Je rhma John L mma Dvoretzky-Rogers

Kefˆlaio 2 Je rhma Joh L mma Dvoretzky-Rogers 2.1 Elleiyoeidèc mègistou ìgkou eìc kurtoô s matoc Ορισμός 2.1.1. Ελλειψοειδές στον R είναι ένα κυρτό σώμα της μορφής { } (2.1.1) E = x R x, v i 2 : 1, όπου {v 1,..., v } είναι ορθοκανονική βάση του R και α 1,..., α είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί (οι διευθύνσεις και τα μήκη των ημιαξόνων του E αντίστοιχα). Πρόταση 2.1.2. Ενα κυρτό σώμα E στον R είναι ελλειψοειδές αν και μόνο αν υπάρχει αντιστρέψιμος γραμμικός μετασχηματισμός T (T GL()) ώστε E = T (B 2 ). Απόδειξη. Υποθέτουμε πρώτα ότι το E είναι ελλειψοειδές, δηλαδή ορίζεται από την (2.1.1) για κάποια ορθοκανονική βάση {v 1,..., v } του R και κάποιους α 1,..., α > 0. Εστω T ο γραμμικός μετασχηματισμός του R που ορίζεται από τις T (v i ) = α i v i, i = 1,...,. Ο T είναι προφανώς αντιστρέψιμος, και x T (B2 ) αν και μόνο αν υπάρχει y = t jv j B2 με x = T y. Τότε όμως, η ισότητα (2.1.2) x, v i 2 = α 2 i α 2 i t jα j v j, v i 2 δείχνει ότι x T (B 2 ) αν και μόνο αν x E, δηλαδή E = T (B 2 ). Αντίστροφα, έστω T GL() και E = T (B 2 ). Αν γράψουμε S = T 1, έχουμε (2.1.3) x 2 E = x 2 S 1 (B 2 ) = Sx 2 2 = Sx, Sx = S Sx, x. α 2 i = t 2 i

2 Θεωρημα Joh Λημμα Dvoretzky-Rogers Ο S S είναι συμμετρικός και θετικά ορισμένος, άρα γράφεται στη μορφή U DU όπου D διαγώνιος πίνακας με διαγώνια στοιχεία α1 2,..., α 2 (όπου α i θετικοί πραγματικοί αριθμοί) και ο U είναι ορθογώνιος πίνακας. Θεωρούμε το διαγώνιο πίνακα D 1 = D με διαγώνια στοιχεία τα α1 1,..., α 1. Αφού ο U είναι ορθογώνιος, έχουμε S S = A 2, όπου A = U D 1 U. Δηλαδή, (2.1.4) x 2 E = A 2 x, x = Ax 2 2 = D 1 Ux 2 2 = Ux, e i 2 = α 2 i x, v i 2, όπου τα v i = U e i αποτελούν ορθοκανονική βάση του R. Επεται ότι x E αν και μόνο αν ικανοποιείται η (2.1.1) για τα συγκεκριμένα v i και α i, δηλαδή το E είναι ελλειψοειδές. Παρατήρηση. Από την απόδειξη είναι φανερό ότι ο όγκος του E ισούται με (2.1.5) E = B 2 α i. Θεωρούμε τώρα ένα συμμετρικό κυρτό σώμα K στον R και την οικογένεια E(K) όλων των ελλειψοειδών που περιέχονται στο K. Ο F. Joh (1948) έδειξε ότι υπάρχει μοναδικό ελλειψοειδές E που περιέχεται στο K και έχει τον μέγιστο δυνατό όγκο. Θα λέμε ότι το E είναι το ελλειψοειδές μέγιστου όγκου του K. Θα δούμε ταυτόχρονα ότι υπάρχει μοναδικό ελλειψοειδές E που περιέχει το K και έχει ελάχιστο όγκο: Θεώρημα 2.1.3. Εστω K συμμετρικό κυρτό σώμα στον R. Υπάρχει μοναδικό ελλειψοειδές E K με ελάχιστο όγκο. Απόδειξη. Θεωρούμε την οικογένεια F(K) όλων των ελλειψοειδών που περιέχουν το K και ορίζουμε (2.1.6) V = if{ E : E F(K)} > 0. Υπάρχει ακολουθία T m GL() για την οποία έχουμε E m = T 1 m (B 2 ) K και (2.1.7) E m = B 2 det(t m ) V. Αφού T m : X K l 2 1 για κάθε m N, μπορούμε να βρούμε υπακολουθία {T km } και S L(R ) με T km S. Τότε, (2.1.8) det(s) = B 2 /V > 0, άρα S GL(). Ορίζουμε E = S 1 (B 2 ). Τότε, (2.1.9) S : X K l 2 = lim m T k m : X K l 2 1, α 2 i

2.1 Ελλειψοειδες μεγιστου ογκου ενος κυρτου σωματος 3 άρα E K. Αφού E = V, το E είναι ένα ελλειψοειδές που περιέχει το K και έχει τον ελάχιστο δυνατό όγκο. Δείχνουμε τώρα ότι υπάρχει ένα μόνο ελλειψοειδές με αυτή την ιδιότητα. Εστω ότι τα E 1 και E 2 περιέχουν το K και έχουν ελάχιστο όγκο. Χωρίς περιορισμό της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι E 1 = B2 είναι η Ευκλείδεια μοναδιαία μπάλα, και { } (2.1.10) E 2 = x R : x, v i 2 /αi 2 1. Θεωρούμε ένα τρίτο ελλειψοειδές, το { (2.1.11) F = x R : Αφού F E 1 E 2 K, έχουμε } 1 (1 + α 2 i ) x, v i 2 1. 2 (2.1.12) F E 1 = E 2 = B 2, άρα α 1 α = 1. Παίρνοντας υπόψιν την (2.1.5), γράφουμε την (2.1.12) στη μορφή ( ) 2 2 1 = α i 1 + α 2 i 2αi 2 = 1 + α 2 i 2α i = 1 + αi 2. Ομως, 2α i 1 + αi 2 για κάθε i = 1,..., με ισότητα μόνο αν α i = 1. Άρα, α i = 1, i = 1,...,. Επεται ότι E 1 = E 2. Το Θεώρημα 2.1.3 και ένα απλό επιχείρημα δυϊσμού εξασφαλίζουν την ύπαρξη και τη μοναδικότητα του ελλειψοειδούς μέγιστου όγκου του K. Θεώρημα 2.1.4. Εστω K συμμετρικό κυρτό σώμα στον R. Υπάρχει μοναδικό ελλειψοειδές E E(K) με μέγιστο όγκο. Απόδειξη. Από το Θεώρημα 2.1.3 υπάρχει μοναδικό ελλειψοειδές F ελάχιστου όγκου του K. Θεωρούμε το E = F. Τότε E K, το E είναι ελλειψοειδές (άσκηση) και αν E 1 είναι ένα άλλο ελλειψοειδές με E 1 K, τότε E 1 K, άρα E 1 F. Τότε, (2.1.13) E 1 = B 2 2 E1 B 2 2 = E. F Ισότητα μπορεί να ισχύει μόνο αν E1 = F, δηλαδή E 1 = E. Άρα, το E είναι το μοναδικό ελλειψοειδές μέγιστου όγκου του K.

4 Θεωρημα Joh Λημμα Dvoretzky-Rogers 2.2 To je rhma tou Joh: stoiqei dhc apìdeixh Ο F. Joh (1948) έδειξε ότι αν η μοναδιαία Ευκλείδεια μπάλα B2 είναι το ελλειψοειδές ελάχιστου όγκου που περιέχει το συμμετρικό κυρτό σώμα K στον R, τότε B2 K. Άμεση συνέπεια αυτού του ισχυρισμού είναι ένα άνω φράγμα για την απόσταση Baach- Mazur τυχόντος -διάστατου χώρου με νόρμα από τον l 2. Θεώρημα 2.2.1. Για κάθε -διάστατο χώρο με νόρμα X έχουμε d(x, l 2 ). Απόδειξη. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι X = (R, ). Θεωρούμε τη μοναδιαία μπάλα B X του X και το ελλειψοειδές ελάχιστου όγκου E της B X. Υπάρχει T GL() ώστε E = T 1 (B 2 ). Τότε, T (B X ) B 2 και η B 2 είναι το ελλειψοειδές ελάχιστου όγκου του T (B X ). Αν δεχτούμε το θεώρημα του Joh, τότε (2.2.1) Επεται ότι 1 B 2 T (B X ) B 2. (2.2.2) T : X l 2 T 1 : l 2 X 1 =, άρα, d(x, l 2 ). Το Θεώρημα 2.2.1 και η πολλαπλασιαστική τριγωνική ανισότητα για την d μας δίνουν ένα άνω φράγμα για τη διάμετρο του Baach-Mazur compactum. Θεώρημα 2.2.2. Αν X και Y είναι δύο -διάστατοι χώροι με νόρμα, τότε d(x, Y ). Δίνουμε τώρα μια στοιχειώδη απόδειξη του Θεωρήματος του Joh: Θεώρημα 2.2.3. Εστω K συμμετρικό κυρτό σώμα στον R. Υποθέτουμε ότι η Ευκλείδεια μοναδιαία μπάλα B 2 είναι το ελλειψοειδές ελάχιστου όγκου που περιέχει το K. Τότε, (2.2.3) B 2 K. Απόδειξη. Υποθέτουμε ότι το συμπέρασμα δεν ισχύει. Τότε, υπάρχει x στο σύνορο του K το οποίο είναι εσωτερικό σημείο της (1/ )B2. Αλλάζοντας συντεταγμένες αν χρειαστεί, μπορούμε να υποθέσουμε ότι το εφαπτόμενο υπερεπίπεδο του K στο x είναι παράλληλο με το {x : x 1 = 0}. Δηλαδή, { (2.2.4) K P = x R : x 1 1 }, c όπου c >. Για κάθε a, b > 0 ορίζουμε το ελλειψοειδές { (2.2.5) E a,b = x R : a 2 x 2 1 + b 2 i=2 x 2 i 1 }.

2.2 Το θεωρημα του Joh: στοιχειωδης αποδειξη 5 Ισχυρισμός. Αν a2 b 2 c 2 + b 2 1, τότε K E a,b. Πράγματι: αν y K, τότε y P B 2. Άρα, (2.2.6) y 1 1 c Επεται ότι και yi 2 1. a 2 y 2 1 + b 2 i=2 y 2 i = (a 2 b 2 )y 2 1 + b 2 a2 b 2 c 2 + b 2 1. y 2 i Δηλαδή, y E a,b. Ο όγκος του E a,b ισούται με E a,b = B 2 /(ab 1 ). Αν λοιπόν ab 1 > 1, τότε E a,b < B 2. Με την υπόθεση ότι c >, θα δείξουμε ότι υπάρχουν a, b > 0 που ικανοποιούν ταυτόχρονα τις (2.2.7) ab 1 > 1 και a 2 b 2 c 2 + b 2 1. Αυτό είναι άτοπο, γιατί θα έχουμε βρεί ελλειψοειδές που περιέχει το K και έχει όγκο γνήσια μικρότερο από τον όγκο της B 2. Για κάθε ε (0, 1/2), θέτουμε b ε = 1 ε και a ε = (1 + ε + 2ε 2 ) 1. Τότε, (2.2.8) a ε b 1 ε = [(1 ε)(1 + ε + 2ε 2 )] 1 = (1 + ε 2 2ε 3 ) 1 > 1. Επίσης, a 2 ε b 2 ε c 2 + b 2 ε = (1 + ε + 2ε2 ) 2( 1) c 2 + (1 1c ) 2 (1 ε) 2 = 1 c 2 [1 + 2( 1)ε + O(ε2 )] + (1 1c ) 2 (1 2ε + ε 2 ) ( ) = 1 + 2ε c 2 1 + O(ε 2 ). Αφού (/c 2 ) 1 < 0, είναι φανερό ότι η ποσότητα αυτή γίνεται μικρότερη από 1 αν αφήσουμε το ε 0 +. Για μικρό λοιπόν ε > 0, το ελλειψοειδές E aε,b ε μας οδηγεί σε άτοπο.

6 Θεωρημα Joh Λημμα Dvoretzky-Rogers 2.3 ShmeÐa epaf c kai h aaparˆstash thc tautotik c a- peikìishc Υποθέτουμε ότι το ελλειψοειδές μέγιστου όγκου του K είναι η B2. Το u R λέγεται σημείο επαφής των K και B2 αν u 2 = u K = 1, δηλαδή αν x bd(k) bd(b2 ). Η «πλήρης έκδοση» του θεωρήματος του Joh περιγράφει την κατανομή των σημείων επαφής πάνω στη μοναδιαία σφαίρα S 1. Θεώρημα 2.3.1. Εστω K συμμετρικό κυρτό σώμα στον R. Αν η B2 είναι το ελλειψοειδές μέγιστου όγκου του K, τότε υπάρχουν λ 1,..., λ m > 0 και σημεία επαφής u 1,..., u m των K και B2 ώστε (2.3.1) x = για κάθε x R. λ j x, u j u j Παρατηρήσεις. Το Θεώρημα 2.3.1 λέει ότι η ταυτοτική απεικόνιση I του R αναπαρίσταται στη μορφή (2.3.2) I = λ j u j u j, όπου u j u j είναι η προβολή στην διεύθυνση του u j : (u j u j )(x) = x, u j u j. Από την (2.3.1) έπεται ότι, για κάθε x R, (2.3.3) x 2 2 = x, x = λ j x, u j 2. Επίσης, παίρνοντας x = e i, i = 1,...,, όπου {e 1,..., e } η συνήθης ορθοκανονική βάση του R, έχουμε e i 2 2 = = λ j e i, u j 2 = λ j u j 2 2 = λ j. λ j e i, u j 2 Δηλαδή, ( ) λ j =.

2.3 Σημεια επαφης και η αναπαρασταση της ταυτοτικης απεικονισης 7 Απόδειξη του Θεωρήματος. Από την ( ), αν υπάρχει η ζητούμενη αναπαράσταση θα πρέπει να ισχύει (λ j /) = 1. Αυτό λοιπόν που χρειάζεται να δείξουμε είναι ότι ο I/ γράφεται σαν κυρτός συνδυασμός προβολών της μορφής u u, όπου u σημείο επαφής των K και B 2. Ορίζουμε ( ) T = {u u : u 2 = u K = 1}, και θα δείξουμε ότι I/ cov(t ). Παρατηρήστε ότι το cov(t ) είναι κλειστό υποσύνολο του R 2 και ότι T : αν η B 2 δεν ακουμπούσε το σύνορο του K, θα μπορούσαμε να βρούμε r > 1 ώστε rb 2 K, οπότε η B 2 δεν θα ήταν το ελλειψοειδές μέγιστου όγκου του K. Εστω ότι I/ / cov(t ). Από διαχωριστικό θεώρημα, μπορύμε να βρούμε φ R 2 και r R ώστε (2.3.6) φ, I/ < r φ, A για κάθε A cov(t ). Ειδικότερα, για κάθε σημείο επαφής u των K και B 2 (2.3.7) φ, I/ < r φ, u u. έχουμε Οι πίνακες I/ και u u είναι συμμετρικοί, οπότε παίρνοντας τον ψ = (φ + φ )/2 αντί του φ έχουμε ότι ο ψ είναι συμμετρικός και εξακολουθεί να ικανοποιεί την (2.3.8) ψ, I/ < r ψ, u u για κάθε u u T. Εστω β = tr(ψ)/. Αφού tr(i/) = 1 και tr(u u) = u 2 i = 1, βλέπουμε ότι ψ βi, I/ = ψ, I/ β = 0 < r β ψ βi, u u για κάθε u u T. Παίρνοντας B = ψ βi και s = r β, έχουμε: Λήμμα 2.3.2. Αν I/ / cov(t ), τότε υπάρχουν s > 0 και B συμμετρικός με tr(b) = 0 με την ιδιότητα (2.3.9) B, u u s για κάθε u u T. Για δ > 0 αρκετά μικρό, θεωρούμε το ελλειψοειδές (2.3.10) E δ = {x R : (I + δb)x, x 1}. [Παρατηρήστε ότι αν M = max{ Bx, y : x 2 = y 2 = 1} και 0 < δ < 1/M, τότε ο I + δb είναι συμμετρικός και θετικά ορισμένος, άρα έχει συμμετρική θετική τετραγωνική ρίζα S δ. Αφού E δ = S 1 δ (B2 ), το E δ είναι ελλειψοειδές.]

8 Θεωρημα Joh Λημμα Dvoretzky-Rogers Ορισμός 2.3.3 (ακτινική συνάρτηση). Για κάθε θ S 1 θέτουμε (2.3.11) ρ K (θ) = max{t > 0 : tθ K}. Η ρ K : S 1 R + λέγεται ακτινική συνάρτηση του K: «μετράει» την απόσταση του συνόρου του K από το 0 στη διεύθυνση του θ. Αφού ρ K (θ)θ bd(k), έχουμε (2.3.12) ρ K (θ) θ K = 1. Θα δείξουμε ότι E δ K αν το δ είναι μικρό, δείχνοντας ότι ρ Eδ (v) ρ K (v) για κάθε v S 1 : 1η Περίπτωση: Εστω U το σύνολο των σημείων επαφής των K και B 2. Αν u U και v S 1 με u v 2 < s/2m, τότε από το Λήμμα 2.3.2, (2.3.13) (I + δb)u, u 1 + δs, ενώ v + δbv, v u + δbu, u = δ Bv, v Bu, u δ Bv, v u + δ Bu, u v 2Mδ u v 2 < δs. Άρα, αν η απόσταση του v S 1 από το U είναι μικρότερη από s/2m, τότε (2.3.14) (I + δb)v, v > 1 + δs δs = 1, δηλαδή v / E δ. Ομως, v B2 έχουμε K για κάθε v S 1. Άρα, σε αυτή την περίπτωση (2.3.15) ρ Eδ (v) < 1 ρ K (v). 2η Περίπτωση: Εστω V το σύνολο των v S 1 για τα οποία d(v, U) s/2m. Τότε, το V είναι συμπαγές και r = max{ v K : v V } < 1. Θέτουμε λ = mi{ Bv, v : v V }. Αν 0 < δ < (1 r 2 )/ λ, τότε (2.3.16) (I + δb)(v/ v K ), v/ v K = δηλαδή v/ v K / E δ. Αυτό σημαίνει ότι ρ Eδ (v) 1 v K Συνδυάζοντας τα παραπάνω καταλήγουμε στο εξής: 1 + δ Bv, v v 2 K = ρ K (v). 1 + δλ r 2 > 1, Λήμμα 2.3.4. Υπάρχει δ 0 > 0 τέτοιο ώστε E δ K για κάθε 0 < δ < δ 0.

2.3 Σημεια επαφης και η αναπαρασταση της ταυτοτικης απεικονισης 9 Μπορούμε τώρα να καταλήξουμε σε άτοπο: Παίρνουμε δ > 0 αρκετά μικρό ώστε ο I + δb να είναι θετικά ορισμένος και το ελλειψοειδές E δ να περιέχεται στο K. Αφού η B 2 είναι το ελλειψοειδές μέγιστου όγκου του K, έχουμε E δ B 2. Ομως, (2.3.17) E δ = S 1 δ (B2 ) = B2 / det(i + δb). Άρα, det(i + δb) 1. Από την άλλη πλευρά, η ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου μας δίνει (2.3.18) [det(i + δb)] 1/ tr(i + δb) = 1 + δ tr(b) αφού tr(b) = 0. Για να ισχύουν τα παραπάνω, πρέπει να έχουμε ισότητα στην ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου. Τότε όμως, όλες οι ιδιοτιμές του I +δb είναι ίσες, δηλαδή I +δb = µi. Επεται ότι ο B είναι πολλαπλάσιο του ταυτοτικού πίνακα, και αφού tr(b) = 0 παίρνουμε B = 0. Αυτό είναι άτοπο, γιατί από το Λήμμα 2.3.2 έχουμε Bu, u s > 0, u U. Συνεπώς, I/ cov(t ) και η απόδειξη είναι πλήρης. = 1, Μπορούμε τώρα να δώσουμε μια δεύτερη απόδειξη για το θεώρημα του Joh: Πρόταση 2.3.5. Αν B 2 είναι το ελλειψοειδές μέγιστου όγκου του K, τότε K B 2. Απόδειξη: Θεωρούμε την αναπαράσταση της ταυτοτικής απεικόνισης (2.3.19) x = λ j x, u j u j του Θεωρήματος 2.3.1. Αφού u j S 1, έχουμε (2.3.20) 1 = u j, u j u j K u j K = u j K για κάθε j = 1,..., m. Από την άλλη πλευρά, σε κάθε u j τα K και B2 έχουν το ίδιο εφαπτόμενο υπερεπίπεδο με κάθετο διάνυσμα το u j (για τη μπάλα, το εφαπτόμενο υπερεπίπεδο σε κάθε σημείο u S 1 έχει κάθετο διάνυσμα το u). Επομένως, για κάθε x K έχουμε x, u j 1, και λόγω συμμετρίας του K, (2.3.21) x, u j 1 για κάθε x K. Δηλαδή, (2.3.22) u j K = u j K = u j 2 = 1 για κάθε j = 1,..., m.

10 Θεωρημα Joh Λημμα Dvoretzky-Rogers Εστω τώρα x K. Από τις (2.3.3), ( ) και (2.3.21) παίρνουμε (2.3.23) x 2 2 = λ j x, u j 2 λ j =. Δηλαδή, x 2. Αρα, B 2 K B 2. Παρατήρηση 2.3.6. Αν η B 2 είναι το ελλειψοειδές μέγιστου όγκου του K, τότε η B 2 είναι το ελλειψοειδές ελάχιστου όγκου του K. Επίσης, η (2.3.22) δείχνει ότι κάθε σημείο επαφής των K και B 2 είναι σημείο επαφής των K και B 2. Άρα, αλλάζοντας τους ρόλους των K και K, βλέπουμε ότι η αναπαράσταση της ταυτοτικής απεικόνισης μέσω σημείων επαφής εξασφαλίζεται και στην περίπτωση του ελλειψοειδούς ελάχιστου όγκου. 2.4 L mmata Dvoretzky-Rogers Σε αυτή την Παράγραφο υποθέτουμε ότι το συμμετρικό κυρτό σώμα K έχει σαν ελλειψοειδές μέγιστου ή ελάχιστου όγκου την Ευκλείδεια μοναδιαία μπάλα B 2. Στην 2.3 αποδείξαμε το θεώρημα του Joh για την αναπαράσταση της ταυτοτικής απεικόνισης: υπάρχουν σημεία επαφής u 1,..., u m των K και B 2, και θετικοί πραγματικοί αριθμοί λ 1,..., λ m ώστε (2.4.1) I = λ j u j u j. Συνέπειες της (2.4.1) είναι οι εξής: για κάθε x R, (2.4.2) x 2 2 = και (2.4.3) λ j x, u j 2 λ j =. Χρησιμοποιώντας την (2.4.1) μπορούμε να δείξουμε ότι υπάρχουν πολλά σημεία επαφής ανάμεσα στο K και στην B 2. Πρόταση 2.4.1. Αν η B2 είναι το ελλειψοειδές ελάχιστου ή μέγιστου όγκου του K, τότε για κάθε γραμμικό μετασχηματισμό T του R υπάρχει σημείο επαφής των K και B2 με την ιδιότητα: (2.4.4) u, T u trt.

2.4 Λημματα Dvoretzky-Rogers 11 Απόδειξη. Από την (2.4.1) έχουμε (2.4.5) trt = T, I = λ j T, u j u j. Παίρνοντας υπόψιν και την λ j =, συμπεραίνουμε ότι υπάρχει j m με την ιδιότητα (2.4.6) u j, T u j = T, u j u j trt. Το συμπέρασμα προκύπτει αν πάρουμε u = u j. Οι Dvoretzky και Rogers έδειξαν ακριβή αποτελέσματα γιά την κατανομή των σημείων επαφής του K με την B 2. Ολα τους εκφράζουν με τον ένα ή τον άλλο τρόπο την αρχή ότι υπάρχουν πολλές και «αρκετά ορθογώνιες» διευθύνσεις στις οποίες οι δύο νόρμες K και 2 συγκρίνονται καλά. Πρόταση 2.4.2. Αν B2 είναι το ελλειψοειδές μέγιστου όγκου του K, υπάρχει ορθοκανονική ακολουθία y 1,..., y στον R με την ιδιότητα ( ) 1/2 i + 1 (2.4.7) y i K y i 2 = 1 για κάθε i = 1,...,. Απόδειξη. Ορίζουμε τα y i επαγωγικά. Σαν y 1 μπορούμε να πάρουμε οποιοδήποτε σημείο επαφής των K και B2. Ας υποθέσουμε ότι έχουν επιλεγεί τα y 1,..., y i 1. Θέτουμε F i = spa{y 1,..., y i 1 }. Τότε, tr(p F i ) = i + 1, και από την Πρόταση 2.4.1 υπάρχει σημείο επαφής u i ώστε (2.4.8) P F i u i 2 2 = u i, P F i u i i + 1. Από το Πυθαγόρειο θεώρημα έπεται ότι (2.4.9) P Fi u i K P Fi u i 2 (i 1)/. Ορίζουμε y i = P F i u i / P F i u i 2. Τότε, (2.4.10) 1 = y i 2 y i K u i, y i = P F i u i 2 και το συμπέρασμα προκύπτει από την (2.4.8). Πόρισμα 2.4.3. Υποθέτουμε ότι η B 2 είναι το ελλειψοειδές μέγιστου όγκου του K. Αν k = [/2] + 1, μπορούμε να βρούμε ορθοκανονικά διανύσματα y 1,..., y k ώστε (2.4.11) για κάθε j = 1,..., k. 1 2 y j 1

12 Θεωρημα Joh Λημμα Dvoretzky-Rogers Το επόμενο λήμμα «τύπου Dvoretzky-Rogers» αποδείχθηκε από τους Szarek και Talagrad (1988). Πρόταση 2.4.4. Υποθέτουμε ότι η B 2 είναι το ελλειψοειδές ελάχιστου όγκου του K. Για κάθε k, μπορούμε να βρούμε σημεία επαφής y 1,..., y k των K και B 2, με την εξής ιδιότητα: Αν j {1,..., k} και F j = spa{y i : i j}, τότε (2.4.12) P F j (y j ) για κάθε j = 1,..., k. k + 1 Απόδειξη. Εστω k. Υπάρχουν σημεία επαφής u 1,..., u m των K και B 2, και λ 1,..., λ m > 0 ώστε (2.4.13) I = λ j u j u j. Από όλες τις k-άδες που μπορούμε να επιλέξουμε μέσα από το {u 1,..., u m }, επιλέγουμε εκείνα τα y 1 = u i1,..., y k = u ik για τα οποία μεγιστοποιείται ο k-διάστατος όγκος cov{±u i1,..., ±u ik }. Αν θέσουμε F j = spa{y i : i j}, τότε (2.4.14) P F j (y j ) 2 P F j (u i ) 2 για κάθε j = 1,..., k και i = 1,..., m. Ομως, από την Πρόταση 2.4.1, υπάρχει i m ώστε (2.4.15) P F j (u i ) 2 2 = u i, P F j (u i ) tr(p F j ) Άρα, (2.4.16) P F j (y j ) 2 = max i m P F j (u i) 2 = k + 1. k + 1 για κάθε j = 1,..., k.