Άσκηση: Να λυθεί και να διερευνηθεί για τις διάφορες τιμές των παραμέτρων ab, το σύστημα: a z 4 b z 3 b z 4 Λύση a 4 b 4 b 4 b0 3 33 /( b) b 3 b 3 0 b 0 b 4 a 4 0 ab a 4 4a b 4 b 4 33 ( ab) 0 0 / b 0 0 / b 0 ab a 4 4 a ( ab) 0 0 a 4 4a b Για b 0, αν α=, b 4 0 0 / b b 0 0 0 b i) Αν b / το σύστημα είναι αδύνατο. 4 i) Αν b /, 0 0 το σύστημα έχει άπειρες λύσεις: 0 0 0 0 z 4 z (,, z) ( z,, z) (,,0) z(,0,) αν α, μοναδική λύση: ( ab) ( ab) b 4 ( a) z 4 4a z 4 b b( a) 0 0 / b άρα / b ( ab) ( ab) ( ab) 0 0 a 4 4a b z 4 b 4 4 b b b( a) b( a) Αν b=0 από το Σ, 0 4 0 0 0 το σύστημα είναι αδύνατο 0 a 4 4a ΦΟΙΤΗΤΙΚΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΕΙΟ email: info@didaskaleio.gr tel. 695905598 Page
Άσκηση : Να δείξετε ότι το παρακάτω σύστημα δεν έχει λύση: 3 5 4 7 Λύση: Ανάγουμε τον επαυξημένο πίνακα σε κλιμακωτή μορφή /( 5) 3 3 3 3 5 0 5 0 / 5 0 / 5 334 4 7 0 3 0 3 0 0 8 / 5 Άρα rank(a)= rank(a/b)=3 συνεπώς το σύστημα είναι αδύνατο. Άσκηση 3 : Δίνονται οι πίνακες 4 4 και X z α) Να βρεθούν οι τιμές του a έτσι ώστε η εξίσωση ΑΧ=Ο, να έχει μή μηδενικές λύσεις β) Να υπολογιστούν οι λύσεις του συστήματος ΑΧ=Ο για τις τιμές α που βρήκατε. Λύση: α) Ένα ομογενές σύστημα έχει μή μηδενικές λύσεις ( δηλαδή άπειρες λύσεις) όταν η ορίζουσα του πίνακα του συστήματος είναι μηδενική. 4 4 det( ) 4 0 ά ή 33 4 0 4... 3 8 4 a 4 / 6 det( A) 0 a Άρα μοναδική αποδεκτή ( ακέραια ) τιμή α= - β) Για α= - ο πίνακας του συστήματος γίνεται 4 4 Τον μετασχηματίζουμε σε κλιμακωτή μορφή / / / / / / / 3 0 0 0 0 334 4 4 4 4 0 0 0 0 Άρα rank(a)=<3=n ( πλήθος αγνώστων) άρα άπειρες λύσεις τις οποίες βρίσκουμε με πίσω αντικατάσταση ΦΟΙΤΗΤΙΚΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΕΙΟ email: info@didaskaleio.gr tel. 695905598 Page
z 0 z z 3 z 0 ( z) z 0 z Άρα (,,z) = 3 3 z z z z Γεωμετρική ερμηνεία χώρου λύσεων: Ευθεία που διέρχεται απο την αρχή των αξόνων, παράλληλη στο διάνυσμα 3 Άσκηση 4 : Να δειχθεί ότι για τον A 5 0 ισχύει n A I Λύση : Ο πίνακας είναι τριγωνικός άρα έχει για ιδιοτιμές τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου, ήτοι,. Οι ιδιοτιμές είναι διαφορετικές μεταξύ τους άρα ο πίνακας διαγωνοποιείται n 0 0 n P P P P P I P I n 0 0 Άσκηση5: A) Έστω 3 4 C 6 0 a. Γιά ποιά τιμή της παραμέτρου α ισχύει ότι ο βαθμός του πίνακα C είναι? 4 0 Β) Για την τιμή της α που βρήκατε στο ερώτημα (Α) να βρεθούν οι ιδιοτιμές του C. Κατόπιν να εξηγηθεί γιατί είναι ή δεν είναι α) διαγωνοποιήσιμος β) αντιστρέψιμος Λύση 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 Α) C 6 0 a 0 9 a 0 8 8 0 0 4 0 0 8 8 0 9 a 0 9 a 0 0 a 3 Αν α=3 ο βαθμός του πίνακα είναι. Β) Ιδιοτιμές 3 4 3 det( C ) det 6 3 0 8 0 4 0, ή 8 0 0,, 4 3 α) Διακριτές ιδιοτιμές άρα διαγωνοποιείται. β) det(c) = 0 ( ) 4 0 άρα μή αντιστρέψιμος ΦΟΙΤΗΤΙΚΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΕΙΟ email: info@didaskaleio.gr tel. 695905598 Page 3
Άσκηση 6 : Τα διανύσματα, 0, 0 είναι τα ιδιοδιανύσματα ενός 33 πίνακα Α, αντίστοιχα των ιδιοτιμών,, 3 0 α) Να προσδιοριστεί ο πίνακας Α β)να βρεθεί η ορίζουσα του γ) Να δειχθεί ότι ισχύει A n A Λύση : α)ο πίνακας διαγωνοποιείται καθώς έχει διακριτές ιδιοτιμές, απο την σχέση διαγωνοποίησης έχουμε P D P 0 0 0 0 0 0 A 0 0 0 0 / / 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 / / / / / / 0 0 β) det( A) ( ) 0 0 n 0 0 0 0 n n γ) A P 0 ( ) 0 P P 0 0 P A n 0 0 0 0 0 0 Άσκηση 7 : Δίνεται ότι f (, ) 4 0 0 α) να βρεθεί η παράγωγος της =φ() στο σημείο (4,). β) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης στην γραφική παράσταση της =φ() που διέρχεται απο το σημείο (4,) Λύση: α) f d d f όπου f 4 και f 4 4 4 3 άρα (4,) β) εξίσωση εφαπτομένης : ( ) άρα 0 0 0 3 4 3 3 3 Άσκηση 8 : Αν ( ), να βρεθεί η παράγωγος (0) Λύση: Ορίζω την πεπλεγμένη σχέση f 3 (, ) ( ) 0 f f όπου ΦΟΙΤΗΤΙΚΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΕΙΟ email: info@didaskaleio.gr tel. 695905598 Page 4
ΦΟΙΤΗΤΙΚΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΕΙΟ www.didaskaleio.gr facebook: Didaskaleio Foititiko f ( ) 0 3 ( ) 3 f ( ) 3 ( ) 0 3 Για =0 στην αρχική σχέση έχουμε (0) 0 (0) άρα όταν =0, =. 0 '(0) 3 Άσκηση 9 : Μελετήστε ως προς τα ακρότατα τη συνάρτηση f (, ) e. Λύση Συνθήκες ης τάξης : f 0 e e ( ) 0 e ( ) 0 [] f 0 e e ( ) 0 e ( ) 0 [] Απο την [] έχουμε =0 ή = ( υπενθύμιση τα εκθετικά είναι πάντα θετικά) Για =0 ή [] δίνει =0 άρα πρώτο κρίσιμο σημείο το (0,0) Για = η [] δίνει = άρα δεύτερο κρίσιμο σημείο (,) Απο την [] έχουμε = ή =0 ( υπενθύμιση τα εκθετικά είναι πάντα θετικά) Για = ή [] δίνει = άρα πάλι (,) Για =0 η [] δίνει =0 άρα πάλι (0,0) Συνολικά έχουμε κρίσιμα το (0,0) και το (,) f H f f e ( ) e ( )( ) f e ( )( ) e ( ) Στο (0,0), 0 H σάγμα ( ή σημείο σέλλας) 0 Στο (,) e H 0 0 e με ελάσσονες ορίζουσες e 0 και deth= ( e )( e ) e 0 άρα αρνητικά ορισμένος, μέγιστο. ΦΟΙΤΗΤΙΚΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΕΙΟ email: info@didaskaleio.gr tel. 695905598 Page 5
ΦΟΙΤΗΤΙΚΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΕΙΟ www.didaskaleio.gr facebook: Didaskaleio Foititiko Άσκηση 0 : Μελετήστε τα ακρότατα της συνάρτησης f (,, z ) z 3z z Λύση:Συνθήκες α τάξης f 0 z 0 () f 0 z 0 () f z 0 6 z 0 (3) 3 3 3 3 3 3 3 / A 0 3 / 0 0 0 0 0 6 0 4 0 0 0 Η λύση του ομογενούς συστήματος δίνει μοναδικό κρίσιμο σημείο το (0,0,0) f Συνθήκες β τάξης H f f z f 0, det f f f f f z f z f z f zz 6 f 3 0, det H 4 0 f Άρα η f έχει ελάχιστο στο (0,0,0) Άσκηση : Μια μονοπωλιακή επιχείρηση πωλεί το προιόν της με συνάρτηση ολικού κόστους p 35 Q TC Q 3Q 0 σε αγορές με συναρτήσεις ζήτησης p 53 3Q α) Ζητείται να προσδιοριστούν οι ποσότητες προιόντος Q και Q που θα πρέπει να πωλούνται στις αγορές και και οι αντίστοιχες τιμές p και p έτσι ώστε η επιχείρηση να μεγιστοποιεί τα συνολικά κέρδη της. β) Επιβεβαιώστε ότι στο σημείο Q, Q που μεγιστοποιούνται τα κέρδη της επιχείρησης τα οριακά μεγέθη εισοδήματος απο την πώληση του προιόντος σε κάθε μια απο τις αγορές, ισούνται με το οριακό κόστος παραγωγής των προιόντων. γ) Να υπολογιστούν οι ελαστικότητες ζήτησης στα σημεία Q, p Q, p. και Τί παρατηρείτε με δεδομένο ότι p p Λύση : α) Κατασκευάζουμε την συνάρτηση κέρδους και την μεγιστοποιούμε ( προσοχή Q=Q+Q) Q, Q TR TR TC pq pq TC 35 Q Q 53 3Q Q Q Q 3 Q Q 0... 3Q 50Q 4Q 5Q 4QQ 0 Συνθήκες ης τάξης ΦΟΙΤΗΤΙΚΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΕΙΟ email: info@didaskaleio.gr tel. 695905598 Page 6
Q 0 3 8Q 4Q 0 Q 8Q Q 4, 5 Q 0 50 0Q 4Q 0 50 0 8 Q 4Q 0 Q,875 Συνθήκες ης τάξης H Q Q Q 8 4 Q Q 4 0 Q QQ με ελάσονες ορίζουσες -8<0 και det(h)=64>0 άρα μέγιστο Κατόπιν απο τις συναρτήσεις ζήτησης βρίσκουμε τις αντίστοιχες τιμές p 3, 5 και p 40, 5 β) Όταν ένα μονοπώλιο κάνει διαφορισμό τιμής σε αγορές ισχύει πάντα ότι MR MR MC Πράγματι, MR TR 35Q Q 35 4Q και στο μέγιστο MR TR 53Q 3Q 53 6Q και στο μέγιστο MR 35 4Q 7,5 MR 53 6Q 7,5 MC TC Q 3Q 0 4Q 3 4Q 4Q 3 και στο μέγιστο QQQ MC 4Q 4Q 3 7,5 dq p γ) D dp Q 35 Αγορά : Βρίσκουμε την αντίστροφη συνάρτηση ζήτησης Q p άρα dq p 3, 5 D 8,33 dp Q,875 53 Αγορά : Βρίσκουμε την αντίστροφη συνάρτηση ζήτησης Q p 3 3 άρα dq p 40, 5 D 3,5 dp Q 3 4,5 Παρατηρούμε ότι η ζήτηση στην αγορά είναι πιό ελαστική. Άσκηση : Βρείτε τα ακρότατα της f(,) = - υπό τον περιορισμό + =. Λύση : L(,, ) ΦΟΙΤΗΤΙΚΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΕΙΟ email: info@didaskaleio.gr tel. 695905598 Page 7
L 0 0 ( ) 0 =0 ή λ=- () L 0 0 ( ) 0 =0 ή λ= () L 0 (3) () Για =0, από την (3) και για (διάφορο του μηδενός ) από την () λ= άρα κρίσιμα σημεία Α(0,,), Β(0,-,) () Για =0, από την (3) και για (διάφορο του μηδενός ) από την () λ= - άρα κρίσιμα σημεία Γ(,0,-), Δ(-,0,-) Πλαισιωμένος Εσσιανός : L, L 0, L, g, g 0 g g 0 0 0 g L L 0 ή H g L L 0 H 4 4 4 4 8 8 8 8 Συνεπώς 0 0 8 8 6 0 άρα τ.ελάχιστο, 0 0 88 6 0 άρα τ.ελάχιστο (0,,) (0,,) 8 8 0 0 6 0 άρα τ.μέγιστο, 88 0 0 6 0 άρα τ.μέγιστο, (,0, ) (,0, ) Άσκηση 3 : Μια επιχείρηση έχει συνάρτηση ολικών κερδών που δίνεται απο τον παρακάτω τύπο p(, ) 4 5 0, όπου και είναι οι πωλούμενες ποσότητες των προιόντων. Για την παραγωγή κάθε μονάδας των προιόντων και απαιτούνται μονάδες και 5 μονάδες μιας πρώτης ύλης αντίστοιχα. Η πρώτη ύλη διατίθεται σε 40 μονάδες. α) Να βρεθούν τα, όπου η επιχείρηση μεγιστοποιεί τα κέρδη της ύπο τον περιορισμό παραγωγής, καθώς και τα μέγιστα κέρδη. β)να υπολογίσετε πόσο θα αυξηθεί το μέγιστο κέρδος αν η διαθέσιμη ποσότητα της πρώτης ύλης αυξηθεί απο 40 σε 4,44 και 46 μονάδες. Δίνεται ο παρακάτω πίνακας: Διαθέσιμη ποσότητα πρώτης ύλης Βέλτιστες πωλούμενες ποσότητες 4 X=63/8 =/4 44 X=33/4 =/ 46 X=69/8 =3/4 γ) Υπολογίστε την μέγιστη τιμή αγοράς που μπορεί να δεχθεί η επιχείρηση για την απόκτηση των επιπρόσθετων μονάδων πρώτης ύλης. δ) Ισχύει dp db, όπου dp η μεταβολή της βέλτιστης τιμής της συνάρτησης κέρδους, λ η τιμή του πολλαπλασιαστή Lagrange και db η μεταβολή της σταθεράς του δεσμού. Να συγκρίνετε την τιμή της προσέγγισης με αυτή του ερωτήματος γ) τί παρατηρείτε? Λύση : Μεγιστοποίηση του κέρδους p(, ) 4 5 0 ύπο τον περιορισμο (δεσμό) +5=40 Λαγκρατζιανή : L(,, ) 4 5 0 5 40 Συνθήκες ης τάξης : ΦΟΙΤΗΤΙΚΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΕΙΟ email: info@didaskaleio.gr tel. 695905598 Page 8
L 0 8 0 0 [] L 0 0 0 5 0 [] L 0 5 40 [3] Το σύστημα των 3 εξισώσεων έχει μοναδική λύση (,,λ) = (7.5, 5, -0 ) Συνθήκες ης τάξης : 0 g g 0 5 H g L L 8 0 g L L 5 0 0 έχουμε ότι det(h)=640>0 άρα μέγιστο Άρα μέγιστα κέρδη p(7.5,5)=400 β) Βάση του πίνακα τα μέγιστα κέρδη ανα περίπτωση είναι : p ( 63/8 /4)=446,5 άρα αύξηση 46,5 και αυτή είναι η μέγιστη τιμή αγοράς των επιπρόσθετων μονάδων πρώτης ύλης Αντίστοιχα για τα υπόλοιπα σημεία γ) έγινε δ) Απο 40 σε 4 db= άρα dp db 0 40 καλή προσέγγιση δεδομένου ότι η πραγματική μεταβολή στα μέγιστα κέρδη είναι 46,5. Αντίστοιχα για τα υπόλοιπα σημεία Άσκηση 4 : Βρείτε τα ακρότατα της f (,, z) 3 z όταν ισχύουν οι περιορισμοί z 3, z 4. Λύση: Περιορισμοί g (,, z) z και g (,, z) z L z z z L 3 0 3 L 3 ( 3) ( 4) 0 3 Lz z 0 z L z 3 L z 4 Άρα μοναδικό κρίσιμο σημείο (,,) 0 0 g g gz 0 0 0 0 0 g g g 0 0 0 z Πλαισιωμένος Εσσιανός: H g g L L L z 0 0 0 0 g g L L Lz 0 0 0 0 gz gz Lz Lz L zz 0 0 0 0 0 Ορίζουσα εσσιανού: 4η γραμμή 0 0 3η γραμμή 3η γραμμή 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Άρα έχουμε ελάχιστο ΓΙΑ ΝΑ ΛΑΜΒΑΝΕΤΕ ΕΝΗΜΕΡΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΝΕΑ POST ΑΚΟΛΟΥΘΗΣΤΕ ΜΑΣ ΣΤΟ FACEBOOK ΦΟΙΤΗΤΙΚΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΕΙΟ email: info@didaskaleio.gr tel. 695905598 Page 9