ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΙΣΧΥΣ ΚΑΙ ΑΣΥΝΕΠΕΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΛΟΓΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ΜΕΣΩ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΩΝ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ PRENEX ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΣΤΗΝ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1
ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ HERBRAND ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ SKOLEM ΤΟ ΣΥΜΠΑΝ ΤΟΥ HERBRAND ( HERBRAND UNIVERSE ) ΕΝΟΣ ΣΥΝΟΛΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΚΩΝ ΤΥΠΩΝ ( CLAUSES ) SEMANTIC TREES ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ HERBRAND µηχανική µέθοδος απόδειξης θεωρηµάτων (~1930) (χρονοβόρα απαιτείη/υ) Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ( RESOLUTION PRINCIPLE ) (Robinson 1965) ένας και µόνο συλλογιστικός κανόνας inference rule- για απόδειξη θεωρηµάτων, χρήσιµος για H/Y Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΚΑΙ ΕΝΟΠΟΙΗΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΕΝΟΠΟΙΗΣΗΣ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΠΛΗΡΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΑΡΧΗΣ ΤΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΑΡΧΗΣ ΤΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ ΕΞΑΛΕΙΨΗΣ 2
ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ F1 : εάνέχειζέστηκαιυγρασία, τότεθαβρέξει. F2 : εάνέχειυγρασία, τότεέχειζέστη. F3 : τώραέχειυγρασία. Ηερώτησηείναι : Θαβρέξει ; (F4) ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ Έστω P: «έχει ζέστη» Q: «έχει υγρασία» R: «θα βρέξει» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΛΟΓΙΚΗ Και τα λογικά σύµβολα «^»νααναπαριστά «και» νααναπαριστά «συνεπάγεται» 3
Τότε τα παραπάνω τρία γεγονότα αναπαριστώνται ως : F1 : P Q R F2 : Q P F3 : Q οποτεδήποτεοι F1, F2 και F3 είναιαληθείς, οτύπος F4 : R είναιαληθής Γι αυτόθαλέµεότιτο F4 επακολουθείλογικάαπότα F1, F2 και F3 (logically follows from) Αυτό σηµαίνει δηλαδή, ότι αν οι F1,F2,F3 είναι αληθείς, τότε θα βρέξει. 4
Παράδειγµα : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΛΟΓΙΚΗ Έστω τα ακόλουθα γεγονότα : F1 : Ο Κοµφούκιος είναι ένας άνθρωπος F2 : Κάθε άνθρωπος είναι θνητός Αναπαράσταση των F1 και F2 µε κατηγόρηµα (predicate) Ρ(x) : «x είναιέναςάνθρωπος» Q(x) : «ο x είναιθνητός» ( x) αναπαριστάτο «γιαόλατα x» Τότε τα παραπάνω γεγονότα αναπαριστώνται από το κάτωθι : F1 : P ( Κοµφούκιος ) F2 : ( x ) ( P(x) Q(x) ) Απότα F1 και F2 µπορούµεναπαράγουµελογικά ( logically deduce ) το: F3 : Q ( Κοµφούκιος ) δηλαδή ο Κοµφούκιος είναι θνητός 5
Τι προσπαθούµε να αποδείξουµε: Ότι ένας τύπος ( formula ) είναι λογικό επακόλουθο άλλων τύπων Θακαλούµεµίακατάστασηκατάτηνοποίαέναςτύποςείναιλογικόεπακόλουθοάλλων, ωςθεώρηµα. Μιαεπίδειξητουότιέναθεώρηµαείναιαληθέςθακαλείταιαπόδειξητουθεωρήµατος. Το πρόβληµα της σύγχρονης λογικής (ΜΤΡ = Mechanical Theorem Proving) είναι να λάβει υπόψη µηχανικές µεθόδους, για να βρει αποδείξεις θεωρηµάτων ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ 1. Σεένασύστηµαερωταποκρίσεων, ταγεγονόταµπορούννααναπαρασταθούναπόλογικούςτύπους. Τότε για να απαντηθεί µια ερώτηση από τα γεγονότα, αποδεικνύουµε ότι ένας τύπος που αντιστοιχεί στην απάντηση, παράγεται από τους τύπους που αναπαριστούν τα γεγονότα. 2. Σε ένα πρόβληµα ανάλυσης προγράµµατος, µπορούµε να περιγράψουµε την εκτέλεση ενός προγράµµατος µέσω ενός τύπου Α, και τη συνθήκη ότι το πρόγραµµα θα τερµατιστεί, από έναν άλλο τύπο Β. Τότε για να επιβεβαιώσουµε το ότι το πρόγραµµα θα τερµατιστεί, αρκεί ισοδύναµα να αποδείξουµεότιοτύποςβακολουθείαπότοντύποα. Άλλα παρόµοια προβλήµατα, που λύνονται µε αντίστοιχη µε την παραπάνω συλλογιστική, µέσα από τη θεωρία της Λογικής είναι : Το πρόβληµα ισοµορφισµού γραφηµάτων. Το πρόβληµα µετασχηµατισµού καταστάσεων, κ.λ.π. 6
Βασικές µαθηµατικές έννοιες και ορισµοί της θεωρίας συνόλων : Ένασύνολο ( set ) είναιµίασυλλογήαπόστοιχεία (µέλη). Ένασύνολοπουδενπεριέχεικαθόλουστοιχείακαλείταικενόσύνολο (empty set). Έστωδύοσύνολα, ταακαιβ. Ηέκφραση x A χρησιµοποιείταιγιανα δηλώσειότιτο xείναιέναµέλοςτουα, ήότιτο x ανήκειστοα. ΤοσύνολοΑείναιταυτόσηµοήίσο ( identical ) µετοσύνολοβ( συµβολίζεται µεα= Β ), ανκαιµόνοαντοακαιτοβέχουνταίδιαστοιχεία. ΤοσύνολοΑείναιέναυποσύνολοτουσυνόλουΒ( συµβολίζεταιµεα Β), αν καιµόνοανκάθεστοιχείοτουαείναιστοιχείοτουβ. ΤοσύνολοΑείναιένακύριουποσύνολο ( proper subset ) τουσυνόλουβ (συµβολίζεταια Β), ανκαιµόνοανα ΒκαιΑ Β. 7
Ηένωσηδύοσυνόλων (union) ΑκαιΒ, (συµβολίζεταια Β) είναιτοσύνολο πουαποτελείταιαπόόλαταστοιχείαπουανήκουνστοαήστοβ. Ητοµήδύοσυνόλων ( intersection ) ΑκαιΒ( συµβολίζεταια Β) είναιτο σύνολο που αποτελείται από όλα τα στοιχεία που από κοινού ανήκουν καιστοακαιστοβ. Η διαφορά µεταξύ δύο συνόλων Α και Β, (συµβολίζεται Α-Β), είναι το σύνολο πουαποτελείταιαπόόλαταστοιχείαπουανήκουνστοα, αλλάδεν ανήκουν στο Β. 8
Σχέσεις και συναρτήσεις : Έναδιατεταγµένοζεύγος (ordered pair) στοιχείων, δηλώνεταιµε (x, y), όπου x καλείται πρώτη συντεταγµένη ή τετµηµένη και y δεύτερη συντεταγµένη ή τεταγµένη (first & second coordinate). Μία σχέση είναι ένα σύνολο από διατεταγµένα ζεύγη. Π.χ η σχέση ισότητας είναι ένα σύνολο από διατεταγµένα ζεύγη, καθένα από τα οποία έχει την πρώτη του συντεταγµένη ίση µε τη δεύτερη. Οχώρος (domain) µιαςσχέσης Rείναιτοσύνολοόλωντωνπρώτων συντεταγµένων των στοιχείων του R και το πλάτος στο οποίο κυµαίνεται (range), είναι το σύνολο όλων των δεύτερων συντεταγµένων. 9
Μία συνάρτηση είναι µια σχέση τέτοια ώστε δεν υπάρχουν δύο διαφορετικά στοιχεία που να έχουν την ίδια τετµηµένη (πρώτησυντεταγµένη). Εάν fείναιµίασυνάρτησηκαι x είναιέναστοιχείοτου χώρου της, τότε ο συµβολισµός f(x) δηλώνει τη δεύτερη συντεταγµένη (τεταγµένη) τουµοναδικούστοιχείουτης f, τουοποίουηπρώτησυντεταγµένη (τετµηµένη) είναι x. Η f(x) καλείταιητιµήτης f στοσηµείο x, καιλέµεότιηf προσδιορίζει (assigns) την τιµή f(x) στο x. 10
Συµβολισµοί Συσχέτισης >: µεγαλύτερο από : µεγαλύτερο ή ίσο <: µικρότερο από : µικρότεροήίσο =: ίσοµε : όχιίσοµε (διάφορο) : ορίζεται ως Το σύµβολο «=» θα χρησιµοποιείται µε πολλά παραπλήσια νοήµατα όπως: «ορίζεταιαπό» ( is defined by ) «είναιταυτόσηµοµε» ( is identical to ) «είναιισοδύναµοµε» ( is equivalent to ) «είναιίσοµε» ( is equal to ) 11
ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Η συµβολική λογική λαµβάνει υπόψη γλώσσες των οποίων ο βασικός σκοπός είναι να συµβολίσουν συλλογισµό βασισµένο όχι µόνο σε µαθηµατικά, αλλάεπίσηςκαιστηνκαθηµερινήζωή. Η απλούστερη µορφή συµβολικής λογικής είναι η προτασιακή λογική ( propositional logic or propositional calculus). Στην προτασιακή λογική ενδιαφερόµαστε για δηλωτικές προτάσεις (declarative sentences) που µπορούν να είναι αληθείς (true), ή ψευδείς (false), αλλάόχικαιταδύο. Κάθετέτοιαδηλωτικήπρότασηκαλείταιπρόταση (proposition). 12
Παραδείγµατα προτάσεων είναι : «Το χιόνι είναι άσπρο» «Η ζάχαρη είναι υδατάνθρακας» «Ο Βασίλης έχει διδακτορικό» Ηαλήθειαήτοψεύδοςπουαποδίδεταισεµίαπρόταση, καλείταιητιµήαλήθειας (truth value) τηςπρότασης. Αναπαριστούµε τηναλήθεια (true) µετ τοψεύδος (false) µε F Επιπλέον θα δηλώνουµε µε ένα γράµµα ή συνδυασµό γραµµάτων κάθε πρόταση όπως το παράδειγµα που ακολουθεί : Ρ Τοχιόνιείναιάσπρο Q Η ζάχαρη είναι υδατάνθρακας R Ο Βασίλης έχει διδακτορικό Τασύµβολαόπωςτα P, Q, Rπουχρησιµοποιούνταιγιαναδηλώσουνπροτάσεις, καλούνταιατοµικοίτύποιήάτοµα (atomic formulas or atoms). 13
Απόπροτάσειςµπορούµεναδοµήσουµεσύνθετεςπροτάσεις (compound propositions), χρησιµοποιώντας λογικούς συνδέσµους (logical connectives). Παραδείγµατα σύνθετων προτάσεων είναι : «Τοχιόνιείναιάσπροκαιοουρανόςκαθαρός». «ΑνοΓιάννηςδενείναιστοσπίτι, τότεημαρίαείναιστοσπίτι». λογικοί σύνδεσµοι στις παραπάνω δύο σύνθετες προτάσεις είναι «και»και «εάν... τότε» Στην προτασιακή λογική θα χρησιµοποιήσουµε πέντε λογικούς συνδέσµους : ~ όχι ( not ): άρνηση και ( and ): σύζευξη ή ( or ): διάζευξη εάν... τότε ( if... then ): συνεπαγωγή εάνκαιµόνοεάν ( if and only if ): ισοδυναµία 14
Οι πέντε λογικοί σύνδεσµοι µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να δοµήσουν σύνθετες προτάσεις, από απλές π.χ. αναπαριστούµε τα : «ηυγρασίαείναιυψηλή»µε P «ηθερµοκρασίαείναιυψηλή»µε Q «Κάποιοςαισθάνεταιάνετα»µε C Τότεηπρόταση : «Ανηυγρασίαείναιυψηλήκαιηθερµοκρασίαείναιυψηλή, τότε κάποιος δεν αισθάνεται άνετα», µπορεί να αναπαρασταθεί µε : ( ( P Q ) ( ~ C ) ) Έτσι βλέπουµε ότι µια σύνθετη πρόταση µπορεί να εκφράσει, µία µάλλον πολύπλοκη ιδέα. Στην προτασιακή λογική, µία έκφραση που αναπαριστά µιαπρόταση, όπωςηp, ήµίασύνθετηπρότασηόπωςη ( ( P Q ) ( ~ C ) ) καλείται καλοσχηµατισµένη έκφραση (well - formed formula ή wff) 15
Ορισµός : Οι καλοσχηµατισµένες εκφράσεις ( wff ) ή εκφράσεις για συντοµία, στην προτασιακή λογική, ορίζονται επαναληπτικά όπως ακολουθεί : Έναάτοµοείναιµιαέκφραση ( wff ). Αν Gείναιµιαέκφραση ( wff ) τότε ( ~ G ) είναιεπίσηςµιαέκφραση. Αν G καιηείναιεκφράσεις, τότεοι ( G H ), ( G H ), ( G H ) και ( G H ) είναιεκφράσεις. Όλες οι εκφράσεις δηµιουργούνται µέσω εφαρµογής των ανωτέρω κανόνων. Εκφράσειςόπως ( P ) και ( P ) δενείναιεκφράσεις ( wff ) Μερικά ζεύγη παρενθέσεων µπορούν να απαλείφονται π.χ. P Q και P Q είναιαντίστοιχαοιεκφράσεις (P Q) και (P Q) Επιπλέον, µπορούµε να παραλείπουµε τη χρήση παρενθέσεων, εκχωρώντας φθίνουσα κατάταξη (decreasing ranks) στους προτασιακούς συνδέσµους όπως ακολουθεί :,,,, ~ απαιτώντας ότι ο σύνδεσµος µε τη µεγαλύτερη κατάταξη, πάντα φτάνει πιο µακριά. ΈτσιΡ Q R θασηµαίνει ( Ρ ( Q R ) ) και P Q ~ R S θασηµαίνει ( P ( Q ( ( ~ R ) S ) ) ). 16
Έστω Gκαι H δύοεκφράσεις. Τότεοιαληθείςτιµέςτωνεκφράσεων : ( ~ G ), ( G H ), ( G H ), ( G H ) και ( G H ) σχετίζονταιµετιςαληθείςτιµέςτων Gκαι H κατά τον ακόλουθο τρόπο : 1. ~ G είναιαληθήςόταν Gείναιψευδήςκαιείναιψευδήςόταν Gείναιαληθής. Το (~ G) καλείται η άρνηση του G (negation) 2. ( G H )είναιαληθήςαν GκαιΗείναικαιταδύοαληθή. Αλλιώςη( G H ) είναιψευδής. Πρόκειταιγιατησύζευξητων GκαιΗ( conjunction ) 3. ( G H )είναιαληθής, αντουλάχιστονένααπότα GκαιΗείναιαληθές. Αλλιώςη( G H ) είναι ψευδής. Μιλάµε τότε για τη διάζευξη των G και Η (disjunction). 4. (G H)είναιψευδήςαν GείναιαληθήςκαιΗείναιψευδής. Αλλιώςη(G H) είναι αληθής. Η (G H) διαβάζεταιως «εάν G, τότεη»ή«gσυνεπάγεταιη» (implication) 5. (G H)είναιαληθήςοποτεδήποτεοι GκαιΗέχουντιςίδιεςτιµέςαληθείας. Αλλιώςη(G H) είναιψευδής. Η (G H) διαβάζεταιως G ανκαιµόνοανη (ισοδυναµία). 17
ΒΑΣΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΛΗΘΕΙΑΣ G H ( ~ G ) ( G H ) ( G H ) ( G H ) ( G H ) T T F T T T T T F F F T F F F T T F T T F F F T F F T T 18
ΕΡΜΗΝΕΙΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Υποθέστεότι P και Qείναιδύοάτοµακαιότιοιτιµέςαληθείαςτων P και QείναιΤκαι F, αντίστοιχα. Τότεσύµφωναµετηδεύτερηγραµµή (Λ 120) τουπίνακα (2.1), µε P και Q νααντικαθιστώνταιαπότα GκαιΗαντίστοιχαβρίσκουµεότιοιτιµέςαληθείαςτων (~ Ρ), ( P Q ), ( P Q ), ( P Q ) και ( P Q ) είναι F, F, T, F, F, αντίστοιχα. Παρόµοια, η τιµή αληθείας κάθε έκφρασης (wff), µπορεί να υπολογιστεί σε όρους τιµών αληθείας των ατόµων. Παράδειγµα Θεωρήστε την έκφραση G ( P Q ) ( R ( ~ S ) ) Ταάτοµαστηνέκφρασηαυτήείναι P, Q, R και S. Υποθέστετιςτιµέςαληθείαςαυτώνναείναι T, F, T καιτ, αντίστοιχα. Τότε : * η ( P Q ) είναι FαφότουηGείναιψευδής ( F ) * η ( ~ S ) είναι FαφούηS είναιτ * η ( R ( ~ S ) ) είναι FαφούηR είναιτκαιη( ~ S ) είναι F * η ( P Q ) ( R ( ~ S ) ) είναιταφούη( P Q ) είναι F καιη( R ( ~ S ) ) είναι F Άραηέκφραση G είναιτ( αληθής ), εάντα P, Q, R, S είναι T, F, T, Tαντίστοιχα. Ηεκχώρησητωντιµώναληθείαςστα { Τ, F, Τ, Τ } στα { P, Q, R, S } αντίστοιχα, θα καλείταιµίαερµηνεία (interpretation) τηςέκφρασης G. 19
Απότηστιγµήπουτοκαθένααπότα P, Q, R, SµπορείναπαίρνειείτετηντιµήΤ, είτε F, υπάρχουν 2 4 = 16ερµηνείεςγιατηνέκφραση G. 20
Ορισµός οθείσηςµιαςέκφρασης GαςείναιΑ1, Α2,..., Αnταάτοµαπουσυναντώνταιστηνέκφραση G. Τότεµίαερµηνείατου GείναιµιακαταχώρησητωντιµώναληθείαςσταΑ1, Α2,..., Αn σταοποίακάθεαiπαίρνειτιµήτήf, αλλάόχικαιτιςδύοµαζί. Ορισµός Μιαέκφραση Gθαλέγεταιαληθήςυπόµία ( ήσεµία ) ερµηνεία [truth under (or in) an interpretation], ανκαιµόνοανηgπαίρνειτηντιµήτστηνερµηνεία. ΑλλιώςηGθαλέγεται ψευδής υπό την ερµηνεία αυτή. (false under the interpretation ). Εάνυπάρχουν «n»διαφορετικάάτοµασεµιαέκφραση τότε Θαυπάρχουν 2 n διαφορετικέςερµηνείεςγιατηνέκφραση ΑνΑ1, Α2,..., Αnείναιόλαάτοµαπουσυναντώνταισεµιαέκφραση, ίσωςείναιπιοβολικόνα αναπαραστήσουµεµιαερµηνείαµέσωενόςσυνόλου {m1...mn}, όπου mi είναι, ήαή(~ Α) Π.χ. τοσύνολο { P, ~ Q, ~ R, S }, αναπαριστάµιαερµηνείαστηνοποία P, Q, R και Sέχουν αντίστοιχατιµέςτ, F, T, T. ηλαδή, ανέναάτοµοαείναιµέσασεένασύνολοπου αναπαριστάµιαερµηνεία, τότετοαπαίρνειτηντιµήτ, ενώναηάρνησητουατόµουα είναιµέσαστοσύνολο, τότετοαπαίρνειτηντιµή F. 21
ΙΣΧΥΣ ΚΑΙ ΑΣΥΝΕΠΕΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Παράδειγµα Έστωηέκφραση G ( ( P Q ) P ) Q Άτοµα: P, Q 2 2 = 4 ερµηνείες Ηέκφραση G είναιαληθήςγιαόλεςτιςερµηνείεςτης ισχυρή έκφραση ή ταυτολογία ( valid formula or tautology ) 22
Παράδειγµα Έστωηέκφραση G ( ( P Q ) ( P ~ Q ). Η Gείναιψευδήςγιαόλεςτιςερµηνείεςτης ασυνεπής έκφραση (inconsistent formula) ή αντιλογία (contradiction) 23
Ορισµός Μιαέκφρασηθαλέγεταιισχυρή (valid), ανκαιµόνοαν, είναιαληθήςυπόόλεςτις ερµηνείες της. Μια έκφραση θα λέγεται ανίσχυρη (invalid), αν και µόνο αν, δεν είναι ισχυρή. Ορισµός Μια έκφραση θα λέγεται ασυνεπής ή ανικανοποίητη (inconsistent or unsatisfiable), αν και µόνοανείναιψευδήςυπόόλεςτιςερµηνείεςτης. Μιαέκφρασηθαλέγεταισυνεπήςή ικανοποιήσιµη, αν και µόνο αν δεν είναι ασυνεπής. Από τους πιο πάνω ορισµούς παρατηρούµεταεξής : 1. Μιαέκφρασηείναιισχυρή, ανκαιµόνοανηάρνησήτηςείναιασυνεπής. 2. Μιαέκφρασηείναιασυνεπής, ανκαιµόνοανηάρνησήτηςείναιισχυρή. 3. Μια έκφραση είναι ανίσχυρη αν και µόνο αν υπάρχει τουλάχιστον µια ερµηνεία υπό την οποίαηέκφρασηείναιψευδής. 4. Μια έκφραση είναι συνεπής, αν και µόνο αν υπάρχει τουλάχιστον µια ερµηνεία υπό την οποίαηέκφρασηείναιαληθής. 5. Εάν µια έκφραση είναι ισχυρή, τότε είναι συνεπής, αλλά όχι το αντίστροφο. 6. Εάνµιαέκφρασηείναιασυνεπής, τότεείναικαιανίσχυρη, αλλάόχιτοαντίστροφο. 24
Παράδειγµα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΛΟΓΙΚΗ Χρησιµοποιώντας τεχνικές πινάκων αληθείας, θα µπορούσαµε να επιβεβαιώσουµε τα ακόλουθα: α. ( P ~ Ρ ) είναιασυνεπής : άραεπίσηςανίσχυρη. β. ( P ~ Ρ ) είναιισχυρή : άραεπίσηςσυνεπής. γ. ( P ~ Ρ ) είναιανίσχυρη : καιακόµαασυνεπής. Ανµιαέκφραση FείναιαληθήςυπότηνερµηνείαΙ, τότελέµεότιηιικανοποιεί ( satisfies ) την F, ήότιηf ικανοποιείταιαπότηνι. Απότηνάλληµεριά, ανµιαέκφραση FείναιψευδήςυπόµιαερµηνείαΙ, τότεθαλέµεότι ηιδιαψεύδει ( είναιενδεχόµενοναεµφανίζεταικαιµετονόρο «ψευτίζει»την Fµε τηνέννοιαότι «προσδίδειψεύδοςστην F»την F ( falsifies F ), ήότιηfδιαψεύδεται απότηνι Π.χ. ηέκφραση ( P ( ~ Q ) ) ικανοποιείταιαπότηνερµηνεία { Ρ, ~ Q } αλλά διαψεύδεταιαπότηνερµηνεία { Ρ, Q }. ΌτανµιαερµηνείαΙικανοποιείµιαέκφραση F, ηιεπίσηςκαλείται, έναµοντέλο ( model ) της F Στην προτασιακή λογική αφότου ο αριθµός των ερµηνειών είναι πεπερασµένος, κάποιος µπορείνααποφασίσειανήόχιµιαέκφρασηστηνπροτασιακήλογικήείναιισχυρή ( ή ασυνεπής ) µέσω εξαντλητικής εξέτασης όλων των πιθανών ερµηνειών της. 25
ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Συχνά είναι χρήσιµο ή αναγκαίο να µετασχηµατίσουµε µια έκφραση από µια µορφήσεάλλη, ειδικάσεµιακανονικήµορφή ( normal form ). Αυτό γίνεται αντικαθιστώντας µικρότερες εκφράσεις µε άλλες ισοδύναµες µέσα στη κύρια έκφραση επαναληπτικά ώσπου να πετύχουµε την επιθυµητή µορφήτης. Μετονόροισοδύναµεςεννοούµεταεξής : Ορισµός ύοεκφράσεις Fκαι Gλέγονταιισοδύναµες ( equivalent ) -ήηfείναι ισοδύναµητης G -καιδηλώνονταιως F = G, ανκαιµόνοανοιτιµές αληθείαςτων Fκαι Gείναιοιίδιεςυπόκάθεερµηνείατων Fκαι G. 26
Παράδειγµα Επιβεβαιώνουµεότιτο ( P Q ) είναιισοδύναµοµετο ( ~ P Q ), εξετάζονταςτονπίνακααληθείας : 27
ΚΑΝΟΝΕΣ 2.1-2.10 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΛΟΓΙΚΗ πάντααληθής πάνταψευδής F, G καιηείναιόλεςεκφράσεις 2.3a και 2.3b καλούνται συχνά νόµοι µετατροπής (commutative laws) 2.4a και 2.4b καλούνται νόµοι σύνδεσης (associative laws) 2.5a και 2.5b νόµοι κατανοµής (distributive laws) 2.10aκαι 2.10b νόµοιτου De Morgan (de Morgan laws) 28
Η F1 F2... Fnείναιαληθήςοποτεδήποτετουλάχιστονµίααπότις Fi, 1 i nείναιαληθής, αλλιώςείναιψευδής. Η F1 F2... Fnκαλείταιηδιάζευξη ( disjunction ) των F1,..., Fn F1 F2... Fnαληθής, εάνόλεςοι F1,..., Fnείναιαληθήςκαιηοποίαείναιψευδής αλλιώς. Η F1 F2... Fnκαλείταιησύζευξη ( conjunction ) των F1,..., Fn. Σηµειώστεότιηδιάταξηστην οποία τα Fi εµφανίζονται σε µια σύζευξη, ή, διάζευξη, είναι άνευ σηµασίας Π.χ. F1 F2 F3 = F1 F3 F2 = F2 F1 F3 = F3 F2 F1 = F2 F3 F1 = F3 F1 F2 Ορισµός Έναςστοιχειώδηςτύπος ( literal ) είναιέναάτοµοήηάρνησηενόςατόµου. Ορισµός Μιαέκφραση Fλέγεταιότιείναι «σεµιασυζευκτικήκανονικήµορφή» F F1... Fn, n 1, όπου κάθεένααπότα F1,..., Fnείναιµιαδιάζευξηαπόστοιχειώδειςτύπους. 29
Παράδειγµα Έστω P, Q, Rάτοµα Τότε F ( P ~ Q R ) ( ~ P Q ) είναιµιαέκφρασησεµιασυζευκτικήκανονικήµορφή. Γιααυτήτηνέκφραση, F1 = ( P ~ Q R ) και F2 = ( ~ P Q ). Η F1 είναιµιαδιάζευξητωνστοιχειωδώντύπων ~ Ρκαι Q. Ορισµός Μίαέκφραση Fλέγεταιότιείναισεµιαδιαζευκτικήκανονικήµορφή ( disjunctive normal form ), ανκαιµόνοναηf έχειτηµορφήτου F F1... Fn, n 1, όπουκαθένααπότα F1,..., Fn είναι µια σύζευξη από στοιχειώδεις τύπους. 30
Παράδειγµα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΛΟΓΙΚΗ Έστω P, Q, R, άτοµα. ΤότεηF ( ~ P Q ) ( P ~ Q ~ R ) είναιµιαέκφρασησεµιαδιαζευκτική κανονικήµορφή. F1 = ( ~ P Q ) και F2 = ( P ~ Q ~ R ) Η F1 είναιµιασύζευξητωνστοιχειωδώντύπων ~ Pκαι Q καιηf2 είναιµιασύζευξητωνστοιχειωδώντύπων P, ~ Q, και ~ R. Οποιαδήποτεέκφρασηµπορείναµετασχηµατιστείσεµιακανονικήµορφή [νόµοι]. ιαδικασία µετασχηµατισµού : Βήµα 1 Χρησιµοποίησετουςνόµους 2.1 ( F G = ( F G ) ( G F ) ) και 2.2 ( F G = ~ F G ) γιανα εξαλειφθούν οι λογικοί σύνδεσµοι και. Βήµα 2 Επαναληπτικήχρήσητουνόµου 2.9 ( ~ ( ~ F ) = F ) καιτωννόµων De Morgan, 2.10α ( ~ ( F G ) = ~ F ~ G ) και 2.10b ( ~ ( F G ) = ~ F ~ G ) γιαναφέρουµε τααρνητικάσύµβολααµέσωςπρινταάτοµα. Βήµα 3 Επαναληπτικά χρησιµοποίησε τους νόµους κατανοµής 2.5a ( F ( G H ) = ( F G ) ( F H ) ) και 2.5b ( F ( G H ) = ( F G ) ( F H ) καιτουςάλλουςνόµουςγιαναεπιτύχειςµια κανονική µορφή. 31
Παράδειγµα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΛΟΓΙΚΗ ηµιουργήστεµιαδιαζευκτικήκανονικήµορφήγιατηνέκφραση ( P ~ Q ) R Έχουµε ( P ~ Q ) R = ~ ( P ~ Q ) R ( 2.2 ) = (~ P ~ ( ~ Q ) ) R ( 2.10a ) = ( ~ P Q ) R ( 2.9 ) που είναι το ζητούµενο. Παράδειγµα Βρείτεµιασυζευκτικήκανονικήµορφήγιατηνέκφραση ( P ( Q R ) ) S ( P ( Q R ) ) S = ( P ( ~ Q R ) ) S ( 2.2 ) = ~ ( P ( ~ Q R ) ) S ( 2.2 ) = ( ~ P ~ ( ~ Q R ) ) S ( 2.10b ) = ( ~ P ( ~ ( ~ Q ) ~ R ) ) S ( 2.10a ) = ( ~ P ( Q ~ R ) ) S ( 2.9 ) = ( ( ~ P Q ) ( ~ P ~ R ) ) S ( 2.5a ) = S ( ( ~ P Q ) ( ~ P ~ R ) ) ( 2.3a ) = ( S ( ~ P Q ) ) ( S ( ~ P ~ R ) ) ( 2.5a ) = ( S ~ P Q ) ( S ~ P ~ R ) ( 2.4a ) άρατο ( S ~ P Q ) ( S ~ P ~ R ) είναιτοζητούµενο 32
ΛΟΓΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ Στα µαθηµατικά, όπως και στην καθηµερινή ζωή, συχνά πρέπει να αποφασίσουµε εάν κάποια κατάσταση είναι επακόλουθο κάποιων άλλων καταστάσεων Αυτό οδηγεί στην έννοια της «λογικής συνέπειας» Παράδειγµα Έστω οι προτάσεις: 1) οι τιµές των µετοχών υποχωρούν, αν το επιτόκιο καταθέσεων ανεβαίνει 2) οι περισσότεροι άνθρωποι είναι δυστυχείς όταν οι τιµές µετοχών υποχωρούν 3) Υποθέστε ότι τώρα το επιτόκιο καταθέσεων πράγµατι ανεβαίνει είξτε ότι µπορείτε να συνάγετε το ότι οι άνθρωποι είναι δυστυχείς 33
Για να δείξουµε το ζητούµενο, δηλώνουµε τις καταστάσεις ως ακολούθως : P Το επιτόκιο καταθέσεων ανεβαίνει S Οιτιµέςµετοχώνυποχωρούν U Οι περισσότεροι άνθρωποι είναι δυστυχείς Υπάρχουν 4 καταστάσεις στο παράδειγµά µας. Αυτές είναι : ( 1 ) : Εάν το επιτόκιο καταθέσεων ανεβαίνει, οι τιµές µετοχών υποχωρούν. ( 2 ) : Εάνοιτιµέςµετοχώνυποχωρούν, οιπιοπολλοίάνθρωποιείναιδυστυχείς ( 3 ) : Τοεπιτόκιοκαταθέσεωνανεβαίνει ( 4 ) : Οιπερισσότεροιάνθρωποιείναιδυστυχείς Αυτές οι καταστάσεις, αρχικά συµβολίζονται ως : ( 1 ) : P S ( 2 ) : S U ( 3 ) : P ( 4 ) : U 34
Τώραδείχνουµεότι ( 4 ) είναιαληθής, οποτεδήποτεη( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) είναιαληθής. Μετασχηµατίζουµεπρώτατην ( ( P S ) ( S U ) P ( αναπαριστώνταςτην ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) σεµιακανονικήµορφή ) : ( ( P S ) ( S U ) P ) ( ( ~ P S ) ( ~ S U ) P ) ( 2.2 ) = P ( ~ P S ) ( ~ S U ) ( 2.3b ) = ( ( P ~ P ) ( P S ) ) ( ~ S U ) ( 2.5b ) = ( ( ( P S ) ) ( ~ S U ) ) ( 2.8b ) = ( P S ) ( ~ S U ) ( 2.6a ) = ( P S ~ S ) ( P S U ) ( 2.5b ) = ( P ) ( P S U ) ( 2.8b ) = ( P S U ) ( 2.7b ) = P S U ( 2.6a ) Έτσιεάν ( ( P S ) ( S U ) P ) είναιαληθής, τότεη( P S U ) είναιαληθής Αφούη( P S U ) είναιαληθήςµόνοεάν P, S και U είναιόλεςαληθείς, συνάγουµεότι η U είναιαληθής ΕπειδήηUείναιαληθήςοποτεδήποτεοι ( P S ), (S U ) καιρείναιαληθείς, στη λογικήηuκαλείταιλογικήσυνέπειατων ( P S), ( S U ) καιρ 35
Ορισµός οθέντωντωνεκφράσεων F1, F2,...Fn καιµιαςέκφρασης G, η G θα καλείται λογική συνέπεια (logical consequence) των F1, F2,...Fn [ ήηgλογικάσυνεπάγεταιαπότις F1, F2,...Fn ( logically follows from F1, F2,...Fn ], ανκαιµόνοαν, γιακάθεερµηνείαι, στηνοποίαη F1 F2... Fnείναιαληθής, η Gείναιεπίσηςαληθής Οι F1, F2,...Fnονοµάζονταιαξιώµατα (axioms) ήακόµαυποθέσεις (premises) ή αυταπόδεικτα του G Θεώρηµα ( 2.1 ) οθέντωντωνεκφράσεων F1, F2,...Fnκαιµιαςέκφρασης G, η G είναιµιαλογικήσυνέπειατων F1, F2,...Fnανκαιµόνοαν ηέκφραση ( ( F1 F2... Fn ) G ) είναιισχυρή (valid) 36
Θεώρηµα ( 2.2 ) οθέντωντωνεκφράσεων F1, F2,..., Fnκαιµιαςέκφρασης G, η G είναιλογικήσυνέπειατων F1, F2,...Fn ανκαιµόνοανηέκφραση ( F1 F2... Fn ~G) είναιασυνεπής (inconsistent) Τα δύο αυτά θεωρήµατα είναι πολύ σηµαντικά. είχνουν ότι αποδεικνύοντας πως µια συγκεκριµένη έκφραση είναι µια λογική συνέπεια ενός πεπερασµένου συνόλου εκφράσεων, είναι ισοδύναµο µε το να αποδειχτεί ότι µια συγκεκριµένη συνολική έκφραση είναι ισχυρή ή ασυνεπής. ΕάνηGείναιµιαλογικήσυνέπειατων F1, F2,...Fnηέκφραση ( ( F1 F2... Fn ) G ) καλείταιέναθεώρηµα (theorem) καιηg επίσης καλείται το συµπέρασµα του θεωρήµατος (conclusion of the theorem) Στα µαθηµατικά όπως επίσης και σε άλλες περιοχές, πολλά προβλήµατα µπορούν να τυποποιηθούν ως προβλήµατα απόδειξης θεωρηµάτων 37
Παράδειγµα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΛΟΓΙΚΗ Θεωρήστετιςεκφράσεις : F1 ( P Q ) F2 ~ Q G ~ P είξτεότιηgείναιµιαλογικήσυνέπειατων F1 και F2. Μέθοδος 1 Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την τεχνική των πινάκων αληθείας, για να δείξουµε ότι η G είναι αληθής, σε κάθε µοντέλοτης ( P Q ) ~ Q. Υπάρχειµόνοέναµοντέλογιατην ( P Q ) ~ Q, το { ~ P, ~ Q } (δηλαδήµόνοέναζεύγοςτιµώναλήθειαςπουτην επαληθεύει (Τ) δείτετελευταίαγραµµήτουπίνακα. Η ~ P είναιφυσικάαληθήςστοµοντέλοαυτό. Έτσιµέσωτουορισµούτηςλογικήςσυνέπειας, συµπεραίνουµεότιη~ Ρείναιλογικήσυνέπειατων ( P Q ) και ~ Q. 38
Μέθοδος 2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΛΟΓΙΚΗ Χρησιµοποιούµετοθεώρηµα 2.1. Αυτόµπορείναγίνειαπλάεπεκτείνονταςτονπίνακααληθείαςτουπίνακα ( 2.7 ), ή υπολογίζονταςτηνέκφραση ( ( P Q ) Q ) ~ Ρ. Οπίνακας ( 2.8 ) δείχνειότιη ( ( P Q ) ~ Q ) ~ Ρείναιαληθήςγιακάθεερµηνεία. Έτσιη( ( P Q ) ~ Q ) ~ Ρείναιισχυρή ( valid ) καισύµφωναµετοθεώρηµα 2.1, η ~ Ρείναιµιαλογικήσυνέπειατων P Qκαι ~ Q 39
Μέθοδος 3 Μπορούµεεπίσηςνααποδείξουµετηνισχύτης ( ( P Q ) ~ Q ) ~ Ρ, µετασχηµατίζοντας την σε µια συζευκτική κανονική µορφή: ( ( P Q ) ~ Q ) ~ Ρ = ~ ( ( P Q ) ~ Q ) ~ Ρ ( 2.2 ) = ~ ( ( ~ P Q ) ~ Q ) ~ Ρ ( 2.2 ) = ~ ( ( ~ P ~ Q ) ( Q ~ Q ) ) ~ Ρ ( 2.5b ) = ~ ( ( ~ P ~ Q ) ) ~ Ρ ( 2.8b ) = ~ ( (~ P ~ Q ) ) ~ Ρ ( 2.6a ) = ( P Q ) ~ Ρ ( 2.10b ) = ( Q P ) ~ Ρ ( 2.3a ) = Q ( P ~ P) = Q = Άραη( ( P Q ) ~ Q ) ~ Ρείναιισχυρή 40
Μέθοδος 4 Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το θεώρηµα ( 2.2 ) Τότε αποδεικνύουµε ότι η ( ( P Q ) ~ Q ) ( ~ ( ~ P ) ) = ( P Q ) ~ Q (~(~P)) είναι ασυνεπής [ll126] Πάλιόπωςστηµέθοδο 2, µπορούµεναχρησιµοποιήσουµετηντεχνικήπίνακααληθείας, γιαναδείξουµεότιη( P Q ) ~ Q (~(~P)) δηλ. η ( P Q ) ~ Q Pείναιψευδήςγιακάθεερµηνεία Απότονπίνακα ( 2.9 ), συµπεραίνουµεότιη( P Q ) ~ Q Pείναιασυνεπήςκαισύµφωναµετοθεώρηµα ( 2.2 ), η ~ Ρείναιµιαλογικήσυνέπειατων ( P Q ) και ~ Q. 41
5 η µέθοδος Μπορούµε επίσης να αποδείξουµε την ασυνέπεια της ( P Q ) ~ Q P µετασχηµατίζοντας την σε µια διαζευκτική κανονική µορφή (disjunctive normal form): ( P Q ) ~ Q P = ( ~ P Q ) ( ~ Q P ) = ( 2.2 ) ( ~ P ~ Q P ) ( Q ~ Q P ) = ( 2.5b ) ( ~Q ) ( P ) = ( 2.4 ) ( 2.7 ) ( 2.8 ) = ( 2.8b ) ( 2.6a ) Άραη ( P Q ) ~ Q Pείναιασυνεπής 42
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ΜΕΣΩ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΩΝ Παράδειγµα 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΛΟΓΙΚΗ οθέντοςτουγεγονότοςότιτοκοινοβούλιοαρνείταιναψηφίσεινέουςνόµους, τότε η απεργία δεν θα λήξει, εκτός αν διαρκέσει περισσότερο από ένα χρόνο και ο πρόεδρος παραιτηθεί. εν θα λήξει η απεργία διότι το κοινοβούλιο αρνείται να ενεργήσει και η απεργία µόλις αρχίζει. α. Μετατροπή καταστάσεων σε σύµβολα : P : Το κοινοβούλιο αρνείται να ενεργήσει Q : Ηαπεργίαέχειλήξει R : Ο πρόεδρος παραιτείται S : Ηαπεργίαδιαρκείπερισσότεροαπόέναχρόνο Τότε τα γεγονότα που δείχνονται στο παράδειγµα µπορούν να αναπαρασταθούν από «εκφράσεις» : 43
F1 : ( P ( ~ Q ( R S ) ) ) εάντοκοινοβούλιοαρνηθείναψηφίσεινέουςνόµους, τότεηαπεργίαδενθαλήξειεκτόςκιανδιαρκέσει περισσότερο από ένα χρόνο και ο πρόεδρος παραιτηθεί. F2 : Ρ Το κοινοβούλιο αρνείται να ενεργήσει. F3 : ~ S Ηαπεργίαµόλιςαρχίζει. Απόταγεγονότα F1, F2, F3 συµπεραίνουµεότιηαπεργίαδενθαλήξει; ηλαδήµπορούµεναδείξουµεότιη~ Qείναιµιαλογικήσυνέπειατων F1, F2, F3 ; Απότοθεώρηµα 2.1 αυτόείναιισοδύναµοµετοναδείξουµεότιη είναι µια ισχυρή έκφραση (valid formula) ( ( P ( ~ Q ( R S ) ) ) P ~ S ~ Q Στον πίνακα 2.10 φαίνονται οι τιµές αληθείας της παραπάνω έκφρασης για όλες τις ερµηνείες 44
45
Από τον ίδιο πίνακα βλέπουµε ότι δεν υπάρχει ψευδής ερµηνεία. Άραηέκφρασήµαςείναιµιαισχυρήέκφραση Έτσιη~ Qείναιµιαλογικήσυνέπειατων F1, F2 και F3 και µπορούµε να συνάγουµε την ~ Q απότις Fi Άραηαπάντησηείναι : «ηαπεργίαδενθαλήξει» 46
Παράδειγµα (Πρόβληµα Χηµικής Σύνθεσης) Υποθέστε ότι µπορούν να λάβουν χώρα οι ακόλουθες χηµικές αντιδράσεις : (1) : MgO + H2 Mg + H 2 O (2) : C + CO 2 CO 2 (3) : CO 2 + H 2 O H 2 CO 3 Υποθέστεότιέχουµεµερικέςποσότητες MgO, H 2, O 2 και Cσανατοµικέςεκφράσεις. Τότε οι πιο πάνω χηµικές αντιδράσεις µπορούν να αναπαρασταθούν από τις ακόλουθες εκφράσεις : Α1 : ( MgO H 2 ) ( Mg H 2 O ) A2 : ( C O 2 ) CO 2 A3 : ( CO 2 H 2 O ) H 2 CO 3 Αφούέχουµε MgO, H 2, O 2 και C, αυτάταγεγονόταµπορούννααναπαρασταθούναπότιςακόλουθες εκφράσεις : A4 : MgO A5 : H 2 A6 : O 2 A7 : C 47
Τώρατοπρόβληµαµπορείνακαταστρωθείεκνέουωςεξής : Πρέπεινααποδείξουµεότιτο H 2 CO 3 είναιµιαλογικήσυνέπειατωνα1,... Α7 πουαπότοθεώρηµα ( 2.2 ) είναιαλήθειαανη( Α1... Α7 ) ~ H2CO3 είναιασυνεπής Αποδεικνύουµετοτελευταίο, µετασχηµατίζονταςτηνέκφραση : ( Α1 Α2... Α7 ~ H2CO3 ) σεµια διαζευκτική κανονική µορφή : (Α1... Α7 ~ H2CO3 ) = = ( ( MgO H 2 ) ( MgO H 2 O ) ) ( ( C O 2 ) CO 2 ) ( ( CO 2 H 2 O ) H 2 CO 3 ) MgO H 2 C O 2 ~ H 2 CO 3 = = ( ~ MgO ~ H 2 Mg ) ( ~ MgO ~ H 2 H 2 O ) ( ~ C ~ O 2 CO 2 ) ( ~ CO 2 ~ H 2 O H 2 CO 3 ) MgO H 2 C O 2 ~ H 2 CO 3 = = ( ~ MgO ~ H 2 Mg ) ( ~ MgO ~ H 2 H 2 O ) MgO H 2 ( ~ C ~ O 2 CO 2 ) C O 2 ( ~ CO 2 ~ H 2 O H 2 CO 3 ) ~ H 2 CO 3 MgO H 2 C O 2 ~ H 2 CO 3 = = = = Mg H 2 O MgO H 2 CO 2 C O 2 ( ~ CO 2 ~ H 2 O ) ~ H 2 CO 3 MgO H 2 C O 2 ~ H 2 CO 3 = = ( ~ CO 2 ~ H 2 O ) H 2 O CO 2 Mg MgO H 2 C O 2 ~ H 2 CO 3 = = Mg MgO H 2 C O 2 ~ H 2 CO 3 = = Αφούη σηµαίνει «πάνταψευδής», ηέκφραση (Α1... Α7 ~ H2CO3 ) είναιασυνεπής. Άρατο H2CO3 είναιµιαλογικήσυνέπειατωνα1,..., Α7. Αυτόσηµαίνειότιµπορούµεναφτιάξουµε H2CO3 από MgO, H2, O2 και C Η παραπάνω διαδικασία καλείται πολλαπλασιαστική µέθοδος (multiplication method), γιατί η διαδικασία µετασχηµατισµού είναι πολύ όµοια µε τον πολλαπλασιασµό µιας αριθµητικής έκφρασης 48 Στην πράξη, πολύ συνθετότερα παραδείγµατα όµοια µε το τελευταίο, λύνονται από Η/Υ µε κατάλληλα