Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο βαθμό μεγέθυνσης, κι έτσι συχνά αναφέρεται σαν "απείρως περίπλοκο" Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ θεωρία-παρατηρήσεις-ασκήσεις Παναγιώτης Χρ.Χρήστου Φάνης Γρ.Γκανάς Θεολόγος Κ. Ζαχαράκης 03-04 0
Περιεχόμενα Εξισώσεις ου βαθμού... Παραμετρική εξίσωση ου βαθμού...3 Εξισώσεις που ανάγονται σε εξισώσεις ου βαθμού...4 Η εξίσωση v a...6 Εξισώσεις ου βαθμού...7 Τύποι Vieta...9 Εξισώσεις που ανάγονται σε εξισώσεις ου βαθμού...0 Ασκήσεις... εξισώσεις ου βαθμού... προβλήματα με εξισώσεις ου βαθμού...3 εξίσωσεις ου βαθμού με απόλυτα...3 v a...4 εξισώσεις ου βαθμού...5 παραμετρικές εξισώσεις ου βαθμού...6 προβλήματα μεεξισώσεις ου βαθμού...7 άθροισμα και γινόμενο ριζών...8 εξισώσεις που ανάγονται σε εξισώσεις ου βαθμού...0 Ανισώσεις ου βαθμού... ανισώσεις ου βαθμού με απόλυτα...3 Ανισώσεις ου βαθμού...5 Ασκήσεις στις ανισώσεις...7 Ανισώσεις ου βαθμού με συναλήθευση...8 Παραμετρικές ανισώσεις ου βαθμού...9 Ανισώσεις ου βαθμού με απόλυτα...30 Πρόσημο τριωνύμου...3 Ανισώσεις ου βαθμού με απόλυτα...33 Παραμετρικές ανισώσεις ου βαθμού...33
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ a 0 Η γενική μορφή της εξίσωσης ου βαθμού είναι: a 0 Για να θυμηθούμε πως την λύνουμε: 0 a Χωρίζω γνωστούς απο αγνώστους. Η εξίσωση είναι μια ισότητα έτσι οτι πράξεις κάνω σε αυτήν υπακούουν στις ιδιότητες των ισοτήτων.άρα για να χωρίσω γνωστούς απο αγνώστους πρέπει να προσθέσω στα δυο μέλη το-β Τώρα πρέπει να διαιρέσω και τα δυο μέλη με το α αλλά δεν ξέρω τι αριθμός είναι ο α και γιαυτό διακρίνω περιπτώσεις: Αν 0 τότε μπορώ να διαιρέσω τα δυο μέλη της εξίσωσης με το 0 και η εξίσωση γίνεται Αν 0 τότε η εξίσωση γίνεται 0 οπότε δεν μπορώ να διαιρέσω με το συντελεστή του αγνώστου (γιατί αυτός είναι μηδέν) και ασχολούμαι με το β I. αν είναι 0 τότε η εξίσωση δεν έχει λύση και ονομάζεται αδύνατη II. αν είναι 0 τότε κάθε τιμή του είναι λύση της εξίσωσης είναι δηλαδή ταυτότητα. Επίλυση εξίσωσης ου βαθμού Τα πρώτα 3 βήματα στη λύση μιας εξίσωσης μπορώ να τα περιγράψω ως ελευθερώνω τους όρους μου
αν μετά το 5 ο βήμα κατέληγα σε 0 5 αδύνατη (δηλαδή ότι τιμή και να βάλω στη θέση του η ισότητα δεν θα μου λέει αλήθεια) 0 0 ταυτότητα (δηλαδή ότι τιμή και να βάλω στη θέση του Παραμετρική εξίσωση ου βαθμού η ισότητα μου λέει πάντα αλήθεια) Όταν κάποιος απο τους συντελεστές α,β εκφράζεται με τη βοήθεια γράμματος τότε αυτό το γράμμα ονομάζεται παράμετρος και η εξίσωση ονομάζεται παραμετρική.η εργασία που κάνουμε για τη λύση αυτής ονομάζεται διερεύνηση και αποτελείται απο τα βήματα με τα οποία περιγράψαμε την λύση της γενικής εξίσωσης ου βαθμού 0 Παράδειγμα παραμετρικής: Να λυθεί για τις διάφορες τιμές του η εξίσωση 0, ΛΥΣΗ Διερέυνηση: αν 0 0 και 0 και η εξίσωση έχει μοναδική λύση την η εξίσωση γίνεται: 0 0 ταυτότητα η εξίσωση γίνεται : 0 αδύνατη Για Για 03-04 3
Εξισώσεις που ανάγονται σε εξισώσεις ου βαθμού Παράδειγμα (κλασματική). Να λυθεί η εξίσωση Λύση Όταν έχω κλασματική εξίσωση πρέπει να βρώ για ποιες τιμές της μεταβλητής ορίζεται(περιορισμοι) Για να βρώ πιο εύκολα τους περιορισμούς θα ασχοληθώ με αυτούς μόλις βρώ το Ε.Κ.Π των παρονομαστών Βρίσκω Ε.Κ.Π παρονομαστών Για να το βρώ πρέπει να παραγοντοποιήσω τους παρονομαστές Ε.Κ.Π: 0, 0 και και 4 0 4 0 0 απορρίπτεται 4 4 αφού πρέπει 0 03-04 4
Παράδειγμα (με απόλυτα) Να λυθεί η εξίσωση 3 Λύση 3 3 ή 3 3 ή 3 4 ή 3 4 ή 3 4 ή 3 Παράδειγμα 3 (με απόλυτα) Να λυθεί η εξίσωση 3 3 Λύση Πρέπει 3 0 3 Με αυτόν τον περιορισμό θα λύσω την εξίσωση 3 3 3 3 ή 3 3 3 3 ή 3 3 ή 5 5 απορρίπτεται ή δεκτή 03-04 5
Η εξίσωση v a Διακρίνω περιπτώσεις για το ν και για το α: Παραδείγματα:.. 3. 4. 4 4 4 6 6 ή 6 ή 5 αδύνατη 3 3 8 8 3 3 8 8 03-04 6
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου βαθμού Έστω εξίσωση a 0 με 0. Βρίσκω τη διακρίνουσα: 4. Τότε αν 0 η εξίσωση έχει στους πραγματικούς αριθμούς δυο ρίζες άνισες τις, αν 0 η εξίσωση έχει στους πραγματικούς αριθμούς μια διπλή ρίζα την,. αν 0 η εξίσωση δεν έχει ρίζες (είναι αδύνατη) στους πραγματικούς αριθμούς. Βασικές εφαρμογές:. 4 3 0 Είναι a 4, 3, Οπότε 4 3 44 9 6 5 0 Η εξίσωση έχει δυο ρίζες άνισες τις, 8 3 5 3 5 8 4 8 8 4. 4 4 0 Είναι a, 4, 4 4 4 4 4 6 6 0 Οπότε η εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα, 4 4 Εναλλακτικά όταν 0 μπορώ να λύσω με τη χρήση ταυτοτήτων. 4 4 0 0 0 0 03-04 7
3. 5 0 a,, 5 4 4 5 4 0 6 0 Η εξίσωση είναι αδύνατη (δεν έχει ρίζες) στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Όταν η εξίσωση ου βαθμού είναι ελλειπής (λείπει ο πρωτοβάθμιος ή ο σταθερός όρος δεν είναι απαραίτητο να τη λύσω μέσω της Διακρίνουσας αλλά μπορώ να πάω με εναλλακτικούς τρόπους: π.χ 4 0 0 0 ή 0 0 ή π.χ 3 7 0 3 9 0 3 3 3 0 3 0 ή 3 0 3 ή 3 Εναλλακτικά: 7 3 3 7 0 3 7 9 9 3 3 03-04 8
Τύποι Vieta Έστω η εξίσωση ου βαθμού a 0, 0 και 0 Τότε η εξίσωση έχει δυο ρίζες άνισες τις: ή Ας βρώ το άθροισμα (S) και το γινόμενο (P) των ριζών S 4 4 P 4 4 4 Άρα Με τη βοήθεια των τύπων Vieta η εξίσωση ου βαθμού γίνεται: 0 0 0 a S P 03-04 9
Εξισώσεις που ανάγονται σε εξισώσεις ου βαθμού με απόλυτα 6 5 0 6 5 0 Θέτω 0 Η () λόγω της () γίνεται: 6 5 0 Λύνοντας την τελευταία έχω (δεκτή αφού 0) και 5 (δεκτή αφού 5 0) Η () για γίνεται: ή ή 3 Η () για 5 γίνεται: 5 5 ή 5 3 ή 7 κλασματική : 8 Περιορισμοί: Πρέπει 0 8 8 8 8 7 0 Είναι 36 0 Άρα η εξίσωση έχει δυο ρίζες άνισες τις 7 (δεκτή) και (απορρίπτεται) 03-04 0
διτετράγωνη 4 7 6 0 7 6 0 Θέτω y 0 Οπότε η () λόγω της () γίνεται: y 7y6 0 με 5 0 άρα η εξίσωση έχει δυο ρίζες άνισες τις: y (δεκτή) και y 6 (δεκτή) Η () για Η () για 6 y γίνεται: y γίνεται: 6 4 03-04
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (εξισώσεις ου βαθμού). Να λυθούν οι εξισώσεις α) 5 β) 3 γ) 3 δ). Να λυθούν οι εξισώσεις 4 3 α) β) 4 3 3 γ) 6 3 3. Να λύσετε τις εξισώσεις α) 4 8 8 0 3 5 β) 3 0 γ) δ) 3 0 ε) 4 4. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 4 γ) 4 3 3 8 4 0 β) 4 δ) 5. Να λυθούν για κάθε οι εξισώσεις α) β) γ) 3 3 δ) 3 3 6. Δίνεται η εξίσωση : 9 6 0 4 5 5 5 Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η παραπάνω εξίσωση είναι: α) ταυτότητα β) αδύνατη 7. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) a,, a a 4 a a, a β) 8. Να επιλυθεί ο τύπος: ως προς R και στη συνέχεια ως προς R. R R R 03-04
9. Από τις ισότητες v v at και 0 v v0 να δείξετε ότι: S t. S v t at 0 Προβλήματα 0. Δυο αριθμοί έχουν άθροισμα 4 και ο ένας είναι κατά 3 μεγαλύτερος από το διπλάσιο του άλλου. Να βρείτε τους αριθμούς αυτούς.. Το διπλάσιο ενός αριθμού είναι κατά μεγαλύτερο από το μισό του αριθμού. Να βρείτε αυτόν τον αριθμό.. Να βρείτε δυο διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς των οποίων των οποίων οι αντίστροφοι διαφέρουν κατά 0 3. Ένας πατέρας είναι σήμερα 4 ετών και ο γιος του είναι 9 ετών. Μετά από πόσα χρόνια η ηλικία του πατέρα θα είναι τριπλάσια από την ηλικία του γιου του; Ασκήσεις (εξισώσεις με απόλυτα) 4. Να λύσετε τις εξισώσεις α) 5 0 β) γ) 0 δ) 6 ε) 3 3 5. Να λύσετε τις εξισώσεις α) 4 β) 3 7 γ) 53 δ) 4 5 0 ε) 7 3 0 6. Να λύσετε τις εξισώσεις α) 8 0 β) 4 5 γ) 3 δ) 73 9 5 ε) 4 5 στ) 5 5 03-04 3
7. Να λύσετε τις εξισώσεις α) β) 3 6 6 63 4 8 8. Να λύσετε τις εξισώσεις α) 4 3 β) 0 γ) 3 9. Να λύσετε τις εξισώσεις α) 3 9 0 β) γ) 4 4 4 0 3 0 0. Να λύσετε τις εξισώσεις α) d (,) 3 β) (3, ) 5. Να λύσετε τις εξισώσεις d γ) d,5 d, α) 4 4 3 β) 4 4 0 5 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ v a. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 3 8 β) 4 6 γ) 3 7 δ) 6 64 ε) 5 3 0 στ) 3. Να λύσετε τις εξισώσεις: 5 3 7 8 ζ) 3 η) 3 4 4 4 5 0 α) 7 5 0 β) 8 δ) γ) 6 6 5 4 0 8 0 5 3 5 5 ε) 3 3 4 στ) 5 3 5 3 4. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 3 3 8 β) 3 7 γ) 5 4 3 0 03-04 4
5. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 3 3 8 β) 3 6 7 0 γ) 3 5 4 6 δ) 4 5 8 0 Ασκήσεις (εξισώσεις ου βαθμού) 6. Να λύσετε τις εξισώσεις α) 3 0 β) δ) 3 4 0 ε) 8 0 γ) 4 4 0 56 0 στ) 5 7 0 7. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 8 0 0 β) 9 6 0 γ) 5 3 0 δ) 3 5 4 0 ε) 3 5 0 8. Να λύσετε τις εξισώσεις (με δυο τρόπους) α) 6 0 β) δ) 3 0 ε) 3 0 γ) 3 0 στ) 9. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις α) 5 0 0 β) γ) 0 δ) 30.Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις 8 0 4 6 0 0,,5 0 8 3 0 α) 5 4 0 β) γ) 3 48 4 3 0 δ) 3 0 3 ε) 35 στ) 4 7 6 0 4( ) 4 3 ( 3) ζ) 4 5( ) η) 3 03-04 5
3. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις α) γ) ε) 0 3 β) 3 4 6 4 7 3 7 0 δ) 5 5 3 5 4 5 στ) 3 3 6 3 5 5 3 6 Ασκήσεις (παραμετρικές εξισώσεις ου βαθμού) 3. Να λύσετε για τις διάφορες τιμές του λ τις εξισώσεις α) 0 β) 3 3 0 33. Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν πραγματικές ρίζες τις οποίες και να βρείτε: a a 0 α) β) 3 9 0, 0 34. Να βρείτε το πλήθος των ριζών των παρακάτω εξισώσεων a a 0 α) a a a 0, 0 β) 35. Αν η εξίσωση 0 έχει μια διπλή ρίζα να αποδείξετε ότι η εξίσωση: έχει πραγματικές ρίζες 36. Η εξίσωση 0 4 3 0 έχει ρίζα το 3. Να βρείτε: α) τον αριθμό λ β) την άλλη ρίζα της εξίσωσης. 03-04 6
37. Η εξίσωση 3 6 0 έχει μια διπλή ρίζα. α) Να βρείτε τις τιμές του λ β) Για κάθε τιμή του λ να βρείτε τη διπλή ρίζα της εξίσωσης. 38. Δίνονται οι εξισώσεις: 0 9 6 0. και Η μικρότερη ρίζα της εξίσωσης είναι και ρίζα της εξίσωσης. Να βρείτε: α) το λ β) τις ρίζες της εξίσωσης. 39. Η εξίσωση Να βρείτε: α) το λ 0 έχει μια διπλή ρίζα. β) τη διπλή ρίζα της εξίσωσης. Προβλήματα 40. Δυο αδέρφια είναι σήμερα 3 ετών και 7 ετών. Σε πόσα χρόνια το γινόμενο των ηλικιών τους θα είναι ίσο με 60; 4. Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με Â 90o. Να βρείτε τα μήκη των πλευρών του τριγώνου. 4. Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει μήκος 8cm και πλάτος 4cm. Aν αυξήσουμε και το μήκος και το πλάτος κατά cm το εμβαδόν του θα αυξηθεί κατά Να βρείτε το. 8 cm. 03-04 7
Ασκήσεις (άθροισμα και γινόμενο ριζών) 43. Να βρείτε το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών των παρακάτω εξισώσεων: α) 3 0 β) 5 4 0 γ) δ) 3 5 0 ε) 3 0 στ) 7 4 0 4 6 0 44. Να βρείτε το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών των παρακάτω εξισώσεων: α) 8 8 0 β) 3 7 0 45. α) Μια εξίσωση ου βαθμού έχει ρίζα το 4. Αν ισχύει P 4 να βρείτε το λόγο. β) Μια εξίσωση ου βαθμού έχει ρίζα το -. Αν ισχύει S 3 να βρείτε τον λόγο. 46. Το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης: 8 0 με a 0 είναι 6. Να βρείτε: α) τον αριθμό α β) το γινόμενο των ριζών της παραπάνω εξίσωσης. 47. Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης 3 0 να βρείτε τις τιμές των παρακάτω παραστάσεων: α) ε) β) γ) δ) 3 3 στ) ζ) 48. Να βρείτε εξίσωση ου βαθμού που να έχει ρίζες τους αριθμούς: α) και 4 β) -3 και 5 γ) και δ) και ε) 3 και 3 στ) 5 5 και 03-04 8
49. Έστω και οι ρίζες της εξίσωσης 5 0. Να βρείτε εξίσωση ου βαθμού που να έχει ρίζες τους αριθμούς: α) 3 και 3 β) και γ) και δ) και 50. Δίνεται η εξίσωση 6 0 α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες για κάθε τιμή της παραμέτρου λ. β) Να βρείτε για ποια τιμή του λ η εξίσωση έχει ρίζες: i) αντίθετες ii) αντίστροφες. 5. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση 7 6 0 έχει: α) μια διπλή ρίζα β) δυο ρίζες αντίστροφες γ) δυο ρίζες αντίθετες δ) δυο ετερόσημες ρίζες ε) δυο θετικές ρίζες στ) δυο αρνητικές ρίζες 5. Δίνεται η εξίσωση: 6 8 0 α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες για κάθε τιμή της παραμέτρου λ. β) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ: i) η εξίσωση έχει αντίστροφες ρίζες ii) το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης είναι τετραπλάσιο από το άθροισμά τους. 03-04 9
Ασκήσεις (εξισώσεις που ανάγονται σε ου βαθμού) 53. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 3 0 β) δ) 3 3 6 0 γ) 8 ε) 4 5 0 στ) 0 0 54. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 4 5 4 0 β) 4 4 7 4 0 δ) 6 8 0 ε) 4 3 0 γ) 6 7 3 8 0 στ) 3 55. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 5 5 3 0 β) γ) 3 3 8 0 δ) 56. Να λύσετε τις εξισώσεις: 3 6 3 α) γ) ε) β) δ) 4 6 8 0 στ) 4 3 4 0 0 0 5 4 0 57. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) γ) ε) 3 4 0 3 3 88 4 3 0 3 3 β) δ) στ) 0 6 6 0 3 3 3 3 35 0 3 3 03-04 0
58. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 0 0 β) 5 3 4 5 5 0 03-04
Ανισώσεις ου βαθμού Οί ανισώσεις ου βαθμού έχουν μορφή a 0 και 0 Τα βήματα με τα οποία τις λύνω είναι τα ίδια με τις εξισώσεις ου βαθμού. Εξισώσεις και ανισώσεις ου βαθμού όμως έχουν ουσιαστικές διαφορές. Παράδειγμα (θα λύσω την εξίσωση 8 3 5 4 4 8 3 4 4 5 4 4 4 4 8 8 3 0 3 0 6 4 4 8 3 5 και την ανίσωση 4 4 8 3 5 4 4 8 3 4 4 5 4 4 4 4 8 8 3 0 3 0 6 4 4 8 3 5 ) 4 4 διαφορές (στα βήματα):στις ανισώσεις όταν διαιρώ με αρνητικό αριθμό αλλάζει η φορά της ανίσωσης. Επίσης στις ανισώσεις συνεχίζω με τον άξονα των αριθμών. Ουσιαστικές διαφορές: στις εξισώσεις βρίσκώ μια λύση ενώ στις ανισώσεις βρίσκω άπειρες λύσεις οι οποίες ικανοποιούν όλες μια ιδιότητα (στο παράδειγμα είναι όλες μεγαλύτερες του ) στις ειδικές περιπτώσεις των εξισώσεων έχω ότι 0 0 ταυτότητα 0, β 0 ύ ενώ στις ειδικές περιπτώσεις των ανισώσεων (δηλαδή αν ο συντελεστής του αγνώστου είναι μηδέν) πρέπει να σκεφτώ τι μου λέει η ανίσωση για να βγάλω 03-04
συμπέρασμα αν είναι αδύνατη ή αν όλοι οι αριθμοί είναι λύση της. Ανισώσεις με απόλυτα Όταν η ανίσωσή μου έχει απόλυτη τιμή που περιέχει τη μεταβλητή μου τότε πρέπει να κάνω όλες τις απαραίτητες εκείνες ιδιότητες των ανισοτήτων οι οποίες θα φέρουνε την ανίσωσή μου στη μορφή π.χ...... και στη συνέχεια να απαλλαγώ απο το απόλυτο. Παράδειγμα Να λυθεί η ανίσωση 4 Λύση Από τις ιδιότητες των απολύτων τιμών έχω οτι με 0 Άρα 4 4 4 4 6 Δηλαδή η ανίσωση αληθεύει για 6, Παράδειγμα Να λυθεί η ανίσωση 3 4 Λύση Απο τις ιδιότητες των απολύτων τιμών εχω οτι: αν με θ 0 ή Άρα 3 4 3 4 ή 3 4 3 3 ή 3 5 5 ή 3 Δηλαδή η ανίσωση αληθεύει για 5,, 3 03-04 3
Παράδειγμα 3 (γενικό) Να λυθεί η ανίσωση Λύση 7 4 3 6 Για να μπορέσω να φτάσω την ανίσωση στο σημείο που μου δόθηκαν οι ανισώσεις στα προηγούμενα παραδείγματα πρέπει πρώτα απ ολα όπου εμφανίζεται απόλυτη τιμή να έχω την ίδια ποσότητα μέσα της.έτσι 4 Οπότε η αρχική ανίσωση γίνεται: 7 Απαλοιφή παρονομαστών με Ε.Κ.Π(,3,6)=6 3 6 7 6 6 6 6 3 6 7 3 Χωρίζω γνωστούς απο αγνώστους 3 7 Αναγωγή ομοίων όρων 7 7 Διαιρώ με το συντελεστή του αγνώστου (είναι αρνητικός άρα θα αλλάξει η φορά) και τελικά όπως στα προηγούμενα παραδείγματα ή ή 3 Δηλαδή, 3, για να απαλλαγώ απο την απόλυτη τιμη 03-04 4
Ανισώσεις ου βαθμού H παράσταση a, 0 λέγεται τριώνυμο ου βαθμού και αναλόγως τη διακρίνουσά του παραγοντοποιείται και γίνεται: αν 0 αν αν 0 a 0 4 Είτε θέλω να βρώ το πρόσημο ενός τριωνύμου είτε θέλω να λύσω μια ανίσωση ου βαθμου π.χ a 0, 0 ακολουθώ τους παρακάτω πίνακες (αναλόγως τη Διακρίνουσα του τριωνύμου). Παράδειγμα Να συναληθεύσετε τις ανισώσεις 7 6 0 και 3 8 3 0 03-04 5
Λύση Θα λύσω την κάθε μια ανίσωση χωριστά και στο τέλος θα κάνω συναλήθευση 7 6 0 Είναι 4 7 4 6 49 4 5 0 Άρα, 75 7 5 ( ) 75 6 Εγώ θέλω,6 7 6 0 άρα για την ανίσωση 3 8 3 0 Είναι 4 8 43 3 64 36 00 0 Άρα, 8 0 3 8 0 6 3 8 0 6 3 Άρα,3 3 3 Συναλήθευση Άρα οι κοινές λύσεις είναι εκείνα τα,3 03-04 6
Ασκήσεις στις Ανισώσεις ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ (ΑΠΛΕΣ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ). Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i) 3 5 ii) 5 4 iii) 7 3 4 iv) 3 7 4. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i) 3( ) 5( ) 3 (3 ) ii) 3(7 3 ) (8 7 ) ( ) iii) (4 5) 3( 3) 5 9( ) iv) 6( ) (5 3 ) 9( 3) v) ( ) ( ) 5 ( ) vi) 3. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i) iii) v) 4 ( ) 8 ( 3) ( 3) 5 7 5 ii) 9 0 3 5 4 4 0 iv) 5 3 3 6 4 4 8 4 7( ) vi) 3 ( 3) ( 9 ) 8 4 8 3 3 4. Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες: i) η παράσταση 53( ) είναι μεγαλύτερη από το. ii) η παράσταση ( ) 5( ) είναι μικρότερη από το 6. iii) η παράσταση 4( ) είναι το πολύ ίση με. iv) η παράσταση v) η παράσταση διάστημα (-,3]. ( ) ( ) είναι τουλάχιστον ίση με 5. ( 3)( 3) ( ) παίρνει τιμές στο ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ΠΟΥ ΑΛΗΘΕΥΟΥΝ ΓΙΑ ΚΑΘΕ ή ΕΙΝΑΙ ΑΔΥΝΑΤΕΣ 5. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i) 0 3 ii) 0 4 iii) 0 iv) 0 5 v) 0 0 vi) 0 0 03-04 7
6. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i) 0 4 ii) 0 iii) 0 iv) 0 5 v) 0 0 vi) 0 0 7. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i) 3 5 4( ) ii) 4( 6) (3 ) 6( 5) iii) 6( ) 3 4(3 ) iv) 3( 4) 4( ) 5( ) v) 5 (4 5) (5 3) 5 ( ) vi) 4 ( ) 8 ( 3) ( 3) 8. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i) 4 9 ( ) 6 ii) iii) 7 5 3 4 iv) v) 7 3 3 5 3 4 6 vi) 3 5 3 6 3 3 3 5 0 5 6 6 4 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ΠΟΥ ΣΥΝΑΛΗΘΕΥΟΥΝ ΔΙΠΛΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 9. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των παρακάτω ανισώσεων: i) 3( ) και ( 3) ii) 3 ( ) 7 και 5 (7 3) iii) 4( ) 6 ( 3) και 3( 4) 7 5( ) iv) 3( ) 8 9 4(3 ) και 3 5( ) 9 (6 5 ) 0. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των παρακάτω ανισώσεων: i) 3 4 3 0 και 5 ii) 4 4 και 4 8 iii) 4 3 6 5 και 5 5 4 4 iv) 3 3 5 και ( 4) 0 4 03-04 8
. Να βρείτε τις κοινές ακέραιες λύσεις των παρακάτω ανισώσεων: i) 3( ) και ( 3) ii) 5( 5) 4( ) 6( 3 ) και 3( ) 4( ) 3( ) iii) 0 330 3 και 6 7 7 iv) ( ) 3 και 3 6 4 4. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i) 5 9 ii) 6 8 iii) 3 ( 5) 9 7 iv) 4 ( ) 3(4 ) v) 5 3 5 vi) 3 6 4 6 3. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i) 35 7 5 ii) ( ) 3 3( ) 4 3 iii) 5 4( ) ( 3) 5( ) 4 iv) ( ) 3 5 5( 3) 3( ) 3( ) v) vi) 3 6 ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 4. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου : i) 6 3 ii) ( ) ( 4) iii) ( ) ( 3) iv) ( 4) ( )( ) 4( ) v) ( ) 4 vi) 3 3 3 4 6 5. Δίνεται η ανίσωση: ( 3) ( ) 3( 3 ). Να βρείτε για ποιες τιμές των παραμέτρων λ και μ η παραπάνω ανίσωση είναι αδύνατη. 6. Δίνεται η ανίσωση: ( ) 3( ). Να βρείτε για ποιες τιμές των παραμέτρων λ και μ η παραπάνω ανίσωση είναι αόριστη. 03-04 9
3( ) 7. Δίνεται η εξίσωση: και η ανίσωση: 3 4 ( ). 5 0 5 α) Να λύσετε την εξίσωση β) Να βρείτε για ποιες τιμές του μ η λύση της εξίσωσης επαληθεύει την ανίσωση. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ 8. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i) 4 ii) 3 6 iii) 3 iv) 0 v) 4 vi) 7 0 vii) viii) 3 8 i) ) 5 0 i) 9 0 ii) 3 3 9. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i) 3 6 6 ii) 5 3 5 iii) 4 3 iv) 5 5 0 v) 4 3 vi) 3 3 3 5 0. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i) 4 4 4 5 3 ii) iii) 3 4 73 73 4 3 8 iv) 5 9 8 7 5 6 3. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i) 5 5 6 ii) 8 5 0 4 iii) 63 4 8 3 iv) 8 5 3 4 8 6 03-04 30
. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των παρακάτω ανισώσεων: i) και 4 ii) 3 5 και iii) 3 6 9 και iv) 5 3 και 3 3. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i) 5 3 ii) 3 5 iii) 5 3 8 iv) 4 6 0 4. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i) 3 5 ii) 6 iii) 4 3 iv) 5. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: 3 3 i) 3 ii) 4 iii) iv) 3 3 0 v) d (,3) vi) d (, 4) 3 vii) d(, ) 4 d(,0) viii) d(,3) d(, ) 6. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i) 3 3 5 ii) 5 5 iii) 8 3 iv) 3 7. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i) 4 3 ii) 3 3 4 8. Δίνεται η εξίσωση: 8 0 α) Να βρείτε για ποιες τιμές του η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες β) Έστω, οι πραγματικές ρίζες της εξίσωσης. Να βρείτε για ποιες τιμές του ισχύει 3 9. Δίνεται η εξίσωση: 4 0 α) Να βρείτε για ποιες τιμές του η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες β) Έστω, οι πραγματικές ρίζες της εξίσωσης. Να βρείτε για ποιες τιμές του ισχύουν : i. 3 3 ii. 4 03-04 3
30. Δίνεται η εξίσωση: οι πραγματικές ρίζες της. 4 0 και έστω, α) Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: i. S ii. P iii. A β) Για τις τιμές των παραστάσεων που βρήκατε, να λύσετε την ανίσωση: A P S ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ 3. Να κάνετε τον πίνακα προσήμου των παρακάτω τριωνύμων: i) iii) v) vii) i) 5 3 ii) 4 3 iv) 4 4 vi) viii) 3 ) 3. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i) iii) v) vii) i) 5 4 ii) ( ) ( ) 4 iv) 3 3 vi) viii) 3 ) 4 9 5 0 33. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i) iii) v) vii) (3 ) 9 ii) 69 0 iv) 9 6 vi) 3 viii) (5 3) 4 4 3 5 34. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των παρακάτω ανισώσεων: i) 9 και ii) 0 και iii) και ( ) iv) 6 και 0 3 και 4 4 35. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i) 3 ii) iii) 3 4 iv) 3 6 9 03-04 3
ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ 36. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i) 5 6 0 ii) () 3 0 iii) 4 4 iv) 3 3 ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 37. Να βρείτε το πλήθος των ριζών των εξισώσεων για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου : i) ( ) 0 ii) ( ) ( ) 0, 38. Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου ώστε οι εξισώσεις να έχουν ρίζες πραγματικές και άνισες: i) () 0 ii) ( ), 39. Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου ώστε οι τιμές του τριωνύμου: 3 ( 0) να διατηρούν σταθερό πρόσημο για κάθε. 40. Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου ώστε οι τιμές του τριωνύμου: ( ) ( ) ( ) να είναι αρνητικές για κάθε. 4. Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου ώστε οι τιμές του τριωνύμου: ( ) ( ) να είναι θετικές για κάθε. 4. Αν 3 να δείξετε ότι για κάθε οι τιμές του τριωνύμου: 4 8 είναι αρνητικές. 43. Αν 0 3 να δείξετε ότι για κάθε οι τιμές του τριωνύμου: είναι θετικές. 44. Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου ώστε η ανίσωση: ( ) 3 0 ( 0) να αληθεύει για κάθε. 45. Να δείξετε ότι η εξίσωση: πραγματικές και άνισες για κάθε 3 έχει δύο ρίζες 03-04 33
Ιδρυτής: Παναγιώτης Χρ. Χρήστου Συνεργάζονται διδάσκουν : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΦΥΣΙΚΗ Φάνης Γρ. Γκανάς Θεολόγος Κ. Ζαχαράκης Αρετή Λαΐου Ζησοπούλου ΦΙΛΟΛΟΓΙΚΑ Παναγιώτης Κ. Ζαχαράκης Χρύσα Οικονόμου Άρτεμις Παπανικολάου Αναστασία Κομματά Σωτήρης Παμπάλης Γιάννα Αθανασίου Κομματά ΧΗΜΕΙΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ Ράνια Ζαχαράκη ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Σωτήρης Παιάνας Α.Ο.Θ. Α.Ο.Δ.Ε. Γεωργία Σκουμή ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΠΑΛ Ιπποκράτους, παλιό Δεσποτικό, Τρίκαλα 430 66 e-mail: fr_pedia @ otenet.gr internet:frontistiriopaideia.weebly.com facebook: «Γενικά Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ Τρίκαλα» 03-04 34