ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ ΩΜΤΡΙ ΘΜ o ΙΩΝΙΣΜ. Να αποδείξετε ότι : Ι) διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΙΙ) ν μια διάμεσος τριγώνου είναι ίση με το μισό της πλευράς στην οποία αντιστοιχεί, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την πλευρά αυτή.. ν οι γωνίες ω 00 x και φ 0 x έχουν τις πλευρές τους κάθετες τότε το x ισούται με ) 40 ) 45 ) 50 ) 55 ) 0 3. ν σε ένα ισοσκελές τρίγωνο A A είναι : η γωνία είναι διπλάσια της τότε η γωνία ) 40 ) 30 ) 7 ) 36 ) 40 4. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης () μα ένα μόνο στοιχείο της στήλης (). Στήλη Στήλη. Ορθογώνιο. υο απέναντι πλευρές είναι παράλληλες και παραλληλόγραμμο άνισες. Τραπέζιο. Οι διαγώνιες είναι ίσες και τέμνονται κάθετα 3. Ρόμβος 3. ίναι παραλληλόγραμμο και όλες οι πλευρές του είναι ίσες 4. Τετράγωνο 4. Το άθροισμα των γωνιών του είναι 400 5. Οι διαγώνιες είναι ίσες ΘΜ. ν τα ύψη και τέμνονται στο Ο να δείξετε ότι : I. Το τρίγωνο BOείναι ισοσκελές. II. A OB OB. III. είναι παράλληλη με τη.. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο A A. Στο τραπέζιο είναι A 90 και B 60. ν x και 8x η διάμεσος του τραπεζίου ισούται με :. 3x. 4x. 5x. 6x. 7x Ζ 60
ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ ΘΜ 3 Σε ισοσκελές τρίγωνο A A προεκτείνουμε τις ίσες πλευρές τους προς το μέρος της κορυφής και πάνω στις προεκτάσεις παίρνουμε τμήματα AE AZ. ν η διχοτόμος του να δειχθεί ότι: α. Το τρίγωνο Ζ είναι ισοσκελές β. Τα τρίγωνα και Ζ είναι ίσα γ. Τα τρίγωνα Ζ και είναι ίσα ΘΜ 4 Σε ένα παραλληλόγραμμο είναι A 0 και η διχοτόμος της γωνίας τέμνει την στο μέσον της. Να αποδειχθούν τα ακόλουθα: Ι) AB A ΙΙ) E AZ όπου Ζ η απόσταση του από τη και ΙΙΙ) A 90 ΘΜ ΠΝΤΣΙΣ. (Σχολικό βιβλίο σελ. 09).. Ισχύουν οι προτάσεις : δυο οξείες ή αμβλείες γωνίες που έχουν τις πλευρές τους μια προς μια παράλληλες (κάθετες) είναι ίσες. Mια οξεία και μια αμβλεία γωνία που έχουν τις πλευρές τους μια προς μια παράλληλες (κάθετες) είναι παραπληρωματικές. ρα ωφ00 x 0 x x 40 πάντηση : ) 3. Το τρίγωνο AB A ισοσκελές B φ και B φ A.πειδή φ φ AB 80 φφ 80 φ 80 5φ 360 φ 7 πάντηση : ) 4. πάντηση : 5,, 3 3, 4 ΘΜ. A I. Το A ισοσκελές AB A και B. Τα ορθογώνια, έχουν : { κοινή, B από () } άρα B OB OB δηλαδή Ο το τρίγωνο BO είναι ισοσκελές.
ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ II. Στο ισοσκελές B 80 80 80 (). Στα ορθογώνια, ισχύει : 90 '' '' 80 80 80 90 III. πειδή = O B. () = και = άρα -=- = A ισοσκελές και 80 80 80 80 (3) Ομοια στο A ισοσκελές B 80 80 80 80 (4) πό (3),(4) : (δυο εντός εκτός και επί τα αυτά γωνίες ίσες ) είναι παράλληλη με τη. Φέρνω το ύψος του τραπεζίου. Το είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο αφού έχει τις απέναντι πλευρές παράλληλες και μια γωνία ορθή. Άρα AH x. πίσης στο ορθογώνιο η 30 = 8x HB HB 4x. πομένως AB x 4x 6x 6x x 8x EZ 4x Ζ 60 πάντηση : ) ΘΜ 3 α. Συγκρίνω τα τρίγωνα Ζ και. υτά έχουν: κοινή AZ AE (υπόθ.) Ζ ˆ ˆ (γιατί Ζ ˆ ˆ ˆ φ και ˆ ˆ ˆ φ με ως κατακορυφήν). Άρα οπότε Z E και (). β. Τα τρίγωνα και Ζ έχουν: E Z (από το προηγούμενο) 3
ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ EB Z (διότι EB AB AE Z A AZ και AB A, AE AZ ) Άρα γ. Τα τρίγωνα Ζ και έχουν: B (διότι η είναι διχοτόμος του ισοσκελούς τριγώνου άρα και διάμεσος και ύψος). Z E 3 4 (διότι 0, 0 3 90 4 90 με γιατί ισχύει ZA AE ) Άρα. ΘΜ 4 Ι) διχοτόμος της γωνίας φ. πίσης E (εντός εναλλάξ των //). Άρα E το ισοσκελές. Οπότε AB AE A AB A. Z Θ ΙΙ) Φέρνουμε.πειδή το τρίγωνο είναι ισοσκελές A AE το μέσο της. Τα τρίγωνα, Ζ έχουν: {ορθογώνια, κοινή, HA AZ 60 } E HA Ζ άρα AZ H E AZ ΙΙΙ) προέκταση της τέμνει την στο Θ. Το τρίγωνο Θ είναι ισόπλευρο,γιατί κάθε γωνία AB του είναι 60.πομένως A A διάμεσος του τριγώνου και ίση με το μισό της αντίστοιχης πλευράς. Άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο A90 o ΙΩΝΙΣΜ ΘΜ Να αποδείξετε ότι : η διάμεσος Ζ τραπεζίου διέρχεται από τα μέσα Κ και Λ των διαγωνίων του και το τμήμα ΚΛ είναι παράλληλο προς τις βάσεις του και ίσο με την ημιδιαφορά των βάσεών του.. Το μέτρο της γωνίας ω στο παρακάτω σχήμα είναι : ) 00 ) 0 ) 30 ) 40 ) 0 55 Z ω 95 60 4
ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ. Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο και το ύψος του.ν Μ είναι το μέσον της και Ν μέσο της τότε η περίμετρος του τετραπλεύρου ΜΝ ισούται με :. +. +. +. Μ. ++. Μ 3. Να χαρακτηρίσετε με (Σ) ή (Λ) τις παρακάτω προτάσεις : Ν ΘΜ A) Eνα τετράπλευρο που έχει δυο απέναντι πλευρές ίσες είναι παραλλ\μο. Σ Λ B) Το ευθύγραμμο τμήμα που έχει άκρα τα μέσα δυο πλευρών ενός τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της. Σ Λ C) υο γωνίες με πλευρές κάθετες μια προς μια είναι πάντα ίσες. Σ Λ D) υο κατακορυφήν γωνίες είναι πάντα παραπληρωματικές. Σ Λ E) Ένα τρίγωνο μπορεί να έχει το πολύ μια ορθή γωνία. Σ Λ F) ν από το μέσο μιας πλευράς ενός τριγώνου φέρουμε την παράλληλη προς μια πλευρά του, τότε η ευθεία αυτή διέρχεται από το μέσο της τρίτης πλευράς του. Σ Λ G) Ορθογώνιο λέγεται κάθε παραλλ\μο που έχει μια ορθή γωνία. Σ Λ. Να αποδείξετε ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου και τα μέσα των πλευρών ορθογωνίου είναι κορυφές ρόμβου.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν: A. Οι διαδοχικές γωνίες του είναι συμπληρωματικές. B. Οι απέναντι γωνίες του είναι συμπληρωματικές. C. Οι διαδοχικές γωνίες του είναι παραπληρωματικές. D. Οι απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωματικές. E. υο απέναντι γωνίες του είναι ίσες. ν τα τόξα έχουν και έχουν μέτρα 0, 30αντίστοιχα τότε η γωνία ω έχει μέτρο :. 30. 0. 5. 50. 0 0. Ο ω 30 ΘΜ 3. Σε τρίγωνο και ύψος, Μ διάμεσος προεκτείνουμε την κατά τμήμα K A και την Μ κατά τμήμα MN AM. είξτε ότι BK N και ΚΝ // (δηλ. ΝΚ ισοσκελές τραπέζιο). 5
ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ. διχοτόμος τριγώνου A συναντά τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου στο Μ.ν Ι είναι τι έγκεντρο του A,να αποδείξετε ότι : MB MI. ΘΜ 4 Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο A AB A και το μέσον της. Στην προέκταση της προς το παίρνουμε τμήμα A και στην προέκταση του προς το τμήμα BE BH. ευθεία τέμνει την στο Ζ. είξτε ότι : ) A B AB. ) Το ισοσκελές. ) Το Ζ μέσο του. ΠΝΤΣΙΣ ΘΜ. (Σχολικό βιβλίο σελ. 3 ).. Στο ορθογώνιο ισχύει 90 55 90 90 55 55 Z ω 95 60 35. Στο E 80 95 60 80 80 95 60 5 Στο 80 0, ως κατακορυφήν. πάντηση : ) 80 80 5 35 3. Στο ορθογώνια A, A B ισχύουν: MMB MA και NA N N Μ πάντηση : ) Ν 4. A, B, C, D, E, F, G 6
ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ ΘΜ Ν K Μ Λ. Στο τρίγωνο τα Κ, Ν είναι μέσα των, άρα NK / / () Στο τρίγωνο τα Λ, Μ είναι μέσα των, άρα M // () πό τις σχέσεις (),() ΝΚ // =ΜΛ (δυο απέναντι πλευρές παράλληλες και ίσες) ΚΛΜΝ παραλληλόγραμμο. Κ Ζ Ρ Στο τρίγωνο τα, Ζ είναι μέσα των, άρα EZ / / (3).Όμοια KH / /, KE / /, HZ / / (4) και BA (5) άρα το ΖΚ παραλληλόγραμμο και επειδή έχει δυο διαδοχικές πλευρές ίσες Ζ=Κ ( από 3,4,5) το ΖΚ ρόμβος.. πάντηση : C) 30 0 3. πάντηση : ) 5 (Σχολικό, εφαρμογή σελ 5) ΘΜ 3. ίναι K άρα μέσο του Κ άρα διάμεσος στο ABK ABK εφόσον Κ.ρα το ABK ισοσκελές δηλαδή AB BK (). Μ διάμεσος του AB άρα BM.ίναι όμως και ύψος του M. φόσον AM MN έχουμε ότι οι διαγώνιοι του τετραπλεύρου Ν διχοτομούνται. Κ Μ Ν Άρα Ν παραλληλόγραμμο οπότε N AB (). πό τις (), () BK N. Στο AKN τα, Μ είναι τα μέσα των πλευρών Κ, Ν αντίστοιχα άρα Μ // ΚΝ δηλ. ΚΝ //. Άρα ΝΚ ισοσκελές τραπέζιο. 7
ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ 3 Ι. διχοτόμος της γωνίας A A A A () A,B Οι εγγεγραμμένες στο M B A 4 A B ().φόσον (I) έγκεντρο Ι διχοτόμος της Μ B 3 (3). Τότε A B IBM BB 4. BIM εξωτερική γωνία του ABI 3 A B (5). πό (4), (5) MBI MIB B M ισοσκελές BM MI. BIM A B 3 3 ΘΜ 4 E φ 3 φ 45 H φ Z ) Το A δηλ. A ισοσκελές AB A φ To () H A ισοσκελές τρίγωνο AB εξωτερική του AB AAφ AB φ AB AB AB AB. AB ) Το BE BH BEH ισοσκελές τρίγωνο H (3) Στο AB εξωτερική στο BEH AB H E φ H φ H 4 Ισχύει H ως κατακορυφήν (4) 3 HΖ ισοσκελές. ) AH 90 και πό A ορθογώνιο με 3 90 HA 90 φ. Άρα 3 90 = HAZ Το ισοσκελές Ζ =Z (5) και επειδή H ισοσκελές ς Ζ =Z (6). πό (5),(6) Ζ =Ζ Το Ζ μέσο του. 8
ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ ΘΜ 3 o ΙΩΝΙΣΜ. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι ορθές.. α. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις.. ύο γωνίες με πλευρές κάθετες μία προς μία, είναι πάντοτε παραπληρωματικές Σ Λ. Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι μεγαλύτερη από την αντίστοιχη εσωτερική γωνία του τριγώνου Σ Λ 3. Σε ορθογώνιο τρίγωνο οι δύο πλευρές είναι τα ύψη του Σ Λ β. Ένα σημείο απέχει από μια ευθεία ε απόσταση ίση με α. Ο κύκλος με κέντρο το και ακτίνα 3α. εφάπτεται της ε. τέμνει την ε 3. δεν έχει κοινά σημεία με την ε 4. έχει περισσότερα από δύο κοινά σημεία με την ε (Κυκλώστε τη σωστή απάντηση) ΘΜ. Τα παρακάτω τρίγωνα είναι ίσα. Τα μέτρα μερικών πλευρών και γωνιών των δύο τριγώνων φαίνονται στα σχήματα: Να βρείτε το μέτρο της γωνίας x.. Στο σχήμα η γωνία ω είναι διπλάσια από τη γωνία x. Να βρείτε το μέτρο της γωνίας x. 9
ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ ΘΜ 3. Έστω ένα τρίγωνο. Οι διχοτόμοι, της γωνίας του και της εξωτερικής γωνίας στο τέμνονται στο Ζ. Να δείξετε ότι:.. Θεωρούμε τη γωνία x y και ένα σημείο Μ της διχοτόμου της ΟΖ. Στις πλευρές της Οx και Οy παίρνουμε αντίστοιχα τα σημεία και έτσι ώστε: x y. Να δείξετε ότι η ΟΖ είναι μεσοκάθετος του ευθύγραμμου τμήματος. ΘΜ 4 Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ( 90 0 ) με 30 0. Έξω από αυτό κατασκευάζουμε το ισόπλευρο τρίγωνο. Οι και τέμνονται στο. Να δείξετε ότι:. //. Το είναι το μέσο του τμήματος 0