1 Α Σ Κ Ζ Σ Δ Η Σ ΑΣΚΗΣΗ 1.() Τν βάξνο ησλ 8 καζεηώλ κηαο ηάμεο δίλεηαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα 1.(). ΠΗΝΑΚΑΣ 1.().Βάξε καζεηώλ κηαο ηάμεο 77.4 75.8 75.8 74.5 71.5 68.8 66.6 73.9 70.1 73.0 71.9 66.6 73.4 75.7 76.0 68.8 73. 79. 63. 67.3 73.4 69.7 68.6 70.4 78.0 73.6 76.4 7.3 Εεηείηαη λα ππνινγηζζνύλ νη παξάκεηξνη θεληξηθήο ηάζεο (Αξηζκεηηθόο κέζνο, γεσκεηξηθόο κέζνο,αξκνληθόο κέζνο, δηάκεζνο θαη επηθξαηνύζα ηηκή). 1. Από ηε ζρέζε (.1) έρνπκε: x =7.31. Από ηε ζρέζε (.4) έρνπκε: G =7.18 3. Από ηε ζρέζε (.5) έρνπκε: Ζ =7.113. Σπγθξίλνληαο ηηο ηξεηο ηηκέο θαίλεηαη ε ηζρύο ηεο ζρέζεο Ζ<G< x 7.113<7.18<7.31 4. Δπεηδή ην κέγεζνο ηνπ δείγκαηνο είλαη άξηηνο αξηζκόο (Ν=8) ζεσξνύκε ζαλ δηάκεζν ηηκή ηνλ κέζν όξν ησλ δύν κεζαίσλ ηηκώλ ζηελ δηαηεηαγκέλε ζεηξά ησλ ηηκώλ ηνπ δείγκαηνο (Πίλαθαο.()). ΠΗΝΑΚΑΣ.(). Γηαηεηαγκέλεο θαη αύμνπζα ηάμε ηηκέο ηνπ Πίλαθα 1.() 1η η 3η 4η 5η 6η 7η 63. 66.5 66.6 67.3 68.6 68.8 68.8 8η 9η 10η 11η 1η 13η 14η 69.7 70.1 70.4 71.5 71.9 7.3 73.0 15η 16η 17η 18η 19η 0η 1η 73. 73.4 73.4 73.6 73.9 74.5 75.7 η 3η 4η 5η 6η 7η 8η 75.8 75.8 76.0 76.4 77.4 78.0 79. Έηζη έρνπκε όηη ν κέζνο όξνο ηεο 14 εο ηηκήο (Ν/=8/=14) θαη ηεο 15 εο ηηκήο [(Ν/)+1=15] ζηε ζεηξά ηνπ Πίλαθα.() είλαη ε δηάκεζνο ηηκή Μ ε = (73.0+73.)/ = 73.1. 5. Από ηνλ Πίλαθα.() θαίλεηαη όηη νη ηηκέο 68.8 (6 ε θαη 7 ε ),73.4 (16 ε θαη 17 ε ) θαη 75.8 ( ε θαη 3 ε ) εκθαλίδνληαη δύν θνξέο, ελώ όιεο νη άιιεο από κία θνξά. Ωο εθ ηνύηνπ έρνπκε ηξείο επηθξαηνύζεο ηηκέο (Μ ν ). ΑΣΚΗΣΗ.() Γηα ην δείγκα ηεο άζθεζεο 1.() λα ππνινγηζζνύλ νη παξάκεηξνη δηαζπνξάο (Δύξνο δηαθύκαλζεο, ηεηαξηεκόξηα, εκηελδνηεηαξηεκνξηαθή δεηγκαηηθή θύκαλζε, κέζε απόθιηζε, δηαθύκαλζε, ηππηθή απόθιηζε θαη ζπληειεζηήο κεηαβιεηόηεηαο). 1. Από ηε ζρέζε (.10) θαη ηνλ Πίλαθα.() πξνθύπηεη όηη ην εύξνο ηεο δηαθύκαλζεο είλαη: R s =79.-63. =16.0.. Από ηνλ Πίλαθα.() πξνθύπηεη όηη ην Q 1 αληηζηνηρεί ζηελ 7 ε ηηκή (7/8=0.5 ή 5%) άξα
Q 1 =68.8, ην Q =Μ ε =73.1 (από ηελ πξνεγνύκελε άζθεζε) θαη ην Q 3 αληηζηνηρεί ζηελ 1 ε ηηκή (1/8=0.75 ή 75%),άξα Q 3 =75.7. 3. H εκηελδνηεηαξηεκνξηαθή δεηγκαηηθή θύκαλζε Q πνπ δίλεηαη από ηε ζρέζε (.1), ζα είλαη ζύκθσλα κε ηα πξνεγνύκελα, Q =(75.7-68.8)/ =3.45. 4. Ζ κέζε απόθιηζε ππνινγίδεηαη από ηε ζρέζε (.13). Απηή βξέζεθε λα είλαη: Δ α = 3.177 5. Ζ δηαθύκαλζε ηνπ δείγκαηνο ππνινγίζζεθε από ηα αλαιπηηθά δεδνκέλα [ζρέζε (.14)] θαη βξέζεθε όηη: V = 15.319. 6. Ζ ηππηθή απόθιηζε ππνινγίζζεθε από ηε ζρέζε (.16) θαη βξέζεθε s N-1 = 3.913. 7. Ο ζπληειεζηήο κεηαβιεηόηεηαο δίλεηαη από ηε ζρέζε (.19) θαη βξέζεθε CV= 5.41%. ΑΣΚΗΣΗ 4.() Να νκαδνπνηεζνύλ ηα δεδνκέλα ηνπ Πίλαθα 1.() ζε ηάμεηο δηαζηεκάησλ θαη λα ππνινγηζζνύλ όιεο νη παξαπάλσ παξάκεηξνη ησλ αζθήζεσλ 1.(),.() θαη 3.(). Από ηε ζρέζε (1.1) νξίδνπκε θαη αξράο ηνλ αξηζκό (πεξίπνπ) ησλ ηάμεσλ δηαζηεκάησλ πνπ ζα ρξεζηκνπνηήζνπκε γηα λα θάλνπκε ηελ νκαδνπνίεζε. Έηζη πξνέθπςε όηη Α=7.. Λακβάλνληαο ππόςε θαη ηε κέγηζηε (79.) θαη ηελ ειάρηζηε (63.) ηηκή ηνπ δείγκαηνο θαη ζέινληαο νη αληηπξνζσπεπηηθέο ηηκέο ησλ ηάμεσλ δηαζηεκάησλ λα είλαη αθέξαηνη αξηζκνί, θαηαηάμακε ην δείγκα ζε 9 ηάμεηο δηαζηεκάησλ όπσο θαίλεηαη ζηνλ Πίλαθα 3.(). Σηε ζπλέρεηα ππνινγίδνπκε ηηο παξαπάλσ δεηνύκελεο παξακέηξνπο από ην δείγκα ησλ νκαδνπνηεκέλσλ ηηκώλ. ΠΗΝΑΚΑΣ 3.() Οκαδνπνηεκέλεο ηηκέο ηνπ δείγκαηνο ηνπ Πίλαθα 1.() Τάξειρ διαζηημάηων Ανηιπποζωπεςηική ηιμή (x ) Aπόλςηη Σσεηική (f ) αθποιζηική (cf ) 63-64.95 64 1 0.036 1 65-66.95 66 0.107 3 67-68.95 68 4 0.5 7 69-70.95 70 3 0.357 10 71-7.95 7 3 0.464 13 73-74.95 74 7 0.714 0 75-76.95 76 5 0.89 5 77-78.95 78 0.964 7 79-80.95 80 1 1.0 8 1. Από ηε ζρέζε (.) έρνπκε: x =7.49.. Από ηε ζρέζε (.4) έρνπκε: G =7.316 (Θέζακε G= N f f x 1 x x νη αληηπξνζσπεπηηθέο ηηκέο ησλ ηάμεσλ δηαζηεκάησλ θαη ζπρλόηεηεο ( =1,,,9) 1 f όπνπ x f oη αληίζηνηρεο απόιπηεο
3 3. Από ηε ζρέζε (.5) έρνπκε: Ζ =7.0. (Θέζακε Ζ= 9 N 1 f x ). Όπσο θαίλεηαη θαη πάιη ηζρύεη ε ζρέζε Ζ=7.0<G=7.316< x =7.49. 4. Από ηε ζρέζε (.7) ππνινγίζζεθε ηώξα ε δηάκεζνο ηηκή θαη βξέζεθε Μ ε =73.43. 5. Ζ επηθξαηνύζα ηηκή Μ ν ππνινγίζζεθε από ηε ζρέζε (.8) θαη πξνέθπςε (7 3) όηη: M 74 75.33.Όπσο θαίλεηαη ελώ κε ηελ νκαδνπνίεζε δελ o (7 3) (7 5) είρακε ζεκαληηθέο κεηαβνιέο ζηηο εθηηκήζεηο ηνπ κέζνπ αξηζκεηηθνύ, γεσκεηξηθνύ θαη αξκνληθνύ κέζνπ θαζώο θαη ζηε δηάκεζε ηηκή, πξνθύπηεη ζεκαληηθή δηαθνξνπνίεζε ζηελ επηθξαηνύζα ηηκή, γεγνλόο πνπ καο δείρλεη όηη αλάινγα κε ηνλ ηξόπν πνπ ζα νξηζζνύλ νη ηάμεηο δηαζηεκάησλ είλαη δπλαηόλ λα δηακνξθσζεί ε θαηαλνκή ζπρλνηήησλ ηνπ δείγκαηνο έηζη ώζηε λα είλαη ηειηθά δπλαηή ε πξνζέγγηζή ηεο από έλα ζεσξεηηθό λόκν. 6. Από ηε ζρέζε (.11) πξνθύπηεη όηη: Q 1 =67+(/4)(5[8/100]-7) = 67, Q 3 =75+(/5)(75[8/100]-0) = 75.4, ελώ Q =M ε =73.43. 7. Σύκθσλα κε ηα πξνεγνύκελα ε εκηελδνηεηαξηεκνξηαθή δεηγκαηηθή θύκαλζε ζηελ πεξίπησζε ησλ νκαδνπνηεκέλσλ δεδνκέλσλ ηζνύηαη κε Q=(75.4-67)/ = 4.. 1 9 8. Ζ κέζε απόθιηζε ηζνύηαη κε Δ α = f x f x =3.398,όπνπ f νη απόιπηεο N 1 ζπρλόηεηεο κέζα ζηηο ηάμεηο δηαζηεκάησλ θαη x νη αληίζηνηρεο αληηπξνζσπεπηηθέο ηηκέο. 9. H δηαθύκαλζε δίλεηαη από ηε ζρέζε (.15) θαη ηζνύηαη κε V = 16.698. 10. Ζ ηππηθή απόθιηζε δίλεηαη από ηε ζρέζε (.17) θαη ηζνύηαη κε s N-1 = 4.086.Θεσξώληαο όηη ε θαηαλνκή ζπρλνηήησλ ησλ νκαδνπνηεκέλσλ δεδνκέλσλ έρεη έλα κέγηζην θαη ηείλεη εθαπηνκεληθά ζηνλ άμνλα ησλ ρ ζε ακθόηεξα ηα άθξα επεηδή ε κειεηώκελε κεηαβιεηή είλαη ζπλερήο κπνξνύκε λα εθαξκόζνπκε ηελ δηόξζσζε ηνπ Sheppard όζνλ αθνξά ηελ ηππηθή απόθιηζε, νπόηε από ηε ζρέζε (.18) ιακβάλνπκε s N-1= 4.045, ηηκή ε νπνία είλαη πιεζηέζηεξα ζηελ ηηκή ηεο ηππηθήο απόθιηζεο (3.913) ε νπνία ππνινγίζζεθε από ην αλαιπηηθό δείγκα. 11. Ζ ηηκή ηνπ ζπληειεζηή κεηαβιεηόηεηαο κε βάζε ηηο ηηκέο ηεο κέζεο ηηκήο θαη ηεο ηππηθήο απόθιηζεο πνπ ππνινγίζζεθαλ από ηα νκαδνπνηεκέλα δεδνκέλα ηνπ δείγκαηνο βξέζεθε ίζε κε CV = 100(4.045/7.49) = 5.58%,ηηκή παξαπιήζηα απηήο πνπ ππνινγίζζεθε από ηα αλαιπηηθά δεδνκέλα. 1. Οη ξνπέο 1 εο, εο,3 εο θαη 4 εο ηάμεο σο πξνο ηελ αξρή ππνινγίζζεθαλ από ηε ζρέζε (.) θαη βξέζεθαλ ίζεο κε m 1 = 7.49, m = 56, m 3 = 383434.39 θαη m 4 =801813.71. Σηε ζπλέρεηα από απηέο ππνινγίζζεθαλ νη ξνπέο σο πξνο ηε κέζε ηηκή κε ηε βνήζεηα ησλ ζρέζεσλ (.5) θαη βξέζεθε κ 1 = 0, κ = 16.04, κ 3 = -10.6 θαη κ 4 = -74.893. Δθαξκόδνληαο θαη πάιη ηε δηόξζσζε ηνπ Sheppard γηα ηηο ξνπέο ιακβάλνπκε κ 1 = 0, κ = 15.71, κ 3 =-10.6 θαη κ 4 = -106.509. Όπσο πξνθύπηεη γηα ηηο ξνπέο σο πξνο ηνλ κέζν ηάμεο κεγαιύηεξεο ηνπ παξαηεξνύληαη ζεκαληηθέο δηαθνξνπνηήζεηο θαηά ηνπο ππνινγηζκνύο από ηηο νκαδνπνηεκέλεο ηηκέο, παξά ηηο δηνξζώζεηο, γηαπηό θαη ζα είλαη θαιύηεξν νη ξνπέο λα ππνινγίδνληαη από αλαιπηηθά δεδνκέλα. Γηα ηνλ ίδην ιόγν ζα πξέπεη θαη νη ζπληειεζηέο αζπκκεηξίαο θαη θύξησζεο λα ππνινγίδνληαη από ηα αλαιπηηθά δεδνκέλα ηνπ δείγκαηνο. ΑΣΚΗΣΗ 5.() Γίλεηαη ε θαηαλνκή ηνπ εηήζηνπ αξηζκνύ εκεξώλ παγεηνύ ελόο κεηεσξνινγηθνύ ζηαζκνύ Πίλαθαο 4.() θαη δεηείηαη λα ππνινγηζζεί ε κέζε ηηκή, ε δηάκεζνο ηηκή, ε επηθξαηνύζα ηηκή, ε ηππηθή απόθιηζε, θαη ν ζπληειεζηήο κεηαβιεηόηεηαο. ΠΗΝΑΚΑΣ 4.() Καηαλνκή ζπρλνηήησλ εηήζηνπ αξηζκνύ εκεξώλ παγεηνύ
4 Τάξειρ διαζηημάηων Ανηιπποζωπεςηική ηιμή αθποιζηική 9-11 10 1-14 13 4 6 15-17 16 7 13 18-0 19 9 1-3 4 6 4-6 5 5 31 7-9 8 3 34 30-3 31 1 35 33-35 34 1 36 1. Ζ κέζε ηηκή δίλεηαη από ηε ζρέζε (.) 10 13 4 16 7 19 9 4 5 5 8 3 311 341 x 19.917 36. Υπνινγίδνπκε θαη αξράο ηηο αζξνηζηηθέο απόιπηεο ζπρλόηεηεο [Πίλαθαο 4.()] από όπνπ νξίδνπκε ηελ ηηκή ηεο αζξνηζηηθήο ζπρλόηεηαο πνπ αληηζηνηρεί ζηελ ηηκή (Ν+1)/ =(36+1)/ = 18.5. Ζ δηάκεζνο ηηκή σο εθ ηνύηνπ ζα είλαη κία από ηηο ηηκέο ηνπ δηαζηήκαηνο 18 0. Καηόπηλ απηνύ ε δηάκεζνο ηηκή [ζρέζε (.7)] δίλεηαη από ηελ 3 36 M ε 18 13 19.67 9 9 7 3 3. Ζ επηθξαηνύζα ηηκή (Μ ν ) δίλεηαη από ηε ζρέζε (.8). M o 19 =19.857 9 7 9 4 4. Ζ ηππηθή απόθιηζε δίλεηαη από ηε ζρέζε (.15). s N 1 10 4 13 7 16 9 19 4 5 5 3 8 1 31 1 34 10 4 13 7 16 9 19 4 5 5 3 8 31 34 36 35 5.774 Ο ζπληειεζηήο κεηαβιεηόηεηαο δίλεηαη από ηε ζρέζε (.19). CV = 100 = 8.99. 19.917 35 5.774
5