Εἰσηγητής: Ἀπόστολος Γιαννόπουλος

Γεωμετρία τῶν ἰσοτροπικῶν λογαριθμικὰ-κοίλων μέτρων Διδακτορικὴ Διατριβή Βεατρίκη- Ελένη Βριτσίου Τμῆμα Μαθηματικῶν ΕΚΠΑ Ἀθήνα 203

Εἰσηγητής: Ἀπόστολος Γιαννόπουλος

Περιεχόμενα Εὐχαριστίες v Ἀποτελέσματα τῆς διατριβῆς vii Εἰσαγωγὴ καὶ βασικὲς ἔννοιες. Κυρτὰ σώματα καὶ χῶροι πεπερασμένης διαστάσεως μὲ νόρμα............ 3.2 Βασικὰ ἀποτελέσματα καὶ ἐργαλεῖα τῆς θεωρίας τῶν κυρτῶν σωμάτων........ 7.3 Λογαριθμικὰ-κοῖλα μέτρα................................ 3.3. Γενικὸς ὁρισμὸς τῆς ἰσοτροπικῆς σταθερᾶς.................. 7.3.2 Σύνδεσις μέτρων καὶ σωμάτων......................... 20.4 Βασικὰ ἀποτελέσματα καὶ ἐργαλεῖα τῆς θεωρίας τῶν ἰσοτροπικῶν σωμάτων καὶ μέτρων 27.4. Τὰ L q -κεντροειδῆ σώματα καὶ οἱ ῥοπὲς τῆς Εὐκλείδειας νόρμας....... 27.4.2 Ο λογαριθμικὸς μετασχηματισμὸς Laplace.................. 33.4.3 Σύνδεσις τῶν δύο μεθόδων........................... 34 2 Μία ἀναγωγὴ τῆς εἰκασίας τοῦ ὑπερεπιπέδου σὲ ὁλοκληρώματα νορμῶν τῶν κεντροειδῶν σωμάτων 39 2. Η παράμετρος I (, Zq ()) καὶ κάποιες πρῶτες ἐκτιμήσεις............. 39 2.2 Η ἀναγωγή....................................... 45 2.3 2-κανονικὰ ἰσοτροπικὰ κυρτὰ σώματα μὲ μεγιστικὴ ἰσοτροπικὴ σταθερά....... 50 2.4 Η μέθοδος τῶν Δαφνῆ καὶ Παούρη.......................... 57 2.5 Μία παραλλαγὴ τῆς ἀναγωγῆς............................. 60 2.6 Τελικὲς παρατηρήσεις.................................. 63 3 Ο ὄγκος τῶν κεντροειδῶν σωμάτων καὶ μία δεύτερη ἀναγωγὴ τῆς εἰκαiii

Περιεχομενα σίας τοῦ ὑπερεπιπέδου 67 3. Συνδυάζοντας τὶς μεθόδους τῶν Δαφνῆ καὶ Παούρη καὶ τῶν lartag καὶ Milman. 67 3.2 Κάτω φράγμα γιὰ τὸν ὄγκο τοῦ Z p (µ) γιὰ κάθε p r H (µ, A)............ 74 3.3 Σύγκρισις τῶν βασικῶν παραμέτρων καὶ ἄλλες παρατηρήσεις............. 77 4 Μία γεωμετρικὴ ἀπόδειξις τῆς ἀντίστροφης ἀνισότητος Santaló 85 4. Η ἱστορία τῆς ἀνισότητος καὶ ἡ σχέσις της μὲ τὴν M-θέσι τοῦ Milman....... 85 4.2 Ἀριθμοὶ καλύψεως στὴν ἰσοτροπικὴ θέσι........................ 90 4.3 Η μέθοδος τῶν κυρτῶν διαταραχῶν τοῦ lartag................... 93 4.4 Ἀπόδειξις τῆς ἀντίστροφης ἀνισότητος Santaló.................... 95 4.5 Υπαρξις M-ἐλλειψοειδῶν καὶ ἡ ἀντίστροφη ἀνισότητα Brunn-Minkowski...... 98 Ἀναφορές 03 iv

Εὐχαριστίες Εὐχαριστῶ πολὺ τὸν ἐπιβλέποντα καθηγητή μου κ. Ἀπόστολο Γιαννόπουλο γιὰ τὴν ἀδιάκοπη βοήθειά του σὲ ὅλα τὰ στάδια τοῦ διδακτορικοῦ, καὶ κυρίως γιὰ τὴν καθοδήγησί του στὶς πρῶτες μου ἐρευνητικὲς προσπάθειες στὸν κλάδο τῆς Ἀσυμπτωτικῆς Κυρτῆς Γεωμετρίας. Τὸν εὐχαριστῶ ἐπειδὴ μοῦ δίδαξε πόσο ἐνδιαφέρουσα, πλούσια ἀλλὰ καὶ δύσκολη μπορεῖ νὰ εἶναι ἡ ἔρευνα σὲ αὐτὸν τὸν κλάδο καὶ γενικότερα στὰ Μαθηματικά. Εὐχαριστῶ ἐπίσης ὅλους τοὺς καθηγητές μου στὸ Τμῆμα Μαθηματικῶν γιὰ ὅλα ὅσα μοῦ ἔμαθαν. Τέλος, θὰ ἤθελα νὰ εὐχαριστήσω τοὺς γονεῖς μου καὶ τὴν ἀδερφή μου ποὺ μὲ στήριξαν σὲ εὔκολες καὶ δύσκολες στιγμὲς κατὰ τὴν διάρκεια τοῦ διδακτορικοῦ καὶ νὰ τοὺς ἀφιερώσω αὐτὴν τὴν διατριβή. v

Ἀποτελέσματα τῆς διατριβῆς Τὰ ἀποτελέσματα ποὺ παρουσιάζονται σὲ αὐτὴν τὴν διατριβὴ ἀνήκουν στὴν θεωρία τῶν ἰσοτροπικῶν κυρτῶν σωμάτων ἤ, πιὸ γενικά, τῶν ἰσοτροπικῶν λογαριθμικὰ-κοίλων μέτρων. Κυρτὸ σῶμα στὸν R n θὰ λέμε ἕνα ὑποσύνολο τοῦ R n τὸ ὁποῖο εἶναι κυρτό, συμπαγὲς καὶ μὲ μή κενὸ ἐσωτερικό. Ενα κυρτὸ σῶμα στὸν R n λέμε ὅτι εἶναι ἰσοτροπικὸ ἂν ἔχει ὄγκο, ἔχει κέντρο βάρους τὸ 0, δηλαδὴ ἰσχύει x, y dx = 0 γιὰ κάθε y Rn, καὶ ἂν ὑπάρχει μία θετικὴ σταθερὰ L τέτοια ὥστε x, y 2 dx = L 2 y 2 2 γιὰ κάθε y R n. Η σταθερὰ L ὀνομάζεται ἰσοτροπικὴ σταθερὰ τοῦ σώματος. Ἀντίστοιχα, ἕνα Borel μέτρο µ στὸν R n λέγεται λογαριθμικὰ-κοῖλο ἄν, γιὰ κάθε δύο μὴ κενά, συμπαγῆ ὑποσύνολα A, B τοῦ R n καὶ γιὰ κάθε λ (0, ), ἰσχύει µ(λa + ( λ)b) µ(a) λ µ(b) λ. Ενα πεπερασμένο λογαριθμικὰ-κοῖλο μέτρο µ εἶναι ἀπολύτως συνεχὲς ὡς πρὸς τὸ μέτρο Lebesgue καὶ ἔχει μία λογαριθμικὰ-κοίλη πυκνότητα f µ : R n [0, + ), δηλαδὴ μία πυκνότητα γιὰ τὴν ὁποία ἰσχύει f µ (λx + ( λ)y) (f µ (x)) λ (f µ (y)) λ γιὰ κάθε δύο σημεῖα x, y R n καὶ γιὰ κάθε λ (0, ). Λέμε ἕνα πεπερασμένο λογαριθμικὰ-κοῖλο μέτρο µ στὸν R n ἰσοτροπικό, καὶ γράφουμε µ IL [n], ἂν τὸ µ εἶναι μέτρο πιθανότητος, δηλαδὴ µ(r n ) =, ἂν ἔχει κέντρο βάρους τὸ 0, δηλαδὴ ἰσχύει R n x, y dµ(x) = 0 γιὰ κάθε y R n, καὶ ἂν ἱκανοποιεῖ τὴν ἰσοτροπικὴ συνθήκη γιὰ κάθε y R n. R n x, y 2 dµ(x) = y 2 2 Στὴν περίπτωσι τῶν ἰσοτροπικῶν λογαριθμικὰ-κοίλων μέτρων, ὁρίζουμε τὴν ἰσοτροπικὴ σταθερὰ L µ τοῦ μέτρου µ στὸν R n θέτοντας L µ := ( ) /n sup f µ (x), x R n ὅπου f µ ἡ λογαριθμικὰ-κοίλη πυκνότητα τοῦ µ ὡς πρὸς τὸ μέτρο Lebesgue. vii

Περιεχομενα Ενα ἀπὸ τὰ γνωστότερα προβλήματα τῆς θεωρίας τῶν ἰσοτροπικῶν κυρτῶν σωμάτων ἢ λογαριθμικὰκοίλων μέτρων εἶναι ἡ εἰκασία τοῦ ὑπερεπιπέδου ἢ τὸ πρόβλημα τῆς ἰσοτροπικῆς σταθερᾶς, δηλαδὴ τὸ ἐρώτημα τοῦ ἂν ὑπάρχει μία σταθερὰ C > 0 ὥστε γιὰ κάθε n νὰ ἰσχύει L n := sup{l µ : µ ἰσοτροπικὸ λογαριθμικὰ-κοῖλο μέτρο στὸν R n } C. Παρατηροῦμε ὅτι, ἂν εἶναι ἰσοτροπικὸ κυρτὸ σῶμα στὸν R n, τότε, ἐξαιτίας τῆς ἀνισότητος Brunn- Minkowski, τὸ μέτρο µ μὲ πυκνότητα x L n (x), ὅπου εἶναι ἡ χαρακτηριστικὴ συνάρτησις τοῦ κυρτοῦ σώματος L L L, εἶναι ἰσοτροπικὸ λογαριθμικὰ-κοῖλο μέτρο στὸν R n καὶ L µ = L ἀπὸ αὐτὸ προκύπτει ὅτι sup{l : ἰσοτροπικὸ κυρτὸ σῶμα στὸν R n } L n. Εἶναι ὅμως γνωστὸ (βλέπε [2]) ὅτι ὑπάρχει καὶ μία ἀπόλυτη σταθερὰ C ὥστε γιὰ κάθε n νὰ ἔχουμε L n C sup{l : ἰσοτροπικὸ κυρτὸ σῶμα στὸν R n }. Ο Bourgain [9] ἔχει δείξει ὅτι L n C 4 n log n γιὰ κάποια ἀπόλυτη σταθερὰ C, καὶ ὁ lartag [27] ὅτι L n C 4 n (βλέπε ἐπίσης [29]). Κύριος σκοπὸς τοῦ Κεφαλαίου 2 εἶναι νὰ παρουσιάσουμε μία ἀναγωγὴ τῆς εἰκασίας τοῦ ὑπερεπιπέδου στὴν μελέτη μίας παραμέτρου ἡ ὁποία μπορεῖ νὰ ὁριστεῖ γιὰ κάθε κυρτὸ σῶμα ὄγκου ἢ γιὰ κάθε λογαριθμικὰ-κοῖλο μέτρο πιθανότητος ἡ ἀναγωγὴ αὐτὴ εἶναι κοινὴ δουλειὰ μὲ τοὺς Γιαννόπουλο καὶ Παούρη [2]. Γιὰ νὰ ὁρίσουμε τὴν βασικὴ παράμετρο, ὑπενθυμίζουμε πρῶτα τὸν ὁρισμὸ τῶν L q - κεντροειδῶν σωμάτων ἑνὸς κυρτοῦ σώματος R n ὄγκου ἢ ἑνὸς λογαριθμικὰ-κοίλου μέτρου πιθανότητος µ στὸν R n : γιὰ κάθε q, τὸ L q -κεντροειδὲς σῶμα Z q () τοῦ ὁρίζεται ὡς τὸ κυρτὸ σῶμα στὸν R n ποὺ ἔχει συνάρτησι στηρίξεως ( h Zq()(y) := x, y q dx) /q, y R n, ἐνῷ ἀντίστοιχα τὸ L q -κεντροειδὲς σῶμα Z q (µ) τοῦ µ ὁρίζεται ὡς τὸ κυρτὸ σῶμα μὲ συνάρτησι στηρίξεως ( ) /q h Zq(µ)(y) := x, y q dµ(x), y R n. R n Υπενθυμίζουμε ἐπίσης τὸν ἑξῆς συμβολισμό: ἂν C εἶναι ἕνα συμμετρικὸ κυρτὸ σῶμα στὸν R n καὶ p ( n, + ), p 0, γράφουμε ( I p (, C) := ) /p ( ) /p x p C dx καὶ I p (µ, C) := x p C dµ(x). R n Η παράμετρος ποὺ μελετοῦμε στὸ Κεφάλαιο 2 τῆς παρούσας διατριβῆς εἶναι ἕνα ὁλοκλήρωμα τῆς παραπάνω μορφῆς: γιὰ κάθε q καὶ γιὰ κάθε κυρτὸ σῶμα ὄγκου θέτουμε I (, Zq ()) := h Zq()(x)dx, viii

Περιεχομενα ὅπου ὁ συμβολισμὸς δικαιολογεῖται ἀπὸ τὸ γεγονὸς ὅτι ἡ συνάρτησις στηρίξεως τοῦ Z q () ταυτίζεται μὲ τὴν νόρμα ποὺ ἐπάγεται ἀπὸ τὸ πολικὸ τοῦ Z q (). Περιγράφουμε τώρα τὰ κύρια ἀποτελέσματα τοῦ Κεφαλαίου 2. Ορισμὸς Α. Εστω παράμετροι κ, τ > 0. Θὰ λέμε ὅτι ἕνα ἰσοτροπικὸ κυρτὸ σῶμα στὸν R n εἶναι (κ, τ)-κανονικὸ ἂν log N(, td n ) κn log4 n t 2 γιὰ κάθε t τ log 3/2 n, ὅπου D n εἶναι ἡ Εὐκλείδεια μπάλα στὸν R n ὄγκου. Στὸ [4] οἱ Δαφνὴς καὶ Παούρης ἔχουν δείξει ὅτι, γιὰ κάποιες ἀπόλυτες σταθερὲς κ, τ, δ > 0 καὶ γιὰ κάθε n, ὑπάρχουν (κ, τ)-κανονικὰ ἰσοτροπικὰ κυρτὰ σώματα στὸν R n μὲ τὴν πρόσθετη ἰδιότητα ὅτι L δl n. Η ἀναγωγὴ στὸ Κεφάλαιο 2 στηρίζεται στὴν ὕπαρξι αὐτῶν τῶν σωμάτων. Θεώρημα Α. Υπάρχει μία ἀπόλυτη σταθερὰ ρ (0, ) μὲ τὴν ἀκόλουθη ἰδιότητα: γιὰ κάθε κ, τ, γιὰ κάθε (κ, τ)-κανονικὸ ἰσοτροπικὸ κυρτὸ σῶμα στὸν R n, ὅπου n n 0 (κ, τ), καὶ γιὰ κάθε q [2, n] μὲ τὴν ἰδιότητα I (, Z q ()) ρnl 2, ἔχουμε ὅτι L C κ 4 n q log2 n max {, } I (, Zq ()) qnl 2, ὅπου C εἶναι μία ἀπόλυτη σταθερά. Εφ ὅσον ἀπὸ τὸ ἀποτέλεσμα τῶν Δαφνῆ καὶ Παούρη γνωρίζουμε ὅτι ὑπάρχουν (κ, τ)-κανονικὰ ἰσοτροπικὰ κυρτὰ σώματα στὸν R n μὲ L δl n, τὸ παραπάνω θεώρημα δίνει ἕνα ἄνω φράγμα καὶ γιὰ τὴν σταθερὰ L n τὸ ὁποῖο ἐξαρτᾶται ἀπὸ τὸ πῶς συμπεριφέρεται ὁ λόγος I (, Zq ())/ qnl 2. Γιὰ παράδειγμα, ἐφαρμόζοντας τὸ Θεώρημα Α γιὰ ἕνα τέτοιο ἰσοτροπικὸ κυρτὸ σῶμα καὶ γιὰ q = 2, καὶ δεδομένου ὅτι I (, Z 2 ()) nl 2 ἀπὸ τὴν ἰσοτροπικὴ συνθήκη γιὰ τὸ, λαμβάνουμε ὅτι L n δ L C 4 n log 2 n γιὰ κάποια ἀπόλυτη σταθερὰ C. Η συμπεριφορὰ ὅμως τοῦ I (, Zq ()) θὰ μποροῦσε ἴσως νὰ μᾶς ἐπιτρέψει νὰ χρησιμοποιήσουμε καὶ μεγαλύτερα q. Παρακάτω ἀναφέρουμε κάποιες πρῶτες ἐκτιμήσεις γιὰ τὸ I (, Zq ()), ἢ γενικότερα τὸ I (, Zq (M)) ὅπου M R n ἕνα κυρτὸ σῶμα ὄγκου ἐπίσης. Θεώρημα Β. Εστω, M ἰσοτροπικὰ κυρτὰ σώματα στὸν R n. Τότε ὑπάρχουν ἀπόλυτες σταθερὲς c, c 2, c 3 > 0 ὥστε, γιὰ κάθε 2 q n, c max { nl L M, qn, R(Z q (M))L } I (, Z q (M)) c 2 q nl L M (ὅπου R(C) := max{ x 2 : x C} εἶναι ἡ ἀκτίνα ἑνὸς σώματος C), καὶ ταυτόχρονα, γιὰ κάθε 2 q n, I (, Z q (M)) c 3 max { nl L M, qnl M }. ix

Περιεχομενα Επιπλέον, ὅταν M εἶναι μία ὀρθογώνια εἰκόνα τοῦ, ἔχουμε ὅτι ( ) /q I q (, Z q (U())) dν(u) c 4 max{ qn, q 5/2 / n}l 2 O(n) γιὰ κάποια ἀπόλυτη σταθερὰ c 4, ὅπου O(n) εἶναι ἡ ὁμάδα τῶν ὀρθογωνίων μετασχηματισμῶν καὶ ν τὸ μέτρο πιθανότητος Haar σὲ αὐτήν, ἑπομένως I (, Z q (U())) c 4 qnl 2 γιὰ κάθε 2 q n μὲ πιθανότητα e q. Τέλος, ἂν τὰ, M εἶναι unconditional σώματα, τότε, γιὰ κάποιες ἀπόλυτες σταθερὲς c 5, c 6 καὶ γιὰ κάθε 2 q n, c 5 qn I (, Z q (M)) c 6 qn log n. Στὸ Κεφάλαιο 3 παραλλάσσουμε μία μέθοδο τῶν lartag καὶ E. Milman ἀπὸ τὸ [29], τὴν ὁποία χρησιμοποίησαν γιὰ νὰ δώσουν κάτω φράγματα γιὰ τὸν ὄγκο τῶν L q -κεντροειδῶν σωμάτων Z q (µ) ἑνὸς λογαριθμικὰ-κοίλου μέτρου πιθανότητος µ μὲ κέντρο βάρους τὸ 0, καί, συνδυάζοντάς την μὲ ἀποτελέσματα ἀπὸ τὸ [53] καθῶς καὶ τὴν κύρια παράμετρο τῆς ἀναγωγῆς τῶν Δαφνῆ καὶ Παούρη στὸ [4], δείχνουμε πῶς μπορεῖ κάποιος νὰ ἐπεκτείνει τὸ διάστημα τῶν q γιὰ τὰ ὁποῖα ἰσχύει τὸ ἐπιθυμητὸ κάτω φράγμα καὶ ταυτόχρονα, ὑπὸ προϋποθέσεις, νὰ βελτιώσει κατὰ ἕναν λογαριθμικὸ ὅρο τὸ ἄνω φράγμα γιὰ τὴν L n ποὺ δίνει ἡ ἀναγωγὴ τῶν Δαφνῆ καὶ Παούρη. Υπενθυμίζουμε πρῶτα σύντομα τὸ τί δίνουν οἱ μέθοδοι τῶν lartag καὶ E. Milman στὸ [29] καὶ τῶν Δαφνῆ καὶ Παούρη στὸ [4]. Πρὸς τοῦτο, χρειάζεται νὰ θυμηθοῦμε τὶς παραμέτρους q (µ) καὶ q c (µ, δ), δ, ποὺ μπορεῖ κάποιος νὰ ἀντιστοιχίσει μὲ κάθε µ IL [n], δηλαδὴ κάθε ἰσοτροπικὸ λογαριθμικὰ-κοῖλο μέτρο µ στὸν R n : ἡ πρώτη ὁρίζεται ἀπὸ τὸν Παούρη (βλέπε π.χ. [52]) ὡς q (µ) := sup{ q n : k (Z q (µ)) q} ὅπου k (Z q (µ)) εἶναι ἡ δυϊκὴ διάστασις Dvoretzky τοῦ συμμετρικοῦ κυρτοῦ σώματος Z q (µ) (βλέπε ἀναλυτικοὺς ὁρισμοὺς στὸ Κεφάλαιο ), ἐνῷ ἡ δεύτερη εἰσάγεται ἀπὸ τοὺς Δαφνὴ καὶ Παούρη στὸ [4] ὡς q c (µ, δ) := max{ q n : I q (µ, B n 2 ) δ I 2 (µ, B n 2 ) = δ n}. Ενα ἀπὸ τὰ κύρια ἀποτελέσματα στὸ [4] εἶναι ὅτι, γιὰ κάθε δ, L n Cδ sup µ IL [n] n q c (µ, δ) log2( en ). q c (µ, δ) Ἀπὸ τὴν ἄλλη πλευρά, οἱ lartag καὶ E. Milman ὁρίζουν μία κληρονομικὴ παραλλαγὴ τῆς παραμέτρου q (µ) ὡς ἑξῆς: q H (µ) := n inf k q (π E µ) inf, E G n,k k x

Περιεχομενα ὅπου π E µ εἶναι τὸ περιθώριο μέτρο τοῦ µ ὡς πρὸς τὸν k-διάστατο ὑπόχωρο E τοῦ R n, καὶ ἀποδεικνύουν ὅτι ὑπάρχει μία ἀπόλυτη σταθερὰ c > 0 ὥστε νὰ ἰσχύει p Z p (µ) /n c n γιὰ κάθε p q H (µ) καὶ γιὰ κάθε µ IL [n]. Επεται ὕστερα, λόγῳ καὶ ἑνὸς ἀποτελέσματος τοῦ Παούρη στὸ [53], ὅτι L µ Z n (µ) /n n C Z /n q H (µ)(µ) q H (µ) γιὰ κάθε µ IL [n], ἀπὸ ὅπου προκύπτει ἕνα ἄνω φράγμα καὶ γιὰ τὴν L n. Θυμόμαστε ἐπίσης τὰ ἀκόλουθα. Παρατήρησις Α. (α) Ἀπὸ τὰ ἀποτελέσματα τοῦ Παούρη στὰ [52] καὶ [53], γιὰ κάθε ἰσοτροπικὸ λογαριθμικὰ-κοῖλο μέτρο µ στὸν R n καὶ γιὰ κάθε δ δ 0, ὅπου δ 0 μία ἀπόλυτη σταθερά, ἰσχύει ὅπου c, c 2 > 0 ἀπόλυτες σταθερές. c n q H (µ) q (µ) c 2 q c (µ, δ), (β) Υπάρχουν ἰσοτροπικὰ λογαριθμικὰ-κοῖλα μέτρα µ στὸν R n γιὰ τὰ ὁποῖα ἰσχύει q (µ) q H (µ) n, ἐνῷ, ὅπως προκύπτει ἀπὸ τὰ ἀποτελέσματα τῶν Δαφνῆ καὶ Παούρη στὸ [4], ἀκόμη καὶ γιὰ αὐτὰ τὰ μέτρα θὰ μποροῦσε τὸ q c (µ, δ ), γιὰ κάποια ἀπόλυτη σταθερὰ δ, νὰ εἶναι ἀνάλογο τοῦ n. Στὸ Κεφάλαιο 3 παρουσιάζουμε δύο νέες κληρονομικὲς παραμέτρους ἀπὸ τὸ [67]. Η πρώτη παράμετρος προκύπτει, κατὰ τὸν τρόπο τῶν lartag καὶ Milman, ὡς μία «κληρονομικὴ» παραλλαγὴ τῆς παραμέτρου q c (µ, δ) ποὺ ὅρισαν οἱ Δαφνὴς καὶ Παούρης: θέτουμε q H c(µ, δ) := n inf k q c (π E µ, δ) inf E G n,k k Γιὰ νὰ ὁρίσουμε τὴν δεύτερη κληρονομικὴ παράμετρο, ὁρίζουμε πρῶτα τὴν ἐξῆς παράμετρο r (µ, A) := max{ k n : E G n,k τέτοιος ὥστε L πe µ A} γιὰ κάθε λογαριθμικὰ-κοῖλο μέτρο πιθανότητος µ στὸν R n καὶ γιὰ κάθε σταθερὰ A. Στὴν συνέχεια θέτουμε r H (µ, A) := n inf k r (π E µ, A) inf E G n,k k (ὅπου συμφωνοῦμε ὅτι r (π Rθ µ, A) = q c (π Rθ µ, A) = γιὰ ὅλα τὰ μονοδιάστατα περιθώρια μέτρα). Τὸ ἀκόλουθο θεώρημα ἀπὸ τὸ [67] ἰσχύει γιὰ κάθε ἰσοτροπικὸ λογαριθμικὰ-κοῖλο μέτρο µ στὸν R n. Θεώρημα Γ. Υπάρχουν ἀπόλυτες σταθερὲς C, C 2 > 0 ἔτσι ὥστε, γιὰ κάθε µ IL [n] καὶ κάθε A, νὰ ἰσχύει r H (µ, A) qh c(µ, C A) r H (µ, C 2A). xi

Περιεχομενα Επιπροσθέτως, γιὰ κάθε p r H (µ, A) ἔχουμε ὅτι Z p (µ) /n c A p n, ὅπου c > 0 εἶναι μία ἀπόλυτη σταθερά. Πόρισμα Α. Οπως καὶ πρίν, γιὰ κάθε A μποροῦμε νὰ γράψουμε L n = sup L µ CA µ IL [n] sup µ IL [n] r H n CA (µ, A) sup µ IL [n] q H c ( n ). µ, C C 2 A Αὐτὸ σημαίνει ὅτι τὸ Θεώρημα Γ ὁδηγεῖ σὲ μία δεύτερη ἀναγωγὴ τῆς εἰκασίας τοῦ ὑπερεπιπέδου στὴν μελέτη τῶν παραμέτρων r H(µ, A) καὶ qh c(µ, A), καὶ ἄρα καὶ τῶν ἀρχικῶν παραμέτρων r (µ, A) καὶ q c (µ, A), ἡ ὁποία λειτουργεῖ συμπληρωματικὰ πρὸς τὴν ἀναγωγὴ τῶν Δαφνῆ καὶ Παούρη [4] στὴν μελέτη τῆς παραμέτρου q c (µ, A). Πρὸς τὴν ἄλλη κατεύθυνσι, ἕνα «κακὸ» ἄνω φράγμα γιὰ τὶς παραμέτρους r (µ, A) καὶ q c (µ, A) δίδεται ἀπὸ τὴν ἀκόλουθη πρότασι. Πρότασις Β. Υπάρχουν ἰσοτροπικὰ λογαριθμικὰ-κοῖλα μέτρα µ στὸν R n μὲ L µ L n τὰ ὁποῖα ἔχουν τὴν ἰδιότητα, γιὰ κάθε λ (0, ) καὶ γιὰ κάθε θετικὸ ἀκέραιο k = λn, νὰ ἰσχύει (0.0.) L πe µ C λ Lµ γιὰ ὁποιονδήποτε ὑπόχωρο E G n,k, ὅπου C εἶναι μία ἀπόλυτη σταθερά. Τέλος, στὸ Κεφάλαιο 4 παρουσιάζουμε μία καθαρὰ γεωμετρικὴ ἀπόδειξι τῆς ἀντίστροφης ἀνισότητος Santaló ἡ ὁποία εἶναι κοινὴ δουλειὰ μὲ τοὺς Γιαννόπουλο καὶ Παούρη [22]. Ας θυμηθοῦμε ὅτι ἡ ἀντίστροφη ἀνισότητα Santaló, ἢ ἀνισότητα Bourgain-Milman [2], λέει ὅτι ὐπάρχει μία ἀπόλυτη σταθερὰ c > 0 ὥστε, γιὰ κάθε κυρτὸ σῶμα στὸν R n ποὺ περιέχει τὸ 0 στὸ ἐσωτερικό του, νὰ ἰσχύει s() := c n B n 2 2. Εἶναι γνωστὸ ὅτι ἀρκεῖ νὰ δείξουμε τὴν παραπάνω ἀνισότητα γιὰ κυρτὰ σώματα μὲ κέντρο βάρους τὸ 0, καὶ εἶναι ἐπίσης γνωστὸ ὅτι τὸ γινόμενο ὄγκων s() = δὲν μεταβάλλεται ἂν ἐφαρμόσουμε ἕναν ἀντιστρέψιμο γραμμικὸ μετασχηματισμὸ στὸ. Επομένως, γιὰ τὴν ἀπόδειξι ποὺ παρουσιάζουμε στὸ Κεφάλαιο 4 ὑποθέτουμε ἀρχικῶς ὅτι τὸ εἶναι σὲ ἰσοτροπικὴ θέσι. Επικαλούμενοι ἕνα λῆμμα τῆς Χαρτζουλάκη [25] τὸ ὁποῖο μᾶς δίνει ἄνω φράγματα γιὰ τοὺς ἀριθμοὺς καλύψεως N(, tb2 n ), t > 0, ὅταν τὸ εἶναι ἰσοτροπικό, δείχνουμε τὸ ἑξῆς ἀποτέλεσμα. Θεώρημα Δ. Εστω ἕνα κυρτὸ σῶμα στὸν R n ποὺ περιέχει τὸ 0 στὸ ἐσωτερικό του. Τότε, γιὰ κάποια ἀπόλυτη σταθερὰ c > 0, ἔχουμε ὅτι 2n(s()) /n n(s( )) /n c L, xii

Περιεχομενα ὅπου L εἶναι ἡ ἰσοτροπικὴ σταθερὰ ὁποιασδήποτε ἰσοτροπικῆς εἰκόνας τοῦ (εἶναι γνωστὸ ὅτι ὅλες αὐτὲς οἱ ἰσοτροπικὲς σταθερὲς ταυτίζονται). Η πρώτη ἀνισότητα προκύπτει ἀπὸ τὴν ἀνισότητα Rogers-Shephard [59]. Επειτα, χρησιμοποιῶντας τὴν μέθοδο τῶν κυρτῶν διαταραχῶν μέσῳ τοῦ λογαριθμικοῦ μετασχηματισμοῦ Laplace ἑνὸς μέτρου µ, τὴν ὁποία εἰσήγαγε ὁ lartag στὸ [27], δείχνουμε τὸ ἀκόλουθο Θεώρημα Ε. Εστω ἕνα συμμετρικὸ κυρτὸ σῶμα στὸν R n. Υπάρχει ἕνα κυρτὸ σῶμα Q στὸν R n τέτοιο ὥστε (α) c 2 Q Q c 3 καὶ (β) L Q c 4 / n(s()) /n, ὅπου c 2, c 3, c 4 > 0 εἶναι ἀπόλυτες σταθερές. Δεδομένου ὅτι τὰ καὶ Q Q ἔχουν ἀπολύτως φραγμένη γεωμετρικὴ ἀπόστασι, προκύπτει ὅτι (s()) /n (s(q Q)) /n. Μποροῦμε ἔπειτα νὰ ἐφαρμόσουμε τὸ Θεώρημα Δ γιὰ νὰ συμπεράνουμε ὅτι L Q c /(n(s())/n ). Συνδυάζοντάς το αὐτὸ μὲ τὸ (β) τοῦ Θεωρήματος Ε, λαμβάνουμε τὴν ἀντίστροφη ἀνισότητα Santaló γιὰ τὰ συμμετρικὰ κυρτὰ σώματα, καὶ ἑπομένως ἀπὸ τὴν ἀνισότητα Rogers-Shephard καὶ γιὰ ὅλα τὰ σώματα. Συμπληρώνουμε αὐτὴν τὴν παρουσίασι δείχνοντας στὴν Παράγραφο 4.5 πῶς, ἀπὸ τὴν ἀντίστροφη ἀνισότητα Santaló ὅπως αὐτὴ ἀποδεικνύεται στὴν Παράγραφο 4.4, τὴν κλασσικὴ ἀνισότητα Blaschke-Santaló, καὶ βασικὲς ἰδιότητες τῶν ἀριθμῶν καλύψεως, μποροῦμε νὰ δείξουμε τὴν ὕπαρξι M-ἐλλειψοειδῶν καὶ τὴν ἀντίστροφη ἀνισότητα Brunn-Minkowski τοῦ V. Milman. Η ἀντίστροφη πορεία εἶναι γνωστὴ στὸν κλάδο: ἡ ὕπαρξις M-ἐλλειψοειδῶν μαζὶ μὲ βασικὲς ἰδιότητες τῶν ἀριθμῶν καλύψεως συνεπάγονται τὴν ἀντίστροφη ἀνισότητα Santaló καὶ μία ἀντίστοιχη ἀσυμπτωτικὴ ἐκδοχὴ τῆς ἀνισότητος Blaschke-Santaló. Τὸ εἰσαγωγικὸ Κεφάλαιο δὲν περιέχει καινούρια ἀποτελέσματα. Γιὰ τὶς ἀποδείξεις αὐτῶν τῶν ἀποτελεσμάτων, ὁ ἀναγνώστης μπορεῖ νὰ ἀνατρέξει στὰ βιβλία [47], [56], [62] καὶ [3]. Επίσης, ἡ Παράγραφος 2.3 περιέχει τὴν ἀπόδειξι τῶν Δαφνῆ καὶ Παούρη γιὰ τὸ [4, Θεώρημα 5.7] μεταφρασμένη στὴν γλώσσα τῶν κυρτῶν σωμάτων, καὶ στὴν Παράγραφο 2.4 περιγράφουμε ἐπιγραμματικὰ τὴν μέθοδό τους στὸ [4]. xiii

Κεφαλαιο Εἰσαγωγὴ καὶ βασικὲς ἔννοιες Εργαζόμαστε στὸν R n, ὁ ὁποῖος εἶναι ἐφοδιασμένος μὲ μία Εὐκλείδεια δομή,,. Συμβολίζουμε μὲ 2 τὴν ἀντίστοιχη Εὐκλείδεια νόρμα, μὲ B n 2 τὴν Εὐκλείδεια μοναδιαία μπάλα καὶ μὲ Sn τὴν μοναδιαία σφαίρα. Γράφουμε GL(n) γιὰ τὴν ὁμάδα τῶν ἀντιστρεψίμων γραμμικῶν μετασχηματισμῶν τοῦ R n, καὶ (καταχρηστικὰ) SL(n) γιὰ τοὺς μετασχηματισμοὺς ἐκείνους ποὺ ἔχουν ὁρίζουσα ±, δηλαδὴ SL(n) = {T GL(n) : det T = }. Επίσης μὲ O(n) συμβολίζουμε τὴν ὁμάδα τῶν ὀρθογωνίων μετασχηματισμῶν τοῦ R n, δηλαδὴ τῶν ἀντιστρεψίμων ἐκείνων μετασχηματισμῶν ποὺ ὁ συζυγής τους καὶ ὁ ἀντίστροφός τους ταυτίζονται. Τὸ ἀναλλοίωτο ὡς πρὸς ὀρθογωνίους μετασχηματισμοὺς μέτρο πιθανότητος στὴν S n συμβολίζεται μὲ σ, ἐνῷ ἡ πολλαπλότητα Grassmann G n,k τῶν k-διαστάτων ὑποχώρων τοῦ R n εἶναι ἐφοδιασμένη μὲ τὸ μέτρο πιθανότητος Haar ν n,k. Εστω k n καὶ F G n,k : συμβολίζουμε μὲ Proj F τὴν ὀρθογώνια προβολὴ ἀπὸ τὸν R n στὸν F ἐπίσης, θέτουμε B F := B n 2 F καὶ S F := S n F. Ο ὄγκος (μέτρο Lebesgue) συμβολίζεται μὲ. Τὶς περισσότερες φορές, ὅταν γράφουμε A F ἢ Proj F (A) γιὰ κάποιο ὑποσύνολο A τοῦ R n καὶ κάποιον k-διάστατο ὐπόχωρό του F, θὰ ἐννοοῦμε τὸν ὄγκο ποὺ ἔχουν τὰ A F καὶ Proj F (A) μέσα στὸν ὑπόχωρο F καὶ ὄχι ὠς ὑποσύνολα τοῦ R n ὁρισμένες φορές, γιὰ νὰ μὴν ὑπάρχει κίνδυνος συγχύσεως, θὰ γράφουμε καὶ A F k ἢ Proj F (A) k. Αν A R n μὲ θετικὸ πεπερασμένο ὄγκο, γράφουμε A γιὰ τὴν ὁμοιοθετικὴ εἰκόνα ὄγκου τοῦ A A, δηλαδὴ τὸ σύνολο. Επίσης, γράφουμε ω A /n n γιὰ τὸν ὄγκο τῆς B2 n καὶ θυμόμαστε ὅτι ὑπάρχουν ἀπόλυτες (δηλαδὴ ἀνεξάρτητες τῆς διαστάσεως) θετικὲς σταθερὲς c, c 2 > 0 ἔτσι ὥστε /n n c n ω n c 2 n. Επομένως ἡ Εὐκλείδεια μπάλα ὄγκου, τὴν ὁποία ἐκτὸς ἀπὸ B 2 θὰ συμβολίζουμε καὶ μὲ D n, ἔχει ἀκτίνα περίπου ἴση μὲ n. Μὲ τὰ γράμματα c, c, c, c 2, κλπ., θὰ συμβολίζουμε ἀπόλυτες θετικὲς σταθερές, τῶν ὁποίων οἱ τιμὲς μπορεῖ νὰ ἀλλάζουν ἀπὸ γραμμὴ σὲ γραμμή. Οποτεδήποτε γράφουμε a b γιὰ κάποιες ποσότητες a καὶ b ποὺ σχετίζονται μὲ κυρτὰ σώματα ἢ μέτρα στὸν R n, ἐννοοῦμε ὅτι ὑπάρχουν ἀπόλυτες σταθερὲς c, c 2 > 0, ἀνεξάρτητες τῆς διαστάσεως ἢ ὁποιασδήποτε ἄλλης παραμέτρου, τέτοιες ὥστε c a b c 2 a θὰ χρησιμοποιοῦμε ἐπίσης τοὺς συμβολισμοὺς a b καὶ a b ἐννοῶντας a c b καὶ b c 2 a ἀντιστοίχως. Παρομοίως, ἂν, L R n, θὰ γράφουμε L ἂν ὑπάρχουν ἀπόλυτες

Κεφαλαιο : Εἰσαγωγὴ καὶ βασικὲς ἔννοιες σταθερὲς c, c 2 > 0 ἔτσι ὥστε c L c 2. Κυρτὸ σῶμα στὸν R n θὰ λέμε ἕνα ὑποσύνολο τοῦ R n τὸ ὁποῖο εἶναι κυρτό, συμπαγὲς καὶ μὲ μή κενὸ ἐσωτερικό. Λέμε ὅτι τὸ εἶναι συμμετρικὸ ἂν γιὰ κάθε x ἔχουμε καὶ ὅτι x. Λέμε ὅτι ἕνα κυρτὸ σῶμα ἔχει κέντρο βάρους τὸ 0, δηλαδὴ τὴν ἀρχὴ τῶν ἀξόνων, ἂν ἰσχύει x, y dx = 0 γιὰ κάθε y Rn. Σὲ αὐτὴν τὴν περίπτωσι λέμε ἐπίσης ὅτι τὸ ἔχει βαρύκεντρο τὸ 0 ἢ ὅτι εἶναι κεντραρισμένο. Γενικά, τὸ κέντρο βάρους ἑνὸς κυρτοῦ σώματος μπορεῖ νὰ ὁριστεῖ ὡς τὸ διάνυσμα bar() := xdx = ( ) x, e dx,..., x, e n dx, ὅπου {e,..., e n } εἶναι ἡ συνήθης ὀρθοκανονικὴ βάσις στὸν R n. Κύριο ἀντικείμενο σχεδὸν ὅλων τῶν προβλημάτων καὶ ἀποτελεσμάτων ποὺ θὰ ἐξετάσουμε σὲ αὐτὴν τὴν διατριβὴ εἶναι μία εἰδικὴ κατηγορία κυρτῶν σωμάτων, τὰ ἰσοτροπικὰ κυρτὰ σώματα. Ενα κυρτὸ σῶμα στὸν R n λέμε ὅτι εἶναι ἰσοτροπικό, ἢ ὅτι βρίσκεται σὲ ἰσοτροπικὴ θέσι, ἂν ἔχει ὄγκο, ἔχει κέντρο βάρους τὸ 0 καὶ ὑπάρχει μία θετικὴ σταθερὰ L τέτοια ὥστε (.0.) x, y 2 dx = L 2 y 2 2 γιὰ κάθε y R n. Εἶναι γνωστὸ ὅτι γιὰ κάθε κυρτὸ σῶμα στὸν R n ὑπάρχει μία μεταφορὰ κατὰ ἕνα σημεῖο x R n καὶ ἕνας μετασχηματισμὸς T GL(n) ὥστε τὸ = T ( + x) νὰ εἶναι ἰσοτροπικό. Μάλιστα κάθε ἄλλη ἰσοτροπικὴ εἰκόνα τοῦ εἶναι ἕνας ὀρθογώνιος μετασχηματισμὸς τοῦ, ἐνῷ ἀπὸ τὴν ἰσοτροπικὴ συνθήκη (.0.) βλέπουμε ὅτι, ἂν ἐφαρμόσουμε στὸ ἰσοτροπικὸ σῶμα ἕναν ὀρθογώνιο μετασχηματισμὸ U, ἡ εἰκόνα U( ) ποὺ προκύπτει εἶναι ἐπίσης ἰσοτροπικὸ σῶμα καὶ μάλιστα ἔχει τὴν ἴδια ἰσοτροπικὴ σταθερὰ μὲ τὸ. Επομένως, θὰ μπορούσαμε χωρὶς κίνδυνο συγχύσεως νὰ ἀντιστοιχίσουμε τὴν ἰσοτροπικὴ σταθερὰ ἑνὸς ἰσοτροπικοῦ κυρτοῦ σώματος σὲ ὅλη του τὴν ἀφινικὴ κλάση, καὶ γι αὐτὸ συχνὰ θὰ ἀναφερόμαστε στὴν ἰσοτροπικὴ σταθερὰ ἑνὸς κυρτοῦ σώματος χωρὶς νὰ ὑποθέτουμε ὅτι αὐτὸ τὸ σῶμα βρίσκεται σὲ ἰσοτροπικὴ θέσι (οὔτε κάν ὅτι ἔχει ὄγκο ἢ βαρύκεντρο τὸ 0). Στὴν συνέχεια θὰ δοῦμε καὶ ἕναν ἀλλον τρόπο ὁρισμοῦ τῆς ἰσοτροπικῆς σταθερᾶς, ποὺ μᾶς ἐπιτρέπει, δοθέντος ἑνὸς κυρτοῦ σώματος, νὰ ὑπολογίσουμε τὴν ἰσοτροπική του σταθερὰ χωρὶς νὰ τὸ φέρουμε σὲ ἰσοτροπικὴ θέσι, ἐνῷ ταυτόχρονα, καὶ εἶναι αὐτὸ ἴσως ποὺ ἔχει μεγαλύτερη σημασία, μᾶς ἐπιτρέπει νὰ γενικεύσουμε κατὰ ἕνα φυσιολογικὸ τρόπο τὴν ἔννοια τῆς ἰσοτροπικῆς σταθερᾶς καὶ στὸν χῶρο τῶν μέτρων. Ενα ἀκόμη ἐνδιαφέρον χαρακτηριστικὸ ποὺ ἔχουν τὰ ἰσοτροπικὰ κυρτὰ σώματα προκύπτει ἀπὸ τὴν ἀκόλουθη παρατήρησι: ἂν εἶναι ἕνα κεντραρισμένο κυρτὸ σῶμα ὄγκου στὸν R n, τότε γιὰ κάθε μοναδιαία διεύθυνσι θ S n ἰσχύει ὅτι ( (.0.2) /2 x, θ dx) 2 θ, ὅπου μὲ θ συμβολίζουμε τὸν ὑπόχωρο ποὺ εἶναι κάθετος στὸ διάνυσμα θ καί, ὅπως ἐξηγήσαμε καὶ πρίν, μὲ τὸ θ ἐννοοῦμε τὸν ὄγκο σὲ n διαστάσεις. Επεται λοιπὸν ὅτι, ἂν τὸ βρίσκεται 2

Κεφαλαιο : Εἰσαγωγὴ καὶ βασικὲς ἔννοιες σὲ ἰσοτροπικὴ θέσι, τότε ὅλες του οἱ τομὲς μὲ ὑπερεπίπεδα ποὺ διέρχονται ἀπὸ τὸ 0 (δηλαδὴ ἀπὸ τὸ κέντρο βάρους του) ἔχουν περίπου τὸν ἴδιο ὄγκο, καὶ αὐτὸ τὸ «περίπου», δηλαδὴ τὸ πόσο κοντὰ στὸ εἶναι ὁ λόγος θ / θ 2 γιὰ δύο θ, θ 2 S n, δὲν ἐξαρτᾶται ἀπὸ τὸ οὔτε ἀπὸ τὴν διάστασι τοῦ χώρου. Ενα ἀπὸ τὰ σημαντικότερα προβλήματα τῆς θεωρίας τῶν ἰσοτροπικῶν κυρτῶν σωμάτων, καὶ γενικότερα τῆς Ἀσυμπτωτικῆς Κυρτῆς Γεωμετρίας, εἶναι ἡ εἰκασία τοῦ ὑπερεπιπέδου, ἡ ὁποία διετυπώθη ἀπὸ τὸν Bourgain τὸ 986 [8] σὲ ἕνα ἄρθρο ἁρμονικῆς ἀναλύσεως στὸ ἄρθρο αὐτὸ ὁ Bourgain μελετοῦσε τὴν maximal συνάρτησι σὲ περιπτώσεις ποὺ αὐτὴ ὁρίζεται ὡς πρὸς αὐθαίρετα κυρτὰ σώματα καὶ ὄχι μόνον ὡς πρὸς τὰ κλασσικὰ σώματα, ὅπως ἡ Εὐκλείδεια μπάλα ἢ ὁ n-διάστατος κύβος [, ] n, καὶ χρειάστηκε τὸ γεγονὸς ὅτι κάθε σῶμα μποροῦμε νὰ τὸ φέρουμε σὲ μία θέσι ὅπου ὅλες οἱ τομές του μὲ ὑπερεπίπεδα ποὺ διέρχονται ἀπὸ τὸ 0 ἔχουν περίπου τὸν ἴδιο (n )-διάστατο ὄγκο. Τὸ πρόβλημα τοῦ ἂν αὐτὸς ὁ ὄγκος φράσσεται ἀπὸ κάτω ἀπὸ σταθερὰ ἀνεξάρτητη τῆς διαστάσεως ἔγινε ἰδιαιτέρως γνωστὸ ἐξαιτίας ἑνὸς ἄρθρου τῶν V. Milman καὶ Pajor [44], στὸ ὁποῖο μελετοῦν τὴν ἰσοτροπικὴ θέσι καὶ δίνουν καὶ ἀρκετὲς ἰσοδύναμες διατυπώσεις τῆς εἰκασίας τοῦ ὑπερεπιπέδου, μὲ τὴν πιὸ γνωστὴ νὰ προκύπτει ἀπὸ τὴν σχέσι (.0.2): δεδομένου ὅτι, ὅταν τὸ σῶμα εἶναι σὲ ἰσοτροπικὴ θέσι, τὸ ἀριστερὸ μέρος τῆς (.0.2) εἶναι πάντα ἴσο μὲ L, τὸ νὰ βροῦμε ἕνα κάτω φράγμα γιὰ τὸν ὄγκο τῶν (n )-διαστάτων κεντρικῶν τομῶν τοῦ εἶναι ἰσοδύναμο μὲ τὸ νὰ φράξουμε τὴν ἰσοτροπικὴ σταθερὰ ἀπὸ πάνω. Εἰκασία. Υπάρχει μία ἀπόλυτη σταθερὰ C > 0 τέτοια ὥστε, γιὰ κάθε n καὶ κάθε κυρτὸ σῶμα στὸν R n, νὰ ἰσχύει L C. Στὰ Κεφάλαια 2 καὶ 3 τῆς παρούσας διατριβῆς θὰ ἀναφερθοῦμε καὶ σὲ ἀναγωγὲς τοῦ προβλήματος τῆς ἰσοτροπικῆς σταθερᾶς, δηλαδὴ τῆς παραπάνω εἰκασίας, στὴν μελέτη κάποιων παραμέτρων οἱ ὁποῖες μποροῦν νὰ μᾶς δώσουν καὶ ἄλλου εἴδους πληροφορίες γιὰ τὴν γεωμετρία τῶν κυρτῶν σωμάτων. Στὴν Παράγραφο 2. θὰ ἀναφέρουμε καὶ κάποιες πρόσθετες πληροφορίες γιὰ τὴν ἱστορία τοῦ προβλήματος.. Κυρτὰ σώματα καὶ χῶροι πεπερασμένης διαστάσεως μὲ νόρμα Υπενθυμίζουμε πρῶτα κάποιες βασικὲς παραμέτρους ἢ συναρτήσεις ποὺ σχετίζονται μὲ ἕνα κυρτὸ σῶμα. Εστω κυρτὸ σῶμα στὸν R n ποὺ περιέχει τὸ 0 στὸ ἐσωτερικό του. Τὸ συναρτησοειδὲς Minkowski p : R n [0, + ) ποὺ ἐπάγεται ἀπὸ τὸ στὸν R n ὁρίζεται ὡς x R n p (x) := inf{t > 0 : x t}, ἐνῷ ἡ ἀκτινικὴ συνάρτησις ρ : R n \ {0} [0, + ) τοῦ ὁρίζεται ὡς x R n \ {0} ρ (x) := max{t > 0 : tx }. 3

Κεφαλαιο : Εἰσαγωγὴ καὶ βασικὲς ἔννοιες Προφανῶς, γιὰ κάθε x 0 ἔχουμε ὅτι p (x) = /ρ (x), ἐνῷ, ἂν τὸ εἶναι συμμετρικό, τότε τὸ p εἶναι νόρμα στὸν R n καὶ θὰ τὸ συμβολίζουμε καὶ ὡς. Η συνάρτησις στηρίξεως h : R n R τοῦ ὁρίζεται ὡς x R n h (x) := max{ z, x : z }. Παρατηροῦμε ὅτι γιὰ κάθε διεύθυνσι θ S n ἰσχύει ρ (θ) h (θ), ἐνῷ, ἂν τὸ εἶναι συμμετρικό, τότε καὶ ἡ h εἶναι νόρμα στὸν R n. Συχνὰ μᾶς ἐνδιαφέρει νὰ μελετήσουμε ὁλοκληρώματα νορμῶν ὡς πρὸς κάποιο ὁμοιόμορφο μέτρο πάνω σὲ ἕνα κυρτὸ σῶμα ἢ ὡς πρὸς τὸ μέτρο πιθανότητος σ στὴν S n. Γιὰ παράδειγμα, μία ἀπὸ τὶς σημαντικότερες παραμέτρους ἑνὸς κυρτοῦ σώματος εἶναι τὸ μέσο πλάτος του, δηλαδὴ ἡ ποσότητα w() := h (θ)dσ(θ), S n ἐνῷ ἀντίστοιχα, γιὰ κυρτὰ σώματα ποὺ περιέχουν τὸ 0 στὸ ἐσωτερικό τους, ὁρίζεται καὶ ἡ ποσότητα M() := p (θ)dσ(θ). S n Παρομοίως, γιὰ κάθε p R, p 0, μπορεῖ νὰ ὁριστεῖ τὸ p-μέσο πλάτος τοῦ ( ) /p w p () := h p (θ)dσ(θ), S n καθῶς καὶ ἡ ποσότητα ( ) /p M p () := p p (θ)dσ(θ). S n Επιπλέον, γιὰ κάθε κυρτὸ σῶμα ὄγκου στὸν R n καὶ γιὰ κάθε p > n, p 0, ὁρίζουμε τὴν p-ῥοπὴ τῆς Εὐκλείδειας νόρμας πάνω στὸ σῶμα ὡς ἑξῆς: ( ) /p I p () := x p 2 dx. Πιὸ γενικά, ἂν C R n εἶναι ὁποιοδήποτε συμμετρικὸ κυρτὸ σῶμα, θέτουμε ( ) /p I p (, C) := x p C dx. Στὸ Κεφάλαιο 2, κύριο ἀντικείμενο μελέτης μας θὰ εἶναι παράμετροι τῆς μορφῆς I (, C) γιὰ κάποια συμμετρικὰ σώματα C τὰ ὁποῖα συνδέονται ἄμεσα μὲ τὴν γεωμετρία τοῦ ἰδίου τοῦ σώματος. Η περιγεγραμμένη ἀκτίνα ἑνὸς κυρτοῦ σώματος στὸν R n εἶναι ἡ ἐλάχιστη ἀκτίνα μίας Εὐκλείδειας μπάλας μὲ κέντρο τὸ 0 ποὺ περιέχει ὁλόκληρο τὸ σῶμα, καὶ μπορεῖ νὰ ὁριστεῖ ὡς R() = max{ x 2 : x } = max{h (θ) : θ S n }. Στὴν περίπτωσι ποὺ 0, θὰ λέμε συχνὰ τὴν παραπάνω ποσότητα καὶ διάμετρο τοῦ σώματος αὐτὸ ἐπειδή, ὅπως εὔκολα μπορεῖ νὰ ἐλέγξει κάποιος, R() diam() 2R(), 4

Κεφαλαιο : Εἰσαγωγὴ καὶ βασικὲς ἔννοιες ὅπου diam() = sup{ x y 2 : x, y } εἶναι ἡ συνήθης διάμετρος τοῦ. Η ἀκτίνα ὄγκων v.rad.() τοῦ κυρτοῦ σώματος R n ὁρίζεται ὡς ἡ ἀκτίνα ποὺ πρέπει νὰ ἔχει μία Εὐκλείδεια μπάλα μὲ κέντρο τὸ 0 ὥστε νὰ ἔχει τὸν ἴδιο ὄγκο μὲ τὸ, δηλαδὴ v.rad.() := ( ) /n B2 n. Προφανῶς v.rad.() R(). Αν 0 int(), τὸ πολικὸ σῶμα τοῦ ὁρίζεται νὰ εἶναι τὸ κυρτὸ σύνολο := {x R n : x, y y }. Βασικὲς ἰδιότητες τοῦ πολικοῦ σώματος εἶναι οἱ ἀκόλουθες: 0 int( ). Τὸ εἶναι κυρτὸ σῶμα καὶ ( ) =. Γιὰ κάθε θ S n ἰσχύει ρ (θ) = /h (θ). Ισοδύναμα τὸ συναρτησοειδὲς Minkowski τοῦ ταυτίζεται μὲ τὴν συνάρτησι στηρίξεως τοῦ. Ετσι M( ) = w(). Γιὰ κάθε T GL(n) ἰσχύει (T ) = (T ) ( ), ὅπου (T ) εἶναι ὁ συζυγὴς μετασχηματισμὸς τοῦ ἀντιστρόφου τοῦ T. Μερικὲς ἀπὸ τὶς πιὸ βασικὲς γεωμετρικὲς ἰδιότητες τῶν κυρτῶν σωμάτων ἕπονται σχεδὸν ἀμέσως ἀπὸ τήν, θεμελιώδη γιὰ τὴν Κυρτὴ Γεωμετρικὴ Ἀνάλυσι, ἀνισότητα Brunn-Minkowski. Αὐτὴ μπορεῖ νὰ διατυπωθεῖ μὲ δύο τρόπους. Ως ἀρχὴ τοῦ Brunn μᾶς δίνει πληροφορίες γιὰ τὸ πῶς συμπεριφέρονται οἱ συναρτήσεις x F (x + F ), ὅπου F ὑπόχωρος τοῦ R n καὶ F ὁ κάθετος σὲ αὐτὸν ὑπόχωρος. Θεώρημα.. (Ἀρχὴ τοῦ Brunn). Εστω κυρτὸ σῶμα στὸν R n καὶ ἔστω F ἕνας k-διάστατος ὑπόχωρος τοῦ R n. Η συνάρτησις f : F [0, + ) ποὺ ὁρίζεται ὡς x F f(x) := (x + F ) /k, περιορισμένη στὸν φορέα της Proj F (), εἶναι κοίλη συνάρτησις. Ισοδύναμα μπορεῖ νὰ διατυπωθεῖ ὡς ἀνισότητα ποὺ συνδέει τὸν ὄγκο τοῦ ἀθροίσματος Minkowski + L := {x + y : x, y L} δύο κυρτῶν σωμάτων, L στὸν R n μὲ τὸν ὄγκο τῶν ἰδίων τῶν σωμάτων. Μάλιστα μὲ αὐτὴν τὴν μορφὴ ἰσχύει πιὸ γενικά. Θεώρημα..2 (Ἀνισότητα Brunn-Minkowski). Εστω, L μὴ κενά, συμπαγῆ ὑποσύνολα τοῦ R n. Τότε, (..) + L /n /n + L /n, ὅπου ἐδῶ ὁ ὄγκος ὄλων τῶν συνόλων ἐννοεῖται στὸν R n. 5

Κεφαλαιο : Εἰσαγωγὴ καὶ βασικὲς ἔννοιες Εναλλακτικά, μποροῦμε νὰ γράψουμε τὴν (..) ὡς ἑξῆς: γιὰ κάθε λ (0, ) ἔχουμε ὅτι λ + ( λ)l /n λ /n + ( λ) L /n λ/n L ( λ)/n. Κρατῶντας τὸ πρῶτο καὶ τὸ τρίτο μέρος τῆς τελευταίας σχέσεως, παίρνουμε μία μορφὴ τῆς ἀνισότητος Brunn-Minkowski ἡ ὁποία εἶναι ἀνεξάρτητη τῆς διαστάσεως: (..2) λ + ( λ)l λ L λ γιὰ κάθε δύο μὴ κενά, συμπαγῆ ὑποσύνολα, L τοῦ R n καὶ κάθε λ (0, ). Μία πρώτη συνέπεια τῆς ἀρχῆς τοῦ Brunn εἶναι ἡ (.0.2). Στὰ ἑπόμενα κεφάλαια θὰ ἀναφέρουμε καὶ θὰ χρησιμοποιήσουμε καὶ ἄλλες βασικὲς συνέπειες τῆς ἀνισότητος Brunn-Minkowski. Στρεφόμαστε τώρα στὴν σύνδεσι κυρτῶν σωμάτων καὶ χώρων πεπερασμένης διαστάσεως μὲ νόρμα. Οπως ἀναφέραμε πρίν, ὅταν εἶναι ἕνα συμμετρικὸ κυρτὸ σῶμα στὸν R n, ἡ ἀπεικόνισις : R n [0, + ) μὲ x := inf{t > 0 : x t} εἶναι νόρμα στὸν R n. Θὰ συμβολίζουμε τὸν χῶρο (R n, ) μὲ X. Ἀντιστρόφως, παρατηροῦμε ὅτι, ἂν X = (R n, ) εἶναι ἕνας χῶρος πεπερασμένης διαστάσεως μὲ νόρμα, τότε ἡ μοναδιαία μπάλα B = {x R n : x } τοῦ X εἶναι συμμετρικὸ κυρτὸ σῶμα στὸν R n. Ετσι, ὑπάρχει μία φυσικὴ ἀντιστοιχία μεταξὺ κυρτῶν σωμάτων καὶ χώρων πεπερασμένης διαστάσεως μὲ νόρμα. Ας σημειώσουμε ἐπίσης ὅτι ὁ δυϊκὸς χῶρος τοῦ X = (R n, ) ἔχει νόρμα τὴν συνάρτησι στηρίξεως h τοῦ καὶ μοναδιαία μπάλα τὸ πολικὸ σῶμα τοῦ. Εστω X, Y δύο n-διάστατοι χῶροι μὲ νόρμα. ὁρίζεται ὡς Η ἀπόστασις Banach-Mazur τοῦ X ἀπὸ τὸν Y d BM (X, Y ) := inf{ T X Y T Y X T : X Y γραμμικὸς ἰσομορφισμός}, ὅπου T X Y καὶ T Y X εἶναι οἱ συνήθεις νόρμες τῶν τελεστῶν T καὶ T ἀντιστοίχως. Στὴν γλώσσα τῶν κυρτῶν σωμάτων ἡ ἀπόστασις Banach-Mazur μπορεῖ νὰ περιγραφεῖ ὡς ἑξῆς: ἔστω ὅτι X = X καὶ Y = Y L (δηλαδὴ οἱ μοναδιαῖες μπάλες τῶν X, Y εἶναι τὰ κυρτὰ σώματα, L ἀντιστοίχως), τότε ὁ ἀριθμὸς d BM (X, Y ) εἶναι ὁ μικρότερος d > 0 ὥστε (..3) L T () dl γιὰ κάποιον ἀντιστρέψιμο γραμμικὸ μετασχηματισμὸ T. Εἶναι προφανὲς ὅτι d BM (X, Y ) γιὰ κάθε δύο n-διάστατους χώρους, μὲ ἰσότητα ἂν καὶ μόνον ἂν οἱ χώροι εἶναι ἰσομετρικὰ ἰσόμορφοι. Αρα ἡ ἀπόστασις Banach-Mazur μετράει πόσο ἀπέχουν δύο χῶροι ἀπὸ τὸ νὰ εἶναι ἰσομετρικοί. Στὴν συνέχεια θὰ μιλᾶμε καὶ ἀπευθείας γιὰ ἀπόστασι Banach-Mazur δύο συμμετρικῶν, ἢ ἀκόμη καὶ κεντραρισμένων, κυρτῶν σωμάτων, L R n, ἐννοῶντας καὶ πάλι τὸν μικρότερο d > 0 μὲ 6

Κεφαλαιο : Εἰσαγωγὴ καὶ βασικὲς ἔννοιες τὸν ὁποῖο ἱκανοποιεῖται ἡ (..3) γιὰ κάποιον T GL(n). Θὰ ἀναφερόμαστε ἐπίσης στὴν γεωμετρικὴ ἀπόστασι μεταξὺ δύο κυρτῶν σωμάτων, L στὸν R n (ὄχι ἀναγκαστικὰ συμμετρικῶν ἢ κεντραρισμένων ἐδῶ), ἡ ὁποία ὁρίζεται ὡς d G (, L) := min {ab : a L b }, ἐφ ὅσον τὸ παραπάνω σύνολο εἶναι μὴ κενό. Προφανῶς d G (, L) πάντοτε, μὲ ἰσότητα ἂν καὶ μόνον ἂν τὰ δύο σώματα ταυτίζονται..2 Βασικὰ ἀποτελέσματα καὶ ἐργαλεῖα τῆς θεωρίας τῶν κυρτῶν σωμάτων Κάποιες βασικὲς ἀνισότητες γιὰ ὄγκους κυρτῶν σωμάτων, οἱ ὁποῖες θὰ φανοῦν χρήσιμες στὴν συνέχεια, εἶναι οἱ παρακάτω: Η ἀνισότητα Blaschke-Santaló [3], [6]: ἂν εἶναι συμμετρικὸ κυρτὸ σῶμα στὸν R n ἤ, γενικότερα, ἂν τὸ ἔχει κέντρο βάρους τὸ 0, τότε B n 2 2. Η ἀνισότητα τῶν Bourgain καὶ V. Milman [2]: ὑπάρχει μία ἀπόλυτη σταθερὰ c (0, ) ὥστε, γιὰ κάθε n N καὶ γιὰ ὁποιοδήποτε κυρτὸ σῶμα στὸν R n μὲ 0 int(), νὰ ἰσχύει c n B n 2 2. Η ἀνισότητα αὐτή, δικαιολογημένα, εἶναι γνωστὴ καὶ ὡς ἀντίστροφη ἀνισότητα Santaló. Τὸ Κεφάλαιο 4 εἶναι κατὰ βάσι ἀφιερωμένο στὴν παρουσίασι μίας ὅσο τὸ δυνατὸν αὐτοτελοῦς καὶ στοιχειώδους ἀποδείξεώς της, κοινῆς δουλειᾶς μὲ τοὺς Γιαννόπουλο καὶ Παούρη, ἠ ὀποία στηρίζεται σὲ συνέπειες τῆς ἀνισότητος Brunn-Minkowski καὶ ἰδιότητες τῶν ἰσοτροπικῶν κυρτῶν σωμάτων οἱ ὁποῖες εἶναι ἀρκετὰ ἁπλές. Μεταξὺ τῶν ἐργαλείων ποὺ θὰ μᾶς χρειαστοῦν θὰ εἶναι καὶ ἡ ἀνισότητα (.2.3) ποὺ εἶναι ἄμεση συνέπεια τῆς ἀκόλουθης ἀνισότητος τῶν Rogers καὶ Shephard καὶ συχνὰ φέρει καὶ τὸ ἴδιο ὄνομα. Ἀνισότητα τῶν Rogers καὶ Shephard [59]: γιὰ κάθε κυρτὸ σῶμα στὸν R n, κάθε ὑπόχωρο F G n,k (ὅπου k < n) καὶ κάθε x F, ἔχουμε ὅτι (.2.) (x + F ) k P roj F () n k ( ) n n. k Εχοντας τώρα δύο κυρτὰ σώματα, L στὸν R n, μποροῦμε νὰ θεωρήσουμε τὸ κυρτὸ σῶμα C = L R 2n καὶ νὰ ἐφαρμόσουμε τὴν ἀνισότητα (.2.) γιὰ τὸ C καὶ τὸν n-διάστατο ὑπόχωρο F = {(x, x) : x R n }τοῦ R 2n : συμπεραίνουμε ὅτι ( ) 2n (.2.2) L L L, n 7

Κεφαλαιο : Εἰσαγωγὴ καὶ βασικὲς ἔννοιες ὅπου ἐδῶ ὁ ὄγκος ὅλων τῶν συνόλων ἐννοεῖται στὸν R n. Αν μάλιστα ἔχουμε καὶ = L, τότε λαμβάνουμε ὅτι γιὰ κάθε κυρτὸ σῶμα στὸν R n ἰσχύει (.2.3) ( ) 2n, n ὅπου εἶναι τὸ σῶμα διαφορῶν τοῦ, := {z R n : x, y ὥστε z = x y}. Ἀντίστοιχη ἀνισότητα μὲ τὴν (.2.2) εἶναι καὶ Μία ἀνισότητα τῶν V. Milman καὶ Pajor [46]: ἂν, L εἶναι κυρτὰ σώματα στὸν R n τὰ ὁποῖα ἔχουν τὸ ἴδιο κέντρο βάρους, τότε (.2.4) L L L (ὅταν καὶ τὰ δύο σώματα εἶναι συμμετρικά, ἠ ἀνισότητα εἶχε ἤδη ἀποδειχθεῖ ἀπὸ τοὺς Rogers καὶ Shephard). Εχοντας ἕνα κυρτὸ σῶμα στὸν R n ποὺ ἔχει κέντρο βάρους τὸ 0, μποροῦμε νὰ ἐφαρμόσουμε τὴν παραπάνω ἀνισότητα γιὰ L = καὶ νὰ συμπεράνουμε ὅτι (.2.5) ( ) 2 n. Εξαιτίας τῶν (.2.) καὶ (.2.5), βλέπουμε ὅτι κάθε κυρτὸ σῶμα μὲ κέντρο βάρους τὸ 0 περιέχει καὶ περιέχεται σὲ συμμετρικὰ κυρτὰ σώματα ποὺ ἔχουν περίπου τὴν ἴδια ἀκτίνα ὄγκων. Εχουμε τέλος, πρὸς τὴν ἀντίθετη κατεύθυνσι ἀπὸ αὐτὴν τῆς (.2.), τὴν ἀκόλουθη Ἀνισότητα τοῦ Spingarn [63]: ἔστω κυρτὸ σῶμα στὸν R n καὶ ἔστω x 0 = bar() τὸ κέντρο βάρους του, τότε γιὰ κάθε k < n καὶ κάθε ὑπόχωρο F G n,k ἰσχύει (.2.6) n (x 0 + F ) k P roj F () n k. Εστω A, B δύο ὑποσύνολα τοῦ R n. Ο ἀριθμὸς καλύψεως τοῦ A ἀπὸ τὸ B ὁρίζεται νὰ εἶναι ὁ ἀριθμὸς { } N N(A, B) := min N N : x,..., x N R n ὥστε A (x i + B). (ἐφ ὅσον βεβαίως ὑπάρχει τέτοια κάλυψις τοῦ συνόλου A ἀπὸ μεταφορὲς τοῦ B). Μία παραλλαγὴ τοῦ παραπάνω ἀριθμοῦ καλύψεως εἶναι ὁ ἀκόλουθος ἀριθμός: { } N N(A, B) := min N N : x,..., x N A ὥστε A (x i + B) Εἶναι ἄμεσο ἀπὸ τοὺς ὁρισμοὺς ὅτι N(A, B) N(A, B). Επίσης μποροῦμε εὔκολα νὰ ἐλέγξουμε ὅτι N(A, B B) N(A, B). Επομένως, ἂν τὸ B εἶναι συμμετρικὸ καὶ κυρτὸ σύνολο, τότε N(A, 2B) N(A, B). Θὰ χρησιμοποιήσουμε κάποιες βασικὲς ἰδιότητες τῶν ἀριθμῶν καλύψεως: γιὰ κάθε τρία κυρτὰ σώματα A, B, C στὸν R n ἔχουμε ὅτι 8 i= i=

Κεφαλαιο : Εἰσαγωγὴ καὶ βασικὲς ἔννοιες N(A, B) N(A, C) ἂν B C, ἐνῷ N(A, C) N(B, C) ἂν A B. Γιὰ κάθε T GL(n), N(T (A), T (B)) = N(A, B) καὶ N(T (A), T (B)) = N(A, B). N(A, C) N(A, B) N(B, C). N(A A, B B) N(A, B) 2 καὶ N(A A, B B) N(A, B) 2. N(A + C, B + C) N(A, B) καὶ N(A + C, B + C) N(A, B). 2 n A + B N(A, B) N(A, B), ἐνῷ, ἂν τὸ B εἶναι καὶ συμμετρικό, τότε ἐπιπλέον B N(A, B) A + B/2 B/2 n A + B 2. B Αν τὸ B δὲν εἶναι κατ ἀνάγκη συμμετρικό, τότε N(A, B) 4n A + B. B Γιὰ κάθε r, N(rA, A) 4n ra + A = (2(2r + )) n. A A N(A, B). A B Σχεδὸν ὅλες αὐτὲς οἱ ἰδιότητες προκύπτουν κατευθείαν ἀπὸ τοὺς ὁρισμούς. Γιὰ λόγους πληρότητος, στὸ Κεφάλαιο 4 θὰ ἐξηγήσουμε πῶς μπορεῖ κάποιος νὰ δείξει τὸ ἕκτο σημεῖο. Ἀναφέρουμε καὶ δύο βασικὰ θεωρήματα γιὰ ἀριθμοὺς καλύψεως. Τὸ πρῶτο εἶναι ἡ ἀνισότητα τοῦ Sudakov [65]. Θεώρημα.2. (Sudakov, 97). Δοθέντος κυρτοῦ σώματος στὸν R n, ἔχουμε, γιὰ κάθε t > 0, ὅτι ὅπου c > 0 εἶναι ἀπόλυτη σταθερά. ( cnw N(, tb2 n 2 ) () ) 2 exp, t 2 Τὸ ἑπόμενο θεώρημα ἀπεδείχθη ἀπὸ τοὺς Artstein, V. Milman καὶ Szarek [], καὶ ἐπιβεβαιώνει ὅτι οἱ ἀριθμοὶ καλύψεως ἱκανοποιοῦν κάποιου εἴδους δυϊσμὸ στὶς περιπτώσεις ποὺ τὸ ἕνα ἀπ τὰ δύο σώματα εἶναι ἡ Εὐκλείδεια μπάλα. Θεώρημα.2.2 (Artstein-V. Milman-Szarek, 2004). Εστω συμμετρικὸ κυρτὸ σῶμα στὸν R n καὶ ἔστω D ἐλλειψοειδὲς τοῦ R n (δηλαδὴ γραμμικὴ εἰκόνα τῆς Εὐκλείδειας μοναδιαίας μπάλας). Τότε c log N(D, c 2 ) log N(, D) c log N(D, c 2 ), ὅπου c, c 2 > 0 εἶναι ἀπόλυτες σταθερές. 9

Κεφαλαιο : Εἰσαγωγὴ καὶ βασικὲς ἔννοιες Εστω κυρτὸ σῶμα στὸν R n μὲ κέντρο βάρους τὸ 0 καὶ ἔστω D ἐλλειψοειδὲς στὸν R n μὲ D =. Λέμε ὅτι τὸ D εἶναι ἕνα M-ἐλλειψοειδὲς γιὰ τὸ μὲ σταθερὰ β ἂν ἰσχύει max{log N(, D), log N(D, ), log N(, D ), log N(D, )} βn. (ἐξαιτίας τοῦ θεωρήματος τῶν Artstein, V. Milman καὶ Szarek καὶ τῶν ἰδιοτήτων τῶν ἀριθμῶν καλύψεως, μᾶς ἀρκεῖ βέβαια νὰ ἐλέγξουμε τοὺς δύο πρώτους ἀριθμούς). Λέμε ὅτι τὸ εἶναι σὲ M-θέσι μὲ σταθερὰ β ἂν ἕνα M-ἐλλειψοειδὲς γιὰ τὸ εἶναι ἡ Εὐκλείδεια μπάλα ποὺ ἔχει τὸν ἴδιο ὄγκο μὲ τὸ. Προφανῶς, ἂν εἶναι ἕνα κυρτὸ σῶμα μὲ κέντρο βάρους τὸ 0 καὶ D εἶναι ἕνα M-ἐλλειψοειδὲς γιὰ τὸ μὲ σταθερὰ β, ὅπου D = T (B2 n ) γιὰ κάποιον T GL(n), τότε τὸ = T () (ὅπως καὶ κάθε πολλαπλάσιό του) εἶναι μία M-θέσις τοῦ σώματος μὲ σταθερὰ β. Ο V. Milman [42], [43] ἀπέδειξε τὴν ὕπαρξι M-ἐλλειψοειδῶν, καὶ ἄρα τὴν ὕπαρξι M-θέσεως, μὲ μία σταθερὰ β γιὰ κάθε κυρτὸ σῶμα μὲ κέντρο βάρους τὸ 0. Ενας ἄλλος τρόπος νὰ ὁρίσουμε τὴν M-θέσι ἢ τὰ M-ἐλλειψοειδῆ εἶναι ὁ ἀκόλουθος. Εστω κυρτὸ σῶμα στὸν R n μὲ κέντρο βάρους τὸ 0. Τότε μποροῦμε νὰ λέμε ἕνα ἐλλειψοειδὲς D R n M-ἐλλειψοειδὲς γιὰ τὸ μὲ σταθερὰ β ἂν ἰσχύει D = καὶ β D + L /n + L /n β D + L /n, β D + L /n + L /n β D + L /n γιὰ κάθε κυρτὸ σῶμα L στὸν R n. Επιπλέον, κάθε γραμμικὴ εἰκόνα τοῦ ἡ ὁποία ἱκανοποιεῖ τὰ παραπάνω μὲ D κάποιο πολλαπλάσιο τῆς Εὐκλείδειας μπάλας λέγεται M-θέσις τοῦ. Οἱ δύο τρόποι ὁρισμοῦ εἶναι ἰσοδύναμοι ὅπως θὰ ὑπενθυμίσουμε στὸ Κεφάλαιο 4. Θὰ ἐξηγήσουμε ἐπίσης ὅτι, γιὰ κάθε δύο κυρτὰ σώματα, 2 στὸν R n καὶ γιὰ ὁποιεσδήποτε M-θέσεις τους, 2 (μὲ κάποια σταθερὰ β), ἰσχύει t + t 2 /n cβ ( t /n + t 2 2 /n) γιὰ ὅλα τοὺς θετικοὺς ἀριθμοὺς t, t 2 > 0, ὅπου c > 0 ἀπόλυτη σταθερά. Η ἴδια ἀνισότητα μάλιστα συνεχίζει νὰ ἰσχύει ἂν ἀντικαταστήσουμε τὸ ἢ τὸ 2 (ἢ καὶ τὰ δύο) μὲ τὰ πολικά τους σώματα. Αὐτὴ εἶναι ἡ ἀντίστροφη ἀνισότητα Brunn-Minkowski, ποὺ ἦταν ὁ σκοπὸς τοῦ ἄρθρου [42] (καὶ ἡ ὁποία φυσικὰ δὲν ἰσχύει γιὰ ὅλα τὰ κυρτὰ σώματα στὸν R n, ἀλλὰ ὅταν αὐτὰ βρίσκονται σὲ συγκεκριμένη θέσι). Ο Pisier (βλέπε [55] ἢ [56, Κεφάλαιο 7]) πρότεινε μία διαφορετικὴ προσέγγισι γιὰ τὴν M-θέσι καὶ τὴν ἀντίστροφη ἀνισότητα Brunn-Minkowski δείχνοντας κάτι ἰσχυρότερο: γιὰ κάθε συμμετρικὸ σῶμα, ὐπάρχουν M-ἐλλειψοειδῆ E γιὰ τὰ ὀποῖα μποροῦμε νὰ ἐλέγξουμε καὶ τὸ πῶς μειώνονται οἱ ἀριθμοὶ καλύψεως N(, te ) καὶ N(E, t) καθῶς τὸ t αὐξάνεται. Συγκεκριμένα, ἀπέδειξε τὸ ἀκόλουθο θεώρημα, τὸ ὁποῖο θὰ χρησιμοποιήσουμε στὸ Κεφάλαιο 2. 0

Κεφαλαιο : Εἰσαγωγὴ καὶ βασικὲς ἔννοιες Θεώρημα.2.3 (Pisier, 989). Γιὰ κάθε 0 < α < 2 καὶ γιὰ κάθε συμμετρικὸ κυρτὸ σῶμα στὸν R n, μποροῦμε νὰ βροῦμε ἕνα ἐλλειψοειδὲς E τέτοιο ὤστε νὰ ἰσχύει max log{n(, te ), N(E, t), N(, te ), N(E, t )} c(α)n t α γιὰ κάθε t, ὅπου c(α) εἶναι μία σταθερὰ ποὺ ἐξαρτᾶται μόνον ἀπὸ τὸ α. Εχουμε μάλιστα ὅτι c(α) (2 α) α/2 καθῶς α 2. Ορολογία. Ενα τέτοιο ἐλλειψοειδὲς λέγεται α-κανονικὸ M-ἐλλειψοειδὲς γιὰ τὸ κυρτὸ σῶμα. Επιπλέον, ἂν μποροῦμε νὰ θεωρήσουμε ὡς E ἕνα πολλαπλάσιο τῆς Εὐκλείδειας μπάλας, λέμε τότε ὅτι τὸ βρίσκεται σὲ α-κανονικὴ M-θέσι. Τὸ θεώρημα τοῦ Dvoretzky [6] μᾶς πληροφορεῖ ὅτι κάθε n-διάστατος χῶρος μὲ νόρμα περιέχει ὑπόχωρο «μεγάλης διαστάσεως» ποὺ εἶναι σχεδὸν Εὐκλείδειος, δηλαδὴ ὑπόχωρο ποὺ ἔχει μικρή, ἀνεξάρτητη τῆς διαστάσεως n τοῦ χώρου, ἀπόστασι Banach-Mazur ἀπὸ Εὐκλείδειο χῶρο. Θεώρημα.2.4 (Dvoretzky, 960). Γιὰ κάθε ε (0, ) ὑπάρχει σταθερὰ c(ε) > 0 τέτοια ὥστε: ἂν X εἶναι n-διάστατος χῶρος μὲ νόρμα, τότε μποροῦμε νὰ βροῦμε ὑπόχωρο Y τοῦ X μὲ διάστασι k c(ε) log n ὥστε d BM (Y, l k 2 ) < + ε. Στὰ ἑπόμενα μᾶς ἀρκεῖ ἡ ἰσομορφικὴ ἐκδοχὴ τοῦ παραπάνω θεωρήματος. Εστω X = (R n, ) χῶρος μὲ νόρμα καὶ ἂς συμβολίσουμε μὲ C τὴν μοναδιαία μπάλα τοῦ X. Ορίζουμε τὸν ἀριθμὸ Dvoretzky k(c) τοῦ κυρτοῦ σώματος C (ἢ τοῦ χώρου X) ὠς τὸ ({ }) max { k n : ν n,k F G n,k : 2M(C) B F C F 2 M(C) B F n }. n + k Δηλαδὴ k(c) εἶναι ἡ μεγαλύτερη διάστασις k μὲ τὴν ἰδιότητα οἱ περισσότερες, μὲ τὴν ἔννοια τοῦ μέτρου Haar, τομὲς τοῦ συμμετρικοῦ κυρτοῦ σώματος C μὲ k-διαστάτους ὑποχώρους νὰ εἶναι «4- ἰσόμορφες» μὲ τὴν Εὐκλείδεια μπάλα. Ἀντίστοιχα, ὁρίζεται ὁ δυϊκὸς ἀριθμὸς Dvoretzky k (C) τοῦ C (ἢ τοῦ χώρου X) ὠς τὸ max { k n : ν n,k ({ F G n,k : w(c) 2 B F P roj F (C) 2w(C)B F }) n }. n + k Ο χαρακτηρισμὸς «δυϊκὸς» προέρχεται ἀπὸ τὸ γεγονὸς ὅτι, γιὰ κάθε ὑπόχωρο F, τὸ συμμετρικὸ κυρτὸ σῶμα P roj F (C) εἶναι τὸ πολικὸ σῶμα τοῦ C F, ἐνῷ ταυτόχρονα w(c) = M(C ) ἑπομένως k (C) = k(c ). Οἱ V. Milman καὶ Schechtman [48] ἔδειξαν ὅτι ὁ ἀριθμὸς Dvoretzky καὶ ὁ δυϊκὸς ἀριθμὸς Dvoretzky εἶναι δυνατὸν νὰ περιγραφοῦν ἀπὸ κάποιες «καθολικὲς» παραμέτρους τοῦ σώματος C. συγκεκριμένα, ἂν θέσουμε b(c) := max{ θ C : θ S n }, οἱ Milman καὶ Schechtman ἔδειξαν ὅτι ὑπάρχουν ἀπόλυτες σταθερὲς c, c 2 > 0 ὥστε ( ) M(C) 2 ( ) M(C) 2 c n k(c) c 2 n. b(c) b(c) Πιὸ

Κεφαλαιο : Εἰσαγωγὴ καὶ βασικὲς ἔννοιες Ἀντίστοιχα, γιὰ τὸν δυϊκὸ ἀριθμὸ Dvoretzky, καὶ ἀφοῦ ἔχουμε ὅτι M(C ) = w(c) καὶ b(c ) = max{h C (θ) : θ S n } = R(C), ἰσχύει ὅτι (.2.7) c n ( ) w(c) 2 ( ) w(c) 2 k (C) c 2 n. R(C) R(C) Ας σημειώσουμε ὅτι τὰ κάτω φράγματα ἐμφανίζονται ἤδη στὴν ἀπόδειξι ποὺ ἔδωσε ὁ V. Milman [4] γιὰ τὸ θεώρημα τοῦ Dvoretzky. Ἀργότερα, οἱ Litvak, V. Milman καὶ Schechtman [36] ἀπέδειξαν ὅτι οἱ ἀριθμοὶ k(c) καὶ k (C) ἔχουν κι ἄλλη σημασία, καθῶς εἶναι σημεῖα ἀλλαγῆς συμπεριφορᾶς τῶν q-μέσων καὶ τῶν q-μέσων πλατῶν τοῦ σώματος C. Τὸ ἀκριβὲς ἀποτέλεσμα εἶναι τὸ ἀκόλουθο: Θεώρημα.2.5 (Litvak-V. Milman-Schechtman, 998). Εστω C συμμετρικὸ κυρτὸ σῶμα στὸν R n. Τότε ἰσχύει ὅτι M(C), ἂν q k(c), M q (C) q/n b(c), ἂν k(c) q n, b(c), γιὰ κάθε q n Εἰδικότερα, βλέπουμε ὅτι τὰ M q (C) παραμένουν σχεδὸν σταθερὰ καὶ ἴσα μὲ M(C) ὅσο q k(c). Ἀντίστοιχα, γιὰ τὰ μέσα πλάτη ἔχουμε ὅτι w(c), ἂν q k (C), w q (C) q/n R(C), ἂν k (C) q n, R(C), γιὰ κάθε q n ἑπομένως τὰ w q (C) παραμένουν σχεδὸν σταθερὰ καὶ ἴσα μὲ τὸ w(c) ὅσο q k (C).., Τὸ ἀνάλογο αὐτῆς τῆς παρατηρήσεως γιὰ ἀρνητικὲς τιμὲς τοῦ q ἀπεδείχθη ἀπὸ τοὺς lartag καὶ Vershynin [3] καὶ δείχνει ὅτι οἱ ἀρνητικοὶ q-μέσοι καὶ τὰ ἀρνητικὰ q-μέσα πλάτη ἔχουν κάτι παραπάνω ἀπὸ συμμετρικὴ συμπεριφορὰ ὅσον ἀφορᾶ στὴν εὐστάθειά τους: οἱ τιμές τους παραμένουν σταθερὲς σὲ διάστημα κατ οὐσίαν μεγαλύτερο τοῦ ( k, 0) ἢ τοῦ ( k, 0) ἀντιστοίχως. Γιὰ νὰ διατυπώσουμε τὸ ἀποτέλεσμα τῶν lartag καὶ Vershynin, ὁρίζουμε μιὰ καινούρια παράμετρο ὡς ἑξῆς: ἔστω C συμμετρικὸ κυρτὸ σῶμα στὸν R n ὁ ἀριθμὸς d(c) εἶναι ἡ ποσότητα { ({ d(c) := min log σ θ S n : θ C M(C) }) }, n. 2 Ἀντίστοιχα θέτουμε { ({ d (C) := d(c ) = min log σ θ S n : h C (θ) w(c) }) }, n. 2 Επικαλούμενοι τὴν ἰσοπεριμετρικὴ ἀνισότητα στὴν σφαίρα S n γιὰ τὶς Lipschitz συναρτήσεις C : S n (0, + ) καὶ h C : S n (0, + ), σὲ συνδυασμὸ μὲ τὸ γεγονὸς ὅτι ὁ μέσος Lévy 2

Κεφαλαιο : Εἰσαγωγὴ καὶ βασικὲς ἔννοιες (ποὺ ἐμφανίζεται στὴν διατύπωσι τῆς ἰσοπεριμετρικῆς ἀνισότητος) καὶ τὸ ὁλοκλήρωμα μίας νόρμας στὴν σφαίρα εἶναι περίπου ἴσα, μποροῦμε νὰ ἐλέγξουμε ὅτι d(c) c k(c) καὶ ὅτι d (C) c k (C) γιὰ κάποια ἀπόλυτη σταθερὰ c > 0 (ὑπενθυμίζουμε ὅτι μέσο Lévy μίας συναρτήσεως f : S n R ὀνομάζουμε ὁποιονδήποτε ἀριθμὸ med(f) ἔχει τὴν ἰδιότητα min { σ ( {θ : f(θ) med(f)} ), σ ( {θ : f(θ) med(f)} )} /2). Εχουμε τὸ ἀκόλουθο: Θεώρημα.2.6 (lartag-vershynin, 2007). Εστω C συμμετρικὸ κυρτὸ σῶμα στὸν R n. Γιὰ κάθε q (0, c d(c)) ἰσχύει ὅτι M(C) M q (C) c 2 M(C), ὅπου c, c 2 > 0 εἶναι ἀπόλυτες σταθερές. Προφανῶς, ἀπὸ τοὺς ὁρισμούς, ἔχουμε ἐπίσης γιὰ κάθε q (0, c d (C)) ὅτι w(c) w q (C) c 2 w(c)..3 Λογαριθμικὰ-κοῖλα μέτρα Γενίκευσις τῶν κυρτῶν σωμάτων εἶναι τὰ λογαριθμικὰ-κοῖλα μέτρα. Ενα Borel μέτρο µ στὸν R n λέγεται λογαριθμικὰ-κοῖλο ἄν, γιὰ κάθε δύο μὴ κενά, συμπαγῆ ὑποσύνολα A, B τοῦ R n καὶ γιὰ κάθε λ (0, ), ἰσχύει (.3.) µ(λa + ( λ)b) µ(a) λ µ(b) λ. Ἀντίστοιχα, μία συνάρτησις f : C [0, + ) μὲ πεδίο ὁρισμοῦ ἕνα κυρτὸ ὑποσύνολο C τοῦ R n λέγεται λογαριθμικὰ-κοίλη ἄν, γιὰ κάθε x, y C καὶ κάθε λ (0, ), ἰσχύει f(λx + ( λ)y) f(x) λ f(y) λ. Ἀπὸ τὴν (..2) βλέπουμε ὅτι τὸ μέτρο Lebesgue εἶναι λογαριθμικὰ-κοῖλο μέτρο. Ἀλλὰ καὶ ὁ περιορισμός του πάνω σὲ κάποιο κυρτὸ ὑποσύνολο τοῦ R n εἶναι λογαριθμικὰ-κοῖλο μέτρο ἀφοῦ, ἂν R n εἶναι κυρτό, τότε, γιὰ κάθε δύο μὴ κενά, συμπαγῆ ὑποσύνολα A, B R n καὶ κάθε λ (0, ), ἔχουμε ὅτι (λa + ( λ)b) λ(a ) + ( λ)(b ) A λ B λ, πάλι ἀπὸ τὴν ἀνισότητα Brunn-Minkowski. Επεται ὅτι ἡ χαρακτηριστικὴ συνάρτησις ἑνὸς κυρτοῦ σώματος εἶναι πυκνότητα (ὡς πρὸς τὸ μέτρο Lebesgue) ἑνὸς πεπερασμένου λογαριθμικὰκοίλου μέτρου μὲ συμπαγὴ φορέα. Υπάρχουν ὅμως καὶ πεπερασμένα λογαριθμικὰ-κοῖλα μέτρα στὸν R n ποὺ δὲν ἔχουν συμπαγὴ φορέα: γιὰ παράδειγμα, τὰ ἐκθετικὰ μέτρα μὲ πυκνότητα (ὡς πρὸς τὸ μέτρο Lebesgue) τὴν x R n a exp( a 2 x ) = a exp ( a 2 i n x i ), ὁπου a, a 2 > 0 θετικὲς παράμετροι, ἢ τὰ μέτρα τοῦ Gauss μὲ πυκνότητα τὴν x R n b exp( b 2 x 2 2 ), ὁπου 3

Κεφαλαιο : Εἰσαγωγὴ καὶ βασικὲς ἔννοιες b, b 2 > 0. Καὶ οἱ δύο αὐτὲς οἰκογένειες μέτρων ἔχουν τὸ χαρακτηριστικὸ τὰ μέτρα ποὺ ἀνήκουν σὲ αὐτὲς νὰ εἶναι ἀπολύτως συνεχῆ ὡς πρὸς τὸ μέτρο Lebesgue καὶ μάλιστα ἡ πυκνότητά τους νὰ εἶναι λογαριθμικὰ-κοίλη συνάρτησις. Αὐτό, ὅπως δείχνουν τὰ ἑπόμενα δύο θεωρήματα, ἰσχύει γιὰ ὅλα τὰ πεπερασμένα λογαριθμικὰ-κοῖλα μέτρα. Θεώρημα.3. (Ἀνισότητα Prékopa-Leindler). Εστω f, g, h : R n [0, + ) μετρήσιμες συναρτήσεις, καὶ ἔστω λ (0, ). Υποθέτουμε ὅτι οἱ f, g εἶναι ὁλοκληρώσιμες καὶ ὅτι γιὰ κάθε x, y R n ἰσχύει h(λx + ( λ)y) f(x) λ g(y) λ. Τότε, (.3.2) ( h R n R n f ) λ ( R n g ) λ. Παρατήρησις.3.2. Συνέπειες τῆς ἀνισότητος Prékopa-Leindler εἶναι τόσο ἡ ἀνισότητα Brunn- Minkowski (στὴν μορφὴ τῆς (..2)), ἀπὸ τὴν ὁποία ὅμως μποροῦμε ἔπειτα νὰ συμπεράνουμε καὶ τὴν (..)) ὅσο καὶ τὸ γεγονὸς ὅτι ἕνα πεπερασμένο μέτρο στὸν R n μὲ λογαριθμικὰ-κοίλη πυκνότητα ὡς πρὸς τὸ μέτρο Lebesgue εἶναι λογαριθμικὰ-κοῖλο. Πράγματι, γιὰ νὰ λάβουμε τὴν (..2), θεωροῦμε δύο μὴ κενά, συμπαγῆ ὑποσύνολα, L τοῦ R n καὶ λ (0, ), καὶ παρατηροῦμε ὅτι οἱ f =, g = L καὶ h = λ+( λ)l ἱκανοποιοῦν τὶς ὑποθέσεις τοῦ Θεωρήματος.3.. Ομως, τὸ συμπέρασμα (.3.2) γιὰ αὐτὲς τὶς f, g, h εἶναι ἀκριβῶς ἡ (..2). ὅταν ἡ πυκνότητα f µ ἑνὸς πεπερασμένου μέτρου µ στὸν R n εἶναι λογαριθμικὰ-κοίλη, τότε, γιὰ κάθε δύο μὴ κενά, συμπαγῆ ὑποσύνολα A, B τοῦ R n καὶ γιὰ κάθε λ (0, ), μποροῦμε νὰ θέσουμε f = A f µ, g = B f µ καὶ h = λa+( λ)b f µ καί, ἐφαρμόζοντας τὸ Θεώρημα.3., νὰ δείξουμε ὅτι ἱκανοποιεῖται ἡ συνθήκη (.3.) γιὰ τὸ µ. Τὸ ἀντίστροφο, δηλαδὴ ὄτι κάθε πεπερασμένο λογαριθμικὰ-κοῖλο μέτρο ἔχει μία λογαριθμικὰ-κοίλη πυκνότητα, ἀπεδείχθη ἀπὸ τὸν Borell [7]. Θὰ λέμε ὅτι ἔνα πεπερασμένο Borel μέτρο µ στὸν R n εἶναι μὴ ἐκφυλισμένο ἂν γιὰ κάθε ὑπερεπίπεδο H τοῦ R n ἰσχύει µ(h) < µ(r n ), ἂν δηλαδὴ ὁ φορέας τοῦ µ δὲν περιέχεται σὲ κάποιο γνήσιο ἀφινικὸ ὑπόχωρο τοῦ R n. Θεώρημα.3.3 (Borell, 975). Εστω µ ἕνα μὴ ἐκφυλισμένο, πεπερασμένο, λογαριθμικὰκοῖλο μέτρο στὸν R n. Τότε τὸ µ εἶναι ἀπολύτως συνεχὲς ὡς πρὸς τὸ μέτρο Lebesgue καὶ ἔχει μία λογαριθμικὰ-κοίλη πυκνότητα f µ (x) = dµ/dx. Εξαιτίας τῶν Θεωρημάτων.3. καὶ.3.3, στὸ ἑξῆς δὲν θὰ κάνουμε ἐν γένει διάκρισι μεταξὺ λογαριθμικὰ-κοίλων μέτρων καὶ λογαριθμικὰ-κοίλων συναρτήσεων, ἐνῷ, ὅταν θεωροῦμε (πεπερασμένο, μὴ ἐκφυλισμένο) λογαριθμικὰ-κοῖλο μέτρο µ στὸν R n, θὰ συμβολίζουμε μὲ f µ τὴν πυκνότητά 4

Κεφαλαιο : Εἰσαγωγὴ καὶ βασικὲς ἔννοιες του ὡς πρὸς τὸ μέτρο Lebesgue. Η ἑπομένη πρότασις δείχνει ὅτι κάθε λογαριθμικὰ-κοίλη συνάρτησις μὲ πεπερασμένο, θετικὸ ὁλοκλήρωμα (καὶ ἄρα, ἐξαιτίας τῶν παραπάνω, καὶ κάθε πεπερασμένο λογαριθμικὰ-κοῖλο μέτρο) ἔχει ῥοπὲς ὅλων τῶν τάξεων (γιὰ τὴν ἀπόδειξί της βλέπε π.χ. [3, Λῆμμα 2.2.]). Πρότασις.3.4. Εστω f : R n [0, + ) λογαριθμικὰ-κοίλη συνάρτησις μὲ πεπερασμένο, θετικὸ ὁλοκλήρωμα. Τότε μποροῦμε νὰ βροῦμε θετικὲς σταθερὲς A, B (ποὺ ἐξαρτῶνται ἀπὸ τὴν f) ὥστε νὰ ἔχουμε f(x) A exp( B x 2 ) γιὰ ὅλα τὰ x R n. Λέμε ὅτι ἕνα Borel μέτρο µ στὸν R n εἶναι ἄρτιο ἂν ἰσχύει µ(a) = µ( A) γιὰ κάθε Borel ὑποσύνολο A τοῦ R n, ἐνῷ λέμε μία συνάρτησι f : R n R ἄρτια ἂν ἰσχύει f(x) = f( x) γιὰ κάθε x. Ενα πεπερασμένο λογαριθμικὰ-κοῖλο μέτρο µ στὸν R n θὰ λέμε ὅτι ἔχει κέντρο βάρους (ἢ βαρύκεντρο) τὸ 0 ἂν ἰσχύει R n x, y dµ(x) = 0 γιὰ κάθε y R n ἀντίστοιχα γιὰ μία ὁλοκληρώσιμη λογαριθμικὰκοίλη συνάρτησι f : R n [0, + ). Θὰ χρησιμοποιοῦμε ἐπίσης τὶς φράσεις «κεντραρισμένο μέτρο» ἢ «κεντραρισμένη συνάρτησις». Γενικά, ὅπως καὶ γιὰ τὰ κυρτὰ σώματα, τὸ κέντρο βάρους ἑνὸς πεπερασμένου λογαριθμικὰ-κοίλου μέτρου µ στὸν R n (ἢ μίας ὁλοκληρώσιμης λογαριθμικὰ-κοίλης συναρτήσεως f : R n [0, + )) ὁρίζεται ὡς τὸ διάνυσμα bar(µ) := ( ) µ(r n xdµ(x) = ) R n µ(r n x, e dµ(x),..., ) R n µ(r n x, e n dµ(x), ) R n (ἢ ἀντίστοιχα τὸ διάνυσμα bar(f) := R n xf(x) d(x)/ R n f). Τὸ ἀκόλουθο ἀποτέλεσμα, ποὺ συγκρίνει τὴν τιμὴ στὸ κέντρο βάρους καὶ τὸ supremum μίας λογαριθμικὰ-κοίλης συναρτήσεως, ἀπεδείχθη ἀπὸ τὸν Fradelizi [7]. Θεώρημα.3.5 (Fradelizi, 997). Εστω f : R n [0, + ) μία λογαριθμικὰ-κοίλη συνάρτησις μὲ πεπερασμένο, θετικὸ ὁλοκλήρωμα, καὶ ἔστω x 0 = bar(f). Τότε f(x 0 ) f e n f(x 0 ). Επίσης τὰ λογαριθμικὰ-κοῖλα μέτρα ἔχουν καὶ τὴν παρακάτω ἰδιότητα. Λῆμμα.3.6 (Λῆμμα τοῦ Grünbaum, [24]). Εστω µ ἕνα λογαριθμικὰ-κοῖλο μέτρο πιθανότητος στὸν R n μὲ κέντρο βάρους τὸ 0. Τότε, γιὰ κάθε θ S n. e µ({x Rn : x, θ }) e Αν ἔχουμε μία ὀλοκληρώσιμη συνάρτησι f : R n [0, ) καὶ ἕναν ὑπόχωρο F G n,k γιὰ κάποιο k < n, μποροῦμε νὰ ὁρίσουμε τὴν περιθώρια συνάρτησι π F f : F [0, ) τῆς f ὡς πρὸς τὸν ὑπόχωρο F θέτοντας (.3.3) π F f(x) := f(y)dy. x+f 5

Κεφαλαιο : Εἰσαγωγὴ καὶ βασικὲς ἔννοιες Επίσης, ἂν ἔχουμε ἕνα Borel μέτρο µ στὸν R n, ὁρίζουμε τὸ περιθώριο μέτρο τοῦ µ ὡς πρὸς τὸν ὑπόχωρο F θέτοντας π F µ(a) := µ(p roj F (A)) γιὰ ὄλα τὰ Borel ὑποσύνολα τοῦ F. Φυσικά, ἂν τὸ µ εἶναι πεπερασμένο καὶ ἀπολύτως συνεχὲς ὡς πρὸς τὸ μέτρο Lebesgue, καὶ ἔχει πυκνότητα f µ, τότε τὸ περιθώριο μέτρο τοῦ µ ὡς πρὸς κάποιον ὑπόχωρο F ὁρίζεται καὶ μέσῳ τοῦ πρώτου ὁρισμοῦ, ἀφοῦ θὰ εἶναι ἀπολύτως συνεχὲς καὶ θὰ ἔχει πυκνότητα f πf (µ) = π F f µ. Κάποιες βασικὲς ἰδιότητες τῶν περιθωρίων συναρτήσεων καὶ μέτρων συνοψίζονται στὴν παρακάτω πρότασι. Πρότασις.3.7. Εστω f : R n [0, ) μία ὁλοκληρώσιμη συνάρτησις, ἔστω ἀκέραιος k < n καὶ ἔστω F G n,k. Τότε:. Αν ἡ f εἶναι ἄρτια, τὸ ἴδιο ἰσχύει καὶ γιὰ τὴν περιθώρια συνάρτησι π F f. 2. Εχουμε ὅτι F π F f(x) dx = f(x) dx. R n 3. Γιὰ ὁποιαδήποτε μετρήσιμη συνάρτησι g : F R ἰσχύει g(p roj F (x))f(x) dx = g(x) π F f(x) dx. R n F 4. Γιὰ κάθε θ S F, (.3.4) F x, θ π F f(x)dx = x, θ f(x)dx. R n Εἰδικότερα, ἂν ἡ f ἔχει κέντρο βάρους τὸ 0, τότε τὸ ἴδιο ἰσχύει καὶ γιὰ τὴν περιθώρια συνάρτησι π F f. 5. Γιὰ ὄλα τὰ p > 0 καὶ θ S F, x, θ p f(x)dx = R n F x, θ p π F f(x)dx. 6. Αν ἡ f εἶναι λογαριθμικὰ-κοίλη, τότε καὶ ἠ π F f εἶναι λογαριθμικὰ-κοίλη. Επιπλέον, ἀντίστοιχες ἰδιότητες ἰσχύουν καὶ γιὰ τὰ περιθώρια μέτρα ἑνὸς μέτρου µ στὸν R n τὸ ὁποῖο εἶναι πεπερασμένο καὶ ἀπολύτως συνεχὲς ὡς πρὸς τὸ μέτρο Lebesgue. Σὲ πολλὰ προβλήματα τῆς Ἀσυμπτωτικῆς Κυρτῆς Γεωμετρίας, συμπεριλαμβανομένου καὶ τοῦ προβλήματος τῆς ἰσοτροπικῆς σταθερᾶς, εἶναι πολὺ χρήσιμο νὰ γνωρίζουμε τὴν συμπεριφορὰ τῶν L p - νορμῶν (ὡς πρὸς κάποιο λογαριθμικὰ-κοῖλο μέτρο) τῶν γραμμικῶν συναρτησοειδῶν ἢ διαφόρων ἡμινορμῶν, συμπεριφορὰ γιὰ τὴν ὁποία μποροῦμε νὰ ἐξαγάγουμε πληροφορίες ἀπὸ τὸ παρακάτω λῆμμα, τὸ ὁποῖο ἀπεδείχθη ἀπὸ τὸν Borell [6]. 6

Κεφαλαιο : Εἰσαγωγὴ καὶ βασικὲς ἔννοιες Λῆμμα.3.8 (Λῆμμα τοῦ Borell, 974). Εστω µ ἕνα λογαριθμικὰ-κοῖλο μέτρο πιθανότητος στὸν R n καὶ ἔστω A R n ἕνα κυρτὸ καὶ συμμετρικὸ σύνολο. Υποθέτουμε ὅτι ἰσχύει µ(a) 2/3 καὶ θέτουμε a = µ(a). Τότε γιὰ κάθε t > ἔχουμε ὅτι ( a µ((ta) c ) a a ) t+ 2 exp( ct), ὅπου (ta) c εἶναι τὸ συμπλήρωμα τοῦ ta καὶ c = log 2/2 (αὐτὸ σημαίνει ὅτι ὁ ὄγκος τοῦ συμπληρώματος τοῦ ta φθίνει ἐκθετικὰ καθῶς τὸ t αὐξάνεται). Μία πολὺ σημαντικὴ συνέπεια τοῦ λήμματος τοῦ Borell εἶναι οἱ ἀκόλουθες ἀντίστροφες ἀνισότητες Hölder ποὺ ἱκανοποιοῦν οἱ L p -νόρμες τῶν γραμμικῶν συναρτησοειδῶν (ὡς πρὸς ὁποιοδήποτε λογαριθμικὰ-κοῖλο μέτρο πιθανότητος µ). Πρότασις.3.9. Εστω µ ἕνα λογαριθμικὰ-κοῖλο μέτρο πιθανότητος στὸν R n καὶ ἔστω f : R n R μία ἡμινόρμα. (π.χ. f =, y γιὰ κάποιο y R n ἢ f εἶναι κάποια νόρμα στὸν R n ). Τότε, γιὰ κάθε q > p, ἔχουμε ὅτι ( ) /p ( ) /q ( ) f(x) p dµ(x) f(x) q q /p dµ(x) β f(x) p dµ(x), R n R n p R n ὅπου β > 0 εἶναι μία ἀπόλυτη σταθερά. Γενικὰ λέμε ὅτι ἕνα λογαριθμικὰ-κοῖλο μέτρο πιθανότητος µ στὸν R n εἶναι ψ α μὲ σταθερὰ β α, ὅπου α [, 2], ἂν ἰσχύει ( ) /q ( ) /2 x, y q dµ(x) β α q /α x, y 2 dµ(x). R n R n Η παραπἀνω πρότασις δείχνει ἑπομένως ὅτι ὅλα τὰ λογαριθμικὰ-κοῖλα μέτρα πιθανότητος, καὶ ἄρα, πιὸ εἰδικά, ὅλα τὰ κυρτὰ σώματα ὄγκου, εἶναι ψ μὲ μία ἀπόλυτη σταθερὰ β..3. Γενικὸς ὁρισμὸς τῆς ἰσοτροπικῆς σταθερᾶς Γενικεύοντας τὸν ὁρισμὸ ἑνὸς ἰσοτροπικοῦ κυρτοῦ σώματος, λέμε ὅτι ἕνα πεπερασμένο λογαριθμικὰκοῖλο μέτρο µ στὸν R n εἶναι ἰσοτροπικὸ ἂν τὸ µ εἶναι μέτρο πιθανότητος, δηλαδὴ µ(r n ) =, ἂν ἔχει κέντρο βάρους τὸ 0 καὶ ἂν ἱκανοποιεῖ τὴν ἰσοτροπικὴ συνθήκη (.3.5) x, θ 2 dµ(x) = R n γιὰ ὅλα τὰ θ S n (ὁπότε τότε εἶναι καὶ μὴ ἐκφυλισμένο). Ἀντίστοιχα, μία λογαριθμικὰ-κοίλη συνάρτησις f : R n [0, + ) μὲ πεπερασμένο, θετικὸ ὁλοκλήρωμα θὰ λέγεται ἰσοτροπικὴ ἂν R n f =, ἂν τὸ κέντρο βάρους τῆς f εἶναι τὸ 0 καὶ ἂν ἱκανοποιεῖται ἡ ἰσοτροπικὴ συνθήκη R n x, θ 2 f(x) d(x) = 7