vu BEREEU VIBRAŢIIE SISEMEOR MECANICE 9
PREFAŢĂ De oae dsclele faţă de cae geul ăâe ofud îdaoa, de aoae u secol, daoă succeselo acţulo sale, Vbaţle Seelo Mecace ocuă u loc de ag. Cuoaşeea ş ulzaea oţulo de vbaţ ecace au deve ecesăţ fudaeale eu o lagă see de secalş: fzce, ge, ahecţ, ec. De la geofzce la cosuco ş âă la edc a cescu eesul eu aceasă dsclă. Poecţa îova vbaţlo ecesve ese eocuaea cală a gelo oecaţ. Poecaea ş cosucţa uo aş vbaoae ese, adesea, doţa gelo ecac ş a gelo de sue. Măsuaea ş eeaea vbaţlo ecace su sac oae î acvaea de îeţee edcvă a aşlo. Daoă ogeselo d aalza uecă ş a sueelo de ăsuă cae su asăz la îdeâa secalsulu: ogae sofscae de eleee fe sau eleee de foeă, echaee de aalză dgală a sealelo ec, acesa se găseşe î osesa uu asablu cole de jloace eu sudul ş desceea şcălo vbao. Scoul cal al acese căţ ese de a da oţu de bază î ecaca vbaţlo, oca eu a uea f ulă sudeţlo de la dfee secalză. Bazaă e o docueaţe la z, u e îdo că ea va f de u eal folos. Peu a îă dedele acce ale sudeţlo, ese da u uă ae de oblee ezolvae.
CUPRINS. VIBRAŢIIE INIARE AE SISEMEOR MECANICE CU UN GRAD DE IBERAE..Sablea ecuaţlo dfeeţale ale vbaţlo......caacesc elasce ş de aozae. egaea î see ş î aalel a eleeelo elasce......modelul ecac de aslaţe eu vbaţle lae ale sseelo aeale......modelul ecac de osue eu vbaţle lae ale sseelo aeale......sablea ecuaţe dfeeţale a şcă sseelo aeale cu u gad de lbeae cu ajuoul ecuaţe lu agage de seţa a II-a.....5.Foţe eubaoae.....răsusul sseelo ecace lae cu u gad de lbeae la dfee ecaţ......vbaţ lbee eaozae......vbaţ lbee cu aozae vâscoasă......vbaţ lbee cu aozae uscaă......răsusul sseelo vbae lae cu u gad de lbeae la ecaţa uls.....5.vbaţ foţae eaozae cu foţă eubaoae oaecae.....6.vbaţ foţae cu aozae vâscoasă ş foţă eubaoae oaecae.....7.vbaţ foţae eaozae cu foţă eubaoae aocă.....8. Vbaţ foţae cu aozae vâscoasă ş foţă eubaoae aocă.....9. Răsusul cole î fecveţă...... Vbaţ foţae cu aozae vâscoasă ş foţă eubaoae eodcă...... Asece eegece î sudul vbaţlo lae. Aozae sucuală.....poblee.... VIBRAŢIIE SISEMEOR INIARE CU MAI MUE GRADE DE IBERAE..Sablea ecuaţlo dfeeţale ale şcă cu ajuoul ecuaţlo lu agage de seţa a II-a.....Ecuaţle clo osclaţ.....vbaţ î ssee cu caacesc lae.....vbaţ lbee eaozae......pulsaţ o, veco o. Deeaea leglo de şcae......oogoalaea odulo o......coodoae oale. Răsusul sseulu la ecaţe ţală......ssee cu odu de co gd....5.vbaţ lbee cu aozae vâscoasă....5..deeaea leglo de şcae....5..vbaţ lbee cu aozae ooţoală....6.vbaţ foţae eaozae....6..vbaţ foţae eaozae cu foţe eubaoae oaecae...
.6..Vbaţ foţae eaozae cu foţe eubaoae aoce de aceeaş ulsaţe....7.vbaţ foţae aozae....7..vbaţ foţae aozae cu foţe eubaoae oaecae....7..vbaţ foţae cu aozae vâscoasă ş foţe eubaoae aoce de aceeaş ulsaţe....8.poblee.... APCAŢII EHNICE AE EORIEI VIBRAŢIIOR..Cosdeaţ geeale.....uaţ cce ale vbaţlo de osue ale uu aboe elasc cu a ulţ volaţ.....uaţ cce ale vbaţlo de îcovoee ale uu aboe elasc cu a ulţ volaţ.....izolaea vbaţlo....5.aozoul dac slu....6.aaae ecace eu ăsuaea vbaţlo....7.aaae elecce eu ăsuaea vbaţlo....8.măsuăo de vbaţ ş elucaea sealelo.... VIBRAŢII NEINIARE ŞI PARAMERICE..Cosdeaţ geeale.....sudul î laul fazelo al vbaţlo elae.....puce sgulae ş aeco de fază eu ssee lae.....meoda eacă eu sudul vbaţlo elae eu ssee cosevave....5.meoda lază echvalee....6.meoda vaaţe lee a alud ş a faze ţale....7.meoda aaeulu c....8.meoda balaţe aoce....9.meoda lu Rz.....Auovbaţ oduse de fecaea uscaă.....ecuaţa lu Duffg.....Vbaţ aaece.....poblee... 5. VIBRAŢIIE SISEMEOR CONINUE 5..Vbaţle logudale ale baelo dee... 5...Deduceea ecuaţe de şcae... 5...Codţ ţale ş la lă... 5...Vbaţ logudale lbee. Meoda seaă vaablelo... 5...Relaţ de oogoalae... 5..5.Vbaţ logudale aozae ale bae... 5..6.Vbaţ logudale foţae ale bae... 5..Vbaţ de ăsuce ale baelo... 5..Vbaţ asvesale ale baelo... 5...Deduceea ecuaţe vbaţlo asvesale... 5...Codţ ţale ş la lă... 5...Vbaţ lbee asvesale ale baelo...
5...Relaţ de oogoalae... 5..Poblee... 6. MEODE NUMERICE ŞI APROXIMAIVE 6..Evaluaea uecă a ăsusulu sseulu cu u gad de lbeae... 6...Soluţa uecă bazaă e eolaea foţe eubaoae... 6...Iegaea uecă as cu as... 6..Evaluaea uecă a ăsusulu sseelo lae cu a ule gade de lbeae... 6...Meoda dfeeţelo fe... 6...Meoda Newa... 6..Meode aalce aoave... 6...Calculul eege cece ş oeţale eu ssee coue... 6...Alcaea ecuaţlo lu agage eu sseele coue î eoda odulo esuuse... 6...Meoda Raylegh... 6...Meoda Raylegh Rz... 6..5.Meoda Gale... 6..Evaluaea uecă a ulsaţlo o ş a vecolo o... 6...Meoda ue folosd acea de elae... 6...Meoda aoulu Raylegh... 6...Meoda acelo de asfe... 6.5.Poblee... BIBIOGRAFIE... 5
. VIBRAŢIIE INIARE AE SISEMEOR MECANICE CU UN GRAD DE IBERAE.. Sablea ecuaţlo dfeeţale ale vbaţlo... Caacesc elasce ş de aozae. egaea î see ş î aalel a eleeelo elasce Î sudul vbaţlo sseelo ecace se fac dfee oeze slfcao, cae educ sseul eal la u odel aalc (odel ecac). Modelele ecace su de două u: odelul sseulu couu ş odelul sseulu cu aae dsceţ. Nuăul aaelo geoec deedeţ, cae eczează ozţa uu sse, eeză uăul gadelo de lbeae. Cha ş î cazul sseelo cu a ule gade de lbeae, sudul şcă se educe la folosea a două odele ecace: odelul de aslaţe ş odelul de oaţe. Odaă ales odelul ecac se oae ece la alcaea eodelo de obţee a ecuaţlo dfeeţale. Acese ecuaţ dfeeţale cosue odelul aeac al sseulu. Cooeele, cae cosue odelul cu aae dsceţ a uu sse, su acelea cae dau legăua îe foţe, delasă, veze ş acceleaţ sau îe oee, ughu, veze ughulae ş acceleaţ ughulae. Cooea cae leagă foţa de delasae ese acul, cae î od obşu se cosdeă făă asă ş eu cae se cosdeă o elaţe laă îe foţă ş elogaţe (defoaţe). Cosaa elască oae f deeaă ăsuâd defoaţa odusă de o foţă cosaă cuoscuă F. F (.) y s Î cazul uu ac elcodal, asua căua acţoează foţa F, acesa va avea o defoaţe sacă: 8D F y s Gd (.) ude eeză uăul de se, D ese daeul de îfăşuae al selo, d ese daeul se, a G ese odulul de elascae asvesal. Cosaa elască a aculu elcodal ese: F Gd (.) y 8D s 6
Peu u cablu suus la îdee (fg...) cosaa elască ese: F EA (.) Ys l eu o baă îcasaă la u caă, suusă la îcovoee (fg...), cosaa elască ese: F E I z (.5) ys l a eu o baă elască îcasaă la u caă ş suusă la ăsuce -u oe alca la celălal caă (fg...), cosaa elască la osue ese: (.6) M θ s GI l Fg... Fg... Fg... Î aces caz, legăua ese îe u oe ş ughul de ăsuce. Cooea cae dă legaua îe foţă ş veză ese aozoul. Dacă se cosdeă foţele de fecae, îe eleeele sseulu, ooţoale cu vezele elave, aceasă aozae ese cuoscuă sub uele de aozae vâscoasă. Dacă foţele de ezseţă se cosdeă cosae ş de se eschba de-a lugul ue seeoade, aceasă aozae ese cuoscuă ca aozae uscaă (fecae uscaă). Î dagaa efo-defoaţe, asaă eu u cclu de îcăcae descăcae se cosaă aaţa ue bucle de hseeză. Aa acese bucle eeză eega dsaă e cclu, a aces de aozae ese u aozae eă. Aceasa ese uă aozae vâscoelască, dacă eega dsaă dede de alude ş fecveţă, esecv aozae hseecă, câd eega dsaă dede ua de alude. Î sfâş, legăua de foţă ş acceleaţe sau oe ş acceleaţe ughulaă ese daă asă, esecv oe de eţe. Ueo, eu legaea aselo gde îe ele sau eu ezeaea lo se folosesc a ule eleee elasce. Acese eleee elasce o f legae î see sau î aalel. Î cazul legă î aalel a două eleee elasce, de cosae,, se ue 7
oblea găs uu elee elasc echvale de cosaă e. Î abele cazu o foţă F va oduce aceaş defoaţe. Peu acule legae î aalel se sce: F ) (.7) ( Peu cel echvale se oae sce: F e (.8) D cele două elaţ se obţe: e (.9) Fg... Î geeal, eu u uă de acu legae î aalel se găseşe o cosaă echvaleă e (.) a eleeele elasce legae î see, fg..5, defoaţa oală a celo două acu va f sua defoaţlo ş ebue să fe egală cu defoaţa aculu echvale. Dec, se oae sce: F F (.) F e (.) de ude: e (.) 8
Fg..5. Î geeal, î cazul legă î see a a ulo acu se găseşe cosaa echvaleă d elaţa: e (.)... Modelul ecac de aslaţe eu vbaţle lae ale sseelo aeale Se cosdeă odelul ecac d fg..6. foa d-o asă aflaă î şcae de aslaţe. Fg..6. Foţa elască ce acţoează asua ase ese daă de eleeul elasc de cosaă. Eleeul cae oduce aozaea ese eezea -u cldu f î cae se oae şca î-u edu vâscos u so lega de asa. D eeo acţoează o foţă deedeă ua de F (), uă foţă eubaoae. o d eeo acţoeză î ghdaje foţe de ezseţă de valoae cosaă ş ses cosa e o seeoadă, ue foţe de aozae uscaă. Rezulaa aceso foţe de ezseţă ae valoaea cosaă R. Se foloseşe cul lu d'alebe, oecâd e aa y, coesuzăoae şcă, a ecuaţe a culu: d l I R R R (.5) Peu sudul şcă se alege ogea la caăul aculu edefoa. Cu y se oează delasaea ase faţă de ogea aleasă. 9
Ecuaţa de echlbu dac ese: F( ) g y cy y R sg y (.6) ude: (.7) sg y, daca, y >, daca, y, daca, y < sau odoâd ecuoscuele î aea sâgă a ecuaţe: y cy y F() g Rsg y (.8) Fucţa sg y u ese laă, decâ e oţu, î evalul de î cae veza ae acelaş ses. Dacă se alege ogea de ăsuae a delasă ase î ozţa deechlbulu sac, ecuaţa dfeeţală deve a slă. Noâd cu oua delasae, se oae sce: ude y ys (.9) y s ese defoaţa sacă a aculu, ş dec: y s g (.) Devâd elaţa (.9) ş îlocud î ecuaţa (.8) se obţe: c y s F () g R sg (.) sau c F Rsg (.) () Î aceasă ecuaţe u a aa foţele ce deeă ozţa de echlbu sac. Î lsa fecă uscae ecuaţa (.) ese laă.... Modelul ecac de osue eu vbaţle lae ale sseelo aeale Peu sudul vbaţlo de ăsuce ale abolo u se a oae folos odelul ecede, daoă ulu dfe de şcae. Î aceasă suaţe se va folos u odel foa d-u dsc ooge acula -o aculaţe cldcă î ceul său ş avâd u oe de eţe J. De obce aces dsc se ueşe vola. Eleeul elasc (aboele elasc) ese sbolza -u ac sal cu u caă lega de aculaţe ş celălal caă fa de dsc. Cosaa elască a acesu elee ese K. Se a cosdeă u elee de aozae, foa d-u cldu cub, cae ese f ş cae se oae şca u so cu jă cculaă legaă la celălal caă de dsc. Peu caacezaea foţelo de aozae se cosdeă coefceul de aozae vâscoasă la oe C (fg..7.). Asua dsculu a acţoează u oe eubao M().
Paaeul de ozţe se cosdeă u ugh ăsua d ozţa î cae acul ese edefoa. Fg..7. Peu deduceea ecuaţe de şcae se va folos cea de-a doua ecuaţe d cul lu d'albe: d l I M M M (.) Aceasa se oecează e aa fă eedculaă î O e dsc. Negljâd fecăle, î ecuaţa de oee u ev eacţule: d J θ (.) z M z Acul sal oduce u oe elasc, a aozoul u oe de aozae. Ecuaţa (.) deve: θ M C θ K (.5) J z () θ Ecuaţa dfeeţală coesuzăoae odelulu de oaţe ese laă ş cu coefceţ cosaţ. De obce oeul eubao ese o fucţe eodcă M ( ) M ( ). Ca foă ecuaţa dfeeţală a odelulu de oaţe ese decă cu cea a odelulu de aslaţe, câd lseşe foţa de aozae uscaă.... Sablea ecuaţe dfeeţale a şcă sseelo aeale cu u gad de lbeae cu ajuoul ecuaţe lu agage de saţa a II-a Cosdeâd aaeul de ozţe al sseulu aeal, ecuaţa lu agage ese: d Ec Ec Q (.6) d ude Q eeză foţa geealzaă ş se calculeză eu fecae caegoe de foţe ce acţoează asua sseulu: c c Q Q Q Q () (.7) Cele e caego de foţe geealzae eeză î ode: foţa geealzaă cosevavă ce devă d foţe cae ded de ozţa sseulu (geuăţ, foţe elasce); foţa geealzaă ce devă d foţele de fecae de sse ş eeo sau de cooeele sseulu; foţa geealzaă eubaoae ce devă d foţele eubaoae eeoae ce acţoează asua sseulu. Se cosdeă u sse foa d N uce aeale. Eega cecă va f:
ude v E d d c N v (.8) (.9) Pozţa fecău uc d sse dezâd de coodoaa cazul sseelo oloo scleooe, elaţa (.8) deve: N ( ), î E ( ) c (.) Coefceul N ( ) (.) ese fucţe de coodoaa geealzaă. Fucţa de foţă d cae devă foţa cosevavă dede ua de coodoaa geealzaă U U( ). Făă a dua geealaea oblee, se va cosdea ozţa de echlbu sabl ca oge de ăsuae a coodoae geealzae. Dec, î ozţa de echlbu,. Dezvolâd î see Mac aue, duă uele lu, se obţe: U U U ( ) U ( )... (.) U De la sudul sablăţ echlbulu se şe că,. Î ozţa de echlbu valoaea fucţe de foţă (sau cosae âă la cae ese deeaă eega oeţală) se oae lua zeo. âd dezvolaea î see la e ee, va ezula eu fucţa de foţă U U (.) î cae: U (.) ese o cosaă, fd ozvă. Peu deduceea foeţe geealzae de aozae vâscoasă se va calcula lucul ecac vual al foţelo de fecae vâscoasă. N N N a δ c v δ cj v v j δ δ j (.5) j
ude δ δ (.6) a d ecuaţa (.9) se oae sce: v (.7) Relaţa (.9) deve: c c v v c v c j N j j N j N j j N a δ δ δ,, (.8) Se oează: ( ) c c c E N j N j j N d (.9) eega de dsae, cuoscuă ş sub uele de fucţa lu Raylegh, ude ( ) c ese u coefce fucţe de coodoaa geealzaă. Pe de ală ae, lucul ecac vual se oae sce: Q a a δ δ (.) de ude E Q d a (.) Peu foţa eubaoae geealzaă se alcă eoda geeală de calcul al foţelo geealzae: () Q δ δ (.) Îlocud î ecuaţa lu agage eesle (.), (.) ş (.) se obţe o ecuaţe dfeeţală de odul do, î geeal elaă. Dacă se dezvolă î see de ue î juul ozţe de echlbu, eu coefceţ ( ) ş ( ) c, se obţe: ( ) ( )... (.)
c c c ( ) c( )... (.) Pesuuâd osclaţ c, faţă de ozţa de echlbu, se ăsează ua coefceţ cosaţ a dezvolălo (.) ş (.). Î aces caz ecuaţa lu agage deve: c Q () (.5) adcă o ecuaţe dfeeţală laă cu coefceţ cosaţ...5. Foţe eubaoae Foţele eubaoae su acele foţe eeoae, î geeal eodce, cae ded de. Esă ule suse de foţe eubaoae. Î aces aagaf su aăae ua cele de auă ecacă. Susele cele a oae de foţe eubaoae su foţele de eţe ale uo ase eechlbae ş şcaea suoulu eleeulu elasc ş/sau a eleeulu de aozae. Î ul caz se cosdeă odelul de aslaţe (fg..8.). Fg..8. Fg..9. O asă o d sse, ececă cu ececaea, se află î şcae cculaă ufoă cu veza ughulaă. Foţa de eţe cae aae daoă şcă ase ecece se ase asua aulu, dec asua ase (î asa oală ese clusă ş o ). Foţa cefugă se descoue î două cooee. Cooea eedculaă e ghdaj ese ahlaă de eacţuea ghdajulu, a cealală cooeă ese foţa eubaoae: o F s ; (.6)
Aces odel ae u covee, daoa cooee oale e ghdaj, cae duce la uzua acesua. Peu elaea acese solcă vaable, se cosdeă două ase, cae se oesc, î sesu coae, cu aceaş veză ughlaă (fg..9.). Î aces caz, cooeele oale e ghdaj se echlbează, a celelale cooee se îsuează ş dau foţa (.6). Cealală susă de oducee a foţelo eubaoae o cosue şcaea suoulu eleeulu elasc ş/sau eleeulu aozo. Se cosdeă odelul de aslaţe d fg... ş se esuue că suoul cou se şcă duă o lege f (). o Fg... D ozţa de echlbu sac, y ăsoaă delasaea ase faţă de u ee f, coesuzao ozţe eu f. Alcâd cul lu d'alebe, se obţe: y c( y f ) ( y f ) (.7) esecv odoaea ecuaţe (.7) y cy y F() (.8) ude F () ese daă de foula: F () cf f (.9) Pesuuâd că suoul ae o şcae aocă de foa: f () s (.5) foţa eubaoae ese: s c cos F s ϕ (.5) F ( ) Aludea ş faza ţală se o deea eezeae vecoală (fg...). 5
Fg.. F ( ) ( c ) (.5) c gϕ (.5) Dec, î şcaea absoluă daoă şcă aoce a suoulu, aae o foţă eubaoae aocă. Î uele alcaţ, cu a f sudul aaaelo eu ăsuaea vbaţlo, eesează î od deoseb delasaea elavă a ase faţă de suo. Î aceasă suaţe, f ( ) va eezea delasaea de aso, ( ) y () delasaea absoluă. Dec, se oae sce: delasaea elavă, a y f (.5) Îlocud (.5) î (.8), se obţe: ( f ) c( f ) ( f ) cf f (.55) sau c f (.56) Se obsevă că foţa eubaoae î aces caz ese: F() f (.57) Dacă şcaea suoulu ese duă legea (.5), auc foţa eubaoae: F() s (.58) ese o foţă aocă ş î fază cu şcaea suoulu... Răsusul sseelo ecace lae cu u gad de lbeae la dfee ecaţ... Vbaţle lbee eaozae Îae de a dscua soluţa geeală a ecuaţe (.), se vo cosdea câeva cazu aculae. Î ul âd se egljează fecăle, a foţa eubaoae F () se cosdeă ulă. 6
Fg... Î acese codţ ecuaţa dfeeţală a şcă odelulu d fg. se educe la: (.59) sau, (.6) ude ese cuoscuă sub uele de ulsaţe auală sau ulsaţe oe. Soluţa se λ cauă de foa ce. Se obţe ecuaţa caacescă: λ (.6) de ude λ, ± Soluţa ecuaţe (.6) va f de foa: C e Ce (.6) sau ( C C ) cos ( C C ) s (.6) ude C ş C ebue să fe cosae cole cojugae eu ca soluţa (.6) să eeze o şcae eală. Dec: A cos A s (.6) Cosaele A ş A se deeă d codţle ţale ( ) ş ( ) v. Cu acesea, soluţa (.6) deve: v s cos As( ϕ) (.65) ude A ş ϕ se o deea d codţle ţale sau îsuaea vecoală a celo două cooee (fg...). Fg.. v A (.66) gϕ (.67) v 7
Î cocluze, î cazul vbaţlo lbee ş eaozae, şcaea ese aocă cu ulsaţa oe, ce u dede de codţle ţale. Aludea şcă ş faza ţală ded de codţle ţale. Peu odelul de oaţe se va obţe o lege de şcae decă cu (.65), ude: K J (.68)... Vbaţ lbee cu aozae vâscoasă Î cazul î cae ese ezeă aozaea vâscoasă, aozaea uscaă se egljează ş î lsa foţe eubaoae, ecuaţa dfeeţală a şcă odelulu d fg... ese: c (.69) Soluţa ecuaţe (.69) ese de foa: λ Ce (.7) ude C ş λ su cosae ce ebue deeae. Iuâd soluţe (.7) să vefce ecuaţa dfeeţală (.69), se ajuge la ecuaţa caacescă: λ cλ (.7) ale căe ădăc su: (.7) λ, c ± c Fg... Valoaea coefceulu de aozae eu cae se aulează adcalul d elaţa (.7) se ueşe coefce cc de aozae: cc (.7) sau cc, ude ese ulsaţa auală a sseulu făă aozae. 8
Ioducâd aoul de aozae ξ scse asfel: ( λ, ξ ± ξ ) (.7) Î fucţe de aoul de aozae sseele se clasfcă asfel: a) aozae suaccă, dacă ξ > b) aozae ccă, dacă ξ c) aozae subccă, dacă ξ < c c c, ădăcle ecuaţe caacesce o f Î fg..5. se aaă locul ădăclo ecuaţe caacesce î laul cole. Fg..5. va f: Î cazul a) ădăcle ecuaţe caacesce su eale ş egave. Soluţa geeală λ ( ξ ξ ) C e( ξ ξ ) λ C e Ce C e (.75) Î aces caz şcaea u ese vbaoe. Peu cazul b) esă o ădăcă dublă, eală ş egavă. Soluţa î aces caz va f ξ ( C C) e (.76) Ş î aces caz şcaea sseulu ese evbaoe. Î sfâş, î cazul c) ădăcle su cole cojugae cu aea eală egavă. Peu u sse aoza subcc, ădăcle ecuaţe caacesce se o sce ş asfel λ, σ ± (.77) c ude σ ξ, se ueşe faco de aozae, a ξ, se ueşe cc seudoulsaţe. egea şcă sseulu î aces caz ese: C e ( ξ ξ ) C e( ξ ξ ) [ C e( ) C e( ) ] e( σ) (.78) ude C ş C ebue să fe cosae cole cojugae eu că () eeză o şcae eală. Dec (.78) se sce: 9
σ σ [( C C ) ( C C ) s ] e ( A cos A s ) Ae s( ϕ ) σ e cos (.79) Cosaele de egae A ş A sau Aş ϕ se deeă d codţle ţale. Dacă eu ele două cazu sseul u ae şcae vbaoe, eu cazul c) sseul ae o şcae vbaoe aozaă. Mşcaea lu se sge î eu că dacă,. Fg..6. lusează ăsusul î doeul eu cele e cazu. () Fg..6. Folosd codţle ţale ( ), ( ) v A, ş ezulă că: σ v σ e s cos ş d eezeaea vecoală se obţe: ş A gϕ v σ se o deea cosaele A ş (.8) (.8) (.8) v σ Aşa cu ezulă d elaţa (.79) aoul de aozae joacă u ol oa î desceşeea eoeţală a vbaţe. Î aagaful..., s-a aăa cu oae f deeaă cosaa elască a uu sse slu cu u gad de lbeae. Peu deeaea aoulu de aozae ξ se foloseşe eoda deceeulu logac. ogaul aual al aoulu a două alud succesve se ueşe decee logac al aoză. ξ Ae δ l l ( ) ξ (.8) ξ Ae ude eeză seudoeoada vbaţe aozae: π π (.8) ξ D ecuaţle (.8) ş (.8) se obţe: π πξ δ ξ (.85) ξ ξ sau eu ssee slab aozae ( ξ <,)
δ πξ (.86) dec, oae f accea u ao de aozae: ξ l (.87) π Pe baza defţe aoulu de aozae, se oae deea coefceul de aozae: c ξ (.88)... Vbaţ lbee cu aozae uscaă Fecaea coulobaă sau fecaea uscaă eve câd u co aluecă e o suafaţă ugoasă. Peu ca şcaea să îceaă, ebue îvsă foţa de fecae. Foţa de fecae ese î oozţe cu sesul veze ş, dec ese cosaă e oţule e cae veza ae se cosa. Folosd odelul de aslaţe (fg..7.) ş oâd cu R foţa de fecae aă, ecuaţa de şcae oae scsă î foa: Rsg (.89) Fg..7. R Noâd cu s, aceasa ae sefcaţa de săgeaă sacă a eleeulu elasc odusă de o foţă ce ae valoaea foţe de aozae uscaă. Dacă se cosdeă evalul de î cae veza ae se cosa ş se îlocueşe: R s (.9) ecuaţa (.89) se sce: ( sg s ) (.9) Făcâd schbaea de vaablă s sg (.9) ecuaţa (.9) deve: (.9) ş ae soluţa: A s A cos (.9) î cae, a soluţa (.9) ese valablă î-u eval de î cae veza îş ăsează seul, dec îe două oee de cosecuve î cae veza ese ulă.
Reved la coodoaa ţală: s sg A s A cos (.95) Pesuuâd codţle ţale ( ) o > s ş ( ), î evalul de [, ] se obsevă că ş ezulă: ( s ) cos s (.96) ude ese ul oe de duă î cae veza deve ulă. Mşcaea ae loc î sesul egav al ae O, a dagaa sa ese o secosusodă î juul dee s. Devâd î ao cu ul ecuaţa (.96) se obţe: s (.97) ( ) s de ude uâd codţa ( ) se obţe ese ( ) ( ) s. π, oe de la cae elogaţa Dacă ( ) ese sufce de ae eu ca foţa elască să îvgă foţa de fecae uscaă îcee o ouă şcae, î cae asa ae veza ozvă ( sg ) ş cae ebue să sasfacă ecuaţa: s (.98) a căe soluţe î evalul (, ) ese: s A s A cos (.99) ş ese suusă codţlo ţale: ( ) ( s ) ; ( ) Soluţa ecuaţe (.99) ese daă de: ( s ) cos s (.) ş eeză o secosusodă î juul dee s. Mşcaea se aozează daoă fecă uscae ş, dec vo esa u uă de secosusode âă şcaea se oeşe. Î evalul de [, ], legea şcă va f: ( ) s [ ( ) s ] cos (.) Se obsevă că soluţa ae o cooeă cosaă ± s ş ua aocă, a căe alude scade e fecae seeoadă cu (fg..8.). s
Fg..8. Mşcaea se oeşe câd foţa elască u oae îvge foţa de fecae. Aces lucu ae loc la sfâşul seeoade eu cae s ( ) s. Deoaece, eu a f îdelă aceasă codţe, ese ecesa ca aludea cooee aoce eu [, ] să fe ozvă, se oae cocluzoa că ese cel a ae îeg ce sasface ecuaţa: (.) ( ) s >... Răsusul sseelo vbae lae cu u gad de lbeae la ecaţa uls O foă secală de ecaţe ese ulsul de scuă duaă, fecve ulza î deeaea ăsusulu uu sse suus ue foţe eubaoae oaecae. Coceul de uls ua sau fucţa lu Dac, ae uăoaea defţe aeacă: δ a eu a ( ) ( a) d δ (.) P defţe evalul de î cae fucţa ese dfeă de zeo ese foae c, adcă ese ε, la lă se aoe de zeo, ş aludea fucţe ese edefă, da aa de sub cubă ese egală cu uaea (fg..9.). Fg..9. Ese cla că aa, dec valoaea egale (.), ese adesoală. U uls ua alca la a se oează δ ( a). Auc o foţă uls de ăe F alcaă la ul a se va sce: F() F δ ( a) (.)
Răsusul sseulu la u uls uae alca la, se va oa h (), a ăsusul la u uls uae alca la a se va oa h( a). Se cosdeă sseul aoza cu u gad de lbeae căua se alcă o foţă uls c F δ (.5) () Peu că duaa ese foae scuă, ε, se va cosdea cazul î cae codţle ţale su ule, ( ) ( ), ş egaea ecuaţe (.5), î evalul Δ ε, se oae sce: ( c ) d F δ ( ) l l ε ε ε (.6) ude ε ε l l l ε ε ε ε F [ ( ε ) ( ) ] ( ) d ε [ ( ε ) ( ) ] l cd lc ε ε ε l d ε Noaţa ( ) (.7) aaă că î ul Δ ε, se schbă veza, da u esă o schbae saaee î delasae. D (.6) ş (.7) se obţe că: Fo ( ) (.8) ceea ce aaă că, alcaea ue foţe uls ese echvaleă cu codţa ţală ( ) F ş ( ) v. Î cocluze, ăsusul uu sse aoza la o foţă uls se obţe d (.8) F () e ξ s, ξ, >, < (.9) () Dacă ulsul ese ua, se obţe: h() e ξ s, > h, < (.) () Peu u sse eaoza ăsusul la uls uae ese:
h s (.) ()..5. Vbaţ foţae eaozae cu foţă eubaoae oaecae U caz acula oa de sudu al vbaţlo foţae ese acela câd foţa de ecaţe ese abaă, a foţele de aozae su egljable. Se cosdeă odelul ecac de aslaţe d fg... Fg... Ecuaţa dfeeţală a şcă ese: F() (.) Soluţa geeală a acese ecuaţ ese o suauee de ecuaţa oogeă ş o soluţe aculaă, a ecuaţe eoogee. (.) Soluţa ecuaţe oogee ese daă de (.6). Soluţa aculaă a ecuaţe eoogee ese uă ş soluţe sau vbaţe foţaă. Peu deeaea e esă a ule eode. Ua de cele a folose eode ese eoda vaaţe cosaelo. Se esuue că soluţa ese de foa: A s A cos (.) ude cosaele A ş A su fucţ de ce uează a f deeae. P devaea soluţe (.) se obţe: ( A cos A s) A s A cos (.5) Peu deeaea cosaelo A ş A se ue codţa: A s A cos (.6) Se devează îcă odaă elaţa (.5) ş ezulă: ( A s A coss) ( A cos A s) (.7) Ecuaţa (.) se a oae sce: 5
F(), (.8) Îlocud î ecuaţa (.8) soluţa (.) ş (.7) se obţe: A cos A s F() (.9) ş îeuă cu ecuaţa (.6) cosue u sse d cae ezulă: A F() cos (.) A F() s sau egae A F() cosd (.) () A F sd Acese cosae se îlocuesc î soluţa (.) ş se deeă soluţa aculaă: s F () cos d cos F () s d (.) Noâd vaabla, î ao cu cae se egează, cu τ, soluţa se oae sce: F ( τ ) s ( τ ) dτ (.) ş eeză ăsusul sseulu la o ecaţe cu foţă eubaoae oaecae, î codţ ţale ule. Î cazul geeal, dacă sseul u ae codţ ţale ule, soluţa sseulu eaoza va f: v () F ( τ ) s ( τ ) dτ cos s (.) O ală eodă, fecve ulzaă, ese egala de covoluţe (Duhael), î cae foţa F () oae f vă ca u e de ulsu cu alude vaablă (fg...). Fg... 6
a u oe aba τ, uu eval de foae scu Δ τ, î coesude u uls de ăe F ( τ Δ )τ, esecv eesa aeacă a ulsulu F ( τ ) Δτδ( τ ). Deoaece ăsusul sseulu la uls ua alca la oeul τ ese h ( τ ), cobuţa ulsulu F ( τ ) Δτδ( τ ) la ăsus va f: Δ (, τ ) F( τ ) Δτh( τ ) (.5) aşa că ăsusul oal ese: () F( τ )( h τ ) Δτ (.6) Făcâd e Δτ, se obţe o suă egală, ş dec: () F( τ ) h( τ d )τ cae eeză egala de covoluţe, ude ( τ ) (.7) h se obţe d (.) sau (.). Dec eu ssee eaozae ş codţ ţale eule, soluţa geeală ese daă de elaţa (.)...6. Vbaţ foţae cu aozae vâscoasă ş foţă eubaoae oaecae Se cosdeă cazul geeal câd asua sseulu, avâd odelul d fg... F ş a cău ecuaţe dfeeţală ese: c F (.8) acţoează o foţă eubaoae oaecae ( ) () Fg... Soluţa geeală a acese ecuaţ se coue d soluţa ecuaţe oogee ş o soluţe aculaă, uă ş vbaţe foţaă. Soluţa ecuaţe oogee, uă ş vbaţe azoe ese de foa (.79). Soluţa aculaă a ecuaţe (.8) se va lua de foa: ( ξ ) u e, c ξ, (.9) c 7
ude u u() ese o fucţe aculaă de ce uează a f deeaă d codţa usă soluţe (.9) de a vefca ecuaţa (.8). P ueea acese codţ se obţe ecuaţa: u ( ξ ) u e( ξ) F( ) (.) sau u ( ξ ) u e( ξ) F( ) (.) a căe soluţe va f de foa (.), adcă: u() e( ξτ ) F( τ ) s ξ ( τ ) dτ (.) ξ Soluţa aculaă va f: e[ ξ ( τ )] F( τ ) s ξ ( τ ) dτ (.) ξ sau folosd oaţa eu seudoeoadă ξ, esuuâd sseul aoza subcc ( ξ < ), ţâd co ş de codţle ţale, soluţa geeală va f: v ξ [ ξ ( τ )] F ( τ ) ( τ ) dτ ( ξ ) e s s cos e (.) Folosd egala lu Duhael se va obţe soluţa aculaă daă de (.). Deoaece, î cazul aoză subcce vbaţa azoe se sge î, eesează ua vbaţa foţaă...7. Vbaţ foţae eaozae cu foţă eubaoae aocă F Se cosdeă că asua odelulu d fg..9. acţoează o foţă de ecaţe F s, avâd aludea cosaă F ş ulsaţa. Ecuaţa dfeeţală a şcă ese: F s (.5) Soluţa geeală a acese ecuaţ dfeeţale ese sua de soluţa ecuaţe (), ude ese ulsaţa oe a sseulu ş o soluţe aculaă de foa ebulu de al ecuaţe dfeeţale (.5). Soluţa aculaă, fd de foa, s (.6) oogee As( ϕ ) se deeă uâdu- să vefce ecuaţa dfeeţală (.5) de ude se obţe aludea vbaţe foţae: 8
F F (.7) Noâd F s, eezeâd săgeaa sacă a eleeulu elasc sub acţuea ue foţe cosae egale cu aludea foţe eubaoae. Asfel, foula (.7) se oae sce sub foa uu ao adesoal. H( ) (.8) s u fucţe de ăsus î fecveţă. Vbaţa aocă foţaă va f: s s (.9) H dă aludea ş faza ţală a ăsusulu saţoa al uu sse eaoza suus la o ecaţe aocă. H se ueşe faco de alfcae. Î fg... ese Fucţa de ăsus î fecveţă ( ) Modulul fucţe ( ) eezeaă gafc vaaţa sa î fucţe de aoul. Fg... Se cosaă că eu (,), facoul de alfcae ceşe âă la f, a valoaea ese ozvă, eezeâd cha aludea vbaţe foţae ş aăâd că foţa () F ş şcaea su î fază. Dacă aoul (,), auc valoaea ese egavă. Î acese caz foţa eubaoae ş vbaţa foţaă su î oozţe, a aludea acesea d uă ese. Vbaţa foţaă va f: ( π ) s s ± (.) 9
Peu cazul î cae, ecuaţa dfeeţală a şcă (.5) deve: F s (.) Soluţa aculaă a acese ecuaţ ese de foa: cos (.) Devâd ş îlocud î ecuaţa (.5) se obţe: F (.) Vbaţa foţaă a sseulu ese: F F π cos s (.) Se cosaă (fg...) că vbaţa foţaă ese odulaă la î alude ş că ese defazaă cu π (u sfe de eoadă) faţă de foţa eubaoae. Cescâd aludea vbaţe foţae, cesc ş foţele d eleeul elasc, âă câd acesea deăşesc valoaea lă de ezseţă, uâd dsugeea acesua. Aces feoe oaă uele de ezoaţă ş ebue eva. Aceasă evae oae f făcuă d oecae, fe schbaea ulsaţe foţe eubaoae, fe odfcă sucuale, odfcâd ş. Î acele acţoă î cae uaţa de eg ese dcolo de cea la cae oae avea loc ezoaţa, se va ece ad ezoaţă. Fg... Soluţa geeală a ecuaţe (.5) ese: As( ϕ ) s (.5) ude A ş ϕ su cosae ce se deeă d codţle ţale use soluţe (.5). Dacă ulsaţa foţe eubaoae ese î aoeea ezoaţe, adcă, şcaea daă de (.5) ş eezeaea î fg..5. eză feoeul de băă.
Fg..5. Î aceasă vbaţe aludea vaază î, dec şcaea ese o vbaţe odulaă î alude. U al caz, de foţă eubaoae, fecve îâl, ese cel î cae aludea ese ooţoală cu ăaul ulsaţe. Aşa se îâlă î cazul şcă elave a ase faţă de suo, câd acesa ae o lege de şcae aocă: F() s (.6) Facoul de alfcae ese: (.7) Dagaa de ezoaţă ese daă î fg..6. Fg..6. Răsusul oal eu ecaea sseulu cu o foţă eubaoae (.6) ese: As( ϕ) s (.8) ude cosaele A ş ϕ se deeă d codţle ţale use soluţe (.8)...8. Vbaţ foţae cu aozae vâscoasă cu foţă eubaoae aocă Se cosdeă sseul ecac d fg..., asua căua acţoează o foţă aocă: F() F s. Ecuaţa dfeeţală a şcă sseulu ese: c F s (.9) a căe soluţe geeală ese cousă d soluţa ecuaţe oogee ş o soluţe aculaă de foa ebulu de al ecuaţe (.9). Soluţa ecuaţe oogee eu cazul ξ <, ese:
Ae ξ s ( ϕ) (.5) ş se sge î, fd uă ş vbaţe azoe. Soluţa aculaă: s ( ψ ) (.5) ude ese aludea vbaţe foţae, a ψ ese defazajul de foţa eubaoae ş şcae. O eodă eu deeaea aceso cosae ese îlocuea soluţe (.5) î ecuaţa dfeeţală a şcă ş defcaea eelo. Se foloseşe ş eezeaea uee colee. Ecuaţa de şcae (.9) se oae sce î foa: F s c (.5) eu cae se oae ulza eezeaea vecoală ca î fg..7. Fg..7. Sua vecoală a vecolo ce su eezeaţ î fg..7. ebue să fe ulă. Poecâd e aele O ş O y, se obţ ecuaţle: F cosψ (.5) F sψ c (.5) Rezolvâd ecuaţle (.5) ş (.5) se obţe: F s (.55) ( ) ( c) c cc ş c c c gψ (.56) sau uâd î evdeţă facoul de alfcae,
(.57) s ξ ş ξ gψ (.58) Î fg..8. ese eezea facoul de alfcae î fucţe de aoul, avâd aaeu aoul de aozae ξ. Acesea se uesc dagae de ezoaţă. Valole ae ale facoulu de alfcae se obţ eu: ξ (.59) REZ eu cae: (.6) s ξ ξ MAX Fg..8. Fg..9. Î fg..9. se eză vaaţa ughulu de defazaj ψ î fucţe de aoul eu dfee valo ale aoulu de aozae, cae se uesc dagae de fază. π Se cosaă că eu aoul < < defazajul ψ ese cus îe ş. π Peu, adcă la ezoaţa sseulu eaoza ψ. Dcolo de ezoaţă, eu >, foţa ş şcaea su î oozţe.
Peu cazul î cae foţa eubaoae ese: F( ) s, se obţe aludea vbaţe foţae, (.6) c ( ) ( ) esecv, facoul de alfcae: (.6) ξ defazajul ψ ae aceaş eese ca ş î cazul ecede. Facoul de alfcae ese eezea gafc î fucţe de aoul fg..., avâd aaeu aoul de aozae ξ î Fg... Î abele cazu, soluţa geeală ese de foa: ξ Ae s( ϕ) s( ϕ) (.6) ude A ş ϕ se deeă d codţle ţale use soluţe (.6), a aludea vbaţe foţae ese daă î ul caz de (.55), esecv î al dolea caz de (.6). Î al dolea caz aele facoulu de alfcae se obţ eu: (.6) REZ ξ avâd valole: (.65) MAX ξ ξ..9. Răsusul cole î fecveţă
Î aagaful ecede aludea ş ughul de fază, ψ, ale vaaţe foţae, s-au deea oecţa e ae a vecolo oo ce coesud ecuaţe (.5), d codţa ca sua aceso veco să fe ulă. Reezeâd foţa ecaoae î foa coleă: F() Fe (.66) se îţelege că ecaţa va f daă î foa (.9) de aea agaă d (.66). De aseeea, ăsusul () va f aea agaă a fucţe ( ), ude () ese soluţa ecuaţe: c Fe (.67) Soluţa ecuaţe (.67) oae f esuusă a avea foa: X e (.68) ude X ese aludea coleă ş oae f scsă: ψ X X e (.69) ude aludea X ş defazajul ψ su cele oduse î soluţa (.5). Îlocud (.68) î (.67) se obţe: F X (.7) ( ) c cae oae f scsă ş î foa: X H ( ) (.7) s ξ ude H ( ) ese u ăsusul cole î fecveţă ş coţe foaţ asua facoulu de alfcae ş a ughulu de fază. Î-adevă: X H ( ) (.7) s ξ ş ξ gψ (.7) Aâdouă foaţle se o obţe eezeaea ăsusulu cole î fecveţă, î laul cole, uă dagaa Nyus. Î-adevă: 5
6 ( ) R e H ξ (.7) ( ) I H ξ ξ (.75) asfel îcâ afele uăulu cole ( ) H eu ( ), su ucele d laul cole sua e cecul: ( ) ( ) e H I H R ξ ξ (.76) Î fg... se dă aceasă dagaă eu u sse cu aozae vâscoasă. Aceasă dagaă ese foae ulă î eaaea ezulaelo eeeale. Fg...... Vbaţ foţae cu aozae vâscoasă ş foţă eubaoae eodcă Fucţa coleă de ăsus î fecveţă ( ) H ese folosă î eezeaea ăsusulu uu sse aoza suus la o ecaţe aocă. Î sudul vbaţlo se îâlesc fecve foţe eubaoae cae u su aoce, da su eodce. Oce fucţe eodcă oae f eezeaă -o see de fucţ aoce a căo fecveţe su ull îeg a fecveţe fudaeale f, ude ese eoada ecaţe. O asfel de see, cuoscuă ca see Foue, oae f scsă î foa: () ( ) s cos b a a F, π (.77)
ude ese u uă îeg. Coefceţ see su daţ de foulele: a F() cos d,,,... (.78) b F() s d,,... (.79) ş eeză o ăsuă a acă fecăe aoce la fucţa F ( ), a a cosue valoaea ede a cese fucţ. Sea Foue (.77)coesuzăoae fucţe F ( ) se oae ezea ş sub foă coleă: a () a b a b F e e (.8) ude s-a ţu co de foulele: e e e e cos ; s (.8) D elaţle (.78) ş (.79) se cosaă că: a a ; b b (.8) ş, dec elaţa (.8) deve: a a b F() e ce (.8) ude a c ; c a b ; c () F e d (.8) Relaţa (.8) eeză foa coleă a see Foue. Deoaece ăsusul î fecveţă al uu sse cu u gad de lbeae, eca aoc, ese (.7) H ( ) F e (.85) Peu o foţă eodcă se oae folos sea coleă Foue (.8), fd valabl cul suaue efecelo, î aces caz ăsusul cole va f: () X e Noâd, î ecuaţa (.85), F H ( ) X X (.86), auc se vede că: ( α H αc ) H C H C e (.87) 7
ude H ( ) (.88) ξ D (.88) se oae obseva că dacă o aocă ese aoaă de ulsaţa auală a sseulu, auc va avea o cobuţe ae î ăsusul sseulu, a ales dacă sseul ese slab aoza. Î cazul sseelo eaozae su ceae codţ de ezoaţă eu o aocă oaecae, dacă.... Asece eegece î sudul vbaţlo lae. Aozae sucuală Dacă se cosdeă vbaţle lbee ale uu se eaoza ş se îulţeşe d ee ecuaţe dfeeţale a şcă (.59), se obţe: d d (.89) P egae se oae sce: d d d E c E c d (.9) esecv d d d d E E d (.9) Iegâd ecuaţa (.89) ş ţâd co de (.9) ş (.9) se oae sce: E c E Ec E cos E (.9) Dec, î cazul vbaţlo lbee ş eaozae eega ecacă se cosevă. De aceea devâd î ao cu ul ecuaţa (.9) se obţe: de d (.9) cae oae f folosă î deduceea ecuaţe de şcae a sseulu. Î cazul sseelo foţae ş aozae cu aozae vâscoasă se defesc uăoaele eeg: a) Eega oală a sseulu î vbaţe, egală cu eega acuulaă î eleeul elasc, câd acesa ae defoaţoa aă: E X (.9) Ea eeză eega oeţală aă sau eega de defoaţe aă. b) Eega odusă î sse, î decusul ue eoade, de căe foţa eubaoae aocă: E F ( ψ ) Fd Fd F s X cos d F X sψ (.95) 8
c) Eega dsaă e cclu fecae vâscoasă, egală cu lucul ecac al foţe de fecae: E d Fd d c d c d ( ψ ) cx cos d πcx (.96) d cae ezulă că eega dsaă e cclu ese ooţoală cu coefceul de aozae c, ulsaţa foţe eubaoae ş ăaul alud şcă. Eeeţa aaă că eega se dsă î oae sseele eale, cha ş- acelea î cae odelul ecac u coţe aozoul cu fecae vâscoasă, deoaece eega se dsă î eleeul elasc, daoă fecălo ee. Fecaea eă, se deosebe de fecaea vâscoasă, u ese ooţoală cu veza. Eeeţa aaă că eu o caegoe ae de aeale eega dsaă e cclu, fecă ee, ese ooţoală cu aludea delasă: E d αx (.97) udeα ese o cosaă ce dede de fecveţa osclaţlo aoce. Aces de aozae, uă aozae sucuală, ese caacescă sseelo cu cclu de hseeză (fg...). Fg... Coaâd ecuaţle (.96) ş (.97) se oae deduce că u sse cae ae aozae sucuală ş ese suus ue ecaţ aoce ese aalog cu u sse cu aozae vâscoasă a cău coefce de aozae ese: α c e π (.98) Cu aceasă echvalae ecuaţa (.9) deve: α F s (.99) π Folosd eezeaea uee colee, foţa eubaoae F s va f I ( F e ), legea de şcae va f I z, ude z Ze ese soluţa ecuaţe: α z z z Fe π (.) Deoaece z, ecuaţa (.) se oae sce: z z F e (.) ( ) γ 9
α ude γ se ueşe faco de aozae sucuală, a ( γ ) se ueşe πr gdae coleă. Îlocud soluţa coleă î ecuaţa (.) se obţe: F Z (.) γ ude Z se oae ue sub foa: ψ ψ Z Z e X e (.) Pe baza elaţlo (.) ş (.), se obţ facoul de alfcae ş ughul de fază X (.) s γ γ gψ (.5) Coaâd elaţa (.) cu elaţa (.57) se cosaă că: γ ξ (.6).. Poblee... Masa d fg... ese aşezaă îe două acu elcodale, avâd acelaş daeu d al se ş acelaş daeu D de îfăşuae. Sua N a uăulu de se ale celo două acu ese cosaă. Să se ee ulsaţa oe a sseulu î fucţe de uăul de se ale celo două ace. Î ce caz ulsaţa ese ă? Fg... Rezolvae: Acule su legae î aalel, dec, de ude:
Gd Gd 8D N N 8D N N N Pulsaţa oe a sseulu ese: Gd N P 8D N( N N ) Peu ca ulsaţa să fe ă, ebue ca uoul să fe a, ceea ce ae loc eu N N N, adcă: Gd P D N... Să se deee cosaele elasce echvalee eu sseele osclae d fg... Î fg... a ş b, asa ese gd legaă de baa AB, cosdeaă făă asă, a î fg... c, legăua se ealzează aculaţa O. a b c Fg.. Rezolvae: Acule ş acule d fg...a su legae î aalel. Acule echvalee lo su legae î see. Dec, se oae sce:, de ude Î fg... b oae cele e acu su legae î aalel, dec: Daoă legă ase de baa AB aculaţa O, cele e acu d fg... c au defoaţ dfee, dec u su legae î aalel. Se calculează cosaa echvaleă eu ele două acu. D ecuaţa de oee faţă de O, se obţe a, a d aseăaea ughulo AOO' ş ABB' ezulă: a
a a a obţâdu-se defoaţle: a ( a a ) ; a a esecv cosaa echvaleă celo două acu: ( a a ) e a a Cosaa echvaleă a sseulu va f: ( a a ) e a a Dacă a a, a dacă, ezulă: ( a a ) a, a a... U cldu d le, avâd desaea ρ, aa secţu S ş îălţea h, lueşe î aă, aţal scufuda, cu se aaă î fg..5. Faţă de ozţa de echlbu acesa ese delasa cu. Să se deducă ecuaţa dfeeţală a şcă, ulsaţa ş legea şcă cldulu. Se egljează fecăle. Fg..5. Rezolvae: Î ozţa de echlbu foţa gavaţoală ş foţa ahedcă îş fac echlbu. Î-o ozţe î cae cldul ese delasa cu faţă de ozţa ţală se oae sce: ρ Sg sau ρsh ρ Sg g ρ de ude h ρ ş ezulă: g ρ ; cos h ρ
... Să se deee ulsaţa oe a osclaţlo ue coloae de lchd, avâd lugea l, î-u ub aoec î foă de U. (fg..6.) Fg..6. Rezolvae: Masa lchdulu î şcae ese Sρl, a foţa cae oduce şcaea ese F ρsg. Ecuaţa de şcae ese: Slρ ρsg, sau g, l g de ude l..5. Să se deee ecuaţa de şcae ş eoada edululu slu d fg..7., ρ ρ >. Foţele de ezseţă se egljează. scufuda î-u lchd de desae ( ) ρ Fg..7. Rezolvae: egea lu Newo a G FA, ude F A ese foţa lu Ahede, se oecează e decţa agee l θ g s θ FA s θ sau ρvl θ ( ρv ρ V ) g sθ de ude ( ρ ρ ) θ g sθ ρ l Î cazul clo osclaţ, se obţe:
ρ ρ θ g θ ρ l ş π ρl ( ρ ρ )g..6. U co de asă M, avâd o aă de see ( Δ ) ce ece ceul său de asă, ese suseda e fe sec aşezae faţă de aceasă aă. Se scoae coul Δ cu u ugh c (fg..8.). Să se d ozţa de echlbu, oe î juul ae ( ) deee ecuaţa dfeeţală a clo osclaţ ş să se sablească o eodă eu deeaea oeulu de eţe al coulu î ao cu aa ( Δ ). Fg..8. Rezolvae: Î geeal e fe asguă o buă sablae, da foula ce se deduce î couae ese deedeă de uăul de fe. Î cazul susedă e fe, eu g ughu c se oae sce θr lϕ ş foţa d fecae f M. De aseeea, foţa ageţală, de eaducee, va f F sϕ Mgϕ. adcă: de ude Alcâd eoea oeulu cec faţă de aa ( Δ ), se oae sce: J F Δθ R R sau J θ Δ Mg θ l θ MgR lj Δ MgR lj Δ θ MgR esecv J Δ l π ude ese eoada clo osclaţ, cae se ăsoaă eeeal...7. U cldu de asă ş ază se osogoleşe făă să aluece e o suafaţă cldcă de ază R (fg..9.). Să se deee eoada clo osclaţ faţă de ozţa
de echlbu. Cae ese eoada clo osclaţ dacă cldul se îlocueşe cu o sfeă ş ază? Fg..9. Rezolvae: Folosd eoda eegecă, se calculează eega cecă a dsculu afla î şcae laă, cosdeâd aa Oz eedculaă e laul şcă: E c v J z, ude v ( R )θ v R, θ, J z Asfel, eega cecă deve: ( ) R E R θ θ ( R ) c θ Eega oeţală ese: g( R )( cosθ ) E a eega ecacă: ( R ) θ g( R )( cosθ ) E Ec E Sseul fd cosevav, se oae sce: de R θ θ g R θ sθ d Îăţd cu θ, se obţe ecuaţa dfeeţală: θ g sθ ( R ) Î cazul clo osclaţ s θ θ, ecuaţa deve laă: θ g θ, ( R ) ş şcaea ese aocă cu eoada: π ( R ) π g Peu sfeă, se ţe co că J z ş se obţe: 5 ( ) ( ) 5
π ( R ) 7 5g..8. Să se deee ecuaţa dfeeţală a şcă ş eoada acesea eu odelul de aslaţe d fg..., esuuâd că acul ae asa, ufo dsbuă. Fg... Rezolvae: Se cosdeă u elee dz d ac. Eega lu cecă ese z z de c ( ρ ldz), deoaece delasaea eleeulu dz la coa z va f. Eega cecă a îegulu ac ese: z ρl dz z Ec ac l ρ 6 Eega cecă oală va f: E c M 6 a eega oeţală: E Eega ecacă a sseulu ese: E Ec E M, 6 de ude, alcâd eoda eegecă (.9) ş îăţd cu, se oae sce ecuaţa de şcae: M, esecv eoada şcă: M π 6
..9. Se cosdeă sseul vba d fg..., foa d cou oogee, legae îe ele fbe fleble ş eesble. Dacă î ozţa de echlbu sac coulu de geuae Q G se ă veza v, se ce: a) ecuaţa dfeeţală a şcă ş legea de şcae a coulu Q ; b) esule d fe; c) valole eee ale esulo ş valoaea aă a veze v, asfel ca î o ul şcă, fele să fe îse. Fg... Rezolvae: Se alcă ecuaţa lu agage d E E E c c d ude coodoaa geealzaă eeză delasaea coulu Q d ozţa de echlbu sac. Deoaece coul Q ae şcae de aslaţe, sceele f O ae şcae de oaţe cu aa fă, a sceele obl O ae şcae laă, eega cecă a sseulu ese: Q G R G G R G E c, g g a eega oeţală ese: R g g R E 8 Îlocud î ecuaţa lu agage, se obţe: G sau 8 g g ude G Soluţa ecuaţe dfeeţale ese de foa: A cos A s a î codţle ţale dae ( ) v, legea de şcae ezulă: ; ( ) 6 g 7
v s Peu deeaea esulo d fe se seaă coule ca î fg... ş se alcă cul lu d'alebe, obţâdu-se uăoaele ecuaţ: G v G, G s g g G R 5 v R R, G s g R g G R v R R, G s g R g Fg... Valole eee ale aceso esu su: v G ± e g 5 v G ± e g v G ± e g Peu ca fele să fe o ul şcă îse, ebue ca esule e să fe ozve, codţe d cae ezulă: 8g v <... Să se deducă ecuaţa dfeeţală a şcă sseulu d fg..., esuuâd că baa OB de asă ese ozoală î ozţa de echlbu sac ş că efecuează c osclaţ î juul acese ozţ, sub acţuea foţelo eubaoae dsbue. 8
Fg... Rezolvae: Delasaea vecală a uculu de e baă sua la dsaţa de caăul va f δ (, ) gθ, a θ fd u ugh c, se oae sce: δ (, ) θ ( ) Foţele ezulae su: F e lθ, P F a cθ, df P f ()d Alcâd ecuaţa de oee d cul lu d'alebe faţă de aa fă Oz eedculaă e laul şcă, se obţe: P θ ( c ) θ ( l ) θ f ()... O lacă deughulaă de asă ş suafaţă A ese legaă la caăul uu ac de cosaă (fg...). Dacă eoada osclaţlo lăc î ae ese, a seudoeoada osclaţlo câd laca ese susedaă î-u vas cu u lchd vâscos ese, să se deducă foula de calcul al coefceulu de aozae ş al coefceulu dac de vâscozae. Fg... Rezolvae: Alcâd cul lu d'alebe eu osclaţle ase î lchd, egljâd foţa ahedcă, se obţe: c ( s ) g, ude se ăsoaă d ozţa de echlbu sac, dec: g g s, s Ecuaţa se oae sce: ξ ude 9
c ξ, c c, c c a seudoulsaţa ese: De ac, ξ ( ξ ) π π adcă: ξ sau ţâd co ş de elaţle ecedee se obţe: ( ) π, g s π c De aseeea, ţâd co de defţa coefceulu dac de vâscozae, ezulă: a F c c η A A A ude A ese aa suafeţe oale î coac cu lchdul. Ca uae, se obţe: η π A... O elce de asă g, avâd aza de gaţe faţă de aa sa de see, ese susedaă -u f de oţel de daeu d,5 ş odul de elascae 9 asvesal G 8 N. Elcea ae osclaţ de oaţe î ae, cu ezseţa aeulu egljablă, avâd eoada s. a) Să se deee lugea a fulu. Dacă se scufudă elcea î aă, se cosaă o scădee a alud osclaţlo î fecae cclu cu 6%. b) Să se calculeze aoul de aozae ξ, seudoeoada ş oeul de eţe aae al elce. Rezolvae: a) Ecuaţa dfeeţală a osclaţlo de ăsuce ese: J θ θ, ude GI G fd odulul de elascae asvesal, I oeul de eţe (geoec) ola, al secţu fulu, a lugea fulu. Peoada osclaţlo ese: 5
de ude J π I G, a J I G π J, θ j b) Deceeul logac ese: δ l l, ude θ j ese valoaea θ j 7 eeă de odul j a lu θ, eu cae aoul de aozae ese: δ ξ,6 π 6,8 Pseudoeoada osclaţlo se calculează d foula: ξ adcă, 6s ξ Moeul de eţe ecac se oae calcula î ae d foula eoade. Deoaece I G J π aaloge, se obţe eu oeul de eţe aae î aă: I G J aa π Făcâd aoul ş ţâd co de elaţa de ş, se obţe: J aa J ξ dec, J aa.5g ξ Ca uae, daoă aeă ae ş fecă vâscoase, aae se oduce o ceşee a oeulu de eţe.... Se dă sseul vba d fg..5., foa d cou oogee legae îe ele fe fleble ş eesble, a fecăle su egljable. Î ozţa de echlbu sac a sseulu câd suoul feo al aculu elcodal ese fa (f), oae efoule d fe au valoaea 6G. a u oe da suoul îcee să vbeze duă legea: () s f, ude g. Să se deee: 5
a) Defoaţle sace ale aculo, ecuaţa dfeeţală a şcă sseulu ş ulsaţa sa oe; b) egea şcă foţae a ceulu C al sceelu obl; c) Efoule d fe ş valoaea aă a lu eu ca acesea să fe îse o ul şcă. Fg..5. Rezolvae: D codţa de echlbu sac al sceelu obl se obţe: G s G R s 6 a d codţa de echlbu sac al olulu se obţe: R R θ s GR θ s 8 ad 6 Peu deduceea ecuaţe dfeeţale a şcă se va folos ecuaţa lu agage. Sceele obl ae şcae laă, a sceele f ş olul au şcae de oaţe. Se o sce uăoaele elaţ ceace: V A θ R ; V B θ R ; AB IB R θ ; V B ; V A ; R θ ; θ R R Eega cecă a sseulu ese: G G R G R E c g g R g R G R G R 5 G g g R g Eega oeţală, faţă de ozţa de echlbu sac, ese: G G E ( f ) θ 6 ( f ) R R Se îlocueşe î ecuaţa lu agage: 5
d E E E c c, d ş se obţe: g g g s, R 5 R R Soluţa acese ecuaţ dfeeţale ese:, ude As( ϕ ), a vbaţa foţaă ese de foa: s Iuâd soluţe aculae să vefce ecuaţa dfeeţală, se obţe: X X, 5 de ude aludea vbaţe foţae deve: X, 5( ) 5 dec s 5 Peu deeaea efoulo se seaă coule ş ş se alcă cul lu d'alebe (fg..6.). Fg..6. Se obţ uăoaele ecuaţ: G G ( s f ) g 5 G R R R g G R R R g de ude 68 G 68 G 6G s ; 6G 5 R 5 R 5
8 G 8 G 6G s ; 6G 5 R 5 R 6 G 6 G 6G s ; 6G R R Peu ca fele să fe îse, ebue îdelă codţa: <, R... U oo elecc de geuae G.N cu uaţa oală 5o/, ese oa la jlocul uu suo, foa d două gz II6 colae, slu ezeae la caee, de luge lc. Rooul ooulu de geuae PN, ae o ececae e,. Să se deee uaţa ccă a ooulu, aludea vbaţlo de îcovoee ş foţele dace asse la eazee. Rezolvae: Peu II6 d abele ezulă: I z 95c, cu cae cosaa eleccă a celo două gz deve: 7 8E I z 8, 95 56N / c Pulsaţa oe ş uaţa ccă se obţ asfel: g 56 98 πc 8,8s, G de ude 8,8 c 5o / π π Peu deeaea alud vbaţe foţae, se sce ecuaţa dfeeţală de şcae: G P es g g Vbaţa foţaă ese de foa: X s Iuâd codţa ca aceasă soluţe aculaă să vefce ecuaţa dfeeţală, se obţe aludea vbaţe foţae: X Pe G ude, c Pulsaţa foţe eubaoae ese:,,,,77 5
π π 5 57s şcaea avâd loc dcolo de ezoaţă. Î lagăe se ase foţa dacă: X 56,77 F D 97N..5. U vehcol avâd asa Mg (fg..7.) se delasează cu veza v e u du devela, al cău ofl oae f aoa legea f s, avâd lugea de udă a develă. Să se deee facoul de alfcae la vezele v /h, v 96/h ş valoaea veze cce de es, dacă susesa elască ae cosaa N/. Fg.. 7. Rezolvae: Ecuaţa dfeeţală a şcă vehcolulu ese: M y ( y f ) sau y y s Vbaţa foţaă a acese şcă ese: y Y s s ude. Dec, facoul de alfcae ese: M Y H ( ) ugea de udă a develă fd Facoul de alfcae deve: Y H ( ) M ( πv) v v π 55
a v /h a v 96/h Rezoaţa ae loc dacă Y Y (,8) (,67), adcă:,,8 v c / s 57, / h π M, π..6. O foţă eubaoae eodcă ese alcaă uu sse vba eedul uu elee elasc ş a uu aozo, al căo suo cou ese us î şcae de o caă, cae se oeşe cu veza ughulaă cosaă (fg..8.). Să se deee legea şcă foţae a ese. Fg..8. Rezolvae: O şcae eodcă oae f eezeaă -o see Foue î foa: () f a ( a cos b s ) ude () h h a f d d a b () o h f cos d cos d () f s d s d o h dec h h () s f π Ecuaţa dfeeţală a şcă ase ese: c( f ) ( f ) sau c cf f o h π 56
57 ude cos h f π Cu aceasa ecuaţa dfeeţală a şcă deve: cos s ch h h c π, sau esâgeea ebulu de, folosd eezeaea vecoală, ( ) s c h h c ϕ π ude c g ϕ ş, îcă, c ξ dec ( ) s h h ϕ ξ π ξ egea şcă ase ese: ( ) s h h ψ ξ ξ π ude acg ϕ ξ ψ..7. Sseul d fg..9. eeză odelul uu vbao, a cău asă eooae ese M- ş cae ese fa de o fudaţe -u ac de cosaă ş u aozo avâd coefceul de aozae c. Două ase au şcă de oaţe de sesu coae, cu aceaş veză ughulaă, ş aceaş ececae e. Să se deee ecuaţa de şcae a sseulu, aludea vbaţe foţae a vbaoulu ş aludea foţe assă la fudaţe.
Fg..9. Răsus: Ecuaţa de şcae ese: M c e s, aludea vbaţe foţae a vbaoulu ese: e X, M c ( ) ( ) a aludea foţe assă la fudaţe ezulă: c F e ( M ) ( c)..8. Se cosdeă sseul d fg..5., avâd aozae sucuală. Folosd eoda ucelo de seuee, să se deee d eezeaea dagae Nayus facoul de aozae sucuală, cosaa elască ş asa sseulu. Fg..5. Rezolvae: Folosd eezeaea î cole eu ezolvaea ecuaţe de şcae: ( γ ) F cos se obţe eceaţa ecacă (.) z u v F γ u γ 58
59 γ v Acese elaţ dau cecul: v u γ γ Pucele d dagaa de ezoaţă eu cae coesude o edee de eege egală cu juăae d cea coesuzăoae ezoaţe se uesc uce de seuee (fg..5.). Fg..5. Fg..5. D (.96) ezulă aludea: ( ) X Folosd ecuaţa (.) se obţe: ( ) F X o γ, ş γ γ adcă γ γ Peu << γ, γ Pe cecul d fg..5. veza ughulaă ceşe î sesul acelo ceasoculu. Pucul B coesude alud ae, dec. Pucele A ş C coesud eu OB OC OA, dec su de seuee. Dacă R ese aza ceculu, se obţe:
γr ş..9. O aşă de asă M ese faă elasc de o fudaţe. Pulsaţa oe ese ecuoscuă. Peu deeaea acesea se fează gd de asa M u vbao de asă ş fecveţă vaablă, cae ealzează ezoaţă la ulsaţa. Se cee ulsaţa auală. Alcaţe uecă: M.g,.5g,,s - Răsus: M,6s M.. -... Peu sseele ecace d fg..5.,.5. ş.55., să se deee ecuaţle dfeeţale ale şcă ş ulsaţle o. Fg..5. Fg..5. Fg..55. Răsus:... ( M )... ( M ) 8... ( 8 M ) ϖ ϖ ϖ M 8 M 8 M...-..5. Peu sseele ecace d fg..56.,.57. ş.58., să se deee ecuaţle dfeeţale ale şcă ş codţle de sablae ale clo osclaţ. 6
Fg..56. Fg..57. Fg..58. Răsus:... l θ glsθ θ l cosθ sau θ l g θ l > g... l θ l l θ cosθ g sθ sau θ l 6 g θ g l > sau..5. θ glsθ ( l a) θ l θ a g θ l l a g > l l..6. O elce, cu uă a de ale, ese susedaă -u f ş ae osclaţle de oaţe î juul ae sale de see, î ae, cu eoada. Dacă se aşează sec faţă de aa de oaţe la dsaţe d egale două cou (ageţ) de asă egală, osclaţle au eoada. Să se deee oeul de eţe al elce faţă de aa sa de see (fg..59.). Fg..59. 6
Răsus: J d..7. U co de oaţe al cău oe de eţe J faţă de aa sa de see ese cuoscu, ese suseda -u f. Peoada osclaţlo de ăsuce î ae ese, a î ule. Să se deee coefceul de vâscozae al uleulu. Răsus: J c π..8. Să se deee ăsusul uu sse cu u gad de lbeae suus ue ecaţ eaă F, î codţle ţale ule. Rezolvae: Cosdeâd sseul eaoza, ăsusul la uls ua ese: h() s Îlocud î (.7) se obţe: F F () s ( τ ) dτ ( cos ) Peu sseul aoza soluţa va f: ude F ξ, e ( A cos ξ A s ξ ), adcă F ξ () ξ e cos ξ s ξ ξ 6
. VIBRAŢIIE SISEMEOR INIARE CU MAI MUE GRADE DE IBERAE.. Sablea ecuaţlo dfeeţale ale şcă cu ajuoul ecuaţlo lu agage de seţa a II-a Se cosdeă u sse ecac suus la legău olooe, afla î şcae, a cău ozţe ese eczaă coodoaele geealzae,,...,. Ecuaţle lu agage de seţa a II-a su: d E c Ec Q j d, ( j,,..., ) (.) j j ude E c eeză eega cecă a sseulu, a geealzae Q j se îa asfel: î cae Q Q j su foţele geealzae. Foţele c c Q Q Q () (.) j j j c Q j eeză foţele cosecuve, j c Q j eeză foţele geealzae ecosecuve, alele decă cele eubaoae, a Q j () eeză foţele geealzae eubaoae. Foţele geealzae cosecuve devă d-o fucţe de foţă U ş o f scse e baza luculu ecac vual: c c U E δ Q jδ j δ j δ j (.) j j j j j sub foa: E c Q j ( j,,..., ) (.) j Foţele ecosecuve o f clasfcae î două caego. Dacă ueea lo ecacă ese ulă: j Q g, (.5) j j ele se uesc foţe goscoce, a dacă ueea lo ese egavă: j d Q <, (.6) j j ele se uesc foţe dsave. Ecuaţle lu agage de saţa a II-a cosue u sse de ecuaţ dfeeţale de odul do î coodoaele geealzae. Î-adevă, eega cecă a sseulu ae eesa: 6
6 s s s s s s s s s N N c E (.7) ude coefceţ: s N s s s N s N (.8) su fucţ de coodoaele geealzae ş de. Eega cecă ese dec, sua de o foă ăacă î vezele geealzae, o foă laă î aceleaş veze, esecv o foă de gad zeo. Dacă legăule sseulu su scleooe: N,,, (.9) ş eega cecă a sseulu se educe la foa: s s s c E (.) adcă o foă ăacă ş oogeă î vezele geealzae. O foă ăacă ş oogeă de foa (.), oae f scsă î oaţe aceală duă cu uează: ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] { } {}[ ]{} E c... (.) î cae {} { }, ese acea le, a { } ese acea coloaă a vezelo geealzae. Macea [ ] ese uă acea foe ăace ş duă odul î cae a fos alcăuă ese o ace secă.
Î geeal, o fucţe de a ule vaable ese ozv (egav) defă, dacă ea u ese codaă egavă (ozvă) ş ese egală cu zeo dacă ş ua dacă oae vaablele su zeo. O fucţe de a ule vaable ese ozv (egav) sedefă dacă u ese codaă egavă (ozvă) ş oae f zeo ş î ale uce decâ cele eu cae oae vaablele su ule. Acese defţ su ese ş asua acelo asocae foelo ăace. Ceul lu Sylvese dă codţle ecesae ş sufcee eu ca o foă ăacă să fe ozv defă: oţ deeaţ (o cal) a ace asocae să fe ozv. Scd eega cecă sub foa: N E c (.) ezulă că ea ese o foă ăacă ozv defă. Reved la ecuaţle lu agage (.), eu ssee scleooe se obţe: Ec s s s s ( sδ j δ sj ) j s j j s (..a) js s j js s s ude δ j ese sbolul Koece, cae ese egal cu zeo eu eu j. Auc: s j ş egal cu uu d E c js s d, j,,, (..b) j s Ec Pe de ală ae ş Q j u ded de acceleaţle geealzae. Guâd oţ ee j cae u coţ devaele de odul do ale coodoaelo, ecuaţle lu agage (.) dev: ~ Q ( ), j,,, (.) s js s j, adcă, ecuaţ dfeeţale de odul do î coodoaele geealzae ş a căo coefceţ su fucţ de coodoaele geealzae. js.. Ecuaţle clo osclaţ Dacă la oeul ţal ozţa uu sse sceoo ese î vecăaea ue ozţ de echlbu sabl, a vezele ţale su sufce de c î valoae absoluă, auc î decusul şcă aâ devaţle de la ozţa echlbulu, câ ş vezele 65
geealzae, vo aâe c. Î acese codţ se vo ăsa, î ecuaţle dfeeţale ale şcă, ua ee cae le lazează. Făă a cşoa geealaea oblee, se cosdeă ogea coodoaelo geealzae î ozţa de echlbu. Asfel, ozţa de echlbu va f daă de soluţa baală:. Efecuâd o dezvolae î see a coefceţlo s (.8), cae fguează î eesa eege cece, î juul ozţe de echlbu, se obţe: ( ) ( ) s s,,, s,,, j (.5) j j {}{} d cae se vo ăsa ua ăţle cosae, adcă s (,,,). Î legăuă cu eega oeţală, aceasa ese o fucţe ua de coodoaele geealzae, adcă E E (,,, ). Dezvolâd aceasă fucţe î see î juul ozţe de echlbu, egljâd ee sueo celo de odul do se obţe: E ( ) ( ) {}{} E E,,, E,,, s (.6) s {}{} s E Îsă î ozţa de echlbu, ş î lus se ade că, cosaa âă la {}{} cae ese deeaă eega oeţală ese asfel aleasă îcâ E (,,,). Auc dezvolaea î see se educe la: E s s (.7) s ude E s s (.8) s {}{} Cofo eoee ejeue-dchle, deoaece ozţa de echlbu ese o ozţe sablă, ebue ca E, ceea ce îseaă că ş eega oeţală ese o foă ăacă ozv defă ş se oae sce aceal sub foa: E {}[]{} (.9) Câ veşe foţele geealzae ecosecuve, ele ded ua de vezele geealzae ş esă două cazu aculae (.5) ş (.6). Î ul caz foţele geealzae goscoce su fucţ lae ş oogee de vezele geealzae: Q g j s g sau sub foă aceală: js, s j,,, (.) 66
{ Q g } [ G]{} (.) î cae acea goscocă [ G ] ebue să fe asecă, adcă: ş jj, s, j,,, (.) Î-adevă, î aces caz: j s g js j s g jj j ( g js g sj ) s j (.) j j s j s dec ueea lo ese ulă. Eele de foţe geealzae goscoce, cae o acţoa î ssee scleooe, îl eeză culule goscoce ş foţele Cools. Î-adevă, eu foţele eţale Cools se oae aăa uşo că sasfac codţa de goscocae. N N I Fc v v ( v ) (.) ude v ese veza uculu de asă faţă de u sse obl, a veza ughulaă a acesu sse faţă de u sse de efeţă eţal. Peu cel de-al dolea caz de foţe ecosevave, ele su de ezseţă, ouse de edu asua ucelo aflae î şcae. Ele su dec ooţoale ş de ses coa cu vezele ucelo. d F cv,,,, N (.5) ucul ecac vual al foţelo geealzae ecosevave dsave se sce: N N d d δ Q j δ j Fδ F δ j (.6) j j j j de ude: N N d Q j F cv j,,, (.7) j j Peu ssee ecace se şe: v (.8) j j ş, î aces caz elaţle (.7) dev: N N d ( v ) cv Q j c (.9) j j Ioducâd fucţa dsavă a lu Raylegh: ude E d N N c v c N c s c cs s s c s s (.) (.) 67
Coefceţ c s ded de coodoaele geealzae. Dezvolâdu- î see ş ăsâd ua ee cosaţ, aalog ca ş coefceţ eege cece, fucţa de dsae a lu Raylegh ese o foă ăacă ozv defă cae se oae sce sub foă aceală: Ed {}[]{} c (.) Ese osbl ca foţele de ezseţă dsave să aaă îe ucele sseulu. Î aces caz fucţa lu Raylegh ae aceaş foă (.9) î vezele elave de uce. Acu se o deduce ecuaţle dfeeţale ale clo osclaţ cu ajuoul ecuaţlo lu agage: Ec s s s s ( sδ j δ sj ) j s j j s (.) js s j js s s s ude δ j ese sbolul Koece. Foţele geealzae cosevave se obţ d (.) ş (.7). E c Q j jss j,,, (.) j s uâd î calcul ua foţele ecosevave dsave, ezulă: c d Ed Q j Q j c js s j,,, (.5) j s Ioducâd (.), (.) ş (.5) î ecuaţle lu agage (.), se obţe sseul de ecuaţ dfeeţale lae: ( js s c js s jss ) Q j () j,,, (.6) s ude Q j () eeză foţele geealzae eubaoae. Ecuaţle (.6) se o ue î foa: ude acele: { } [ ]{} []{} c []{ } Q ( ) (.7) [ ] [ ], [] c [ c], [ ] [ ] (.8) su sece ş se uesc acea de eţe, acea de aozae, esecv acea de gdae. Macele {} ş Q () su ace coloaă ale coodoaelo geealzae, esecv ale foţelo geealzae eubaoae. 68
.. Vbaţ î ssee cu caacesc lae Esă ssee ecace a căo ecuaţ de şcae su ecuaţ dfeeţale lae de odul do cu coefceţ cosaţ. U asfel de sse ese ş cel î fg..., u odel de aslaţe. Fg... y y y s y s Scd ecuaţa de echlbu dac al fecăe ese, se obţe: c y c c s c c ( y y ) y ( y y ) F ( ) g ( y y ) c ( y y ) ( y y ) ( y y ) F ( ) ( y y ) c ( y y ) ( y y ) ( y y ) F ( ) s ( y y ) c y ( y y ) y F ( ) g s s s s s s s s s s s g (.9) ude ozţle celo ase ale sseulu aflae î şcae de aslaţe e vecală su ăsuae d ozţa coesuzăoae aculo edefoae. Ese uşo de obseva că ecuaţle (.9) se o sce: ( y sj s c y sj s sj ys ) Fj () j g s, j,,, (.) sau sub foă aceală: [ ]{} y []{ c y } []{} y { F( ) } { g} (.) ude sj δ sjs, δ sj ese sbolul Koece c sj ; sj, j,,, s, s,, (.) c sj cs ; sj s, j s c sj cs cs ; sj s s, j s s g 69
c ; sj s, j s sj c s Dacă se aleg o coodoae, cae se ăsoaă d ozţa de echlbu sac, defoaţle sace se obţ d ecuaţle (.) î lsa foţelo eubaoae ş- codţ de eaus, adcă: s sj ys g, j,,, (.) j î cae y s eeză delasaea ase s âă î ozţa sa la echlbul sac al sseulu. Făcâd schbăle de vaablă: y s s ys, s,,, (.) ecuaţle (.), ţâd co ş de (.), dev: ( sj s c sj s sj s ) Fj () s, j,,, (.5) adcă foţele cae deeă ozţa de echlbu sac u ev î ecuaţle dfeeţale ale şcă dacă coodoaele geealzae au ogea î aceasă ozţe. U al sse ecac, cae coduce la ecuaţ dfeeţale lae, îl cosue u aboe cu ase la cae eesează vbaţle de ăsuce (fg...). Aces sse ecac se ueşe odel de oaţe. Fg... Noâd cu θ, θ,, θ ughule de oaţe ale celo volaţ, cu J, J,, J oeele de eţe ale acesoa ş cu M ( ), M ( ),, M ( ) oeele cululo eubaoae, scd ecuaţle de echlbu dac eu fecae vola, se obţe sseul de ecuaţ dfeeţale: J θ θ J θ ( θ θ ) M( ) ( θ θ ) ( θ θ ) M ( ) J θ s ( θ θ ) ( θ θ ) M ( ) J θ s s s ( θ θ ) θ M ( ) s s s s s (.6) sau sub foă aceală: 7
7 [ ]{ } []{ } ( ) { } M θ θ (.7) ude {} θ θ θ θ, [ ] J J J [ ] (.8) Î cazul î cae eleeele elasce de legăuă d fg... su bae defoable la îcovoee î acelaş la eda, eu acese ssee deve aţoală ulzaea eode coefceţlo de flueţă. Alcâd cul suaue efecelo, delasălo y y y,,, ale celo ase vo f dae de foţele de eţe: y y, y y y y ş de foţele eubaoae, asfel: F F F Y Y Y y F F F Y Y Y y F F F Y Y Y y δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ (.9) Fg... Îlocud foţele de eţe î (.9) acesea se o sce sub foă aceală: [ ][ ]{} { } [ ]{ } F y y δ δ (.5)
ude[ δ ] eeză acea coefceţlo de flueţă, uă ş ace de fleblae, [ ] acea de eţe,{ y } acea coloaă a delasălo, a { F } acea coloaă a foţelo eubaoae. Coefceţ de flueţă δ j eeză delasaea gz î secţuea sub acţuea ue foţe uae ce acţoează î secţuea j. Îulţd la sâga cu [ δ ], ecuaţa (.5) deve: [ ]{} y [ δ ] {} y { F() } (.5) adcă ese decă cu (.7) sau cu (.) î lsa aozălo ş a geuăţlo. Rezulă: [ ] [ δ ] (.5) ş că sseul ecac d fg... se oae educe la u odel de aslaţe... Vbaţ lbee eaozae... Pulsaţ o, veco o. Deeaea leglo de şcae Î abseţa foţelo eubaoae ş a dsă de eege î sse, ecuaţa (.7) se oae sce: [ ]{} []{} (.5) cae eeză u sse de ecuaţ dfeeţale oogee de foa: ( j j j j ) j,,,, (.5) Ieesează î od deoseb acea soluţe a sseulu (.5), î cae oae coodoaele sseulu să eecue şcă avâd aceaş deedeţă de. Maeac, acesea se eă elaţle: j () a j f (), j,,, (.55) î cae a j su cosae, a f () ese aceeaş eu oae coodoaele. Îlocud ecuaţle (.55) î (.5) aceasa se oae sce: f f () () j j j j a a j j λ,,,, (.56) ude λ ese o cosaă eală ş ozvă. Ecuaţle (.56) dev: f λf (.57) () () ( j j ) a j j,,,, (.58) Soluţa ecuaţe (.57) ese: s f () Ae (.59) ude s ebue să sasfacă ecuaţa: 7
s λ (.6) Puâd λ, ude ese o cosaă eală soluţa ecuaţe (.57) se sce: () A e Ae f (.6) ude A ş A su uee cole cojugae, deoaece fucţa f ( ) ese eală, ea se oae sce: f () C cos ( ϕ) (.6) î cae C ese o cosaă, ese ulsaţa ue şcă aoce,ϕ ese ughul de fază ţală. Ecuaţle (.58) eeză u sse la ş ooge î ecuoscuele a j, avâd aaeu λ. Sseul la ooge (.58) se oae sce: []{} a [ ]{} a (.6) Deeaea valolo λ ş a cosaelo a j ( j,,..., ), eu ca sseul (.6) să abă soluţa ebaală eeză o obleă de valo o ş veco o. Peu eseţa soluţe ebaale ebue ca: Δ (.6) ( ) [ ] [ ] D aceasă ecuaţe se deeă ulsaţle auale, ov eu cae se ueşe ecuaţa ulsaţlo sau ecuaţa caacescă. Î geeal, ele se aajează î ode cescăoae: P < P < P. Cea a că ulsaţe se ueşe ulsaţe fudaeală. Peu fecae ulsaţe P (,,..., ) coesude u veco { a } cae ese soluţa ecuaţe: []{} a [ ]{} a (.65),,..., se uesc veco o sau caacesc. Veco { a } ( ) Deoaece sseul (.65) ese ooge, dacă { } a ese soluţe, auc ş α {} a ese soluţe, ude α ese o cosaă abaă. Dec, se oae sue că vecoul ou ese deea âă la o cosaă, d aces ov se oduc aoaele: a j μ j (.66) a Noul sse algebc: μ μ (.67) []{ } [ ]{ } coţe ua - ecuoscue, fd coabl ş deea, deoaece deeaul sseulu foa cu - ecuaţ la deedee ese eul. Veco: μ μ μ,, μ,,,, (.68) { } { }, deeă foa odulo o. Mşcaea duă odul ou ese daă de fucţle: 7
{ } C cos( ϕ ) C cos( ϕ ) { μ} ζ a a a ζ C cos ϕ. ude ( ) μ μ μ (.69) Pocedeul de aajae a eleeelo vecolo o se ueşe oalzae. U ocedeu fecve de oalzae ese a lua u elee egal cu uaea, de eelu μ. Cel a folos ocedeu ese da de elaţa: μ μ,,,, (.7) { } [ ]{ } Avâd î vedee ecuaţle (.55) ş (.6), soluţa ecuaţe (.5) va f o suauee a celo odu de vbaţe, adcă va f de foa: ude C ş. { ( )} { () } { ( ) } C { μ } cos( ϕ ) (.7) ϕ su cosae de egae ş se deeă d codţle ţale { ( ) } ş... Oogoalaea odulo o (vecolo o) Module o se bucuă de o oeae foae ulă uă oogoalae. Nu sau ese o oogoalae î sesul obşu, c ea ese î ao cu acea de eţe [ ] î ao cu acea de gdae [ ]. Fe{ μ } ş { μ} s veco o coesuzăo ulsaţlo o, esecv ( s ). E su soluţle ecuaţlo: []{ μ} [ ]{ μ} (.7) []{ μ} s s [ ]{ μ} s (.7) Îulţd la sâga ecuaţa (.7) cu { μ } s, a ecuaţa (.7) cu { μ } { μ} s [ ]{ μ} { μ} s [ ]{ μ} (.7) { μ} [ ]{ μ} s s { μ} [ ]{ μ} s, se obţe: (.75) asuâd ecuaţa (.75) duă egula cuoscuă de asuee a uu odus de ace ([ A ] [ B] ) [ B] [ A] ş esuuâd acele [ ] ş [] sece, se obţe: μ μ μ μ (.76) { } s [ ]{ } s { } s [ ]{ } s 7
D ecuaţle (.7) ş (.76) scădee se obţe: ( s ){ μ } s [ ]{ μ} (.77) Deoaece, ezulă codţa: { } [ ]{ μ} s μ s, s (.78) cae eeză oogoalaea vecolo odal î ao cu acea de eţe. Îlocud elaţa (.78) î ecuaţa (.7) se obţe codţa de oogoalae a vecolo odal î ao cu acea de gdae [ ]. { μ } s [ ]{ μ}, s (.79) Dacă s, ce do veco coesud aceleaş ulsaţ, ş u su oogoal. Î aces caz elaţa (.78) ese egală cu o cosaă, ala decâ zeo. { μ } [ ]{ μ} M (.8) ş se va u asa odală. Aalog, elaţa (.79) va da o cosaă eulă uă gdae odală, cae, e baza elaţe (.7) eu s, deve: μ μ M K (.8) { } [ ]{ } Î cazul î cae veco odal se oalzează ş se uesc oooal ş- cazul oalză duă elaţa (.7) se obţe: M, K (.8) Seul de veco { μ } (,,..., ) su la deedeţ. Pesuuâd că su la deedeţ se oae sce: (.8) ude α (,,..., ) { μ} α { μ} α { μ} α { μ} α su cosae eule. μ se obţe: Îulţd la sâga elaţa (.8) cu { } s [ ] { μ} s [ ]{ μ} α (.8) { } [ ]{ } oţ ee acese sue α μ s μ su ul eu s ş dfeţ de zeo eu s. Dec, elaţa (.8) oae f sasfăcuă ua dacă α s. Reeâd oeaţa eu s,,, se ajuge la cocluza că elaţa (.8) oae f sasfăcuă ua dacă oţ coefceţ (.8), se oae sce: μ α μ α μ α μ (.85) α su ul. Deoaece veco { μ } u o sasface elaţa { } { } { } { } adcă oalaea cobaţlo lae obţue d (.85) cosue u saţu vecoal,,..., cosue baza acesu saţu. Oce veco al { μ }, a veco { μ } ( ) 75
saţulu { μ } oae f scs î-o cobaţe laă (.85). D uc de vedee fzc, aceasa îseaă că oce şcae a uu sse vba lbe ş eaoza oae f descsă -o cobaţe laă de veco odal. Coefceţ α eeză cobuţa fecău od la şcaea ezulaă.... Coodoae oale. Răsusul sseulu la ecaţe ţală Reved la ecuaţle dfeeţale ale uu sse lbe eaoza (.5) ş îcecâd a-l ezolva eu a da soluţa (ăsusul sseulu) sub foa (.69) se îâă dfculăţ daoă culă ecuaţlo dfeeţale. Aceasa îseaă, ee eul î acea de eţe[ ] ş î acea de gdae[ ], alţ decâ ce de e dagoala cală. Esă două u de culaje: sac ş dac. Î ul caz, acea[ ] u ese dagoală, a î al dolea caz, acea[ ]. Pocedeul cae, fd da u sse cula de ecuaţ, se obţe u sse ecula, ese cuoscu sub uele de aalză odală. a baza acese aalze să asfoaea de coodoae. Noâd cu[ μ ] acea odală, avâd de coloae cha veco odal, a { ξ } acea coloaă a olo coodoae ale sseulu, asfoaea de coodoae va f: {} [ μ]{} ξ (.86) ude [ μ ] [{ μ}{ μ} { μ} ] (.87) Îlocud asfoaea de coodoae (.86) î ecuaţa (.5) se obţe: μ ξ μ ξ (.88) [ ][ ]{ } [ ][ ]{} { } Îulţd ecuaţa (.88) la sâga cu acea [ μ ] [ μ] [ ][ μ]{} ξ [ μ] [ ][ μ]{ ξ} { }, se obţe: (.89) ude, e baza elaţlo de oogoalae (.78), (.79) ş elaţlo (.8) ş (.8) se obsevă că acea: M μ μ dag M M M (.9) [ ] [ ] [ ][ ] ( ) [ K ] [ ] [ ][ μ] dag( K K K ) μ (.9) su ace dagoale ue ş ace odale de eţe, esecv de gdae ş ale căo eleee de e dagoală su de foa: μ M μ μ K. { μ } [ ]{ }, esecv { } [ ]{ } Duă cu se cosaă ecuaţa aceală: [ M ]{ ξ } [ K]{} ξ {} (.9) deculeză ecuaţle dfeeţale î ao cu coodoaele ξ (,,..., ), adcă su de foa: M ξ K ξ,,,, (.9) 76
P aaloge cu sseul cu u gad de lbeae soluţa ecuaţe (.9) ese: ξ C cos ( ϕ ),,,, (.9) K ude C ş ϕ su cosae de egae, a. M Reved la ecuaţa de asfoae (.86) se obţe: { () } [ μ ]{} ξ ξ {} μ C {} μ cos( ϕ ) (.95) adcă vbaţle lbee ale uu sse eaoza cu a ule gade de lbeae su o suauee de şcă aoce, avâd ulsaţle egale cu ulsaţle auale ale sseulu, a aludle ş defazajele ded de codţle ţale. obţ: (.96) Dacă codţle ţale su: { ( )} { } ş { ( )} { } { } C { μ} cosϕ { } C { μ } sϕ, auc d (.9) se (.97) Îulţd ecuaţle (.96) ş (.97) { μ } s [ ] ş ţâd co de elaţle de oogoalae, se o sce: C cos ϕ { μ} [ ]{ o } M (.98) C sϕ { μ} [ ]{ o } (.99) M Îlocud ecuaţle (.98) ş (.99) î (.95) se obţe soluţa: μ μ cos μ μ s (.) M M { () } { } [ ]{ }{ } { } [ ]{ }{ } Pesuuâd că sseulu se dă o delasae ţală duă foa odulu ou { μ } s ş se lasă lbe auc codţle ţale su { } α { μ} s ş { } { }. Î aces caz ăsusul sseulu ese: { () } α { μ} [ ]{ μ} s{ μ} cos α { μ} s cos s (.) M 77
ceea ce eeză o şcae aocă cu ulsaţa s ş avâd cofguaţa odulu ou { μ } s, adcă fecae od oae f eca deede uul de alul. ebue subla că ulsaţle o caacezează şcaea de asablu a sseulu ecac, aşa îcâ ele u o f defcae codaă cu ulsaţle de osclaţe ale uo uce aaţâd sseulu.... Ssee cu odu de co gd Î sseele sudae âă acu s-a cosdea eega oeţală, a de ac ş acea[ ], ca fd ozv defe. Dacă eega cecă ş, dec, acea[ ], su ozv defe d defţa îsăş a eege cece, eega oeţală oae să fe ulă cha dacă u oae coodoaele sseulu su ule. D uc de vedee fzc aceasa îseaă că esă odu o î cae c u elee elasc u ese defoa. Acesea su odu o de co gd. Î aces caz, eega oeţală ş[ ] su ua ozv sedefe ş ezulă: []{ μ },,,, l (.) ude l eeză uăul odulo de co gd. Reved la oblea de valo o ş veco o (.67) deoaece[ ]{ μ } u ese zeo, uează că veco cae sasfac ecuaţa (.67) coesud ue ulsaţ o. Î baza ecuaţe (.85), de sueozţe a odulo, se oae sce asfoaea de coodoae: ξ { () } [ ]{} ξ [ μ] [ ] ] { } R μ E {} ξ ude [ μ ] R ş [ ] E [ μ] R {} ξ R [ μ] E {} ξ E μ R E (.) μ su acele odale coesuzăoae odulo de co gd, esecv odulo de co elasc. Îlocud aceasă asfoae î ecuaţa şcă (.5) se obţe: [ ][ [ ] [ ] ] {} {} ξ [ ][ [ ] [ ] ] { } { } R ξ R μ R μ E μ R μ E (.) ξ E {} ξ E { } sau [ ][ μ] { R ξ } R [][ μ]{} R ξ R { } (.5) μ ξ μ ξ (.6) [ ][ ] { } [][ ]{} { } E E E E Ecuaţle (.5) ş (.6) se îulţesc la sâga cu [ μ ] R ţâd co de oogoalaea odulo o, câ ş de elaţle (.), se obţe: [ M] R{ ξ } R { } [ M ] { ξ } [ K] {} ξ {} E, esecv [ μ ] E î cae, (.7) (.8) E E E 78
Relaţle (.7) aaă că şcăle de co gd eu vbaţle lbee eaozae, ezulă d eoea de cosevae a ulsulu ş a oeulu cec..5. Vbaţ lbee cu aozae vâscoasă.5.. Deeaea leglo de şcae Vbaţle lbee cu aozae vâscoasă au ecuaţa geeală de foa: [ ]{} []{} c [ ]{ } { } (.9) Î aces caz, soluţa ecuaţe se va lua de foa: λ { () } { a} e (.) ude λ ese u aaeu, a{ a } ese o ace coloaă cosaă. Îlocud soluţa (.) î ecuaţa (.9) se obţe u sse algebc ooge. Deoaece{ a } u oae f ulă ({} a { } coesude echlbulu), sseul de ecuaţ algebce: ( λ [ ] λ[ c] [ ] ){ a} { } (.) va avea soluţe ebaală dacă: λ [ ] λ[ c] [ ] (.) ceea ce eeză ecuaţa caacescă cae ese o ecuaţe oloală de gadul. Soluţle λ, λ,, λ, λ vo f ş î aces caz valole o, a acele coloaă, {} a coesuzăoae vo f veco o (,,, ). Deoaece sseul (.) ese deea âă la o cosaă, se vo oduce aoaele: a j μ j j,,, (.) a,,, Fecăe valo o λ î va coesude vecoul ou { μ } (,,, ). Cu acea coloaă { μ } se îoceşe acea deughulaă [ μ ] cu desule : [ μ ] [{ μ}{ μ} { μ} ] (.) Se oează cu ξ A e λ, ude A su cosae de egae,,,,. Soluţa geeală a vbaţlo lbee va f: { () } [ μ]{} ξ (.5) Aceasă eodă ese dfcl de alca î sudul sseelo cu a ule gade de lbeae, deoaece, î geeal, A, λ C, [ μ ] C C. 79
.5.. Vbaţ lbee cu aozae ooţoală Deeaea ăsusulu uu sse aoza ese dfclă ş daoă faulu că ua î uţe cazu se oae face deculaea ecuaţlo dfeeţale folosd aalza odală clască. Sseele dsave cele a des îâle ca odele su cele cu aozae vâscoasă ooţoală. Ecuaţle dfeeţale se deculează dacă: [][ c ] [] [][ ] [ c] (.6.a) sau c c (.6.b) [][] [ ] [ ][] [ ] U odel fecve îâl î alcaţ ca de aozae ese aozaea Raylegh, eu cae: [] c α [ ] β [] (.7) ş cae vefcă codţle (.6.a) ş (.6.b). Modalaea de asfoae a uu sse de ecuaţ dfeeţale î ssee eculae, fecae avâd u sgu gad de lbeae, uăeşe eaele ce uează. Î ul âd, se ezolvă oblea de valo o ş veco o eu sseul eaoza asoca: [ ]{} []{} {} (.8) Se cosueşe acea odală: [ μ ] [{ μ}{ μ} { μ} ] (.9) ao se alcă asfoaea de coodoae: { () } [ μ]{} ξ (.) ş se îlocueşe î ecuaţa (.9). P îulţe la sâga cu [ μ] se obţe: μ μ ξ μ c μ ξ μ μ ξ (.) [ ] [ ][ ]{} [ ] [ ][ ]{} [ ] [ ][ ]{ } { } Daoă codţlo de oogoalae se obţ acele odale: M μ μ dag M M M (.) [ ] [ ] [ ][ ] ( ) [ C ] α [ μ] [ ][ μ] β[ μ] [ ][ μ] α[ M] β[ K] dag( C C C ) (.) [ ] [ ] K [ ][ μ ] dag ( K K K ) μ (.) asfel că ecuaţle: [ M ]{ ξ} [ C]{ ξ} [ K]{} ξ { } (.5) eeză u se de ssee eculae cu u sgu gad de lbeae a căo ecuaţ su de foa: M ξ C ξ K ξ,,,, (.6) 8
Soluţa acese ecuaţ î codţle ţale dae: { ( )} { } ş { ( )} { } ξ <, ese: ( ) ξ ( ) ( ) ς ξ e ξ cos ς ϕ s ς ς ς ude K C, ς { μ} []{ c μ}, M M M ς, dacă (.7) ς gϕ (.8) ξ se obţ î baza elaţe de asfoae (.), elaţe ce dă ao ăsusul sseulu î codţ ţale dae. ξ ( ) { μ} [ ]{ } M (.9) ξ ( ) { μ} [ ]{ } M (.) a soluţa: Codţle ţale ξ ( ) ş ( ) { () } [ μ]{} ξ {} μ ξ (.).6. Vbaţ foţae eaozae.6.. Vbaţ foţae eaozae cu foţe eubaoae oaecae Aalza odală folosă î sudul vbaţlo lbee ş eaozae oae f folosă ş î obţeea ăsusulu uu sse eaoza suus uo ecaţ eeoae oaecae. Î aces caz ecuaţle dfeeţale ale şcă su de foa: [ ]{} []{} { Q( ) } (.) Ecuaţle (.) eeză u se de ecuaţ dfeeţale de odul do cu coefceţ cosaţ. Ecuaţle fd lae se oae alca asfoaea alace. Obţeea accă a soluţe eu aceasă eodă ese foae labooasă. O eodă a efceă d uc de vedee al calcululu ese folosea aalze odale cae dă osblaea asfoă ecuaţlo (.), î geeal culae, î-u se de ecuaţ dfeeţale deedee. Peu obţeea soluţe ebue î ul âd, să fe ezolvaă oblea valolo o ş a vecolo o. 8
Soluţa ecuaţe (.) va f sua de soluţa ecuaţe oogee ş a soluţe aculaă, daă de foţele eubaoae: (.) {} {} {} Cosdeâd acu asfoaea de coodoae: μ ξ (.) {} [ ]{} ş îlocud-o î ecuaţa (.), cae se îulţeşe ao la sâga cu [ μ ], se obţe ecuaţa: [ M ]{ ξ } [ K]{} ξ { P( ) } (.5) ude[ M ] ş[ K ] su acele odale de eţe, esecv de gdae, a vecoul: { P() } [ μ] { Q() } (.6) su foţele geealzae odale. Ecuaţa (.5) ese echvaleă cu seul de ecuaţ deculae: M ξ K ξ P ( ),,, (.7) ude M μ μ (.8) K P { } [ ]{ } { μ} []{ μ} () { μ} { Q() } Răsusul oal coesuzăo odulu va f o suauee a ăsusulu odal P. Iegala lu Duhael oae f folosă eu a eezea ăsusul oal. Asfel: ξ ( ) ξ cos s P () ( σ d )σ M s da de codţle ţale ş u ăsus odal da de ( ) ξ () ( ) (.9) ude ξ ( ) ş ξ ( ) su codţle ţale eu coodoaele oale (.9) ş (.). Reved la coodoaele geealzae se obţe soluţa: { () } [ μ]{} ξ {} μ () ξ (.).6.. Vbaţ foţae eaozae cu foţe eubaoae aoce de aceaş ulsaţe Se cosdeă u sse ecac vba suus ue ecaţ aoce, daă de u sse de foţe de aceaş ulsaţe: { Q() } { Q } cos (.) Ecuaţle dfeeţale de şcae (.) dev: 8
[ ]{} []{} { Q } cos (.) Soluţa acese ecuaţ aceale va f foaă d soluţa ecuaţe oogee, cae ese la fel ca ş- cazul ecede ş o soluţe aculaă, cae va cosu vbaţa foţaă. Făcâd asfoaea de coodoae (.) ş îulţd ecuaţa (.) la sâga cu [ μ ], se obţe ecuaţa: [ M ]{ ξ } [ K]{} ξ { P } cos (.) ude[ M ] ş[ K ] su cuoscuele ace odale, a: { } [ μ] { } sau P { μ} { } P Q o (.) Ca ş- cazul vbaţlo sseelo cu u gad de lbeae, eesează vbaţa foţaă: {} { X } cos (.5) sau î coodoaele oale: {} ξ {} ξ cos (.6) Macea coloaă a aludlo sasface ecuaţa: ( [ M ] [ K] ){ ξ } { P } (.7) de ude Q { ξ } ( K M ) { P } [ α ]{ } (.8) ude acea[ α ] ese o ace dagoală ş se ueşe ace de eceaţă. Î coodoaele oale ea ae eleeele dagoale de foa: α o,,,, (.9) M ( ) Aludle vbaţlo foţae î coodoaele oale su: Po Po ξo ξ (.5) s M ( ) K ecâd la coodoaele şcă se obţ aludle: X μ (.5) P { } [ ]{ } ξ Dacă ulsaţa foţelo eubaoae cocde cu ua d ulsaţle o ale sseulu, aludea coodoae oale deve fă ş odaă cu ea oae aludle delasălo j cae o coţ, cofo (.5). Se sue că sseul ă î ezoaţă. Dacă foţele geealzae { Q ( ) } su asfel alese îcâ să ece o sguă coodoaă oală ξ o, se obţe u od cal de ecaţe, î aces caz oae celelale coodoae oale su ule. D (.5) ezulă: { X } ξ o { μ} (.5) Peu a obţe aludle foţelo ce ecă odul se îlocueşe (.5) î (.6) ş aceasa î (.), obţâdu-se: 8
sau ([ ] [ ] ){ μ} { Q } ξ (.5) o ([] [ ]){ μ} { Q } (.5) ξo Deoaece{ μ } ese u veco ou, se oae sce: ([] [ ] ){ μ } { } (.55) Scăzâd (.5) ş (.55) se obţe: Q ξ μ ξ μ (.56) s { } o ( )[ ]{ } [ ]{ } Ecaea uu od ou de vbaţe oae f făcuă cu u sse de foţe ooţoale cu foţele de eţe dezvolae î şcaea lbeă duă odul esecv, cu codţa ca ulsaţa foţelo eubaoae să u cocdă cu ulsaţa oe a odulu eca..7. Vbaţ foţae aozae.7.. Vbaţ foţae aozae cu foţe eubaoae oaecae Ecuaţle dfeeţale ale şcă uu sse cu gade de lbeae ş asua căua acţoează u sse de foţe eubaoae se oae sce: [ ]{} []{} c []{ } { Q( ) } (.57) Folosd asfoaea de coodoae (.86) ş îulţd la sâga ecuaţa (.58) cu[ μ ], ecuaţa de a sus se educe la: [ M ]{ ξ } [ C]{ ξ} [ K]{ ξ} { P( ) } (.58) ude [ C] [ μ] [ c][ μ] (.59) cae, î geeal, u ese dagoală. Î couae se va cosdea ua cazul aoză vâscoase ooţoale câd: { μ } [ c]{ μ} s, s (.6) { μ } [ c ]{ μ} s C, s (.6) Î aces caz, ecuaţa aceală (.59) se deculază î-u se de ecuaţ dfeeţale cae o f scse sub foa: M ξ C ξ K ξ P ( ) (.6) sau ξ ς ξ ξ P () (.6) M 8
udeς ese facoul odal def : C ς { μ} []{ c μ} (.6) M M Soluţa ecuaţe (.6) oae f scsă î aceaş foă ca ş la sseele cu u gad de lbeae, adcă: ξ () [ ( )] P ( ) ( ) d M e ς τ τ s ς τ τ (.65) ξ ( ) ς ξ ( ) s ς ξ ( ) cos ς e( ς ) ς K ude ese ulsaţa oe coesuzăoae odulu, a M ς a coesude seudoulsaţe î odul. De ac, eved la coodoaele geealzae asfoaea (.), se obţe soluţa coesuzăoae ecuaţlo (.57)..7.. Vbaţ foţae cu aozae vâscoasă ş foţe eubaoae aoce de aceaş ulsaţe Se cosdeă u sse ecac cu aozae vâscoasă, suus ue ecaţ aoce daă de u sse de foţe de aceaş ulsaţe (.). Ecuaţle dfeeţale de şcae (.) dev î aces caz: [ ]{} []{} c []{ } { Q} cos (.66) Soluţa ecese ecuaţ dfeeţale aceale va f foaă d soluţa ecuaţe oogee ş o soluţe aculaă cae va cosu vbaţa foţaă. Deoaece vbaţa azoe, daă de soluţa ecuaţe oogee se sge î, eesează ua vbaţa foţaă. Peu deeaea soluţe aculae a ecuaţe (.66) se o alca a ule eode: a) Meoda decă Se alege soluţa de foa: { } { A} cos { B} s (.67) ude ecuoscuele{ A} ş{ B } se deeă uâd soluţe (.67) să vefce ecuaţa (.66) ş defcae ezulă sseul: [] [ ] [ c] ( A) { Q} [] [] [ ] { } {} c B (.68) O vaaă a acese eode, avaajoasă eu sceea codesaă a ecuaţlo, o cosue ulzaea eezeă uee colee a ălo aoce. Foţele dae de (.) se o sce: 85
( e ) { Q() } R { Q } e (.69) a legle de şcae foţaă { () } Re { z( ) }, { ( )} { } z z e (.7) Îlocud î ecuaţle (.66) ăle aoce eezeăle lo colee, se obţe: [ ]{} []{} []{ } { } z c z z Q e (.7) sau, ţâd co că: z z Z e {} {} { } {} z {} z { Z } e (.7) duă îlocue î ecuaţa (.7), ezulă: ( [ ] [ c] [ ] ){ Z } { Q } (.7) ude acea coloaă{ Z } ae eleee uee colee de foa: Z ψj j X j Yj X j Y j e, j, (.7) Se îlocueşe foa algebcă a ueelo colee Z j î ecuaţa (.7) ş, suaueea ăţlo eale ş agae, se obţe sseul: [] [ ] [] c ( X ) { Q } [] [] [ ] {} {} (.75) c Y Yj D aces sse se obţ: X j, Y j ş gψ j, esecv legle de şcae: X j ReZ j ReZ j e X j Y j cos j ( ψ ), j, (.76) Aceasă eodă ae avaajul că u ue c o codţe asua ace de aozae, îsă ae u ae dezavaaj câd ese ae, odul sseulu (.75) fd. b) Meoda aalze odale Aceasă eodă ue ace aozălo îdelea codţlo (.66.a) ş (.66.b). Pesuuâd ezolvaă oblea de veco o ş valo o, se face asfoaea de coodoae (.) eu ecuaţa (.66), cae se îulţeşe la sâga cu [ μ] ş se obţe ecuaţa: [ M ]{ ξ } [ C]{ ξ} [ K]{} ξ { P( ) } (.77) ude[ M ],[ C] ş[ K ] su ace odale de eţe, de aozae, esecv de gdae, P su dae de eesa: oae fd ace dagoale, a foţele geealzae odale { ( )} { P() } [ μ] { Q } cos (.78) Ecuaţa aceală se deculeză î-u sse de ecuaţ deedee de foa: j 86
87 P K C M ξ ξ ξ cos (.79) ude { } { } P Q μ (.8) Ca ş- cazul sseelo cu u gad de lbeae, vbaţa foţaă va f: ( ) P P K P ψ ς ξ cos (.8) ude P P g ς ψ (.8) Reved la coodoaele geealzae asfoaea (.) se obţe: {} { } { } { } { } ( ) P P K Q ψ ς μ μ ξ μ cos (.8).8. Poblee.8.. Peu sudul şcă ue cosucţ suuse ue ecaţ ecoce se foloseşe odelul d fg..., ude ese asa fudaţe, M ese asa cosucţe, acul sal K ese odelaă cooaea elască a clăd, a cooaea fudaţe ese odelaă acule ş aozaea c. Să se deee ecuaţle de şcae ale sseulu.
Fg... Fg..5. Rezolvae: P seaaea coulo ş alcaea eoeelo ulsulo se o sce ecuaţle: ( f ) c( f ) H () (De ecuaţa de oecţe e vecală ş de ecuaţa de oee u e evoe) M c H () M y c V Mg () J θ c Kθ Va sθ Hacosθ () la cae se adaugă ecuaţle ceace, eu c osclaţ: c a s θ aθ y c a cos θ a D () ş () se obţ H ş V, cae se îlocuesc î () ş () obţâdu-se ecuaţa de şcae î foă aceală: M Ma c Q Ma J Ma K Mga θ Q c θ θ udeq cf f ş Q..8.. Peu sudul vbaţlo sece ale uu avo acesa ese odela, fg..6., -u "fuselaj" de asă M la cae se aaşează "ale" de asă două bae gde de luge. Cooaea elască ese odelaă acule sală de cosaă, cae leagă fuselajul de a. Să se deducă ecuaţle de şcae, egljâd geuăţle. Fg..6. Rezolvae: Cele două coodoae geealzae su: y, θ. Eega cecă a sseulu ese: Ec My y ude y y θ dec 88
( y ) E c My θ a eega oeţală ese: E Kθ Alcâd ecuaţle lu agage se obţ: E c ( y θ ) My ; d E ( y ) c θ My y d y E ( d E c y c θ ); ( y θ ) θ d θ Ec E c y θ E E c c Q ; Q Kθ y θ Ecuaţle de şcae se scu î foă aceală: M y y θ θ.8.. U cldu ooge de asă ş ază se oae osogol făă să aluece î-u căuco de asă M (fg..7.). Căucoul ese lega -u ac de cosaă de u eee vecal, a -u ac de cosaă de ceul dsculu. Să se deee ecuaţle de şcae ale sseulu. Fg..7. Rezolvae: Se alcă ecuaţle lu agage eu deduceea ecuaţlo de şcae ale sseulu: E c M J ude J ese oeul de eţe al cldulu î ao cu ceul său O, a, deoaece cldul se osogoleşe făă să aluece, dec: 89
9 ( ) M E c a eega oeţală: ( ) E Îlocud î ecuaţle lu agage se obţe: ( ) M E d d c, E c, ( ) E ( ) E d d c, E c, ( ) E Î foă aceală ecuaţle de şcae su: M.8.. Două ase ş su fae e o baă AB gdă de geuae egljablă, baă sjă de două acu ş ş u aozo c (fg..8.). Mşcaea fd î-u la vecal sub acţuea ue foţe () F F cos ce acţoează î caăul A al bae, să se deee ecuaţle de şcae. Pozţa de echlbu sac se esuue a f î ozţa cu baa AB ozoală. Fg..8. Fg..9. Rezolvae: Peu a folos ecuaţle lu agage se calculează: E c ( ) E c Ed Ecuaţle lu agage eu aces sse su de foa:
9 () Q Q Q E E d d d c c c () Q Q Q E E d d d c c c ude j c j E Q, j d d j E Q, j () Q δ δ, δ () Q δ δ, δ Dec, E d d c, E c, ( ) E E d, () ( ) () F F Q δ δ δ δ E d d c, E c, ( ) E c E d, () ( ) () F F Q δ δ δ δ Î foă aceală ecuaţle de şcae su: F F c cos Obsevaţe: Î eelele dae se cosaă că ecuaţle de şcae su culae sac (elasc), dac (eţal) sau sac ş dac..8.5 Se cosdeă sseul d fg... Să se deee: a) ecuaţle dfeeţale ale şcă; b) ulsaţle o ş veco o; c) legea şcă î codţle ţale ( ) ( ) ( ) ( ) o. Fg...
9 Rezolvae: Ecuaţle de şcae se o obţe alcâd ecuaţle lu agage: E E E d d c c E E E d d c c ude E c ( ) E Î couae se va cosdea,. Ecuaţle de şcae su: uâd soluţa sub foă aocă{ } { } ( ) ϕ a cos, se ajuge la oblea de valo o ş veco o: a a de ude, eu ca sseul ooge să abă soluţe ebaală, se obţe ecuaţa ulsaţlo o: sau cu ădăcle,. Deoaece veco o su deeaţ âă la o cosaă, se oduc aoaele j j a a μ, asfel că oblea vecolo o deve: μ ude μ adcă, μ, μ Cele două odu su eezeae î fg...
9 Fg... Modul,, { } μ Modul,, { } μ Deeaea aselo odale ş gdăţlo odale se face cofo (.8) ş (.8): { } [ ]{ } M μ μ, { } [ ]{ } K μ μ Se obţe: { } M, { } K { } M, { } K 6 Deeaea leg de şcae se face e baza elaţe (.), cu codţle ţale{ } { } o,{ } { }, adcă: () { } { } [ ]{ }{ } cos M μ μ ude { } [ ]{ } { } o o M μ { } [ ]{ } { } o o M μ Ş, î sfâş: o o cos cos sau
9 () o cos cos () o cos cos adcă şcăle celo două cou u su aoce..8.5. Peu sseul d fg... să se deee: a) ecuaţle dfeeţale ale şcă; b) ulsaţle o ş veco o. Se va cosdea:, Fg... Rezolvae: Eega cecă a sseulu ese: {}[ ]{} E c, a eega oeţală: ( ) ( ) {}[]{} E de ude se obţe acea de gdae ş de eţe: [ ], [ ] Fe, ( ) [ ] [ ] [ ] auc : ( ) [ ] de ese ecuaţa ulsaţlo o. Î cazul da: ( ) [ ]
de ude de [ ( ) ] ( ) ( )( ) Rădăcle ecuaţe caacesce su: ( ), Ecuaţa (.67) oae f scsă ş asfel: ([] [ ]){ } { }, ( ) μ sau [ ( )]{ μ } { } Pesuuâd că coodoaa u ese u uc odal, adcă u ese u uc de delasae ulă, ecuaţa de a sus se oae aţoa î felul uăo: aa ( ) ab( ) ( ) ( ) { } ba bb μ b ude î{ μ} s-a lua μ, a { μ } { } b μ μ μ Deoaece ulsaţle o su dsce, agul ace [ ( )] { μ } [ ( )] { ( )} b bb ba va f -, î cosecţă: adcă { } μ b Peu cele e ulsaţ o se obţe: { } { } μ, { } { } b μ μ, { } { } b Deoaece, ce e veco o su: { } { } μ, { } { } b μ b b μ, { } { } μ b.8.7. Se cosdeă sseul d fg..., ude,. Să se deee: a) ulsaţle o ş veco o; 95
96 b) legea şcă î codţle ţale: ( ) o, ( ) ( ), ( ) ( ) ( ). Fg... Rezolvae: Ecuaţa dfeeţală a şcă ese: Ecuaţa ulsaţlo o: [ ] [ ] de( ), ae ădăcle:,, Pocedâd ca ş la oblea ecedeă, se obţ veco o d ecuaţa: { } {} b μ adcă: { } b μ Peu cele e ulsaţ se obţ veco: { } { } μ, { } { } μ, { } { } μ Masele odale su dae de: { } [ ]{ } M μ μ, adcă: M, M, M 6,
a soluţa ese: 6 o o o cos cos o o cos 6 o o o cos cos Î şcaea acesu sse esă u od de co gd ( ). Î aces od acule u se defoează. Mşcaea sseulu ese o suauee de odu o..8.8. Peu sseul d fg..., să se deee: a) ulsaţle o ş veco o eu sseul eaoza; b) acele odale [ M ],[ C] ş[ K ]. c) aoaele odale de aozae ς, ς., d) ăsusul sseulu eu codţle ţale: ( ) o, ( ) o ( ) ( ). N Se vo lua uăoaele valo: g, 987, Ns Ns c c c, 68, c, 68. N 7 Fg... Rezolvae: Ecuaţa de şcae ese: c c c c c c de ude ecuaţa ulsaţlo o oae f scsă asfel: a ulsaţle o su: 97
98 987 s,, s, Hz f 5 π s, 7 7, s, Hz f 6 π Veco o se deeă d ecuaţa: μ, adcă { } { } μ, { } { } μ Macele odale de eţe, de gdae ş de aozae su: [ ] [ ] [ ][ ] μ μ M [ ] [ ] [ ][ ] 8 97 7 7 μ μ K [ ] [ ] [ ][ ],58,568,69,68,68,69 μ μ c C Raoaele odale su: M C ς,,,,,568 ς,, 7,7,58 ς egle de şcae se deeă î baza elaţe (.7): ( ) ( ) ( ) ( ) s cos e ς ς ξ ϕ ς ς ξ ς ξ ude ( ) { } [ ]{ } M μ ξ, ( ) ξ, ( ) o ξ ( ) { } [ ]{ } M μ ξ, ( ) ξ, ( ) ξ g ς ς ϕ, 5,, ϕ ϕ Reved la coodoaele geealzae:
99 {} [ ]{} {} ξ μ ξ μ, se obţe: ( ) cos ϕ ς ς e o ( ) cos ϕ ς ς e o.8.9. Sseul cu două gade de lbeae d fg..5. ese suus ue foţe aoce F F cos. Să se deee: legle şcă foţae ale celo două ase, dacă,,,. Fg..5. Fg..6. Rezolvae: Ecuaţa de şcae a sseulu ese: F cos Fecveţele ş odule o su:, 5 Macea odală ese: [ ],5 μ asfoâd ecuaţa de şcae î coodoaele cale, se obţe: [ ]{ } [ ]{ } ( ) { } P K M ξ ξ ude [ ] [ ] [ ][ ] M,5,5,5 μ μ [ ] [ ] [ ][ ] K 5,5,5 μ μ
() { } [ ] () { } F F F Q P μ cos cos,5 Ecuaţle de şcae î coodoaele cale su: F F ξ ξ ξ ξ cos 5 Acese ecuaţ dfeeţale su deculae, fecae coesude uu sse cu u gad de lbeae (fg..7.). Fg..7. F ξ ξ cos F ξ ξ cos 5 Soluţle aculae (foţae) ale aceso ecuaţ su: Y o ξ cos Y o ξ cos ude F F Y o 5 5 F F Y o Reved la coodoaele fzce:,5 ξ ξ, se obţe:
F F ξ ξ cos 5 F F ξ ξ cos 5.8.. Se cosdeă absoboul de vbaţ de ăsuce d fg..8., alcău d-u aboe avâd cosaa elască la ăsuce, o cacasă avâd oeul de eţe aal J ş u vola lbe îăuul cacase, avâd oeul de eţe J. Îe cacasă ş vola su saţ foae c, a cacasa se ule cu ule. Dacă asua cacase acţoează u oe de osue aoc M M o cos, să se deee aludle vbaţlo celo două cou. Coefceul de aozae se esuue a f c. Fg..8. Rezolvae: Ecuaţle de şcae su: ( ) M c J ϕ ϕ ϕ ϕ cos ( ) ϕ ϕ ϕ c J Folosd eezeaea uee colee: () { } e e M R M ş () { } ( ) { } { } ( ) e e e Z R z R ϕ, ecuaţle dev: ( ) M Z Z Z c Z J o o o o ( ) o o o Z Z c Z J
de ude se obţ: ( ) ( ) ( ) ψ o o e Z J J c J J J c M Z ( ) ( ) ψ o o e Z J J c J J M c Z esecv ( ) ( ) ϕ J J c J J c J M Z o o ( ) ( ) ϕ J J c J J cm Z o o, ş ψ J c g, π ψ.8..-.8.. Se cosdeă sseele vbae d fg..9.-.8. cu daele ş codţle ţale oae alăua. Coule asve se cosdeă gde ş oogee, fele su efec fleble ş eesble, a asa eleeelo elasce ş fecăle se egljează. Peu cle osclaţ î juul ozţe de schlbu sac a fecău sse, faţă de cae se ăsoao oţ aae de ozţe, se ce: a) ecuaţle dfeeţale ale şcă; b) ulsaţle o ş veco o; c) legea şcă. Fg..9. Fg... Răsus:.8.. g G g G E c, ( ) E 6 6 5 g G g G G g K, 6 6 G g K
{ } μ, { } μ X cos, o şcae duă ul od ou..8.. ( ) g G R R R g G g G R g G E c θ θ, R E θ, R θ g G g G g G g G, { } μ, { } { } μ R s, şcaea ae loc duă cel de-al dolea od. Fg... Fg... Răsus:.8.. ( ) θ θ R g G R g G g G E c, GRθ E, θ R
8 6 R G g G g G g G g G R g, R g 5 { } μ, { } μ ( ) R cos cos θ ( ) cos cos θ θ.8.. 9 8 θ θ θ θ Gl Gl K l G l G l G l G 7 6, 6 { } { } μ, { } { } μ 6 cos 7 6 cos θ θ 6 cos 7 6 cos θ θ Fg... Fg... Răsus:.8.5. θ θ θ θ J J
5, { } μ, { } { } μ s 6 s 8 π π θ s s π π θ.8.6., { } μ, { } { } μ v s Fg..5. Fg..6. Răsus:.8.7. ( ) θ l E c, glθ E θ θ gl l Acese coodoae su ş coodoae oale 6 cos
6 s 6 π θ.8.8. ( ) 6 θ θ θ R R R E c, θ θ R g K E θ θ θ θ gr R R θ, s 6 π θ Fg..7. Fg..8. Răsus:.8.9. ( ) 7 R g G g G g GR E c θ θ, ( ) θ θ R R E, R θ 6 g G g G g G g G 7, 7 { } { } μ, { } { } μ 7 cos 7 cos R θ
7 7 cos 7 cos θ.8.. 8 8 9 θ θ θ θ R R g GR g GR g GR g GR 7, { } { } μ, { } μ cos 6 π θ θ Fg..9. Fg... Răsus:.8.., { } { } μ, { } { } μ cos cos
8.8.., s,, s { } { }, μ, { } { },66 μ Fg... Fg... Răsus:.8.. {}[ ]{} θ θ θ θ θ J J J J E c, ( ) ( ) [ ] {}[ ]{} θ θ θ θ θ θ E,, { } { } μ, { } { } μ, { } { },5,5 μ.8.. 9 8 8 7 9 7 9 y y y y EI l EI l EI l EI l 5, 5 68 { } { },9 μ, { } { },7 μ
Fg... Fg... Răsus: G 6 g G 6 l θ l θ 6Gl l θ g.8.5. l θ ( 6Gl l ) θ l θ, μ { } { } ( ) μ, { } { } π π θ s s 88 π π θ s s 88 { [ ] } { al b[ l ( a b) ] } θ l [ l ( a b) ].8.6. J θ ( a b ) θ al b l ( a b) θ J θ { } θ 5, 9s 7, s, μ,9, { } { } μ, { } { } θ π π cos cos θ 8, 5,9 Fg..5. Fg..6. Răsus: Ecuaţa dfeeţală sub foă aceală ese: 9
.8.7. c c c c Ecuaţa caacescă ese: c c c c λ λ λ λ λ λ ( )( ) 5 c λ λ λ cu ădăcle:, ± ± λ, c c 5, ± λ eu cae se obţ: { } { } μ, { } { } μ, { } { } μ, { } { } μ Dacă c c c 5, şcaea fecău co va f suaueea ue şcă aoce cu ulsaţa ş a ue aeodce aozae, cae duă u se sge..8.8. Ecuaţa aceală ese: c c a ecuaţa caacescă se oae sce: ( )( ) c c λ λ λ λ cu ădăcle: λ, c λ, c c, ± λ Dacă c c c 8, oae ădăcle su eale ş egave. Mşcaea ezulaă va f aeodcă aozaă. Dacă c c c 8 <, λ ş λ, su cole cojugae ş veco o su: { } { } μ, { } { } μ, { } { } μ, { } { } μ egle de şcae ale celo două cou î codţle ţale dae vo f: ( ) ϕ ϕ e c s s, ( ) ϕ ϕ e c s s ude: c g ϕ ş c
Fg..7. Fg..8. Răsus:.8.9. Ecuaţa dfeeţală a şcă sub foă aceală ese: F γ cos ecâd î cole se obţe: F Z Z Z Z Z Z o o o o o o γ Îlocud foa algebcă a ueelo colee (.75), se obţe sseul: F Y Y X X o o o o ϖ γ D aces sse se obţ: o X, o X, o Y ş o Y. egle de şcae vo f: ( ) cos ψ Y X o o, ( ) cos ψ Y X o o ude: o o X Y g ψ, o o X Y g ψ
.8.. Ecuaţa şcă ese: F s ecâd î cole se obţe: F Z Z c o o de ude: ( ) c F Z o ( ) ( ) c F Z o Deoaece ( ) e F I F s, ezulă că: ( ) ( ) s ψ Z e Z I o o ( ) ( ) s ψ Z e Z I o o ude ( ) ψ ψ c g g
. APICAŢII EHNICE AE EORIEI VIBRAŢIIOR.. Cosdeaţ geeale Î oce uae dusală esă laţu ehologce, î cae fucţoează sula a ule aş. Î ul fucţoă î eg saţoa ale aşlo, îodeaua aa foţe sau oee de foţe eubaoae, deoaece u ese osbl să se ealzeze o echlbae dacă efecă a uuo ogaelo de aşă aflaă î şcae. Daoă aceso foţe geealzae eubaoae ş daoă caaceulu elasc sau vâscoelasc al defoaţlo î eleee cooee ş î legăule eoae ş eeoae ale uu laţ ceac al ue aş, sseul ecac foa cu oae eleeele cooee oble ale uu asfel de laţ ceac cosue u sse vba, cae ae vbaţ foţae. Î cele a fecvee cazu îâle î accă, î-u laţ ceac al ue aş aa vbaţ foţae de osue ş/sau de îcovoee ale abolo elasc, îe cae esă legău eoae ealzae culaje elasce, sau dfee ass ecace, e cae su oae a ule ase coceae cosdeae ca volaţ. Î ul şcă î eg saţoa al uu laţ ceac, esă ecolul de ezoaţă eu vbaţle foţae de osue ş/sau de îcovoee ale uu aboe elasc cu uul sau a ulţ volaţ, dacă veza ughulaă a aboelu, coesuzăoae uaţe sale î şcaea sa de eg saţoa, ese egală cu ua d ulsaţle o ale sseulu vba cosdea. uaţle aboelu coesuzăoae ulsaţlo sale o eu vbaţle sale de osue ş/sau de îcovoee se uesc uaţ cce ş ese ecesa ca, îcă d faza de oecae a ue aş, să se a ăsu eu evaea aceso uaţ cce î oce eg saţoa de şcae al aş, asfel îcâ, î acese egu saţoae de şcae, aludle vbaţlo foţae să fe câ a c ş să se eve, asfel, uzua ouţaă a lagăelo ş cha dsugeea lo. Aceasă obleă se ueşe vefcaea la vbaţ a ue aş. Pe de ală ae, eu ecoosea saţulu de oducţe, î-u laţ ehologc se oează două sau a ule aş e aceeaş fudaţe sau e acelaş suo. Î acese cazu, fudaţa couă sau suoul cou, foţele eubaoae se o ase de la o aşă la ala, ceea ce oae avea efece egave asua fucţoă uoa d acese aş. Ca uae, se ue oblea, de o
oaţă accă deosebă, de a se lua ăsu eu educeea, câ a ul osbl, a aludlo foţelo eubaoae ce se as de la o aşă la fudaţa sa, sau la suoul său, obleă cae se ueşe zolaea vbaţlo. Dacă, î-u eg saţoa de şcae al ue aş, uul d coule sale ae vbaţ foţae de aslaţe sau de oaţe cu alude ae, de auă să afeceze bua fucţoae a aş, se ue oblea de a se lua ăsu eu educeea, câ a ul osbl, a alud aceso vbaţ foţae. Aceasă obleă se ueşe aozaea vbaţlo. O soluţe eu ezolvaea acese oblee a f oduceea uo eleee de aozae vâscoasă sau uscaă cu coefce ae de aozae, da, î aces caz, aa ede a î sseul ecac cosu d-u laţ ceac al aş ş adaeul său ecac scade. De aseeea, î geeal, deoaece acese ede se asfoă î călduă, uele eleee cooee ale aş ajug, duă u au de fucţoae, î-o sae de suaîcalze eculoasă, ceea ce lează duaa de fucţoae a aş sau ecesă ssee suleae de ăce. O ală soluţe de aozae a vbaţlo foţae ale uu co, cae elă, î ae ae, acese dezavaaje ale soluţe ezeae aeo, ese cosuă de aaşaea de coul cosdea, eedul uo legău elasce sau vâsco-elasce, a ue ase suleae î şcae de aslaţe sau oaţe, cae, îeuă cu legăule sale de coul cal cosdea, foează u aozo dac. Ţâd seaa de edţa acuală de cosue a uo o aş, cu efoaţe ecooce ş fucţoale dcae, de ae uee ş/sau cu uaţ a î egule saţoae de fucţoae, se ue cu oae, eu oce aşă, ezolvaea celo e oblee ezeae aeo. Î faza de oecae a ue o aş, acese oblee se ezolvă e baza uo odele ecace, î cae se fac aue aoă ş se egljează efecul dac al uo foţe cosdeae de valoae că. Daoă aceso aoă ş eolă, efecuae asua odelulu ecac, ezulaele sudulu eoec asua cooă dace a sseulu ecac cosdea ebue să fe vefcae eeeal, îcecă la vbaţ e oo. Ca uae, î eze u ese de coceu oologaea ocăe o aş făă esaea sa la vbaţ, de cae dede, î ae ăsuă, sguaţa sa î fucţoae ş, a ales, fablaea sa. Peu aceasa, s-au ealza ssee colee de ăsuae a vbaţlo, î cea a ae ae jloace elecce ş elecoce, cu ajuoul căoa se oae esce fablaea ue aş, duaa sa de fucţoae făă eaaţ, duaa de două eaaţ caale cosecuve, ecu ş ogaele de aşă cele a solcae, cae ebue să fe îlocue la o eaaţe cueă sau la o eaaţe caală. Se deosebe de cazule ezeae aeo, esă cazu î cae vbaţle foţae ale uo ssee ecace su folosoae î aue ocese ehologce. Asfel, î ocesul ehologc de foae î uăo, vbaea foelo î ul ocesulu ehologc, se obţe o calae sueoaă a acesoa ş o duaă a ocesulu ehologc cu ul a că decâ jloace clasce. De aseeea, cu ajuoul vbaţlo, se oae ealza deesoaea cu efceţă soă, faţă de jloacele clasce, a eselo uae sau sudae. Peu ealzaea accă a aceso ocese ehologce, ca ş eu esaea la vbaţ a uo aş, agagae sau sucu ecace, ese ecesa să se folosească ssee ecace ce oduc foţe eubaoae aoce, de alude ş fecveţă eglable, ue geeaoae de vbaţ sau vbaoae.
.. uaţ cce ale vbaţlo e osue ale uu aboe elasc cu a ulţ volaţ Se cosdeă u aboe elasc, e cae su oaţ volaţ ca î fg..., î cae. Fg... Se esuu cuoscue oeele de eţe J (,, ) lagăelo, ecu ş cosaele elasce la osue (,,,,, j ) ale volaţlo faţă de la j ale oţulo de aboe de volaţ cu ueele de ode ş. Masa aboelu ş oae foţele ezsee se cosdeă egljable. Dacă sseul cosdea ae vbaţ lbee de osue, ecuaţa dfeeţală aceală a aceso vbaţ ese de foa: [ J]{ θ } [ ]{} θ {} (.) î cae[ J ] ese acea de eţe a sseulu,[ ] ese acea sa de gdae, a{ θ } ese acea coloaă foaă cu aae de ozţe a volaţlo, cae su ughule lo de oaţe ăsuae d ozţa de echlbu sac a sseulu. Peu, acele de eţe ş de gdae su de foa: J J [ J ] J, [ ] (.) J Pulsaţle o ale sseulu cosdea se obţ d ecuaţa caacescă: [] [] J P ( ) (.) d cae, ţâd seaa de eesle de foa (.) ale acelo de eţe ş de gdae, ezulă. Aceasa îseaă că sseul cosdea ae - gade de lbeae, acea de gdae fd sgulaă. Ca aae de ozţe deedeţ se o cosdea ughule θ j θ j θ (,,,,, j ) de oaţe a volaţlo cu uăul de ode faţă de volaţ cu uăul de ode. Dacă, cazul cel a fecve îâl î alcaţ, sseul ae u gad de lbeae ş ulsaţa oe coesuzăoae deve: GI ( J J ) (.) lj J 5
ude G ese odulul de elascae asvesal al aealulu d cae ese cofecţoa aboele, I ese oeul de eţe geoec ola al secţu asvesale a aboelu, a l ese lugea sa, ce do volaţ fd oaţ la caeele sale. Dacă aboele se află î şcae de oaţe î juul ae sale ozoale, decă cu la lagăelo, cu veza ughulaă cosaă, daoă oă ecece a volaţlo e aboe, asua fecău vola acţoează u oe eubao odus de geuaea volaulu. Se esuue că, î ozţa de echlbu sac a sseulu cosdea, oae ceele de geuae C ale volaţlo se află î acelaş la eda vecal, sub la lagăelo. Î fg... s-a eezea secţuea volaul cu uăul de ode cu laul eedcula e la lagăelo ce ece C, î cae O ese esecţa acesu la cu la lagăelo, aa O X ese o aă fă vecală, aa C X ese legaă de vola, a g ese geuaea volaulu. Moeul eubao ce acţoează asua acesu vola deve: M ge s ge s π (.5) ude e O () ( ) C ese ececaea volaulu. Fg... Daoă aceso oee eubaoae, sseul cosdea ae vbaţ foţae eaozae, a căo ecuaţe dfeeţală aceală a şcă ese de foa: [ J]{ θ } []{} θ { M} s( π) (.6) î cae{ M } ese acea coloaă foaă cu aludle oeelo eubaoae, eleeul său coesude le, avâd valoaea ge. Deoaece, eu vbaţa foţaă a sseulu cosdea, legea de şcae a volaulu cu uăul de ode ese de foa: aθ θ s, veza sa ughulaă ş acceleaţa sa ughlaă dev: θ θ cos cos ε θ θ s s ε s (.7) 6
Ca uae, devâd de două o î ao cu ul ecuaţe (.6) ş oâd { ε} { θ}, se obţe ecuaţa dfeeţală aceală: [ J]{} ε [ K]{ ε} { M } s (.8) a căe soluţe aculaă ezulă: {} ( ) ([ K] [ J] ) χ { M } ε s P ( K J ) χ (.9) ( ), a ( ) ude [ ] [ ] ese ecoca ace ăae ş sece [ K] [ J] P, ea ş de (.), ese deeaul acese ace. D (.9) se deeă aludleε ale acceleaţlo ughulae ale volaţlo cu uăul de ode (,, ), eu vbaţa foţaă a sseulu, a d elaţle (.7) ezulă valole eu ş θ. Se obsevă că, dacă s, s,,, s fd ua d ulsaţle o ale sseulu cosdea, oae aludleε, ş θ d se f. Ca uae, uaţle cce ale sseulu cosdea, eu vbaţle de osue ale uu aboe elasc cu a ulţ volaţ, su dae de: s s, s,, (.) π.. uaţ cce ale vbaţlo de îcovoee ale uu aboe elasc cu a ulţ volaţ Se cosdeă u aboe elasc, de asă egljablă, e cae su oaţ u uă de volaţ ca î fg..., î cae. Peu sudul vbaţlo lbee de îcovoee ale sseulu cosdea, se egljează foţele de aozae ş se esuu cuoscue asele ale volaţlo, ecu ş oţ coefceţ de flueţă δ, j (, j,, ) a aboelu, ş j fd ueele de ode ale secţulo aboelu î cae su oaţ volaţ. Fg... De aseeea, se esuue că oţ volaţ au şcă de aslaţe ecle e decţe vecală, la lagăelo fd ozoală, a aae lo de ozţe su ăsuaţ duă aceasă decţe d ozţa de echlbu sac a sseulu. Î acese codţ, ecuaţa dfeeţală aceală eu sudul vbaţlo lbee, eaozae ş de îcovoee ale sseulu cosdea se eă sub foa: 7
[ ][ ]{} {} {} δ ese acea de fleblae, [ ] δ (.) î cae[ ] ese acea dagoală de eţe, a{ } ese acea coloaă foaă cu aae de ozţe cosdeaţ. Pulsaţle o s ( s,, ) ale vbaţlo de îcovoee ale sseulu cosdea se deeă ca ădăcle eale ozve ale ecuaţe caacesce: [ I] [ δ ][ ] P ( ) (.) ude [ I ] ese acea uae de odul. Dacă aboele, îeuă cu volaţ, se oeşe î juul le lagăelo cu veza ughulaă cosaă, daoă geuăţlo ş a foţelo cefuge ale volaţlo, asua acesoa acţoează foţe eubaoae, asfel îcâ sseul cosdea va avea vbaţ foţae de îcovoee. Se cosdeă că, î ul şcă sseulu, aboele se defoează î acelaş la eda, î cae se află oae ceele de geuae C ale volaţlo. De aseeea, se cosdeă că fecae vola se şcă î-u la eedcula e la lagăelo, egljâdu-se efecele goscoce asua şcălo volaţlo. Î fg... s-a eezea secţuea volaul cu uăul de ode cu laul eedcula e la lagăelo ce ece C, î cae O ese esecţa acesu la cu la lagăelo, a A ese esecţa acesu la cu aa aboelu defoa. Aa O X ese o aă fă vecală, a aa C X, cae ece O, ese legaă de vola. Fg... Î fg... s-au eezea ş foţele ce acţoează asua volaulu cosdea, cae ev î sudul vbaţlo de îcovoee ale aboelu, î laul eda ce coţe oae aele C X. De acese foţe, eu sudul vbaţlo de îcovoee se cosdeă ua cooeele de valoae g cos, ale geuăţlo volaţlo, deoaece, aşa cu s-a aăa î aagaful ecede, celelale cooee, de valoae g s, ev î sudul vbaţlo de osue ale sseulu cosdea. Î eesa foţe cefuge ( e ) eve defoaţa O A a aboelu î secţuea sa î cae ese oa volaul cosdea ş ececaea volaulu e AC. Ţâd seaa de cosdeaţle de a sus, cu ajuoul coefceţlo de flueţă se o sce ecuaţle dfeeţale ale vbaţlo de îcovoee ale sseulu cosdea, cae se o ea sub foa coacă aceală: δ δ e I gcos (.) ( ) [ ][ ]{} { } [ ][ ]{} { } { } 8
ude{ } ese acea coloaă foaă cu defoaţle aboelu î secţule sale î cae su oaţ volaţ,{ e } ese acea coloaă foaă cu ececăţle volaţlo, a{ I } ese acea coloaă uaă de odul, avâd oae eleeele egale cu uaea. Dacă sseul cosdea ese cosu d cooeele uu laţ ceac al ue aş cu uee ae, î geeal geuăţle g au valo a ş veza ughulaă î şcaea de eg saţoa a sseulu ese că, asfel îcâ, eu sudul vbaţlo foţae de îcovoee, se oae eglja efecul foţelo cefuge ale volaţlo. Î aces caz, vbaţle foţae de îcovoee ale sseulu su de foa: {} { s } { } cos (.) ude{ s } ese acea coloaă foaă cu defoaţle aboelu la echlbul sac al sseulu, a{ } ese acea coloaă foaă cu aludle vbaţlo foţae de îcovoee ale aboelu î deul secţulo sale î cae su oaţ volaţ. Săgeţle sace ale aboelu î deul volaţlo la echlbul sac al sseulu cosdea se obţ d ecuaţa (.), uâd codţle de echlbu sac, d cae ezulă: δ I (.5) { } [ ][ ]{ }g s a aludle vbaţlo foţae{ } se deeă duă ce se devează odaă î ao cu ul elaţa (.) ş ecuaţa dfeeţală aceală a vbaţlo de îcovoee, de foa (.) făă foţele cefuge, obţâdu-se: { } ( ) ( [ I ] [ ][ ] ) [ ][ ]{ I χ δ δ }g (.6) P P ese da de (.) cu î loc de. ude ( ) Dacă veza ughulaă î şcaea de eg saţoa a sseulu ese ae, foţele eubaoae oduse de geuăţle volaţlo se o eglja faţă de foţele lo cefuge. Î aces caz, defoaţle ale aboelu î deul volaţlo su cosae î ul şcă sseulu, asfel îcâ, cu aculazăle cae ezulă, d (.) se obţe: {} ( ) ( [ ] [ ][ ] χ I δ ) [ δ][ ]{} e P (.7) Î abele cazu cosdeae, dacă s, ude s ese ua d ulsaţle o ale vbaţlo de îcovoee ale uu aboe elasc cu a ulţ volaţ, d (.6) ş d (.7) se obsevă că defoaţle aboelu d se f. Ca uae, uaţle cce ale aceso vbaţ de îcovoee se obţ o cu a elaţe (.), cu deosebea că ulsaţle o ezulă d ecuaţa caacescă (.) ş s,,. s 9
g Dacă ş >>, ude e ese ececaea volaulu, foţa eubaoae e daă de geuaea volaulu se oae eglja ş defoaţa aboelu î deul volaulu deve: e, (.8) î cae ese asa volaulu, a ese cosaa elască de îcovoee a aboelu î secţuea sa î cae ese oa volaul. uaţa ccă coesuzăoae se obţe cu a elaţe (.), î cae se îlocueşe s cu d a doua elaţe (.8). Dacă î a elaţe (.8) veza ughulaă a aboelu ese ul a ae decâ ulsaţa oe a vbaţlo de îcovoee ale sseulu cosdea, defoaţa a aboelu î deul volaulu de se e, dec ceul de geuae al volaulu de să ajugă e la lagăelo. Aae, asfel, feoeul de auoceae a volaulu... Izolaea vbaţlo Se cosdeă o aşă de asă, cae, î ul fucţoă sale î eg saţoa, geeează o foţă eubaoae aocă cu aludea F ş ulsaţa. Peu zolaea vbaţlo aş cosdeae, îe ea ş fudaţe se ecalează eleee elasce ş de aozae vâscoasă, avâd cosaa elască echvaleă ş coefceul de aozae c (fg..5.). Fg..5. Pesuuâd cuoscue ăle eczae ale dac aş cosdeae, se ue oblea a se deea valole aaelo ş c, asfel îcâ foţa ce se ase fudaţe să abă alud de valoae câ a că. Peu aeceea efceţe zolă vbaţlo, se calculează u coefce adesoal η, u coefce de assblae, def ca aoul de valoaea aă a foţe asse la fudaţe ş aludea F a foţe eubaoae. Peu o buă zolae a vbaţlo, aces coefce de assblae ebue să abe valo câ a c.
F Noâd cu aludea vbaţe foţae a aş ş cu s săgeaa sacă a eleeulu elasc sub acţuea ue foţe egală cu aludea foţe eubaoae, deoaece foţele ce se as la fudaţe se as eleeele elasce ş de aozae, valoaea aă a foţe asse fudaţe ese: a ( ) ( c ) ( c) F (.9) a coefceul de assblae deve succesv: F η F a F c c c ( c) c c c s c (.) î cae ese ulsaţa oe a vbaţlo lbee eaozae a sseulu vba d fg..5., acc ese coefceul său cc de aozae vâscoasă. Î dagaele d fg..6. s-a eezea coefceul de assblae η ca fucţe de aoul adesoal, eu câeva valo uzuale ale aoulu adesoal c. c c Fg..6. D aceasă fguă se obsevă că, eu aoul oce valoae a aoulu c c c a c decâ, eu coefceul de assblae ese suaua. Ma ul,
eu aoa de ş valo c ale aoulu c, eu η ezulă valo foae a. Ca uae, eu o buă zolae a vbaţlo î egul saţoa de şcae al aş, ese ecesa ca aoul să abe o valoae câ a ae, dec ulsaţa oe ebue să fe foae că, asfel îcâ ezulă ecesaea de a alege u elee elasc cu cosaa elască foae că. De aseeea, eu o buă zolae a c vbaţlo, aoul a ebu să fe câ a c, cha ul eu cazul deal, da, î c c aces caz, aae ecolul ezoaţe la oea ş la oea aş, câd ulsaţa a foţe eubaoae ajuge î aoeea ulsaţe o. Pacc, eu zolaea vbaţlo ue aş, se folosesc eleee elasce cofecţoae d caucuc, cae au o cosaă elască că ş oduc î sse ş aozae de auă vâscoasă, cu aoul c de valoae elav că. Dacă foţa eubaoae ae a ule cooee c c aoce, zolaea vbaţlo aş ebue să fe efecuaă eu aoca sa fudaeală..5. Aozoul dac slu c c Se cosdeă o aşă sau u oga de aşă, cae, sub acţuea ue foţe eubaoae aoce, ae vbaţ foţae de aslaţe ecle de alud a, eculoase eu bua fucţoae a aş. Dacă foţele de fecae ş de aozae su egljable, ezulă că aşa cae oduce foţa eubaoae fucţoează, î egul său saţoa, î aoeea ezoaţe sseulu vba cal, cosu d eleeul cooe ce ae vbaţ foţae a ş susesa sa elască. Peu aozaea vbaţlo foţae ale ase cale a sseulu vba cosdea, se foloseşe u aozo dac, foa d-u co de asă a, afla î şcae de aslaţe ecle, lega de asa cală -u elee elasc de cosaă elască a (fg..7.). Dacă aozaea vâscoasă odusă de eleeul elasc al aozoulu ese egljablă, acesa se ueşe aozo dac slu. Fg..7.
Sseul vba cal ş aozoul dac slu foează, îeuă, u sse vba cu două gade de lbeae. Cosdeâd aae de ozţe ş ăsuaţ d ozţa de echlbu sac a sseulu, ecuaţle dfeeţale ale şcă sale su: ( ) F a a s a a a (.) Vbaţle foţae ale sseulu cosdea su aoce, cu ulsaţa lo egală cu ulsaţa a foţe eubaoae. Aludle aceso vbaţ foţae ezulă d (.), avâd eesle: ( ) ( )( ) a a a a a a o F ( )( ) a a a a a o F (.) Folosd oaţle:, a a a, F s, a μ (.) î cae ese usaţa oe a sseulu cal ş a ese ulsaţa oe a aozoulu, aludle (.) ale vbaţlo foţae se o ea aoae adesoale, sub foa: ( ) a a a s o μ (.) ( ) a a s o μ (.5) D elaţa (.) se obsevă că aludea o a vbaţe foţae a ase cale ese ulă dacă a. Da aozoul dac slu cosdea ese folos eu aozaea vbaţlo foţae ale ase cale î aoeea ezoaţe sseulu cal, dec eu, asfel îcâ, d codţa a, ezulă: μ a a (.6) cae ese codţa de oecae a aozoulu dac slu. D elaţa (.5), eu a, se obţe:
F F o s (.7) μ a a ude s-a ţu seaa de (.6) ş de a ea elaţe (.). D ula elaţe (.7) ezulă că, î ul fucţoă î eg saţoa a aş cu aozoul dac slu aaşa sseulu cal, valoaea oeaă a foţe elasce a aozoulu ce acţoează asua ase cale ese: a o s F s (.8) dec aceasă foţă echlbează foţa eubaoae ş asa cală ăâe î eaus. D ula elaţe (.7) sau d (.8) se obsevă că, dacă F ae o valoae ae, eu a u avea defoaţ o eculoase ale eleeulu elasc al aozoulu, acesa ebue să abe cosaa elască a de valoae ae. Pe de ală ae, eu ca aozoul să fe ecooc, asa a a aozoulu ebue să fe că eu a ocua u saţu câ a edus ş eu ecooe de aeal. Ca uae, deoaece a ezulă de valoae ae, folosea aozoulu dac slu ese jusfcaă ua dacă ulsaţa oe a sseulu cal ş ulsaţa foţe eubaoae au valo a, aoae îe ele. Peu oecaea uu aozo dac slu, se adoă o valoae subuaă eu μ ş d codţa de oecae (.6), cuoscâd ş, se deeă aae a ş a a aozoulu. Peu ca acesa să fe câ a ecooc, ese ecesa ca eu μ să se adoe valo câ a c osbl. Da eu valo μ foae c, cele două ulsaţ o ale sseulu vba d fg..7., cae su valole ulsaţe a foţe eubaoae eu cae uo d elaţle (.) ş (.5) se aulează, avâd valole: μ μ μ μ μ, μ (.9) ezulă foae aoae de ulsaţa oe a sseulu cal ş aae ecolul de ezoaţă, dacă vaază î aoeea valo. Pacc, eu μ se adoă valo cuse îe, ş,, eu valoaea ede μ, ezulâd d (.9) valole,8 ş,5. Deoaece, eu u sse vba eal, avâd odelul d fg..7., u se o eva cole efecele foţelo de fecae eă d eleeele elasce ş ale ezseţe aeulu, vbaţle foţae ale ase cale u se aozează cole, î schb ecolul de dsugee la ezoaţă, î secal a eleeulu elasc al aozoulu, cae ese cel a solca, ese ul dua. Dacă sseul cal ae vbaţ foţae de oaţe sau de osue, î od aalog se oae oeca u aozo dac slu eu acese vbaţ de oaţe, la cae eleeul elasc al aozoulu oae f u ac sal..6. Aaae ecace eu ăsuaea vbaţlo
Aaaele ecace folose eu ăsuaea auo eleee ale vbaţlo ecace se îa î două caego cale: aaae cu uc f ş aaae cu asă sescă. Aaaele cu uc f au cacasa lo faă de u suo f ş, cu vâful uu alao, uăesc vbaţle de aslaţe ecle ale ogaulu de aşă obl, ale cău vbaţ se ăsoaă. P eedul uu sse de âgh, şcaea vbaoe se ase de la alao la u aaa dcao al aludlo vbaţlo ăsuae, sau la eţa uu dsozv de îegsae e hâe a aceso vbaţ. Î cazul folos uu dsozv de îegsae, hâa ese aeaă î şcae de aslaţe ecle cu veza cosaă cuoscuă, cu cae se deeă facoul de scaă eu ul de îegsae, obţâdu-se dagaa de şcae eu vbaţle ăsuae, la o scaă eu delasă daă de facoul de alfcae al sseulu de âgh. Daoă eţe alaoulu ş a sseulu de âgh, cu acese aaae se o ăsua, cu o ecze acceablă, ua vbaţ de fecveţă edusă. Cel a ăsâd aaa eu ăsuaea vbaţlo d aceasă caegoe ese asogaful, cae foloseşe u dsozv de îegsae ş cae ese ulza î uuăţle dusale eu deeaea adă a uo eleee ale vbaţlo, cacasa aaaulu fd, de obce, faă î â de esoae cae efecuează ăsuăole. Aaaele cu asă ssecă eu ăsuaea vbaţlo au u dsozv de dee, cu ajuoul căua cacasa aaaulu ese faă de ogaul de aşă obl, ale cău vbaţ se ăsoaă. Peu ăsuaea vbaţlo de aslaţe ecle, u co afla î şcae de aslaţe ecle faţă de cacasa aaaulu, u asă sescă, ese lega de aceasă cacasă eedul uu elee elasc ş a uu elee de aozae vâscoasă. Se foează, asfel, u sse vba cu u sgu gad de lbeae, cae ae vbaţ foţae cu aozae vâscoasă, foţa eubaoae î şcae elavă a ase sesce faţă de cacasa aaaulu fd de foa: F () f s (.) ude ese valoaea ase sesce, a f ( ) ese legea de şcae a cacase, aceeaş cu a ogaulu de aşă la cae se ăsoaă vbaţle, de foa f ( ) s, dacă acese vbaţ su aoce. Dacă aaaul cu asă sescă ese folos î aoeea ezoaţe, câd ulsaţa foţe eubaoae, egală cu cea a vbaţe de ăsua, ae valoaea aoaă de ulsaţa oe a sseulu vba al aaaulu, cu ajuoul lu se oae ăsua, cu ecze dcaă, ulsaţa vbaţee sau fecveţa sa, dec acesa ese folos ca fecveeu. Î aces caz, asa sescă ese faă la u caă al ue laele elasce, cae cosue eleeul elasc eu vbaţle sale de îcovoee, celălal caă al laele fd fa de cacasa aaaulu. Deoaece se au ăsu, ca eu u asfel de fecveeu, coefceul de aozae cc c c să fe ae ş aoul c c c să fe foae c, dagaa sa de ezoaţă ae o foă foae ascuţă, cu vaaţ foae a de alude a vbaţe foţae î juul ezoaţe, eu cae aoul ese foae aoa de. Fecveeele d aceasă caegoe, î fucţe de desaţa lo, se cosuesc î două vaae cosucve: 5
a) Fecveee cu laelă slă, la cae se oae egla ulsaţa oe a sseulu vba al aaaulu âă se ajuge la ezoaţă, odfcaea lug laele elasce îe asa sescă ş ucul de fae la cacasa aaaulu; b) Fecveee cu laele ulle, la cae de aceeaş cacasă a aaaulu su fae a ule ssee vbae foae d câe o asă sescă ş o laelă elască, avâd ulsaţ o aoae ca valoae ş deeae cu ae ecze î-u doeu esâs. Fecveeele cu laele ulle se folosesc, de eelu, eu ăsuaea cu ecze dcaă a fecveţe cueulu elecc î ceale elecce sau î uăţ dusale. Dacă ulsaţa oe a uu aaa cu asă sescă ae o valoae foae că, aoul ese foae ae ş aludle vbaţlo foţae ale ase sesce, î şcaea sa elavă faţă de cacasa aaaulu, d să fe egale cu aludle vbaţlo cacase. Î aces caz, aaaul sesc fucţoează ca vboeu, sau ca vbogaf, dacă acese vbaţ su îegsae cu u dsozv ecac de îegsae sau cu u îegsao de ală cosucţe. Asfel de aaae se folosesc eu îegsaea vbaţlo scoaţe eese, a seselo, î ceele de ceceă sesologce, uâd deuea de sesogafe. Sesogafele au valoaea ase sesce foae ae, ese o oă, asfel îcâ ezulă o valoae foae că a ulsaţe lo o, fecveţa lo oe fd î ju de, Hz. Dacă ulsaţa oe a uu aaa cu asă sescă ae o valoae foae ae, aoul ese ul a c decâ uaea. Pesuuâd că vbaţa de ăsua c ese aocă, cu ulsaţa ş aludea, ţâd seaa că aoul ese c subua, asfel îcâ ş eeul adesoal se oae eglja faţă de uae, c c aludea y a vbaţe foţae a ase sesce, î şcaea sa elavă faţă de cacasa aaaulu, se oae ea, cu o buă aoaţe, sub foa: y ( ) (.) ude ese aludea acceleaţe vbaţe de ăsua, a ese o cosaă a aaaulu. Rezulă că, î aces caz, aaaul cu asă sescă fucţoează ca acceleoeu, sau ca acceleogaf, dacă vbaţle foţae ale ase sesce su îegsae. Cu u acceleogaf d aceasă caegoe se o ăsua, cu o ecze dcaă, acceleaţ ale vbaţlo avâd fecveţe ν elav c, âă la aoae c c 6
ν,5. Doeul de ăsuă al aceso aaae oae f es âă la aoae ν ν,75, dacă ese îdelă codţa: ν c,5 < <,7 (.) c c e baza obsevaţe că oţule d dagaele de ezoaţă âă la, 75, eu cae ese îdelă codţa (.), su foae aoae de dagaa coesuzăoae a aabole de ecuaţe (.), caacescă eu u acceleogaf d aceasă caegoe. Peu a u flueţa vbaţle ogaulu de aşă obl ale cău vbaţ se ăsoaă, oae acese aaae cu asă sescă ebue să abe asa lo oală ul a că decâ asa acesu oga de aşă. Aceasă codţe oae f îdelă a uşo î cazul acceleoeelo. Aaaele cu asă sescă se o cosu ş eu ăsuaea vbaţlo de oaţe, de eelu ale uu vola d-o aşă. Peu aceasa, asa sescă ae şcae de oaţe faţă de cacasa aaaulu, fd legaă de aceasa -u ac sal. S-au cosu ş aaae ecace uvesale eu ăsuaea vbaţlo, cae o să fucţoeze aâ ca aaae cu uc f, câ ş ca aaae cu asă sescă, ş cae o f ulzae aâ eu ăsuaea vbaţlo de aslaţe ecle, câ ş eu a celo de oaţe. U asfel de aaa ese aaaul uvesal Gege eu ăsuaea vbaţlo..7. Aaae elecce eu ăsuaea vbaţlo Î eze, î oae doele acvăţlo dusale ş î ceceae şţfcă eeeală, cea a ae ae a ălo ecace se ăsoaă jloace elecce. Peu aceasa, u elee cooe oa al aaaelo elecce ş elecoce folose, ese eleeul cae asfoă vaaţa ă ecace de ăsua î vaaţa ue ă elecce, elee cae se ueşe aduco sau cao. aduco folosţ eu ăsuaea vbaţlo se îa î două caego cale: aduco asv sau aaec ş aduco acv sau geeao. aduco asv asfoă delasaea vbaoe sau defoaţa laă a uu co î vaaţa edaţe uu ccu elecc, alea î cue aleav. Duă aua acese edaţe vaable, aduco asv se îa, la âdul lo, î e u: aduco ezsv, aduco caacv ş aduco ducv. aducoul ezsv cel a fecve folos ese bul esoec. U bu esoec ese cosu d-u coduco elecc flfo, dsus duă o glă laă ş l, cu adezv secal, e o bucaă de hâe secală, cu oeăţ de defoae elască cu cosaa elască foae că. Peu ca bul esoec să u fe flueţa de vaaţle de eeauă, aealul d cae ese cofecţoa coducoul 7
elecc ese cosaaul sau agaul, cae au u coefce de dlaaţe ecă laă foae c. Peu ăsuaea vbaţlo, bul esoec se leşe, de aseeea cu adezv secal, e eleeul elasc al sseulu vba, la cae se ăsoaă vbaţle, asfel îcâ, î ul şcă sseulu, defoaţle eleeulu elasc ş a bulu esoec l e el să oducă vaaţ ale lug l a bulu esoec, cae se asfoă î vaaţ ale ezseţe sale elecce R î ccuul elecc î cae ese coeca la aaaul de ăsuă. Cosdeâd aa S a secţu asvesale ş ezsvaea ρ a coducoulu elecc al bulu esoec cosae, ezseţa eleccă ş vaaţa sa su dae de elaţle cuoscue: l Δl R ρ, ΔR ρ (.) S S Deoaece, aa S a secţu asvesale a coducoulu elecc ese foae că ş lugea sa l ese elav ae, d a elaţe (.) ezulă eu R valo a, de odul zeclo sau suelo de oh, da, deoaece vaaţle Δl ale lug sale su foae c, de odul zeclo sau al sulo de le, d a doua elaţe (.) ezulă eu ΔR valo c, de odul zeclo, al sulo ş cha a lo de oh. Peu ăsuaea vbaţlo, ese ecesa să se ăsoae, cu aaaul elecc de ăsuă, acese vaaţ c de ezseţă eleccă, ooţoale cu defoaţle elasce ale eleeulu elasc al sseulu vba, cae, la âdul lo, su ooţoale cu delasaea vbaoe a ase sseulu vba sau cu vaaţa osclaoe a foţe sale elasce. U aduco caacv ese cosu d-u codesao elecc la, la cae deleccul ese aeul de cele două lăc coducoae ale sale, ş cae ae ua d lăc oblă, legaă gd de ogaul de aşă ale cău vbaţ se ăsoaă. Dacă vbaţle sseulu vba cosdea su de aslaţe ecle, î ua şcă de aslaţe ecle a lăc oble a codesaoulu se oduc vaaţ ale dsaţe d de cele două lăc, ezulâd vaaţ ale caacăţ sale elecce C. Dacă vbaţle acesu sse vba su de oaţe, aducoul caacv ese cosu d-u codesao elecc la oav ş, î ua şcă de oaţe a lăc oble, se oduc vaaţ ale ae S a suafeţelo lae suause ale celo două lăc, ezulâd, de aseeea, vaaţ ale caacăţ sale elecce C. Cuoscâd eeablaea eleccă ε a aeulu, caacaea eleccă a uu codesao la ş vaaţle sale î cele două cazu ezeae aeo su dae de elaţle cuoscue: S S ΔS C ε, ΔC ε Δd, ΔC ε (.) d d d asfel îcâ, eu ăsuaea vbaţlo cu u asfel de aduco caacv, ese ecesa să se ăsoae acese vaaţ c ale caacăţ sale elecce. U aduco ducv ese cosu d-o bobă eleccă, coecaă la ccuul elecc al aaaulu de ăsuă, î eoul căea se oae şca u caă al uu ez de fe, cae ae celălal caă fa gd de ogaul de aşă obl, ale cău vbaţ se ăsoaă. Iducaţa a bobe dede de lugea l a ezulu de fe afla î eoul său, asfel îcâ la vaaţ Δl ale acese lug, le coesud vaaţ Δ, ooţoale cu Δl, ale ducaţe bobe. Ca uae, eu a se ăsua vbaţle uu sse cu ajuoul uu asfel de aduco ducv, ese ecesa să se ăsoae acese vaaţ c ale ducaţe bobe sale. 8
Peu ăsuaea uaţe sau a fecveţe de oaţe a uu vola, afla î şcae de oaţe ufoă, se ulzează î od fecve u aduco ducv făă coac, cosu d-o bobă eleccă cu ez de fe solda cu boba. Aces aduco ducv făă coac ese fa î-u suo f, asfel îcâ u şf de oţel fa de vola să eacă deul lu î ul şcă de oaţe a volaulu, a î evalul scu de, î cae şful se află î deul aducoulu, aae o vaaţe buscă a ducaţe bobe sale. Peu ăsuaea uo vaaţ c de ezseţă eleccă ΔR, de caacae eleccă ΔC, sau de ducaţă Δ, se foloseşe u aaa elecc de ăsuă u ue de ăsuă sau ue esoecă. Paea cală a ue uţ de ăsuă ese cosuă de o ue Wheasoe, aleaă duă ua d dagoale sale, î cue elecc aleav, cae ae fecveţa ν ul a ae decâ oae fecveţele π vbaţlo ecace de ăsua (fg..8.). Fg..8. esuea eleccă de aleae U a uţ ese aocă, avâd aceeaş fecveţă ν ş aludea U cosaă cuoscuă. aducoul cal folos eu ăsuaea vbaţlo ese coeca î-uul d baţele uţ, avâd edaţa Z egală cu ezseţa eleccă R a aducoulu ezsv, cu eacaţa caacvă X C a C aducoulu caacv, sau cu eacaţa ducvă X, a aducoulu ducv. Î baţul ous al uţ se coecează u elee elecc cu edaţa Z cosaă cuoscuă. Î-uul d baţele alăuae ale uţ se coecează u al aduco, u aduco coesao de acelaş cu cel cal, fa, î aceleaş codţ de edu aba cu cel cal, î-u suo f. Iedaţa sa Z C ese egală, î aceleaş codţ de edu aba, cu cea a aducoulu cal afla î eaus, aducoul coesao fd folos eu coesaea, î ul efecuă ăsuăolo, a vaaţe uo aae de edu ca eeaua, udae, ec., cae a uea să afeceze ecza ăsuăolo. Î celălal baţ alăua al uţ se coecează eleee elecce eglable, asfel îcâ, eu edaţa lo echvaleă Z, să se oaă odfca couu ş î ee, îe aue le, aâ ezseţa lo eleccă, câ ş eacaţa lo caacvă. Duă cealală dagoală a uţ, se ăsoaă esuea sa eleccă de eşe U, cae ae valoaea oeaă eaă de: e U e ( Z Z Z C Z ) U ( Z Z )( Z Z ) (.5) C 9
Îae de efecuaea ăsuăolo, duă coecaea aducoulu cal ş a celu coesao î ccuul elecc al uţ, cofo schee d fg..8., se efecuează echlbaea uţ, adcă se eglează edaţa Z âă câd esuea de eşe U e deve ulă. Ţâd seaa de elaţa (.5), codţa de echlbae a uţ ese: Z Z ZC Z (.6) Î ul efecuă ăsuăolo, edaţa Z a aducolo cal ae vaaţ Δ Z î evale c de, celelale edaţe d ccuul elecc al uţ ăăâd, acc, cosae. Deoaece Δ Z << Z ş ţâd seaa de codţa (.6) de echlbae a uţ, valoaea oeaă a esu elecce de eşe a uţ, daă de (.5), deve: ZZ ΔZ U e U (.7) ( Z Z ) Z U e ceea ce aaă că sealul elecc de la eşea uţ, da de aoul ese U ooţoal cu odusul ălo vaable î Δ Z ş U. Avâd î vedee că fecveţa ν, uă fecveţa uăoae, a esu elecce U U de aleae a uţ, aoul fd u seal uăo, ese ul a ae U ΔZ decâ fecveţele de vaaţe î a edaţe Δ Z, aoul, fd u Z seal odulao, d (.7) ezulă că aces seal de eşe al uţ ese o esue eleccă odulaă î alude de sealul odulao, aoaă la aludea U a esu elecce de aleae. Peu efecuaea ăsuăolo, deoaece ΔZ ese ooţoal cu vbaţa de ăsua, d sealul de eşe al uţ ebue să fe eas sealul odulao, dec ebue să fe îdeăa sealul uăo flaea fecveţe uăoae, oeaţe cae se ueşe deodulae. De aseeea, deoaece sealul odulao ese foae c, dec ş sealul de eşe al uţ ese foae c, îae de deodulae esuea de eşe a uţ ebue să fe alfcaă. Acese oeaţ se efecuează e cale eleccă, cu ajuoul alo ccue elecce ş elecoce ale uţ de ăsuă. aduco acv sau geeao asfoă vaaţa eege cece sau oeţale a uu sse vba î vaaţa eege elecce a uu ccu elecc, dec, ocae d aceşa, fuzează o esue elecoooae î ccuul elecc la cae ese coeca î aaaul elecc de ăsuă. Peu ăsuaea vbaţlo de aslaţe ecle ale uu co d-u sse ecac vba, cel a fecve se foloseşe ca aduco acv u aduco ezoelecc. Fucţoaea lu se bazează e efecul ezoelecc al ue lăc de desu c d cuaţ, d aa de bau sau d ale aeale ezoelecce. Efecul ezoelecc cosă î faul că, dacă, e două feţe ouse ale ue lăcuţe d aeal ezoelecc, acţoează două foţe de coesue egale ş de ses coa, e
cele două feţe ale lăcuţe aa sac elecce de se coa, cae deeă o dfeeţă de oeţal elecc ş geeează o esue elecoooae î-u ccu elecc. Dacă cele două feţe de coesue su vaable î, aceasă dfeeţă de oeţal elecc sau esuea elecoooae coesuzăoae uăesc vaaţa î a foţelo de coesue, îe valole oeae ale aceso ă esâd o elaţe de ooţoalae, eaă e baza cosae ezoelecce a aealulu ezoelecc al lăcuţe. Î fg..9. ese eezeaă schea de cu a uu aduco ezoelecc. Fg..9. Masa sescă ese legaă de cacasa a aducoulu eedul uo eleee elasce ş de aozae. Eleeul elasc ae olul ş de a eesoa lăcle d aeal ezoelecc 5 îe asa sescă ş suoul 7 al aducoulu, eedul lăclo elecozolaoae ş al lăcuţelo ealce coducoae 6, asfel îcâ, o ul fucţoă aducoulu, lăcle d aeal ezoelecc să fe solcae ecac la coesue. Suoul 7 al aducoulu ae u dsozv de fae e ogaul de aşă obl, ale cău vbaţ de aslaţe ecle se ăsoaă, de obce cu age eae sau şuub. Valoaea ase sesce ese că, cosaa elască a eleeulu elasc ese ae, a coefceul de aozae vâscoasă vefcă elaţle (.), asfel îcâ, e baza elaţlo (.), ezulă că delasaea elavă y a ase sesce faţă de cacasa sau faţă de suoul aducoulu ese ooţoală cu acceleaţa vbaţe de ăsua. Deoaece, dfeeţa de oeţal îe boele A ş B ale aducoulu, sau esuea elecoooae coesuzăoae d ccuul elecc de ăsuă, ese ooţoală cu vaaţa foţelo de coesue ale lăclo d aeal ezoelecc, a aceasă vaaţe, la âdul e, ese ooţoală cu delasaea elavă y a ase sesce, dec cu acceleaţa vbaţe de ăsua, a ezulă că u asfel de aduco ezoelecc fucţoează ca u acceleoeu. Peu ăsuaea vbaţlo ecace, aceasă esue elecoooae, de valo oeae foae c, ebue să fe alfcaă, a sealul elecc fuza de aduco, cae ese aoul de aceasă esue elecoooae ş o esue eleccă de efeţă, ebue să fe ega de două o î. Acese oeaţ se ealzează de ale ccue elecce ale aaaulu de ăsua. Peu ăsuaea vbaţlo de oaţe ale uu vola d-u sse ecac vba, cel a fecve se foloseşe ca aduco acv u aduco elecodac. Acesa fucţoează e cul aaaelo cu uc f, fd u geeao elecc cu saoul f ş cu ooul lega -o asse ecacă, de vola. Deoaece esuea elecoooae dusă ese ooţoală cu veza ughulaă a vbaţlo de oaţe ş aceasa ae valo oeae sufce de a eu a uea f ăsuae făă
alfcae, aaaul elecc de ăsuă ebue să ealzeze ua egaea odaă î a sealulu elecc fuza de aces aduco elecodac. U al aaa elecc de ăsuă, folos fecve eu ăsuaea uo eleee ale vbaţlo ecace de aslaţe ecle sau de oaţe, avâd cul de fucţoae dfe de al aaaelo elecce de ăsuă ezeae aeo, ese soboscoul. Fucţoaea acesu aaa se bazează e efecul soboscoc al ue succesu eodce de ulsu luoase, de duaă foae că ş cu fecveţa de eeţe eglablă dufce de ae, asua ochulu oeesc. Folosd aceasă succesue de ulsu luoase, geeae de laa soboscocă a aaaulu, eu luaea uu ee acca e ogaul de aşă cae ae vbaţ aoce ş eglâd fecveţa de eeţe a ulsulo, de la geeaoul eo al aaaulu, âă câd aceasa deve egală cu fecveţa vbaţlo, ochul oeesc vede aces ee ua câd ese lua, î aceeaş ozţe faţă de u sse de efeţă f, dec agea eeulu obl ese "îgheţaă". Î aces od, ăsuâd fecveţa geeaoulu eo al soboscoulu, se oae ăsua fecveţa uo vbaţ ecace aoce sau eodce. Dacă fecveţa de eeţe a ulsulo luoase dfeă foae uţ de cea a vbaţlo eeulu cosdea, ochul oeesc vede aces ee delasâdu-se foae le îe cele două ozţ eee ale şcă sale vbao, asfel îcâ, cu ajuoul soboscoulu, se oae ăsua ş aludea uo vbaţ aoce. Dacă aludea vbaţe se ăsua ese că, sub, e lâgă sobosco se foloseşe u dsozv oc de ăe a aglo vzuale (u cosco), evăzu cu u ocula cu ecul, avâd scala gadaă î coe..8. Măsuăo de vbaţ ş elucaea sealelo Sudul eoec al cooă dace a uo aş sau agegae, a uo sucu de ezseţă d cosucţ edlae sau dusale, ecu ş a uo salaţ cu dfee desaţ, se efecuează e baza uu odel ecac. Daoă caaceulu eodee elasc al defoaţlo legăulo eoae ş eeoae, ecu ş al defoaţlo alo eleee cooee d asfel de sucu ecace, şcăle saţoae, deeae e baza odelulu ecac, su sau vbao, sau su îsoţe de vbaţ ecace. Î cele a fecvee cazu îâle î alcaţ, u asfel de odel ecac ese cosu d odelul uu sse vba cu ase coceae, aflae î şcae de aslaţe ecle sau de oaţe, avâd u uă f de gade de lbeae. Cha ş o sucuă de co couu, e baza uo eode de dscezae, cu a f eoda eleeulu f, se oae educe la u asfel de odel ecac. Peu sudul eoec, î ă aoaţe, a cooă dace a ue sucu ecace, se cosdeă că odelul său ecac ese la, asfel îcâ ecuaţle dfeeţale ale şcă sale su lae cu coefceţ cosaţ. Peu efecuaea acesu sudu eoec, ebue să fe cuoscue foţele eeoae eubaoae ce acţoează asua aselo coceae, asse sseul de acţoae sau legăule eeoae, cae se a uesc ă de ae ale odelulu ecac, sau ale sucu ecace, ecu ş aae dac a sucu ecace, cae su eleeele acelo de eţe, de aozae vâscoasă ş de gdae sau de fleblae eu odelul său ecac. egle de şcae ale aselo coceae, ezulae î ua
sudulu eoec, se a uesc ă de eşe ale odelulu ecac cosdea sau ale sucu ecace coesuzăoae. Dacă se cuosc acese ă de eşe ş aae dac a ue sucu ecace, e baza odelulu său ecac ş a ecuaţlo de şcae coesuzăoae se o deea ăle sale de eşe. De aseeea, dacă se cuosc ăle de ae ş de eşe ale odelulu uu sse ecac vba, ecu ş o ae d aae să dac (de eelu eleeele ac de eţe, cae se o deea uşo eeeal sau calcule), se o evalua, cu u au gad de aoaţe, celalţ aae dac a sseulu, e baza sudulu eoec efecua. Aceasă ulă obleă se a ueşe defcaea uu sse ecac vba. Î fazele de oecae, eecuţe ş oologae ale uu ou oo, scoul ocăo ăsuăo de vbaţ ese deeaea eeeală a ălo de ae, de eşe ş/sau a aaelo dac eu o sucuă ecacă eală, duă cae se coaă ăle deeae eeeal cu cele ezulae d sudul eoec e baza odelulu ecac coesuzăo. Dacă, î ua aceso coaaţ, îe ăle calculae sau evaluae ţal î cadul sudulu eoec ş cele deeae eeeal se obţ dfeeţe a, ezulă că odelul ecac folos eu sudul eoec ese ecoesuzăo ş acesa ebue să fe odfca, âă câd acese dfeeţe ajug c, suae îe aue le adsble. Peu a se uea evalua sucua odelulu ecac al uu sse vba eal, ese ecesa ca sealele de eşe de la aaaele folose eu efecuaea ăsuăolo, cae, î geeal, su ooţoale cu valole oeae ale ălo de eşe ale sseulu vba, să fe aalzae ş elucae odal, asfel îcâ să se deee ăle caacesce ale odelulu ecac, coesuzăoae odulo sale auale de vbaţe, ş aue ulsaţ o, veco o ş aae dac odal. De aseeea, deoaece, î geeal, vbaţle uu sse ecac eal cu caace aleao, daoă elaăţlo ş joculo d sse, ecu ş daoă caaceulu aleao al foţelo eubaoae, ese ecesa ca acese seale de eşe de la aaaele de ăsua vbaţ să fe aalzae ş elucae sasc. Folosd aaae elecce de ăsua vbaţle, cu aduco acv sau asv, aalza ş elucaea sealelo se oae ealza e cale eleccă, cu ajuoul uo aaae elecce ş elecoce eu elucaea sealelo. Asfel, eu aalza odală a sealelo, u aaa elecc de elucae a sealelo fecve ulza ese aalzoul secal, cae coţe a ule fle elecce de badă de fecveţe foae îgusă, fuzâd secul de fecveţe al sealulu. Peu aalza sască a sealelo se folosesc fecve coelaoaele, cae fuzează fucţa de auocoelaţe a uu seal sau fucţa de ecoelaţe a două seale. Î eze, cu ajuoul calculaoaelo elecoce, se oae efecua o aalză coleă a sealelo, elucaea lo uecă. Peu aceasa, sealele de la eşea aaaelo elecce de ăsua vbaţ se îegsează e badă agecă, a ao, eedul uu coveco aalog uec, su oduse ca dae î eoa oeavă a calculaoulu. Î ul eloaă ue aş, a uu agaga, sau a uu ulaj d-o uae dusală, eodc se efecuează ăsuăo ale uo ă de eşe ale sseulu vba coesuzăo, ue ăsuăo de vel al vbaţlo, cae se coaă cu valole adsble sadadzae. Acese ăsuăo de vel al vbaţlo dau dcaţ eu evaluaea gadulu de uzuă al uo ogae de aşă ş fuzează eleee caave, cae se o coaa cu oele eu valo adsble, d ucul de
vedee al cofoulu oulu, al bue fucţoă a ulajulu, sau al sguaţe vd ezseţa la oboseală a uo ogae de aşă. Î geeal, ăsuăole de vel al vbaţlo se efecuează aâ î egule saţoae de fucţoae ale ulajulu, câ ş î uele egu azo. Î cazul uo aş sau ulaje colee, ăle de ae ale sseulu vba coesuzăo su a geu de ăsua. Dacă aces lucu ese osbl, eu ăsuaea foţelo sau a oeelo eubaoae se folosesc aduco de foţă, esecv aduco de oe de foţă, cae se ealzează, de obce, cu be esoece. Peu defcaea uu sse ecac vba, cae se oae educe la u odel ecac cu u sgu gad de lbeae, se oae folos dagaa leg de şcae, îegsaă e hâe, eu vbaţle lbee ale sseulu. D aceasă dagaă, cae ese o vbaţe aozaă, cuoscâd vezele u [/s] de delasae a hâe î ul îegsă ş ăsuâd, duă aa ulu, dsaţa τ [], coesuzăoae eu osclaţ colee, se oae deea seudoeoada a şcă. De aseeea, ăsuâd, duă cealală aă de coodoae, dsaţele [] (,, ) de la aa ulu âă la ucele de a sau de d dagaa leg de şcae, se oae deea deceeul logacδ. Acese ă deeae eeeal au valole: τ [s], δ l (.8) u Deoaece asa [g], sau oeul de eţe aal J [g ], faţă de aa de oaţe, eu odelul ecac cosdea, se oae deea uşo, eeeal sau calcule, cu valole dae de (.8) se o deea celalţ aae dac a sseulu, cae su: δ c [Ns/], ( ) π δ [N/] (.9) dacă odelul ecac ese de aslaţe, esecv: δ C J [N/s], ( ) J K π δ [N ] (.) dacă odelul ecac ese de oaţe. Î cazul î cae, d a doua elaţe (.8), eu deceeul logac se obţe c o valoae foae că, asfel îcâ δ <, 5 eu cae <,, ezulă că aozaea vâscoasă a sseulu ese foae că ş seudoulsaţa vbaţe aozae ese foae aoaă de ulsaţa oe a sseulu făă aozae. Î aces caz, cu o buă aoaţe, deceeul logac al vbaţe aozae se oae calcula cu elaţle: δ (.) Î od aalog, se oae efecua defcaea uu sse ecac vba cu u sgu gad de lbeae, dacă aozaea sseulu ese daă de foţa de fecae uscaă, avâd valoaea cosaă R [N], î evalul de de două oee cosecuve î cae se aulează veza, cosdeâd odelul ecac al sseulu de aslaţe. Î aces c c
caz, cu a elaţe (.8), se deeă eoada a vbaţlo lbee ş eaozae ale sseulu, cu ajuoul căea ezulă: π [s - π ], [N/] (.) ude s-a esuus valoaea ase [g] a sseulu cuoscuă. De aseeea, şd că valoaea absoluă a dfeeţe de două valo succesve de R a sau de, d dagaa leg de şcae, ese egală cu, valoaea foţe de fecae ezulă: π R (.) î cae s-a ţu seaa de a doua elaţe (.). Dacă << ş aoul adesoal ese a c decâ,5, aozaea uscaă a sseulu se oae echvala cu o aozae vâscoasă foae că, deceeul logac coesuzăo fd calcula cu a elaţe (.). D elaţle (.) ş (.) ezulă că, î-o seudueoadă a şcă, cusă îe oeele, î cae legea de şcae ae elogaţa aă sau ă, ş, î cae aceasa ae valoaea eeă de acelaş fel, aozaea uscaă a sseulu se oae echvala cu o aozae vâscoasă foae că, aâa câ deceeul logac coesuzăo δ ese a c decâ,5. Î cazul ue sucu ecace colee eu defcaea uu sse ecac vba echvale, cu u uă f de gade de lbeae, ese ecesa să se ăsoae vbaţle foţae ale sseulu, î aue uce coesuzăoae ale sucu, sub acţuea ue foţe eubaoae aoce cuoscue, avâd aludea ş ulsaţa eglable. Foţa eubaoae ese alcaă î-u uc ales coveabl al sucu, asfel îcâ să se oaă eca oae odule de vbaţe ale sseulu ecac vba echvale. Î geeal, eu obţeea ue foţe eubaoae aoce cu aludea ş fecveţa eglable îe aue le, se foloseşe u vbao elecodac, alea cu o esue eleccă aleavă de la u geeao de fecveţă vaablă, eedul uu alfcao de uee. Deoaece ueea uu asfel de vbao elecodac ese laă, avâd î geeal, o valoae cosaă cuoscuă e îegul doeu de fecveţe eu cae se efecuează ăsuăole, aludea vbaţe eubaoae dede aâ de fecveţa sa, câ ş de aludea vbaţe foţae a uculu său de alcaţe. Ca uae, ese ecesa ca foţa eubaoae să fe alcaă asua sucu eedul uu aduco de foţă, eu a ăsua aludea sa, a uul d ucele de ăsuă ale ălo de eşe ale sseulu vba ebue să fe ucul său de alcaţe, eu a ăsua aludea vbaţe acesua. Î aces fel, dacă sseul ecac vba echvale ae gade de lbeae, eu o auă fecveţă a foţe eubaoae se efecuează u se de ăsuăo cele caale de ăsuă, uul eu ăea de ae ş eu ăle de eşe ale sseulu vba. Î couae, se efecuează câ a ule seu de ăsuăo eu câ a 5
ule valo ale fecveţe foţe eubaoae d doeul de fecveţe eu cae se efecuează ăsuăole, coesuzăo doeulu î cae se aecază că se află oae ulsaţle o ale sseulu ecac vba echvale. Deeaea aludlo vbaţlo foţae ale sucu ecace î fucţe de fecveţă sau ulsaţa foţe eubaoae aoce se ueşe deeaea ăsusulu î fecveţă al sseulu vba echvale. Idefcaea acesu sse ecac vba se efecuează e baza aalze odale a ăsusulu său î fecveţă, esecv a sealelo de eşe de la aaaele elecce de ăsuă folose, coesuzăoae uuo seulo de ăsuăo, a eu aceasa, daoă voluulu ae de ăsuăo, elucaea sealelo ebue să se facă uec cu ajuoul jloacelo de calcul elecoc.. VIBRAŢII NEINIARE ŞI PARAMERICE.. Cosdeaţ geeale Î geeal, vbaţle sseelo ecace eale su elae, deoaece ecuaţle dfeeţale ale şcă, eu sudul dac acesoa, ezulă elae. Nua eu sudul î ă aoaţe al şcă uu sse ecac eal, se oae cosdea u odel ecac la, eu cae se sudază cle osclaţ ale sseulu î juul ue ozţ de echlbu sac. Î ule alcaţ ehce ale eoe vbaţlo ecace lae, aces sudu î ă aoaţe ese sufce eu sablea caaceulu geeal al şcă sseulu î ul uu eg saţoa de fucţoae, ecu ş eu deeaea egulo î cae aue ogae de aşă su suuse la solcă dace ae, asfel îcâ se o efecua calculele geeş de desoae ş de vefcae la solcă vaable ale aceso ogae de aşă. Esă, îsă, cazu, î cae aa aşa uele feoee de bfucaţe, cae su caacesce eu cooaea dacă a sseelo ecace elae. Î-u asfel de feoe de bfucaţe, auc câd o ăe ecacă age o valoae ccă, uele eleee ale şcă sseulu se schbă busc. Î geeal, o valoae ccă a ă ecace cosdeae, desae două doe de valo ale sale, uul î cae şcaea sseulu ese sablă, a celălal î cae aceasa ese sablă. Meoda cea a geeală, eu sablea ecuaţlo dfeeţale ale şcă uu sse ecac eal, ese cu ajuoul ecuaţlo lu agage de seţa a II-a. Peu 6
aceasa, dacă sseul ecac ae u uă f de gade de lbeae, a oae legăule eeoae su olooe, se calculează foţele geealzae eubaoae, eega cecă a sseulu, eega sa oeţală, ecu ş fucţa sa de dsae a eege, ţâd seaa de caacescle elasce eale, elae, ale eleeelo elasce, de aozăle sucuale, de foţele de fecae ş de ezseţă a edulu. Cu acese ă calculae, ecuaţle dfeeţale ale şcă sseulu ezulă elae, eâdu-se sub foă aceală: [ B ]{} [ C]{} [ D]{ } { Q} (.) î cae{ } ese acea coloaă a coodoaelo geealzae,{ Q } ese acea coloaă a foţelo geealzae eubaoae, [ B ] ese acea de eţe, [ C ] ese acea de aozae, a [ D ] ese acea de gdae. Peu sseul ela cosdea, eleeele ace de eţe o să dedă de coodoaele geealzae, a eleeele acelo [ C ] ş [ D ] ded, î geeal, de, de coodoaele geealzae ş de vezele geealzae. Î cele ce uează, î aces caol se va ue acce e sudul vbaţlo elae ale uu sse cu u sgu gad de lbeae. Meodele de sudu, ecu ş uele ezulae ale sudulu vbaţlo elae eu acese ssee, se o eaola î cazul sseelo ecace cu a ule gade de lbeae. Clasfcaea vbaţlo elae ale uu sse ecac cu u sgu gad de lbeae se face duă foa ecuaţe dfeeţale a şcă. Cosdeâd u asfel de sse ela, cae ae, î geeal, asă cosaă, dacă se educe la u odel ecac de aslaţe, sau oeul de eţe aal cosa, dacă se educe la u odel de oaţe, ecuaţa sa de şcae ş oae ăle eegece se eă ă secfce, aoae la asă, esecv la oeul de eţe aal faţă de aa de oaţe. a) Vbaţ lbee, elae, eu cae ecuaţa secfcă de şcae ese de foa: f (, ) (.) ude f (, ) ese o fucţe elaă de coodoaa geealzaă ş de veza geealzaă. Dacă f ese o fucţe elaă, dezâd ua de, sseul ecac coesuzăo ese cosevav, avâd ecuaţa secfcă de şcae de foa: f ( ) (.) De aseeea, se o îâl cazu î cae ecuaţa secfcă de şcae (.) ae ua d foele aculae: f ( ) f (, ) ε (.) (.5) î caeε ş su cosae ozve, a ε fd faco de aozae vâscoasă eu u sse la, a fd ulsaţe oe eu u sse la. Sseul ecac cu ecuaţa de şcae (.) ae ua caacesca elască elaă, a cel cu ecuaţa de şcae (.5) ae ua caacesca de aozae elaă. 7
b) Vbaţ foţae elae, eu cae ecuaţa secfcă de şcae ese de foa: f (,, ) P( ) (.6) î cae P () ese foţa geealzaă eubaoae secfcă, cu desue de acceleaţe geealzaă, fd aocă sau eodcă î. Î uele cazu, ecuaţa (.6) se eă sub o ală foă, elcaea eelo la, ş aue: ε f ( μ,, ) P( ) (.7) î cae oţ ee ela su cuş î fucţa f. Dacă aaeul cosa μ ae o valoae că, se sue că sseul ecac coesuzăo ese slab ela, a μ se ueşe aaeu c. Dacă u aae elc î ebul sâg al ecuaţe (.7), c î fucţa f, se sue că sseul ecac coesuzăo ae vbaţ foţae eaozae elae. c) Auovbaţ sau vbaţ auoecae o aăea î ssee ecace cu caacesca de aozae elaă, la cae fucţa elaă f d ecuaţa (.5) se oae ea sub ua d foele: f h( ), f h( ), f h(, ) (.8) ude h eeză u faco de aozae vaabl. Aşa cu se va aăa î uele d aagafele uăoae, î aue evale de ale şcă sseulu, fucţa h oae avea valo egave ş, î acele evale de, aludle vbaţlo lbee ale sseulu au valo cescăoae î. Rezulă că, î acese evale de, lucul ecac al foţe de aozae ese ozv, a foţa de aozae fd eoaă sseulu, vbaţle coesuzăoae su auoîeţue sau auoecae. d) Vboecuţ sau şcă vboecuae o să aaă î sseele ecace cu jocu sau cu lao a şcă, ue ssee vboecuae, î ul şcă acesoa, avâd loc coc eeae. Cha dacă, îe două coc cosecuve, ecuaţle de şcae ale uu sse vboecua su lae cu coefceţ cosaţ, î asablu u asfel de sse ecac ese ela, daoă caaceulu ofud ela ş dscouu al coclo. Esă ueoase alcaţ ehce, î cae şcăle vboecuae eodce ale uu sse vboecua su folose î aue ocese ehologce. e) Vbaţle aaece ale uu sse ecac su lae, da coefceţ d ecuaţle dfeeţale ale şcă sale, dec aae dac a sseulu, su vaabl î, avâd, î geeal, o vaaţe eodcă cu aceeaş eoadă. Î cele a fecvee cazu îâle î alcaţ, ecuaţa secfcă de şcae a uu sse ecac cu u sgu gad de lbeae, cae ae vbaţ aaece, se eă sub foa geeală: Q() P() (.9) 8
Îodeaua, cu ajuoul ue asfoă de vaablă, ecuaţa (.9) se oae aduce la foa: P() (.) uă ecuaţa lu Hll. Peu a oduce vaaţa eodcă î a aaelo dac P ş Q d ecuaţa geeală (.9), ese ecesa ca, d eeo, să se oducă eege ecacă î sse, -o foţă alcaă -o legăuă gdă, aceasa cosud aşa ua ecaţe aaecă. O oeae caacescă a ecuaţlo dfeeţale ale şcă uu sse ecac ela, cosă î faul că, acesoa u l se oae alca cul suaue. Aceasa îseaă că, dacă se cuosc două sau a ule soluţ ale ecuaţlo dfeeţale elae, o cobaţe laă a aceso soluţ aculae u ese soluţe a ecuaţlo esecve. Ca uae, eu sudul şcă uu sse ecac ela, egaea ecuaţlo dfeeţale ale şcă sale ebue să se efecueze od de la codţle ţale ale şcă, asfel îcâ ezulă că, se deosebe de sseele lae, oae eleeele şcă sale ded de acese codţ ţale. De aseeea, î cazul vbaţlo elae, u se oae ea o soluţe geeală eu vbaţle foţae ale sseulu ca suaueea uo cooee azo ş foţae, aşa cu se uea face la vbaţle lae ale uu sse ecac. Î geeal, soluţle ecuaţlo dfeeţale elae u se o ea cu ajuoul uo fucţ aalce de o vaablă deedeă eală (ul), asfel îcâ, eu sudul şcă uu sse ela, ese ecesa să se folosească eode aoave eu deeaea aceso soluţ. O ală obleă oaă eu sseele ecace elae ese sudul sablăţ şcălo acesoa, cae u îodeaua se oae efecua î ă aoaţe, lazaea ecuaţlo dfeeţale î eubaţ. Î cazul vbaţlo aaece, deş ecuaţle dfeeţale ale şcă su lae ş, eu acesea, se oae alca cul suaue, ese foae dfcl de deea soluţ aculae ale ecuaţlo dfeeţale ş, î geeal, acese soluţ aculae u se o ea cu ajuoul fucţlo aalce cuoscue. Ca uae, ca ş î cazul vbaţlo elae, eu sudul şcălo uu sse ecac, cae ae vbaţ aaece, se folosesc eode aoave eu deeaea soluţlo ecuaţlo dfeeţale ale şcă. Î cele ce uează, se eză uele eode aoave eu deeaea soluţlo ecuaţlo dfeeţale ale şcă, î cazul vbaţlo elae ş aaece. Se ue acce e eodele aalce, cel a fecve folose î alcaţ, cae, î geeal, au caace eav, deeâdu-se aoaţ succesve ale soluţe eace. Peu o buă aoae a soluţe eace, î geeal, ese ecesa să se calculeze câ a ule aoaţ succesve ale sale, asfel îcâ, daoă voluulu ae de calcul, cha ş î cazul sseelo elae cu u sgu gad de lbeae, se folosesc calculaoaele elecoce. Peu aceasa, e baza eode aoave folose, se elaboează u algo de calcul ş se îoceşe u oga î-u lbaj de ogaae accesbl calculaoulu... Sudul î laul fazelo al vbaţlo lbee elae 9
Plaul fazelo asoca uu sse ecac cu u sgu gad de lbeae ese laul de coodoae caezee Oy, î cae coodoaele uu uc cue, u uc eezeav al şcă sseulu, su:, y (.) ude ese o cosaă ozvă aleasă coveabl, avâd desue de ulsaţe. Î ul şcă sseulu ecac, ucul eezeav al şcă sale desce î laul fazelo o cubă laă, uă aecoe de fază. Veza V y j a uculu eezeav, cae ese ageă la aecoa de fază, avâd decţa daă de coefceul ughula al agee dy d, deeă sesul î cae aceasa acuge aecoa de fază, î ul şcă sseulu. Deoaece V y, ezulă că î selaul sueo al laulu fazelo, î cae y >, ucul eezeav acuge aecoa de fază îodeaua de la sâga se deaa, î sesul ozv al ae O, a î selaul feo, î cae y <, acesa se delasează de la deaa se sâga, î sesul egav al ae O. De aseeea, deoaece dy d Vy V y ş eu y se obţe dy d ±, dacă, ezulă că aecoa de fază esecează oogoal aa O, î ucele sale î cae u se aulează, sula cu veza geealzaă, acceleaţa geealzaă a sseulu. Cuoscâd a ule aeco de fază, deeae î dfee codţ ţale ale şcă sseulu, se oae aeca caaceul geeal al şcă sale ş se o deea uele oeăţ oae ale acese şcă, cha dacă legle de şcae ale sseulu, eu codţle ţale cosdeae, u su cuoscue. Peu sudul î laul fazelo al vbaţlo lbee elae ale uu sse ecac cu u sgu gad de lbeae, se cosdeă ecuaţa geeală de şcae (.), î cae se efecuează subsuţle dae de (.), asfel îcâ ezulă: d d dy y, f (, y) d d d (.) Elâd ul îe cele două ecuaţ (.), se obţe: dy f (, y) (.) d y cae ese ecuaţa dfeeţală de odul îâ a aecolo de fază. Dacă ecuaţa (.) se oae ega, se obţ cubele egale, cae su aecole de fază, sub foa lcă: g (, y, C) (.) ude C ese o cosaă de egae, deeaă d codţle ţale cosdeae eu fecae aecoe de fază. Deoaece ebul sâg al ecuaţe dfeeţale (.) eeză coefceul ughula al agee la ocae d aecole de fază dae de (.), d (.) ezulă că acesa ese deea î ocae d ucele d laul fazelo, ue uce
odae, cu eceţa ucelo de e aa O, ue uce sgulae, eu cae se aulează aâ uoul, câ ş uăăoul d ebul de al ecuaţe (.). Ca uae, u uc sgula d laul fazelo ae coodoaele χ χ ş y ce vefcă codţle: χ y, f ( χ, ) (.5) χ χ dec ozţa coesuzăoae ese o ozţe de echlbu sac a sseulu cosdea. Î-adevă, dacă o aecoe de fază ece aces uc sgula, î oeul de î cae ucul eezeav age ucul sgula, veza χ χ geealzaă y a sseulu ese ulă, a acceleaţa sa geealzaă ( χ,) χ f ezulă, de aseeea, ulă. Î cofoae cu eoea lu Cauchy, -u uc oda ece o sguă aecoe de fază. Rezulă că aecole de fază u se o eseca î uce odae, esâd osblaea ca ele să se eseceze î uce sgulae d laul fazelo, î cae coefceul ughula al agee ese edeea. Dacă, e o aecoe de fază ce ece -u uc sgula, sesul de delasae a uculu eezeav ese se ucul sgula, ezulă că ozţa de echlbu sac coesuzăoae a sseulu, asă câd ucul eezeav al şcă ajuge î ucul sgula, ese sablă; î caz coa, aceasa ese sablă. Dacă, î juul uu uc sgula, o aecoe de fază esecează de foae ule o aa O î uce odae, suae, succesv, de o ae ş de cealală ae faţă de ucul sgula, ezulă că şcaea sseulu ese vbaoe, da eeodcă, a sablaea acese şcă se aecază duă cu sesul de şcae al uculu eezeav e aecoa de fază deeă o aoee sau o îdeăae a acesua de ucul sgula. Dacă fecae d aecole de fază d juul uu uc sgula esecează cel ul o daă aa O î-u uc oda, şcăle coesuzăoae ale sseulu su evbao, oae fd sable, dacă ucul eezeav se aoe de ucul sgula e ocae d aecole de fază, ş sable î ses coa. Peu ca u sse ecac, ela, cu u sgu gad de lbeae, să abe şcaea daă de o vbaţe eodcă, î aces caz şcaea fd ş sablă, ese ecesa ca oae aecole de fază d juul uculu sgula să fe cube îchse, fecae de ele esecâd aa O î două uce odae, suae de o ae ş de cealală ae faţă de ucul sgula. Î cazul vbaţlo elae lbee ale aceso ssee, se a oae îâl suaţa î cae aecole de fază d juul uu uc sgula, de foa uo sale, se aoe asoc de o cubă îchsă d laul fazelo, uă cclu lă sabl. Asfel de suaţ se îâlesc fecve la sseele cu caacesca de aozae elaă, cclul lă sabl sau sesabl (la cae aecole de fază se aoe de cclul lă ua d eoul său sau ua d eeoul său) deeâd aaţa auovbaţlo... Puce sgulae ş aeco de fază eu ssee lae
Î aces aagaf se eză foa aecolo de fază d juul uculu sgula eu u sse ecac la cu u sgu gad de lbeae, avâd vbaţ lbee, deoaece aeco de fază de foă foae aoaă se egăsesc î juul ucelo sgulae, î cazul vbaţlo lbee ale uo ssee ecace elae. Aceasă obsevaţe ezulă ş d faul că cle osclaţ ale uu sse ecac ela, î juul ue ozţ de echlbu sac, se oae suda, cu o buă aoaţe, e baza uu odel ecac la. U sse ecac la cu u sgu gad de lbeae ae o sguă ozţe de echlbu sac, eu cae, dec, î laul fazelo î coesude u sgu uc sgula, avâd coodoaele χ y χ. Peu eezeaea aecolo de fază, se deeă legle de şcae ale sseulu, aşa cu s-a aăa î caolul, de foa (, C, C ), ude C ş C su cosae de egae. Folosd subsuţle (.), î cae se cosdeă egal cu ulsaţa oe, a ao elâd ul îe ş y, se obţ ecuaţle aecolo de fază sub foa: g (, y, C, C ) (.6) cae, îodeaua, se o aduce la foa (.). Î cele ce uează, se eză acese aeco de fază eu ucele sgulae cae o să aaă î laul fazelo eu u sse la. a) Î cazul vbaţlo lbee ş eaozae ale uu sse la, ecuaţa secfcă de şcae ese: (.7) cae ae soluţa geeală aocă, de foa C cos ( γ ). Ecuaţle aecolo de fază ezulă de foa (.), fd cecu cu ceul î ucul sgula ş de ază C (fg...). Pucul sgula, î aces caz, se ueşe ceu ş ese sabl. Fg... b) Dacă u sse la a avea ecuaţa secfcă de şcae de foa: (.8) soluţa geeală se oae ea, cu ajuoul ue fucţ hebolce, sub foa C ch γ. Ecuaţle aecolo de fază ezulă o de foa (.), fd ( ) hebole de ecuaţ y C (fg...). Peu C se obţ ca aeco de fază două dee, ş aue a ş a doua bsecoae a laulu fazelo, cae se uesc
seaaoae. oae şcăle sseulu, coesuzăoae uuo aecolo de fază, su evbao. Fg... Pucul sgula, î aces caz, se ueşe şea ş ese sabl. Ecuaţ dfeeţale de foa (.8) o să aaă ua î aue evale de ale şcă uu sse ela. c) Sseul la cu ecuaţa secfcă de şcae de foa: ε (.9) î cae ε, se şe că ae şcă evbao, legle de şcae eâdu-se cu ajuoul a două eoeţale descescăoae î. Peu ε >, se deeă soluţa geeală a ecuaţe (.9) ş, ocedâd aşa cu s-a aăa la îceuul aagafulu, se obţ ecuaţle aecolo de fază sub foa: λ y C λ λ y C λ (.) î cae λ ş λ su valole absolue ale ădăclo ecuaţe caacesce asocaă ecuaţe (.9). Ecuaţle (.) su de foa (.6), da se o aduce uşo la foa (.). Îe aecole de fază eae de (.), o ae su dee ce ebue să eacă ucul sgula, acesea fd seaae de celelale aeco de două seaaoae, eezeae î fg..., l a goase. Fg... Ecuaţle aalce ale seaaoaelo se obţ uâd codţa ca ele să abe coefceul ughula egal cu dy d d ecuaţa de foa (.) a aecolo de fază. D aceasă codţe, ecuaţle seaaoaelo ezulă:
( ε ± ε ) y (.) Î aces caz, ucul sgula se ueşe od sabl. Dacă ε, ucul sgula ese o u od sabl. Ecuaţle aecolo de fază ş ale seaaoaelo, î aces caz, ezulă: C l, y ( ± ) (.) y y ( ) d) Vbaţle lae ş cu aozae vâscoasă ale uu sse la su descse de ecuaţa (.9), î cae ε <. egle de şcae su vbaţ aozae cu facoul de aozae ε ş cu seudoulsaţa ε. Pocedâd aşa cu s-a aăa la îceuul aagafulu, ecuaţle aecolo de fază se o ea sub foa: ( ) y ε P y ε y gc l (.) ε cae su ascedee. Reezeâd, î laul fazelo, gafcele ecuaţle lce (.) uce, eu dfee valo ale cosae adesoale C, se obţ aecole de fază sub foa uo sale (fg...). Pucul sgula coesuzăo se ueşe foca sabl. Fg... e) Dacă u sse la a avea ecuaţa secfcă de şcae de foa: ε (.) î cae ε ş su cosae ozve ş ε, legle de şcae ş aecole de fază se deeă ca ş î cazul c), îlocud î ecuaţle (.) sau (.) e ε cu ε. aecole de fază ezulă de aceeaş foă cu cele d fg..., da au ală ozţe î laul fazelo faţă de ucul sgula, a ucul eezeav se îdeăează de ucul sgula e ocae d ele (fg..5.). Aces uc sgula se ueşe uc sabl. Fg..5.
f) Vbaţle uu sse la, descse de ecuaţa (.), î cae ε <, se sudază ca ş î cazul d). egea de şcae se obţe de foa: ε C e cos( γ ) (.5) î caec ş γ su cosae de egae. egea de şcae (.5) eeză o vbaţe eeodcă ş sablă, odulaă î alude -o fucţe eoeţală cescăoae î. Asfel de şcă u se o obţe eu ssee lae, ele o aăea î ssee elae, avâd caacesca de aozae elaă. Aceasă obsevaţe să la baza elcă aaţe auovbaţlo la uele ssee ecace eale, îâle î alcaţ. Pe baza leg de şcae (.5), se obţe ecuaţa aecolo de fază, cae ezulă de foa (.) cu ε î loc de ε. Ca uae, aecole de fază au foa o a uo sale, a ucul sgula se ueşe foca sabl (fg..6.) Fg..6... Meoda eacă eu sudul vbaţlo elae eu ssee cosevave Se cosdeă u sse ecac ela cu u sgu gad de lbeae, a cău ecuaţe secfcă de şcae ese de foa (.). Îulţd aceasă ecuaţe cu d ş egâd de la oeul ţal al şcă âă la u oe oaecae, se obţe: Q f ( ) d E cos. (.6) ude ul ee eeză eega cecă secfcă a sseulu, al dolea ee ese eega sa oeţală secfcă, a E ese eega ecacă secfcă ţală, aă sseulu. Deoaece ecuaţa (.6) eeză eoea de cosevae a eege ecace eu sseul ecac cosdea, ezulă că acesa ese cosevav. Noâd cu E ( ) eega oeţală secfcă a sseulu, d ecuaţa (.6) se obţe: ± E E ± F (.7) [ ()] ( ) Ţâd seaa de (.), ezulă că, e baza ecuaţe (.7), se o cosu aecole de fază eu sseul cosdea, cae su de foa (.), olul cosae de egae fd îdel de E. Ca ş d aalza aceso aeco de fază, e baza ecuaţe (.7) se o sabl uele oeăţ ale şcă sseulu, cae ded de aua ş valole ădăclo ecuaţe F ( ). Dacă deeaea aalcă a aceso 5
ădăc ese dfclă, ele se o obţe uşo gafc, esecâd dagaa fucţe E ( ) E. Cu dagaa fucţe ( ) cu deaa E eode gafce sau gafo aalce. E se o cosu ş aecole de fază, a) Dacă ecuaţa ( ) ses ş veza geealzaă u se aulează. D (.7) ezulă ( ) > F u ae ădăc eale, sseul ae şcă î acelaş F o ul şcă sseulu. Î aces caz, şcaea sseulu u ese vbaoe. b) Dacă ese o ădăcă ullă a ecuaţe F ( ), câd sseul ajuge î ozţa, acesa ăâe î eaus. Î-adevă, deoaece F ( ), veza geealzaă coesuzăoae ese ulă, a fd ădăcă ullă, ese ecesa să fe îdele codţle: df( ) de ( ) f ( ) (.8) d d asfel îcâ, d ecuaţa (.), ezulă că ş acceleaţa sa geealzaă ese ulă. Deoaece a doua eese d (.8) ese ulă, a ezulă că eu eega oeţală a sseulu ae o valoae eeă, dec aceasa ese o ozţe de echlbu sac a sseulu, î geeal, sablă. Ş, î aces caz, şcaea sseulu ese evbaoe. c) Peu ca şcaea sseulu să fe vbaoe, î aces caz, ea fd ş eodcă, ese ecesa ca eega ecacă ţală să abe o valoae asfel îcâ să e sseulu şcaea îe două ozţ ş, cae ebue să fe ădăc eale, sle ş dsce ale ecuaţe F ( ). Î-adevă, câd sseul ajuge î ozţa, cofo ecuaţe (.7) veza sa geealzaă se aulează, sseul îş schbă sesul de şcae, a câd ajuge î ozţa, d ou se aulează veza geealzaă ş sseul eve î ozţa. Î couae, oae eleeele şcă sseulu se eeă eodc î. Peu lusaea aceso oeăţ ale şcă sseulu cosdea, î fg..7. s-au eezea aecole de fază coesuzăoae şcălo uu edul aeac de luge l, cae ae ecuaţa dfeeţală secfcă de şcae elaă, de foa (.). 6
Fg..7. Eega oeţală secfcă a edululu aeac ae eesa: E ( ) s d ( cos) (.9) ude g l ese ulsaţa oe a clo osclaţ ale edululu. Cu eesa (.9) îlocuă î (.7), se aalzează cazule de şcae ale edululu aeac, î χ fucţe de valoaea adesoală E E a eege ecace secfce ţale. Se egăsesc, asfel, oeăţle ezeae a sus, cae ezulă ş d aalza aecolo de fază d fg..7. De aseeea, d fg..7. se obsevă că, î juul ucelo sgulae, aecole de fază au foe foae aoae cu cele ale ucelo sgulae de ceu ş şea de la sseele ecace lae. Reved la ecuaţa geeală (.7), aceasa ae vaablele seaable ş se a oae ega odaă, sub foa: d (.) ± F( ) ude deeă ozţa ţală a sseulu. Dacă fucţa cae se obţe d (.) ese vesablă, se deeă legea de şcae a sseulu ( ). De aseeea, dacă su îdele codţle ca şcaea sseulu să fe vbaoe, eae î oeaea c), cosdeâd >, se oae deea eoada şcă: d d d (.) F ( ) F( ) F( ) Î eesa daă de elaţa (.7) a fucţe F ( ), cae eeză dublul eege cece secfce a sseulu, aa codţle ţale ale şcă E. De aseeea, ş se deeă ca ădăc ale ecuaţe F ( ), dec ş acesea ded de codţle ţale. Ca uae, d (.) ezulă că, se deosebe de sseele lae, î cazul sseelo elae cosevave eoada vbaţlo lbee dede de codţle ţale. Cosdeâd aludea A a aceso vbaţ, se acceă că eoada a vbaţlo lbee ş ulsaţa fudaeală coesuzăoae π su fucţ de aceasă alude. Î cazul sseelo ecace elae de ul cosdea, îâle î alcaţ, egalele d (.) ş (.) u se o efecua cu ajuoul fucţlo aalce, coducâd, î geeal, la egale elce. Ca uae, deş eoda de sudu ezeaă se ueşe eacă, eu efecuaea aceso egale se folosesc eode uece de egae, cae esuu u au gad de aoae. 7
.5. Meoda lază echvalee Meoda lază echvalee se foloseşe o la sudul vbaţlo lbee ale sseelo elae cosevave. Î geeal, lazae echvaleă a uu sse ela se îţelege deeaea aaelo dac a uu sse la, d codţa ca acesa să abe o cooae dacă câ a aoaă de cea a sseulu ela. Desgu, ezolvaea acese oblee eu u sse ela cole u ese osblă, daoă cooă dace oal dfeă a acesua faţă de cooaea dacă a ocău sse la. Cha ş î cazul uu sse ela cosevav, cae ae vbaţ lbee, lazaea sa echvaleă u dă ezulae sasfăcăoae î oae cazule, aăâd dfeeţe a îe cooaea sa dacă ş cea a sseulu laza. Î acese cazu, se folosesc eode de lazae e oţu a sseulu ela cosdea. Î cazul sseulu ela cu ecuaţa de şcae (.), oblea lază sale echvalee cosă î deeaea ulsaţe o a sseulu la echvale. Ua d eodele de lazae echvaleă se bazează e codţa ca eegle oeţale ale celo două ssee echvalee, eu aceeaş defoaţe a eleeelo elasce A, să fe egale. Deoaece foţa elască secfcă a sseulu la ese, aceasă codţe coduce la ecuaţa: A A f ( ) d d A (.) de ude ezulă: A A ( ) f d (.) De aseeea, eu lazaea e oţu a sseulu ela cosdea, ulsaţa oe, e oţuea a caacesc elasce elae ( N ), se obţe d elaţa: A f ( ) d (.) A ( ) A ( ) Rezulaele a bue se obţ cu eoda lu Blauee de lazae oă echvaleă. Cofo acese eode, eu lazaea echvaleă e oţuea de la âă la A, se calculează o eoae e î ul şcă celo două ssee de la âă la A, avâd aceeaş duaă, eaă de dfeeţa de foţele elasce secfce ale celo două ssee, sub foa: e f (.5) ( ) Se ue codţa ca eoaea ăacă ede coesuzăoae, cae ese: 8
e d [ f () ] d (.6) să fe ă. Cosdeâd ca aaeu de alzae a eese (.6) valoaea căuaă, d codţa de a acese ees ezulă succesv: e [ ( )] e d e d f d (.7) asfel îcâ se obţe: f ( ) d d (.8) Peu efecuaea egalelo d (.8), a f ecesa să se cuoască legle de şcae ale abelo ssee, cae u su dece. Cosdeâd că sseul ela ae o lege de şcae foae aoaă de cea a sseulu la, cae ese de foa: π As, efecuâd egalele eu, d (.8) ezulă: s f ( As)d A (.9).6. Meoda vaaţe lee a alud ş a faze ţale Aceasă eodă se oae alca eu sudul vbaţlo lbee elae. Î ul âd, fucţa elaă f, d ecuaţa de şcae de foa (.), se dezvolă î see de ue, luâdu-se î cosdeae ua ee la, asfel îcâ se obţe: f f f (, ) f (,) μf (, ) (.) ude μ f ese esul acese dezvolă î see, a facoul cosa μ se cosdeă u aaeu c. Folosd oaţle: f f, ε (.) 9
f, deoaece ozţa se cosdeă o ozţe de echlbu sac a sseulu, cu eesa (.), ecuaţa (.) deve: ε μf, (.) ş şd că (,) ( ) Î al dolea âd, eu o ă aoaţe a soluţe eace a ecuaţe (.), sau a ecuaţe (.), se cosdeă ε. Î aceasă codţe, dacă μ soluţa geeală a ecuaţe (.) a f: Acos( ϕ) Acosψ (.) ude A ş ϕ su cosae de egae. Deoaece μ, se cosdeă că aludea A ş faza ţală ϕ su fucţ de, cae se deeă d codţa ca soluţa (.) să vefce ecuaţa dfeeţală (.). Peu aceasa, se calculează veza geealzaă: A cosψ A ϕ sψ A sψ (.) ş se ue codţa suleaă: A cos ψ A ϕ sψ (.5) asfel îcâ veza geealzaă deve: A sψ (.6) Î couae, d (.6), se calculează acceleaţa geealzaă: A sψ A ϕ cosψ A cosψ (.7) cae se îlocueşe î (.), îeuă cu (.) ş (.6). Duă educeea eelo aseeea, se obţe: A sψ A ϕ cosψ μf ( Acosψ, A sψ ) (.8) Î fal, d (.5) ş (.8), ezulă: sψ A μ f( Acosψ, A sψ ) cosψ A μ f( Acosψ, A sψ ) A (.9) Sseul de ecuaţ dfeeţale (.9) ese, î geeal, geu de ega. Se obsevă că, dacă μ, A ş ϕ su ule, adcă A ş ϕ su cosae. Se oae esuue că, dacă aaeul μ ese sufce de c, fucţle de A ş ϕ vaază foae le, π asfel îcâ ele să fe cosae î-o eoadă. Ca uae, î locul valolo saaee ale devaelo A ş ϕ, se o cosdea valole lo ed î-o eoadă, adcă: π A μ sψ f( Acosψ, A sψ )d π 5
π μ ϕ cosψ f( Acosψ, A sψ )d πa (.5) Cu schbaea de vaablă τ ş îlocud ψ τ ϕ, eesle (.5) dev: μ π A ( τ ϕ) f [ A ( τ ϕ) A ( τ ϕ) ] dτ π s cos, s μ π ϕ ( τ ϕ) f [ A ( τ ϕ) A ( τ ϕ) ] dτ π A cos cos, s (.5) Deoaece, î egalele d (.5), A ş ϕ su cosae, acese egale se o efecua a uşo, asfel îcâ, duă efecuaea lo, se obţe u sse de două ecuaţ dfeeţale de odul îâ, de foa: A F ( A,ϕ ), ϕ F (,ϕ ) A (.5) d cae se deeă fucţle ecuoscue A ( ) ş ϕ ( ). Cele două cosae de egae cae aa se deeă d codţle ţale ale şcă sseulu, use eu soluţa (.), î cae se îlocuesc eesle A ( ) ş ϕ ( ) obţue d (.5). Se obsevă că, î geeal, şcaea sseulu ezulă ca o vbaţe odulaă aâ î alude, câ ş î fecveţă, a seudoulsaţa saaee ϕ ψ ϕ dede de codţle ţale. Peu o a buă aoaţe a soluţe eace a ecuaţe (.), se a î cosdeae ş facoul de aozae ε, a soluţa geeală a acese ecuaţ eu μ, se eă sub foa: ε Ae cos( ϕ) (.5) ude ε, > ε, A ş ϕ fd cosae de egae. Peu μ, î od aalog, se cosdeă A ş ϕ ca fucţ de le vaable, cae se deeă la fel, d codţa ca (.5) să vefce ecuaţa dfeeţală (.). Î locul elaţlo (.9) se obţe: sψ ε ε ε A μ [ cosψ, ( ε cosψ sψ )] e f Ae Ae cosψ ε ε ε ϕ μ [ cosψ, ( ε cosψ sψ )] e f Ae Ae A (.5) ajugâdu-se, î od aalog, la u sse de două ecuaţ dfeeţale de odul îâ de foa (.5). Aoaţ ş a bue se o obţe, deeâd aoaţ succesve ale soluţe eace a ecuaţe (.), cosdeâd, d ou, cosaele de egae ale sseulu (.5) ca fucţ le vaable de..7. Meoda aaeulu c 5
5 Meoda aaeulu c ese o eodă geeală, foae fecve ulzaă î alcaţ, eu sudul vbaţlo elae, aâ lbee, câ ş foţae. Aceasa ese o eodă eavă, cu ajuoul e deeâdu-se aoaţ succesve ale soluţe eace a ecuaţlo dfeeţale ale şcă uu sse ecac ela. Peu ezeaea eode, se cosdeă vbaţle lbee ale uu sse ecac ela cu u sgu gad de lbeae, avâd ecuaţa secfcă de şcae de foa (.), cae, îodeaua, se oae aduce la foa (.). Cosdeâd μ ca aaeu c, soluţa ecuaţe dfeeţale (.) se a sub foa ue se îeg de ue ele acesu aaeu, coefceţ fd fucţ de ecuoscue, cae se deeă d codţa ca aceasă soluţe să vefce ecuaţa dfeeţală. Ca uae, soluţa cosdeaă ese de foa: () () ( ) μ μ (.55) î cae ese a aoaţe a soluţe eace sau soluţa geeaoae, a,,, su aoaţle sale succesve, de odul do, e, ec. Iuâd codţa ca (.55) să vefce ecuaţa dfeeţală (.), se obţe: ( ) ( ) ( ), f μ μ μ μ μ μ μ μ ε μ μ (.56) Deoaece μ ese aaeu c, fucţa elaă f se oae dezvola î see de ue, duă uele lu μ, sub foa: ( )!, f f f f f f f μ μ (.57) Îlocud (.57) î (.56) ş efecuâd defcaea coefceţlo ecuaţe cae ezulă duă uele aaeulu μ, se obţ ecuaţ dfeeţale lae cu coefceţ cosaţ, de odul do, fecae d ele avâd o sguă fucţe de ecuoscuă, eaă de ua d aoaţle căuae ale soluţe eace, cae se egează succesv. Acese ecuaţ dfeeţale ezulă de foa: ε ( ) a ε ( ) a ε (.58)
ude a () su coefceţ lu μ d (.57), cae su cuoscuţ ca fucţ de, î ua egă ecuaţlo dfeeţale aeoae. Cosaele de egae cae ezulă, î ua egă aceso ecuaţ dfeeţale, se deeă d codţle ţale ale şcă eu soluţa geeaoae, a eu oae celelale aoaţ succesve se u codţ ţale ule. Dacă î ecuaţa (.), d a doua elaţe (.), se obţe ε, d a ecuaţe (.58) ezulă soluţa geeaoae de foa (.). Î aces caz, î ebul de al cele de a doua ecuaţ dfeeţale d (.58) aa ee ce coduc la ezoaţa sseulu ecac, uţ ee secula sau de ezoaţă. Da la sseele elae u ese osblă aaţa feoeulu de ezoaţă c dacă acesea au vbaţ foţae, asfel îcâ aceş ee secula ebue să fe elaţ. Peu aceasa, se ţe seaa de faul că eoada sau seudoeoada vbaţlo lbee ale sseelo elae ded de codţle ţale ale şcă, dec de aludea aă A a aceso vbaţ. Ca uae, ăaul ulsaţe saaee sau al seudoulsaţe coesuzăoae se oae dezvola î see de ue îeg ale aaeulu c μ, sub foa: μb ( A) μ b ( A) (.59) î cae coefceţ b a lu μ,(,, ) ebue să fe deeaţ ca fucţ de aludea A, asfel îcâ să se ele ee secula. Îlocud î ecuaţa (.), î cae ε, valoaea d (.59), î locul ecuaţlo (.58) se obţ ecuaţle: b ( A) a ( ) b ( A) b ( A) a( ) (.6) d cae se deeă succesv aceş coefceţ, duă cae ezulă d (.59). Covegeţa eode aaeulu c, dec uăul de aoaţ succesve ecesae eu a obţe o ecze acceablă de calcul, dede foae ul de valoaea uecă a aaeulu μ. Î geeal, eoda ese covegeă dacă valoaea μf( A,) adesoală a lu μ, cae se oae ea μ, ese subuaă. A Peu ca eoda să fe ad covegeă, dec eu a avea evoe de u uă c de aoaţ succesve, ese ecesa ca aceasă valoae adesoală μ să fe ul a că decâ uaea. Dacă aceasă codţe u ese îdelă, se ceează afcal u aaeu c, ulzâd î ecuaţa dfeeţală (.) o schbae de vaablă, î geeal, sub ua d foele: λ τ, () u( ) e, ( ) λu( ) (.6) ude λ ese o cosaă ozvă, aleasă adecva..8. Meoda balaţe aoce 5
Aceasă eodă se oae ulza, dacă şcaea uu sse ecac ela ese foae aoaă de o vbaţe eodcă, a căe eoadă ese cuoscuă. Meoda balaţe aoce se bazează e obsevaţa că, dacă şcaea uu sse ecac cu u sgu gad de lbeae ese o vbaţe eodcă, aceasa se oae descoue î see Foue, da, î locul see fe, se cosdeă u uă f de ee, îceâd cu aoca fudaeală de ulsaţe π. Cel a fecve, eoda balaţe aoce se foloseşe eu sudul vbaţlo foţae ale sseelo elae. Cosdeâd u asfel de sse ecac, de eelu, cu ecuaţa secfcă de şcae de foa geeală (.6), se esuue că foţa secfcă eubaoae ese aocă, de foa: P P s (.6) () a fucţa f (, ),, dacă dede elc de, se esuue eodcă î ao cu vaabla deedeă, avâd eoada π, sau u ullu îeg al acesea. Î ul âd, fucţa f se dezvolă î see Foue î ao cu ul, ăsâd, de aseeea, u uă f de ee, eâdu-se sub foa: f (,, ) A (, ) [ A (, ) cos B (, ) s] (.6) Î couae, se cosdeă că vbaţa foţaă a sseulu ese eodcă, cu aceeaş eoadă, asfel îcâ soluţa ecuaţe (.6) se oae dezvola î see Foue, sub foa: () ( C j cos j D j s j) j (.6) ude C j ş D j su cosae ecuoscue, cae se deeă d codţa ca soluţa cosdeaă să vefce ecuaţa dfeeţală. Îlocud (.6) ş (.6) î ecuaţa (.6), se obţe: j ( C j cos j Dj s j ) A ( C j cos j D j s j ), j j j j j ( C j s j Dj cos j ) { A ( C j cos j Dj s j ), ( C j s j Dj cos j ) cos B ( C j cos j D j s j ), j j j( C js j Dj cos j ) s F s j (.65) oae fucţle de fucţ d (.65), fd eodce, se dezvolă î see Foue, duă cae, asfoâd î sue oae odusele de fucţ gooece s ş cos, î ebul sâg al ecuaţe (.65) aa ua ee aoc. Negljâd ee cae au ulsaţa a ae decâ ş defcâd coefceţ fucţlo s ş cos j 5
(,, ) d ce do eb a acese ecuaţ, se obţe u sse algebc de ecuaţ, d cae se deeă cele ecuoscue d soluţa (.6). Dacă foţa eubaoae secfcă ae două cooee aoce, fd de foa: P() P o s P o s (.66) soluţa ecuaţe dfeeţale (.6) ebue să fe căuaă eu aceasă foţă eubaoae î asablu. Î-adevă, daoă elaăţ sseulu, dacă ecuaţa (.6) ae o soluţe, eu a cooeă d (.66) ş o ală soluţe sua lo eu cealală cooeă, u ese soluţe a acese ecuaţ eu foţa eubaoae daă de (.66)..9. Meoda lu Rz Meoda lu Rz, ulzaă fecve eu ezolvaea obleelo de valo de foeă î ecaca coulo elasce coue, se oae folos, cu bue ezulae, ş eu sudul vbaţlo elae ale sseelo ecace cu u uă f de gade de lbeae. Pcul eode cosă î faul că, o fucţe de ecuoscuă, cosdeaă ca o coodoaă geealzaă d soluţa ecuaţlo dfeeţale ale şcă, se aoează -o cobaţe laă a uo fucţ de cuoscue, a coefceţ cosaţ ecuoscuţ a acesea se deeă d codţa ca soluţa cosdeaă să vefce sseul de ecuaţ dfeeţale, ecu ş d codţa de a eolo ed ăace, cae aa î ua aoălo efecuae. Peu eelfcaea eode, se cosdeă u sse ecac ela cosevav cu u sgu gad de lbeae, avâd ecuaţa secfcă de şcae de foa (.). Soluţa sa se aoează : () C () j jψ j (.67) ude fucţle cuoscue de ψ j su alese adecva. Dacă se ue ca (.67) să vefce ecuaţa dfeeţală (.), ezulaul îlocu u ese ul î oce oe de al şcă, asfel îcâ aae o eoae e, eaă : () e C jψ j f C jψ j (.68) j j Dacă se cosdeă u eval de î cae se aoează soluţa eacă (.67), eoaea ede ăacă coesuzăoae ese daă de eesa: e () d C j j f C j j d ψ ψ (.69) j j Codţle de ale eese (.69) coduc la ecuaţle: 55
C j e d e e C j d C ψ f j j j j C jψ j j,, (.7) df ψ j ψ j d j d C jψ j j cae foează uu sse de ecuaţ algebce, d cae se deeă ecuoscuele C j. Meoda lu Rz ese geeală, fd alcablă eu oce sse ela. Î cazul vbaţlo foţae ale uu sse ela, eu alcaea eode lu Rz, ecuaţle dfeeţale ale şcă ebue să fe scse cu oţ ee î-uul d ce do eb, sub foa daă de alcaea culu lu d'alebe. Aceasă eodă se oae ulza ş ca o eodă eavă, deeăd aoaţ succesve ale soluţe eace. Pecza calculelo dede de alegeea ţală a fucţlo de ψ ş a evalulu de î cae se efecuează alzaea eolo ed ăace... Auovbaţ oduse de fecaea uscaă Î aue egu de fucţoae ale aşlo- uele eu elucaea aşchee a uo ese, o să aaă auovbaţ ale sculelo aşcheoae, oduse de foţa de fecae uscaă de sculă ş esa de eluca. Dacă aludle aceso auovbaţ su a, acesea au u efec dăuăo asua calăţ suafeţe de eluca a ese, asfel îcâ acese egu de fucţoae ale aşlo uele ebue să fe evae. Se cosdeă u sug afla î-u eg de fucţoae eu elucaea aşchee a ue ese cldce. Modelul ecac eu asablul cuţ de sug esă de eluca se oae cosdea ca î fg..8., î cae aaeul de ozţe al vâfulu cuţulu ese ăsua d ozţa de echlbu sac a sseulu. Fg..8. Fg..9. Ecuaţa dfeeţală a şcă sseulu ese: c R sgv (.7) 56
î cae R μ N ese valoaea absoluă a foţe de fecae de cuţ ş esă, a v u ese veza elavă de vâful cuţulu ş ucul eoec de coac de e efea ese de eluca, cae ae veza efecă u cosaă. Cha dacă μ d eesa foţe de fecae R ese cosdea cosa, daoă caaceulu ela al fucţe sg( u ), caacesca de aozae a sseulu ese elaă, deş ecuaţa dfeeţală (.7) ese laă î evalele de î cae v ăsează seul cosa. Ca uae, ş î aces caz o să aaă auovbaţ, ceea ce se obsevă d aalza aecolo de fază, eezeae î fg..., î cae c ş. Se obsevă că aae u cclu lă sesabl, d cae se deeă aludle auovbaţlo. Fg... Fg... Î cazul sseelo ecace eale, coefceul de fecae uscaă μ u ese cosa, el dezâd de veza elavă v ca î fg..9. Dezvolâd foţa de fecae R î see de ue, duă uele îeg ale veze, î juul veze elave v u( ), ş ăsâd ua ee la, sub foa: dr μn R R( u) μ ( u) N Ng α μ( u) N (.7) dv u v u ecuaţa dfeeţală deve: μ N c μ ( u) N sg( u ) (.7) u D ecuaţa (.7) ezulă că, eu valo foae c ale coefceulu de uc μ N aozae vâscoasă c, facoul echvale de aozae h oae să devă u egav. Ca uae, aludle vbaţlo sseulu cesc î, âă câd, î laul fazelo, aecole de fază ajug î-u cclu lă sabl (fg...). D fg..9. ş fg... se obsevă că aludle auovbaţlo oduse de fecaea uscaă, su cu aâ a a, cu câ veza efecă u a ese de eluca ese a că... Ecuaţa lu Duffg 57
Ecuaţa secfcă de şcae de foa: μ P cos (.7) uă ecuaţa lu Duffg, desce vbaţle foţae eaozae ale uu sse ecac ela, avâd caacesca elască ae. Cea a ae ae d eleeele elasce, îâle î alcaţle ehce, u au o caacescă elască laă, decâ î cazul clo defoaţ elasce, c au o asfel de caacescă elască elaă ae, descsă de foţa elască secfcă de valoae μ. Peu deeaea soluţe ecuaţe (.7), se foloseşe eoda balaţe aoce. Dacă μ ese u aaeu c, cea a ae odee î vbaţa foţaă a sseulu ese daă de aoca fudaeală, asfel îcâ soluţa ecuaţe (.7) se cosdeă de foa: Acos ϕ (.75) ( ) Îlocud (.75) î (.7) ş ţâd seaa de deaea: cos ( ϕ) cos( ϕ) cos( ϕ) (.76) se obţe: μa ) μa ( ) A ( cosϕ cos sϕ s) cos( ϕ) P cos (.77 Negljâd ulul ee d ebul sâg ş defcâd coefceţ fucţlo cos ş s d ce do eb a ecuaţe (.77), ezulă: μa ( ) A cosϕ P μa ( ) A s ϕ (.78) Deoaece P, eesa de aaezele a a e ecuaţ (.78) u oae f ulă, asfel îcâ, d a doua ecuaţe, se obţe ϕ sau ϕ π. Ca uae, aludea A a vbaţlo foţae se deeă d ecuaţa algebcă de gadul e de foa: μa ( ) A ± P (.79) î cae se a seul sau îaea lu P asfel îcâ să ezule A > eu ădăcle eale, cae o f î uă de ua sau e. 58
Î fg... s-a eezea, e baza ecuaţe (.79), gafcul alud A a vbaţlo foţae î fucţe de ulsaţa a foţe eubaoae. Fg... Aces gafc se ueşe dagaa de ezoaţă a sseulu ecac ela cosdea, deş, eu ulsaţ fe, u o aăea alud ale vbaţlo foţae cae să dă se f, cha ş î abseţa foţelo de aozae. Î aces caz, dagaa de ezoaţă ese cosuă d e au, la aule ş coesuzâd şcă sable ale sseulu î ce la aua, eezeaă cu le îeuă, coesud şcă sable. Abscsa a uculu ce seaă aule ş ese daă de esecţa gafculu cu hebola: 9μ A (.8) eezeaă î fg... cuba. Î cazul î cae se cosdeă u faco de aozae foae c î sse, caz îâl fecve î alcaţ, dagaa de ezoaţă ezulă foae aoaă de cea coesuzăoae vbaţlo foţae eaozae, da aule ş su lae -o acodae 5. Abscsa a uculu de e aceasă acodae, cae seaă ucele de e aua, la cae le coesud şcă sable, de ucele de e aua, la cae le coesud şcă sable, dede foae ul de valoaea uecă a facoulu de aozae vâscoasă. Cosdeâd cazul eal îâl î alcaţ, î cae î sse esă aozae, caacezaă -u faco de aozae vâscoasă foae c, d dagaa de ezoaţă d fg..., ezulă uele oeăţ oae ale vbaţlo foţae ale sseelo elae. a) Î cazul vbaţlo foţae elae, eu valo fe ale ulsaţe foţe eubaoae, u oae aăea feoeul de ezoaţă, cha dacă foţele de aozae su egljable. b) Saea ecacă a uu sse ecac ela, la u oe da î ul vbaţlo sale foţae, dede de saea aeoaă a sseulu. Î-adevă, eu ulsaţ ale foţe eubaoae, cuse îe ş, aludea vbaţlo foţae oae să coesudă au sau au d dagaa de ezoaţă, duă cu s-a ajus aeo la aceasă sae ecacă. c) Î cazul vaaţe coue î a ulsaţe foţe eubaoae, î ul vbaţlo foţae aa vaaţ buşe ale alud vbaţlo foţae, ue salu de alude, cae su caacesce eu sseele elae. Asfel, la ceşeea ulsaţe foţe eubaoae, aludea vbaţlo foţae ceşe duă aua d 59
dagaa de ezoaţă, âă câd se ajuge la ulsaţa, câd aae u sal de alude, de la alud a de e aua la alud c de e aua, aşa cu ese dca săgeaă î fg... De aseeea, la cşoaea ulsaţe foţe eubaoae, aludea vbaţlo foţae ceşe duă aua d dagaa de ezoaţă, âă câd se ajuge la ulsaţa, câd ae loc salul de alude la aludle a de e aua. Rezulă că valole ş su valo cce ale ulsaţe foţe eubaoae, la cae aae feoeul de bfucaţe, feoe caacesc eu cooaea dacă a sseelo elae... Vbaţ aaece Vbaţle aaece ale uu sse ecac cu u sgu gad de lbeae se sudază e baza ecuaţe lu Hll, de foa (.). U caz acula al acese ecuaţ, asua căua s-au făcu ueoase sud, ese ecuaţa lu Maheu, de foa: ( α β cos ) (.8) cae ae ecaţa aaecă aocă, α ş β fd cosae cuoscue cu desuea coesuzăoae ăaulu ue ulsaţ. Î cazul ecuaţe (.) a lu Hll, ecaţa aaecă P ( ) u ese aocă, da ese eodcă, avâd eoada ş ulsaţa fudaeală π cuoscue. Fucţa P () fd eodcă, ea se oae descoue î see Foue. Ca ş î cazul vbaţlo foţae ale sseelo lae, eu aoca fudaeală sau eu u ee aoc d aceasă dezvolae î see Foue, se o obţe şcă vbao cu alude cescăoae î, ezulâd şcă sable ş aăâd feoeul de ezoaţă aaecă. Peu a se cude ş oblea sablăţ sau sablăţ şcă, eoa aeacă aaă că ebue cosdeae soluţ de foa: λ () u() e (.8) î cae u () ese o fucţe eodcă, cu aceeaş eoadă sau u uullu îeg al acesea, a λ ese cosaă. Duă o eoadă, legea de şcae deve: λ( ) λ ( ) u( ) e e ( ) s( ) (.8) ceea ce aaă că şcaea se eoduce duă o eoadă îulţă cu u faco adesoal cosa s. Aceasă oeae ese valablă ş eu veza geealzaă. Rezulă că eu s > şcaea ese sablă, a eu s şcaea ese sablă, î cazul egalăţ sseulu, fd la la sablăţ. Cu asfoaea de vaablă deedeă τ, ecuaţa (.8) a lu Maheu se oae ue sub foa: ( γ μ cos τ ), (.8) î cae: 6
α β γ, μ (.85) a eeză devaa a doua a lu î ao cu τ. Mşcaea uu sse ecac descsă de ecuaţa (.8) ese foae aoaă de şcaea sseulu cu ecaţe aaecă î ee, avâd ecuaţa dfeeţală de foa: [ γ μsg( cos τ )] (.86) sau de foa: [ γ μsg( s τ )] (.87) Cosdeâd ecuaţa (.87), aceasa ese laă î fecae seeoadă a şcă, fd eaă de ecuaţle dfeeţale lae: ( γ μ ) eu < τ < π γ μ eu π < τ < π (.88) ( ) Soluţle aceso ecuaţ dfeeţale su: ( τ ) C cos τ C s τ, eu < τ < π ( τ ) C cos τ C s τ, eu π < τ < π (.89) î cae γ μ ş γ μ. Cosaele de egae d (.89) se deeă d codţle de couae ale şcă: ( π ) ( π ), ( π ) ( π ) (.9) ecu ş d codţle ca şcaea ( τ ) ş veza geealzaă ( τ ) să se eoducă duă o eoadă îulţe cu facoul s: π s π (.9) s ( ) ( ), ( ) ( ) Iuâd î (.89) codţle (.9) ş (.9), se ajuge la u sse de ecuaţ algebce, cae ese la ş ooge î ao cu cele cosae de egae. D codţa ca deeaul acesu sse să fe ul, eu a avea soluţ dfee de soluţe baală, ezulă ecuaţa caacescă de foa: s sp( γ, μ) (.9) e baza căea se sudază şcăle osble ale sseulu ecac, ecu ş sablaea aceso şcă. Peu ecuaţa (.8) a lu Maheu, ezulaele sudlo eoece asua doelo de sablae ş de sablae ale soluţlo su cuse î dagaa de sablae Ice-Su, cae se găseşe î leaua de secalae... Poblee 6
... Să se deee eoada osclaţlo de alude fă ale edululu aeac. Rezolvae: Fucţa F ( ) d ecuaţa (.7), ţâd seaa de (.9), deve: F( ) ( cos ) ( cos) ( cos cos A) ude ş eă codţle ţale ale şcă, a A ese aludea osclaţlo F. Alcâd foula fală (.), ezulă: A A d d ( ) A cos cos A s ( A ) s ( ) Deoaece A < π, s ( A ) <, asfel îcâ se oae efecua asfoaea de vaablă: A du s us u, d, u cu cae se obţe: du () u u edululu aeac, ezulâd ca fucţe de codţle ţale ale ecuaţe ( ) ( )( ) Iegala d ebul de al elaţe () ese o egală elcă de a seţă. Peu a se efecua, se foloseşe dezvolaea î see de ue: ( ) u u u u Făcâd oaţa: u du I u,,,, ş egâd ăţ, se obţe elaţa de ecueţă: I I () π Deoaece I, e baza elaţe () se obţe: ( ) π () g Îlocud ş elaţle de foa () î dezvolaea î see a egale d l ebul de al ecuaţe (), ezulă: 6
( ) l π g Deoaece <, aceasă see ese covegeă, a dacă <<, ea ese ad covegeă. Î cazul clo osclaţ ale edululu aeac, d aceasă see se oae ăsa ua ul ee, obţâdu-se foula cuoscuă π.... Două acu elcodale dece, fecae de cosaă elască ş avâd lugea î sae edefoaă l( α ), cu asa egljablă, su legae cu uul d caeele lo î ucele fe A ş B, a cu celălal caă de u culso de asă. Culsoul de şcă făă fecae e aa fă ozoală DH, cae ese suaă î acelaş la ozoal cu ucele fe A ş B ş ese eedculaă e deaa AB (fg...). Să se aseze aecole de fază î juul ucelo sgulae, coesuzăoae ozţlo de echlbu sac ale sseulu, eu valole: a) α, 5 b) α c) α, 5 Fg... Rezolvae: Cosdeâd aaeul de ozţe al culsoulu ca î fg... ecuaţa dfeeţală a şcă sseulu ese: l( α), l cae, folosd oaţle: g,, τ l se oae ea ă adesoale, sub foa: α () ude eeză devaa a doua a lu î ao cu τ. 6
Sseul cosdea fd cosevav, ecuaţa () se oae ega odaă, ajugâdu-se la o egală ă de foa (.7), î cae: F( ) E ( α )( ) E ( α) e baza căea se o asa aecole de fază, eezeae î fg... Se obsevă că eu α, 5, esă e ozţ de echlbu sac, ozţle χ ±, 5l, fd sable, a ozţa χ χ ese sablă. Fg...... U sse cosevav ae ecuaţa secfcă de şcae: μ () î cae μ ese u aaeu c. Folosd eoda aaeulu c, să se deee legea de şcae a sseulu ş eoada osclaţlo sale de alude fă e aoaţ succesve. Rezolvae: Îlocud î (): () () μ () μ ( ) μ ( A) b ( A) b μ se obţ ecuaţle dfeeţale: () b b b () () d cae se deeă cele e aoaţ succesve ceue ale soluţe eace a ecuaţe dfeeţale (). Soluţa geeaoae a ecuaţe () se oae lua de foa: () Acos (5) asfel îcâ soluţa ecuaţe (), î codţ ţale ule ş eu b, deve: A A () cos cos cos cos (6) 6 Peu a ela ee secula d ecuaţa (), b ebue să abă valoae: 6
5 A b ( A) (7) 6 asfel îcâ soluţa ecese ecuaţ, î codţ ţale ule, ezulă: A 9 () cos cos cos (8) 9 8 Ţâd seaa de (5), (6) ş (8), legea de şcae deve: μa μa μa 9μ A () A cos μa μa μ A cos cos 8 î cae ebue să se îlocuască, cae, ţâd seaa de (7), se deeă d ecuaţa: 5 μ A (9) 6 D ecuaţa (9) ezulă: 5 μ A <, A <, 6 μ π asfel îcâ se deeă ş eoada ceuă.... Se cosdeă sseul ecac d fg..5., foa d-u ac elcodal de cosaă elască, avâd asa egljablă, ş u co de asă, cele două eleee fd legae îe ele, îe caăul A al aculu ş ucul B aaţâd coulu, -u f deal, adcă efec flebl, eesbl ş de asă egljablă. Se esuue că sseul se şcă e vecală, aaeul de ozţe fd ăsua d ozţa ase î cae acul ese edefoa ş ful ese îs. Să se deee eoada osclaţlo g sseulu cu aludle: > s. Fg..5. Răsus: accos s s 65
..5. Coul de asă ae o şcae ecle făă fecae e u la ozoal, asfel îcâ, duă ce acuge o dsaţă, î-o ae sau î cealală ae faţă de ozţa edaă, ajuge î coac cu caăul lbe al uu ac elcodal de cosaă elască ş de asă egljablă, aşeza î ozţe ozoală duă decţa şcă coulu (fg..6.) Să se deee eoada osclaţlo sseulu cu alud A >. Fg..6. Răsus: A π A 5. VIBRAŢIIE SISEMEOR CONINUE Î ele au caole odelele aalce folose au fos odele cu aae dsceţ. Esă ssee ecace, î cae asele eleeelo defoable su coaable cu asele eleeelo gde, eu cae odelul cu aae dsceţ u a ese sasfăcăo ş eu cae se folosesc odelele sseulu couu. Î acese odele foţele de eţe su dsbue î o voluul, a delasaea î şcaea vbaoe ese o fucţe couă de uc (ozţe) ş de. Sseul ae u uă f de gade de lbeae, coesuzăo valolo cu cae fucţa delasae desce ozţa ucelo coulu. 5.. Vbaţle logudale ale baelo dee 5... Deduceea ecuaţe de şcae Se cosdeă, eu îceu, defoaţ logudale î lugul ue bae dee (fg. 5..a.). Peu deduceea ecuaţe de şcae a vbaţe aale, se seaă u elee de luge Δ (fg. 5..b.). Fe u (, ) delasaea secţu asvesale î lugul decţe aale, (, ) foţa aală alcaă eeă e uaea de luge, (, u, ) foţa aală de fecae eă, a N (, ) ş N ( Δ, ) foţele aale d cele două secţu ale eleeulu cosdea. A( ) ese aa secţu asvesale, a ρ ( ) ese desaea, adcă asa uăţ de volu. 66
67 Fg. 5. Se cosdeă oezele d ezsaţa aealelo: a) Secţule asvesale ăâ lae ş ăâ eedculae e aa logudală. b) Maealul ese d uc de vedee elasc la. c) Poeăţle de aeal E ş ρ su cosae î-o secţue asvesală. Pe baza aceso oeze se o sce uăoaele elaţ: ( ) ( ) u u u Δ Δ Δ,, l ε (5.) ( ) u E E, ε σ (5.) E fd odulul de elascae logudal ş ( ) ( ) ( ) u EA N,, (5.) Scd ecuaţa de echlbu dac eu eleeul cosdea se obţe: ( ) ( ) ( ) ( ),,,,, A u N N Δ Δ Δ Δ ρ (5.) ude, îăţe cu Δ ş ecee la lă, se obţe: ( ) ( ) ( ) ( ),,,,, l u A u N N Δ Δ Δ ρ (5.5) sau ( ) ( ),,, u A u N ρ (5.6)
Îlocud (5.) î (5.6) se obţe: u u AE (, ) (, u, ) ρa (5.7) Aceasa ese ecuaţa de şcae eu vbaţle aale ale ue bae la elasce. Î ule cazu, baa ese oogeă de secţue cosaă, a foţa de fecae se cosdeă ooţoală cu veza, obţâdu-se ecuaţa: u u u h c (, ) (5.8) ρa ude: E c ρ Negljâdu-se fecăle ş cosdeâd (, ) u c u avâd aceeaş foă ca ecuaţa coade vbae. 5... Codţ ţale ş la lă se obţe ecuaţa vbaţlo lbee: (5.9) Î couae, eu caacezaea cole a vbaţlo logudale, su ecesae eczaea uo codţ suleae. O caegoe de codţ ezdă d faul că soluţle se oagă î d şe codţ ţale dae. Peu ecuaţa dfeeţală (5.8) acesea su de foa: u u(, ) ϕ( ) (, ), ψ ( ) (5.) ude ϕ ( ) ş ψ ( ) su fucţ cuoscue. Cea de-a doua caegoe de codţ ezdă d faul că soluţle ebue să sasfacă ecuaţa dfeeţală (5.8) î-u doeu îchs de câeva codţ de foeă (lă) ale doeulu. Codţle la lă o f îăţe î două clase dsce, fecae eflecâd dfee u de codţ fzce. Pa clasă eflecă cosâgele geoece (delasă, ughu), a a doua clasă foţele (ş/sau oeele) de e foeă. Î cazul vbaţlo logudale, ul de codţ la lă, ue ş codţ geoece, su de foa: u(, ) s (), u(, ) s ( ) (5.) ude s () ş s () su delasă cuoscue. Peu cel de-al dolea de codţ, ue ş codţ auale, d (5.) se obţe: 68
u N() (5.) EA ude N () ese foţa ce acţoează la caăul. Cele a fecve îâle codţ la lă, î cazul vbaţlo logudale ale baelo, su: a) Caeele îcasae (I I) (, ) (5.) u ş u (, ) b) U caă lbe ş alul îcasa ( I) u(, ) u (5.), ş ( ) c) Abele caee lbee ( ) u(, ) ş (, ) u (5.5) Pe lâgă acease codţ la lă, se a îâlesc ş cele aăae î fg. 5.. Fg. 5. Ecuaţa de şcae eu asa ese: u N(, ) (5.6) a d (5.) u N(, ) EA (5.7) se obţe eu caăul codţa: 69
u u AE (5.8) Peu cazul d fg. 5..b. se sce: N (, ) u(, ) (5.9) ş folosd d ou elaţa (5.), se obţe: u AE u(, ) (5.) 5... Vbaţ lbee logudale ale bazelo. Meoda seaă vaablelo Deoaece se egljează fecăle ş u esă foţe eeoae cae să acţoeze asua bae, aceasa ese o obleă de vbaţ lbee. Se va esuue că soluţa ese seaablă î ş saţu. D uc de vedee fzc, aceasa îseaă că sseul eecuă şcă scoe, adcă fecae uc al sseulu eecuă acelaş de şcae î. Se va cosdea soluţa ecuaţe (5.9) de foa: u(, ) U ( ) ( ) (5.) Puâd codţa ca aceasa să vefce ecuaţa (5.9), se obţe: ρ AU( ) ( ) EA( ) U ( ) (5.) cae se oae seaa î două ecuaţ dfeeţale odae. U c cos λ (5.) U Cele două aoae ale uo fucţ de vaable dfee, o f egale doa dacă su cosae, a cosaa λ ebue să fe egavă ( λ ), deoaece soluţa ebue să fe ăgă î. Uează că: (5.) U U (5.5) c Acesea au soluţle: () Acos B s (5.6) U( ) C cos Ds (5.7) c c Egalaea (5.) oae f sasfăcuă eu o fae de valo λ ue valo o ş căoa le coesud fucţ o U ( ). Valole o se deeă e baza codţlo la lă use soluţe u (, ), adcă fucţe U ( ). Aceasă ecuaţe, uă ecuaţe caacescă, ese îodeaua ascedeă ş ae o fae de ădăc. Fecăe ulsaţ o (,, ) î coesude o fucţe (), esecv o, a soluţa geeală va f de foa: fucţe oe U ( ) 7
(5.8) u (, ) U ( ) ( ) Cele a fecvee u de legău su dae î abelul. abelul. u de Codţ lă legău I U U' I I U U U' U' Ecuaţa caacescă cos c s c s c Pulsaţ o ( ) πc ( ) πc πc ( ) ( ) Fucţ o ( ) U Cs π U π Ds U π C cos Se cosaă că fucţle o su deeae âă la o cosaă ş eved la soluţa geeală (5.8), ţâd co ş de (5.6), eu bae (I ) se oae sce: ( ) ( ) ( ) π u, A cos B s s (5.9) ude cosaele A ş B se deeă d codţle ţale. Cofo codţlo ţale (5.) ezulă: ( ) ( ) π ϕ A s (5.) ş ( ) ( ) πc ( ) π ψ B s (5.) ceea ce eeză dezvolă î se Foue, avâd coefceţ: ( ) ( ) π A s d ϕ (5.) ş ( ) ( ) π B ψ s d ( ) πc (5.) asfel soluţa geeală ese cole deeaă. Peu celelale cazu, bae (I I) ş bae ( ) se uăeşe acelaş ocedeu. 5... Relaţ de oogoalae Pod de la ecuaţa vbaţlo lbee ale baelo: 7
u u EA ρ A (5.) eu cazule dae î abelul. se oae sce: ( AEU ) ρa U (5.5) du ude, eu slfcae, U ese scs î loc de U(), a U' î loc de. d Relaţa (5.5) oae f scsă eu ocae de valole o. Fe ş s două valo o dsce ş esecv, U ( ) ş U s ( ) fucţle o coesuzăoae. Se oae sce: ( AEU ) ρau (5.6) ş AEU ρa U (5.7) ( s ) s s Duă îulţea elaţe (5.6) U s ( ), esecv elaţa (5.7) ( ) egae îe lele ş, se obţe: ş U U s ( AEU ) d AU U d ( AEU ) d AU U d s s s U ş ρ (5.8) ρ (5.9) Iegâd elaţle (5.8) ş (5.9) ăţ ş ţâd co de codţle la lă d abelul. ezulă că: ş EAU U sd EAU U sd s scădeea aceso două elaţ se obţe: da ş d (5.): s ( ) AU U d, dec: s ρ AU U d (5.) s ρ AU U d (5.) s s ρ s (5.) ρ AU U s d (5.) 7
ρ EAU U d (5.) s Relaţle (5.) ş (5.) eeză codţle de oogoalae eu vbaţle logudale ale baelo. Se sue că odule o su oogoale î ao cu dsbuţa de asă, esecv dsbuţa de gdae. De aseeea, îulţea elaţe (5.6) cu U ( ) ş egâd e doeul [,], se obţe: U ( AEU ) d AU d ρ (5.5) d cae, egae ăţ ş folosd codţle de foeă d abelul., se deduce: ude ( ) EA U d K M ρau d K ( ) d (5.6) EA U, M ρ AU d (5.7) fd gdaea odală, esecv asa odală coesuzăoae odulu aual, a cău foă odală ese daă de fucţa oe U ( ) ş cae ese deebaă âă la o cosaă. oca de aceea, se oduce oaea fucţlo o, coesuzâd asfel, fecăe fucţ o alude ucă. U ese aă, să O asfel de oae oae f asfel îcâ î ucul î cae ( ) abe o valoae secfcaă a ( ) M U. Cea a fecveă ese îsă oaea: ρ AU d (5.8) ude eu asa odală se a M. Fucţle φ ( ) cae sasfac aceleaş codţ la lă ca ş seul de fucţ o, făă a sasface ecuaţa dfeeţală (5.5), se uesc fucţ de coaaţe sau geeaoae ş o f eezeae se covegee de foa: ( ) U ( ) α φ (5.9) ude coefceţ α se o deea îulţea elaţe (5.9) cu ρ AU ( )d ş egaea e doeul (,). Ţâd co ş de codţle de oogoalae, se obţe: 7
ρaφu d α (5.5) ρau d 5..5. Vbaţ logudale aozae ale bae Î ezeţa fecălo, vbaţle logudale ale baelo se vo sge î, dec se vo aoza. Pesuuâd o aozae de auă vâscoasă, ecuaţa (5.8) se oae sce: u u u h c (5.5) Alcâd eoda seaă vaablelo soluţa va f de foa (5.). Ioducâd-o î ecuaţa (5.5) se obţe, seaaea vaablelo: h U c (5.5) U Deoaece fecae ao coţe câe o vaablă, ele o f egale ua dacă su cosae, ş daoă ăg soluţe î, aceasă cosaă ebue să fe egavă. Dacă se a - cosaa cosdeaă, d (5.5) se oae sce: h (5.5) ş U U (5.5) c Duă cu se cosaă ecuaţa (5.5) ese decă cu (5.5), ceea ce aaă că valole o ş fucţle o su ca ş la vbaţle lbee eaozae. Cosdeâd > h, se obţe eu fucţa ( ) eesa: h () e ( Acos α Bsα) (5.55) ude α h Soluţa geeală va f de foa: ( ) h u, e ( A cosα B sα) C cos D s (5.56) c c ude cosaele de egae se vo deea e baza codţlo ţale ş la lă ca ş eu vbaţle logudale eaozae. 5..6. Vbaţle logudale foţae ale bae Vbaţ foţae logudale ale bae o să aaă î cazul î cae baa ese acţoaă -o foţă aală dsbuă sau ae codţ la lă vaable î. 7
Î lsa aoză (h) ş esuuâd o foţă aală dsbuă cos, ecuaţa (5.8) deve: ( ) ( ), ( ) u u c cos (5.57) ρa Soluţa aculaă a acese ecuaţ, uă ş vbaţe foţaă va f de foa: u(, ) U ( ) cos (5.58) Puâd codţa să vefce ecuaţa (5.57) se obţe: U U ( ) (5.59) c EA Evde că fucţa U ( ) ebue să fe o fucţe de coaaţe sau geeaoae, dec se oae dezvola î see duă fucţle o: U ( ) α U ( ) (5.6) Cosdeâd ua cazul bae ce vefcă codţle la lă d abelul., îlocuea elaţe (5.6) î (5.59), se obţe: α U ( ) U ( ) ( ) (5.6) c EA Se îulţeşe ecuaţa (5.6) cu ρ AU ( )d ş egâd e doeul (,), ţâd co ş de codţle de oogoalae, se obţe: α AU d A U d c c ρ EA (5.6) de ude se deeă coefceţ α : α ( ) U ( )d ( ) (5.6) ude s-a ţu co că eu fucţle o d abelul., luâd cosaa U edeeaă egală cu uaea, ( ) d. Se cosaă că aae feoeul de ezoaţă eu cazul î cae ulsaţa foţe euaoae ese egală cu ua d ulsaţle o. 5.. Vbaţle de ăsuce ale baelo Î cazul î cae baa ese suusă uo culu vaable de ăsuce se oduc vbaţ de ăsuce sau de osue. Baele solcae la ăsuce se uesc abo. 75
Se va cosdea baa d fg. 5.. suusă la ăsuce eedul uu culu θ,. dsbu, alca d eeo (, ). Roea secţu suaă la dsaţa va f ( ) Fg. 5. Cosdeâd u elee de baă Δ, asua lu vo acţoa culule foţelo M Δ,, culule dsbue de fecae eoae de oee M (, ) ş ( ) (, ) Δ,θ ş de eubae ( ) Δ,. Peu efoul ageţal se oae sce legea lu Hooe: τ Gγ (5.6) ude G ese odulul de elascae asvesal, a γ ese aluecaea secfcă la dsaţa de ceul secţu: θ( Δ, ) θ(, ) θ (, ) γ l (5.65) Δ Δ Moeul foţelo eoae eduse î ceul secţu ese: dθ θ M(, ) τda G da GI d (5.66) I ese oeul de eţe ola al secţu (oeul geoec). ude ( ) J oeul de eţe aal (oeul ecac) eu uaea de luge a bae, se oae sce ecuaţa de oee faţă de aa bae. J Δ θ M ( Δ, ) M (, ) (, θ, ) Δ (, ) Δ (5.67) P îăţe ş eceea la lă se obţe: M J θ (, θ, ) (, ) (5.68) sau ţâd co ş de elaţle (5.6) ş (5.65) Dacă se oează cu ( ) 76
(, θ, ) ( ) J θ θ GI, (5.69) Cosdeâd fecăle egljable ş oeele eeoae eubaoae ule se obţe: θ θ J GI (5.7) Peu cazul bae oogee ş de secţue cosaă, ecuaţa vbaţlo lbee de ăsuce va f: θ θ J GI (5.7) GI Dacă se oează c, ecuaţa (5.7) ae aceaş foă ca ş ecuaţa vbaţlo J logudale ale bae. Ş î aces caz eu ezolvaea coleă a oblee ese ecesa cuoaşeea codţlo ţale ş la lă. Codţle ţale eu vbaţle de ăsuce vo f de foa: θ θ (, ) ϕ( ) (, ) ; ψ ( ) (5.7) Codţle la lă su deeae de legăule esee la cele două eeăţ. Asfel, eu u caă îcasa, celălal lbe (I, ) codţle su: (, ) θ θ θ ş M (, ) GI (5.7) Dacă la u caă se alcă u culu de oe M ( ) ( GI θ ) M (), auc codţa la lă ese: (5.7) Deoaece, ecuaţa dfeeţală a vbaţlo de ăsuce ese aseeea cu cea a vbaţlo logudale u vo esa deoseb î odul de deeae a soluţlo. 5.. Vbaţle asvesale ale baelo 5... Deduceea ecuaţe vbaţlo asvesale Baele suuse solcă de îcovoee se uesc gz. Se va cosdea gda d fg. 5..a. a căe aă edefoaă ese aa O ş cae va lua defoae foa d fg. 5..b. Delasaea asvesală a ae eue î ucul de abscsă la u oe se oează cu v (, ). Peu sablea ecuaţe vbaţlo asvesale se seaă u elee al bae, fg. 5..c. P seaae se îlocuesc legăule cu foţele ăeoae ( Δ, ) ş (, ), M Δ, M,. Asua eleeulu se esecv oeele îcovoeoae ( ) ş ( ) 77
,. Se va cosdea că eleeul sub acţuea foţelo dae ş de legăuă va avea o şcae laă. P θ (,) s-a oa oaţa secţu asvesale, β (,) ese ughul de v aluecae a secţu daoă efeculu foţelo ăeoae, a ese ughul de îclae al ae eue. cosdeă că acţoează ş foţa eubaoae e uaea de luge ( ) Fg. 5. Pesuuâd egljablă delasaea î lugul ae O, se o sce două ecuaţ de echlbu eu eleeul cosdea. Ecuaţa de oecţ e decţa asvesală se oae sce: v ρ AΔ ( Δ, ) (, ) (, ) Δ (5.75) a ecuaţa de oee faţă de ceul de asă al eleeulu va f: θ Δ Δ JΔ M ( Δ, ) M (, ) ( Δ, ) (, ) (5.76) Îăţd cele două ecuaţ (5.75) ş (5.76) Δ ş ecâd la lă eu Δ, se obţ ecuaţle: v ρ A (, ) (5.77) ş θ M J (5.78) Pe de ală ae, d eoa de ezseţa aealelo, se oae sce: 78
θ M EI (5.79) v β θ (5.8) AG θ ee J ş su uţ î od uzual, efece de odul do, ude AG 5 9 coefceul ae valoaea eu secţu deughulae ş eu secţu 6 cculae. Pul ee a fos odus de Raylegh ş ţe co de eţa de oaţe, a al dolea a fos odus de osheo ş ţe co de efecul defoaţe de aluecae a secţulo sub acţuea foţelo ăeoae. Elâd, M ş θ îe elaţle (5.77), (5.78), (5.79) ş (5.8) se obţe ecuaţa lu osheo eu bae oogee de secţue cosaă. v v v v v EI GA J GA EI ρa J ρa ρa (5.8) Î ecuaţa (5.8) se o defca ee de coecţe daţ de eţa de oaţe, esecv de defoaţa de aluecae. Negljâd aceş ee, d ecuaţle (5.77), (5.78), (5.79) ş (5.8) se deduce ecuaţa Eule Beoull: v v (, ) EI A ρ (5.8) cae, î cazul baelo de secţue cosaă deve: v v EI ρ A (, ) (5.8) Î cazul acula (, ) se obţe ecuaţa vbaţlo lbee asvesale ale gz: v v a (5.8) ude EI a (5.85) ρa ebue eaca că efecul coecţe da de defoaţa de aluecae ş de eţa de oaţe ceşe odaă cu ceşeea odulu cosdea ş desceşe cu lugea ş vesul aze de gaţe. 5... Codţ ţale la lă 79
Peu deeaea vbaţlo asvesale ale gz ebue cuoscue codţle ţale, adcă ozţa ş veza fecău uc î oeul ţal. Aceasa îseaă să fe cuoscue fucţle: v v(, ) ϕ( ) (, ) ş ψ ( ) (5.86) De aseeea, ebue cuoscue codţle lă dae de legăule e cae le ae baa. Cele a fecvee codţ la lă su: a) Caă îcasa (I) v (, ) ş v (, ) (5.87) adcă delasaea ş ughul de îclae su ule. b) Caă slu ezea sau acula (R) v (, ) ş M (, ) (5.88) ceea ce îseaă că delasaea ş oeul îcovoeo su ule î caăul slu v,. ezea. Ula elaţe ese echvaleă cu ( ) c) Caă lbe () (, ) ş M (, ) (5.89) ceea ce îseaă că la caăul lbe u esă foţă ăeoae ş c oe de îcovoee. Acese elaţ o f scse ş asfel: v v ş (5.9) Asfel, î fecae caă se obţ două codţ de foeă. Codţ dfee se obţ dacă î caăul bae ese aaşaă o asă sau u ac (fg. 5.5.). Peu fg. 5.5.a. se oae sce d oecţ de foţe: v (, ) (5.9) sau v v EI (5.9) a d ecuaţa de oee: M, sau v (, ) (5.9) ( ) ş Peu cazul d fg. 5.5.b.: M (, ) sau (, ) v (5.9) 8
(5.95) v EI (, ) v sau ( ) v, EI Fg. 5.5. 5... Vbaţ lbee asvesale ale baelo Vbaţle lbee asvesale ale baelo lug ş subţ, cazul Beoull Eule su guveae de ecuaţa: EI, v ρ Av (5.96) ( ) Peu egaea ecuaţe (5.96) se va alca eoda seaă vaablelo, soluţa luâdu-se de foa: v(, ) V ( ) ( ) (5.97) ude V ( ) ş () su fucţ ce uează a f deeae. Îlocud (5.97) î ecuaţa (5.96), aceasa, eu bae oogee ş de secţue cosaă, deve: EIV IV ( ) ( ) ρ AV( ) ( ) (5.98) cae oae f seaaă î: IV EI V (5.99) A V Ş î aces caz aoaele (5.99) su sasfăcue eu oce ş ua dacă su egale cu aceeaş cosaă. D codţa de ăge î ezulă că aceasă cosaă ebue să fe ozvă. Uează că d ecuaţa (5.99) se oae sce: (5.) ρa V IV V (5.) EI Ecuaţa (5.) ae soluţa de foa: () As B cos (5.) 8
a eu ecuaţa (5.) soluţa ese de foa e, obţâdu-se ecuaţa caacescă: ρa (5.) EI ş ae ădăcle λ, λ, λ, λ, ude λ ese: ρa λ (5.) EI Soluţa geeală se va sce: V Cshλ Dchλ E s λ F cosλ (5.5) ( ) Esă cc cosae î soluţa geeală, C, D, E ş F cosae de egae, a ulsaţle o su asocae fecăe valo o λ. Peu deeaea aceso cosae se folosesc codţle de lă (foeă). Î abelul. su dae cazule cele a fecvee de legău la cae oae f suusă o baă, î cae sbolul R eeză ezeaea. abelul. ul Ecuaţa X X X X X 5 legău caacescă I ch cos,56, 6,69,9 99,8 R R s 9,869 9,7 88,8 57,9 6,7 I I; ch cos,7 6,67,9 99,8 98,5 I R; R g h 5, 9,96, 78, 7, Î aces abel s-a oa: X λ (5.6) de ude ulsaţle o dev: X EI (5.7) ρa ebue eaca că ulsaţle o ule coesuzăoae celo două odu de co gd eu baa ş u od de co gd eu baa R u su ecue î abelul. 5... Relaţ de oogoalae Pod de la ecuaţa (5.98) ş obsevâd că soluţa ecuaţe ese aocă de foa: v V cos ϕ (5.8) ( ) ( ) ( ) Îlocud-o î ecuaţa (5.98) se obţe: EIV IV ρa V (5.9) 8
Aceasă ecuaţe oae f scsă eu oce eeche: ulsaţe oe, fucţe oe. Fe, V ş s, V s două asfel de eech. Se oae sce: IV EIV ρav (5.) IV EIVs ρasvs (5.) Se îulţeşe ecuaţa (5.) cu V s, a (5.) cu V ş egaea de două o ăţ e doeul (, ), se obţe: ( EIV V EIV V ) EIV V d AV V d s s s ρ s (5.) s s ρ ( EIV V EIV V ) EIV V d AV V d s s ρ (5.) Ţâd co de codţle de lă (5.87), (5.88) ş (5.89) ş scădeea ecuaţlo (5.) ş (5.) se obţe eu : a d (5.): s ρ AV V s d (5.) EIV Vs d (5.5) adcă elaţle de oogoalae. Î acelaş od, dacă se îulţeşe ecuaţa (5.) cu V, egae se obţe: K (5.6) M ude K EIV ( )d ; M ρ AV ( )d (5.7) eeză gdaea ş asa odală coesuzăoae odulu. 5.. Poblee s 5... O baă de luge, oogeă ş de secţue cosaă, ese îcasaă la abele caee. Baa ese adusă î-o şcae vbaoe logudală dâdu-l-se uuo ucelo o veză cosaă v î lugul bae. Să se deee şcaea ezulaă. Rezolvae: Soluţa geeală a vbaţlo logudale eu a lăsa caeele îcasae se oae sce, folosd ş abelul., asfel: 8
πc πc π u(, ) A cos B s s D codţle ţale, u, v, se obţe: u ( ) ş ( ) (,) π u A s c u(, ) π π B s v d cae ezulă: π A ş B v s d πc, adcă: v, eu a ş B eu a. π c B Mşcaea ezulaă va f: v u( ), π c, π πc s s 5... O baă de luge ese îcasaă la u caă ş legaă -u ac de cosaă la celălal caă (fg. 5.6.). Să se deducă ecuaţa ulsaţlo o. Fg. 5.6. Rezolvae: Î cazul vbaţlo logudale fucţle o su de foa: U( ) C cos Ds c c Puâd codţle de foeă: U ( ) ş U ( ) AEU ( ) se obţe d a codţe: C, a d a doua: 8
s AE cos sau g AE. c c c c c Aceasa ese ecuaţa ulsaţlo o. Dacă gdaea aculu ese foae că î coaaţe cu cea a bae, ecuaţa ulsaţlo o ese: ( ) πc g, adcă: c su ulsaţle o d cazul bae cu u caă îcasa ş celălal lbe. 5... O baă de luge ese îcasaă la u caă, a la celălal caă ese aaşaă o asă coceaă (fg. 5.7.). Să se deee ecuaţa ulsaţlo o. Fg. 5.7. Rezolvae: u, Codţle la lă î aces caz su: eu caăul îcasa ( ) eu celălal caă: AE u u Soluţa geeală a vbaţlo logudale lbee ese de foa: ( ) u, ( A cos B s ) C cos D s, c c d a codţe se obţe: C, a d a doua: AE Aρc cos s sau g c c c c Aceasa ese ecuaţa ulsaţlo o. Dacă asa aaşaă ese foae că, î coaaţe cu asa bae, ecuaţa ( ) πc ulsaţlo o deve: g, adcă. c, a 85
Aρc Dacă asa aaşaă ese ul a ae decâ asa bae: g, c deve u ao foae c, eu cea a că ulsaţe, se oae sce: g c c ş îlocud î ecuaţa ulsaţlo o: Aρc c AE de ude, adcă ulsaţa uu sse cu u gad de lbeae, avâd asa ş AE cosaa elască. 5... O baă de luge ese lbeă la u caă, a celălal caă se şcă duă legea s (fg. 5.8.). Să se deee vbaţa foţaă a bae. Fg. 5.8. Rezolvae: Vbaţa foţaă a acese bae se daoeşe codţlo de foeă, cae su: u, s ( ) ş u(, ) Deoaece eesează vbaţa foţaă, aceasa va f de foa: u (, ) U ( ) s. Îlocud-o î ecuaţa dfeeţală a vbaţlo logudale (5.9), se obţe: 86
U ( ) s c s U ( ) sau U U c Soluţa acese ecuaţ ese de foa: U ( ) C cos C s c c a vbaţa foţaă ese: u (, ) C cos C s s c c D codţle ţale se obţe: u, C s s, adcă C ( ) u ş s C cos s c c c adcă C g, de ude vbaţa foţaă va f: c u(, ) cos g s s c c c Se cosaă că valole eu cae ulsaţa şcă caăulu bae ese egală cu ulsaţle o ale bae ( ) πc, u, f de ae. fac aludea vbaţe ( ) 5..5. U dsc de oe de eţe J ese gd lega de caăul lbe al uu aboe de luge (fg. 5.9.). Să se deee ecuaţa ulsaţlo o eu vbaţle de osue ale aboelu. Fg. 5.9. 87
Rezolvae: Ecuaţa dfeeţală a vbaţlo de ăsuce ese: θ θ c, G ude θ ese ughul de oaţe al aboelu, a c. ρ Soluţa geeală a acese ecuaţ ese: θ, A cos B s C cos D s a a Codţle de foeă su: θ θ θ (, ) ş GI J d a codţe ezulă C, a d a doua codţe: GI cos J s c c c sau GI g c cj cae eeză ecuaţa ulsaţlo o. ( ) ( ) 5..6. Să se deee ulsaţle o ş fucţle o (foa odulo o) eu vbaţle asvesale ale ue gz slu ezeaă (aculaă) la abele caee (fg. 5..). Fg. 5.. Rezolvae: Folosd soluţa daă de (5.5) ş codţle la lă, cae î aces caz su: V ( ), V ( ) ş eu celălal caă: V, V ( ), ( ) se obţe eu caăul : 88
de ude D F ş λ ( D F) D F. Peu celălal caă, : Cshλ E s λ λ Cshλ E sλ ( ) Acesa ese u sse la ş ooge. Peu a esa soluţ ebaale ebue ca: shλ sλ λ shλ λ sλ adcă shλ s λ. Deoaece shλ, ua dacă λ, soluţ ebaale vo f dacă s λ. Aceasă ecuaţe caacescă va da ulsaţ o: π EI λ π, de ude : ρ A a fucţle o vo f: π V ( ) Es ude E ese o cosaă edeeaă. Fucţle o su deeae âă la u faco alude aba. Foa elo e odu o su aăae î fg. 5.. Fg. 5.. 5..7. Să se deee ulsaţle o eu vbaţle asvesale ale ue gz îcasaă la u caă ş lbeă la celălal caă (fg. 5..). 89
Fg. 5.. Rezolvae: Folosd soluţa (5.5): V ( ) Cshλ Dchλ E s λ F cosλ ş codţle la lă: V ; ( ) ( ) V ş V ( ) ; V ( ) se obţe sseul algebc: λ λ shλ λ chλ λ chλ λ shλ λ λ cosλ λ cosλ C D λ cosλ E λ sλ F Aces sse ae soluţ ebaale dacă cos λ chλ, ceea ce cosue ecuaţa caacescă, ale căe ădăc se obţ eode uece. Pele au valo su: λ,875, λ, 69 λ 7,858, λ, 996 a d elaţle (5.6) ş (5.7) ezulă:,56 EI, EI, ρa ρa 6,7 EI EI, ρa ρa 9
5.5. Vbaţle ebae lae ş ale ue lăc lae subţ 5.5.. Sablea ecuaţlo cu devae aţale ale ebae lae O ebaă laă ese u co elasc bdesoal, de foa ue suafeţe lae î sae edefoaă, delaă de o cubă laă îchsă uă cou, cae oae elua ua efou de îdee. Se cosdeă o ebaă laă oogeă cu desaea de suafaţă de, aflaă ţal î laul Oy. Sub acţuea ue foţe eubaoae (,y,) dsbuă e suafaţa ebae, oeaă duă aa Oz eedculaă e laul Oy, aceasa va avea vbaţ foţae duă aa Oz, caacezae de defoaţa w(,y,). Fg. 5. Dacă se seaă u elee de suafaţă al ebae cu desule Δ ş Δy î sae edefoaă, la oeul al şcă, asua lu acţoează foţele d fgua 5.. Foţele aale ş se cosdeă dsbue e laule eleeulu de suafaţă, a eeză acceleaţa acesu elee la oeul al şcă. Codţle de echlbu dac ale eleeulu cosdea coduc la ecuaţle: Deoaece ughule,, ş su c, se o face aoăle: (5.8) (5.9) Î alcaţ ehce ebaa ese faă e u cou, asfel că d ele ecuaţ (5.8) ezulă: 9
(5.) a ula ecuaţe (5.8) deve: Cu oaţa d (5.) se obţe: (5.) (5.) Rezulă că vbaţle lbee ale ebae vo f descse de ecuaţa dfeeţală cu devae aţale (5.) Ecuaţle (5.) sau (5.) se folosesc eu sudul vbaţlo foţae, esecv lbee, ale ebae deughulae. Codţle ţale ş de lă eu egaea aceso ecuaţ vo f (5.) (5.5) ude a ş b su desule ebae î sae ţală. Î cazul ue ebae cculae ese ecesa să se ee ecuaţle dfeeţale ale şcă î coodoae olae, faţă de u sse de coodoae cu ogea î ceul ebae. Relaţle de asfoae ale coodoaelo vo f d cae ezulă (5.6) Pe baza elaţlo (5.7) se o sce (5.7) 9
de ude ecuaţa de şcae (5.) eu vbaţle lbee ale ebae deve (5.8) Î aces caz codţle ţale ş codţa la lă su: (5.9) (5.) ude R ese aza ebae cculae î sae ţală. 5... Sablea ecuaţe cu devae aţale a lăc deughulae subţ Fg. 5. Se cosdeă o lacă oogeă deughulaă cu desaea ş desule a esecv b ul a a decâ gosea sa h. Se cauă să se sablească ecuaţa 9