ΔΙΑΛΕΞΗ 7 η H ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ (ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΗ ΑΞΙΑ)

ΔΙΑΛΕΞΗ 7 η H ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ (ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΗ ΑΞΙΑ)

ΜΕΡΟΣ Β ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΗ ΑΞΙΑ ΣΗΜΕΡΙΝΟΥ ΠΟΣΟΥ

Να βρεθεί η τελική αξία κεφαλαίου 180.000, που ανατοκίζεται κάθε 6 μήνες για 10 έτη με ετήσιο επιτόκιο 8%. Αν στο τέλος των 5 πρώτων ετών προεξοφληθεί το κεφάλαιο που βρέθηκε, ποιά θα είναι η παρούσα αξία του και ποιό το προεξόφλημα; Λύση : Αν θεωρήσουμε το 8% ετήσιο ανάλογο του εξαμηνιαίου, τότε το εξαμηνιαίο θα είναι : i /2 = 0,08/2=0,04, n = 10 έτη = 20 εξάμηνα O γενικός τύπος είναι ο Cn = Co ( 1 + i/2) n Cn = Co ( 1 + i/2) 20 = 180.000 x ( 1 + 0,04) 20 = =180.000 x 2,1912 = 394.416. Αν το κεφάλαιο Κn προεξοφληθεί 5 έτη πριν τη λήξη του θα γίνει : Κ = Κn ( 1 + 0,04 ) -10 διότι τα 5 έτη = 10 εξάμηνα Κ = 394.416 x 0,6756 = 266.467,44. Αρα το προεξόφλημα, δηλαδή οι τόκοι των 5 τελευταίων ετών, θα είναι Ε = 394.416-266.467,44 = 127.948,56.

Άσκηση: Να βρείτε το (σημερινό) ποσό που αν ανατοκισθεί ανά τρίμηνο θα γίνει μετά από 5 έτη και 2 μήνες 333.417,09, αν το τριμηνιαίο επιτόκιο είναι 6%. Λύση: i = 0,06, Kn = 333.417,09, Ζητάται το Κο = ; n = 5 έτη + 2 μήνες = 20 τρίμηνα + 2/3 του τριμήνου. Kn = Ko ( 1 + i ) n άρα Ko = Kn/ (1 + i ) n = Kn ( 1 + i ) -n Αρα Κο = 333.417,09 (1 + 0,06 )- (20 + 2/3 ) = 333.417,09 x 1,06-20 x 1,06-2/3 = 333.417,09 x 1,06-20 x 1,06-1+1/3 = 333.417,09 x 1,06-21 x 1,06 1/3

Για να υπολογίσω το ακριβές ποσό που προκύπτει θα σκεφτώ ως εξής: Για να βρω τον αριθμό 1,06 με εκθέτη -2/3 τεχνική Το -2/3 μπορεί να γραφτεί και ως (-3/3 + 1/3) = 1 + 1/3 εφαρμόζω τώρα την εξής Από τον πίνακα του βιβλίου σελ. 337, για την 1,06-21 δηλαδή για επιτόκιο 6% και 21 έτη δίνει 0,2941554 Συνεπώς, έχω: 333.417,09 x 1,06-21 x 1,06 4/12 = 333.417,09 x 0,2941554 x 1,0196128= 100.000.

Θα προτιμούσατε 1000 ν.μ. σήμερα ή 2300 ν.μ. μετά 7 χρόνια; Το προεξοφλητικό επιτόκιο είναι 8%. Λύση: Η 1η μέθοδος επίλυσης είναι η αναγωγή του σημερινού ποσού σε μελλοντικές αξίες. FV = PV (1 + r) n = 1.000 1 + 0,08 7 = 1.000 1,713824 = 1.713,824 H μελλοντική αξία υπολογίζεται μικρότερη από 2.300, επομένως είναι προτιμητέες οι 2.300 ν.μ στο μέλλον.

Η 2 η μέθοδος επίλυσης είναι η αναγωγή του μελλοντικού ποσού σε παρούσες αξίες. Α τρόπος: (υπολογισμός παρούσας αξίας μέσω συντελεστή προεξόφλησης): PV = FV PVIF n, r = 2.300 PVIF 7,8% = 2.300 0,58349 = 1.342,03 Β τρόπος: (υπολογισμός παρούσας αξίας μέσω τύπου): PV = FV 2.300 (1+r) n = = 2.300 (1+0,08) 7 1,713824 = 1.342,03 Και με τους 2 τρόπους, η παρούσα αξία των 2.300 ν.μ. υπολογίζεται μεγαλύτερη από 1.000, άρα προτιμώνται οι 2.300 ν.μ. στο μέλλον (7 έτη). Το συμπέρασμα συνάδει με αυτό της 1 ης μεθόδου.

Συμφωνείτε με μια τράπεζα να δανειστείτε 1.000.000 ν.μ. σήμερα και μετά από 10 χρόνια από σήμερα να πληρώσετε 1.967.432 ν.μ. Ποιο είναι το ετήσιο επιτόκιο με το οποίο σας επιβαρύνει η τράπεζα; Λύση: Η 1η μέθοδος επίλυσης είναι η εξαγωγή του επιτοκίου μέσω των τρόπων υπολογισμού μελλοντικών αξιών. (υπολογισμός επιτοκίου μέσω τύπου για μελλοντικές αξίες): FV = PV 1 + r n 1.967.432 = 1.000.000 1 + r 10 1 + r 10 = 1.967.432 1.000.000 1 + r 10 = 1,967432 1 + r = 10 1,967432 1 + r = 1,967432 0,10 1 + r = 1,07 r = 7%

Συμφωνείτε με μια τράπεζα να δανειστείτε 1.000.000 ν.μ. σήμερα και μετά από 10 χρόνια από σήμερα να πληρώσετε 1.967.432 ν.μ. Ποιο είναι το ετήσιο επιτόκιο με το οποίο σας επιβαρύνει η τράπεζα; Λύση: Η 2η μέθοδος επίλυσης είναι η εξαγωγή του επιτοκίου μέσω των τρόπων υπολογισμού παρουσών αξιών. Α τρόπος: (υπολογισμός επιτοκίου μέσω συντελεστή προεξόφλησης για παρούσες αξίες): PV = FV PVIF n, r 1.000.000 = 1.967.432 PVIF 10, r PVIF 10, r = 1.000.000 1.967.432 = 0,5082768

Συμφωνείτε με μια τράπεζα να δανειστείτε 1.000.000 ν.μ. σήμερα και μετά από 10 χρόνια από σήμερα να πληρώσετε 1.967.432 ν.μ. Ποιο είναι το ετήσιο επιτόκιο με το οποίο σας επιβαρύνει η τράπεζα; Λύση: Η 3η μέθοδος επίλυσης είναι η εξαγωγή του επιτοκίου μέσω των τρόπων υπολογισμού παρουσών αξιών. (υπολογισμός επιτοκίου μέσω τύπου για παρούσες αξίες): PV = FV 1+r n 1 + r n = FV PV 1 + r 10 = 1.967.432 1.000.000 = 1,967432 1 + r = 10 1,967432 1 + r = 1,967432 0,10 1 + r = 1,07 r = 7%

ΑΣΚΗΣΗ Σας δίνεται η δυνατότητα να αποκτήσετε ένα ποσό 1.000 ν.μ. σήμερα ή ένα μελλοντικό ποσό Χ σε 10 χρόνια από σήμερα. Με ποιο ποσό Χ θα ήταν αδιάφορη η απάντηση ως προς την επιλογή του ενός από τα δύο ποσά; Κάτω από ποιες συνθήκες θα απορρίπτατε την πληρωμή του ποσού Χ σε 10 χρόνια. Αιτιολογείστε την απάντηση σας (επιλέξτε ένα επιτόκιο προεξόφλησης για τις παραδοχές σας). Λύση: Επιλέγουμε κάποιο επιτόκιο το οποίο θα χρησιμοποιήσουμε για τη μελέτη της περίπτωσης αυτής, έστω i=5%. Υπολογισμός μελλοντικής αξίας FV = PV (1 + r) n = 1.000 (1 + 0,05) 10 = 1.628,89 Επομένως, με αυτό το ποσό θα ήμασταν αδιάφοροι ως προς τις 1.000 ν.μ. σήμερα, αν το επιτόκιο (προεξόφλησης) στην αγορά ήταν 5%.

Βάσει της θεωρίας, αν το μελλοντικό ποσό αυτό ήταν χαμηλότερο, θα προτιμούσαμε τις 1.000 μονάδες τώρα, επειδή χαμηλότερο μελλοντικό ποσό θα σήμαινε απόδοση μικρότερη από 5%. Πχ. αν FV = 1.600 Τότε FV = PV 1 + r n 1.600 = 1.000 1 + r 10 1 + r 10 = 1.600 1.000 = 1,6 1 + r = 10 1,6 1 + r = 1,6 0,1 = 1,048 r = 4,8% (δηλ. χαμηλότερη απόδοση από το επιτόκιο της αγορφς)

Αν όμως το μελλοντικό ποσό ήταν υψηλότερο, θα προτιμούσαμε αυτό το μελλοντικό ποσό κι όχι τις 1.000 ν.μ. σήμερα, επειδή υψηλότερο μελλοντικό ποσό θα σήμαινε απόδοση μεγαλύτερη από 5%. Πχ. αν FV = 1.700 Τότε FV = PV 1 + r n 1.700 = 1.000 1 + r 10 1 + r 10 = 1.700 1.000 = 1,7 1 + r = 10 1,7 1 + r = 1,7 0,1 = 1,0545 r = 5,45% (δηλ. υψηλότερη απόδοση από το επιτόκιο της αγοράς )

Ας υποθέσουμε ότι η χρονική αξία του χρήματος είναι 15%. Ποια είναι η δόση που πρέπει να καταβάλλουμε στο τέλος του κάθε χρόνου και για 20 χρόνια από σήμερα για να εισπράξουμε 1.000.000 ν.μ. στο τέλος του 20 ου έτους; Λύση: Γνωρίζω την Παρούσα Αξία (και το επιτόκιο) και επιθυμώ να βρω τη δόση. Α τρόπος (υπολογισμός δόσης μέσω συντελεστή προεξόφλησης): FVAn n, r = A CVIFAn n, r 1.000.000 = A CVIFAn 20, 15% 1.000.000 = A 102,443583 A = 1.000.000 102,443583 = 9.761,47

Σας δίνεται η δυνατότητα να αποκτήσετε ένα ποσό 1.000 ν.μ. σήμερα ή ένα μελλοντικό ποσό Χ σε 10 χρόνια από σήμερα. Το επιτόκιο προεξόφλησης είναι 5%. Με ποιο ποσό Χ θα ήταν αδιάφορη η απάντηση ως προς την επιλογή του ενός από τα δύο ποσά; Αιτιολογείστε την απάντηση σας. Λύση: Το ποσό των 1000 νομισματικών μονάδων δεν είναι άλλο από την Παρούσα Αξία (Present Value) η οποία συνεπώς είναι γνωστή. Βάσει των δεδομένων i = 5% και PV = 1000 έχουμε: Υπολογισμός μελλοντικής αξίας FV = PV (1 + i) n = 1.000 (1 + 0,05) 10 = 1.628,89 Επομένως, με αυτό το ποσό θα ήμασταν αδιάφοροι ως προς τις 1.000 ν.μ. σήμερα, αν το επιτόκιο (προεξόφλησης) στην αγορά ήταν 5%. Αν το FV έβγαινε πάνω από 1628,89 θα συνέφερε να αποκτήσουμε το μελλοντικό ποσό και όχι να πάρουμε τις 1000 ν.μ. στο παρόν