Τρία µικρά σφαιρίδια της ίδιας µάζας είναι αρθρωµένα στις άκρες δύο συνεχόµεων ράβδων ΑΒ και ΒΓ αµελητέας µάζας, όπως φαίνεται στο σχήµα (1), το δε σύστηµα ισορροπεί εκτός πεδίου βαρύτητας. Στο σφαιρίδιο Γ ασκείται ώθηση βραχείας διάρ κειας, που αν ήταν ελεύθερο θα αποκτούσε ταχύτητα v της οποίας ο φορέας έχει την ίδια κατεύθυνση µε το διάνυσµα AB. Να βρεθεί η αρχική ταχύτητα που αποκτά το σφαιρίδιο Α. Να λάβετε υπ όψη ότι οι κρουστικές δυνάµεις που ασκούν οι αρθρώσεις στα σφαιρίδια διευθύνονται κατα µήκος των αντίστοιχων ράβδων. ΛΥΣΗ: Κατά τον πολύ µικρό χρόνο Δt (Δt ) που ενεργεί επί του σφαιριδίου Γ η ώθηση Ω =mv το σφαιρίδιο Β δέχεται τις κρουστικές δυνάµεις F 1, F που οφείλονται στην επαφή του µε τις ράβδους ΒΑ και ΒΓ αντιστοίχως διευθύ νονται δε κατά µήκος των ράβδων αυτών (σχ.1). Στον ίδιο χρόνο επί των σφαι Σχήµα 1 ριδίων Α και Γ εµφανίζονται οι κρουστικές δυνάµεις -F 1 και -F από τις ράβδους ΑΒ και BΓ αντιστοίχως, αντίθετες των F 1, F, διότι οι ράβδοι έχουν
αµελητέα µάζα. Υπό την επίδραση της δύναµης -F 1 το σφαιρίδιο Α θα αποκτή σει στο τέλος του xρόνου Δt ταχύτητα v A και σύµφωνα µε το θεώρηµα ώθη σης-ορµής για το σφαιρίδιο αυτό, θα ισχύει η σχέση: F 1 Δt = mv A (1) όπου m η κοινή µάζα των τριών σφαιριδίων. Όµως, αν v 1, v είναι οι συνι στώσες της ταχύτητας που αποκτά το σφαιρίδιο Β, κατά τις διευθύνσεις των ράβδων ΑΒ και ΑΓ αντιστοίχως, τότε η σταθερότητα του µήκους της ΑΒ µας επιτρέπει να γράψουµε την σχέση: v A = v -v 1 =v συνϕ -v 1 v A = v συν(π / 4) - v 1 = v / - v 1 όπου v η προβολή της v πάνω στην διεύθυνση ΑΒ, οπότε η (1) γράφεται: F 1 Δt = m(v / - v 1 ) () Εξάλλου εφαρµόζοντας για το σφαιρίδιο Γ κατά την διεύθυνση της ράβδου ΒΓ και για τον χρόνο Δt το θεώρηµα ώθησης-ορµής, παίρνουµε την σχέση: Ω'-F Δt = mv' Γ Ωσυνϕ - F Δt = mv' Γ F Δt = Ωσυν(π / 4) - mv' Γ F Δt = mv / - mv' Γ (3) όπου v ' Γ είναι η συνιστώσα της ταχύτητας του σφαιριδίου Γ κατά την διεύθυν ση της ράβδου ΒΓ και Ω ' η αντίστοιχη συνιστώσα της ώθησης Ω =mv. Επειδή κατά τον χρόνο Δt το µήκος της ράβδου ΒΓ δεν µεταβάλλεται, µπορούµε να γράψουµε την σχέση: v' Γ = v - v' 1 = v - v 1 συνϕ v' Γ = v - v 1 συν(π / 4) = v - v 1 / όπου v 1 η προβολή της v 1 πάνω στην διεύθυνση ΒΓ, οπότε η (3) γράφεται: F Δt = mv / - m(v - v 1 / ) (4) Ακόµη εφαρµόζοντας για το σφαιρίδιο Β το θεώρηµα ώθησης-ορµής κατά τις διευθύνσεις των ράβδων ΑΒ και BΓ παίρνουµε τις σχέσεις: F' Δt - F 1 Δt = mv' - mv 1 F Δt - F' 1 Δt = mv - mv' 1 F συνϕδt - F 1 Δt = mv συνϕ - mv 1 F Δt - F 1 συνϕ Δt = mv - mv 1 συνϕ F ( / )Δt - F 1 Δt = mv ( / ) - mv 1 F Δt - F 1 ( / )Δt = mv - mv 1 ( / ) Oι σχέσεις (5), λόγω των () και (4) γράφονται: (5)
[mv / - m(v -v 1 / )]( / )-m(v / -v 1 )=mv / -mv 1 mv / - m(v -v 1 / -m(v / -v 1 )( / )=mv - mv 1 / v / - v + 3v 1 / = v / - v 1 v - 3v / + v 1 = v - v 1 / v = 3v - 5v 1 v = 5v - 3v 1 (6) Oι σχέσεις (6) αποτελούν ένα πρωτοβάθµιο σύστηµα δύο εξισώσεων µε αγνώ στους τα v 1, v, του οποίου η λύση είναι: v 1 = v / 7 v = v /7 Το µέτρο της ταχύτητας v A είναι: (7) (7) v A = v' -v 1 = v συνϕ - v 1 = v συν(π / 4) - v 1 = v / - v 1 v A = 7 v - v 7 = v 7 P.M. fysikos Στις άκρες κύλινδρου του οποίου η µάζα m θεω ρείται οµοιόµορφα κατανεµηµένη στην παράπλευρη επιφάνειά του έχουν περιτυλιχθεί δύο πανοµοιότυπα αβαρή και µη εκτατά νήµατα τα οποία έχουν στε ρεωθεί σε οροφή όπως φαίνεται στο σχήµα (). Η περιέλιξη των νηµάτων γύρω από τον κύλινδρο ακολουθεί την ίδια λογική και αρχικά ο κύλινδρος κρατείται ακίνητος σε οριζόντια θέση, τα δε νήµατα είναι κατακόρυφα. Ένα τρίτο νήµα έχει τυλιχθεί γύρω από το µέσο του κυλίνδρου η δε περιέλιξή του είναι όµοια µε τις περιελίξεις των δύο άλλων νηµάτων, ενώ στο ελεύθερο άκρο του έχει δεθεί ένα σχετικά βαρύ σωµα Σ, το οποίο αρχικά κρατείται ακίνητο. Εάν το σύστηµα αφεθεί ελεύθερο να υπολογίσετε τις τάσεις των νη µάτων. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και ότι τα νήµατα δεν ολισθαίνουν στην επιφάνεια του κυλίνδρου. ΛΥΣΗ: Eξετάζοντας την κίνηση του συστήµατος παρατηρούµε τα εξής: i) Ο κύλινδρος δέχεται το βάρος του mg, τις τάσεις T των δύο ακραίων νηµά των και την τάση Q του µεσαίου νήµατος στην άκρη του οποίου έχει στερεώ θεί το σώµα Σ. ii) Tο σώµα Σ δέχεται το βάρος του Μg και την τάση Q του νήµατος εξάρτη σής του, η οποία είναι αντίθετη της δύναµης Q διότι το νήµα είναι αβαρές. Eφαρµόζοντας για την κίνηση του κέντρου µάζας C του κυλινδρου τον δέυτερο νόµο του Νεύτωνα παίρνουµε:
-T+mg+ Q =ma -T+mg+Q=ma (1) όπου a η επιτάχυνση του κέντρου µάζας του κυλίνδρου, που αποτελεί και επι τάχυνση της κατακόρυφης µεταφορικής συνιστώσας της κίνησής του. Όµως η Σχήµα Σχήµα 3 κίνηση του κυλίνδρου παρουσιάζει και περιστροφική συνιστώσα, για την οποία ο θεµελιώδης νόµος της στροφικής κίνησης δίνει: Tr+ Q r=i ω Tr+Qr=mr ω T+Q=mr ω () όπου ω η γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου. Όµως κάθε στιγµή τα σηµεία επαφης των δύο ακραίων νηµάτων µε την επιφάνεια του κυλίνδρου έχουν µη δε νική επιτάχυνση, δηλαδή ισχύει η σχέση a-ω r= ή ω r=a, οπότε η () γράφεται: T+Q=ma (3) Eξάλλου εάν a Σ είναι η επιτάχυνση του σώµατος Σ, σύµφωνα µε τον δεύτερο νόνο κίνησης του Νευτωνα θα ισχύει: Mg-Q=Ma Σ Mg-Q=Ma Α (4) όπου Μ η µάζα του σώµατος και a Α η επιτάχυνση του σηµείου επαφής Α του µεσαίου νήµατος µε τον κύλινδρο. Για το µέτρο της a Α ισχύει a A =a+ω r=a, oπότε η (4) γράφεται: Mg-Q=Ma Q=Mg-Ma (5) Προσθέτοντας κατά µέλη τις (1) και (3) παίρνουµε: (5) mg +Q=ma mg+mg-4ma=ma
g( m+m) =( m+m)a a=g/ a=g a Σ =g (6) Η (6) δηλώνει ότι το σώµα Σ εκτελεί ελεύθερη πτώση, όποτε η τάση Q του µεσαίου νήµατος είναι µηδενική και η σχέση (3) δίνει: T+=ma T=mg/ T=mg/4 P.M. fysikos Το καρούλι του σχήµατος (4) εφάπτεται µε τις κυκλικές του βάσεις σε οριζόντιο δάπεδο το οποίο δεν είναι λείο. Στο καρούλι ενεργεί δύναµη F, η οποία εφαρµόζεται στο άκρο A του νήµατος που περιβάλλει την κεντρική περιοχή του κυλινδρικου κορµού του καρουλιού και το οποίο παρουσιάζει κλίση φ ως προς την οριζόντια διεύθυνση. Το νήµα είναι αβαρές, µη εκτατό και δεν έχει δυνατότητα να ολισθαίνει πάνω στο καρούλι. i) Nα εξετάσετε για ποιες τιµές της γωνίας φ το καρούλι µπορεί να κυλίεται χωρίς ολίσθηση πάνω στο οριζόντιο δάπεδο. ii) Να δείξετε ότι για κατάλληλη τιµή της γωνίας φ είναι δυνατή η κύλιση χωρίς oλίσθηση, ανεξάρτητα από το πόσο µικρή είναι η τιµή του συντελεστή οριακής τριβής µεταξύ δαπέδου και καρουλιού. iii) Tι συµβαίνει µε την κίνηση του καρουλιού, όταν ο φορέας της δύ ναµης F προεκτεινόµενος τέµνει την ευθεία επαφής του µε το οριζόν τιο έδαφος; Δίνονται η µάζα m του καρουλιού, οι ακτίνες r και R του κυλινδρι κού κορµού και των κυκλικών του βάσεων αντιστοίχως (R>r) και η ροπή αδράνειας Ι mr / του καρουλιου ως προς τον άξονά του. ΛΥΣΗ i) Ας δεχθούµε ότι το µέτρο της δύναµης F και η τιµή της γωνίας φ προκαλούν έναρξη κύλισης χωρίς ολίσθηση του καρουλιού, µε µετατόπιση του γεωµετρικού του άξονα προς τα δεξιά. Τότε θα πρέπει το καρούλι να αρχίσει περιστρεφόµενο περί τον άξονά του δεξιόστροφα, ώστε να είναι δυνατός ο µηδε νισµός της εφαπτοµενικής επιτάχυνσης των σηµείων επαφής του E µε το ορι ζόντιο έδαφος. Στο καρούλι ενεργεί το βάρος του w, η δύναµη F που αναλύε Σχήµα 4
ται στην οριζόντια συνιστώσα F x και στην κατακόρυφη συνιστώσα F y και η δύναµη επαφής από το έδαφος που αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N και στην στατική τριβή T (σχ. 4). Εάν a C είναι η επιτάχυνση του κέντρου µάζας του καρουλιού, σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα θα έχου µε: F x - T = ma C Fσυνϕ - T = ma C (1) Εφαρµόζοντας εξάλλου για την περιστροφική συνιστώσα της κίνησης του καρουλιού τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε την σχέση: TR - Fr = I C ω' TR-Fr=mR ω / TR-Fr=mR a C /R T-Fr / R=ma C / () όπου ω ' η αντίστοιχη γωνιακή του επιτάχυνση, της οποίας το µέτρο λόγω της κύλισης είναι ίσο µα a C /R. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και () παίρνουµε: Fσυνϕ -ma C =F r R +ma C F συνϕ - r R = 3m a C a C = F 3m συνϕ - r R (3) Από την (3) προκύπτουν τα εξής: α) Για τιµές της γωνίας φ που ικανοποιούν την σχέση συνφ>r/r είναι a C >, δηλαδή πράγµατι το καρούλι µπορεί να κυλίεται χωρίς ολίσθηση προς τα δεξιά. β) Αν η γωνία φ ικανοποιεί την σχέση συνφ< τότε θα είναι a C < και το καρού λι µπορεί να κυλίεται χωρίς ολίσθηση προς τα αριστερά. ii) Διαιρώντας κατά µέλη τις (1) και () παίρνουµε: T-Fr / R = TR-Fr=FRσυνϕ -TR Fσυνϕ -T T= F 3 συνϕ + r R 3TR=F r+rσυνϕ (4) Όµως για να εξασφαλίζεται η κύλιση χωρίς ολίσθηση πρέπει να ισχύει: (4) T nn T n(mg - Fηµϕ) F 3 συνϕ + r R n(mg-fηµϕ) (5)
όπου n o συντελεστης οριακής τριβής δαπέδου-καρουλιού. Θέτοντας την απαί τηση η (5) να ισχύει ανεξάρτητα από τις τιµές του n, πρέπει να έχουµε: συνϕ +r / R = mg-fηµϕ = συνϕ = -r/r F = mg/ηµϕ (6) Oι σχέσεις (6) είναι αναγκαίες ώστε το κυλινδρικό καρούλι να κυλίεται χωρίς ολίσθηση προς τα αριστερά (η γωνια φ είναι τότε αµβλεία), ανεξάρτητα από το πόσο µικρή είναι η τιµή του συντελεστή οριακής τριβής και χωρίς ποτέ το µέτρο της εφαρµοζόµενης δύναµης F να υπερβαίνει την µέγιστη τιµή mg/ηµφ που αναγκάζει το καρούλι να εγκαταλείπει το δάπεδο. iii) Eάν ο φορέας της δύναµης F προεκτεινόµενος συναντά την ευθεία επαφής του καρουλιού µε το έδαφος (σχ. 5), τότε θα ισχύει συνφ=r/r και η σχέση (3) δίνει a C =, µε αποτέλεσµα η (1) να δίνει: Fσυνϕ -T= Fr/R-T= Fr-TR= I C ω = ω = Σχήµα 5 Τέλος για να µη χάνει το καρούλι την επαφή του µε το δάπεδο πρέπει: N w - Fηµϕ mg F 1 - συν ϕ F mg 1 - r / R F mgr R - r (7) Άρα, όταν ο φορέας της δύναµης F προεκτεινόµενος διέρχεται από την ευθεία επαφής του καρουλιού µε το έδαφος και το µέτρο της ικανοποιεί την σχέση (7) το καρούλι θα ισορροπεί. P.M. fysikos
Στο καρούλι του σχήµατος (6) ενεργεί η δύναµη, η οποία εφαρµόζεται στο άκρο A του νήµατος που περιβάλλει τον κυλινδρικό κορµό (τύµπανο) του καρουλιού στην κεντρική περιοχή του. To νήµα παρουσιάζει κλίση φ ως προς την οριζόντια διεύθυνση, είναι αβαρές, µη εκτατό και δεν ολισθαίνει πάνω στο καρούλι, ενώ οι κυκλικές βάσεις του καρουλιού εφάπτονται οριζόντιου δαπέδου. i) Στην περίπτωση που το δάπεδο είναι τραχύ να βρείτε τις αναγ καίες συνθήκες, ώστε το καρούλι να εκτελεί γνήσια περιστροφική κίνηση περί τον γεωµετρικό του άξονα. ii) Nα βρείτε τις αναγκαίες συνθήκες, ώστε το καρούλι να κυλίεται χωρίς ολίσθηση πάνω στο οριζόντιο δάπεδο στην περίπτωση που αυτό είναι λείο. Δίνονται η µάζα m του καρουλιού, οι ακτίνες r και R του κυλινδ ρικού κορµου και των κυκλικών του βάσεων αντιστοίχως (R>r), o συντελεστής n τριβής ολισθήσεως µεταξύ καρουλιού και δαπέδου και η ροπή αδράνειας Ι mr / του καρουλιου ως προς τον άξονά του. ΛΥΣΗ i) Aς δέχθούµε ότι το καρούλι εκτελει µόνο περιστροφική κίνηση εφαπτόµενο του οριζόντιου δαπέδου. Στο καρούλι ενεργεί το βάρος του w, η τάση του νήµατος ίση µε την δύναµη F που ασκείται στο άκρο του A και ανα λύεται στην οριζόντια συνιστώσα F x και στην κατακόρυφη συνιστώσα F y τέλος δε η δύναµη επαφής από το δάπεδο που αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N και στην τριβή T, η οποία είναι τριβή ολισθήσεως (σχ. 6). Σχήµα 6 Επειδη ο γεωµετρικός άξονας του καρουλιού είναι συνεχώς ακίνητος η συνι σταµένη δύναµη που δέχεται το καρούλι κατά την οριζόντια και κατακόρυφη διεύθυνση είναι µηδενική, δηλαδή ισχύουν οι σχέσεις:
ΣF (x) = ΣF (y) = F x -T= F y +N-mg= Fσυνϕ =T N=mg-Fηµϕ Fσυνϕ =nn N=mg-Fηµϕ Fσυνϕ =n ( mg-fηµϕ ) =nmg F= F συνϕ +nηµϕ nmg συνϕ +nηµϕ (1) όπου n o συντελεστής τριβής ολίσθησης µεταξύ δαπέδου και καρουλιού. Εξάλ λου σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης θα έχουµε για το καρούλι την σχέση: Στ (C) =I C ω Fr-TR=I C ω () όπου η γωνιακή επιτάχυνση του καρουλιού και Ι C η ροπή αδράνειάς του ως προς τον άξονά του. Όµως πρέπει να ισχύει, οπότε η () δίνει: Fr-TR> F>nNR/r F> nr r ( mg-fηµϕ ) nmg συνϕ +nηµϕ 1+ nrηµϕ r 1+ nrηµϕ r R ( συνϕ +nηµϕ ) > r >nrmg r r+nrηµϕ >Rσυνϕ +nrηµϕ συνϕ < r / R (3) Τέλος πρέπει να εξετάσουµε αν η τιµή που προκύπτει για το µέτρο της δύνα µης από την σχέση (1) εξασφαλίζει ότι το καρούλι δεν χάνει την επαφή του µε το έδαφος. Αν δεχθούµε ότι αυτό συµβαίνει, τότε το µέτρο της κάθετης αντίδρασης θα είναι: (1) N=mg-Fηµϕ nmgηµϕ N=mg- συνϕ +nηµϕ mgσυνϕ +nmgηµϕ -nmgηµϕ mgσυνϕ N= = συνϕ +nηµϕ συνϕ +nηµϕ > δηλαδή το καρούλι δεν χάνει την επαφή του µε το έδαφος. Η παραπάνω ανά λυση µας επιτρέπει να συµπεράνουµε ότι, αν ισχύει:
nmg συνϕ < r / R και F= συνϕ+nηµϕ (4) τότε το καρούλι θα έχει γνήσια περιστροφική κίνηση µε γωνιακή επιτάχυνση που καθορίζεται από τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης, σε συνδυασµό βέβαια µε τις δύο προηγούµενες δεσµεύσεις. ii) Έστω ότι το καρούλι κυλίεται χώρις να ολισθαίνει στην περίπτωση που το οριζόντιο δάπεδο είναι λείο. Στην περίπτωση αυτή η τριβή είναι µηδενική η δε ροπή της περί τον γεωµετρικό άξονα του καρουλιού προκαλεί αριστερόστρο φη περιστροφή, όποτε αναγκαστικά η µεταφορική συνιστώσα της κύλισης πρέπει να κατευθύνεται προς τα αριστερά και για να συµβαίνει αυτό πρέπει η γωνία κλίσεως φ του νήµατος µε την οριζόντια διεύθυση να είναι αµβλεία (βλέπε σχήµα 7). Σχήµα 7 Εφαρµόζοντας για την µεταφορική κίνηση τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα έχου µε την σχέση: F x =ma C Fσυνθ =ma C (5) Εφαρµόζοντας εξάλλου για την περιστροφική κίνηση του καρουλιού τον θεµε λιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε την σχέση: Fr=I C ω Fr=mR ω / Fr=mRa C / (6) όπου τέθηκε ω =a C /R λόγω της κυλίσεως του καρουλιού. Διαιρώντας κατά µέλη τις (5) και (6) παίρνουµε: συνθ r = R συνθ = r R συν ( π -ϕ) = r R συνϕ =- r R (7) Επειδή κατά την κατακόρυφη διεύθυνση το καρούλι ισορροπεί ισχύει η σχέση:
N+F y -mg= N=mg-Fηµθ (8) Όµως για να διατηρεί συνεχώς το καρούλι επαφή µε το δάπεδο πρέπει Ν, οπότε από την (8) προκύπτει: mg Fηµθ mg>f 1-συν θ mg>f 1-συν (7) ( π -ϕ) mg F 1-4r R F mgr R -r (9) Η (9) και η (7) αποτελούν τις αναγκαίες συνθήκες, ώστε το καρούλι να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω στο λείο οριζόντιο δάπεδο. P.M. fysikos Το σύστηµα του σχήµατος (8) αποτελείται από µια βαριά οµογενή ράβδο µήκους α και µάζας m, αρχικά σε κατάσταση ηρεµίας στο σύστηµα αναφοράς των άξονων Ox, Οy όπου ο Oy κατευθύνεται κατακόρυφα προς τα πάνω. Σε πολύ µικρή απόσταση από την ράβδο (σχέδον σε επαφή µε αυτήν) βρίσκεται σε κατάσταση ηρεµίας ένας οµογενης κυκλικός δίσκος µάζας m και ακτίνας α. Το κάτω άκρο της ράβδου υπόκειται στον δεσµό να ολισθαίνει χωρίς τριβή κατά µήκος της ευθείας Οx, ενώ κάποια στιγµή ασκείται στο πάνω άκρο της Α ωστική δύναµη µε κατεύθυνση τον άξονα Οx, της P. Mετά την οποίας η ώθηση για τον µικρό χρόνο δράσεως της είναι ελαστική κρούση της ράβδου µε τον δίσκο ο δίσκος αναγκάζεται να κυλήσει χωρίς ολίσθηση κατά µήκος του Ox. Να υπολογίστε την γωνιακή ταχύτητα της ράβδου και του δίσκου αµέσως µετά την κρού ση τους, καθώς και την αντίστοιχη ταχύτητα του κέντρου µάζας της ράβδου. Δίνονται η ροπή αδράνειας Ι Ρ =m(α) /1 της ράβδου ως προς άξονα κάθετο σ αυτήν και διερχοµενο από το κέντρο της και η ροπή αδρά νειας Ι Δ =mα / του δίσκου ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδό του και διερχόµενο από το κέντρο του. ΛΥΣΗ: Εφαρµόζοντας για την ράβδο κατά τον απειροστό χρόνο δράσεως Δt (Δt ) της ωστικής δύναµης F το θεώρηµα ώθησης-ορµής παίρνουµε: Δt mv - = Fdt mv =P (1) όπου v η ταχύτητα του κέντρου µάζας της ράβδου στο τέλος του χρόνου Δt. Στον ίδιο χρόνο η στροφορµή της ράβδου περί το κέντρο µάζας της µεταβάλλε
ται, συµφωνα δε µε το θεώρηµα µεταβολής της γωνιακής ώθησης-στροφορµής θα έχουµε: Δt I Ρ ω -= Fαdt m(α) ω 1 =αp ω = 3P mα () Σχήµα 8 όπου ω η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου στο τέλος του χρόνου Δt. Στην συνέ χεια συµβαίνει µετωπική ελαστική κρούση της ράβδου µε τον δίσκο στην διάρ κεια της οποίας η ράβδος δέχεται ωστική δύναµη F Ρ της οποίας ο φορέας διέρ χεται από το κέντρο της και ως εκ τούτου η ροπή της περί το κέντρο αυτό είναι µηδενική µε αποτέλεσµα η αντίστοιχη στροφορµή της ράβδου να µη µεταβάλλεται, που σηµαίνει ότι η γωνιακή ταχύτητα ω Ρ της ράβδου αµέσως µετά την κρούση είναι ίση µε ω, δηλαδή ισχυει: () ω Ρ =ω ω Ρ = 3P mα (3) Σχήµα 9 Eπειδή µετά την κρούση ο δίσκος κυλίεται χωρίς ολίσθηση κατά µήκος του άξο να Οx αποκτά κατα την κρούση περιστροφική και µεταφορική συνιστώσα κίνη σης, που σηµαίνει ότι η τριβή Τ που δέχεται από την επιφάνεια πάνω στην οποία κυλίεται είναι ωστική δύναµη, της οποίας ροπή περί το κέντρο του Κ του προσδίδει πεπερασµένη γωνιακή ταχύτητα, δηλαδή κατά την κρούση η τριβή Τ µεταβάλλει την ορµή του συστήµατος ράβδος-δίσκος. Εφαρµόζοντας για την ράβδο και τον δίσκο το θεώρηµα ώθησης-ορµής κατά τον χρόνο Δt της κρούσε ως (Δt ) παίρνουµε τις σχέσεις:
mv Ρ -mv = mv Δ - = F Δ -Τ (-F Ρ dt) dt mv Ρ -mv = (-F Ρ dt) mv Δ = F Ρ dt - Tdt (4) Προσθέτοντας κατά µέλη τις (4) έχουµε: mv Ρ -mv +mv Δ =- Tdt (5) Εξάλλου αν ω Δ είναι η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου αµέσως µετα την κρούση, σύµφωνα µε το θεώρηµα γωνιακής ώθησης-στροφορµής για τον δίσκο και για την διάρκεια Δt θα έχουµε την σχέση: mα ω Δ - = αtdt mv Δ = Tdt (6) όπου τέθηκε v Δ =αω Δ λόγω της κυλίσεως του δίσκου. Συνδυάζοντας την (5) µε την (6) παίρνουµε: mv Ρ -mv -mv Δ =mv Δ / v -v Ρ = 3v Δ (7) Επειδή η κρούση είναι ελαστική ο συντελεστής κρούσεως είναι ίσος µε 1 και ισχύει: 1=- v Ρ -v Δ v - -v =v Ρ -v Δ (8) Από την λύση του συστήµατος των (7) και (8) παίρνουµε: v Δ = 4v 5 (1) v Δ = 4P 5m αω Δ = 4P 5m ω Δ = 4P 5αm (9) Τέλος η (7) γράφεται: P m -v = 1P Ρ 5m v Ρ = P m - 6P 5m v Ρ = - P 5m (1) P.M. fysikos