Pr(10 X 15) = Pr(15 X 20) = 1/2, (10.2)

Κεφάλαιο 10 Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές Σε αυτό το κεφάλαιο θα εξετάσουμε τις ιδιότητες που έχουν οι συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. Εκείνες οι Τ.Μ. X, δηλαδή, των οποίων το σύνολο τιμών δεν είναι διακριτό, όπως για παράδειγμα αν έχουμε S X [0, 1], S X R, S X [ 5, 1] (2, 3) [7, ), κλπ. 1 Δύο βασικοί λόγοι κινούν το ενδιαφέρον μας για τις συνεχείς Τ.Μ. Ο ένας είναι προφανής: Πολλές ποσότητες που είναι σημαντικές στην πράξη, είναι από τη φύση τους συνεχείς π.χ., ο χρόνος που διαρκεί η εκτέλεση ενός αλγορίθμου, η θερμοκρασία ενός επεξεργαστή, η απόσταση μεταξύ ενός κινητού τηλεφώνου και της κοντινότερης κεραίας με την οποία επικοινωνεί κ.ο.κ. Ο δεύτερος λόγος είναι πιο λεπτός και σχετίζεται με το Νόμο των Μεγάλων Αριθμών, που είδαμε στον προηγούμενο κεφάλαιο. Ο Ν.Μ.Α. περιγράφει τη συμπεριφορά του εμπειρικού μέσου όρου, X N 1 N X i, N όταν οι Τ.Μ. X 1, X 2,..., X N είναι ανεξάρτητες και έχουν όλες την ίδια κατανομή. Μία από τις ισοδύναμες διατυπώσεις του Θεωρήματος 9.3 είναι πως, αν το πλήθος N των X i είναι μεγάλο, τότε η πιθανότητα ο εμπειρικός μέσος όρος τους X N να απέχει σημαντικά από τη μέση τιμή τους µ είναι μικρή. Συγκεκριμένα, για κάθε ɛ > 0, έχουμε, i1 Pr ( X N µ ɛ ) 0, καθώς το N. (10.1) Για να χρησιμοποιήσουμε αυτό το αποτέλεσμα στην πράξη, όπως έχουμε ήδη αναφέρει, μια προφανής βασική ερώτηση που γεννιέται είναι «πόσο μικρή είναι η πιθανότητα απόκλισης στη σχέση (10.1);». Οπως θα δούμε λεπτομερώς στο Κεφάλαιο 12, η απάντηση (την οποία μας δίνει το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα) είναι πως, κάτω από αρκετά γενικές συνθήκες, η κατανομή 1 Ο ακριβής ορισμός του όρου «συνεχής τυχαία μεταβλητή» δίνεται στην επόμενη ενότητα. Οπως και στο Κεφάλαιο 6, έτσι και εδώ ορισμένα από τα αποτελέσματα που θα δούμε απαιτούν κάποιες επιπλέον τεχνικές υποθέσεις, οι οποίες όμως δεν επηρεάζουν την ουσία τους. Κάποιες περαιτέρω λεπτομέρειες δίνονται στην Ενότητα 10.3. 155

156 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ΣΥΝΕΧΕ ΙΣ ΤΥΧΑ ΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤ ΕΣ του εμπειρικού μέσου X N μπορεί να προσεγγιστεί μέσω της κατανομής μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής κατανομής, συγκεκριμένα μιας Τ.Μ. που ακολουθεί τη λεγόμενη κανονική κατανομή. Πριν αναπτύξουμε τη θεωρία που απαιτείται για να μελετήσουμε τις συνεχείς Τ.Μ. συστηματικά, ας δούμε ένα απλό παράδειγμα. Παράδειγμα 10.1 Εστω πως ο χρόνος X (σε δευτερόλεπτα) που απαιτείται για την εκκίνηση της λειτουργίας ενός δικτύου είναι πάντοτε μεταξύ 10 και 20 δευτερολέπτων και, κατά τα άλλα, είναι «εντελώς τυχαίος». Για να περιγράψουμε το χρόνο X ως μια Τ.Μ., θα θέλαμε να έχει σύνολο τιμών S X [10, 20] και η πιθανότητα του να πάρει οποιαδήποτε τιμή σε αυτό το διάστημα να είναι κατά κάποιον τρόπο ομοιόμορφη. Π.χ., θα θέλαμε η πιθανότητα το X να είναι μεταξύ 10 και 11 δευτερολέπτων να είναι η ίδια με την πιθανότητα να έχουμε 19 X 20. Επιπλέον, αφού ο χρόνος X είναι «εντελώς τυχαίος», θα περιμέναμε λογικά πως θα ικανοποιεί, Pr(10 X 15) Pr(15 X 20) 1/2, (10.2) δηλαδή πως θα είναι το ίδιο πιθανό η εκκίνηση να γίνει τα πρώτα 5 ή τα τελευταία 5 δευτερόλεπτα. Στην επόμενη ενότητα θα περιγράψουμε τον συστηματικό τρόπο με τον οποίο μπορούν να οριστούν τέτοιου είδους Τ.Μ., και στην Ενότητα 11.1 του επόμενου κεφαλαίου θα δούμε πως η Τ.Μ. X αυτού του παραδείγματος ανήκει σε μια συνηθισμένη και χρήσιμη οικογένεια τυχαίων μεταβλητών, αυτών που έχουν ομοιόμορφη κατανομή. 10.1 Συνεχείς Τ.Μ. και συνεχής πυκνότητα Ορισμός 10.1 Μια τυχαία μεταβλητή X είναι συνεχής με πυκνότητα f(x), αν η Τ.Μ. X και η συνάρτηση f(x) ικανοποιούν τις εξής ιδιότητες: 1. Η πυκνότητα f(x) είναι μια συνάρτηση f : R [0, ) τέτοια ώστε, + f(x) dx 1. 2. Το σύνολο τιμών S X της X μπορεί να εκφραστεί ως ένωση ενός πεπερασμένου πλήθους (μη τετριμμένων) διαστημάτων πραγματικών αριθμών, και επιπλέον το S X αποτελείται από εκείνα τα x R για τα οποία η πυκνότητα f(x) δεν είναι μηδενική, δηλαδή: S X {x R : f(x) > 0}. 3. Για οποιαδήποτε a b, η πιθανότητα η Τ.Μ. X να πάρει κάποια τιμή στο διάστημα [a, b] μπορεί να εκφραστεί ως προς την πυκνότητα f(x) μέσω της σχέσης, Pr(a X b) όπως αναπαρίσταται στο Σχήμα 10.1. b a f(x) dx, (10.3)

10.1. ΣΥΝΕΧΕ ΙΣ Τ.Μ. ΚΑΙ ΣΥΝΕΧ ΗΣ ΠΥΚΝ ΟΤΗΤΑ 157 f(x) a b x Σχήμα 10.1: Γραφική αναπαράσταση του υπολογισμού της πιθανότητας Pr(a X b) για μια συνεχή τυχαία μεταβλητή X μέσω της πυκνότητάς f(x). Παρατηρούμε πως η πιθανότητα Pr(a X b) είναι ίση με το εμβαδόν μεταξύ του καμπύλης y f(x) και του άξονα x, ανάμεσα στα σημεία a και b. Παρατηρήσεις 1. Ο λόγος για τον οποίο στον ορισμό απαιτούμε τα διαστήματα που απαρτίζουν το σύνολο τιμών της X να είναι μη τετριμμένα, δηλαδή να μην είναι της μορφής [a, a], είναι διότι τέτοια διαστήματα αποτελούνται από μόνο ένα στοιχείο, [a, a] {a}. Αν η X είχε, για παράδειγμα, σύνολο τιμών το, S X [0, 0] [1, 1] [2, 2] {0, 1, 2}, τότε προφανώς θα ήταν διακριτή και όχι συνεχής. 2. Θυμίζουμε πως, από τον Ορισμό 6.3 του Κεφαλαίου 6, η συνάρτηση κατανομής F (x) μιας οποιασδήποτε τυχαίας μεταβλητής X είναι η F (x) Pr(X x), για x R. Αν, τώρα, η X είναι συνεχής με πυκνότητα f(x), τότε η συνάρτηση κατανομής F (x) υπολογίζεται εύκολα ως, F (x) Pr(X x) x f(y) dy, x R, (10.4) βάσει της δεύτερης βασικής ιδιότητας που διατυπώνεται αμέσως μετά, στη σχέση (10.6). Περαιτέρω ιδιότητες της συνάρτησης κατανομής μιας συνεχούς Τ.Μ. δίνονται μετά το Παράδειγμα 10.2. 3. Αν και η τιμή f(x) της πυκνότητας μιας συνεχούς Τ.Μ. X δεν αντιστοιχεί ακριβώς σε κάποια πιθανότητα, παρατηρούμε ότι η X είναι πιο πιθανό να πάρει τιμές κοντά σε κάποιο

158 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ΣΥΝΕΧΕ ΙΣ ΤΥΧΑ ΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤ ΕΣ x 0 όπου η τιμή της f(x) είναι σχετικά μεγάλη. Για παράδειγμα, αν η f(x) είναι συνεχής στο x 0, τότε για μικρά δ κατά προσέγγιση έχουμε, Pr (x 0 δ/2 X x 0 + δ/2) x0 +δ/2 x 0 δ/2 f(x) dx δf(x 0 ). Άρα είναι μεγαλύτερη η πιθανότητα το X να πάρει τιμές κοντά στο x 0 αν η τιμή της πυκνότητας f(x 0 ) είναι μεγάλη, ενώ είναι λιγότερο πιθανό να πάρει τιμές κοντά σε κάποιο x 0 όπου η f(x 0 ) είναι κοντά στο μηδέν. Συνεχείς Τ.Μ.: Βασικές ιδιότητες. Για μια οποιαδήποτε συνεχή Τ.Μ. X με πυκνότητα f(x) έχουμε: 1. Για κάθε τιμή a R, η πιθανότητα η X να ισούται ακριβώς με το a είναι μηδενική: 2. Για κάθε a < b, Pr(X a) 0, για οποιοδήποτε a R. Pr(a X b) Pr(a < X b) Pr(a X < b) Pr(a < X < b), και όλες οι πιο πάνω πιθανότητες είναι ίσες με b a f(x) dx. 3. Η σχέση (10.3) ισχύει ακόμη και στην περίπτωση που το a ή το b ή και τα δύο παίρνουν άπειρες τιμές. Δηλαδή, για κάθε a και b, Pr(X a) Pr(a X < ) Pr(X b) Pr( < X b) a b f(x) dx (10.5) f(x) dx, (10.6) και, προφανώς, Pr( < X < ) f(x) dx 1. Απόδειξη: Η πρώτη ιδιότητα είναι άμεση συνέπεια του Ορισμού 10.1: Εφόσον το ολοκλήρωμα οποιασδήποτε συνάρτησης από το a ως το a είναι ίσο με μηδέν (σχηματικά, το αντίστοιχο εμβαδόν είναι προφανώς μηδενικό), έχουμε: Pr(X a) Pr(a X a) a a f(x) dx 0.

10.1. ΣΥΝΕΧΕ ΙΣ Τ.Μ. ΚΑΙ ΣΥΝΕΧ ΗΣ ΠΥΚΝ ΟΤΗΤΑ 159 Για το πρώτο σκέλος της δεύτερης ιδιότητας, εξετάζοντας τα ξένα ενδεχόμενα {X a} και {a < X b}, βρίσκουμε πως, Pr(a X b) Pr ( {X a} {a < X b} ) Pr ( X a) + Pr(a < X b), και χρησιμοποιώντας την πρώτη ιδιότητα έχουμε, Pr(a X b) Pr(a < X b). Παρομοίως αποδεικνύονται και οι ισότητες των άλλων δύο περιπτώσεων. Για την τρίτη ιδιότητα θα χρησιμοποιήσουμε το αποτέλεσμα της Άσκησης 9 του Κεφαλαίου 3, όπου αποδεικνύεται η συνέχεια του μέτρου πιθανότητας. Ορίζουμε την ακολουθία ενδεχομένων, A n {a X a + n}, για κάθε n 1, και παρατηρούμε πως A n A n+1 και πως το όριό τους, lim A n n A n {a X < } {X a}. n1 Συνεπώς, η συνέχεια του μέτρου πιθανότητας συνεπάγεται το ότι η πιθανότητα, ( ) Pr(X a) Pr lim A n n lim Pr(A n) n lim Pr(a X a + n) n a+n lim n a a f(x) dx, f(x) dx που αποδεικνύει τη σχέση (10.5). Παρομοίως αποδεικνύονται και τα αποτελέσματα των άλλων δύο περιπτώσεων. Παράδειγμα 10.2 Συνεχίζοντας το Παράδειγμα 10.1, θα ορίσουμε την πυκνότητα της Τ.Μ. X που εξετάσαμε εκεί. Εφόσον η X έχει προφανώς σύνολο τιμών S X [10, 20], θέτουμε την πυκνότητά της f(x) ίση με μηδέν για x [10, 20]. Επιπλέον, για να παίρνει η X «ομοιόμορφα τυχαίες τιμές» στο διάστημα αυτό, λογικά ορίζουμε την πυκνότητά f(x) ως μια σταθερά c > 0, για x [10, 20]: { c, για x [10, 20], f(x) 0, για x [10, 20].

160 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ΣΥΝΕΧΕ ΙΣ ΤΥΧΑ ΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤ ΕΣ 1/10 f(x) 10 15 20 x Σχήμα 10.2: Γραφική αναπαράσταση της πυκνότητας f(x) της Τ.Μ. X στο Παράδειγμα 10.2, και του υπολογισμού του εμβαδού το οποίο ισούται με την πιθανότητα Pr(15 X 20). Για να υπολογίσουμε την τιμή της σταθεράς c παρατηρούμε πως, από την πρώτη παραπάνω ιδιότητα, το ολοκλήρωμα της f(x) για όλα τα x R πρέπει να ισούται με 1, άρα, 1 f(x) dx 20 10 c dx [ cx ] 20 20c 10c 10c, 10 συνεπώς το c 1/10, βλ. Σχήμα 10.2. Για να ελέγξουμε αν αυτή η Τ.Μ. πράγματι έχει ιδιότητες που ανταποκρίνονται στις απαιτήσεις μας ως προς την ποσότητα την οποία θέλουμε να περιγράψουμε, υπολογίζουμε την πιθανότητα, Pr(15 X 20) 20 15 f(x) dx 20 15 1 20 15 dx 1/2, 10 10 βλ. Σχήμα 10.2, και παρομοίως βρίσκουμε πως και η πιθανότητα Pr(10 X 15) ισούται με 1/2. Συνεπώς η σχέση (10.2), την οποία διατυπώσαμε διαισθητικά, επαληθεύεται και μαθηματικά. Ιδιότητες της συνάρτησης κατανομής. Για μια οποιαδήποτε συνεχή Τ.Μ. X με πυκνότητα f(x), όπως είδαμε στη σχέση (10.4), η συνάρτηση κατανομής μπορεί να εκφραστεί ως F (x) Pr(X x) x f(y) dy. Επιπλέον: 1. Από το θεμελιώδες θεώρημα του διαφορικού λογισμού, αμέσως προκύπτει πως ισχύει και η αντίστροφη σχέση της (10.4), δηλαδή, για όλα τα x για τα οποία υπάρχει η παράγωγος F (x). f(x) F (x) d F (x), (10.7) dx

10.1. ΣΥΝΕΧΕ ΙΣ Τ.Μ. ΚΑΙ ΣΥΝΕΧ ΗΣ ΠΥΚΝ ΟΤΗΤΑ 161 2. Οταν γνωρίζουμε τη συνάρτηση κατανομής F (x), τότε όλες οι πιθανότητες της μορφής Pr(a X b) μπορούν να υπολογιστούν απευθείας από τη σχέση, Pr(a X b) F (b) F (a). (10.8) Η (10.8) είναι άμεσο επακόλουθο της (10.4) και του Ορισμού 10.1, αλλά εύκολα αποδεικνύεται και ευθέως: Εφόσον τα ενδεχόμενα {X a} και {a < X b} είναι ξένα, F (b) Pr(X b) Pr ( {X a} {a < X b} ) από όπου προκύπτει η (10.8). Pr(X a) + Pr(a < X b) F (a) + Pr(a X b), 3. Υπενθυμίζουμε (βλ. Κεφάλαιο 6) πως η συνάρτηση κατανομής F (x) μιας οποιασδήποτε (διακριτής ή συνεχούς) τυχαίας μεταβλητής ικανοποιεί: και lim F (x) 0 x lim x + F (x) 1. Παράδειγμα 10.3 Για την Τ.Μ. X του Παραδείγματος 10.2 μπορούμε να υπολογίσουμε τη συνάρτηση κατανομής F (x) ως εξής: Κατ αρχάς, εφόσον η X παίρνει τιμές μόνο στο διάστημα [10, 20], είναι αδύνατον να έχουμε X x όταν το x είναι μικρότερο από 10, συνεπώς έχουμε F (x) Pr(X x) 0 για x < 10. Παρομοίως, αν το x είναι μεγαλύτερο του 20, τότε F (x) Pr(X x) 1. Τέλος, για x [10, 20], βρίσκουμε, οπότε, συνοψίζοντας: F (x) Pr(X x) x f(y) dy x 10 1 10 0, για x < 10, F (x) x 10 10, για x [10, 20], 1, για x > 20. Η γραφική της αναπαράσταση δίνεται στο Σχήμα 10.3. x 10 dy, 10 Παράδειγμα 10.4 Εστω πως η διάρκεια ζωής X, σε χρόνια, μιας οθόνης υπολογιστή είναι μια συνεχής Τ.Μ. με σύνολο τιμών S [0, ) και πυκνότητα, { 0, για x < 0, f(x) e x, για x 0. Η γραφική της αναπαράσταση δίνεται στο Σχήμα 10.4.

162 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ΣΥΝΕΧΕ ΙΣ ΤΥΧΑ ΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤ ΕΣ 1 F(x) 10 20 x Σχήμα 10.3: Γραφική αναπαράσταση της συνάρτησης κατανομής F (x) της Τ.Μ. X στο Παράδειγμα 10.3. 1 1 F(x) e 1 f(x) 1 e 1 1 x 1 x Σχήμα 10.4: Γραφική αναπαράσταση της πυκνότητας f(x) (αριστερά), και της συνάρτησης κατανομής F (x) (δεξιά) της Τ.Μ. X στο Παράδειγμα 10.4. Συνεπώς, η συνάρτηση κατανομής F (x) της X θα ισούται με F (x) Pr(X x) 0 για x < 0, ενώ για x 0, F (x) Pr(X x) x f(y) dy x 0 e y dy [ e y] x 0 1 e x. Η γραφική της αναπαράσταση δίνεται στο Σχήμα 10.4. Οπως παρατηρήσαμε πιο πάνω, το ότι γνωρίζουμε τη συνάρτηση κατανομής διευκολύνει σημαντικά τον υπολογισμό πιθανοτήτων σχετικά με τη X. Για παράδειγμα, η Pr(X > 3) μπορεί να υπολογιστεί απευθείας από την πυκνότητα ως, Pr(X > 3) Pr(3 < X < ) 3 f(x) dx 3 e x dx [ e x] 3 e 3,

10.2. Μ ΕΣΗ ΤΙΜ Η ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡ Α 163 ή, εναλλακτικά (και ευκολότερα), μέσω της συνάρτησης κατανομής, Pr(X > 3) 1 Pr(X 3) 1 F (3) 1 (1 e 3 ) e 3 0.0498 4.98%. Παρομοίως μπορούμε να υπολογίσουμε και δεσμευμένες πιθανότητες για τη X, όπως π.χ., Pr(X < 4 X > 3) (a) (b) Pr(3 < X < 4) Pr(X > 3) Pr(3 X 4) 1 Pr(X 3) F (4) F (3) 1 F (3) 1 e 4 (1 e 3 ) 1 (1 e 3 ) 1 e 1 0.6321, όπου στο βήμα (a) χρησιμοποιήσαμε τη δεύτερη βασική ιδιότητα της πυκνότητας, και στο βήμα (b) εφαρμόσαμε τη σχέση (10.8). 10.2 Μέση τιμή και διασπορά Η μέση τιμή και η διασπορά για μια συνεχή Τ.Μ. X ορίζονται κατά τρόπο ανάλογο με εκείνον που είδαμε στην περίπτωση διακριτών τυχαίων μεταβλητών. Το ρόλο της (διακριτής) πυκνότητας P (x) εδώ παίζει η (συνεχής) πυκνότητα f(x), και τα αθροίσματα αντικαθίστανται από τα αντίστοιχα ολοκληρώματα. Ορισμός 10.2 Η μέση τιμή (ή αναμενόμενη τιμή, ή προσδοκώμενη τιμή) μιας συνεχούς Τ.Μ. X με σύνολο τιμών S και πυκνότητα f(x), ορίζεται ως: µ E(X) x f(x) dx. (10.9) Γενικότερα, για οποιαδήποτε συνάρτηση g : S R, η μέση τιμή της νέας Τ.Μ. g(x) ορίζεται ως: E[g(X)] g(x) f(x) dx. (10.10) Ορισμός 10.3 Για μια συνεχή Τ.Μ. X με μέση τιμή µ, η διασπορά της X ορίζεται, ακριβώς όπως και στη διακριτή περίπτωση, ως, σ 2 Var(X) E [ (X µ) 2], (10.11)

164 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ΣΥΝΕΧΕ ΙΣ ΤΥΧΑ ΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤ ΕΣ και η τυπική απόκλιση της X είναι: σ Var(X). Παρατηρήσεις 1. Οπως και για τις διακριτές Τ.Μ., διαισθητικά η μέση τιμή µ μας λέει πως η X τείνει να κυμαίνεται γύρω από την τιμή µ. Παρομοίως, η διασπορά σ 2 της X είναι η μέση τετραγωνική απόκλιση της X από το µ, δηλαδή η μέση τιμή του τετραγώνου της απόστασης της τυχαίας τιμής X από τη μέση τιμή της. 2. Οι δύο παραπάνω ορισμοί (10.9) και (10.10) της μέσης τιμής μιας συνεχούς Τ.Μ. είναι ακριβώς ανάλογοι των αντίστοιχων ορισμών (6.4) και (6.5) που είδαμε στο Κεφάλαιο 6 για διακριτές Τ.Μ. Επιπλέον, εφόσον κάθε συνάρτηση μιας διακριτής Τ.Μ. είναι αναγκαστικά κι αυτή μια διακριτή Τ.Μ., στην Άσκηση 1 του Κεφαλαίου 6 δείξαμε πως ο δεύτερος ορισμός είναι στην πραγματικότητα συνέπεια του πρώτου. Στη συνεχή περίπτωση, η αντιστοιχία είναι τεχνικά πιο σύνθετη, αλλά η ουσιαστική σχέση παραμένει η ίδια: Ο δεύτερος ορισμός (10.10) είναι και πάλι συνέπεια του πρώτου (10.9), αλλά η απόδειξη είναι αρκετά πιο πολύπλοκη και βασίζεται σε τεχνικά αποτελέσματα του τομέα της πραγματικής ανάλυσης, τα οποία αφενός ξεπερνούν τους στόχους του παρόντος βιβλίου, και αφετέρου δεν σχετίζονται άμεσα με τις ιδέες και τις τεχνικές της θεωρίας πιθανοτήτων. Μια πρώτη ένδειξη της μεγαλύτερης πολυπλοκότητας που προκύπτει στην περίπτωση ακόμα και μιας απλής συνάρτησης g(x) μιας συνεχούς Τ.Μ. X θα δούμε στην Άσκηση 4 στο τέλος του κεφαλαίου, όπου θα εξετάσουμε ένα παράδειγμα στο οποίο η g(x) είναι διακριτή Τ.Μ. παρότι η X είναι συνεχής. Κατά συνέπεια, χάριν ευκολίας, επιλέγουμε να δεχτούμε τον τύπο (10.10) για τη μέση τιμή της συνάρτησης μιας συνεχούς Τ.Μ. ως δεδομένο και παραλείπουμε την απόδειξή του. 3. Συνδυάζοντας, όπως και στη διακριτή περίπτωση, τον ορισμό της διασποράς (10.11) με τον γενικό ορισμό της μέσης τιμής (10.10) προκύπτει ότι, για κάθε Τ.Μ. X με πυκνότητα f(x), η διασπορά ισούται με: σ 2 Var(X) (x µ) 2 f(x) dx. (10.12) 4. Και πάλι όπως στη διακριτή περίπτωση, η διασπορά μπορεί εναλλακτικά να εκφραστεί ως: σ 2 Var(X) E(X 2 ) µ 2. (10.13)

10.2. Μ ΕΣΗ ΤΙΜ Η ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡ Α 165 Ξεκινώντας από τη σχέση (10.12), έχουμε: Var(X) (x µ) 2 f(x) dx (x 2 2xµ + µ 2 ) f(x) dx x 2 f(x) dx 2µ x f(x) dx + µ 2 f(x) dx. Το πρώτο ολοκλήρωμα πιο πάνω ισούται με E(X 2 ) από την (10.10), το δεύτερο ολοκλήρωμα ισούται με E(X) µ εξ ορισμού, και το τρίτο ολοκλήρωμα ισούται με 1 από την αντίστοιχη ιδιότητα της πυκνότητας. Συνεπώς, Var(X) E(X 2 ) 2µ 2 + µ 2 E(X 2 ) µ 2, και άρα έχουμε αποδείξει τη σχέση (10.13). Παράδειγμα 10.5 Για την Τ.Μ. X του Παραδείγματος 10.4, η μέση τιμή της υπολογίζεται εύκολα ολοκληρώνοντας κατά παράγοντες: E(X) 0 x f(x) dx x e x dx (a) [ xe x] 0 + 0 + [ e x] 0 1, 0 e x dx όπου στο βήμα (a) θέσαμε u x και dv e x dx, έτσι ώστε du dx και v e x. Άρα, ο μέσος όρος ζωής μιας οθόνης είναι ένας χρόνος. Με παρόμοιο τρόπο υπολογίζουμε και τη μέση τιμή του X 2, E(X 2 ) 0 x 2 f(x) dx x 2 e x dx (b) [ x 2 e x] 0 + 0 + 2E(X) 2, 0 2xe x dx όπου στο βήμα (b) θέσαμε u x 2 και dv e x dx, έτσι ώστε du 2xdx και v e x. Συνεπώς, από την εναλλακτική έκφραση για τη διασπορά (10.13), βρίσκουμε πως η διασπορά του X ισούται με: Var(X) E(X 2 ) [E(X)] 2 2 1 2 1.

166 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ΣΥΝΕΧΕ ΙΣ ΤΥΧΑ ΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤ ΕΣ Παράδειγμα 10.6 Εστω μια συνεχής Τ.Μ. X με πυκνότητα, { cx 2, για x [0, 1], f(x) 0, για x [0, 1]. Οπως στο Παράδειγμα 10.2, η τιμή της c μπορεί να υπολογιστεί από τον ορισμό της πυκνότητας, ο οποίος μας λέει πως το ολοκλήρωμα της f(x) για όλα τα x R πρέπει να ισούται με 1, 1 [ cx 1 f(x) dx cx 2 3 ] 1 dx 3 c 0 3, και συνεπώς έχουμε c 3, βλ. Σχήμα 10.5. 0 3 1 f(x) F(x) 1 x 1 x Σχήμα 10.5: Παράδειγμα 10.6. Αριστερά: Γραφική αναπαράσταση της πυκνότητάς f(x) της Τ.Μ. X και του υπολογισμού του εμβαδού το οποίο ισούται με την πιθανότητα Pr(X 0.2). Δεξιά: Η συνάρτηση κατανομής F (x) της X. Εχοντας την πυκνότητα, μπορούμε να υπολογίσουμε πιθανότητες για τις τιμές της X, όπως, π.χ., Pr(X 0.2) Pr(0.2 X 1) 1 0.2 3x 2 dx [ x 3] 1 0.2 0.992. Ενας παρόμοιος υπολογισμός μάς δίνει και τη συνάρτηση κατανομής της X. Προφανώς έχουμε F (x) Pr(X x) 0 για x < 0, και F (x) Pr(X x) 1 όταν x > 1, ενώ για x [0, 1], οπότε, F (x) Pr(X x) x 0 3y 2 dy x 3, 0, για x < 0, F (x) x 3, για x [0, 1], 1, για x > 1,

10.2. Μ ΕΣΗ ΤΙΜ Η ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡ Α 167 βλ. Σχήμα 10.5. Η πιθανότητα που υπολογίσαμε πιο πάνω μπορεί εναλλακτικά να υπολογιστεί και απευθείας από την F (x) ως, Pr(X 0.2) 1 Pr(X < 0.2) 1 Pr(X 0.2) 1 F (0.2) 1 (0.2) 3 0.992. Επίσης από την πυκνότητα μπορούμε να υπολογίσουμε τη μέση τιμή µ E(X) της X και την τιμή του E(X 2 ), E(X) και E(X 2 ) x f(x) dx x 2 f(x) dx 1 0 1 0 3x 3 dx [ 3x 4 ] 1 4 0 4, 3x 4 dx [ 3x 5 ] 1 5 0 5, οπότε η διασπορά της X είναι: σ 2 Var(X) E(X 2 ) µ 2 3 5 ( 3 4 ) 2 3 80 0.0375. Παράδειγμα 10.7 Εστω πως η συνεχής Τ.Μ. Y έχει συνάρτηση κατανομής, 0, για y < 0, F (y) 2 y, για 0 y 1/4, 1, για y > 1/4, βλ. Σχήμα 10.6. Ποιο είναι το σύνολο τιμών της; 1 f(x) F(x) 2 1/4 x 1/4 x Σχήμα 10.6: Γραφική αναπαράσταση της συνάρτησης κατανομής F (y) και της πυκνότητας f(y) της Τ.Μ. Y στο Παράδειγμα 10.7.

168 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ΣΥΝΕΧΕ ΙΣ ΤΥΧΑ ΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤ ΕΣ Για να απαντήσουμε, κατ αρχάς υπολογίζουμε την πυκνότητα f(y) της Y μέσω της σχέσης (10.7), 0, για y < 0, f(y) F (y) 1 y, για 0 y 1/4, 0, για y > 1/4, βλ. Σχήμα 10.6. Συνεπώς, S Y [0, 1/4]. Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση κατανομής, μπορούμε τώρα να υπολογίσουμε πιθανότητες για τη X, όπως λ.χ. την, ( 1 Pr 16 < X < 1 9) ( 1 Pr 16 9) < X 1 ( Pr X 1 ) ( Pr X 1 ) 9 16 F (1/9) F (1/16), το οποίο ισούται με 2 1/9 2 1/16 1/6, ή, παρομοίως, δεσμευμένες πιθανότητες όπως η Pr(Y > 1/9 Y > 1/16): ( Pr Y > 1 Y > 1 ) 9 16 Pr(Y > 1/9 και Y > 1/16) Pr(Y > 1/16) Pr(Y > 1/9) Pr(Y > 1/16) 1 Pr(Y 1/9) 1 Pr(Y 1/16) 1 F (1/9) 1 F (1/16) 1 2 1/9 1 2 1/16 2/3. 10.3 Μετρησιμότητα και άπειρες τιμές 10.3.1 Ορισμός μιας συνεχούς Τ.Μ. Οπως αναφέραμε στην Ενότητα 6.3 του Κεφαλαίου 6, όταν ο χώρος πιθανότητας Ω ή το σύνολο τιμών μιας Τ.Μ. είναι ένα άπειρο και μη αριθμήσιμο σύνολο, τότε απαιτείται ιδιαίτερη προσοχή στο πώς ορίζονται οι Τ.Μ. που χρησιμοποιούμε έτσι ώστε να μην μας οδηγούν σε «μη μετρήσιμα» υποσύνολα του Ω. Σε αυτό και τα επόμενα κεφάλαια, ο τρόπος με τον οποίο αποφεύγουμε τέτοιες ενδεχόμενες παθολογίες στην περίπτωση που θέλουμε να εξετάσουμε μια συνεχή Τ.Μ. X (της οποίας πάντοτε το σύνολο τιμών είναι, εξ ορισμού, άπειρο και μη αριθμήσιμο), είναι εισάγοντας τους εξής περιορισμούς:

10.3. ΜΕΤΡΗΣΙΜ ΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΠΕΙΡΕΣ ΤΙΜ ΕΣ 169 (1.) Τα μόνα σύνολα τιμών που επιτρέπουμε για μια συνεχή Τ.Μ. είναι εκείνα που μπορούν να εκφραστούν ως ένωση ενός πεπερασμένου πλήθους διαστημάτων στο R. (2.) Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή X ορίζεται πάντοτε σε συνδυασμό με την πυκνότητά της f(x), της οποίας το ολοκλήρωμα ορίζεται σε οποιοδήποτε διάστημα [a, b]. (3.) Τα μόνα ενδεχόμενα των οποίων υπολογίζουμε τις πιθανότητες (ή τις δεσμευμένες πιθανότητες) είναι της μορφής {X A} για σύνολα A τα οποία μπορούν να εκφραστούν ως ένωση ενός πεπερασμένου πλήθους διαστημάτων στο R. Αν και, από αυστηρά μαθηματική σκοπιά, αυτοί οι περιορισμοί δεν είναι απαραίτητοι (υπάρχουν και πιο γενικές συνθήκες κάτω από τις οποίες μπορεί να οριστεί η έννοια της συνεχούς τυχαίας μεταβλητής), οι συνθήκες (1.) (3.) αφενός είναι αρκετά γενικές ώστε να συμπεριλαμβάνουν όλες τις σημαντικές για εμάς εφαρμογές, και αφετέρου μας επιτρέπουν, δεδομένης οποιασδήποτε πυκνότητας f(x), όπως στον Ορισμό 10.1, να κατασκευάσουμε ένα χώρο πιθανότητας Ω και μια συνάρτηση X : Ω R έτσι ώστε η X να είναι μια (μετρήσιμη) συνεχής Τ.Μ. με πυκνότητα f(x). Η κατασκευή αυτή είναι η εξής: Εστω πως έχουμε μια συνάρτηση f(x) που ικανοποιεί τις συνθήκες του Ορισμού 10.1. Θέτουμε Ω R, και ορίζουμε τη συνάρτηση X : R R ως X(ω) ω. Επιπλέον, έστω A R ένα οποιοδήποτε σύνολο που μπορεί να εκφραστεί ως ένωση ενός πεπερασμένου πλήθους N διαστημάτων (που δεν αλληλοεπικαλύπτονται), και ας πούμε πως τα άκρα αυτών των διαστημάτων είναι a i b i για i 1, 2,..., N. Ορίζουμε ένα μέτρο πιθανότητας P τέτοιο ώστε, για κάθε σύνολο A αυτής της μορφής, P(A) b1 a 1 f(x) dx + b2 a 2 f(x) dx + + bn a n f(x) dx. (10.14) Ενα από τα μεγάλα επιτεύγματα της θεωρίας μέτρου είναι η απόδειξη του ακόλουθου αποτελέσματος: Κάτω από τις πιο πάνω υποθέσεις, υπάρχει μια οικογένεια F υποσυνόλων του Ω με τις πιο κάτω ιδιότητες: Το κενό σύνολο και το Ω ανήκουν στην F: F, Ω F. Ολα τα υποσύνολα του R τα οποία μπορούν να εκφραστούν ως ένωση ενός πεπερασμένου πλήθους διαστημάτων ανήκουν στην F. Υπάρχει ένα μέτρο πιθανότητας P το οποίο ορίζεται για κάθε στοιχείο A F, και το οποίο ικανοποιεί τη σχέση (10.14). Τώρα μπορούμε εύκολα να ελέγξουμε πως η συνάρτηση X που έχουμε ορίσει είναι «μια συνεχής τυχαία μεταβλητή με πυκνότητα f(x)», υπό την έννοια του Ορισμού 10.1, δηλαδή, να επιβεβαιώσουμε πως ισχύει η τρίτη συνθήκη του ορισμού αυτού: Για a b, Pr(a X b) Pr(X [a, b]) Pr ( {ω : X(ω) [a, b]} ),

170 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ΣΥΝΕΧΕ ΙΣ ΤΥΧΑ ΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤ ΕΣ και εφόσον X(ω) ω, πράγματι προκύπτει πως ισχύει η ζητούμενη σχέση, Pr(a X b) Pr ( {ω : ω [a, b]} ) P([a, b]) b a f(x) dx, όπου στο τελευταίο βήμα εφαρμόσαμε τη (10.14) στην ειδική περίπτωση N 1 ενός μόνο διαστήματος. 10.3.2 Ορισμοί E(X), Var(X), και επιπλέον συνθήκες Για μια οποιαδήποτε συνεχή Τ.Μ. X με πυκνότητα f(x), η μέση τιμή E(X) δίνεται από ένα καταχρηστικό ολοκλήρωμα, ένα ολοκλήρωμα, δηλαδή, του οποίου τα όρια είναι ±. Οπως γνωρίζουμε από τα βασικά αποτελέσματα του διαφορικού λογισμού, τέτοια ολοκληρώματα μπορεί να παίρνουν άπειρες τιμές, ή ακόμα και να μην ορίζονται. ( Ενα παράδειγμα μιας συνεχούς Τ.Μ. με άπειρη μέση τιμή δίνεται στην Άσκηση 5 στο τέλος του κεφαλαίου.) Για να αποφύγουμε τεχνικές λεπτομέρειες που ξεφεύγουν από τα ζητούμενα του παρόντος βιβλίου, υιοθετούμε τις πιο κάτω συμβατικές υποθέσεις (ανάλογες εκείνων του Κεφαλαίου 6 για διακριτές Τ.Μ.), οι οποίες θα παραμείνουν εν ισχύ σε όλα τα υπόλοιπα κεφάλαια. Συμβάσεις Πάντοτε, όταν λέμε πως «η συνεχής Τ.Μ. X έχει μέση τιμή µ E(X)», εμμέσως υποθέτουμε ότι το ολοκλήρωμα που δίνει την E(X) ορίζεται και ότι η τιμή του είναι πεπερασμένη. Πάντοτε, όταν λέμε ότι «η συνεχής Τ.Μ. X έχει διασπορά σ 2 Var(X)», εμμέσως υποθέτουμε ότι η μέση τιμή µ E(X) ορίζεται και είναι πεπερασμένη και πως το ολοκλήρωμα που δίνει την Var(X) ορίζεται και δίνει πεπερασμένο αποτέλεσμα. Οποτε διατυπώνεται μια ιδιότητα για τη μέση τιμή (ή τη διασπορά), εμμέσως υποθέτουμε πως η αντίστοιχη μέση τιμή (αντίστοιχα, διασπορά) ορίζεται και είναι πεπερασμένη.

10.4. ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ 171 10.4 Ασκήσεις 1. Κυκλικός δίσκος. Εστω ότι επιλέγεται εντελώς τυχαία ένα σημείο του κυκλικού δίσκου Ω με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα 1, δηλαδή χωρίς κάποια προτίμηση σε κάποια περιοχή του δίσκου. Εστω Z η απόσταση του σημείου από την αρχή των αξόνων. Βρείτε το σύνολο τιμών της Τ.Μ. Z, και υπολογίστε τη συνάρτηση κατανομής και την πυκνότητά της. 2. Προσδιορισμός παραμέτρων. Η συνάρτηση κατανομής μιας συνεχούς Τ.Μ. X δίνεται από τον τύπο: { F (x) 0, x < 4, Ax + B 4 x, x 4. (αʹ) Να βρεθούν οι τιμές των A και B. (βʹ) Να υπολογιστεί η πυκνότητα f(x) της X και να γίνει η γραφική της παράσταση. (γʹ) Βρείτε την πιθανότητα το X να είναι μικρότερο του 5, δεδομένου ότι είναι μικρότερο του 6. 3. Μια απλή πυκνότητα. Εστω μια συνεχής Τ.Μ. X με πυκνότητα: 0, x < 0, cx, 0 x 1, f(x) c, 1 x 2, 0, x > 2. (αʹ) Σχεδιάστε το γράφημα της f(x) και βρείτε την τιμή της σταθεράς c. (βʹ) Βρείτε την πιθανότητα το X να είναι μεγαλύτερο από 1.5 ή μικρότερο από 0.5. (γʹ) Υπολογίστε τη μέση τιμή της X. 4. Μέση τιμή συναρτήσεων Τ.Μ. Στον Ορισμό 10.2, η μέση τιμή E[g(X)] μιας συνάρτησης g(x) της Τ.Μ. X ορίστηκε μέσω του τύπου (10.10). Αλλά η Y g(x) είναι και η ίδια μια τυχαία μεταβλητή, με τη δική της (ενδεχομένως συνεχή ή διακριτή) πυκνότητα, οπότε, αν εφαρμόσουμε τον τύπο του αντίστοιχου ορισμού (6.4) ή (10.9) για τη μέση τιμή της Y, το αποτέλεσμα θα ισούται με εκείνο του γενικότερου τύπου (10.10) για την E[g(X)]. Εδώ θα αποδείξετε μια ειδική περίπτωση αυτής της γενικής ιδιότητας. Εστω μια Τ.Μ. X με πυκνότητα όπως εκείνη του Παραδείγματος 10.4, και έστω η συνάρτηση g : [0, ) { 1, 0, 1}, 1, για 0 x < 1, g(x) 0, για 1 x 5, 1, για x > 5.

172 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ΣΥΝΕΧΕ ΙΣ ΤΥΧΑ ΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤ ΕΣ (αʹ) Υπολογίστε τη μέση τιμή της g(x) μέσω του τύπου (10.10). (βʹ) Ορίστε τη διακριτή Τ.Μ. Y g(x), βρείτε το σύνολο τιμών και την πυκνότητά της και υπολογίστε τη μέση τιμή της μέσω του ορισμού (6.4) της μέσης τιμής μιας διακριτής Τ.Μ. Συγκρίνετε το πιο πάνω αποτέλεσμα με αυτό της Άσκησης 1 του Κεφαλαίου 6. 5. Άπειρη μέση τιμή. Εστω μια συνεχής Τ.Μ. X με σύνολο τιμών το S [2, ) και πυκνότητα f(x) C/x 2 για x 2. (αʹ) Υπολογίστε την τιμή της σταθεράς C. (βʹ) Αποδείξτε πως η μέση τιμή E(X) +. 6. Κατανομή Βήτα. Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή X έχει πυκνότητα: { cx(1 x), 0 x 1, f(x) 0, x [0, 1]. (αʹ) Υπολογίστε την τιμή της σταθεράς c. (βʹ) Υπολογίστε την πιθανότητα Pr( 1 2 X 3 4 ). (γʹ) Βρείτε τη συνάρτηση κατανομής F (x). 7. Υποψήφιες πυκνότητες. Για καθεμία από τις παρακάτω συναρτήσεις f(x) σχεδιάστε το γράφημά της και αποφασίστε αν είναι πυκνότητα ή όχι. Δικαιολογήστε τις απαντήσεις σας. Για όσες είναι πυκνότητες, προσδιορίστε τη μέση τιμή, τη διασπορά, και την πιθανότητα να είναι η αντίστοιχη Τ.Μ. X μεγαλύτερη από τη μέση τιμή της. (αʹ) (βʹ) (γʹ) (δʹ) f(x) f(x) f(x) f(x) { 3 4 (1 x2 ), x [ 1, 1], 0, x [ 1, 1]. { 3 4 (1 x), x [0, 1], 0, x [0, 1]. { 3 4 (1 x), x [ 2 3, 2 3 ], 0, x [ 2 3, 2 3 ]. { ( 1 2 x), x [ 1, 1], 0, x [ 1, 1].

10.4. ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ 173 8. Μια απλή πυκνότητα στο R. Εστω πως μια συνεχής Τ.Μ. X έχει πυκνότητα, f(x) ce 4 x, x R, όπου η c είναι μια άγνωστη θετική παράμετρος. (αʹ) Ποια είναι η τιμή της c; (βʹ) Πόση είναι η μέση τιμή E(X); (γʹ) Πόση είναι η διασπορά Var(X); (δʹ) Υπολογίστε την πιθανότητα Pr( X > 1/2). 9. Βαρουφάκης εναντίον Merkel. Πριν από κάθε συνεδρίαση του Eurogroup την άνοιξη του 2015, ο (τότε) υπουργός Οικονομικών Γιάνης Βαρουφάκης βρισκόταν σε μία από δύο πιθανές ψυχικές διαθέσεις. Με πιθανότητα 1/2 ήταν σοβαρός, οπότε συζητούσε κανονικά με την καγκελάριο Merkel για ένα τυχαίο διάστημα X μέχρι τρεις ώρες. Αντίθετα, με πιθανότητα 1/2 ήταν σε διάθεση χαβαλέ, οπότε τρόλαρε την καγκελάριο Merkel για το πολύ ένα τέταρτο και διαλυόταν νωρίς το Eurogroup. Εστω Y η τυχαία διάρκεια του Eurogroup στη δεύτερη περίπτωση. Αν η Τ.Μ. X έχει πυκνότητα g(x) 1/3 για 0 x 3 και g(x) 0 για x [0, 3], ενώ η Y έχει την πυκνότητα f(y) του Παραδείγματος 10.7, υπολογίστε την πιθανότητα ένα τυχαίο Eurogroup να διήρκεσε το πολύ 10 λεπτά. 10. Συνεχείς και διακριτές τυχαίες μεταβλητές. Εστω μια διακριτή Τ.Μ. X, η οποία παίρνει τις τιμές 1, 2 και 3, με πιθανότητα 1/3 για την καθεμία. Δεδομένου ότι X a, ορίζουμε δύο συνεχείς Τ.Μ. Y 1 και Y 2, οι οποίες είναι ανεξάρτητες και έχουν την ίδια πυκνότητα f a (y), όπου f a (y) 1/a για y [0, a], και f a (y) 0 για y [0, a]. (αʹ) Υπολογίστε την πιθανότητα του ενδεχομένου {Y 1 1/2}. (βʹ) Υπολογίστε την πυκνότητα f(y) του Y 1. Βεβαιωθείτε πως η f(y) που βρήκατε πράγματι είναι η πυκνότητα του Y 1. (γʹ) Υπολογίστε τη (δεσμευμένη) πιθανότητα του ενδεχομένου {Y 1 1/2 και Y 2 1/2}, δεδομένου ότι X 1. (δʹ) Αντίστροφα, υπολογίστε τη δεσμευμένη πιθανότητα του ενδεχομένου {X 1}, δεδομένου ότι Y 1 1/2 και Y 2 1/2. 11. Απόσταση χ 2. Στην Άσκηση 18 του Κεφαλαίου 6 ορίσαμε την χ 2 -απόσταση μεταξύ δύο διακριτών πυκνοτήτων. Για δύο συνεχείς πυκνότητες f(x), g(x) με κοινό σύνολο τιμών το S R παρομοίως ορίζουμε την χ 2 -απόσταση της g(x) από την f(x) ως: d χ 2(f, g) S (f(x) g(x)) 2 dx. g(x)

174 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ΣΥΝΕΧΕ ΙΣ ΤΥΧΑ ΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤ ΕΣ (αʹ) Δείξτε ότι η d χ 2(f, g) μπορεί εναλλακτικά να εκφραστεί ως: d χ 2(f, g) S f(x) 2 g(x) dx 1. (βʹ) Διατυπώστε και αποδείξτε το αντίστοιχο αποτέλεσμα στην περίπτωση διακριτών πυκνοτήτων.