CURS 6 METODE NUMERICE PENTRU ECUAŢII DIFERENŢIALE ORDINARE. Partea I (Rezumat) 6-I METODE NUMERICE PENTRU ECUAŢII DIFERENŢIALE DE ORDINUL ÎNTÂI

Transcript

1 CURS 6 METODE NUMERICE PENTRU ECUAŢII DIFERENŢIALE ORDINARE Parea I Rezua 6-I METODE NUMERICE PENTRU ECUAŢII DIFERENŢIALE DE ORDINUL ÎNTÂI În aceasă secţune se vor rezena eode nuerce enru ecuaţ ş ssee de ecuaţ dferenţale de ordnul înâ roblea cu valor nţale. O ecuaţe sau sse de ordn a are decâ unu se o reduce la un sse ecvalen de ordnul unu rn adăugarea de funcţ necunoscue. Eelu: Fe sseul de ordnul do f y y y g y y Punând u v y sseul devne u y v u f y u v v g y u v Noă: Penru sseele de ordnul do s-au desvola ş eode secfce acesor ssee. Aceasa daoră faulu că ecuaţle dferenţale ale şcăr în ecancă în arcular în roblee de vbraţ sun de ordnul do. Problea cu valor nţale consderaţ generale Fe ecuaţa d f d cu condţa nţală a.c. Noebre 8

2 ' Ecuaţa cu condţa nţală ' consue o robleă cu valor nţale sau o robleă Caucy. Dacă funcţa f îndelneşe urăoarele condţ e doenul D I Ω unde I ese defn de a ar Ω de b : f ese defnă ş connuă e D; f ese lsczană în raor cu adcă: esă o consană ozvă A asfel că enru orce * I ş orce Ω ave f f A * aunc: noând cu M argnea sueroară a funcţe f e D roblea are o soluţe uncă defnă e nervalul α unde α n a b / M. În arcular condţa ese îndelnă dacă f are dervaă arţală în raor cu ărgnă în D sau a ul connuă e D. Penru un sse de ecuaţ dferenţale cu funcţ necunoscue fe [ K ] T [ f f ] T T f K [ K ] ş sseul d f K d cu condţa nţală ' Cu doenul D I Ω unde unde I ese defn de a ar Ω de b condţle ş devn: ' f ese defnă ş connuă e doenul D; ' f ese lsczană în raor cu arguenele K adcă: esă consanele ozve * A asfel că enru orce I ş orce Ω ave: * * f f A. a.c. Noebre 8

3 Noă cu M argnea sueroară a funcţe f e D ş cu M a M. Dacă ' ş ' sun îndelne aunc esă o soluţe uncă defnă e nervalul α unde α n a b / M K b / M. În arcular condţa ' ese îndelnă dacă f are dervae arţale în raor cu connue e I Ω. Noă: Condţa Lscz enru funcţa f se oae consdera ş sub fora: * * f f A ar argnea M ese daă de f M enru I Ω. Nora consderaă ese nora- În ceea ce urează vo consdera roblee cu valor nţale ' şau ' enru care vo resuune îndelne condţle de esenţă ş uncae ale soluţe. Consderă calculul soluţe enru un nerval de negrare [ TT ] nclus în nervalul de esenţă a soluţe. Meodele nuerce vor f rezenae enru o sngură ecuaţe dferenţală ş vor f generalzae la ssee. Oeraor de negrare nuercă nr-un sngur as în a ulţ aş elcţ lcţ Găsrea soluţe ecuaţe rnr-o eodă nuercă se va nu negrare nuercă sau negrare as cu as. Meoda consă în urăoarele: a Inervalul de negrare [ TT ] se dvzează rn uncele n unde n TT. b Ecuaţa se cere să fe sasfăcuă în uncele ar înre acese unce varaţa funcţe se esează. n TT Vo noa în ceea ce urează: a.c. Noebre 8

4 4 soluţa eacă; soluţa calculaă în ; e unde e ese eroarea de runcere globală a eode e asul. Un oeraor de negrare nuercă ese rerezena de o forulă care dă soluţa la oenul K în funcţe de soluţa calculaă la oene aneroare ş anue: g K - Dacă în ebrul do dn g ese funcţe nua de ş evenual oeraorul se zce înr-un as alfel se zce în a ulţ aş ş anue în aş. Adcă: g ; sau g. - Dacă în ebrul do dn aare ş oeraorul se zce lc în caz conrar se zce elc. Inegrarea rn oeraor lcţ conduce la rezolvarea ecuaţe în necunoscua rnr-o eodă enru ecuaţ nelnare. O coaraţe înre oeraor înr-un sngur as ş în a ulţ aş se va face în 4.8. Dsanţa dnre două unce succesve de dvzune a nervalulu de negrare se zce as de negrare:. Cazul coun ese acela în care asul ese consan:. Ave consan. Esă însă algor care ulzează aş varabl. a.c. Noebre 8

5 5 Oeraor înr-un sngur as Taylor Euler Runge-Kua. Ser Taylor eroare de runcere ordn al eode Se desvolă în sere Taylor în urul lu ână la erenul de ordnul. De eelu enru ave: K 4!! Ecuaţa ese f ş rn dervare succesvă obţne: f f ; f f f f K ; Eroarea în desvolarea 4 ese daă de resul sere Taylor 4 4 T 4 ξ ; ξ 4! T 4 4 Eroarea se nueşe eroarea de runcere locală. Dervaa în ξ se oae aroa rn dervaa în ş aceasa dn ură rn dferenţa dvzaă obţnând esarea T 4 [ ]. 4! În general consderând desvolarea ână la ordnul eroarea de runcere locală ese T ξ ; ξ! sau T O Eroarea de runcere globală e ese eroarea rodusă de eroarea locală în calculul lu n adcă eroarea duă n aş unde n n / ş ea va f de ordnul nt adcă de ordnul. Ave urăoarea a.c. Noebre 8

6 6 Defnţe: Ordn Dacă eroarea de runcere globală ese de ordnul eoda sau oeraorul se zce de ordnul Defnţ ecvalene ale ordnulu sun urăoarele: Meoda ese de ordnul dacă forula eode concde cu sera Taylor runcaă ână la erenul de ordnul nclusv Meoda ese de ordnul dacă forula eode ese eacă enru un olno de gradul ş nu a ese eacă enru un olno de gradul. Forula a eode se zce eacă enru o funcţe dacă dn oeza că în ebrul do ave ş rezulă ca ave În cazul de faţă forula eode ese car sera Taylor 4 runcaă scrsă enru ş anue: f K 5!!! în care f f ar K rereznă dervaele calculae în. Avanae ş dezavanae ale eode sere Taylor c Avanaele sun slaea eode ş recza are care oae f ansă. Precza creşe cu ordnul dar calculul cere evaluarea a a ulor dervae. d Dezavanaul rncal consă în calculul dervaelor de ordn sueror. Ma ul rebue ca funcţa f să abă dervae ână la ordnul ceea ce în general nu ese ceru enru esenţa soluţe. Touş enru ule dn robleele racce aceasă condţe ese realzaă.. Meoda Euler Meoda Euler coresunde cazulu în care. Forula eode ese cf. 4 a.c. Noebre 8

7 7 f 6 Meoda are avanaul că nu cere decâ calculul lu f. Ordnul e ese ş enru a ange o recze convenablă asul rebue lua foare c. Meoda are a degrabă o oranţă eorecă. Ea serveşe la deonsrarea eoreelor de esenţă ş la eelfcarea noţunlor de convergenţă ş sablae e eelul une eode sle.. Meode Runge-Kua.. Consrucţa eodelor Runge-Kua Meodele Runge-Kua abreva RK ulzează desvolarea în sere Taylor dar înlocuesc calculul dervaelor de ordn sueror cu calculul funcţe f în unce de fora α φ unde α ş φ sun defnţ de coefcenţ eode. Reluând desvolarea Taylor cu res ave: f f K f O 7!! în care s-a ţnu con de f ar f f ş f n n n df / d. Rean că noă rn soluţa calculaă în rn soluţa eacă ş că une condţa ână la erenul de ordnul în. O caracerscă a eode ese nuărul de evaluăr al ebrulu do al ecuaţe sau sseulu e un as. Aces nuăr ese nu nuărul de evaluăr de funcţ. O eodă RK care face evaluăr de funcţ va f nuă cu -ree -sage. Penru a obţne o eodă cu -ree une: φ 8 în care φ ω 9 unde ω sun coefcenţ a eode ar. Se obţne a.c. Noebre 8

8 8 ω În 9 funcţle se defnesc asfel: a Penru o eodă elcă: f α β ş α asfel că ave: f ec. f α β b Penru o eodă lcă: f α β Coefcenţ α se a zc nodur ar ω se a zc onder. Se obşnueşe ca coefcenţ α β ş ω să se dea în abloul Bucer: α B ω T în care: α α α K B β ] ş ω ω ω K ω ]. [ α ] [ [ Penru o eodă elcă α ş β enru > abloul Bucer ese: α α M α β β M β ω β β ω M M K K β ω ω a.c. Noebre 8

9 9 Condţ enru coefcenţ eode: - Coefcenţ ω îndelnesc condţa de conssenţă: ω 4 Aceasa asgură convergenţa eode v Coefcenţ α β sun suuş la condţle: β α 4' adcă: β α β β α β β L β α. Acese condţ slfcă deducerea coefcenţlor enru eodele de ordn a are ca. Penru usfcăr ale condţlor 4' v. Ralson & Rabnowz 978 ş Isaacson & Keller 966. Ordn: Eroarea de runcere locală T e asul se defneşe ca eroarea forule 8 a eode când înlocu aroaţle cu soluţa eacă. Adcă defn T rn: φ 5 T Dacă T O 5' eoda se zce de ordnul. Ma recs ese cel a are înreg enru care ave 5'. Aceasa revne la condţa ca ca forula 8 să concdă cu sera Taylor a lu runcaă ână la eren de ordnul în nclusv. Penru a obţne o eodă de ordn coefcenţ α β ş ω se deernă dn condţa de a sus cu resecarea condţlor 4 4'. Eroarea de runcere globală e asul ese eroarea aroaţe adcă e. a.c. Noebre 8

10 În..6 se va arăa că T O e O. Asfel o eodă RK de ordnul are o eroare globală de ordnul. În ceea ce urează vo analza nua eodele RK elce. Penru eodele lce re la Harer & Wanner 99. Eelu: Meoda RK elcă cu -ree ş de ordnul ş. Se obţne o fale cu un araeru de eode elce RK cu -ree de ordnul do defne de forulele: f [ ω ω ] f ω ω Meode cunoscue se obţn cu ω 4. De eelu enru ω eoda se zce eoda Runge de ordnul ar abloul Bucer ese:.. Ordn ş nuăr de ree evaluăr de funcţ / as Se araă că în general enru ca o eodă elcă să abă ordnul ea rebue să abă ree ş anue: enru 4 ave > n n ; enru > 4. Ma recs ave urăoarele rezulae daorae lu Bucer Harer Nørse & Wanner 987: c Penru 5 nu esă eode elce de ordn cu ree. d Penru 7 nu esă eode elce de ordn cu ree. e Penru 8 nu esă eode elce elce de ordn cu ree. a.c. Noebre 8

11 Acese rezulae sun nue barerele Bucer. Penru 9 se cunosc nua argn enru ar enru > nu se cunosc evaluăr enru n Rezulaele aneroare se o sneza în abloul urăor Carwrg & Pro 99: n n. Ordnul a enru care ave ese 4. Dn aces ov eoda RK de ordnul 4 ese cea a frecven ulzaă. Penru > 4 rebue adăugae cel uţn două ree ceea ce ăreşe ul de calcul ş nroduce eror de rounre sulenare.. În ceea ce rveşe eodele RK lce enru orce nuăr de ree esă eode de ordnul. V. Harer Nørse & Wanner Convergenţă ş conssenţă Meoda RK se zce convergenă dacă enru soluţa calculaă nde la soluţa eacă e fecare. Consderând nervalul de negrare ] ş noând [ c nuărul de aş de negrare va f c / sau c. Asfel condţa se eră rn la: l c Meoda RK defnă de 8 se zce conssenă cu roblea cu valor nţale dacă ave φ f Cu ş eresle ale funcţlor ave φ ω f ω ş condţa de conssenţă ese ecvalenă cu condţa ω a.c. Noebre 8

12 Se deonsrează că conssenţa ese o condţe necesară ş sufcenă enru convergenţă Carwrg & Pro Meode RK de ordnul 4 O eodă RK elcă de ordnul 4 abreva RK4 ese defnă de cu 4: ω ω ω ω 4 4 în care confor ave: f f α β f α β β f α 4 β4 β4 β 4 4 Deducerea coefcenţlor eode conduce la o fale cu do araer v. Harer Nørse & Wanner 987 Ralson & Rabnowz 978. Cele a uzuale eode RK4 sun defne de urăoarele ablour Bucer: Meoda RK4 Regula / Se verfcă condţa de conssenţă ş condţle 4'. Pra eodă ese cea a uzuală fnd denuă Meoda RK de ordnul 4. A doua ese ceva a recsă decâ ra Harer e al Elc Meoda RK4 ese daă de forulele: 4 6 în care: a.c. Noebre 8

13 4 f f f f Penru un sse de ecuaţ dferenţale de ordnul înâ forulele eode RK4 sun slare cu 9 varablele scalare f înlocundu-se cu vecor f : 6 4 a 4 f f f f a În rograarea forulelor a a vecor se rereznă rn ablour: :n f: :. Rean că desenează nuărul de ecuaţ ar n nuărul aşlor de negrare. Meode RK de ordn a înal Cel a înal ordn enru care s-au consru eode RK elce ese : Curs 8 ree 975 ş Harer 7 ree Meode RK îbrcae Fe o eodă RK de ordn cu ree care calculează soluţa ω 4 Funcţle sun defne de ş revn la calculul funcţe f în unce de fora. β α Ideea eode îbrcae ese de a o cobna eoda 4 cu o eodă RK de ordn ' uzual sau cu acelaş nuăr de ree ş care să calculeze funcţa f e aceleaş unce ca 4 adcă având aceeaş coefcenţ β α. Fe cea de-a doua eodă care calculează soluţa a.c. Noebre 8

14 4 ˆ ˆ ω. 5 În 4 ş 5 ese nuărul de ree dn eoda de ordn a are. Penru farea delor să resuune că > : aunc n ar eoda de ordn va avea nuărul de ree > n. Asfel eoda de ordn a c are ree sau grade de lberae sulenare. Coefcenţ eode brcae se deernă asfel ca e să nzeze coefcenţ care defnesc eroarea în una dn cele două eodele. Soluţa ˆ se ulzează enru esarea eror de runcere rn ceşe egal rn esare : ˆ T 6 O asfel de eodă se va noa RK eelu RK 45. Elc eroarea de runcere locală se eseză rn T ˆ ω ω 6' Meode Runge-Kua-Felberg: Felberg a consru asfel de eode de ordne care să nzeze coefcenţ eror în eoda de ordn a c. Ele sun nue eode Runge- Kua-Felberg RKF. Cele a cunoscue sun eodele RKF 45 ş 78. Cea a ulzaă dnre acesea ese eoda de ordnul 4 cu 6 ree 4 ' 5 6 defnă de urăorul ablou Bucer în ula lne sun daţ coefcenţ ωˆ : Meoda RKF ω ˆ ω a.c. Noebre 8

15 5 Meoda RKF 45 se găseşe leenaă în ule acee de rograe enru negrarea nuercă a ecuaţlor dferenţale. Ileenarea conduce la o eodă RKF cu as varabl: esarea 6 se ulzează enru a conrola eroarea eode 4 ş a odfca asul dacă eroarea deăşeşe o oleranţă usă v. a os. Meode Dorand-Prnce DOPRI: Dorand & Prnce au consru eode a recse de ordne în care se nzează coefcenţ eror în eoda de ordn a are. Soluţa calculaă ese daă de eoda cu ordnul ar eoda de ordnul se ulzează nua enru conrolul asulu. Acesea sun eodele DOPRI 54 ordn 5 cu 7 ree ş DOPRI 87 ordn 8 cu ree. Coefcenţ eodelor ca ş codur Forran sun dae în raaul Harer Nørse & Wanner 987. Codurle Forran găsesc ş la adresa: :// Meode DOPRI sun rezenae în Dorand 996. Codur Forran sun dae la adresa: f://f.ees.ac.u/ub/.r.dorand/. Meodele DOPRI sun cele a recse eode elce enru negrarea nuercă a ecuaţlor dferenţale de ordnul înâ esene în oenul de faţă. Alegerea asulu Consderă o eodă brcaă cu < ş un as curen noând enru slfcare 6 ese: ş. Eroarea de runcere locală esaă confor T ˆ Ave: T ˆ O ' O sau cu < ave eroarea absoluă: err T C a.c. Noebre 8

16 6 Pasul o ese cel enru care eroarea ese aroav egală cu oleranţa ol secfcaă de ulzaor adcă: ol C o Elnând C înre ulele două realţ rezulă: ol err dn care o o ol err Penru sguranţă în rogra se une: o.9 ol err În forula aneroară err ˆ T unde ese esarea 6' a eror. T Penru un sse odulul se înlocueşe cu nora: err ˆ. Observaţ Dacă se cere secfcare oleranţe olrel la eroarea relavă în odul rel aunc ave err rel ş rezulă err rel C err olrel Co de unde err olrel rel o o olrel rel În forula aneroară rel ese da de eresa de a sus în care err ese esarea err 6' în odul. Penru un sse ave rel a. err a.c. Noebre 8

17 7 Eroarea err se a esează ş rn aşa nua eraolare Rcardson calculând în aralel soluţa cu do aş de ăre ş soluţa X cu un as dublu ş esând eroarea rn dferenţa celor două soluţ. Penru o eodă de ordnul se obţne Harer e al. 987: X O X T. Soluţa ˆ T ese o aroaţe a lu cu o eroare de ordnul. Penru conrolul eror ave: X err err rel. ˆ Penru sse în err odulul se înlocueşe cu nora ar err rel a ˆ unde err ese esarea err enru coordonaa a soluţe. Esărle err rel se o folos în forulele aneroare enru. o Codurle care leenează eode cu as varabl ulzează fe ol fe olrel fe abele îreună cu ale ecanse de conrol al asulu care revn creşerea sau scăderea ecesvă a asulu. De eelu în unul dn cele a no codur v. RKSUITE în Brann and Gladwell 994 ulzaorul secfcă oleranţa TOL a eror relave ar esul de eroare cere ca e fecare as : eroare TOL a ag rag unde ag ese o ăre ede a coordonae a soluţe e asul consdera ar rag ese un ablou secfca de ulzaor. Asfel dacă rag > ag rezulă un es de eroare absoluă cu oleranţa ol TOL rag ar enru rag < ag rezulă un es de eroare relavă cu olrel TOL. a.c. Noebre 8

18 8..6 Esarea eror de runcere globale Noă acu cu e ş T odulul eror de runcere globală ş locală resecv e asul. Duă defnţle dn.. ave: e 7 ş defn e ş T φ 8 Se araă că: eroarea de runcere globală ese e O. Eroarea de runcere locală în odul se oae scre sub fora T ψ O Prul eren se zce eroarea de runcere locală rncală. Penru un sse în eresle aneroare odulul se înlocueşe cu nora...7 Sablaea eodelor RK sablaea absoluă lnară Ne vo la la sablaea lnară a eode. Aceasa se sudază rn lnarzarea ecuaţe în urul une soluţ a acesea. Fe ecuaţa dferenţală f ş ϕ o soluţe needă a acesea adcă ϕ f ϕ. Consderă o erurbaţe δ a soluţe rovennd dnr-o erurbare a condţe nţale unde δ ε : δ ϕ ϕ δ ş scăzând relaţa dn rezulă d δ f ϕ δ f ϕ d Desvolă ebrul do în în urul lu ϕ înă la erenul de ordnul înâ în δ. Obţne: a.c. Noebre 8

19 9 d f δ ϕ δ K J δ K 4 d în care J f / ϕ. Ecuaţa 4 lnarzaă se obţne neglând eren nescrş ş anue: d δ J δ d În fne în ră aroaţe consderă J J consan ş anue * * J J unde ş ave d δ Jδ 5 d Ecuaţa 5 oae f scalaă asfel că erurbaţa să fe de ăre arbrară. Pune y Cδ unde C ese o consană ş ecuaţa 5 devne y Jy. 5' În fne noând în loc de y ecuaţa 5' devne o ecuaţe de ul λ 6 în care în general λ va f consdera cole v. a os cazul unu sse. Ecuaţe 6 î aaşă o condţe nţală arbrară: 6' Problea 6 6' consue esul enru sablaea lnară a eode nu ş esul Dalus. Soluţa eacă a roblee ese: e λ 7 Dacă Re λ < aunc ave. Se zce că roblea are un unc f sabl în. Observaţe Puncele fe ale une ecuaţ sun valorle enru care ave f. Puncele fe ale une eode nuerce elce g sun dae a.c. Noebre 8

20 de adcă de soluţle ecuaţe g. Puncele fe ale une eode RK defnă de 8 sun dae de φ ω în care enru o eodă elcă: f α β Dacă X ese un unc f al ecuaţe f aunc ave f X ş rezulă: f X f X sau. Penru o eodă lcă ave acelaş rezula. Urează că uncele fe ale ecuaţe sun ş unce fe ale eode RK Defnţe O eodă nuercă ese sablă lnar dacă alcaă ecuaţe 6 ave: adcă eoda ăsrează sablaea unculu f Penru un sse de ecuaţ dferenţale f ave analog cu cazul une sngure ecuaţ: fe soluţa φ φ f φ une δ φ ş rezulă d δ f f φ J δ K d în care J [ f / ] ese acobanul funcţe f în raor cu. Aroă φ J A consan. Cu aceasa scbând noaţa δ a odelul lnar ese a.c. Noebre 8

21 A 8 în care A ese o arce consană. Presuune enru slfcare că A că are valor ror λ dsnce ş în general colee. Presuune că valorle ror au area reală negavă: aunc ave un unc f sabl în. Înrucâ valorle ror sun dsnce esă o bază orogonală foraă dn vecor ror în care arcea A se dagonalzează ar ecuaţle 8 se deculează sseul reducându-se la ecuaţ ndeendene de fora. Înradevăr dacă vecor ror sun { v } defnţ de Av λ v une y v ş ave y v A λ y v. Înlocund în 5 rezulă y λ y la care adăugă condţ nţale arbrare de eelu y y Asfel în oezele făcue analza sablăţ enru sseul 8 se oae face e o sngură ecuaţe de fora 6 Revennd la ecuaţa 6 să- alcă eoda elcă RK de ordnul consderaă în..: [ ω ω ]. Cu f λ rezulă λ λ λ ş ω [ ω λ ωλ λ ] λ λ ω Ave: R unde λ λ R λ λ a.c. Noebre 8

22 Să observă că cu ave R λ. Defnţe Rλ se nueşe funcţa de sablae a eode. Ea oae f consderaă ca soluţa nuercă duă un as a roblee lnare de es 6 6' cu Regunea de sablae absoluă enru o eodă ese ulţea valorlor ş λ real ş nenegav λ cole enru care ave enru adcă uncul f orgnea ese sabl. Penru aceasa ese necesar ş sufcen ca să ave R <. Punând S { z C ; R z < }. z λ regunea de sablae ese ulţea Uneor regunea de sablae ese defnă îreună cu fronera sa rn condţa R. Penru eoda elcă RK de ordnul regunea de sablae va f daă de: z z / < Penru un sse λ va f valoarea rore de odul a a arc acoban A. Să consderă acu cazul general al une eode elce cu ree de ordnul adcă 4. Consderă desvolarea lu în sere Taylor ână la ordnul. r r Cu ' λ rezulă λ λ ş în general λ r asfel că ave: λ λ K λ!! O În fne cu ş oţând resul O ave:!! λ λ K λ care araă că funcţa de sablae ese λ λ R λ K ; 4. 9!! Penru o eodă elcă de ordn cu > ree funcţa de sablae va f a.c. Noebre 8

23 λ λ R λ K γ λ 4!! unde γ sun defnţ de coefcenţ eode. De eelu enru eoda DOPRI 54 cu 6 ree reaa 7 se ulzează nua enru esarea eror erenul adţonal în 4 ese λ 6 /6. Harer & Wanner 99. Dn aceasa rezulă că funcţa de sablae a une eode elce cu ree ese un olno de gradul în. Condţa R < conduce la o regune de sablae ărgnă. Dacă aceasa ar f neărgnă nu ue avea R < înrucâ λ R. Meodele RK lce o avea regun de sablae neărgne. Acese eode se alcă enru ecuaţ dferenţale rgde v. 5 la care eodele elce nu a convn. Penru rerezenarea regunlor de sablae lnară în cazul λ cole enru eodele RK 4 v. Harer & Wanner 99 Carwrg & Pro 99. Inersecţle regunlor cu aa reală dau nervalele de sablae enru cazul λ real. Acese nervale se găsesc dn condţa R < unde R ese defn de 7 cu λ real ş negav confor oeze Reλ <. Rezulă: : - < λ < ; : < λ < ; 4: < λ <...8 Sablaea absoluă nelnară Sablaea nelnară ese o robleă ul a coleă. Ea are coneune cu dnaca aocă. În cazul une roblee nelnare regunea de sablae a une eode RK oae f dferă de regunea e de sablae lnară. Cea a orană dferenţă consă în aceea că enru o robleă nelnară eodele RK o conţne e lângă uncele fe ale roblee v. Observaţa dn..7 ş unce fe adţonale. Eceţe face eoda Euler care are nua uncele fe ale roblee. Puncele fe adţonale sun nue unce fe fanoă. Recen 99 s-a arăa că în unele cazur unce fe fanoă o esa la orce lunge a asulu dferă de zero adcă la aş enru care λ ese în regunea de sablae lnară absoluă. Dacă un aseenea unc f ese sabl la aş orcâ de c aunc o raecore calculaă oae converge la un unc f care nu esă în dnaca roblee orgnale. Dferenţa înre robleele lnare ş nelnare consă în aceea că enru roblee nelnare baznul de aracţe ese a.c. Noebre 8

24 4 ărgn în ce enru o robleă lnară acesa ese neărgn. Asfel enru o robleă lnară esă convergenţă enru orce condţ nţale cu condţa ca λ să fe în nerorul regun de sablae în ce enru o robleă nelnară ese necesar în lus ca condţle nţale să fe conţnue în baznul de aracţe. Penru desvolăr re la Carwrg & Pro 99. În racca de calcul s-a consaa că enru un răsuns aoc unde calculaţa se face e un are nuăr de aş sue de sau loane codul Runge-Kua de ordnul 4 forulele a a ese foare sensbl la c scbăr ca: ulzarea de varable locale asocerea în oeraţle arece vecorzarea cclurlor DO în subruna de negrare a sseulu da oţunle de buld ca ozarea codulu ec. V. raorul Csălţă A. & al Eelu de es Problea celor două corur Urăoarea robleă consuă de roblea celor două corur în cazul şcăr elce ese luaă ca es enru eodele de negrare nuercă a roblee cu valor nţale v. Dorand and Prnce 978 Brann and Gladwell 994. Problea consderă şcarea relavă a două unce aerale care neracţonează rn legea aracţe unversale ş ese descrsă în coordonae carezene de sseul de ecuaţ dferenţale: & / r & y y / r în care r / y. Se consderă condle nţale enru cazul şcăr elce e & y y& e / e în care e <. Soluţa analcă ese daă de: sn u cosu e y e sn u & y& e cosu e cosu e cosu în care u se deernă dn ecuaţa lu Keler: u esn u. Soluţa ese erodcă cu eroada nă T π ar orba ese o elsă cu ecenrcaea e ş se-aa are egală cu. Problea rereznă un es sever daoră erodcăţ soluţe. Penru rezolvarea nuercă sseul da se ransforă înr-un sse ecvalen de 4 ecuaţ de ordnul înâ: a.c. Noebre 8

25 5 & v & & & / y w v / r w y / r ; r y cu condţle nţale: e y v w e / e. Calculă soluţa e nervalul [ ] adcă ese re eroade enru valorle e. ş e.9 ale ecenrcăţ. Calculul ese făcu în dublă recze cu eodele: a RK4 as consan v. codul în ANA_EcDf. b Runge-Kua-Verner 56 cu subruna DIVPRK dn IMSL as varabl v. IMSL Lbrares Reference 998 cu arguenele: ol D-7. D- 6 ara se ulzează nora- a eror. Subruna se bazează e codul scrs de Hull Enrg ş Jacson 976 care ulzează forulele lu Verner de ordnul 5 ş 6 v. DVERK n se-ul: :// Runa oae ulza aş în laa.d-5. valor lce. Inervalul de negrare s-a îărţ în ş resecv în sub-nervale. Rezulaele a recse se obţn enru îărţrea în sub-nervale în aces caz asul a osbl ese. egal cu lungea sub-nervalulu. c RK 87 cu subruna DIVMRK dn IMSL as varabl. S-a ulza aelul subrune DIMRK cu secfcarea arguenelor. Toleranţa ol s-a lua în laa D-7. D-5. Subruna leenează codul dn RKSUITE eodele RK de ordne 54 ş eoda Dorand ş Prnce de ordn 87 v. Brann and Gladwell 994. Ordnul eodelor ese 5 ş 8 resecv. Inervalul de negrare s-a îărţ în ş resecv în sub-nervale. Rezulaele a recse se obţn enru îărţrea în sub-nervale în aces caz asul a osbl ese. lungea sub-nervalulu.. Penru soluţa eacă ecuaţa lu Keler se rezolvă rn eoda unculu f cu oleranţa es D-. În abelele urăoare ese daă eroarea absoluă aă ş nă a soluţe calculae la ul cel a aroa de eroade. În araneze se ndcă funcţa dnre y & y& enru care are loc ereul eror absolue. e.: Eror absolue eree la 8.84 RK4; 8.6 RKV; 8. RK 87. a.c. Noebre 8

26 6 Ere eroare Meoda absoluă RK4 RKV 56 RK 87. ol D- ol D- Maă 7.7 D-9 &.68 D-9 y.57 D- y& Mnă 4.8 D D- 9.6 D- y Nuăr aş 49 8 Nr. aelur FCN e.9 Meoda RK4: Eror absolue eree la 8.84.;.5 ş ;.5 Pasul Eroarea absoluă Maă & Mnă Nuăr de aş..5 D.54 D D- 4.6 D D-4. D D-5.8 D-8 4 Eroarea aă are loc în y& e.9 Meoda RKV 56 sub-nervale: Eror absolue eree la 8.6 Toleranţa ol Eroarea absoluă Maă & Mnă y Nuăr de aş D-7.98 D D D-.8 D-6. D D-.9 D-9.5 D D-5.88 D-4 6. D Nuăr aelur FCN e.9 Meoda RK 87 sub-nervale: Eror absolue eree la 8. a.c. Noebre 8

27 7 Toleranţa Eroarea absoluă Nuăr Nuăr ol Maă Mnă y de aş aelur FCN D-7.6 D-6. D D-.9 D D D- 9. D D D-5. D-.8 D Toleranţa nă adsă. D-5. Urăorul grafc dă o coaraţe a efcenţe eodelor de a sus enru cazul e.9. În ordonaă ese rerezena nuărul r log Eroarea absoluă nă. El ndcă cea a bună recze ansă de eodă eroarea nă ese de ordnul r ş ese rerezena în funcţe de nuărul de evaluăr de funcţ. Meoda ese cu aâ a efcenă cu câ realzează o recze daă cu un nuăr a c de evaluăr de funcţ. Problea celor două corur e.9: Efcenţa eodelor RKV 56 RK 87 Observaţ a.c. Noebre 8

28 8 - Tesul cel a sever ese cazul e.9. Cu acelaş as în RK4 sau aceeaş oleranţă în RKV 56 RK 87 eodele dau rezulae cu o recze nferoară cazulu e.. Dn aces ov s-au efecua negrăr cu aş resecv oleranţe a c. Să rearcă că asul. rereznă aroav T/68 unde T ese eroada şcăr. În cazul e. enru eodele RKV ş RK 87 s-a ales oleranţa D- enru a avea eror coarable cu cele dn eoda RK4. - În subruna DIPVRK eoda RKV 56 arguenul ol serveşe enru conrolul nore eror locale în scoul de a se încerca enţnerea eror globale aroav roorţonală cu valorea ol v. refernţele cae a sus. - În subruna DIMRK eoda RK 87 arguenul ol serveşe la conrolul eror relave ş la alegerea ordnulu eode asfel: D-4 < ol D- D-6 < ol D-4 ş ol > D-6 roduc alegerea eode de ordnele 54 ş 87 resecv. - Coloana Nuăr aelur FCN dă nuărul de aelur ale subrune FCN care calculează ebr do a sseulu de ecuaţ. Aces nuăr ese refer ca nuărul de evaluăr de funcţ al eode. Meoda RK4 face 4 aelur ale subrune FCN e un as În codul dn Anea 4. FCN ese DERIVS.. - Se rearcă creşerea recze odaă cu cşorarea asulu RK4 sau a arguenulu ol RKV 56 RK 87 dar cu reţul ărr nuărulu de aş sau a nuărulu oal de evaluăr de funcţ. Se rearcă creşerea recze cu creşera ordnulu eode. Dn coaraţa efcenţe celor re eode rezulă că enru roblea consderaă eoda RK 87 oferă cel a bun raor recze/nuăr de evaluăr de funcţ cu eceţa cazulu une oleranţe aroaă de cea nă adsă.d-5 când eoda RKV 56 ese sueroară a.c. Noebre 8