημ80 ω για την ερίτωση (ii) και ημ90 ω για την ερίτωση (iii). 3) Οι αραάνω τύοι: αναγωγής στο ο τεταρτημόριο ισχύουν και για οοιαδήοτε γωνία x. 4) Για τις γωνίες x, 3 x, x και για τις γωνίες 3 x, x εργαζόμαστε όως στο αράδειγμα ου ακολουθεί: iii ημ x ημ x = συν x συνx ii 3 ημ x ημ x iii = ημ x συνx (*) 3 ημ x ημ x = i ημ x ημ x συνx (*) θυμίζουμε ότι: ημ κ x ημx, κ. 5) Γενικά ισχύει: i) Γωνίας, ου η τελική της λευρά βρίσκε-
Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β E.M.E. (τεύχος 4) ται στο ο τεταρτημόριο, οι τριγωνομετρικοί αριθμοί αριθμών της γωνίας ου υολείεται των 80 (ή rad)..χ. συν0 συν80 60 συν60. ii) Γωνίας, ου η τελική της λευρά βρίσκεται στο 3 ο τεταρτημόριο, οι τριγωνομετρικοί αριθμοί αριθμών της γωνίας ου υερβαίνει των 80 (ή rad). 7 3.χ. εφ εφ εφ. 6 6 6 3 iii) Γωνίας, ου η τελική της λευρά βρίσκεται στο 4 ο τεταρτημόριο, οι τριγωνομετρικοί αριθμοί αριθμών της γωνίας ου υολείεται των 360 (ή rad). 5 3.χ. σφ σφ σφ. 3 3 3 3 3. Με τη βοήθεια του τριγωνομετρικού κύκλου μορούμε να λύσουμε τριγωνομετρικές εξισώσεις και ανισώσεις. Ισχύει: x κ θ α ημx α ημx ημθ ή, κ x κ θ (όου θ, γωνία ου έχει ημίτονο α). Εξήγηση: Οι γωνίες x (σε rad) ου έχουν ημίτονο α, δηλ. όσο το ημθ είναι οι γωνίες ου οι τελικές τους λευρές τέμνουν τον κύκλο στο Μ οότε: x κ θ, κ ή στο Μ οότε: x κ θ, κ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ α) Να λυθεί η εξίσωση: ημx () β) Να λυθεί η ανίσωση: ημx () Λύση ημ 6 α) ημx ημx ημ x κ 6 6 ή x κ x κ ή 6 6 5 x κ, κ. 6 β) ημx Σύμφωνα με τον τριγωνομετρικό κύκλο του σχήματος, λύσεις της ανίσωσης () είναι οι γωνίες των οοίων οι τελικές λευρές τέμνουν τον κύκλο σε σημεία του ελάσσονος τόξου ΜΜ δηλ. οι γωνίες x και γενικότερα: 5 6 6 5 κ x κ, κ. 6 6 ΑΡΑ: Λύσεις της αραάνω ανίσωσης είναι οι ραγματικοί αριθμοί x ου ανήκουν στην ένωση των διαστημάτων της μορφής: 5 κ,κ, κ 6 6. ΑΣΚΗΣΗ Μελετώντας ροσεκτικά τον τριγωνομετρικό κύκλο να συμληρώσετε τις λύσεις των αρακάτω εξισώσεων: x ; α συνx α συνx συνθ ή x ; (θ: γωνία με συνημίτονο α) ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β λε τ./4
Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β E.M.E. (τεύχος 4) α εφx α εφx εφθ x ; (θ: γωνία με εφατομένη α) α σφx α σφx σφθ x ; (θ: γωνία με συνεφατομένη α) (Α.: x κ θ ή x κ θ / x κ θ / x κ θ, κ ) 3 4 B ημ ημ : ημ ημ 5 5 5 5 7) Να λυθεί η εξίσωση: 3εφ x εφx. εφ x 6 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ ) Να αοδειχθεί η ισοδυναμία: εφx εφy ημy συνx. ) Αν α,β δείξτε ότι: (i) 4ημα συνα 5, (ii) (ii) 4αημx 5βσυνx 4 α 5 β. 3) Να ειλύσετε (ως ρος x) τις εξισώσεις: x ημα συνα x ημα συνα 0. (i) (ii) (iii) x x ημ α 0. x 0. ημα συνα x 4) Να υολογιστεί η τιμή των αραστάσεων: ημ 70 συν70 Α εφ080 3συν080 7 ημ εφ Β 7 συν εφ 5) i) Ν αλοοιηθεί η αράσταση: 3 3 ημ x συν xεφ x Α. ημ x ii) Ν αοδείξετε ότι: 7 3 ημ συν 7 x ημ x συνx. 3 συν 9 ημ x 6) Να υολογιστούν οι τιμές των αραστάσεων: Α ημ 36 ημ 54 ημ 8 ημ 7 ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β λε τ./5