Περιεχόμενα. Πρόλογος Κεφάλαιο 1 Το σύγχρονο πλαίσιο της διαχείρισης κινδύνου... 15

Περιεχόμενα Πρόλογος... 13 Κεφάλαιο 1 Το σύγχρονο πλαίσιο της διαχείρισης κινδύνου... 15 1.1 Είδη κινδύνου... 17 1.2 Κίνδυνοι της αγοράς... 19 1.2.1 Κίνδυνος τιμής μετοχής... 19 1.2.2 Κίνδυνος επιτοκίου... 19 1.2.3 Κίνδυνος συναλλαγματικής ισοτιμίας... 21 1.2.4 Κίνδυνος τιμής εμπορεύματος... 21 1.3 Πιστωτικοί κίνδυνοι... 21 1.3.1 Πιστωτικός κίνδυνος αντισυμβαλλομένου... 21 1.3.2 Πιστωτικός κίνδυνος προϊόντος... 22 1.4 Κίνδυνοι ρευστότητας... 23 1.4.1 Κίνδυνος ρευστότητας αγοράς... 23 1.4.2 Κίνδυνος ρευστότητας χρηματικών ροών... 23 1.5 Λειτουργικοί κίνδυνοι... 24 1.5.1 Κίνδυνος απάτης... 24 1.5.2 Κίνδυνος εκτέλεσης... 24 1.5.3 Τεχνολογικός κίνδυνος... 24 1.5.4 Κίνδυνος υποδείγματος... 25 1.6 Νομικοί κίνδυνοι... 25 1.7 Η μέτρηση του κινδύνου... 25 1.8 Επίπεδα διαχείρισης κινδύνου... 28 1.9 Η προσέγγιση RiskMerics στη μέτρηση των κινδύνων της αγοράς... 30 1.9.1 Η διαδικασία μέτρησης κινδύνου... 31 1.9.2 Παράγοντες κινδύνου... 31 1.9.3 Μετρήσεις κινδύνου χαρτοφυλακίων... 31 1.9.4 Συνεπή κριτήρια κινδύνου... 33

6 ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΙΝΔΥΝΩΝ ΜΕ ΤΟ MATLAB 1.9.5 Αξιολόγηση των μετρήσεων κινδύνου... 34 1.9.6 Back esing και sress esing... 34 1.9.7 Μοντελοποίηση των παραγόντων κινδύνου... 36 1.10 Εφαρμογές της VaR... 37 1.10.1 Σύγκριση των κινδύνων διαφορετικών θέσεων... 37 1.10.2 Αναπροσαρμογή αποδόσεων... 38 1.10.3 Κεφαλαιακή επάρκεια... 38 1.11 Ανταπόκριση στον κίνδυνο... 39 1.12 Basel II... 39 1.12.1 Πρώτος πυλώνας: Ελάχιστες κεφαλαιακές απαιτήσεις... 42 1.12.2 Δεύτερος πυλώνας: Εποπτική αξιολόγηση... 44 1.12.3 Τρίτος πυλώνας: Πειθαρχία της αγοράς... 44 1.13 Σύνοψη... 45 Βιβλιογραφία... 45 Ερωτήσεις... 46 Κεφάλαιο 2 Στατιστικό υπόβαθρο... 47 2.1 Ιδιότητες προσδοκιών... 48 2.2 Συσχέτιση και συνδιακύμανση... 49 2.3 Εκτιμήτριες δείγματος... 50 2.3.1 Εκτίμηση μέσης τιμής και διασποράς... 50 2.3.2 Εκτίμηση συνδιακύμανσης και συσχέτισης... 52 2.4 Κανονικές μεταβλητές... 53 2.4.1 Η τυπική απόκλιση ως μέτρηση κινδύνου... 54 2.4.2 Η τυπική κανονική κατανομή... 55 2.4.3 Χρησιμοποιώντας τους πίνακες της τυπικής κανονικής κατανομής.. 56 2.4.4 Μετατροπή των κανονικών τυχαίων μεταβλητών... 60 2.5 Η κατανομή x 2 και η μη-κεντρική κατανομή x 2... 63 2.6 Η κατανομή (Suden)... 68 2.7 Η λογαριθμική κανονική κατανομή... 69 2.8 Η κατανομή Poisson... 70 2.9 Η κατανομή Βήτα... 71 2.10 Διαστήματα εμπιστοσύνης... 72 2.10.1 Δίπλευρα διαστήματα εμπιστοσύνης... 72 2.10.2 Διαστήματα εμπιστοσύνης για τη μεταβλητότητα... 75 2.11 Αποκλίσεις από την κανονική κατανομή... 77 2.12 Έλεγχοι κανονικότητας εμπειρικών κατανομών... 79 2.12.1 Ο έλεγχος προσαρμογής στην κανονική κατανομή x 2... 79 2.12.2 Διαγράμματα κανονικής πιθανότητας... 80 2.12.3 Διαγράμματα αθροιστικής πιθανότητας... 82 2.13 Η κανονική κατανομή για πολλές μεταβλητές... 83 2.14 Σύνοψη... 84 Βιβλιογραφία... 84 Ερωτήσεις & Προβλήματα... 85

Περιεχόμενα 7 Κεφάλαιο 3 Μοντελοποίηση χρηματοοικονομικών τιμών και αποδόσεων... 87 3.1 Αποδόσεις... 88 3.1.1 Απλές αποδόσεις... 88 3.1.2 Απλές αποδόσεις πολλαπλών περιόδων... 89 3.1.3 Λογαριθμικές αποδόσεις... 90 3.1.4 Η επίδραση των μερισμάτων στις αποδόσεις των μετοχών... 94 3.1.5 Σύγκριση απλών και λογαριθμικών αποδόσεων... 94 3.2 Το μοντέλο του τυχαίου περιπάτου... 96 3.2.1 Μετοχές, εμπορεύματα και συναλλαγματικές ισοτιμίες... 96 3.2.2 Κανονικές και λογαριθμικές κανονικές μεταβλητές... 98 3.2.3 Προϊόντα σταθερού εισοδήματος... 101 3.2.4 Στάσιμος τυχαίος περίπατος... 101 3.3 Ετεροσκέδαση αποδόσεων... 105 3.4 Αυτοσυσχέτιση αποδόσεων... 106 3.4.1 Το στατιστικό Ljung-Box-Pierce (Q)... 107 3.5 Το μοντέλο για την κατανομή των αποδόσεων χαρτοφυλακίου... 112 3.6 Σύνοψη... 113 Βιβλιογραφία... 113 Ερωτήσεις & Προβλήματα... 114 Κεφάλαιο 4 Αξία σε κίνδυνο VaR...115 4.1 Τι ακριβώς εκφράζει η αξία σε κίνδυνο (VaR)... 116 4.2 Παράμετροι υπολογισμού της VaR... 121 4.2.1 Η επιλογή του επιπέδου εμπιστοσύνης... 122 4.3 Απόλυτη και σχετική VaR... 122 4.3.1 Γενικές σχέσεις υπολογισμού... 123 4.4 Υπολογίζοντας τη VaR... 124 4.4.1 Επιλογή των παραγόντων κινδύνου... 124 4.4.2 Επιλογή μεθοδολογίας μοντελοποίησης των μεταβολών των παραγόντων κινδύνου... 125 4.5 Παραμετρική εκτίμηση της VaR... 125 4.5.1 Εκτίμηση της VaR για κανονική κατανομή αποδόσεων... 126 4.5.2 VaR χαρτοφυλακίου δύο κεφαλαιουχικών στοιχείων... 128 4.5.3 VaR χαρτοφυλακίου n κεφαλαιουχικών στοιχείων... 131 4.6 Ισοδυναμία μετρήσεων VaR για διαφορετικές παραμέτρους υπολογισμού... 137 4.7 Κριτική της προσέγγισης διακύμανσης-συνδιακύμανσης... 138 4.8 Δεσμευμένη VaR (CVaR)... 140 4.9 Back esing... 142 4.9.1 Συσσώρευση αποκλίσεων από τη VaR και ακραίες τιμές... 148 4.10 Sress esing... 149 4.11 Σύνοψη... 151 Βιβλιογραφία... 152 Ερωτήσεις & Προβλήματα... 152

8 ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΙΝΔΥΝΩΝ ΜΕ ΤΟ MATLAB Κεφάλαιο 5 Οριακή και επαυξητική VaR...155 5.1 Οριακή VaR... 156 5.2 Επαυξητική VaR... 166 5.3 Παραμετρικός υπολογισμός της ΙVaR... 168 5.4 Απόδειξη της ιδιότητας ΔVaR... 172 5.5 Η κατάρρευση της Barings... 175 5.5.1 Σύντομη ιστορία της τράπεζας... 176 5.5.2 Οι δραστηριότητες του Nick Leeson στις ασιατικές αγορές... 177 5.5.3 Ανάλυση κινδύνου των θέσεων του Nick Leeson... 180 5.6 Σύνοψη... 185 Βιβλιογραφία... 185 Ερωτήσεις & Προβλήματα... 186 Κεφάλαιο 6 H εκτίμηση της VaR όταν οι διακυμάνσεις και οι συσχετίσεις είναι συναρτήσεις του χρόνου...189 6.1 Ιστορική μεταβλητότητα... 190 6.2 Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy (αυτοπαλινδρομικός ετεροσκεδασμός υπό συνθήκη)... 190 6.3 Κινούμενος μέσος όρος εκθετικής στάθμισης... 191 6.3.1 Εκτιμήσεις συνδιακυμάνσεων και συσχετίσεων με το μοντέλο EWMA... 192 6.3.2 Μακροπρόθεσμη πρόβλεψη μεταβλητότητας, συνδιακύμανσης και συσχέτισης με το μοντέλο EWMA... 193 6.3.3 Η βέλτιστη τιμή του παράγοντα εξομάλυνσης... 194 6.4 Generalized Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy (GARCH, γενικευμένος αυτοπαλινδρομικός ετεροσκεδασμός υπό συνθήκη)... 195 6.4.1 Εκτίμηση των παραμέτρων του μοντέλου GARCH... 197 6.4.2 Η εκτίμηση του μοντέλου GARCH με το Malab... 198 6.4.3 Μακροπρόθεσμη πρόβλεψη μεταβλητότητας με το μοντέλο GARCH... 208 6.4.4 Η χρονική διάρθρωση της μεταβλητότητας... 208 6.5 Σύνοψη... 213 Βιβλιογραφία... 213 Ερωτήσεις & Προβλήματα... 213 Κεφάλαιο 7 Η μεθοδολογία εκτίμησης αγοραίων κινδύνων με την VaR...215 7.1 Μετοχές... 216 7.2 Συναλλαγματικές ισοτιμίες... 219 7.3 Προϊόντα σταθερού εισοδήματος... 219 7.3.1 Η χρονική διάρθρωση των επιτοκίων... 220 7.3.2 Διάρκεια και κυρτότητα ομολόγου... 224

Περιεχόμενα 9 7.3.3 Απεικόνιση χρηματικών ροών ομολόγου... 227 7.3.4 Υπολογισμός VaR ομολόγου... 233 7.4 Διατραπεζικά επιτόκια και παράγωγα... 234 7.5 Προθεσμιακά συμβόλαια σε συναλλαγματικές ισοτιμίες... 236 7.6 Συμφωνίες ανταλλαγής επιτοκίων... 241 7.7 Προθεσμιακές συμβάσεις επιτοκίου (Forward rae agreemens, FRAs)... 244 7.8 Συμβόλαια μελλοντικής εκπλήρωσης σε εμπορεύματα... 252 7.9 Σύνοψη... 256 Βιβλιογραφία... 256 Ερωτήσεις & Προβλήματα... 256 Κεφάλαιο 8 Μη γραμμικές αποδόσεις...259 8.1 Γραμμικές και μη γραμμικές θέσεις... 259 8.2 Προϊόντα σταθερού εισοδήματος... 260 8.3 Δικαιώματα προαίρεσης... 263 8.4 Δικαιώματα σε μετοχές... 264 8.5 Δικαιώματα σε συνάλλαγμα, σε μετοχές που δεν αποδίδουν μέρισμα έως τη λήξη, και σε χρηματιστηριακούς δείκτες... 267 8.6 Εξωτικά δικαιώματα... 268 8.7 Στρατηγικές με δικαιώματα... 270 8.8 Συντελεστές ευαισθησίας της τιμής των δικαιωμάτων προαίρεσης... 275 8.9 Προσέγγιση της αξίας των δικαιωμάτων προαίρεσης με το ανάπτυγμα Taylor... 279 8.10 Η κατανομή της απόδοσης των δικαιωμάτων προαίρεσης... 283 8.11 Εκτίμηση της VaR με τη δέλτα-κανονική (γραμμική) προσέγγιση... 288 8.12 Η δέλτα-γάμμα-κανονική (μη γραμμική) προσέγγιση... 292 8.13 Εκτίμηση της VaR με την προσέγγιση των κατανομών Johnson... 293 8.14 Εκτίμηση της VaR με την προσέγγιση του αναπτύγματος Cornish-Fisher... 297 8.15 Εκτίμηση της VaR με την προσέγγιση βελτιστοποίησης Wilson... 299 8.16 Πολυωνυμική προσέγγιση εκτίμησης της VaR... 299 8.17 Σύνοψη... 304 Βιβλιογραφία... 304 Ερωτήσεις & Προβλήματα... 305 Κεφάλαιο 9 Ιστορική προσομοίωση και προσομοίωση Mone Carlo...307 9.1 Υπολογισμός της VaR με ιστορική προσομοίωση... 307 9.2 Διάστημα εμπιστοσύνης για τη VaR που υπολογίζεται με ιστορική προσομοίωση... 319 9.2.1 Υπόθεση κανονικής κατανομής... 319 9.2.2 Μη κανονικές κατανομές... 321 9.3 Κριτική της προσέγγισης ιστορικής προσομοίωσης... 322

10 ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΙΝΔΥΝΩΝ ΜΕ ΤΟ MATLAB 9.4 Προσομοίωση Mone Carlo... 323 9.4.1 Mone Carlo για μία μεταβλητή... 323 9.4.2 Mone Carlo για επιτόκια... 328 9.4.3 Mone Carlo για πολλές μεταβλητές... 329 9.4.4 Η παραγοντοποίηση Cholesky για n μεταβλητές... 338 9.4.5 Υπολογισμός VaR χαρτοφυλακίου με προσομοίωση Mone Carlo... 338 9.5 Διαστήματα εμπιστοσύνης για τη VaR που υπολογίζεται με προσομοίωση Mone Carlo... 340 9.6 Κριτική της προσέγγισης Mone Carlo... 340 9.7 Σύνοψη... 341 Βιβλιογραφία... 341 Ερωτήσεις & Προβλήματα... 342 Κεφάλαιο 10 Πιστωτικοί κίνδυνοι...345 10.1 Πιστοληπτικές αξιολογήσεις... 345 10.1.1 Πίνακες μετάβασης... 346 10.1.2 Αθροιστικοί πίνακες μετάβασης... 347 10.1.3 Ποσοστά ανάκτησης... 348 10.2 Οι παράγοντες που επηρεάζουν τον πιστωτικό κίνδυνο... 349 10.3 Το γενικό πλαίσιο της εκτίμησης του πιστωτικού κινδύνου... 350 10.4 Η μοντελοποίηση του πιστωτικού κινδύνου... 351 10.5 Προσέγγιση κεφαλαιακής δομής... 354 10.6 Προσέγγιση απλοποιημένου τύπου... 360 10.7 Ανάλυση αποδημίας κινδύνου: Το μοντέλο CrediMerics... 362 10.7.1 Προσδιορισμός της αξίας του ομολόγου... 363 10.7.2 Επίπεδα μετάβασης... 369 10.7.3 Υπολογισμός της κοινής πιθανότητας μεταβολής της πιστοληπτικής ικανότητας... 371 10.7.4 Υπολογισμός της μεταβλητότητας του χαρτοφυλακίου... 374 10.7.5 Υπολογισμός των συσχετίσεων των αποδόσεων ενεργητικού... 380 10.7.6 Υπολογισμός της πιστωτικής VaR με προσομοίωση Mone-Carlo... 382 10.8 Σύνοψη... 388 Βιβλιογραφία... 388 Ερωτήσεις & Προβλήματα... 389 Κεφάλαιο 11 Οι βασικές λειτουργίες του Malab...391 11.1 Βασικές πράξεις και ορισμός μεταβλητών... 392 11.1.1 Εισαγωγή εντολών... 392 11.1.2 Ορισμός μεταβλητών... 393 11.1.3 Μορφοποίηση απεικόνισης μεταβλητών... 394 11.1.4 Βασικές μαθηματικές συναρτήσεις... 394

Περιεχόμενα 11 11.2 Πράξεις με διανύσματα και πίνακες... 396 11.2.1 Ορισμός πίνακα... 396 11.2.2 Δημιουργία διανύσματος... 397 11.2.3 Δημιουργία δισδιάστατου πίνακα... 399 11.2.4 Πράξεις με πίνακες... 401 11.3 M-Files... 405 11.3.1 Αρχεία scrip... 406 11.3.2 Εμφάνιση αποτελεσμάτων... 407 11.3.3 Αρχεία συναρτήσεων... 409 11.4 Προγραμματισμός στο Malab... 411 11.4.1 Σχεσιακοί και λογικοί τελεστές... 411 11.4.2 Δομές επανάληψης και ελέγχου... 412 11.5 Δομές (Srucures)... 420 11.6 Γραφικές παραστάσεις... 421 11.6.1 Δημιουργία δισδιάστατων γραφικών παραστάσεων... 421 11.6.2 Δημιουργία λογαριθμικών και ημιλογαριθμικών γραφικών παραστάσεων... 423 11.6.3 Δημιουργία τρισδιάστατων γραφικών παραστάσεων... 425 11.7 Συναρτήσεις για τη δημιουργία διαφόρων τύπων διαγραμμάτων... 427 11.8 Σύνοψη... 428 Βιβλιογραφία... 428 Ερωτήσεις & Προβλήματα... 429 Παράρτημα Ορίζουσες, μήτρες και γραμμικά συστήματα εξισώσεων...433 Ευρετήριο...455

Κεφάλαιο 8 Μη γραμμικές αποδόσεις Στο κεφάλαιο αυτό, επεκτείνουμε το πλαίσιο της εκτίμησης των αγοραίων κινδύνων με τη VaR, πλαίσιο που παρουσιάσαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο, σε χρηματοοικονομικά προϊόντα με μη γραμμικές αποδόσεις. Το σημαντικότερο ίσως πρακτικό πρόβλημα που αντιμετωπίζουμε όταν χρησιμοποιούμε την προσέγγιση διακύμανσης-συνδιακύμανσης, είναι ο χειρισμός των θέσεων όπου οι αποδόσεις δεν είναι γραμμικές συναρτήσεις των παραγόντων κινδύνου. Χαρακτηριστικό παράδειγμα τέτοιου είδους χρηματοοικονομικών προϊόντων αποτελούν ορισμένα παράγωγα, οι αποδόσεις των οποίων δεν είναι γραμμικές συναρτήσεις των επιτοκίων, των τιμών των μετοχών, κτλ. 8.1 Γραμμικές και μη γραμμικές θέσεις Εάν συμβολίσουμε τη σχετική μεταβολή στην αξία μιας θέσης τη χρονική στιγμή ως r, λέμε ότι η θέση είναι γραμμική εφόσον ισχύει ότι r = δ r (8.1) όπου δ είναι μια σταθερά και r είναι η απόδοση του παράγοντα κινδύνου. Σε μια γραμμική θέση, υπάρχει μια «ένα-προς-ένα» γραμμική αντιστοιχία μεταξύ της α- πόδοσης του παράγοντα κινδύνου και της απόδοσης της θέσης. Μια θέση σε μετοχή είναι γραμμική, καθώς ο παράγοντας κινδύνου είναι η τιμή της μετοχής και η τιμή του δ είναι ίση με τη μονάδα, δηλαδή ισχύει ότι r r (8.2) Οι θέσεις σε παράγωγα μπορεί να είναι γραμμικές ή μη γραμμικές. Γενικά, η αξία των θέσεων σε παράγωγα εξαρτάται από την αξία κάποιου άλλου χρεογράφου.

260 ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΙΝΔΥΝΩΝ ΜΕ ΤΟ MATLAB Πίνακας 8.1 Τα βασικά χρηματοοικονομικά εργαλεία και οι αντίστοιχες υποκείμενες μεταβλητές (Zangari, 1996c) Χρηματοοικονομικό Είδος θέσης εργαλείο Υποκείμενη τιμή / ισοτιμία Απλή (γραμμική) Ομόλογο Τιμή ομολόγου Μετοχή Χρηματιστηριακός δείκτης Συνάλλαγμα Συναλλαγματική ισοτιμία Εμπόρευμα Τιμή εμπορεύματος Swap επιτοκίων (IRS) Τιμή swap Γραμμικό παράγωγο FRN Τιμή χρηματαγοράς FX forward Συν. ισ. / τιμή χρηματαγοράς FRA Τιμή χρηματαγοράς Swap συναλλάγματος Τιμή swap/συναλ. ισοτιμία Μη γραμμικό παράγωγο Sock opion Τιμή μετοχής Bond opion Τιμή ομολόγου FX opion Συναλλαγματική ισοτιμία Για παράδειγμα, η αξία ενός FRA, που είναι γραμμικό παράγωγο, εξαρτάται από τη μελλοντική τιμή ενός επιτοκίου (ο παράγοντας κινδύνου είναι το συγκεκριμένο επιτόκιο). Σε αντίθεση, άλλα παράγωγα παρουσιάζουν μη γραμμική σχέση μεταξύ της σχετικής μεταβολής της αξίας της θέσης στο παράγωγο και της τιμής της υποκείμενης μεταβλητής, που αποτελεί τον παράγοντα κινδύνου, για τη συγκεκριμένη θέση. Στην περίπτωση μη γραμμικών θέσεων, η σχέση (8.1) γίνεται r = ϕ r (8.3) όπου φ( ) είναι μια μη γραμμική συνάρτηση. Για παράδειγμα, όπως μπορούμε να δούμε στην Εικόνα 8.1, οι μεταβολές στην τιμή ενός δικαιώματος αγοράς σε μετοχή είναι μη γραμμική συνάρτηση της τιμής της μετοχής. Στον Πίνακα 8.1 παρουσιάζονται μερικά επιλεγμένα χρηματοοικονομικά προϊόντα με γραμμικές και μη γραμμικές σχέσεις. ( ) 8.2 Προϊόντα σταθερού εισοδήματος Στην περίπτωση των προϊόντων σταθερού εισοδήματος, η υποκείμενη αξία εκφράζεται στη βάση τιμών των ισοδύναμων ομολόγων δίχως τοκομερίδια. Εναλλακτικά, μπορούμε να εκφράσουμε τις υποκείμενες αποδόσεις στη βάση των αποδόσεων στη λήξη. Χρησιμοποιώντας συνεχή ανατοκισμό, η τιμή ενός ομολόγου δίχως τοκομερίδια (ανά 1 ονομαστικής αξίας) n περιόδων δίνεται από την παρακάτω σχέση όπου y είναι η τρέχουσα απόδοση στη λήξη. yn P = e (8.4) Η προσέγγιση δεύτερης τάξης για την απόδοση του P είναι η παρακάτω

8 Μη γραμμικές αποδόσεις 261 Εικόνα 8.1 Η τιμή δικαιώματος αγοράς ως συνάρτηση του χρόνου έως τη λήξη (P = 60, Κ = 60, = σ = 35%, r = 5%) Δy 1 2 Δy r = yn + ( yn ) (8.5) y 2 y Και ισοδύναμα 1 2 2 2 r = ynr + y n r (8.6) 2 όπου r = (Δy /y ). Από τη σχέση (8.6) βλέπουμε ότι, εάν αγνοήσουμε τον όρο δεύτερης τάξης, τότε η απόδοση του ομολόγου είναι μια γραμμική συνάρτηση της απόδοσης στη λήξη, αλλά δεν υπάρχει «ένα-προς-ένα» αντιστοίχιση (διαφορετικοί συνδυασμοί τιμών του y και του n δίνουν την ίδια απόδοση ομολόγου για δεδομένη απόδοση r ). Από την άλλη, εάν χρησιμοποιήσουμε και τον όρο δεύτερης τάξης, η σχέση είναι μη γραμμική. Για προϊόντα της χρηματαγοράς, δηλαδή για λήξεις μικρότερες του ενός έτους, η σχέση που είναι ισοδύναμη με τη σχέση(8.4) είναι 1 P = (8.7) n 1+ y ( ) Οι επαγγελματίες των αγορών συνήθως εκφράζουν τις μεταβλητότητες των προϊόντων σταθερού εισοδήματος στη βάση της απόδοσης στη λήξη. Από τη σχέση (8.4), μπορούμε να εκφράσουμε την απόδοση της τιμής ως 2

262 ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΙΝΔΥΝΩΝ ΜΕ ΤΟ MATLAB P r = ln = n( y 1 y) (8.8) P 1 Έτσι λοιπόν, η τυπική απόκλιση των αποδόσεων των τιμών με συνεχή ανατοκισμό δίνεται από την παρακάτω σχέση σ = nσ ( y 1 y) (8.9) όπου σ(y -1 y ) είναι η τυπική απόκλιση της διαφοράς y -1 y. Από τη σχέση (8.9) βλέπουμε λοιπόν ότι η μεταβλητότητα των αποδόσεων των τιμών είναι το γινόμενο των περιόδων έως τη λήξη επί την τυπική απόκλιση των μεταβολών των αποδόσεων στη λήξη. Επαναλαμβάνοντας την ίδια διαδικασία για τη σχέση (8.7), βρίσκουμε ότι η απόδοση της τιμής είναι P 1+ y 1 r = ln = n ln (8.10) P 1 1 + y Χρησιμοποιώντας απλό ανατοκισμό, η τυπική απόκλιση των αποδόσεων των τιμών είναι 1+ y σ = nσ ln (8.11) 1 + y 1 όπου σ[ln((1 + y )/(1 + y -1 ))] είναι η τυπική απόκλιση του ln((1 + y )/(1 + y -1 )). Σε γενικές γραμμές, η μεθοδολογία υπολογισμού της VaR μιας μελλοντικής χρηματικής ροής η οποία θα συμβεί σε T ημέρες για έναν ορίζοντα πρόβλεψης ημερών ( < T) συνίσταται στα παρακάτω βήματα. Καταρχήν, χρησιμοποιούμε την απόδοση στη λήξη T- ημερών y T-, για να προεξοφλήσουμε τη χρηματική ροή που θα συμβεί σε T ημέρες από σήμερα. Θα συμβολίζουμε την παρούσα αξία της χρηματικής ροής ως V T-. Έπειτα, μπορούμε να υπολογίσουμε τη VaR ως εξής VaR zaσt VT = (8.12) Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε, ότι ένας επενδυτής έχει μια κατάθεση που αποφέρει το επιτόκιο ενός έτους της χρηματαγοράς. Θέλουμε να υπολογίσουμε τη VaR για χρονικό ορίζοντα τριών μηνών και για επίπεδο εμπιστοσύνης 95%. Δηλαδή, θέλουμε να εκτιμήσουμε τη μέγιστη απώλεια που δεν θα ξεπεραστεί με πιθανότητα 5% εάν διατηρήσει ανοικτή τη θέση του για τρεις μήνες. Στη σχέση (8.12) είναι Τ = 360, = 90, T = 270, ενώ y T- είναι η απόδοση στη λήξη για 270 ημέρες και σ T- είναι η τυπική απόκλιση της κατανομής των αποδόσεων της απόδοσης στη λήξη 270 ημερών.

8 Μη γραμμικές αποδόσεις 263 8.3 Δικαιώματα προαίρεσης Ένα δικαίωμα προαίρεσης δίνει στον κάτοχό του το δικαίωμα, αλλά όχι την υποχρέωση, να αγοράσει ή να πουλήσει μια υποκείμενη αξία (π.χ. μετοχή) σε συγκεκριμένη τιμή μέσα σε ένα ορισμένο χρονικό διάστημα, ή σε μία συγκεκριμένη χρονική στιγμή στο μέλλον. Η πράξη της αγοράς ή πώλησης της υποκείμενης αξίας ονομάζεται άσκηση του δικαιώματος 1, ενώ η συγκεκριμένη τιμή στην οποία μπορεί να αγοραστεί ή να πουληθεί η υποκείμενη αξία ονομάζεται τιμή άσκησης 2. Διακρίνουμε δύο τύπους 3 δικαιωμάτων: Τα δικαιώματα αγοράς 4 και τα δικαιώματα πώλησης 5. Το δικαίωμα αγοράς δίνει στον κάτοχό του το δικαίωμα να αγοράσει την υποκείμενη αξία ενώ το δικαίωμα πώλησης να την πουλήσει. Το δικαίωμα προαίρεσης έχει μία συγκεκριμένη διάρκεια ζωής. Μετά την ημερομηνία λήξης 6, το δικαίωμα παύει να υφίσταται. Τα δικαιώματα αμερικανικού στυλ 7 μπορούν να ασκηθούν οποιαδήποτε στιγμή μέχρι την ημερομηνία λήξης. Τα δικαιώματα ευρωπαϊκού στυλ 8 μπορούν να ασκηθούν αποκλειστικά στην ημερομηνία λήξης. Ο αμερικανικός και ο ευρωπαϊκός τύπος δεν έχουν σχέση με γεωγραφικούς προσδιορισμούς, δηλαδή δεν σημαίνουν ότι ο πρώτος τύπος αφορά δικαιώματα που είναι διαθέσιμα στην Αμερική και ο δεύτερος δικαιώματα που είναι διαθέσιμα στην Ευρώπη. Πρόκειται απλώς για ορολογία που προσδιορίζει τη χρονική δυνατότητα άσκησης του δικαιώματος. Για παράδειγμα, ο κάτοχος ενός δικαιώματος αγοράς αμερικανικού τύπου στη μετοχή Α, με λήξη σε 35 ημέρες και τιμή άσκησης 20, μπορεί να αγοράσει τη μετοχή προς 20 ο- ποιαδήποτε στιγμή μέσα στις επόμενες 35 ημέρες προς 20, ανεξάρτητα από την τρέχουσα τιμή της μετοχής στη χρηματιστηριακή αγορά. Αντίστοιχα, εάν είναι κάτοχος δικαιώματος πώλησης μπορεί να πουλήσει τη μετοχή προς 20 οποιαδήποτε στιγμή μέχρι τη λήξη του δικαιώματος. Εάν όμως ο τύπος του δικαιώματος είναι ευρωπαϊκός, τότε η άσκησή του μπορεί να γίνει μόνο κατά την ημέρα της λήξης, δηλαδή μετά από 35 ημέρες και μόνον τότε. Όλα τα δικαιώματα του ίδιου τύπου της ίδιας υποκείμενης αξίας αποτελούν μία κλάση. Για παράδειγμα, η κλάση των δικαιωμάτων αγοράς της μετοχής ΑΒΓ. Τα δικαιώματα της ίδιας κλάσης, με την ίδια τιμή άσκησης και την ίδια λήξη αποτελούν μια σειρά. 1 2 3 4 5 6 7 8 Opion exercise. Exercise price, srike. Opion ype. Call opions. Pu opions. Expiraion dae. American syle opions. European syle opions.

264 ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΙΝΔΥΝΩΝ ΜΕ ΤΟ MATLAB Εικόνα 8.2 Διαγράμματα προσόδου στη λήξη των θέσεων σε δικαιώματα. 8.4 Δικαιώματα σε μετοχές Οι υποθέσεις οι οποίες χρησιμοποιούνται για την εξαγωγή των εξισώσεων Black-Scholes είναι οι εξής: Η συμπεριφορά των τιμών των μετοχών περιγράφεται από μία γεωμετρική κίνηση Brown 9, με σταθερή μέση τιμή μ και σταθερή τυπική απόκλιση σ, δεν υπάρχουν φόροι και δαπάνες συναλλαγών, η μετοχή δεν αποδίδει μέρισμα έως τη λήξη του δικαιώματος, δεν υπάρχουν δυνατότητες αρμπιτράζ (arbirage), οι συναλλαγές είναι συνεχείς, όλοι οι επενδυτές δανείζουν και δανείζονται με το ίδιο επιτόκιο δίχως κίνδυνο, το οποίο επιτόκιο είναι σταθερό. Οι εξισώσεις Black-Scholes για την τιμή των δικαιωμάτων αγοράς και πώλησης ευρωπαϊκού στυλ, σε μετοχές που δεν αποδίδουν μέρισμα πριν από τη λήξη του δικαιώματος δίνονται παρακάτω rt ( ) ( ) ( ) ( ) V c = PN d Ke N d (8.13) call, 0 1 2 V p = Ke N d PN d (8.14) rt pu, 2 0 1 όπου 2 ( 0 ) + ( + σ ) ln P K r 2 T d1 = (8.15) σ T 2 ( 0 ) + ( σ ) ln P K r 2 T d2 = = d1 σ T (8.16) σ T 9 Τη γεωμετρική κίνηση Brown την εξετάζουμε στο επόμενο κεφάλαιο.

8 Μη γραμμικές αποδόσεις 265 Η συνάρτηση Ν(x) είναι η αθροιστική συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τυπικής κανονικής κατανομής, δηλαδή η πιθανότητα ότι μία μεταβλητή που ακολουθεί την τυπική κανονική κατανομή, θα πάρει τιμές μικρότερες από x. Η σχέση (8.13) μας δίνει τη θεωρητική τιμή δικαιώματος αγοράς και η σχέση (8.14) τη θεωρητική τιμή δικαιώματος πώλησης. Στις παραπάνω σχέσεις, P 0 είναι η τιμή της μετοχής, Κ είναι η τιμή άσκησης, σ είναι η μεταβλητότητα της τιμής της μετοχής, r είναι το επιτόκιο δίχως κίνδυνο και Τ είναι ο χρόνος έως τη λήξη (εκφρασμένος σε έτη). Παντού χρησιμοποιείται συνεχής ανατοκισμός. Παράδειγμα 8.1 Έστω δικαίωμα αγοράς ευρωπαϊκού στυλ στη μετοχή Α, με λήξη σε δύο μήνες. Η τιμή άσκησης του δικαιώματος είναι 65, ενώ η τρέχουσα τιμή της μετοχής είναι 66,45. Το επιτόκιο δίχως κίνδυνο είναι 5,1% και η μεταβλητότητα των αποδόσεων της μετοχής 16% (ετησίως με συνεχή ανατοκισμό). Το μέγεθος του συμβολαίου είναι 100 μετοχές. Ποια είναι η αξία του συμβολαίου δικαιώματος αγοράς και ποια η αξία του αντίστοιχου συμβολαίου δικαιώματος πώλησης; Εικόνα 8.3 Η οθόνη του Bloomberg με τις τιμές Bid, Ask, την τιμή της τελευταίας πράξης (Las) και την υπονοούμενη (τεκμαρτή) μεταβλητότητα (IVM) δικαιωμάτων ως συνάρτηση της λήξης και της τιμής άσκησης (χρήση μετά από άδεια της Bloomberg Finance L.P.).

266 ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΙΝΔΥΝΩΝ ΜΕ ΤΟ MATLAB Ακολουθεί ο κώδικας του Malab που πραγματοποιεί τους σχετικούς υπολογισμούς. >> ConracSize = 100; >> S0 = 66.45; >> Srike = 65; >> r = 0.051; >> Volailiy = 0.16; >> T = 2/12; >> [Call, Pu] = blsprice(s0,srike,r,t,volailiy); >> forma bank >> CallValue = ConracSize*Call CallValue = 288.86 >> PuValue = ConracSize*Pu PuValue = 88.84 Η συνάρτηση blsprice υπολογίζει τις τιμές Black-Scholes των εξισώσεων (8.13) και (8.14) (Call και Pu αντίστοιχα). Πολλαπλασιάζοντας τις τιμές αυτές με το μέγεθος του συμβολαίου (ConracSize), παίρνουμε τις αντίστοιχες αξίες: 288,6 για το δικαίωμα αγοράς και 88,84 για το δικαίωμα πώλησης. Παράδειγμα 8.2 Από τις μεταβλητές που θα πρέπει να εισάγουμε στις εξισώσεις Black-Scholes για να υπολογίσουμε τη θεωρητική τιμή ενός δικαιώματος αγοράς ή πώλησης, αυτή που παρουσιάζει το μεγαλύτερο ενδιαφέρον είναι η μεταβλητότητα. Σε δεδομένη χρονική στιγμή και για συγκεκριμένο δικαίωμα, η τιμή άσκησης, η τιμή της μετοχής, το επιτόκιο και ο χρόνος έως τη λήξη είναι δεδομένα. Εκεί όμως που υπάρχει ασάφεια ως προς την τιμή που θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε, είναι η μεταβλητότητα. Προφανώς, διαφορετικές τιμές μεταβλητότητας αντιστοιχούν σε διαφορετικές τιμές δικαιώματος, και μάλιστα υπάρχει μία «ένα-προς-ένα» αντιστοίχιση. Δεδομένης λοιπόν της τιμής του δικαιώματος που έχει διαμορφωθεί στην αγορά, μπορούμε από τις σχέσεις Black-Sholes να εξάγουμε την τιμή της μεταβλητότητας που «υπονοείται». Αυτή η μεταβλητότητα ονομάζεται υπονοούμενη ή τεκμαρτή (implied volailiy). Δυστυχώς, δεν μπορούμε να επιλύσουμε τις εξισώσεις Black-Scholes ως προς την τεκμαιρόμενη μεταβλητότητα και να εξάγουμε μια αναλυτική σχέση, αλλά ο υπολογισμός της γίνεται με βηματικές μεθόδους. Στο Malab, η τεκμαιρόμενη μεταβλητότητα του μοντέλου Black-Scholes υπολογίζεται από τη συνάρτηση blsimpv. Έστω λοιπόν ένα ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς, το οποίο διαπραγματεύεται στα 10, με τιμή άσκησης 95 και λήξη σε τρεις μήνες. Η υποκείμενη μετοχή δεν αποδίδει μέρισμα έως τη λήξη του δικαιώματος, και η τρέχουσα τιμή της είναι 100. Το επιτόκιο δίχως κίνδυνο είναι 7% ετησίως. Η τεκμαιρόμενη μεταβλητότητα είναι >> Volailiy = blsimpv(100, 95, 0.075, 0.25, 10) Volailiy = 0.31 Δηλαδή 31% ετησίως.

8 Μη γραμμικές αποδόσεις 267 8.5 Δικαιώματα σε συνάλλαγμα, σε μετοχές που δεν αποδίδουν μέρισμα έως τη λήξη και σε χρηματιστηριακούς δείκτες Τα δικαιώματα σε συνάλλαγμα είναι κυρίως μη τυποποιημένα παράγωγα 10, ευρωπαϊκού στυλ, όπου η υποκείμενη αξία είναι κάποια συναλλαγματική ισοτιμία. Παρόλο που διαπραγματεύονται και σε χρηματιστήρια (ευρωπαϊκού και αμερικανικού στυλ), όπως στο Philadelphia Sock Exchange, το μέγεθος της αγοράς OTC (εξωχρηματιστηριακής ή παράληλης αγοράς) είναι πολύ μεγαλύτερο. Οι θεωρητικές τιμές των δικαιωμάτων αγοράς και πώλησης σε συναλλαγματικές ισοτιμίες δίνονται από τις παρακάτω σχέσεις όπου rt ( ) ( ) qt ( ) ( ) c = Pe N d Ke N d (8.17) qt 0 1 2 rt p Ke N d2 Pe 0 N d1 = (8.18) 2 ( 0 ) + ( + σ ) ln P K r q 2 T d1 = (8.19) σ T 2 ( 0 ) + ( σ ) ln P K r q 2 T d2 = = d1 σ T (8.20) σ T Οι ίδιες σχέσεις ισχύουν για δικαιώματα σε μετοχή που αποδίδει μέρισμα έως τη λήξη του δικαιώματος. Σ αυτή την περίπτωση, το q αντιπροσωπεύει τη μερισματική απόδοση της μετοχής εκφρασμένη σε ετήσια βάση και με συνεχή ανατοκισμό. Επίσης, οι ίδιες σχέσεις χρησιμοποιούνται για την εξαγωγή της θεωρητικής τιμής των δικαιωμάτων προαίρεσης σε χρηματιστηριακούς δείκτες, όπου τώρα το P 0 είναι η τιμή του χρηματιστηριακού δείκτη σε μονάδες, και το q η μερισματική απόδοση του δείκτη. Σ αυτή την περίπτωση, η τιμή που επιστρέφουν οι παραπάνω σχέσεις είναι σε μονάδες δείκτη. Επειδή τα δικαιώματα σε δείκτες είναι κατά βάση χρηματιστηριακά προϊόντα, το εκάστοτε χρηματιστήριο προσδιορίζει έναν πολλαπλασιαστή (conrac muliplier) για το συμβόλαιο (π.χ. 5, 10, κτλ), ο οποίος, πολλαπλασιαζόμενος με την τιμή που εξάγεται από τις σχέσεις (8.17) και (8.18), μας δίνει την αξία του συμβολαίου. Παράδειγμα 8.3 Έστω δικαίωμα αγοράς CAD 1εκ. (δολάρια Καναδά). Η τιμή άσκησης είναι 1,5300 EURCAD, ενώ η τρέχουσα ισοτιμία είναι 1,5237 EURCAD. Η λήξη του δικαιώματος είναι σε ένα μήνα. Η μεταβλητότητα της ισοτιμίας EURCAD είναι 3,6443% ετησίως. Τα τρέχοντα επιτόκια ενός μήνα για το EUR και το CAD είναι 4,52% και 3,21% ετησίως α- 10 Δηλαδή δεν διαπραγματεύονται σε οργανωμένες χρηματιστηριακές αγορές, αλλά στην εξωχρηματιστηριακή αγορά (Over-The-Couner ή OTC markes).